Eletromagnetismo II – 1o Semestre de 2007 Noturno - Prof. Alvaro Vannucci

6a aula – 16/mar/2007

• Vimos, para dielétricos:

0

) Índice de refração:

; (cte. dielétrica)) Número de onda:

c

R

R

R

i n

ii K

εε

εω εε

=

= =

• Cálculo de e E B� �

a partir dos potenciais e Aϕ�

.

(1)

(2)

B A

AE

tϕ

= ∇×

∂= −∇ −

∂

�� �

�� �

• Desta forma, para as equações de Maxwell serem satisfeitas:

( )2

22

2

(3)

(4)

A

t

AA A J

t t

ρϕ

ε

ϕεµ εµ µ

∂ ∇ ⋅ −∇ − = ∂ ∂ ∂

−∇ + + ∇ ∇ ⋅ + = ∂ ∂

��

�� �� � �

• Como e Aϕ�

não definem univocamente e E B� �

, podemos então escolher “calibres” (gauges) adequados.

• Para o estudo de ondas eletromagnéticas, o gauge de Lorentz é mais indicado:

22

2

22

2

t

At A

A Jt

ϕ ρϕ εµ

ϕ εεµ

εµ µ

∂−∇ + =∂ ∂

∇ ⋅ = − ⇒ ∂ ∂−∇ + =

∂

���

� � e as eqs. para e Aϕ

� (3,4) ficam desacopladas.

• Outro caminho para se obter e Aϕ�

:

( )

( )0

0

'1( ) '

4 '

'( ) '

4 '

V

V

rr dV

r r

J rA r dV

r r

ρϕ

πε

µ

π

=

− = −

∫

∫

��

� �

� �� �

� �

≡≡≡≡ Potenciais retardados

dV’

•P

'r r−� �

r�

'r�

0

• Tempo retardado '

r

rt

c

rt

−= −

� �

(supondo o ponto P situado no vácuo).

• Temos agora que mostrar que os potenciais retardados são, de fato, soluções para as equações de onda (satisfazendo o gauge de Lorentz e as equações de Maxwell).

• Vamos iniciar calculando o gradiente da equação do potencial escalar:

0

1 1 1

4 ' ''

V

R R

Vdr r r r

ϕ ρ ρπε

≡ ≡

= +

− −

∇ ∇ ∇∫ � � � �

��� ���

� � � (5)

• Sendo que ( )', rr tρ ρ∇ = ∇� � �

= ',R

r tc

ρ

∇ −

� �; 'R r r= −

� �

• Assim, temos que: r r r

r r r

ti j k i j k

x y z x y

t

z

t

t t t

ρ ρ ρ ρ ρ ρρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂

� �� � � � � ⇒

⇒ rr

r rt t ti tj k

x y zρ ρρ

∂ ∂ ∂= + + =

∂ ∂ ∂ ∇ ∇�

�� ���

� ; rt

ρρ

∂=

∂�

• Mas, 1 1

'r

Rtt r r

ccR

c∇ − ∇ −

= ∇ − ∇= = −

� � � �� �

• Sendo que ( ) ( ) ( )2 2 2

' ' ' '

R

r r i j k x x y y z zx y z

=

∂ ∂ ∂∇ − = + + − + − + −

∂ ∂ ∂

�� � �� �

��������������� ⇒

⇒ 1

'2

r r∇ − =� � �

( ) ( ) ( )2 2 2

12

' ' 'x x y y z z

⋅− + − + −

( ) ( ) ( )( )' ' 'x x i y y j z z k− + − + −�� �

∴ ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )2 2 2

' ' '

' '

ˆ''

x x i y y j z z k

x x y y z z

Rr r R

R

− + − + −= = =

− + − + −∇ −

�� � �

�� �

.

• Seguindo o mesmo procedimento (veja apêndice 1): 2

ˆ1 R

R R

∇ = −

�.

• Então, a eq.(5) pode ser escrita:

20

ˆ1 1 ˆ '4 V

RR dV

c R R

ρϕ ρ

πε

∇ = − −

∫

� �.

• Calculando agora o divergente desta última equação, lembrando que ( ) 2ϕ ϕ∇ ⋅ ∇ = ∇� �

e

usando que ( ) ( )F F Fϕ ϕ ϕ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅� � � � � �

:

Aplicado às coordenadas sem linha.

( note que tr α R; R α r’ → tr α r’ )

�� �

22 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1'

4 Vii iv

iiii

R R R RdV

c R R R Rϕ ρ ρ ρ ρ

πε

∇ = − ∇ ⋅ + ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇

∫� � � �

� �

�����

(6)

• Sendo que os termos assinalados, do que já vimos antes:

i) 2

ˆ 1R

R R∇ ⋅ =�

(ver apêndice 2)

ii) 1 ˆ1

rtc

Rc

Rρ ρ ρ ρ

∇ = ∇ = − = −

∇� �� � � ��

�� � ;

2

2r

t

ρρ

∂=

∂��

iii) 32

ˆ4 ( )

RR

Rπδ∇ ⋅ =

� � Delta de Dirac:

( ) ( )30 0

3

( ); em todo o espaço.

( ) 1

f r r r dV f r

r dV

δ

δ

− =

=

∫

∫

� � � �

�

(já discutido no semestre passado, em eletromag. I)

iv) 1 1 ˆR Rc c

ρ ρ ρ∇ = − ∇ = −� �

� �

• Então a equação (6) fica:

22

0

1 1'

4dV

c R

ρϕ

πε∇ = − ∫

� 32

ˆ ˆ1 1 1ˆ ˆ' 4 ( ) ' .R R

R dV R dV RdVc c R R c

ρ π ρδ

− − ⋅ − − − ∫ ∫

���

∫

• Assim:

22

2 20

1 1 1'

4 4rRdV

c t

ρϕ

πε π

∂∇ = −

∂∫0

4πε

3'', ( ') '

r rr t r r dV

cρ δ −

− −

∫� �

� � � ⇒

⇒ ( ) ( )2

22 2

0 0

,

', ,

'

1 1'

4r

r

r t

r t r tdV

c r rt

ϕ

ρ ρϕ

πε ε

=

∂∇ = − ∂ −∫

�

� �

������� �

�

�

�

� �

.

• Ou seja:

( ) ( )( )2

22 2

0

,1, ,

r

r tr t r t

c t

ρϕ ϕ

ε

∂∇ = −

∂

�� �

• O mesmo procedimento pode ser utilizado para mostrar que A�

também satisfaz a equação diferencial correspondente (posso trabalhar com Ax, Ay, Az se for preciso).

≡ Equação diferencial

original (desacoplada)

Ponto P encontra-se no

vácuo Note que foi usado

�1

r r

t

t t t

=

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂

( )ˆ ˆ 1R R⋅ =

( )'substituo r r→� �

• Um fato interessante: se considerarmos os potenciais avançados:

( )

( )0

0

',1( ) '

4 '

',( ) '

4 '

V

V

aa

aa

r tr dV

r r

J r tA r dV

r r

ρϕ

πε

µ

π

=

− = −

∫

∫

��

� �

� �� �

� �

; sendo que '

a

r rt t

c

−+=

� �

.

• Veremos que eles também satisfazem as equações de Maxwell (gauge de Lorentz); mas são desconsiderados porque, a princípio, violam o “princípio da causalidade” (todo efeito deve ter uma causa).

Apêndices

1) ( ) ( ) ( )2 2 2

12'

1' 'i j k x x y y z z

x yR z

− ∂ ∂ ∂ = + + − + − + − ∂ ∂ ∂

∇

=�� ��

1

2= − ( ) ( ) ( )

2 2 2

3 3

32' ' ' . 2

R R

x x y y z z

− −

−

= =

− + − + −

����������������

( ) ( ) ( )3 3' 0 0 ' 'x x i y y j z z kR R− −

− + + − − − −

=�� �

( ) ( ) ( ) 3 23

1 1' ' '

Rx x i y y j z z k

R R R

R

R = − − + − + − = − = −

� ��� �

2) 2 2 2 2

ˆ x i y j z ki j k

x y z x y

R R

R zR

∂ ∂ ∂ + += = + + ⋅

∂ ∂ ∂ + + ∇ ⋅ ∇ ⋅ =

�� �

�� ��� �

2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y z

x x y z y x y z z x y z

∂ ∂ ∂=

∂ + + ∂ + + ∂ + + + +

mas, a componente x, por exemplo:

( ) ( )

2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 2. 2

xx x

x x y z x y z Rx y z x y z

∂ = + − = − ∂ + + + + + + + +

então, finalmente:

2 2 2

22

32

ˆ x y zR R

R RR

+ += = −∇ ⋅ ∇ ⋅

�� �

( )22 2 2x y z+ +

2 2 2

3 12

R R R= − =