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210

A equação de onda deduzida no capítulo anterior é para meios sem perdas ( = 0). Vamos agora encontrar a equação da onda em um meio que apresenta condutividade não nula. Considerando para o caso geral o campo magnético H

polarizado na direção z e o campo elétrico E

polarizado em y, as

equações de Maxwell em rotacional são escritas como:

tE

Ex

H yy

z

(23.1)

e

tH

xE zy

(23.2)

Que também podem ser escritas na forma fasorial como:

yz Ej

xH

(23.3)

zy Hj

xE

(23.4)

Derivando (23.4) em relação a x:

xHj

xE z

2y

2

(23.5)

E substituindo (23.3) em (23.5):

y2

y2

Ejjx

E

(23.6)

Inversamente, se derivarmos (23.3) em relação a x, e substituirmos (23.4) no resultado disso, teremos:

z2

z2

HjjxH

(23.7)

A equação (23.6) é a equação da onda em Ey, e (23.7) é a equação da onda em Hz, para meios que apresentam condutividade diferente de zero, ou seja, com perdas. As equações (23.6) e (23.7) podem ser escritas como:

y

22y

2

ExE

(23.8)

23 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS EM MEIOS CONDUTORES

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211

e

z

22z

2

HxH

(23.9)

Onde:

jj2 (23.10)

é chamada de constante de propagação, cujas partes real e imaginária são positivas do tipo:

j � � � � ¦

Onde:

112

2

(23.12)

112

2

(23.13)

é chamada de constante de atenuação, sua unidade é m-1, mas é costumeiramente expresso como Np/m, onde Np (Nepper) é um adimensional do tipo radiano. é chamada de constante de deslocamento de fase, com unidade rad/m. Deve-se notar que quando = 0 (dielétrico perfeito), temos = 0 e = /v. Para bons condutores tem-se

1

(23.14)

e:

22

(23.15)

22

(23.16)

Vamos propor como solução para a equação (23.8) a seguinte expressão:

y

tjx0 aeeEE

(23.17)

Prova:

tjx0 eeE

xE

(23.18)

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212

EeeExE 2tjx

02

2

2

(23.19)

Pela equação (23.4) e considerando a parte negativa ou progressiva na equação (23.18) vem:

tjx0z eeEHj (23.20)

onde

tjx0z eeE

jH

(23.21)

ou ainda

tjx0z eeHH

(23.22) Pela igualdade

00 E

jH

(23.23)

ou

00 Hjj

jE

(23.24)

00 Hj

jE

(23.25)

Desta forma, a impedância intrínseca do meio, em ohms, é definida como sendo a relação complexa:

0

0

HE

(23.26)

Esta impedância intrínseca também pode ser escrita na forma polar onde:

(23.27)

Neste caso:

42

1

(23.28)

e:

2tg

(23.29)

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213

Exemplo 23.1 No espaço livre:

y3 a)xt(sen10)t,z(E

Obtenha )t,z(H

e , se a frequência é 95.5 MHz.

Solução O vetor E

está polarizado na direção y, e a

onda está se propagando na direção positiva de z. Portanto o resultado do produto vetorial

HE

deve estar na direção positiva de z. Para que isso ocorra, H

deve ter a orientação –âx.

xxaHH

42x

y

1HE

Como, no espaço livre, = 0,

)(1200

0

02tg

120E

H yx

x

3

a)zt(sen12010H

j

112

2

0112

112

2

112

1276 1085.8104105.952

m/rad2

0.2j

Exemplo 23.2 Uma onda eletromagnética propaga-se com frequência de 10 GHz em um meio com r = 2, = 1 S/m, r = 1. Sabendo-se que a onda propaga-se na direção de xa e que o vetor intensidade de campo

elétrico aponta na direção ya em t = 0. Determine as constantes , , , , e as expressões para E

e H

. Assuma E0 = 1 V/m. Solução

112

2

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214

11085.821028.6

112

1085.821041028.62

1210

12710

m/Np123

112

2

11085.821028.6

112

1085.821041028.62

1210

12710

m/rad71,320

mm2071,320

22

42

1

74,229

1085.821028,611

85.82104

4

2

1210

127

2tg

1210 1085.821028,612tg

o98.20

A onda se propaga na direção negativa de x. O vetor E está na direção negativa de y. Portanto o vetor H deve apontar na direção positiva de z.

y)xt(jx

0 aeeEE

m/Vaee0.1E y)x71,320t1028.6(jx123 10

z)xt(jx

0 aeeHH

0

0

HE

0

0EH

z)xt(jx0 aeeEH

m/Aee0044,0H )349.0x71,320t1028.6(jx123 10

x

y

z

E

H EH

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215

EXERCÍCIOS 1)-Determine em 500 kHz para um meio com r = 12 e = 0, e frequência de 1 MHz. Sob que

velocidade ocorrerá a propagação de uma onda eletromagnética nesse meio? 2)- Uma onda eletromagnética propaga-se no espaço livre com comprimento de onda de 0,50 m.

Quando a mesma onda penetra em um dielétrico perfeito, seu comprimento de onda varia para 1 m. Supondo que r

= 1, calcule r e a velocidade da onda no dielétrico. 3)- Uma onda eletromagnética propaga-se no espaço livre, com constante de defasagem de 0,524

rad/m. Entrando em um dielétrico perfeito, essa mesma onda passa a ter uma constante de defasagem de1,81 rad/m. Supondo que r = 1, ache r e a velocidade de propagação.

4)- Num meio quase condutor, r = 1000, r = 18,5 e =5.1 S/m. Calcule , , e a velocidade U para

uma frequência de 109 Hz. Calcule . )t,z(H

sabendo-se que:

xz a)ztcos(e50)t,z(E

5)- Calcule a constante de defasagem no cobre ( = 5,7107 S/m), para a frequência de 500 MHz.