eletromagnetismo i prof. dr. cláudio s. sartori - capÍtulo...

Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 1

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Campo Magnético

Introdução ao Magnetismo

A que se deve o magnetismo? Os antigos gregos já sabiam que algumas

rochas, procedentes de uma cidade da Ásia Menor chamada Magnésia, atraíam pedaços de ferro. Essas rochas eram formadas por um mineral de ferro chamado magnetita. Por extensão, diz-se dos corpos que apresentam essa propriedade que eles estão magnetizados, ou possuem propriedades magnéticas. Assim, magnetismo é a propriedade que algumas substâncias têm de atrair pedaços de ferro.

Figura 1 – Imantação por contato (a) e por influência (b). Força

de atração em ímãs (c) e entre ímãs e objetos que contém ferro (d).

(a) (b) (c)

(d)

Os ímãs: Ímã é um corpo formado de material

magnético. Os ímãs podem ser naturais, como a magnetita, ou artificiais, como o ferro doce (gusa) ou o aço aos quais tenham sido conferidas as propriedades atrativas da magnetita. Costumam ter a forma reta, de ferradura ou de agulha metálica (bússola). Os corpos podem ser magnetizados por diferentes métodos. Ao atritar um objeto de aço, sempre no mesmo sentido e com a mesma extremidade de um ímã, obtém-se um ímã por atrito. Se aproximarmos um ímã de uma agulha de costura, o ímã a atrairá, e a agulha, em seguida, atrairá limalhas de ferro. Nesse caso, ela se comporta como um ímã, mesmo separada do ímã primitivo. É que a agulha foi imantada por contato.

Os ímãs artificiais são permanentes ou temporários. Ímãs de aço são permanentes: mantêm a imantação mesmo depois de haver cessado a sua causa. Os ímãs de ferro são temporários, se desmagnetisa com o tempo.

A atração de um ímã sobre outros corpos é máxima nas extremidades e nula em sua parte central. As extremidades do ímã são os pólos, e o centro chamamos de linha neutra. Cada um dos pólos _ norte (N) e sul (S) _ é distinto. A maneira mais prática de reconhecê-los é aproximar uma bússola, cuja parte mais escura coincide com o pólo norte: este apontará para o pólo sul do ímã, enquanto a outra ponta da bússola, o pólo sul, se orientará para o pólo norte do ímã. Se permitirmos que a agulha da bússola se alinhe com o campo magnético terrestre, veremos que a parte escura da bússola (pólo norte) se orienta aproximadamente com o norte geográfico. Isto porque o Pólo Norte geográfico está próximo ao pólo sul magnético e vice-versa.


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Campo Magnético

Figura 2 – Orientação de uma bússula no campo magnético terrestre:

Campo magnético

Chama-se campo magnético de um ímã a

região do espaço onde se manifestam forças de origem magnética.Um ímã cria ao redor de si um campo magnético que é mais intenso em pontos perto do ímã e se enfraquece à medida que dele se afasta como o campo gravitacional.

Para representar graficamente um campo magnético, utilizam-se as linhas de força. Se colocarmos sobre um ímã, como o da figura a seguir, uma folha de papel com limalhas de ferro, estas se orientarão de acordo com o campo magnético. Na representação acima, por exemplo, as linhas de força são linhas imaginárias que reproduzem a forma como se alinharam as limalhas. O sentido das linhas, mostrado por uma ponta de seta, é escolhido de maneira arbitrária: saem do pólo norte e entram pelo pólo sul.

Eletromagnetismo

Os fenômenos elétricos e magnéticos possuem aspectos semelhantes. Em 1820, o físico dinamarquês Hans C. Oersted (1777-1851) demonstrou a relação existente entre eles. Aproximou uma bússola de um circuito de corrente contínua (ao que parece, acidentalmente) e observou como a agulha da bússola se desviava, colocando-se numa posição perpendicular à direção da corrente. Ao conectar os pólos do gerador ao contrário para mudar o sentido da corrente, a agulha também se desviava em sentido contrário. Dessa experiência, concluiu que: um condutor pelo qual

circula uma corrente elétrica gera um campo magnético.

Determinar o sentido das linhas de campo assim formadas, utiliza-se uma regra conhecida como regra da mão direita. Colocando-se a mão direita sobre o fio condutor, de modo que o polegar aponte no sentido da corrente convencional, os outros dedos dobrados fornecerão o sentido das linhas do campo magnético.

Figura 3 – Ilustração das linhas de campo magnético de

um ímã (a) e ímã em forma de U (b). (a) (b) Figura 4 – Ilustração da experiência de Öersted. Em (a)

não há corrente. Em (b) e (c) as correntes causam deflexões na bússula.


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Campo Magnético

Para visualizar o campo magnético gerado por um fio condutor retilíneo, a experiência é a seguinte: atravessa-se uma cartolina com um fio condutor ligado aos pólos de um gerador; espalham-se limalhas de ferro ao redor do fio e elas se orientam formando círculos concêntricos de acordo com as linhas de força. A mesma regra da mão direita, também conhecida como regra do saca-rolhas, é usada para determinar o sentido das linhas de força.. Imagine um saca-rolhas avançando. Para tanto, ele é girado num sentido. Se o sentido do avanço coincide com o sentido da corrente elétrica, então o sentido das linhas de força coincide com o sentido de giro do saca-rolhas. Disso se conclui: 1) Uma carga elétrica gera um campo elétrico; 2) Uma carga elétrica em movimento cria também um campo magnético; 3) Para expressar a existência dos dois campos, diz-se que a corrente elétrica gera um campo eletromagnético. O eletromagnetismo estuda as relações entre correntes elétricas e fenômenos magnéticos.

A fonte do campo magnético estacionário pode ser um imã permanente, um campo elétrico variando linearmente com o tempo ou uma corrente contínua. Vamos ignorar o imã permanente e deixar o campo elétrico variante no tempo para uma discussão posterior. Nossas relações atuais dizem respeito ao campo magnético produzido por um elemento diferencial de corrente contínua no espaço livre. Podemos imaginar este elemento diferencial de corrente como uma seção diminuta de um condutor filamentar, onde um condutor filamentar é o caso limite de um condutor cilíndrico de seção reta circular com o raio tendendo a zero. Consideramos uma corrente I fluindo em um vetor de comprimento diferencial dL do filamento. A lei de Biot-Savart' afirma que, em qualquer ponto P, a magnitude da intensidade do campo magnético produzido pelo elemento diferencial é proporcional ao produto da corrente pela magnitude do comprimento diferencial e pelo seno do ângulo entre o filamento e a linha que une o filamento ao ponto P onde se deseja conhecer o campo; ainda, a magnitude da intensidade de campo magnético é inversamente proporcional ao quadrado da distância do elemento diferencial ao ponto P.

A direção da intensidade do campo magnético é normal ao plano que contém o filamento diferencial e a linha desenhada a partir do filamento ao ponto P. Das duas normais possíveis, a escolhida deve ser aquela que está no sentido de progresso de um parafuso direito ao giramos a partir de áL através do menor ângulo até a linha do filamento a P. Usando as unidades do sistema mks, a constante de proporcionalidade é 1/4π.

A lei de Biot-Savart, descrita acima com cerca de 150 palavras, pode ser escrita concisamente usando a notação vetorial como:

32 44ˆ

RRlId

RalId

Hd R

ππ×

=×

=

Figura 5 – Ilustração da geometria para calcular o campo devido a um elemento de corrente. Ra

As unidades da intensidade do campo magnético H são evidentemente ampéres por metro (A/m). A geometria está ilustrada na Figura 4. Índices podem ser usados para indicar o ponto ao qual cada uma das grandezas em (l) se refere. Se localizarmos o elemento de corrente no ponto l e descrevermos o ponto 2 como o ponto P no qual o campo deve ser determinado, então:

212

''2 4

ˆ12

RaldI

Hd R

π×

=

Indução Magnética B:

Definimos o vetor indução por: HB 0µ= Aqui, µ0 é chamado de permeabilidade magnética do vácuo.

27

0 1044AN

mk −⋅== ππµ

Unidade: Tesla T Nikola Tesla: Nascido em 07/10, 1856 em Smiljan,

Lika (Áustria-Hungria) - janeiro em 7, 1943 em New York City, (EUA)

Treinando para uma carreira da engenharia, atendeu à universidade técnica em Graz, em Áustria, e na universidade de Praga. Em Graz que o viu primeiramente o dynamo do grama, que se operou como um gerador e, quando invertido, se transformou um motor elétrico, e conceived uma maneira usar a corrente alterna à


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Campo Magnético

vantagem. Mais tarde, em Budapest, visualizou o princípio do campo magnético girando e desenvolveu plantas para um motor de indução que se transformasse sua primeira etapa para a utilização bem sucedida da corrente alterna. Em 1882 Tesla foi trabalhar em Paris para os Continental Edison Companhia, e, quando na atribuição a Strassburg em 1883, construiu, em após-trabalhe horas, seu primeiro motor de indução. Tesla sailed para América em 1884, chegando em york novo, com quatro centavos em seu bolso, em alguns de seus próprios poemas, e em cálculos para uma máquina do vôo. Encontrou primeiramente o emprego com Thomas Edison, mas os dois inventores eram distantes distantes no fundo e nos métodos, e sua separação era inevitável. Em maio 1885, George Westinghouse, cabeça do Westinghouse Elétrico Companhia em Pittsburgh, comprou as direitas de patente ao sistema polifásico de Tesla de dynamos, de transformadores, e de motores da corrente alternada. A transação precipitated um esforço titanic do poder entre sistemas de Edison de corrente contínua e a aproximação da corrente alternada de Tesla-Tesla-Westinghouse, que ganhou eventualmente para fora. Tesla estabeleceu logo seu próprio laboratório, onde sua mente inventive poderia ser dada a rédea livre. Experimentou com os shadowgraphs similares àqueles que deviam mais tarde ser usadas por Wilhelm Röntgen quando descobriu raios X em 1895. As experiências incontáveis de Tesla incluíram o trabalho em uma lâmpada da tecla do carbono, no poder do resonance elétrico, e em vários tipos de lighting. Tesla deu exhibitions em seu laboratório em que iluminou lâmpadas sem fios permitindo que a eletricidade corra através de seu corpo, para allay medos da corrente alterna. Foi convidado frequentemente lecture no repouso e no exterior. A bobina de Tesla, que inventou em 1891, é usada extensamente hoje em jogos do rádio e de televisão e no outro equipamento eletrônico. Que ano marcado também a data do citizenship unido dos estados de Tesla. Westinghouse usou o sistema de Tesla iluminar a exposição columbian do mundo em Chicago em 1893. Seu sucesso era um fator em ganhá-lo o contrato para instalar a primeira maquinaria do poder nas quedas de Niagara, que furam números do nome e da patente de Tesla. O projeto carregou o poder ao búfalo por 1896. Em Tesla 1898 anunciado sua invenção de um barco teleautomatic guiado pelo controle remoto. Quando o skepticism foi exprimido, Tesla provou suas reivindicações para ele antes de uma multidão no jardim quadrado de Madison. Em Colorado salta, Colo., onde permaneceu de maio 1899 até 1900 adiantado, Tesla feito o que considerou como sua descoberta mais importante -- ondas estacionárias terrestrial. Por esta descoberta provou que a terra poderia ser usada como um condutor e seria tão responsiva quanto uma forquilha ajustando às vibrações elétricas de alguma freqüência. Também iluminou 200 lâmpadas sem fios de uma distância de 25 milhas (40 quilômetros) e criou o relâmpago sintético, produzindo os flashes que medem 135 pés (41 medidores). Em uma vez estava certo que tinha recebido sinais de um outro planeta em seu laboratório de Colorado, uma reivindicação que fosse encontrada com com o derision em alguns jornais científicos. Retornando a york novo em 1900, Tesla começou a construção no console longo de uma torre transmitindo do mundo wireless, com o capital $150.000 do financeiro americano J. Pierpont Morgan. Tesla reivindicou-ele do fixou o empréstimo atribuindo 51 por cento de suas direitas de patente o telephony e o telegraphy a Morgan. Esperou fornecer uma comunicação worldwide e fornecer facilidades para emitir retratos, mensagens, avisos do tempo, e os relatórios conservados em estoque. O projeto foi abandonado por causa de um pânico financeiro, de uns problemas labour, e de uma retirada de Morgan da sustentação. Era a derrota a mais grande de Tesla. O trabalho de Tesla deslocou então to as turbinas e os outros projetos. Por causa de uma falta dos fundos, suas idéias remanesceram em seus cadernos, que são examinados ainda por coordenadores para indícios unexploited. Em 1915 foi decepcionado severamente quando um relatório que e Edison deviam compartilhar do prêmio de Nobel provou errôneo. Tesla era o receptor da medalha em 1917, a honra a

mais elevada de Edison que o instituto americano de coordenadores elétricos poderia bestow. Tesla permitiu-se somente alguns amigos próximos. Entre eles eram os escritores Robert Underwood Johnson, marca Twain, e Francis Marion Crawford. Era completamente pouco prático em matérias financeiras e em um excêntrico, dirigido por compulsions e por um phobia progressivo do germe. Mas teve uma maneira intuitively de detetar segredos científicos escondidos e de empregar seu talent inventive para provar suas hipóteses. Tesla era um godsend aos repórteres que procuraram a cópia do sensational mas um problema aos editores que eram incertos como seriamente seus prophecies futuristic devem ser considerados. O criticism cáustico cumprimentou seus speculations a respeito de uma comunicação com outros planetas, suas afirmações que poderia rachar a terra como uma maçã, e sua reivindicação de ter inventado um raio da morte capaz de destruir 10.000 aviões em uma distância de 250 milhas (400 quilômetros). Após a morte de Tesla o curador da propriedade estrangeira impounded seus troncos, que prenderam seus papéis, seus diplomas e outras honras, suas letras, e suas notas do laboratório. Estes foram herdados eventualmente pelo nephew de Tesla, Sava Kosanovich, e abrigados mais tarde no museu de Nikola Tesla em Belgrado. As centenas arquivaram na catedral da cidade de york novo de St. John o divine para seus serviços funeral, e uma inundação das mensagens reconheceu a perda de um gênio grande. Três receptores premiados de Nobel dirigiram-se a seu tributo a "um dos intellects proeminentes do mundo que pavimentou a maneira para muitos dos desenvolvimentos technological de épocas modernas." (I.W.H.)

Invenções: transformador um repetidor do telefone, um princípio girando do campo magnético, um sistema polifásico da corrente alternada, um motor de indução, uma transmissão de poder da corrente alternada, de uma bobina de Tesla, uma comunicação wireless, rádio, luzes fluorescentes, e mais de outras 700 patentes.

Hans Christian Oersted agosto nascido 14, 1777, Rudkøbing,

Dinamarca - março 9, 1851, Copenhaga Hans Christian Oersted nasceu na Dinamarca,

era filho de um farmacêutico e estudou Filosofia na Universidade de Copenhague. Depois de viajar pela Europa, retomou àquela universidade e ali trabalhou como professor e pesquisador, desenvolvendo várias pesquisas no campo da Física e da Química.


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Campo Magnético

Exemplo 1 - Dados os seguintes valores para P1, P2, e I1∆l1, calcular ∆H2 em: (a) P1(0, 0, 2) e P2( 4, 2, 0) 2pazµA/m. (b) P1(0, 2, 2) e P2( 4, 2, 3) 2pazµA/m. (c) P1(1, 2, 3) e P2( 3, -1, 2)

2p(-ax+ay+az )µA/m.

(a) P1(0, 0, 2) e P2( 4, 2, 0) 2pazµA/m. zyx aaaPPR ˆ2ˆ2ˆ41212 −+=−=

( ) 24224 2221212 =−++== RR

zyxR aaaRRa ˆ

242ˆ

242ˆ

244ˆ

12

1212

−+==

212

''2 4

ˆ12

RaldI

Hd R

π×

=

( )22244

ˆ242ˆ

242ˆ

244ˆ2

π

πµ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+×

=zyxz aaaa

Hd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= xy aaHd ˆ

242ˆ

244

482µ

( )mnAaaHd yx ˆ01,17ˆ05,82 +−= Exemplo 2 – Um filamento de corrente conduzindo 15A na direção z está situado ao longo do eixo z. Determine H em coordenadas cartesianas se: (a) PA( 20 , 0, 4);

(b) PB( 2, -4, 0).

32 44ˆ

RRlId

RalId

Hd R

ππ×

=×

=

zazr ˆ′=′

zx aar ˆ4ˆ20 +=

zx azarrR ˆ)4(ˆ20 ′−+=′−=

( ) 22)4(20 zR ′−+=

2)4(20 zR ′−+=

zazdlId ˆ15 ′=

34 RRlIdHd

π×

=

( )( )

( )( ) 2324204

ˆ4ˆ20ˆ15

z

azaazdHd zxz

′−+

′−+×′=

π

( )( ) ya

z

zdHd ˆ4204

2015232′−+

′=

π

( )( ) ya

z

zdH ˆ4204

2015232∫

+∞

∞− ′−+

′=

π

yaz

zdH ˆ

204120

42015

23223

∫+∞

∞−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−+

′=

π

yaz

zdH ˆ

2041

202042015

232∫+∞

∞−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−+

′=

π

Chamando:

θθ tgzztg 20420

4−=′⇒

′−=

θθdzd 2sec20−=′

( ) yatg

dH ˆ1

sec2016

3232

2

∫+∞

∞− +

−=

θ

θθπ

( ) yadH ˆsecsec

16203

232

2

∫+∞

∞−

−=

θ

θθπ

yadH ˆsec

sec16

2033

2

∫+∞

∞−

−=

θθθ

π

yadH ˆsec16

203∫+∞

∞−

−=

θθ

π

yadH ˆcos16

203∫+∞

∞−

−= θθ

π

yzz asenH ˆ

16203 +∞=′

−∞=′−

= θπ

Como:

θθ 2cos1−=sen

θθ 21sec tg+=

θ

θ21

1costg+

=


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Campo Magnético

θ

θ 2111tg

sen+

−=

θ

θθ21 tg

tgsen+

=

204 ztg

′−=θ

yaz

z

H ˆ

2041

204

16203

2

+∞

∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−+

′−−

=π

yaz

zH ˆ)4(20

416

2032

+∞

∞−′−+

′−−=

π

yzz

az

zz

zH ˆ)4(20

4)4(20

416

20322 limlim⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

′−+

′−−

′−+

′−−=

−∞→′+∞→′π

[ ] yaH ˆ1116

203−−

−=

π

yaH ˆ16

206π

=

yaH ˆ4

53π

=

mA

yaH ˆ53,0= Campo magnético gerado por um condutor

circular Um condutor de forma circular chama-se

também espira. Pode-se comprovar experimentalmente que as linhas de força são como as descritas para o condutor reto em cada uma das interseções do condutor com o plano perpendicular ao eixo.

Uma espira, figura ao lado, se comporta como um pequeno ímã Figura 6 – Ilustração da regra da mão direita .

Se observarmos sua face dianteira, comprovaremos que todas as linhas entram por ela. Como nos ímãs, diremos que é a face sul e a corrente circula no mesmo sentido que os ponteiros do relógio. A face posterior será a face norte. Dela saem as linhas de força e a corrente circula no sentido contrário aos ponteiros do relógio.

Outra regra prática para reconhecer os pólos de uma espira consiste em desenhar um N ou um S; as pontas de seta das extremidades das letras indicam o sentido da corrente.

Solenóides

Se em vez de uma única espira pegarmos um

fio condutor, de cobre, por exemplo, e o enrolarmos em espiral formando um conjunto de espiras iguais e paralelas e nele estabelecermos uma corrente elétrica, obteremos um solenóide ou bobina.

Figura 7 – Solenóide. O solenóide comporta-se, em seu exterior,

como um ímã reto, com seus dois pólos. Do pólo norte saem as linhas de força que

retornam ao solenóide por seu pólo sul e, em seu interior, elas se fecham deslocando-se de sul a norte. Diferentemente do que ocorre num ímã reto, somando-se todos os efeitos das espiras gera-se, no interior da bobina, um campo magnético muito intenso e uniforme.


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Campo Magnético

Em seu interior, a agulha de uma bússola se orienta paralelamente ao eixo da bobina.

Da mesma forma que um ímã, o solenóide atrairá objetos de ferro. Assim, se o pendurarmos para que possa girar livremente, ele se orientará no campo magnético da Terra como uma agulha magnética.

Os solenóides exercem uns sobre os outros forças de atração e repulsão como as que existem entre os ímãs.

Eletroímãs Se colocarmos uma barra de ferro chamada

núcleo no interior de um solenóide, teremos um eletroímã. Com a passagem da corrente, o conjunto age como um poderoso ímã. O aumento do campo magnético acontece porque o ferro doce imanta-se, por estar no campo magnético produzido pelo solenóide, e produz seu próprio campo magnético, que é somado ao do solenóide. Ao cessar a passagem da corrente, o campo magnético do solenóide desaparece. Daí por que o eletroímã é um ímã temporário. Os eletroímãs têm muitas aplicações no dia-a-dia como nas campainhas elétricas. Figura 8 – Esquema de uma campainha. No esquema de uma campainha elétrica percebe-se seu funcionamento. Com o circuito aberto, não passa corrente e o eletroímã não atua. Ao fechar o circuito com um aperto do botão, a corrente passa a circular por ele, acionando o eletroímã que atrai a vareta metálica que golpeia a campainha. Assim, o circuito se abre, cessa a atração e a vareta metálica volta à sua posição inicial, fechando novamente o circuito. O processo se repetirá enquanto o interruptor estiver apertado.

Correntes induzidas e correntes alternadas

Uma corrente elétrica produz magnetismo. O

efeito contrário é possível? O físico inglês Michael Faraday demonstrou que sim. Em determinadas condições, um campo magnético gera corrente elétrica: ele ligou uma bobina a um amperímetro e, ao introduzir rapidamente um ímã na bobina, o amperímetro assinalava passagem de corrente. É a indução eletromagnética. Um ímã em movimento gera uma corrente elétrica em um fio condutor: é a corrente induzida. Se em vez de introduzir o ímã o retirarmos, a corrente assume o sentido inverso. Se aproximarmos ou afastarmos a bobina em vez do ímã, o resultado será idêntico. A aplicação mais importante da indução é a produção de corrente elétrica. Se fizermos girar a espira no interior do campo magnético do ímã, produz-se uma corrente induzida.

Conforme a figura, a cada meia-volta da espira, a corrente muda de sentido: é uma corrente alternada. Os alternadores, componentes do sistema elétrico dos carros, são geradores de corrente alternada. Funcionam com base na descoberta de Faraday. Modificações na montagem dos coletores e escovas (contatos entre a espira móvel e o circuito no qual vai circular a corrente induzida) podem originar os geradores de corrente contínua, como são os dínamos de bicicletas.

Linhas de Força do campo Magnético

A figura abaixo mostra a disposição de limalhas de ferro colocadas em um papel próximo a um ímã. As linhas de força estão mostradas na figura abaixo. Veja a situação em que há dois pólos iguais (repulsão) e dois pólos diferentes (atração).

Figura 9 – Linhas de força do campo magnético de um ímã com pólos iguais (a) e pólos opostos (b). (b)


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Campo Magnético

(a) (b) Figura 10 – Partículas espiralando (a) no campo magnético terrestre (b).

O campo Magnético Terrestre:

Há no interior do Planeta, um movimento de magma complicado, constituído de diversos elementos derretidos a altas temperaturas, que atuam como se fossem um magneto, com o pólo norte magnético aproximadamente próximo ao pólo Sul geográfico e o pólo sul magnético aproximadamente próximo ao pólo Norte Geográfico. A figura ilustra o campo magnético Terrestre.

O momento de dipolo magnético terrestre, tem um valor aproximadamente de 8,0.1022 J/T. O eixo do dipolo faz um ângulo de aproximadamente 11,50 com o eixo de rotação Terrestre. Devido às aplicações em navegação, o campo magnético Terrestre tem sido estudado por vários anos. As quantidades de interesse, são a magnitude e direção do campo terrestre em diferentes localidades. Estudos mostram que há reversão na polaridade aproximadamente a cada milhão de anos. A interação com partículas provenientes do chamado vento solar (prótons, elétrons provenientes de explosões solares), com o campo magnético terrestre, provoca modificações espaciais na forma do campo magnético Terrestre. As partículas são armazenadas no campo magnético Terrestre, formando os chamados cinturões de radiação de Van Allen, que estão acima da atmosfera Terrestre, entre os pólos norte e sul magnéticos. As partículas são armadilhadas nesses cinturões, e nas regiões próximas aos pólos Norte e Sul Geográficos, como as linhas de campo são mais intensas, estando a uma altitude mais baixa, cerca de 100 km, as partículas chocam-se com as moléculas de N2 e a átomos de O, gerando luz de cores rosa e verde, respectivamente. Tal fenômeno é chamado de aurora boreal. Figura 11 – Componentes do campo magnético terrestre (a) e aurora boreal (b). (a) (b)


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Campo Magnético

Figura 12 – O vento Solar.

• Cinturões de radiação – Texto extraído de: www-spof.gsfc.nasa.gov/Education/Iradbelt.html

Radiation Belts

Figura 13 – Trajetória de partícula aprisionada pelo campo

magnético terrestre.

O movimento de íons energéticos e elétrons no espaço é regido fortemente pelo campo magnético local. O movimento básico é a rotação das linhas de campo magnético em fileira, enquanto deslizando ao mesmo tempo ao longo dessas linhas, dando para as partículas uma trajetória espiral.

Em linhas de campo típicas, volta-se para a Terra até o final das linhas, e tal movimento conduz as partículas a seguir na atmosfera onde elas colidiriam e perderiam a energia. Porém, uma característica adicional de movimento apanhado normalmente impede isto de acontecer: o movimento corrediço reduz a velocidade como os movimentos de partícula em regiões onde o campo magnético é forte, pode parar e até mesmo inverter o movimento. É como se as partículas fossem repelidas de tais regiões, um contraste interessante com ferro para o qual é atraído onde o campo magnético é forte.

A força magnética é muito mais forte perto da Terra que longe, e em qualquer linha de campo está maior nos fins onde a linha entra na atmosfera. Assim elétrons e íons podem permanecer apanhados por muito tempo e podem saltar de um lado para outro de um hemisfério para o outro (veja quadro acima, não escalar a espiral atual, que se encontra muito perto de Terra).

Deste modo a Terra se agarra a seus cintos de radiação.

Além de espiralar e saltar, as partículas apanhadas também lentamente vão de uma linha de campo para outra, indo todo o modo gradualmente ao redor de Terra. Íons acumulam um modo (à direita, do norte), elétrons o outro, e em qualquer movimento, a carga de elétricas é equivalente a uma corrente elétrica que circula a Terra à direita.

Isso é a corrente de anel denominada cujo campo magnético debilita o campo ligeiramente observada em cima da maioria da superfície da Terra.

http://www.spof.gsfc.nasa.gov/Education/Iradbelt.html


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Campo Magnético

Durante tempestades magnéticas a corrente de anel recebe muitos íons adicionais e elétrons do lado escuro " forma fileira " da magnetosfera e seu efeito aumenta, entretanto, à superfície da Terra, sempre é um efeito muito pequeno e raramente excede só 1% da intensidade de campo magnética total.

• Descoberta do Cinto de Radiação

Antes de 1958 os cientistas estavam bastante

atentos em íons e elétrons que pudessem ser apanhados pelo campo magnético da Terra, mas não se comprovou de fato se tais partículas existiram. No máximo foi proposto que durante tempestades magnéticas uma população apanhada temporária criava um anel atual e se deteriora novamente com o final da tempestade.

Os anos 1957-8 foram designados como o " Ano " Geofísico Internacional (IGY), e o EUA e a União Soviética (a Rússia) prepararam lançamentos de satélites artificiais. A Rússia prosperamente conseguiu colocar em órbita seu primeiro satélite Sputnik em 4 de outubro de 1957, mas o satélite dos EUA, Vanguard, falhou em seu lançamento, retardando assim a entrada oficial dos EUA. Os EUA construíram um foguete alternativo que levava um satélite diferente, o Explorer 1, pequeno e construído por James Van Allen e o time dele na Universidade de Iowa. Rapidamente foi lançado 31 janeiro, 1958. Lançamento do Explorer 1

Figura 14 – Lançamento do Explorer 1. O Explorer 1 levava um instrumento, um

detector pequeno de partículas energéticas, um contador Geiger projetado para observar raios cósmicos (íons de energia muito alta e de origem desconhecida, chegando a Terra do espaço). A experiência se realizou muito bem a baixas altitudes, mas ao topo da órbita não foi contada nenhuma partícula. O Explorer 3 que seguiu dois meses depois gravou em fita um registro contínuo de dados que revelaram que as contas 0 na verdade representaram um nível muito alto de radiação. Tantas partículas energéticas bateram no contador às altitudes mais altas que seu modo de operação foi subjugado e nada registrou. Não só era estava presente o cinto de

radiação a todo o momento, como era notavelmente intenso.

• Os Cinturões de Radiação da Terra

A Terra tem duas regiões de partículas rápidas

apanhadas. O cinto de radiação interna descoberto por Van Allen é relativamente compacto e estende talvez um raio de Terra sobre o equador (1 RT = 6371 km ou aproximadamente 4000 milhas). Consiste de prótons muito energéticos, um subproduto de colisões por íons de raios cósmicos com átomos da atmosfera. O número de tais íons é relativamente pequeno, e o cinto interno acumula lentamente, mas porque apanhando perto de Terra são alcançadas intensidades muito estáveis, bastante altas, embora a formação deles possa ocupar anos.

Mais para fora é a região grande do anel atual e contém íons e elétrons de muita mais baixa energia (o mais enérgico entre eles também conhecido como o " cinto " de radiação exterior). Distinto o cinto interno, esta população flutua amplamente e sobe quando tempestades magnéticas injetam partículas frescas do rabo do magnetosfera e caem gradualmente. O anel de energia atual é principalmente levado pelos íons, a muitos dos quais são prótons.

Porém, há também no anel partículas alfa (que são núcleos de átomos de hélio, que perdeu os dois elétrons), um tipo de íon que é abundante na radiação proveniente do vento solar; uma certa porcentagem é a de íons de O+ (oxigênio), semelhante aos que existem na ionosfera da Terra, entretanto, muito mais energético. Esta mistura de íons sugere que as partículas do anel provavelmente vêm de mais de uma fonte.

Energia e Partículas Energéticas Energia é a moeda corrente na quais processos

naturais devem ser custeados: acelerar movimentos, virar uma máquina, para fazer o sol lustrar ou dirigir uma corrente elétrica por um arame, uma quantidade de energia é necessária. Uma lei fundamental de estados da natureza é a que diz que a energia nunca desaparece, só muda sua forma: por exemplo, pode ser convertida a energia de luz solar em eletricidade por uma célula solar, ou a energia do vento é convertida por um moinho de vento.

Fenômenos do espaço envolvem energia em duas balanças muito diferentes. Uma balança envolve a energia de íons individuais e elétrons que freqüentemente movem a uma fração respeitável da velocidade de luz (um limite superior que eles nunca podem alcançar). Quanto mais rápido a partícula se move, mais alto sua energia e maior é a espessura de material necessário para detê-las. As Energias de partículas gostam estes são medidas em elétrons-volt (eV): elétrons da aurora têm 1000-15,000 eV, prótons


11

Campo Magnético

no cinto interno talvez 50 milhões de eV, enquanto a energia de íons de raio cósmicos podem alcançar muitos bilhões. Em contraste, moléculas de ar na atmosfera só têm aproximadamente 0.03 eV, elevando o que poderia ser a pergunta mais fundamental em pesquisa de espaço: como algumas partículas adquirem tanta energia?

A outra balança é um fenômeno espacial global: tempestades magnéticas, nas regiões boreais exibem correntes elétricas que unem Terra e espaço. Quem caminha a conta de energia ? A fonte principal de energia parece ser o vento solar, mas a maneira pelos quais esta energia é transportada e é distribuída na magnetosfera não são contudo completamente claro.

• Órbita síncrona

Provavelmente o maior número de satélites operacionais, mais que 200, habitam a órbita síncrona denominada, uma órbita circular sobre o equador da Terra com um rádio de 6.6 RT (raio de Terra), aproximadamente 42,000 km ou 26,000 milhas.

A aceleração orbital de qualquer satélite depende de sua distância da Terra. Em uma órbita circular fora da atmosfera densa, um satélite precisa de só 90 minutos para uma órbita completa, mas satélites mais distantes movem mais lentamente, e a um rádio de 6.6 RT o período está perto de 24 horas e emparelha o período de rotação da Terra. Um satélite a esta distância, sobre o equador, sempre fica sobre a mesma mancha na Terra, e quando se vê da Terra (diga-se, por uma TELEVISÃO) sempre está na mesma direção no céu.

Isto faz a órbita síncrona o lugar perfeito para satélites dedicados a comunicações e para radiodifusão, e também é usado para monitorar o tempo no mundo inteiro, por exemplo, pelo VAI série de satélites de NOAA (Administração Oceânica e Atmosférica Nacional). A órbita síncrona também é útil para trabalhos científico, porque mapeia totalmente o anel da magnetosfera “noite da Terra”.

Lei de Lorentz e Movimento de uma

partícula na região de um campo magnético Uniforme. Uma carga em movimento quando em uma região onde atua um campo elétrico E e um campo magnético B está sujeita à chamada força de Lorentz:

BvqEqF ×+= O sentido da força F é dado pela regra da mão esquerda (para carga q positiva): INDICADOR NO SENTIDO DE B, O DEDO MÉDIO NO SENTIDO DE v E O POLEGAR DARÁ O SENTIDO E DIREÇÃO

DE F. Quando a carga q é negativa , o sentido é ao contrário. Escreve-se a força magnética BvqFm ×=

zyx

zyxm

BBBvvvkji

qF

ˆˆˆ

=

Onde aqui, kvjvivv zyxˆˆˆ ++= e

kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=

θsenBvqF = , onde θ é o ângulo entre

v e B . Nos exemplos abaixo indicamos diversas

situações onde uma partícula de carga q penetra na região de um campo magnético B, com velocidade v, dando a força F que aparece.

Exemplo 3 – Campo entrando no campo do papel : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔−==

F B + + j v i k

Exemplo 4 – Campo entrando, carga negativa

: jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ −=⇔−==

F B - - j v i k

Exemplo 5 – Campo saindo,carga positiva : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ −=⇔==

F B + + j v i k

Exemplo 6 – Campo saindo,carga positiva :

jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔==

F B - - j v i k


12

Campo Magnético

Exemplo 7 – Campo saindo,carga positiva :

jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔=−=

F B + + j i v k

Exemplo 8 – Campo saindo,carga negativa :

jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ −=⇔=−=

F B - - j i v k

Exemplo 9 – Campo entrando no campo do

papel : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔−=−=

F B + + j i v k

Exemplo 10 – Campo entrando, carga negativa : qvBiFkBBjvv =⇔−== ˆ,ˆ

F B - - j i v k

Exemplo 11 – Campo entrando no campo do papel, carga negativa:

iqvBFkBBjvv ˆˆ,ˆ =⇔−==

B v - j F i k

Exemplo 12 – Campo entrando no campo do papel, carga positiva:

iqvBFkBBjvv ˆˆ,ˆ −=⇔−=−=

B v - j F k i

Exemplo 13 –Partícula com carga positiva entrando no campo do papel:

jqvBFiBBkvv ˆˆ,ˆ −=⇔=−= B F

Exemplo 14 –Partícula com carga negativa entrando no campo do papel:

jqvBFiBBkvv ˆˆ,ˆ =⇔=−= F B Quando a partícula penetra numa direção v qualquer, somente a componente perpendicular ao campo causará a força magnética. Então é necessário decompor a velocidade nas componentes perpendicular e paralela ao campo:

//vvv += ⊥ Observe que uma partícula carregada que entra numa região de campo magnético uniforme não sofre atuação de força magnética. Uma partícula neutra também não sofre atuação de força nenhuma.

A figura ilustra uma partícula entrando numa direção qualquer.

Figura 15 – Componentes da velocidade (a) e movimento de uma partícula numa região onde há um campo eletromagnético (b) e (c).


13

Campo Magnético

Quando uma partícula carregada penetra na região de um campo magnético uniforme, ela descreve um movimento circular uniforme na região de campo magnético uniforme, como mostra a figura a seguir.

Figura 16 – Movimento de uma partícula carregada numa região de campo magnético uniforme.

Assim, a resultante centrípeta é a força magnética:

qBmvRqvB

RvmFcp =⇒==

2

R é o raio da órbita. Se quisermos calcular o período:

qBmTqB

Rvm

TRv ππ 22

=⇒=⇒=

A freqüência desse movimento é: m

qBfT

fπ2

1=⇒=

Figura 17– Dispositivo de Thomson para determinar a razão e/m de um raio catódico (a) mostrando os campos B e E cruzados; dispositivo original usado por Thomson (b).

Figura 18 – O espectrômetro de massa de Bainbridge utiliza um seletor de velocidades para produzir partículas com velocidade constante v. Na região de campo magnético, as partículas com maiores velocidade produzem trajetórias de raios maiores.

Existem aparelhos com aplicações em alta

Tecnologia, como Cyclotrons e Sincrotrons. Tais aparelhos sofisticados produzem partículas a altas velocidades com objetivo de provocar radiação por meio da desaceleração dessas articulas. A interação dessa radiação com a matéria é de fundamental importância para estudar as propriedades físicas e químicas de novos materiais.

Figura 19 – O Cyclotron (a) e o Cern (b). O Fermilab (c)

e o LNLS (d)

(a)


14

Campo Magnético

(b) (c) O círculo maior mostra o Supercondicting Super Collider (SSC) em uma foto de satélite de Washington DC. O círculo intermediário é o acelerador europeu CERN na Suíça e o círculo menor corresponde às dimenões do acelerador Fermilab.

(d) O Laboratório Nacional de Luz Síncrotron (LNLS)

oferece a cientistas condições excepcionais para realizarem pesquisas com nível de competitividade mundial.

Vimos que a corrente elétrica, na experiência

de Oersted, provoca o aparecimento de um campo magnético que circula o fio, cujo sentido e direção e é dado pela regra da mão direita REGRA DA MÃO DIREITA: Polegar no sentido de I e vetor indução B saindo da palma da mão. Lembrando que cargas que atravessam um comprimento L de um fio num intervalo de tempo definem a corrente elétrica, na expressão

BILBt

LqqvBF =∆

== . Podemos representar um

elemento de força magnética em um elemento de fio dl dado por:

BlIdFd ×=

Aqui, ld aponta para o sentido convencional da corrente I (contrário ao real, do movimento dos elétrons). Analisando o elemento de vetor indução magnética Bd ,devido a esse elemento de fio Idl, Ampére deduziu a seguinte equação, também chamada de Lei de Biot-Savart:

20 ˆ

4 rrlIdBd ×

=πµ

Essa equação é análoga à Lei de Coulomb, para o caso da eletricidade.

Aqui, µ0 é chamado de permeabilidade magnética do vácuo.

27

0 1044AN

mk −⋅== ππµ

Podemos escrevê-la também com a definição do vetor campo magnético H:

2

ˆ14

RIdl adHrπ×

=

Onde: ˆR

r rar r

′−=

′−

Aqui, os vetores: r : é orientado do elemento de corrente Idl até

o ponto P onde queremos calcular o campo H. r′ : é orientado da origem O do sistema de

coordenadas ao elemento de corrente Idl. Combinando a Lei de Biot-Savart com a

expressão da força sobre um elemento de corrente num campo magnético, podemos escrever uma equação da força exercida por uma corrente elementar sobre outra. A força sobre o elemento de corrente I2dl2 exercida pelo elemento I1 dl1 é dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××= 2

112212

ˆr

rldIkldIFd m

Esta relação diz que: A força exercida pela corrente elementar 1 sobre o elemento 2 não é igual e oposta à força exercida pelo elemento 2 sobre o elemento 1. As forças não obedecem à Lei de Newton de Ação e Reação. Na maioria das situações as correntes elementares são partes de um circuito completo, existindo forças sobre eles de outros elementos do circuito. A análise da força total exercida sobre um circuito pelo outro mostra que esta força obedece à terceira Lei de Newton.


15

Campo Magnético

Uma semana depois de ter ouvido falar da descoberta de Oersted sobre o efeito da corrente em uma agulha imantada, Ampére descobria que duas correntes paralelas se atraíam quando tinham a mesma direção e sentido e duas correntes opostas se repeliam. Podemos calcular a força de um condutor sobre outro por meio da equação:

Escrevemos:

2112112212 BlIFBlIF ×=⇔×= . Assim:

rlIIk

BlIF m 22112212

2=×=

rIIk

lF m 21

2

2 2=

Figura 20 – Força sobre uma carga positiva se movendo em um condutor que transporta corrente.

Figura 21 – Força magnética F sobre um elemento de fio l que transporta uma corrente I,

Figura 22– (a) Os três vetores indução magnética B, força magnética F e elemento l que transporta uma corrente. (b) Se o sentido de B se inverte, o mesmo ocorre com o sentido de F. (c) Invertendo o sentido da corrente, l se inverte e a força F retorna ao sentido de (a).


16

Campo Magnético

Figura 22 – Componentes de um alto falante (a). O ímã permanente cria um campo magnético que exerce uma força sobre a bobina do alto falante; para a corrente I no sentido indicado, a força está indicada. Quando uma corrente elétrica oscilante percorre a bobina do alto falante, o cone ligado à bobina oscila com a mesma freqüência (b).

Figura 23 – Força magnética entre dois fios percorridos por uma corrente.

Definição do Ampére: Quando dois condutores retilíneos e

paralelos, estão separados por uma distância de um metro, são percorridos por duas correntes iguais, a intensidade de cada uma é um ampére, quando a força por unidade de comprimento dos condutores é de 2 . 10-7 Newtons por metro.

Quando os fios são percorridos por correntes em sentidos opostos.

A Lei de Ampére

Observamos que as linhas de indução de

campo de uma corrente retilínea eram circulares em torno de um condutor. Essas linhas são completamente diversas das de qualquer campo elétrico que encontramos. O campo elétrico é conservativo. O trabalho realizado por uma carga elétrica puntiforme de prova quando ela desloca um círculo no campo é nulo. Esse trabalho é igual, por unidade de carga, à E .dl ao longo da trajetória. A integral de linha do campo eletrostático sobre qualquer trajetória é nula, pois o campo é conservativo:

∫ =⋅ 0ldE

Porém a soma de B.dl ao longo da trajetória não é em geral nulo. Se fizermos essa soma ao longo de uma trajetória circular, em torno de uma corrente retilínea, o vetor indução magnética B é sempre tangente à trajetória. Então B.dl é sempre positivo se percorremos a trajetória no sentido de B. Sendo a indução paralela a dl e tendo grandeza constante, teremos:

IldBC

0µ=⋅∫

Essa relação é conhecida como Lei de Ampére:


17

Campo Magnético

ILdH

C

=⋅∫

O eorema de Stokes é: t ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇

CS

ldHSdH

Como: ∫∫ ⋅=S

SdJI

HJ ×∇= Exemplo 15 - Para um fio condutor percorrido

por uma corrente I, o campo em um ponto P a uma distância r do

fio é dado por:

rI

Bπµ2

0=

O campo magnético de um fio infinito, localizado no centro do cubo e percorrido por uma corrente constante I de baixo para cima. O campo ;é dado por

0 02 2 2 2

ˆ ˆ ˆ2 2 x y

i i y xB a ar x y x y

µ µθπ π

⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

,

Figura 24 – Representação do campo de um fio (a) e distribuição de campo magnético no espaço de um fio (b). (a)

(b)

φ

π

πρφρ aIHIdH ˆ

2

2

0

=⇒=∫

Aqui ˆ ˆ(1,0,0); (0,1,0)x ya a= = representam os ais do plano Oxy. versores ortonorm

Exemplo 16 - Calcule o campo magnético de

um fio longo e retilíneo percorrido por uma corrente I, usando a Lei de Biot-Savart, num ponto do eixo que cruza a metade do fio.

Escolhendo o eixo x coincidente com a direção do condutor:

Figura 25 – Campo de um fio de comprimento 2a.


18

ˆy

Campo Magnético

ˆyIdl Idya=

2

ˆ4

RIdl adHrπ×

=

2

ˆ ˆ4

y RIdya adH

rπ×

=

Observe que: ˆ ˆx yr xa ya= +

ˆyr ya′ =

ˆRr rar r

′−=

′−

( )( )22

ˆ ˆˆ x y

R

xa y y aa

x y y

′+ −=

′+ −

( )( )

( )

22

222

ˆ ˆˆ

4

x yy

xa y y aIdya

x y ydH

x y yπ

⎛ ⎞′+ −⎜ ⎟×⎜ ⎟′+ −⎝ ⎠=

′+ −

( )( )3 222ˆ

4 zI xdH dya

x y yπ= −

′+ −

( )( )3 222ˆ

4

a

za

Ix xH dx y yπ

ya−

= −′+ −

∫+

( )( )22 2

ˆ4

y a

z

y a

y yIxHx x y yπ

′=

′=−

′− −= −

′+ −a

( )( )

( )( )2 22 2

ˆ4 z

y a y aIH ax x y a x y aπ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

( )( )

( )( )

02 22 2

ˆ4 z

y a y aIB ax x y a x y a

µπ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

Observe que:

( )( )

( )( )2 22 2

ˆlim lim4 za a

y a y aIH ax x y a x y aπ→∞ →∞

⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

[ ] ˆlim 1 14 za

IH axπ→∞

= − −

ˆ2 z

IH axπ

= −

0 ˆ2 z

IB ax

µπ

= −

Veja que deduzimos a partir da Lei de Ampére, muito mais simples!!!

Exemplo17 – Cálcule o campo magnético de um fio de comprimento 2a percorrido por uma corrente elétrica I num ponto P( x, y, z) qualquer. Figura 26 – Campo de um fio de comprimento 2a num ponto P (x, y, z) qualquer. z P(x , y, z) a dl x y -a

• Em coordenadas cartesianas: zyx azayaxr ˆˆˆ ++=

zazr ˆ′=′

ˆzdl dz a′= ( )ˆ ˆx yr r xa ya z z az′ ′− = + + −

( )22 2R r r x y z z′ ′= − = + + −

( )2 2 2

1ˆ ˆ( )

ˆ ˆR x y zr ra xa yr r x y z z

a z z a′− ′⎡ ⎤= = + + −⎣ ⎦′− ′+ + −

24RIdl adH

Rπ×

=

( )3

2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

4 ( )

z x y zIdza xa ya z z adH

x y z zπ

′⎡ ⎤× + + −⎣ ⎦=′+ + −


19

Campo Magnético

3 22 2 2

ˆ ˆ

4 (y xI xa ya dz

dHx y z zπ

′⎡ ⎤−⎣ ⎦=′⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦)

3 22 2 2

ˆ ˆ

4 ( )

ay x

a

I xa ya dzHx y z zπ

+

−

⎡ ⎤− ′⎣ ⎦=′⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

∫

3 2 3 22 2 2

2 2

ˆ ˆ 14

1

ay x

a

I xa ya dzHx y z z

x y

π

+

−

⎡ ⎤− ′⎣ ⎦=⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ′−⎢ ⎥⎜ ⎟+

⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

Chamando de:

2 2

z zux y

′−=

+

2 2z z u x y′ = − +

2 2dz du x y′ = − + 2 2

3 2 3 22 2 2

ˆ ˆ

4 1

ay x

a

I xa ya x y duHx y uπ

+

−

⎡ ⎤− − +⎣ ⎦=⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

Chamando de: 2 2sec 1u tg tgθ θ θ= ⇔ = +

21tgsen

tgθθθ

=+

2secdu dθ θ= 2

32 2

ˆ ˆ 1 sec4 s

ay x

a

I xa ya dHx y ec

θ θπ θ

+

−

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=⎡ ⎤+⎣ ⎦

∫

2 2

ˆ ˆ 14 s

ay x

a

I xa ya dHx y ec

θπ θ

+

−

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=⎡ ⎤+⎣ ⎦

∫

2 2

ˆ ˆ 1 cos4

ay x

a

I xa yaH d

x yθ θ

π

+

−

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=⎡ ⎤+⎣ ⎦

∫

2 2

ˆ ˆ 14y xI xa ya

H sx y

enθπ

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=⎡ ⎤+⎣ ⎦

2 2 2

ˆ ˆ 14 1y xI xa ya tgH

x y tgθ

π θ

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

2 2

2 2 2

2 2

ˆ ˆ 14

1

z a

y x

z a

z zI xa ya x y

Hx y

z zx y

π

′=

′=−

′−⎡ ⎤− +−⎣ ⎦=

⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ′−⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )2 2 22 2

ˆ ˆ 14

z a

y x

z a

I xa ya z zHx y x y z zπ

′=

′=−

⎡ ⎤− ′− −⎣ ⎦=⎡ ⎤+ ′+ + −⎣ ⎦

( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

ˆ ˆ 14y xI xa ya z a z aH

x y x y z a x y z aπ

⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤+ + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Se o fio for infinito:

( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

ˆ ˆ 1 lim4y x

a

I xa ya z a z aHx y x y z a x y z aπ →∞

⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤+ + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]2 2

ˆ ˆ 1 1 14y xI xa ya

Hx yπ

⎡ ⎤− −⎣ ⎦= − −⎡ ⎤+⎣ ⎦

2 2

ˆ ˆ 24y xI xa ya

Hx yπ

⎡ ⎤−⎣ ⎦=⎡ ⎤+⎣ ⎦

2 2

ˆ ˆ 12y xI xa ya

Hx yπ

⎡ ⎤−⎣ ⎦=⎡ ⎤+⎣ ⎦

• Passando de coordenadas cartesinanas para coordenadas cilíndricas: Lembrando que em coordenadas cilíndricas:

ˆ ˆcosˆ ˆ cos

x

y

a a sena sen a a

ˆˆaρ φ

ρ φ

φ φφ φ

= −⎧⎨ = +⎩

ˆ ˆcosˆ ˆ cos

x y

x y

a a sena sen a a

ρ

φ

ˆˆ

aφ φφ φ

= +⎧⎨ = − +⎩

2 2 2x yρ = +

cosxy sen

ρ φρ φ

=⎧⎨ =⎩

2

ˆ ˆcos 12y xI a sen a

Hρ φ ρ φ

π ρ

⎡ ⎤−⎣ ⎦=

2

ˆ ˆcos2y xI a sen a

Hφ φ ρ

π ρ

⎡ ⎤−⎣ ⎦=

ˆ2

IH aφπρ=

Para qualquer ponto, em coordenadas cilíndricas:

( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

ˆ ˆ 14y xI xa ya z a z aH

x y x y z a x y z aπ

⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤+ + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦


20

Campo Magnético

( ) ( )2 2 22 2

ˆ ˆcos 14y xI a sen a z a z aH

z a z a

ρ φ ρ φ

π ρ ρ ρ

⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤ + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )2 22 2ˆ

4I z a z aH a

z a z aφπρ ρ ρ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −

⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

• Calculando em coordenadas cilíndricas

ˆ ˆzr a zaρρ= +

zazr ˆ′=′

ˆzdl dz a′=

Observe que: ˆ ˆx yr xa ya= +

ˆzr z a′ ′=

ˆRr rar r

′−=

′−

( )( )22

ˆ ˆˆ z

R

a z z aa

z zρρ

ρ

′+ −=

′+ −

( )( )

( )

22

222

ˆ ˆˆ

4

zz

a z z aIdza

z zdH

z z

ρρ

ρ

π ρ

⎛ ⎞′+ −⎜ ⎟×⎜ ⎟′+ −⎝ ⎠=

′+ −

( )( )3 222ˆ

4IdH dza

z zφ

ρπ ρ

= −′+ −

3 23 2

1 ˆ4

1

a

a

IH dz az z

φρ

π ρ

ρ

+

−

′= −⎛ ⎞′⎛ ⎞−+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

Chamando: z zu z z uρρ

′− ′= ⇔ = −

dz duρ′ = −

( )3 22 2

1 1 ˆ( )4 1

a

a

IH du au

φρπ ρ

+

−

−+

∫= −

( )3 22ˆ

4 1

a

a

I duH au

φπρ

+

−

=+

∫

Chamando agora: 2 2sec 1u tg tgθ θ θ= ⇔ = +

21tgsen

tgθθ

θ=

+

2secdu dθ θ=

( )2

3 22

sec ˆ4 1

a

a

IH dtg

aφθ θ

πρ θ

+

−

=+

∫

( )2

3 22

sec ˆ4 sec

a

a

IH d aφθ θ

πρ θ

+

−

= ∫

1 ˆ4 sec

a

a

IH d aφθπρ θ

+

−

= ∫

ˆcos4

a

a

IH d aφθ θπρ

+

−

= ∫

ˆ4

IH sen aφθπρ

=

2ˆ

4 1I tgH a

tgφ

θπρ θ

=+

2ˆ

41

z zIH a

z zφ

ρπρ

ρ

′−

=′⎛ ⎞−

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )22ˆ

4

z a

z a

I z zH az z

φπρ ρ

′=

′=−

⎤′− ⎥=⎥′+ − ⎦

( ) ( )2 22 2ˆ

4I z a z aH a

z a z aφπρ ρ ρ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

Exemplo 18 - Calcule a indução magnética no

centro de uma espira quadrada de N voltas. Figura 26 – Campo de uma espira quadrada.

l

I


21

Campo Magnético

2

ˆ4

RIdl adHrπ×

=

Escolhendo a origem como indicado: x = l/2 e y = 0 e tomando a = l /2:

02 2 2 2

0 02 2 ˆ4

4 0 02 2 2 2 2

z

l lIB N al l l l l

µ

π

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

02 2

2 2 ˆ22 2

4 4

z

l lIB N al l l

µπ

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 1 ˆ2 22 z

IB N al

µπ

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

0 ˆ2 2 zIB Nl

aµπ

= −

Exemplo 19 - Calcule o campo magnético e a

indução magnética no eixo de uma espira circular de raio a em:

(a) um ponto P(x, y, z); (b) no eixo z. (c) no centro da espira. A geometria necessária para esse cálculo está

na figura a seguir. Considere, inicialmente a corrente elementar no topo da espira, onde está na direção

.

lIdk

Figura 27 – Campo de uma espira circular.

ˆ ˆ zdl d a d a dz aρ φρ ρ φ′ ′ ′= + + ˆ′

ˆdl ad aφφ′=

Observe que:

ˆ ˆzr a zaρρ= +

ˆ ˆzr a zρ aρ′ ′ ′= +

ˆr aaρ′ =

ˆRr rar r

′−=

′−

( )( )2 2

ˆ ˆˆ z

R

a a zaa

a zρρ

ρ

− +=

− +

( )( )

( )

2 2

22 2

ˆ ˆˆ

4

za a zaIad a

a zdH

a z

ρφ

ρφ

ρ

π ρ

⎛ ⎞− +⎜ ⎟×⎜ ⎟− +⎝ ⎠=

− +

( )( )( )3 22 2

ˆ ˆˆ

4za a zaIadH d a

a z

ρφ

ρφ

π ρ

− − += −

− +

( )( )( )

2 2

3 22 2 0 0

ˆ ˆ4 z

aIaH d aa z

π π

ρ

ρz a dφ φ

π ρ

⎡ ⎤− −⎢ ⎥′ ′= − +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

( )( )( )

( )2

3 22 2 0

ˆ ˆ ˆ2 cos4 z x y

aIaH a z aa z

πρsen a dπ φ φ

π ρφ

⎡ ⎤− −⎢ ⎥′= − + +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( )( )3 22 2ˆ

2 zIa aH a

a z

ρ

ρ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )0

3 22 2ˆ

2 zIa aB a

a z

µ ρ

ρ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

Casos particulares: • Sobre o eixo Oz:

ρ = 0

( )2

3 22 2ˆ

2z

IaH aa z

=+

( )2

03 22 2

ˆ2

zIaB a

a z

µ=

+

• Sobre o plano da espira:

z = 0


22

Campo Magnético

( )2 ˆ2

zIaH a

aρ=

−

( )0

2 ˆ2

zIaB a

aµρ

=−

• No centro da espira:

ˆ2 zIH aa

=

0 ˆ2 z

IB aa

µ=

Para cada elemento de corrente lId , podemos

decompor a g como: indução ma nética

zdB dB dB⊥= + Observe que, ao fazer a integral sobre todos os

componentes elementares de corrente, a componente ⊥ da indução magnética se anula. Veja

que: e idBBd xˆsenθ= 2

ˆ

r

rlIdkdBBd m

×== .

Então: ˆsenz zB dB dBaθ= =∫ ∫

Como 2 2mIdldB k

z a=

+

2 2ˆsen z

IdlB az R

θ=+∫

( )2 22 2 32 2

ˆ ˆm mR Idl aI

zB k i kz aa z a z

= =++ +

∫ ∫ dla

( )

2

32 2ˆ2 m z

a IB k aa z

π=+

ou

( )

20

32 2ˆ

2 zIaB a

a z

µ=

+

Veja que no centro da espira, x = 0, o campo

magnético será: 0 ˆ2 z

IB aa

µ=

Campo magnético no centro de uma espira

circular Exemplo 20- Calcule a indução magnética no

eixo de um solenóide.

Figura 28 – Vistas das linhas de campo de um solenóide. Nas figuras mostramos como é um solenóide,

as linhas de de força do campo magnético em seu interior e a curva fechada retangular necessária para aplicar a lei de Ampére.

O campo magnético no interior de um solenóide pode ser calculado usando a Lei de Ampére utilizando a curva fechada indicada na figura acima:


23

Campo Magnético

IlNBI

lNhlBhIldB 000 µµµ =⇒=⇒=⋅∫

Ou, chamando de n = N/l o número de espiras por unidade de comprimento:

nIB 0µ=

(B no interior de um solenóide) Figura 29 – Vistas das linhas do vetor indução magnética

no interior de um solenóide. Figura 30 – Módulo da indução magnética ao longo do

eixo de um solenóide de comprimento 4a.

Exemplo 21 - Calcule a indução magnética no eixo de um toróide.

A figura a seguir ilustra um corte de um

toróide, percorrido por uma corrente i0, mostrando também a curva de Ampére para se calcular o campo magnético.

Aplicando a Lei de Ampére para essa curva:

00ildBC

µ=⋅∫

0 00 02

2NiB Ni B µπρ µπρ

= ⇒ =

Veja que o B não é constante, contrastando com o campo no interior (eixo) do solenóide.

• Equação paramétrica do torus: ( ) ( )ˆ ˆ( , ) cos cos s cosx yr u v v R r u a env R r u a rsenua= + + + + ˆz

Figura 31 – Superfície do toróide (a). Enrolamento

toroidal (b). (a) v


24

Campo Magnético

(b) Vistas (a), (b) e (c). (c) O toróide é o aparelho central de um promissor

dispositivo: um reator de fusão controlada, denominado tokamak.

Figura 32 – Vistas de um tokamak. (c) Formação de plasma em um tokamak.

(d) Configuração do campo magnético num tokamak. Exemplo 22 - Calcule o campo na região

interna e externa de um fio condutor cuja corrente que o atravessa é I0 e seu raio vale R.

Nesse caso usamos duas curvas de Ampére

para fazer o cálculo: uma de raio r menor que R e outra de raio r maior que R. Precisamos saber qual a corrente que atravessa a curva de Ampére.

Figura 33 – Vetor indução de um fio (a) e curvas C (b) (a) (b) Definimos densidade de corrente J como sendo

a razão entre corrente que atravessa a área da seção


25

Campo Magnético

transversal de um condutor, limitado pela curva C e a área limitada pela curva C.

x

AIJ = (Uniade SI:A/m2)

Assim, a definição mais geral para corrente elétrica é: ∫∫ ⋅=

s

dAnJI ˆ

I (interior a C) Veja que se J é constante:

Observe que: Se r < R ⇒ I=Ii e se r > R ⇒ I=If=I0

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⋅=

0

22

0

II

rRIAJI

f

ii ππ

Assim, a Lei de Ampére fica:

∫⎩⎨⎧

><

=⋅C f

i

RrIRrI

ldB se se

0

0

µµ

∫⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<=⋅=⋅C RrI

RrRrIrBldB

se

se 200

2

2

00

µ

µπ

Assim, o campo ficará:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<=

RrI

RrRrI

B se

r2

ser2

1

00

2

2

00

πµ

πµ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<=⇒

RrI

RrRrI

B se

r2

se 2

00

200

πµ

πµ

Veja que a intensidade de Campo magnético possui um comportamento linear no interior do fio.

A figura a seguir mostra como o campo varia com r no interior e no exterior de um fio condutor de raio 1.5 mm. Veja que em r = R os campos interno e externo coincidem.

Figura 34 – Variação do vetor indução de um fio (a) e (b) (a)

(b)

Campo devido a uma lâmina de corrente: z 3 3’ y 1 1’

2 2’ Figura 35 – Lâmina de corrente. Aplicando a Lei de Ampére nos caminhos:

'22'11: −−−aC

'22'33: −−−bC

( ) LKLHLHILdH yxxCa

=−+⇒=⋅∫ 21

yxx KHH =−⇒21

( ) LKLHLHILdH yxxCb

=−+⇒=⋅∫ 23

yxx KHH =−⇒23

13 xx HH =⇒

yx KH21

=

Logo, Hx é o mesmo para z > 0 e z < 0. Assim:

NaKH ˆ21

×=


26

Campo Magnético

Torque sobre uma espira colocada num campo Magnético Quando um condutor percorrido por uma corrente I é colocado em um campo magnético, existem forças em cada segmento do condutor. Quando ele tem a forma de uma espira fechada, não há força resultante, pois a soma das forças nas diferentes partes somadas para todo o condutor se anulam (Admitindo a indução magnética constante). As forças magnéticas, porém, provocam um torque no condutor, que tendem a provocar a rotação da espira, até que sua área seja perpendicular à indução magnética B. Figura 36 – Torque sobre uma espira.

A figura mostra uma espira retangular com uma corrente I . A espira está numa região de campo magnético uniforme, paralelo ao seu plano. As forças em cada segmento aparecem indicadas na figura. Não há forças nas direções em que a corrente flui na direção do campo magnético. Co o: m

t

BlIdFd ×= IaBFF ==⇒ 21 Definimos como o torque da da força F em relação ao pon o P: Fl ×=τ

O módulo do torque da força F 1 em relação ao ponto P1 será dado por:

IABIabBbF === 1τ Aqui A = ab é a área da espira, assim, o torque

é o produto da corrente pela área da espira e pelo campo magnético. O torque tende a girar a espira de modo que seu plano seja perpendicular ao vetor B.

O sentido do versor n normal à área é dado coincidente com o sentido da regra da mão direita.

Quando a normal n faz um ângulo θ com o vetor indução magnética B o torque tende a girar a espira de modo que seu plano seja perpendicular a B. Nesse caso, como Fl ×=τ , teremos:

θτθτ sensen IABIabB =⇒= Pode-se escrever esse torque em termos do produto vetorial de n e B, da seguinte forma:

BnIA ×=τ A grandeza da espira está associada ao chamado momento magnético de uma barra imantada, é o mesmo que acontece quando colocamos um ímã retilíneo sobre um campo magnético uniforme: surge um torque sobre o ímã tendendo-o a alinhar-se com a direção do campo. Esse torque é dado por:

nIA

BmBlq ×=⇒×= ττ *

Onde lqm *= é chamado de momento magnético do ímã (Unidades: Ampére metro quadrado: Am2). q* é definido como a grandeza de pólo , a razão entre a grandeza da força F sobre o pólo e o vetor indução B.

Figura 37 – Campo paralelo ao plano da espira.

Figura 38 – Campo normal ao plano da espira.


27

Campo Magnético

Outra aplicação importante são amperímetros e voltímetros analógicos, onde a leitura é feita observando a deflexão de um ponteiro sobre uma escala, utilizando o torque exercido pelo campo magnético sobre uma bobina.

Figura 39 – Amperímetro.

Exemplo 23 – Expresse o campo H em coordenadas cartesianas em P(0, 0,2, 0) no campo de: (a) um filamento de corrente de 2,5 A na direção az em x = 0,1, y=0,3; (b) um cabo coaxial centrado no eixo z, com a = 0,3, b =0,5, c = 0,6 e I = 2,5 A na direção az no condutor central; (c) três lâminas de corrente, 2,7 ax A/m, em y = 0,1, -1,4 ax A/m, em y = 0,15 e -1,3 ax A/m, em y = 0,25, Solução: (a) um filamento de corrente de 2,5 A na direção az em x = 0,1, y=0,3; yar ˆ2,0=

zyx azaar ˆˆ3,0ˆ1,0 ′++=′

zyx azaarr ˆˆ1,0ˆ1,0 ′−−−=′−

( ) ( ) 222 1,01,0 zrrR ′+−+−=′−=

202,0 zrrR ′+=′−=

( )zyxR azaazR

Ra ˆˆ1,0ˆ1,002,0

1ˆ2

′−−−′+

==

zazdld ˆ′=

2

ˆ4 R

aldIHd R×=

π

( )( ) 23202,0

ˆˆ1,0ˆ1,0ˆ4 z

azaaadzIHd zyxz

′+

′−−−×=

π

( ) 23202,0

)ˆ1,0ˆ1,0(4 z

dzaaIHd xy

′+

+−=

π

( )∫+∞

∞− ′+−= 23202,0

)ˆ1,0ˆ1,0(4 z

dzaaIH yxπ

Chamando:θθθ dzdtgz 2sec02,002,0 =′⇒=′

( )∫+∞

∞− +−= 232

2

02,002,0

sec02,0)ˆ1,0ˆ1,0(

4 θ

θθπ tg

daaIH yx

( ) ( )∫+∞

∞−

−= 232

2

3 sec

sec

02,0

02,0)ˆ1,0ˆ1,0(

4 θ

θθπ

daaIH yx


28

Campo Magnético

∫+∞

∞−

−=θθ

π sec02,01)ˆ1,0ˆ1,0(

4daaIH yx

∫+∞

∞−

−= θθπ

daaIH yx cos02,01)ˆ1,0ˆ1,0(

4

θπ

senaaIH yx 02,01)ˆ1,0ˆ1,0(

4−=

θπ 2111

02,01)ˆ1,0ˆ1,0(

4 tgaaIH yx +

−−=

+∞

∞−

′+

−−=

02,01

1102,01)ˆ1,0ˆ1,0(

4 2zaaIH yxπ

+∞

∞−′+

−−= 202,002,01

02,01)ˆ1,0ˆ1,0(

4 zaaIH yxπ

+∞

∞−′+

′−=

202,002,01)ˆ1,0ˆ1,0(

4 z

zaaIH yxπ

202,01)ˆ1,0ˆ1,0(

4 yx aaIH −=π

01,01)ˆ1,0ˆ1,0(

45,2

yx aaH −=π

)ˆˆ(01,04

1,05,2yx aaH −

⋅=

π

mAaaH yx )ˆˆ(989,1 −=

mAaaH yx ˆ898,1ˆ989,1 −=

(b) um cabo coaxial centrado no eixo z, com a = 0,3, b =0,5, c = 0,6 e I = 2,5 A na direção az no condutor central;

Cálculo do Campo Magnético H:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−+<<+

<<+<

=⋅∫cII

cbIIbaI

aI

LdHc

c

C

ρρ

ρρ

se se

se se

2

1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−+<<+

<<+<

=⋅∫cII

cbJAIbaI

aJA

LdHC

C

C

ρρ

ρρ

se se

se se

2

1

( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<−−

−

<<+

<

=

c

cbbbc

II

baI

aaI

H

ρ

ρρππ

ρ

ρπρπ

πρφ

se 0

se

se

se

222

22

22

( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−

<<+

<

=

c

cbabcbI

baaI

aaaI

H

ρ

ρρπρ

ρπρ

ρρπ

φ

φ

φ

se 0

se ˆ12

se ˆ2

se ˆ2

22

22

2

( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−

<<+

<

=

c

cbabcbI

baaI

aaaI

B

ρ

ρρπρµ

ρπρµ

ρρπµ

φ

φ

φ

se 0

se ˆ12

se ˆ2

se ˆ2

22

220

0

20

2,02,00 2 =+=ρ

φρπ

aaIH ˆ

2 2=

φπaH ˆ2,0

3,025,2

2=

φaH ˆ884,0=

2ˆcosˆˆ πφ φφφ =⇔+−= yx aasena

xaa ˆˆ −=φ

xaH ˆ884,0−=


29

Campo Magnético

(c) três lâminas de corrente, 2,7 ax A/m, em y = 0,1, -1,4 ax A/m, em y = 0,15 e -1,3 ax A/m, em y = 0,25, P(0,0,2,0) C mpo de uma lâmina: a NaKH ˆ2

1 ×=

321 HHHH ++=

321ˆˆˆ 32

122

112

1NNN aKaKaKH ×+×+×=

)ˆ(ˆ3,1(ˆ)ˆ4,1(ˆˆ7,2)0,2,0,0( 21

21

21

yxyxyx aaaaaaH ×−+×−+×=

zzz aaaH ˆˆˆ7,2)0,2,0,0( 23,1

24,1

21 +−=

)(ˆ3,1)0,2,0,0( mA

zaH =

Exemplo 24 – (a) Calcule a integral de linha fechada de H em torno do caminho retangular P1( 2, 3, 4) a P 2( 4, 3, 4) a P3( 4, 3, 1) a P4( 2, 3, 1) a

P1, dado: ( )mA

zx axazH ˆ2ˆ3 2−= (b) Determine o quociente da integral de linha fechada e a área envolvida pelo retângulo como uma aproximação para ( )yH×∇ .

(c) Determine ( )yH×∇ no centro da área. z Solução: 4 (a) P1(2,3,4) P2(4,3,4) P4( 2, 3, 1) 3 2 y P3(4 ,3, 1) 4 x

∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅4321 CCCCC

ldHldHldHldHldH

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==≤≤

43

42:1

zy

xC

; ; ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==≤≥

43

14:2

xy

zC

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==≥≥

13

24:3

zy

xC

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==≤≤

23

41:4

xy

zC

( )∫∫ −=⋅)4,3,4(

)4,3,2(

223 dzxzdxldHC

( )∫ −+)1,3,4(

)4,3,4(

223 dzxzdx ( )∫ −+)1,3,2(

)1,3,4(

223 dzxzdx

( )∫ −+)4,3,2(

)1,3,2(

223 dzxzdx

( )∫∫ −⋅=⋅)4,3,4(

)4,3,2(

2 0243 xdxldHC

( )∫ ⋅−+)1,3,4(

)4,3,4(

24203 dzz ( )∫ −⋅+)1,3,2(

)1,3,4(

2 0213 xdx


30

Campo Magnético

( )∫ −+)4,3,2(

)1,3,2(

223 dzxzdx

4

122

4

1

4

4

22233212 zxzxldH

C

⋅−+−=⋅∫

)14(8)42(3)41(32)24(12 −−−+−−−=⋅∫C

ldH

AldHC

902469624 =−−++=⋅∫

(b) Determine o quociente da integral de linha fechada e a área envolvida pelo retângulo como uma aproximação para ( )yH×∇ .

2156

90mAC

A

ldH==

⋅∫

(c)

( ) 215)34(3)4(3mAzx

y xx

Hz

HH =⋅−−=−−=

∂∂

−∂∂

=×∇

Observação:

( ) dxdzxSdHS

∫ ∫∫∫ −=⋅×∇4

2

4

1

)43(

( ) ))86(3212(3)23( 42

24

1+−+⋅=+=⋅×∇∫∫ xxzSdH

S

( ) ASdHS

90)1444(3 =−⋅=⋅×∇∫∫

Exemplo 25 –Calcule o valor da densidade de corrente : (a) em coordenadas cartesianas em PA( 2, 3, 4) se zy azyazxH ˆˆ 22 −= ; (b) em coordenadas cilíndricas em

PB( 1,5, 90°, 0,5) se ρφρ

aH ˆ2,0cos2= ;

(c) em coordenadas esféricas em

PC( 2, 30°, 20°) se θθa

senH ˆ1

=

Solução: (a) PA( 2, 3, 4) se zy axyazxH ˆˆ 22 −=

HJ ×∇=

zxy

yxx

xyz a

yH

xH

ax

Hz

Haz

Hy

HJ ˆˆˆ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=

zyx ayx

zxax

xyz

azzx

yzyJ ˆ)0()(ˆ)()0(ˆ)()( 2222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂−∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂−∂

=

( ) zyx axzayaxyzJ ˆ2ˆˆ)2( 22 ++−−=

( ) zyx aaaJ ˆ422ˆ3ˆ)2322()4,3,2( 22 ⋅⋅++−⋅⋅−=

( )2ˆ16ˆ9ˆ16)4,3,2(mA

zyx aaaJ ++−=

(b) em coordenadas cilíndricas em

PB( 1,5, 90°, 0,5) se ρφρ

aH ˆ2,0cos2= ;

HJ ×∇= ( )

zzz a

HHa

Hz

Ha

zHH

J ˆ1ˆˆ1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=φρ

ρρρφρ

ρφφ

ρρ

φ

( )zaJ ˆ2,0cos201

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂= φ

ρφρρ

ρ

zasenJ ˆ2,04,02 φ

ρ=

( ) zasenJ ˆ2

2,05,14,05,0,90,5,1 2

π⋅=°

( ) 2ˆ0549,05,0,90,5,1mA

zaJ =°

(c) em coordenadas esféricas em

PC( 2, 30°, 20°) se θθa

senH ˆ1

=

HJ ×∇= ( ) ( ) ( )

φθ

θφθφ

θφθφθθ

θa

Hr

rHr

ar

rHHsenr

aHsenH

rsenJ rr

r ˆ1ˆ11ˆ1⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂=

φθ a

rsen

r

rJ ˆ0

11

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂

=

φθa

rsenJ ˆ1=

φasen

J ˆ302

1)20,30,2( =°°

2ˆ1)20,30,2(mAaJ φ=°°

Exemplo 26 – Calcule ambos os lados do te rema de Stokes para o campo: o

mA

yx ayaxyH ˆ3ˆ6 2−= e para o caminho retangular


31

Campo Magnético

ao redor da região 2 § x § 5, -1 § y § 1, z = 0. Considere a direção positiva de dS sendo az. P1(2, -1, 0) P4( 2, 1, 0) y P2(5 ,-1, 0) P3( 5, 1, 0) x

∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅4321 CCCCC

ldHldHldHldHldH

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=≤≤

0152

:1

zy

xC

; ; ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

≤≤−

05

11:2

zx

yC

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==≥≥

01

25:3

zy

xC

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−≥≥

02

11:4

zxy

C

dyydxxydyydxxyldHC

∫∫∫∫∫−

−

−++−+=⋅1

1

22

5

1

1

25

2

3636

)1,2(

)1,2(

3)1,2(

)1,5(

2)1,5(

)1,5(

3)1,5(

)1,2(

2

26

33

26 −

−

−

−

−+−=⋅∫ yyxyyxldHC

AldHC

126263263 −=+−−−=⋅∫

( ) AxdxdySdHS

12661

1

5

2

−=−=⋅×∇ ∫ ∫∫∫−

Exemplo 27 – Um condutor sólido de seção

transversa circular é feita de um material homogêneo não magnético. Se o raio a = 1mm, o eixo do condutor está situado no eixo z e a corrente total na direção az é 20 A, determine:

(a) Hφ em ρ = 0,5 mm; (b) Bφ em ρ = 0,8 mm;

(c) O fluxo magnético total por unidade de comprimento dentro do condutor; (d) o fluxo total para ρ < 0,5 mm; (e) o fluxo total fora do condutor. Solução:

(a) Hφ em ρ = 0,5 mm;

C

H dL I⋅ =∫

se se

c

C

I aH dL

I aρρ<⎧

⋅ = ⎨ >⎩∫

se se c

C

JA aH dL

I aρρ

<⎧⋅ = ⎨ >⎩

∫

se

se

c

C

I A aH dL A

I a

ρ

ρ

⎧ <⎪⋅ = ⎨⎪ >⎩

∫

2

2 se

se C

I aH dL aI a

πρ ρπ

ρ

⎧<⎪⋅ = ⎨

⎪ >⎩∫

2

2 se 2 se

I aH aI a

φ

ρ ρπρρ

⎧<⎪= ⎨

⎪ >⎩

2 se 2

1 se 2

I aaH

I aφ

ρ ρπ

ρπ ρ

⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩

2ˆ se

21 ˆ se

2

I a aaH

I a a

φ

φ

ρ ρπ

ρπ ρ

⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩

( )3

23

20 ˆ( 0,5 ) 0,5 102 1 10

H mm aφρπ

−

−= = ⋅

⋅

( )ˆ( 0,5 ) 1591.55 AmH mm aφρ = =

(b) Bφ em ρ = 0,8 mm;


32

Campo Magnético

02

0

ˆ se 2

1 ˆ se 2

I a aaBI a a

φ

φ

µ ρ ρπµ ρπ ρ

⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩

( )7

3022 3

4 10 20ˆ ˆ( 0,8 ) 0,8 102 2 1 10

IB mm aa

aφ φµ πρ ρπ π

−−

−

⋅= = = ⋅

⋅

ˆ( 0,8 ) 0,0032B mm aφρ = =

( )ˆ( 0,8 ) 3, 2B mm a mφρ = = T (c) O fluxo magnético total por unidade de comprimento dentro do condutor;

S

B dSΦ = ⋅∫∫

2

20

ˆL

L

a

B d dzaφρ+

−

Φ = ⋅∫ ∫

2

2

02

0

ˆ ˆ2

L

L

a I a d dzaa φ φ

µ ρ ρπ

+

−

Φ = ⋅∫ ∫

2

2

02

02

L

L

aI d da

µ ρ ρπ

+

−

Φ = ∫ ∫ z

2

2

20

202 2

L

L

az

z

I za

ρ

ρ

µ ρπ

==+

=−=

Φ =

0

4ILµπ

Φ =

74 10 204L

ππ

−Φ ⋅=

( )2 WbmL

µΦ=

(d) o fluxo total para ρ < 0,5 mm;

32

2

0,5 100

202

L

L

I d da

µ ρ ρπ

− +⋅

−

Φ = ∫ ∫ z

3

2

2

0,5 1020

202 2

L

L

z

z

I za

ρ

ρ

µ ρπ

−= ⋅=+

=−=

Φ =

3

2

2

0,5 1020

202 2

L

L

z

z

I za

ρ

ρ

µ ρπ

−= ⋅=+

=−=

Φ =

( )( )237

23

0,5 104 10 2022 1 10L

π

π

−−

−

⋅Φ ⋅=

⋅

( )0,5 WbmL

µΦ=

(e) o fluxo total fora do condutor.

2

2

ˆL

La

B d dzaφρ+∞

−

Φ = ⋅∫ ∫

2

2

0 1 ˆ ˆ 2

L

La

I a d dzaφ φµ ρπ ρ

+∞

−

Φ = ⋅∫ ∫

2

2

0

2

L

La

I d dzµ ρπ ρ

+∞

−

Φ = ∫ ∫

0 ln2 a

I Lρ

µ ρπ

∞

=Φ =

Φ = ∞

Fluxo magnético, Equações de Maxwell e o Potencial Vetor:

Definimos como densidade de fluxo magnético como:

0B Hµ= No espaço livre, onde B é medido em Tesla

(T) ou Weber por metro quadrado (Wb/m2): 21 1Wb

mT =

A constante µ0 é a permeabilidade magnética do espaço livre e tem o valor definido nas unidades em Henry por metro:

( )70 4 10 H

mµ π −= ⋅ Observando que o fluxo magnético é definido

por:

S

B dSΦ = ⋅∫∫

Unidade: Weber Como nenhuma fonte para as linhas de fluxo

magnético foi descoberto, como mostramos na figura a seguir:


33

Campo Magnético

Figura 40 – Linhas de fluxo magnético B para: (a) ímã permanente; (b) bobina cilíndrica; (c) eletroímã

com núcleo de ferro; (d) plano perpendicular a um fio infinito; (e) plano que contém o eixo central de uma espira; Portando não há fontes descobertas para as linhas de fluxo magnético. Assim, se aplicarmos o teorema da divergência, a Lei de Gauss para o campo magnético é:

0S

B dS⋅ =∫∫

Ao aplicarmos o teorema da divergência ou teorema de Gauss:

0 0S V

B dS BdV B⋅ = ∇ ⋅ = ⇔ ∇⋅ =∫∫ ∫∫∫

Reunindo todas as equações vistas, mostramos as quatro equações de Maxwell que se aplicam a campos magnéticos estacionários e a campos elétricos estáticos:

Forma diferencial das equações de Maxwell para campos estacionários:

vD ρ∇ ⋅ =

0E∇× =

H J∇× =

0B∇⋅ = Forma integral das equações de Maxwell para campos

estacionários:

vS V

D dS Q dVρ⋅ = =∫∫ ∫∫∫

0C

E dL⋅ =∫

C S

H dL I J dS⋅ = = ⋅∫ ∫∫

0S

B dS⋅ =∫∫

Vam s le m tes: o mbrar algu as identidades vetoriais importan

1. ( ) ( ) ( )u v w v w u w u v× ⋅ ≡ × ⋅ ≡ × ⋅

2. ( ) ( ) ( )u v w u w v u v w× × = ⋅ − ⋅

3. ( )u w u w∇⋅ + = ∇ ⋅ +∇ ⋅

4. ( )f g f g∇ + = ∇ +∇

5. ( )u w u w∇× + = ∇× +∇×

6. ( )fu u f f u∇⋅ = ⋅∇ + ∇⋅

7. ( )fg f g g f∇ = ∇ + ∇

8. ( )fu f u f u∇× = ∇ × + ∇×

9. ( )u v v u u v∇⋅ × = ⋅∇× − ⋅∇×

10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v u v v u u v v u∇ ⋅ = ⋅∇ + ⋅∇ + × ∇× + × ∇×

11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v u v v u v u u v∇× × = ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ⋅∇ − ⋅∇

12.2f f∇⋅∇ = ∇

13. 0f∇×∇ =

14. ( ) 0u∇⋅ ∇× =

u

15. ( ) 2u u∇×∇× = ∇ ∇⋅ −∇

A torial:

nalizando a relação ve

( ) ( ) ( )u v v u u v∇⋅ × = ⋅ ∇× − ⋅ ∇×

Se fizermos:

( ) ( ) ( )v v v∇⋅ ∇× = ⋅ ∇×∇ −∇⋅ ∇×

( ) 0v∇⋅ ∇× =

Observe que o fato de , de acordo com a relação anterior, podemos expressar B como um campo vetorial. Chamamos então de

0B∇⋅ =

potencial magnético vetorial A definido por:

B A= ∇× Ou

0

1H Aµ= ∇×

Unidade: Weber por metro: Wb/m Observe que, se calcularmos a integral de linha

do vetor potencial magnético A sobre uma curva fechada C e aplicarmos o teorema de Stokes, teremos:

( )C S S

A dL A dS B dS⋅ = ∇× ⋅ = ⋅ = Φ∫ ∫∫ ∫∫

Ou: C

A dLΦ = ⋅∫

Veja que, da Lei de Biot e Savart:


34

Campo Magnético

034C

IdL RBR

µπ

×= ∫

ou

02

ˆ4

R

C

IdL aBR

µπ×

= ∫

Se a corrente I es´ta distribuída no espaço como uma densidade de corrente Jf podemos substituir I por Jfda. Logo, JfdadL torna-se Jf dV:

02

ˆ4

f R

V

J aB dV

Rµπ ′

×′= ∫∫∫

Ou

02

ˆ4

Rf

V

aB J dR

Vµπ ′

′= ×∫∫∫

Com V’ o volume do condutor. C mo: o

( ) ( ) ( )ˆ ˆx y ˆzR x x a y y a z z a′ ′= − + − + − ′

)

( ) ( ) (2 2 2R x x y y z z′ ′= − + − + − ′

( ) ( ) ( )2 2

1 1R x x y y z z

⎛⎛ ⎞ ⎜ ⎟∇ = ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 2

⎞

′ ′ ′− + − + −⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 22 2 2ˆ ˆ ˆ2 2 21

2x y zx x a y y a z z a

x x y y z zR

−′ ′ ′− + − + −⎛ ⎞ ⎡ ′ ′ ′∇ = − − + − + −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎤

3 2

ˆ1 RaRR R

⎛ ⎞∇ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ R

Logo podemos então escrever:

( )0 1

4 fRV

B J dVµπ ′

′= ∇ ×∫∫∫

Usando a identidade vetorial:

( )fu f u f∇× = ∇ × + ∇×u

( )1 11f fR RJ J

R⎛ ⎞∇× = ∇ × + ∇×⎜ ⎟⎝ ⎠

fJ

( ) ( )1 1fJfR R RJ∇ × = ∇× − ∇× fJ

Como Jf é uma função de (x’, y’, z’): 0fJ∇× =

Então, podemos escrever:

0

4fJ

RV

B dVµπ ′

′= ∇×∫∫∫

Mudando a ordem da diferenciação e integração, obtemos:

0

4fJ

RV

B dVµπ ′

⎡ ⎤′= ∇× ⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫∫

Comparando com:

B A= ∇× Teremos:

0

4fJ

RV

A dVµπ ′

′= ∫∫∫

Tomando a divergência de A

0

4fJ

RV

A dVµπ ′

′∇ ⋅ = ∇ ⋅∫∫∫

Usando a propriedade:

( )fu u f f u∇⋅ = ⋅∇ + ∇⋅

( ) ( )1 1fJf fR R RJ J∇⋅ = ⋅∇ + ∇⋅

( )0 1 1

4 f fR RV

A J J dVµπ ′

⎡ ⎤ ′∇ ⋅ = ⋅∇ + ∇ ⋅⎣ ⎦∫∫∫

Como Jf é uma função de (x’, y’, z’): 0fJ∇⋅ =

Podemos mostrar que:

3 2

ˆ1 RaRR R R

⎛ ⎞′∇ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Portanto: 1 1R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′∇ = −∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Então: ( )0 1

4 f RV

A J dVµπ ′

⎡ ⎤′ ′∇ ⋅ = − ⋅∇⎣ ⎦∫∫∫

Aplicando novamente:

( ) ( )1 1fJf fR R RJ J′ ′ ′∇ ⋅ = ⋅∇ + ∇ ⋅ ~

( ) ( )1 1 fJf fR R RJ J′ ′ ′− ⋅∇ = ∇ ⋅ −∇ ⋅

Substituindo, vem:

( )0 1

4fJ

fR RV

A J dVµπ ′

⎡ ⎤′ ′∇ ⋅ = ∇ ⋅ −∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ ′

Como estamos preocupados com campos estacionários, a equação da continuidade mostra que:

0fJ′∇ ⋅ = Aplicando o teorema da divergência, ficaremos com:

( )0 0

4 4f fJ J

R RV S

A dV dSµ µπ π′

′ ′∇ ⋅ = − ∇ ⋅ = − ⋅∫∫∫ ∫∫

Aqui, a superfície S envolve todo o volume que estamos integrando, que por sua vez envolve toda a corrente.Fora desse volume não há corrente, e portanto, se integrarmos sobre um volume ligeiramente maior ou uma superfície ligeiramente maio sem modificar A, a densidade de corrente Jf deve ser zero. Assim: 0A∇⋅ =


35

Campo Magnético

Como , analisaremos agora a expressão:

H J∇× =

0

1H Aµ∇× = ∇×∇×

Veja que: ( ) ( )u v w u w v u v w× × = ⋅ − ⋅

( ) 2A A∇×∇× = ∇ ∇⋅ −∇ A

( )0

21H Aµ⎡ ⎤∇× = ∇ ∇⋅ −∇⎣ ⎦A

Como deduzimos que: 0A∇⋅ =

0

21H Aµ⎡ ⎤∇× = −∇⎣ ⎦

20 fA Jµ∇ = −

Esse resultado é similar à equação de Poisson: 2

0

vV ρε

∇ = −

Podemos escrever: 2 2 2 2ˆ ˆx x y y z zA A a A a A∇ = ∇ +∇ +∇ a

Se a densidade de corrente for nula, e pelas relações de simetria que informam a equação

0

4fJ

RV

A dVµπ ′

′= ∫∫∫ , considerando somente

dependência de Az em ρ, teremos: 2 2

2 2 2

1 1 0z zA A Az

ρρ ρ ρ ρ φ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

z =

11 0z zA A Cρ ρρ ρ ρ ρ

⎛ ⎞∂ ∂∂= ⇔ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

11 2lnz

zA C A C Cρρ ρ

∂= ⇔ = +

∂

Como 0 ˆ ˆ2

zI AB A a aφ φµπρ ρ

∂= ∇× ⇔ = −

∂

Logo:

0 02ln

2 2d

z zI IA Aρ

ρ Cµ µ ρπ π

= − ⇔ = − +∫

Comparando as relações, chega-se a:

01 2

IC µπ

= −

Se escolhermos um zero de referência em: ρ = b, teremos:

( ) 0 02 2ln 0 ln

2 2zI IA b b C C bµ µρπ π

= = − + = ⇔ =

( ) 0 0ln ln2 2z

I IA bµ µρ ρπ π

= − +

( ) 0 ˆln2 z

I bA aµρπ ρ

=

O potencial magnético vetorial A é extremamente útil no estudo de irradiação de antenas, de aberturas e fugas de irradiação de linhas de transmissão, de guias de ondas e de fornos de microondas, podendo ser usado em regiões onde a densidade de corrente é zero ou diferente de zero.

Exemplo 28 – Uma lâmina de corrente

ˆ2, 4 zK = a (A/m) está presente na superfície ρ = 1,2 no espaço livre. (a) Determine H para ρ > 1,2.

2 2 1,2 2I K , 4πρ π= = i 5,76I π=

2 5,7C

H dL I H 6πρ π⋅ = ⇔ =∫

2,88 ˆH aφρ=

Exemplo 29 – O valor de A no interior de um condutor sólido não magnético de raio a conduzindo uma corrente I na direção az pode ser encontrado facilmente. Usando o valor conhecido de H ou de B

para ρ < a, então a equação 0

4IdLAR

µπ

= ∫ pode

serresolvida para A. Escolha ( )0 ln 5 / 2A Iµ π= em

ρ = a e determine A em ρ: (a) 0; (b) 0,25a; (c) 0,75a; (d) a; Como B A= ∇× :

A∇× = ( )1 1ˆ ˆz z ˆz

AA A AA Aa az z

φφ ρ ρρ φ

ρρ φ ρ ρ ρ φ

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟− + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠a

Se 0

4V

JAR

µπ

= ∫∫∫ dV e I está na direção de z,

então A e J estão nessa direção:

02

ˆ ˆ2

zA IAB a az aρ

φ φµ ρ

ρ π∂⎛ ⎞∂

= − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

0 02 22 2

zz

I IA A da a

µ µρ ρ ρρ π π

∂− = ⇔ = −∂ ∫

20

22 2zIA Ca

µ ρπ

= − +


36

Campo Magnético

20 0

2

ln 5( )2 2 2z

I IaA a Ca

µ µρπ π

= = − + =

( )0 12ln 5

2IC µπ

= +

( )2

0 0 122 ˆln 5

2 2 2 zI IA aa

µ µρπ π

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2

0 122

ˆln 52 2 z

IA aa

µ ρπ⎡ ⎤

= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(a) ρ =0;

( )2

0 122

0 ˆln 52 2 z

IA aa

µπ⎡ ⎤

= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )ˆ0,4218 Wbz mA I aµ=

(b) 0,25a;

( ) ( )2

0 122

0, 25ˆln 5

2 2 z

aIA aa

µπ

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

( )ˆ0,4156 Wbz mA I aµ=

(c) 0,75a;

( ) ( )2

0 122

0,75ˆln 5

2 2 z

aIAa

µπ

⎡= − + +⎢

⎢⎣a

⎤⎥⎥⎦

( )ˆ0,3656 Wbz mA I aµ=

(d) a;

( ) ( )2

0 122

ˆln 52 2 z

aIAa

µπ

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦a

( )ˆ0,322 Wbz mA aµ=

Exemplo 30 – Considere dois condutores, cada um com 1 cm de raio, paralelos ao eixo z com seus eixos situados no plano x = 0.

Um condutor, cujo eixo está em: (0, 4 cm, z) e conduz 12 A na direção az; o

outro eixo está em: (0, -4cm, z) e conduz -12 A na direção -az; Cada corrente tem seu zero de referência para

A localizada a 4 cm do seu eixo. Determinar o campo A total em:

(a) 0; (b) (0, 8cm, z); (c) (4, 4cm, z); (d) (2, 4cm, z);

(a) 0;

0 1 0 2

1 2

ˆln ln2 2 z

I Ib bA aµ µπ ρ π ρ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0 212 4 4 ˆln ln2 4 2 4 z

IA aµ µπ π

−⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )ˆ0 Wbz mA a=

(b) (0, 8cm, z); (c) (4, 4cm, z); (d) (2, 4cm, z); Exemplo 31 – Determine o campo das

distribuições de corrente abaixo: (a)

3

14

IdL RdHRπ×

=

( ) ˆ ˆzR r r a a zaρρ′= − = − +

( )2 2R a zρ= − +

ˆ ˆ zdL d a d a dzaρ φρ ρ φ= + + ˆ

ˆdL ad aφφ=


37

Campo Magnético

( )

( )3 22 2

ˆ ˆ14

zˆIad a a a zadH

a z

φ ρφ ρπ ρ

⎡ ⎤× − +⎣ ⎦=⎡ ⎤− +⎣ ⎦

( )

( )3 22 2

ˆ ˆ14

zIad a a zadH

a z

ρφ ρπ ρ

⎡ ⎤− − +⎣ ⎦=⎡ ⎤− +⎣ ⎦

( )

( )0 0

3 22 2

ˆ ˆ

4

za d a z d aIaH

a z

π π

ρρ φ φ

π ρ

⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎣ ⎦=

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

∫ ∫

Como z = 0 e ρ = 0 :

( )

( )0 0

3 22 2

ˆ ˆ0 0

4 0 0

za d a d aIaH

a

π π

ρφ φ

π

⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎣ ⎦=

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

∫ ∫

[ ]3

ˆ4

za aIaHaπ

π=

ˆ4 z

IH aaπ

= ; 0 ˆ4 z

IB aa

µπ

=

(b) Nesse caso, teremos:

2 1 ˆ4 z

I IH aaπ−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

2 10 ˆ

4 zI IB a

aµ

π−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(c) Bobina de N voltas quadrada de lado L, no seu centro.

x O Campo magnético da bobina será:

4BH N= H Para o trecho do fio:

3

14

Idl RdHRπ×

=

R r r′= − Na origem: ˆ ˆ0 0 0x yr a a a= + + ˆz

2 ˆ ˆLx yr a y a′ ′= +

2 ˆ ˆLx yR a y a′= − −

( )2 22LR y′= +

ˆydl dy a′=

( )2

3 22 22

ˆ ˆ

4

Ly x

L

dy a a y aIdHyπ

′ ′⎡ ⎤× − −⎣ ⎦=⎡ ⎤′+⎣ ⎦

ˆy

[ ]

( )2

3 22 22

ˆ4

Lz

L

dy aIdHyπ

′=

⎡ ⎤′+⎣ ⎦

( )

2

2

3 22 22

ˆ8

L

Lz

L

IL dyH ayπ

+

−

′=

⎡ ⎤′+⎣ ⎦∫

( ) ( )

2

2

3 2232 2

ˆ8 1

L

Lz

yLL

IL dyH aπ

+

′−

′=

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

Chamando de: 22 2 secy L

Ltg dy dθ θ θ′ ′= ⇔ =

( )

2

2

22

3 23 22

sec ˆ8 1

L

L

L

zL

dILH atg

θ θπ θ

+

−

=⎡ ⎤+⎣ ⎦

∫

2

2

2

3 22 2

4 sec ˆ8 sec

L

Lz

IL dH aL

θ θπ θ

+

−

=⎡ ⎤⎣ ⎦∫

2

2

ˆcos2

L

Lz

IH dL

aθ θπ

+

−

= ∫

ˆ2 z

IH senL

aθπ

=

Como: 21

tgsentgθθθ

= +


38

Campo Magnético

( ) ( )2

2 2 2221

yL

LyL

yseny

θ′

′

′= =

′++

( )

2

2

2 22

ˆ2

L

L

y

zL

y

I yH aL yπ

′=+

′=−

′=

′+

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 22 2 2 2

ˆ2

L L

zL L L L

IH aLπ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( )2

22

2 ˆ2 2

L

zL

IH aLπ

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

2 ˆ

2 2 zIH a

Lπ=

2 ˆ2 zIH a

Lπ=

2 ˆ42B zIH N

Lπ= a

2 2 ˆB zNIH a

Lπ=

02 2 ˆB zN IB aLµ

π=


39

Campo Magnético

Exercícios – Hayt – Capítulo 8

1. (a) Determine H em coordenadas cartesianas em P(2, 3, 4) se há um filamento de corrente no eixo z conduzindo uma corrente de 8 mA na direção

(b) Repita se o filamento está localizado em x = -1, y = 2.

(c) Determine H se ambos os filamentos estiverem presentes. Solução:

32 44ˆ

RRlId

RalIdHd R

ππ×

=×

=

zadzld ˆ=

( )2413 zR −+=

( )( )[ ]zyxR azaa

za ˆ4ˆ3ˆ2

413

1ˆ2

−++−+

=

( )( )[ ]zyxzR azaa

zadzald ˆ4ˆ3ˆ2

413

1ˆˆ2

−++−+

×=×

( ) ( )xyR a

z

dzaz

dzald ˆ413

3ˆ413

2ˆ22 −+

−−+

=×

( )( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

−+−+= y

z

dzaz

dzz

mHd413

3ˆ413

24134

8222π xa

( )( ) ( )( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

−+= ∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−xy a

z

dzaz

dzmH ˆ413

3ˆ413

22232232π

( )( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=−+

23223

232

134113

413 z

dz

z

dz

∫+∞

∞−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

= 23223

1341

131

z

dz

Chamando de:

θθ tgzztg 13413

4−=⇒

−=

θθddz 2sec13−=

( )( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞− +

−=

−+232

2

23232 1sec13

131

413 θ

θθ

tgd

z

dz

( )∫+∞

∞−

−= 232

2

23

21

secsec

1313

θ

θθd

∫+∞

∞−

−−=θθθ

3

21

secsec13 d

∫+∞

∞−

−=θθ

sec131 d

2

1131cos

131 θ

θ

θθθ send −=−= ∫+∞

∞−

Como: θθθ 21sec13

4 tgztg +=⇒−

=

θ

θ21

1costg+

=

θθθθ 222 cos11cos −=⇒=+ sensen

θθθ

θθ 2

2

2 1111

tgtgsen

tgsen

+=⇒

+−=

2

2

1341

134

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=z

z

senθ

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−=

2413

4

z

zsenθ

( )( ) ( )

+∞→

−∞→

∞+

∞− −+

−−=

−+∫

z

zz

z

z

dz2232 413

4131

413

( )( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−−

−+

−−=

−+ −∞→+∞→

∞+

∞−∫ 22232 413

4lim413

4lim131

413 z

z

z

z

z

dzzz


40

Campo Magnético

( )( ) [ ]11131

413232

−−−=−+

∫+∞

∞− z

dz

( )( ) 132

413232=

−+∫+∞

∞− z

dz

Substituindo na expressão do campo, teremos:

( )( ) ( )( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

−+= ∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−xy a

z

dzaz

dzmH ˆ413

3ˆ413

22232232π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−⋅= xy aamH ˆ

1323ˆ

13222

π

xy amamH ˆ1312ˆ

138

ππ−=

xy aaH ˆ10938,2ˆ10954,1 44 −− ⋅−⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

mAaaH yxµˆ8,195ˆ8,293

(b) 32 44ˆ

RRlId

RalId

Hd R

ππ×

=×

=

zadzld ˆ=

( ) zyx azaaR ˆ4ˆˆ3 −++=

( )2410 zR −+=

( )( )[ ]zyxR azaa

za ˆ4ˆˆ3

410

1ˆ2

−++−+

=

( )( )[ ]zyxzR azaa

zadzald ˆ4ˆˆ3

410

1ˆˆ2

−++−+

×=×

( ) ( ) xyR az

dzaz

dzald ˆ410

ˆ410

3ˆ22 −+

−−+

=×

( )( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

−+−+= xy a

z

dzaz

dzz

mHd ˆ410

ˆ410

34104

8222π

( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−+= ∫

+∞

∞−xy amam

z

dzH ˆ2ˆ6

410232 ππ

( )( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=−+

23223

232

104110

410 z

dz

z

dz

∫+∞

∞−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

= 23223

1041

101

z

dz

Chamando de:

θθ tgzztg 10410

4−=⇒

−=

θθddz 2sec10−=

( )( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞− +

−=

−+232

2

23232 1sec10

101

410 θ

θθ

tgd

z

dz

( )∫+∞

∞−

−= 232

2

23

21

secsec

1010

θ

θθd

∫+∞

∞−

−−=θθθ

3

21

secsec10 d

∫+∞

∞−

−=θθ

sec101 d

2

1101cos

101 θ

θ

θθθ send −=−= ∫+∞

∞−

Observação:

( )( ) Czbaa

zb

zba

dz+

−+

−−=

−+∫ 2232 )(

θθθ 2

2

1 tgtgsen+

=

2

2

1041

104

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=z

z

senθ

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−=

2410

4

z

zsenθ


41

Campo Magnético

( )( ) ( )

+∞→

−∞→

∞+

∞− −+

−−=

−+∫

z

zz

z

z

dz2232 410

4101

410

( )( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−−

−+

−−=

−+ −∞→+∞→

∞+

∞−∫ 22232 410

4lim410

4lim101

410 z

z

z

z

z

dzzz

( )( ) 102

410232=

−+∫+∞

∞− z

dz

( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−+= ∫

+∞

∞−xy amam

z

dzH ˆ2ˆ6

410232 ππ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= xy amamH ˆ2ˆ6

102

2 ππ

xy amamH ˆ104ˆ

1012

2 ππ−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

mAaaH yx

µˆ97,381ˆ32,1272

(c) 21 HHH +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−+−=

mAaaaaH yxyx

µˆ97,381ˆ32,127ˆ8,195ˆ8,293

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

mAaaH yx

µˆ77,577ˆ12,421

2. Um filamento de corrente de 3 , A está situado ao longo do eixo x. Determine H em componentes cartesianas em P(-1, 3, 2).

xa

3. Dois filamentos semi-infinitos no eixo z

estão situados nas regiões -∞ < z < -a e a < z < ∞. Cada um conduz uma corrente I na direção . za

(a) Calcule H como uma função de r e f em z = 0.

(b) Que valor de a irá fazer a magnitude de H em r = l, z = O ser metade do valor obtido para um filamento infinito?

Solução: (a) H como uma função de r e f em z = 0. z +a x -a r=1 (z=0) y

34 RRlIdHd

π×

=

zazdld ˆ′=

zazr ˆ′=′

ρρar ˆ=

rrR ′−=

zazaR ˆˆ ′−= ρρ

22 zR ′+= ρ

34 RRlIdHd

π×

=

( )( )3224

ˆˆˆ

z

azaazIdHd zz

′+

′−×′=

ρπ

ρ ρ

( ) φρ

ρπ

azzdIHd ˆ

4 2322 ′+

′=

( ) φρπ

ρ azzdIH ˆ

4 2322∫+∞

∞− ′+

′=

φ

ρρ

πρ a

z

zdIH ˆ

14 23

2

22

∫+∞

∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′+

′=

φ

ρ

πρa

z

zdIH ˆ

14 23

2

22 ∫+∞

∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′+

′=

θθρθρ dzdtgz 2sec=′⇒=′

( ) φθ

θθρπρ

atg

dIH ˆ1

sec4 232

2

2 ∫+∞

∞− +=

( ) φθ

θθπρ

adIH ˆsecsec

4 232

2

∫+∞

∞−

=

φθθ

πρadIH ˆ

sec4 ∫+∞

∞−

=

φθθπρ

adIH ˆcos4 ∫

+∞

∞−

=

φθ

θθ

πρasenIH ˆ

42

1=


42

Campo Magnético

θθθ 2

2

1 tgtgsen+

=

ρθθρ ztgtgz

′=⇒=′

( )( ) 22

2

2

2

1 zzsen

zzsen

′+′

=⇒′+

′=

ρθ

ρρθ

22 z′+ρzsen′

=θ

Substituindo, teremos:

φρρπρ

az

zz

zIHzaz

ˆlimlim4 2222 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

′+

′−

′+

′=

−∞→′−→′

φρρπρ

az

z

z

zIazz

ˆlimlim4 2222 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

′+

′−

′+

′+→′+∞→′

φρρπρ

aa

a

a

aIH ˆ114 2222 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−++

+−=

φρπρ

aa

aIH ˆ142

22 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

φρa 22 ⎥⎦⎢⎣ +

(b) Valor de a magnitude de H em r = l, z = O

πρaaIH ˆ1

2⎥⎤

⎢⎡−=

ser metade do valor obtido para um filamento infinito?

φρπρ

aa

aIH ˆ12 22 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

( ) iHzH210,1 ===ρ

φπρaIHIldH i

Ci ˆ

2=⇒=⋅∫

( ) φπρ a

aaIzH ˆ

11

120,1

2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

⋅==′=

φφ πρπaIa

aaI ˆ

221ˆ

11

12 2=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

⋅

21

11

2=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

aa

211

12−=

+aa

maaa3

12 2 =⇒+=

4. (a) Um filamento em f ma de um círculo

de raio a

1

or está centrado na origem no plano z = 0. Ele

conduz u

goo paralelos aos eixos coordenados e uma

orrente I flui na direção . Novamente, determine H

8.21 estão situados no espaço livre. Faça o gráfico de |H| versus y, 24 < y < 4, ao longo da linha x = 0, z = 2

(a) H, em P(0, 0 ) se I flui na direção

ma corrente I na direção φa . Determine H na origem.

(b) Um filamento de mesmo comprimento na forma de um quadrado é a ra colocado no plano z = 0. Os lados sãc φ

na origem.

5. Os condutores filamentares paralelos mostrados na Fig.

a

, z φa .

34 RRlIdHd

π×

=

311

114 RRlIdHd

π×

=

zy aayR ˆ2ˆ)1(1 ++=

4)1( 21 ++= yR

xadxld ˆ−=

( )( )32

14)1(4

ˆ2ˆ)1()ˆ(

++

++×−=

y

aayadxIHd zyx

π

( )[ ] 2321

4)1(

ˆ2ˆ)1(4 ++

−+−

=∫−

y

aaydxI

H yz

L

L

π


43

Campo Magnético

[ ] [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−

++

+−= yz a

ya

yyILH ˆ

4)1(2ˆ

4)1(1

2 2322321 π

32

222 4 R

RlIdHdπ×

=

zy aayR ˆ2ˆ)1(2 +−=

4)1( 22 +−= yR

xadxIld ˆ22 =

( )( )32

22

4)1(4

ˆ2ˆ)1(ˆ

+−

+−×=

y

aayadxIHd zyx

π

( )[ ] 2322

4)1(

ˆ2ˆ)1(4 +−

−−=∫−

y

aaydxI

H yz

L

L

π

[ ] [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

+−

−= yz a

ya

yyILH ˆ

4)1(2ˆ

4)1(1

2 2322322 π

21 HHH +=

=H[ ] [ ] ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−

++

+−yz a

ya

yyIL ˆ

4)1(2ˆ

4)1(1

2 232232π

[ ] [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

+−

−+ yz a

ya

yyIL ˆ

4)1(2ˆ

4)1(1

2 232232π

=H[ ] [ ] za

yy

yyIL ˆ

4)1(1

4)1(1

2 232232 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+−

+−

−π

[ ] [ ] yayy

IL ˆ4)1(

24)1(

22 232232 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

+++

π

=H[ ] [ ] za

yyy

yyyIL ˆ

521

521

2 232232 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+−

+−

+π

[ ] [ ] yayyyy

IL ˆ52

252

22 232232 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

+++

π

=H

[ ] [ ] [ ] [ ]2

232232

2

232232 522

522

521

521

2 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

+++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+−

+−

+

yyyyyyy

yyyIL

π

6. (a) Um filamento de corrente I na forma de

um círculo, r = a, está localizado no plano z = z'. Determine H, em P(0, 0, z) se I flui na direção . φa

(b) Determine H. em P causado por uma densidade superficial de corrente uniforme

φaKK ˆ0= , fluindo da superfície cilíndrica r = a, 0 < z < h. Os resultados do item (a) podem ajudar.

7. Dados os pontos C(5, -2, 3) e P(4, -1,2), um

elemento de corrente IdL=10-4(4, -3, l) A. m em C produz um campo dH em P.

(a) Especifique a direção de H por um vetor unitário aH.

(b) Determine |dH| (c) Que direção a, deve IdL ter em C de forma

que dH = 0? Solução:

(a) Direção de H por um vetor unitário aH.

( )zyx aaalId ˆˆ3ˆ410 4 +−= −

zyx aaaRCPCP ˆˆˆ −+−==−=→

3)1()1()1( 222 =−++−==→

RCP

zyxR aaaRRa ˆ

31ˆ

31ˆ

31ˆ −+−==

24ˆ

RalIdHd R

π×

=

( )

( )24

34

ˆ3

1ˆ3

1ˆ3

1ˆˆ3ˆ410

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−×+−

=

−zyxzyx aaaaaa

Hd

( )zyx aaaHd ˆˆ3ˆ2312

10 4

++=−

π

( )

14312

10

ˆˆ3ˆ2312

10

4

4−

π

π−

++=

zyx aaa

HdHd

zyx aaaHdHd ˆ

141ˆ

143ˆ

142

++=

zyx aaaHdHd ˆ27,0ˆ80,0ˆ53,0 ++=

(b) Determine |dH|

14312

10 4

π

−

=Hd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mAHd µ73,5

(c) Que direção aH, deve IdL ter em C de forma que dH = 0? Deve ter a direção:


44

Campo Magnético

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−±=±== zyxRl aaaalIda ˆ3

1ˆ3

1ˆ3

1ˆˆ

8. Para o elemento de corrente de

comprimento finito no eixo z, como mostrado na Fig. 8.5, use a lei de Biot-Savart para obter a Eq. (9) da Seção 8. l.

9. Uma lâmina de corrente K = 8az A/m flui na região - 2 < y < 1 no plano z = 0. Calcule H em:

P(0, 0, 3). Solução:

∫−

==⇒=2

2

KdyKbIdSKlId

AdyI 3282

2

== ∫−

34 RRlIdHd

π×

=

xaxdlId ˆ32 ′=

xaxr ˆ′=′

zar ˆ3=

rrR ′−=

zx aaxR ˆ3ˆ +′−=

223 xR ′+= ( )

( ) 232234

ˆ3ˆˆ32x

aaxaxdHd zxx

′+

+′−×′=

π

( ) ( )yaxxdHd ˆ

324

2322−

′+

′=π

( ) yaxxdH ˆ

324

2322∫+∞

∞− ′+

′−=π

y

x

x

ax

xH ˆ99

242

+∞→

−∞→+−=π

yxx

ax

xx

xH ˆ9999

2422 limlim ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−=

−∞→+∞→π

[ ] yaH ˆ)1(1924

−−+−=π

yaH ˆ948π

−= ( )mA

yaH ˆ69,1−=

10. Considere uma corrente filamentar de 5

mA direcionada do infinito para a origem no semi-eixo z positivo e depois de volta para o infinito no semi-eixo x positivo. Determine H em P(0, 1,0).

11. Um filamento infinito no eixo z conduz

20pmA na direção az. Três lâminas cilíndricas de corrente uniformes também estão presentes: 400 mA/m em r = l cm, -250 mA/m em r = 2 cm e -300 mA/m em r = 3 cm. Calcule Hf em r = 0,5, 1,5, 2,5 e 3,5. Solução:

310202 −⋅=⇒=⋅∫ ππρ φHIldHC

( ) ( )mAcmH 2

105,021020

210205,0 2

33

=⋅⋅

=⋅

== −

−−

ππ

πρπρφ

ztC

ILKHIldH +=⇒=⋅∫ 12 φπρ

310204,02 −⋅+=⇒=⋅∫ ππρ φ LHIldH tC

πρππρ

φ 2102024,0 3

1−⋅+⋅

=H

( ) 2

32

105,1210201024,05,1 −

−−

⋅⋅+⋅⋅

==π

ππρφ cmH

( ) ( )mAcmH 933,05,1 ==ρφ

LH 4,02 =φπρ

πρφ 24,0 LH =

( ) LLcmH 24,4105,12

4,05,1 2 =⋅== −π

ρφ

12. Na Fig. 8.22, considere as regiões 0 < z < 0,3 m e 0,7 < z < l,0 m sendo barras condutoras conduzindo densidades de corrente uniformes de 10 A/m2 em direções opostas, como mostrado. Determine H em z =:

(a) -0,2; (b) 0,2; (c) 0,4; (d) 0,75; (e) 1,2 m.


45

Campo Magnético

13. Uma casca cilíndrica oca de raio a está centrada no eixo z e conduz uma densidade superficial de corrente uniforme de Kaaf.

(a) Mostre que H não é uma função de f ou de z.

(b) Mostre que Hf e Hr são zero em toda parte,

(c) Mostre que Hz, = 0 para r > a. (d) Mostre que Hz = Ka para r < a. (e) Uma segunda casca, r = b, conduz uma

corrente Kbaf. Determine H em toda parte. Solução: I

(a) ˆz aC

H dl I H La K L⋅ = ⇒ ⋅ =∫ ( )A

z a mH K=

ˆa zH K a=

(b) ˆ 0a zH K a H Hφ ρ= ⇔ = = (c) Hz, = 0 para r > a pois num caminho retangular não entra corrente, como indicado na figura. (d) ˆ se a z z aH K a H K aρ= ⇔ = <

(e)

( )ˆ se C

z a b

H dl I

H La K K L aρ

⋅ =

⇒ ⋅ = + <

∫

( ) se a bH K K ρ a= + <

ˆ se C

z b

H dl I

H La K L a bρ

⋅ =

⇒ ⋅ = < <

∫

se bH K a bρ= < <

0 se H bρ= > 14. Um toróide de seção transversa de forma

retangular é definido pelas seguintes superfícies: os cilindros r = 2 cm e r = 3 cm e os planos z = l cm e z = 2,5 cm. O toróide conduz uma densidade superficial de corrente de -50az, A/m na superfície r = 3 cm. Determine H no ponto P(r, f, z):

(a) PA(l,5 cm, 0, 2 cm); (b) PB(2,lcm, 0, 2 cm); (c) PC(2,7 cm, p/2, 2 cm); (d) PD(3,5 cm, p/2, 2 cm).

15. Considere que há uma região com simetria

cilíndrica na qual a condutividade é dada por: s = 1,5e-150r kS/m. Um campo elétrico de 30az

V/m está presente, (a) Determine J. (b) Determine a corrente total que cruza a

superfície r < r0, z = 0, para todo f. (c) Use a lei circuital de Ampére para

determinar H. Solução:

(a) J. J Eσ=

a

150 ˆ1.5 30 zJ e kρ−=

( )2150 ˆ45 kA

z mJ e aρ−=

(b) Corrente total que cruza a superfície r < r0, z = 0, para todo f.

S

I J dS= ⋅∫∫

0 2150

0 0

ˆ ˆ45 z zI e ka d d aρ π

ρ ρ φ ρ−= ⋅∫ ∫

0 2150

0 0

45I k e d dρ π

ρρ ρ φ−= ∫ ∫


46

Campo Magnético

[ ]0

21500

0

14522500 150

I k eρ

πρ ρ φ−⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )015001 1 150

9022500

eI k

ρ ρπ

−⎡ ⎤− += ⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )0150012.56 1 1 150 ( )I e Aρ ρ−⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

(c) Use a lei circuital de Ampére para

determinar H. H dl I⋅ =∫ ( )1502 12.56 1 1 150H e ρπρ ρ−⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

( )1502 1 1 150H e ρ ρρ

−⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

( )1502 1 1 150H e ρ ρρ

−⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ ( )A

16. A casca cilíndrica, 2 mm < r < 3 mm,

conduz uma corrente total uniformemente distribuída de 8 A na direção - az;. Determine H em toda parte.

17. Um filamento de corrente no eixo z conduz uma corrente de 7 mA na direção az;, e lâminas de corrente de 0,5 az; e -0,2 az; estão localizadas em r = l cm e r = 0,5 cm, respectivamente. Calcule H em r =:

(a) 0,5 cm; (b) 1,5 cm; (c) 4 cm; (d) que lâmina de corrente deve ser colocada

em ρ = 4 cm de forma que H = 0 para todo r > 4 cm? Solução:

(a) 0,5 cm;

0 se H dl I aρ⋅ = <∫

2 0.00H 7πρ =

0.0072

Hπρ

=

2

0.0072 0.5 10

Hπ −=

⋅

( )12.228 10 AmH −= ⋅

1 0 se H dl I I aρ⋅ = + =∫

12 2 0.007H K aπρ π= +

12 0.0072

K aH ππρ+

=

10.0072

aH Kρ πρ

= +

2

0.0070.22 0.5 10

Hπ −= − +

⋅

0.0228H =

( )22.28 10 AmH −= ⋅

(b) 1,5 cm;

2 1 0 se H dl I I I aρ⋅ = + + >∫

2 12 2 2 0.007H K b K aπρ π π= + +

2 10.0072

b aH K Kρ ρ πρ

= + +

2 2

2 2

1 10 0.5 10 0.0070.5 0.21.5 10 1.5 10 2 1.5 10

Hπ

− −

2− − −

⋅ ⋅= − +

⋅ ⋅ ⋅

( )13.409 10 AmH −= ⋅

(c) 4 cm;

2 10.0072

b aH K Kρ ρ πρ

= + +

2 2

2 2

1 10 0.5 10 0.0070.5 0.24 10 4 10 2 4 10

H 2π

− −

− −

⋅ ⋅= − + −⋅ ⋅ ⋅

( )11.278 10 A

mH −= ⋅ (d) que lâmina de corrente deve ser colocada

em ρ = 4 cm de forma que H = 0 para todo r > 4 cm?

3 2 1 0 se 4H dl I I I I cmρ⋅ = + + + >∫

3 2 1 0 0 se 4I I I I cmρ+ + + = >

3 2 1 02 2 2K c K b K a I 0 π π π+ + + =


47

Campo Magnético

03 2 1 2

Ib aK K Kc c cπ

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

3 2 2

1 10 0.5 10 0.0070.5 0.24 10 4 10 2 4 10

Kπ

− −

− −

⎛ ⎞⋅ ⋅= − − 2−⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

+

( )11.278 103Am

está distribuída

como se

J = 8(2 - y)az ; A/m para l < y < 2 m, y)az ; A/m2 par <y< -l m. Use

simetria pére para determinar H em toda parte.

19. Calcul

K −= − ⋅

18. Uma densidade de corrente segue: J = 0 para |y| > 2 m, J = 8yaz ; A/m2 para |y| < l m,

2

J = -8 (2 + a -2 e a lei de Am

e ( )[ ]G⋅∇∇×∇ se

x ˆˆ2 22 −+= ( ) zyx azxayayzG 20ˆ2 −

Solução:

=⋅∇ Gz

Gy

Gx

G zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇ G ( ) ( ) ( )z

zxy

yx

yzx∂−∂

+∂−∂

+∂

∂ 222 202

=⋅∇ G zxyz 2204 −− =⋅∇ G zxyz 2204 −−

( )( ) ( ) ( ) ( )G zyx aGz

aGy

aGx

ˆˆˆ ⋅∇∂

∇∂

+⋅∇∂∂

=⋅∇∇ ∂

+⋅∂

( ) ( ) ( )

( ) z

y

xyz

x

azz

azxyzaxyzx

G

204

ˆ2204ˆ24

−−∂∂

+

−−+−∂∂

=⋅∇∇y

z

ˆ2

20∂∂

−

( ) zyx xyaxza ayzG ˆ24ˆ4 −++=⋅∇∇ )(ˆ4

( )[ ]2444

ˆˆˆ

−∂∂

∂∂

∂∂

=⋅∇∇×∇

xyxzyzzyx

aaa

G

zyx

( )[ ] ( ) ( ) ( ) zyx azzayyaxxG ˆ44ˆ44ˆ44 −+−+−=⋅∇∇×∇

( )[ ] zyx aaaG ˆ0ˆ0ˆ0 ++=⋅∇∇×∇

20. A intensidade de campo magnético é dada em uma região quadrada x = 0, 0,5 < y < l, l <z< 1,5 por:

( )mA

zyx ayaxazH ˆˆˆ 422 ++=

(a) Calcule ∫H ⋅C

ld em rno do perímetro da

regiãine

to

o quadrada, (b) Determ ( )xH×∇

( )xH×∇ (c) Calcule no centro da região,

(d) É ( )xH×∇ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∫ AldH

C

área envolvida?

21. Os pontos A, B, C, D, E e F estão, cada um, a 2 mm da origem nos eixos coordenados indicados na Fig. 8.23 valor de H em cada ponto é dado. Calcule um valo proximado para na origem.

Po

. Or a

H×∇

ntos H (A/m)A 11.34ax -13.78ay 14.21azB 10.68ax -12.19ay 15.82azC 10.49ax -12.19ay 15.69azD 11.49ax -13.78ay 14.35azE 11.11ax -13.88ay 15.10azF 10.88ax -13.18ay 14.90az

z

)

C(0, 2, 0)

0 y

,0,0) x F(0, 0, -2)

E(0, 0 2) B(-2, 0, 0 D(0, -2, 0)

A(2

( )x

C

Sx S

ldH ⋅∫H

x ∆=×∇

→∆ 0lim

Sendo 2623 1016104 mlSml −− ⋅=∆=∆⇔⋅=∆

( ) ( ) ( )2

ˆˆˆˆl

alHalHalHalHH yFzDyEzC

x ∆

∆⋅+−∆⋅+−∆⋅+∆⋅=×∇

( ) 3104)10,13()1(35,14)1)(88,13(69,15

−⋅−+−+−−+

=×∇ xH

( ) 530=×∇ xH


48

Campo Magnético

( )y

C

Sy S

ldHH

y ∆

⋅=×∇

∫→∆ 0

lim

S

( ) ( ) ( )2

ˆˆˆˆl

alHalHalHalHH zBxFzAxEy ∆

∆⋅+−∆⋅+−∆⋅+∆⋅=×∇

( ) 310482,15)1(88,10)1(21,1411,11

−⋅+−+−+

=×∇ yH

( ) 460=×∇ yH

( )z

C

Sz S

ldHH

z ∆

⋅=×∇

∫→∆ 0

lim

S

( ) ( ) ( ) ( )2

ˆˆˆˆl

alHalHalHalHH yBxCyAxD

z ∆−∆⋅+−∆⋅+∆⋅+∆⋅

=×∇

( ) 310419,1249,10)78,13(49,11

−⋅+−−+

=×∇ zH

( ) 5,147−=×∇ zH

x aa ˆˆ460ˆ530 += zy aH 5,147−×∇ 22. Na região cilíndrica:

r

= 0,6 mm, ( )m2AH 2 ρ

ρφ ,en+= quanto

( )mAH

22 ρρφ += para r > 0,6 mm.

(a) Determine J para r < 0,6 mm. (b) Determine J para r > 0,6 mm.

te filamentar em r = 0? Caso haja, qual

(c) Há uma corren é o seu valor?

(d) Qual é J em r = 0?

23. Dado o campo mAaH φρ ˆ20 2= : (a) determine a densidade de corrente J; (b) integre J sobre a superfície circular r = l, O < f < 2p, z = 0 para determinar a corrente

total e passa através dessa superfície na direção azine a corrente total mais uma vez, mas

desta vez pela integral de linha em tomo do caminho circular l, O < f < 2p, z = 0.

(a) J;

Em coordenadas cilíndricas:

qu(c) determ

r =

Solução:

HJ ×∇=

( )z

zz aHH

aHz

Ha

zHHH ˆ1ˆˆ1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=×∇φρ

ρρρφρ

ρφφ

ρρ

φ

( )zaa

za

zH ˆ0201ˆ00ˆ)20(01 22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=×∇φρ

ρρρρ

ρφρ φρ

( ) ( ) ( ) zaaaHJ ˆ3201ˆ0ˆ0 2ρρφρ ⋅++−=×∇=

( )2ˆ60mA

zaHJ ρ=×∇=

(b) integre J sobre a superfície circular r = l, O < f < 2p, z = 0

∫ ∫∫∫ ⋅=⋅=π

φρρρ2

0

1

0

ˆˆ60 zzS

addaSdJI

∫∫ ∫∫ ==1

0

22

0

2

0

1

0

2 6060 ρρφφρρπ π

ddddI

AI ππρπ 403

1203

2601

0

3

==⋅⋅=

(c) determine a corrente total mais uma vez, mas desta vez pela integral de linha em tomo do caminho circular r = l, O < f < 2p, z = 0.

∫∫ ⋅=⋅=CC

adaldHI φφ φρρ ˆˆ20 2

πφρφρ 21202020 333 ⋅⋅=== ∫∫CC

ddI

AdI ππφπ

402201202

0

3 =⋅=⋅= ∫

24. Calcule ambos os lados do teorema de Stokes para o campo φθasenG ˆ10= , e para a superfície r = 3, 0 § q § 90°, 0 § f § 90°. Considere a superfície tendo uma direção ar ? 25. Dado o campo:

( )mAasenaH φρφφ ˆ2

ˆ2

cos21

−=

calcule ambos os lados do teorema de Stokes para o caminho formado pela interseção do cilindro r = 3 e do plano z = 2 e para a superfície definida por r = 3, 0 § z § 2 e z = 0, 0 § r § 3. Solu ão: ç

( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇CS

ldHSdH


49

Campo Magnético

( )z

zz aHH

aHz

Ha

zHHH ˆ1ˆˆ1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=×∇φρ

ρρρφρ

ρφφ

ρρ

φ

( ) ( ) ( )( ) ( )za

sena

za

zsen

H ˆcos1ˆ0cosˆ01 221

2221

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂−∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

−∂−

∂∂

=×∇φρ

ρρρφρ

φφ

φ

φ

ρ

φ

( ) ( ) ( ) ZasensenaaH ˆ1ˆ0ˆ0 241

2φφ

φρ ρ+−++=×∇

ZasenH ˆ43

2φ

ρ−=×∇

( ) zzSS

addasenSdH ˆˆ43

2 φρρρ

φ ⋅−=⋅×∇ ∫∫∫∫

( ) ∫∫∫∫ −=⋅×∇π

φφρ2

0

3

0 243 dsendSdH

S

( )πφρ

2

0

3

0 2cos2

43

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−=⋅×∇∫∫

S

SdH

( ) ]0cos[cos29

2cos

29 2

0

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⋅×∇∫∫ πφ π

S

SdH

( ) ASdHS

9−=⋅×∇∫∫

zadzadadld ˆˆˆ ++= φρ φρρ

( ) ( )φρφφ φρρ adadasenldH

CC

ˆˆˆ2 +⋅−=⋅ ∫∫

φρ φdsenldHCC∫∫ −=⋅

11

2

φφπ

dsenldHC

∫∫ −=⋅2

0 23

1

πφ 2

02cos23

1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−=⋅∫

C

ldH

[ ])0cos(cos231

−−−=⋅∫ πC

ldH

121

−=⋅∫C

ldH

26. Seja φarG ˆ15= .

(a) Determine ∫ ⋅C

ldG para o caminho circular

r = 5, q = 25°, 0 <f < 2 . p

Calcule ( )∫∫ ⋅×∇s

SdG sobre a calota esférica

r = 5,0 ; q = 25°, 0 <f < 2p. 27. A intensidade de campo, magnético é dada em

uma y certa região do espaço como

( )mA

zy az

az

yxH ˆ2ˆ22 +

+=

(a) Determine H×∇ . (b) Determine J. (c) Use J para determinar a corrente total que passa

através da superfície z = 4, 1 § x § 2, 3 § z § 5 na direção az .

(d) Mostre que o mesmo resultado é obtido usando o outro lado do teorema de Stokes.

Solução: (a)

H×∇ =

zxy

yxx

xyz a

yH

xH

ax

Hz

Ha

zH

yH ˆˆˆ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

( )mA

zy az

az

yxH ˆ2ˆ22 +

+=

02=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂

zxxH z

2

22zzzz

H z −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂

02=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂

zyyH z

22

12zz

yxxx

H y =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

=∂

∂

22

22zz

yxyy

H y =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

=∂

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

=∂

∂32

222z

yxz

yxzz

H y

( )2ˆ1ˆ22 23 mA

zx az

az

yxH +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=×∇

(b) Determine J.

( )2ˆ1ˆ22 23 mA

zx az

az

yxHJ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=×∇=

(c) Corrente que atravessa a superfície: z = 4, 1 § x § 2, 3 § y § 5 na direção az

∫∫∫∫ ⋅=⋅=S

zS

adxdyJSdJI ˆ

∫∫∫ ∫ ==5

3

2

12

2

1

5

32

11 dydxz

dydxz

I

( ) ( ) AyxI813512

161

41 5

3

2

12 =−⋅−⋅==


50

Campo Magnético

(d) Mostre que o mesmo resultado é obtido usando o outro lado o teorema de Stokes. d

( )∫∫ ++⋅=⋅=C

zyxC

adzadyadxHldHI ˆˆˆ

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

C

dzz

dyz

yxI 222

dyz

yxIC∫

+= 2

2

dyz

yxdyz

yxdyz

yxdyz

yxIC CCC∫ ∫∫∫

++

++

++

+=

3 421

2222

2222

z (1,3) C1 (1,5) z =4 C2 C4 (2,3) C3 (2,5) y x

Olhando a figura,podemos separar a curva fechada C em:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==≥≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤≤

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==≤≤

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥≥

=

dydyy

xC

dydyy

xC

dyy

xC

dydyy

xC

C

512

:

532

:

03

21:

351

:

:

4

2

1

3

dyz

yxdyz

yxdyz

yxdyz

yxIC CCC∫ ∫∫∫

++

++

++

+=

3 421

2222

2222

∫∫+

++

=5

32

3

52 4

224

21 dyydyyI

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= ∫∫

5

3

3

5

)22()21(161 dyydyyI

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++=

=

=

=

=

5

3

23

5

2 2161 y

y

y

yyyyyI

( )2222 332(552)55(33161

+⋅−+⋅++−+=I

( )15353012161

−+−=I

( )2018161

+−=I

AI81

162==

28 Dado . ( )m

AarasenrH φθ θθ ˆcos54ˆ)3( 2 += no espaço livre:

(a) determine a corrente total na direção aq através da superfície cônica q = 20°, 0 § f § 2p, 0 § r § 5 pelo lado do teorema de Stokes que você julgar melhor,

(b) Verifique o resultado usando o outro lado do teorema de Stokes.

29. Um longo condutor retilíneo não-magnético

de 0,2 mm de raio conduz uma corrente uniformemente distribuída de 2 A.

(a) Determine J dentro do condutor, (b) Use a lei circuital de Ampére para determinar

H e B dentro do condutor, (c) Mostre que dentro do condutor, JH =×∇(d) Determine H e B dentr do condutor. o

J

(e) Mostre que fora do condutor. JH =×∇ Solução: (a) dentro do condutor: r < R

IldHC

=⋅∫

22

2 πρπ

πρRIJldH

C

==⋅∫

22 ρR

IldHC

=⋅∫

( )2

241022 ρφρ−⋅

=∫c

dH

28104

22 ρπρ −⋅=H

ρπ 8104

1−⋅

=H

φρaH ˆ109,7 6⋅=

HJ ×∇=


51

Campo Magnético

( )z

zz aHH

aHz

Ha

zHHJ ˆ1ˆˆ1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=φρ

ρρρφρ

ρφφ

ρρ

φ

( )za

HJ ˆ1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=

ρρ

ρφ

( )zaJ ˆ1109,7 6

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅=

ρρρ

ρ

( )zaJ ˆ1109,7

26

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅=ρρ

ρ

zaJ ˆ21109,7 6 ρρ

⋅=

( )2ˆ10591,1 7mA

zaJ ⋅=

(b) Use a lei circu al de Ampére para determinar H e B

it dentro do condutor,

φρaH ˆ109,7 6⋅=

HB 0µ=

φρµ aB ˆ109,7 60 ⋅=

φρaB ˆ927,9=

(c) Mostre qu dentro do condutor,

(d) Determine H e B fora do condutor.

e JH =×∇HJ ×∇=

IldH

C

=⋅∫

IdHC

=∫ φρ

IH =πρ2

φπρaIH ˆ

2=

φπρaH ˆ

22

=

( )mAaH φπρ

ˆ1=

HB 0µ=

φπρµ

aB ˆ0=

( )2ˆ104 7

mWbaB φρ

−⋅=

(e) Mostre qu fora do condutor.

0. Um condutor sólido não-magnético de seção transv

dentro do condutor.

31. A casca cilíndrica definida por l cm < r < l,4 cm co

uza o plano

drica: 1cm < r < l,4 cm

) 0 < r < l,2cm; z = 0, 0 < f < l:

álculo de B para dentro da casca cilíndrica:

e JH =×∇0==×∇ JH

3ersa circular tem um raio de 2 mm. O condutor é

não-homogêneo, com s =106(1+ 106r2) S/m. Se o condutor tem l m de comprimento e uma tensão de l mV entre suas extremidades, determine:

(a) H dentro do condutor; (b) o fluxo magnético total

nsiste em um material condutor não-magnético e conduz uma corrente total de 50 A na direção az..

Determine o fluxo magnético total que crf = 0, 0 < z < l: Solução: Casca cilínDisco 1cm < r < l,4 cm e casca. (af = 0, 0 < z < l: C

IldHC

=⋅∫

( ) ( )2222 r

rRIdH

C

−−

=∫ ρππ

φρ

( ) ( )22222 r

rRIH −−

= ρππ

πρ


52

Campo Magnético

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<−

−

<

=

RaI

RrarrR

Icm

H

ρπρ

ρρ

ρπ

ρ

φ

φ

se ˆ2

se ˆ2

1 se 022

22

HB 0µ=

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<−

−

<

=

RaI

RrarrR

Icm

B

ρπρµ

ρρ

ρπ

µρ

φ

φ

se ˆ2

se ˆ2

1 se 0

0

22

220

( )( )( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<−

−

<

=− 2

se ˆ2

50

se ˆ1014,12

501 se 0

0

22

22220

mWb

Ra

Rrarcm

B

ρπρ

µ

ρρ

ρπ

µρ

φ

φ

( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<−

<

=

−

2

se ˆ10

4,11 se ˆ1104.0

1 se 0

5

2

mWb

Ra

cma

cm

B

ρρ

ρρ

ρρ

φ

φ

∫∫ ⋅=ΦS

SdB

∫∫ ⋅=ΦS

adzdB φρ ˆ

dzdρρ

ρ∫ ∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=Φ

2.1

0.1

1

0

2 1104.0

[ ] 410

2.1

1

2

10ln2

104.0 −⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅=Φ zρρ

[ ] 42

100112,1ln

212.1104.0 −⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=Φ

µ0376.04.10 ⋅=Φ Wbµ3918.0=Φ

(b) l,2cm< r < 1,4 cm;

∫∫ ⋅=ΦS

SdB

∫∫ ⋅=ΦS

adzdB φρ ˆ

dzdρρ

ρ∫ ∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=Φ

4.1

2.1

1

0

2 1042.1

[ ]1044.1

2,1

2

10ln2

104.0 z−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅=Φ ρρ

[ ]01102.14.1ln

22,14.1104.0 4

22

−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=Φ −

µ1058.04.10 ⋅=Φ

Wbµ1.1=Φ (c) 1,4 cm < r < 20 cm.

∫∫ ⋅=ΦS

SdB

∫∫ ⋅=ΦS

adzdB φρ ˆ

dzdρρ∫ ∫−

=Φ20

4.1

1

0

510

[ ] [ ]10204,1

5 ln10 zρ⋅=Φ −

[ ][ ]01ln10 4.1205 −⋅=Φ −

µ59.26=Φ Wbµ59.26=Φ

32. A região do espaço livre definida por l < z <

4 cm e 2 < r < 3 cm é um toróide de seção transversa retangular. Considere a superfície em p = 3 cm conduzindo uma corrente superficial K = 2az kA/m.

(a) Especifique as densidades de corrente nas superfícies em r = 2 cm, z = Icm e z = 4 cm.

(b) Determine H em toda parte, (c) Calcule o fluxo total dentro do toróide.

33. Use uma expansão em coordenadas

cartesianas para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar G é identicamente igual a zero. Solução:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

×∇=∇×∇ zyx azGa

yGa

xGG ˆˆˆ


53

Campo Magnético

zG

yG

xG

zyx

aaa

G

zyx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∇×∇

ˆˆˆ

zyx axy

Gyx

Gazx

Gxz

Gayz

Gzy

GG ˆˆˆ222222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂∂

=∇×∇

Para funções G contínuas:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=

∂∂∂

⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=

∂∂∂

⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=

∂∂∂

xyG

yxG

zxG

xzG

yzG

zyG 222222

Logo: 0=∇×∇ G

34. Um condutor filamentar no eixo z conduz uma corrente de 16 A na direção az, uma casca condutora em r = 6 conduz uma corrente de 12 A na direção az, e outra casca em r = l O conduz uma corrente total de 4 A na direção –az;

(a) Determine H para O < r < 12. (b) Faça o gráfico de H versus r. (c) Determine o fluxo total Φ que cruza a

superfície l < r <7, 0< z < l.

35. Uma lâmina de corrente, K = 20az- A/m, está localizada em r = 2 e uma segunda lâmina, K = - 10 az, A/m, está localizada em r = 4.

(a) Seja V= 0 em P(r = 3, f= 0, z = 5) e coloque uma barreira em f = p Determine V(r, f, z) para - p< f < p.

(b) Seja A = 0 em P e determine A(r, f, z) para 2 < r < 4.

Solução: (a) V= 0 em P(r = 3, f= 0, z = 5) f = p V(r, f, z) para - p< f < p. O potencial magnético vetorial A é dado por:

∫=C R

LIdAπ

µ40 ou ∫=

S RdSKA

πµ

40

∫= RdLV L

04περ

∫ ⋅−=a

babm LdHV ,

Potencial magnético devido à primeira lâmina de corrente:

∫=C R

LdIA1

1101 4π

µ

∫×

=C

R

RaLdI

H 21

111 4

ˆ1

π

( ) φπρρ aIH ˆ

242 1=<<

φφρaVVH m

m ˆ1∂∂

−=∇−=

∫=⇒∂∂

−=φ

φπφρπρ 3

11

21

2dIVVI

mm

∫−=⇒∂∂

−=φ

φπφρπρ 3

11

21

2dIVVI

mm

φπ21IVm −=

Como πππρ 80240220 111 =⋅=⋅== bKI

( ) AVV mm φρφππ 4042

280

−=<<⇒−=

Para r > 4: ( )φ

π221 IIVm

+−=

πππρ 80420210 222 −=⋅−=⋅−== bKI

( ) 0

28080

=−

−= φπ

ππmV

( ) AVm 04 =>⇒ ρ (b) Seja A = 0 em P e determine A(r, f, z)

para 2 < r < 4.

RLdIAd

πµ

410=

rrR ′−=

zazar ˆˆ += ρρ

ρar ˆ2=′

( ) zazarr ˆˆ2 +−=′− ρρ

( ) 222 zR +−= ρ

zadzLd ˆ=

( ) zaz

dzIAd ˆ24 22

10

+−=

ρπ

µ


54

Campo Magnético

( ) zaz

dzIA ˆ24 22

10∫+−

=ρπ

µ

( ) zaz

dzIA ˆ24 22

10 ∫+−

=ρπ

µ

( ) zaz

dzIA ˆ

21

21

4 210 ∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

=

ρ

ρπµ

( ) ( ) θθρθρ ddztgz 2sec22 −=⇒−=

( )( )

zatg

dIA ˆ1

sec22

14 2

210 ∫

+

−−

=θ

θθρρπ

µ

zadIA ˆsec4

10 θθπ

µ∫=

zatgIA ˆsecln4

10 θθπ

µ+=

( )za

zzIA ˆ2

22

ln4

2210

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−+

+−

=ρρ

ρπµ

( )za

zzIA ˆ2

2ln

4

2210

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−++

=ρ

ρπ

µ

( )za

zzA ˆ

22

ln480 22

0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−++

=ρ

ρππµ

( ) ( )mWb

zazz

A ˆ2

2ln20

22

0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−++

=ρ

ρµ

36. Seja ( )mWb

yx axzazyA ˆ2ˆ)3( +−= numa certa região do espaço livre. Mostre que

. 0=×∇ A(b) Em P(2, -1,3), determine A, B, H e J.

37. Seja N = 1000, I = 0,8 A, r0 = 2 cm e a =

0,8 cm para o toróide mostrado na Fig. S.l2b. Determine Vm no interior do toróide se Vm = 0 em r = 2,5 cm, f > = 0,3p. Mantenha f dentro do intervalo 0 < <f < 2p.

Solução: a r0

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+>

+<<−

−<<−

+>

=

a se 0

se ˆ2

0 se ˆ

a se 0

0

00

00

0

ρρ

ρρρπρ

ρρρ

ρρρ

φ

φ

aaaNI

aaaKH

a

mVH ∇−=

zmmm

m az

VaVaVV ˆˆ1ˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ φρ φρρ

φρρ

ρ daKV am ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= 0

( )φρ aKV am −−= 0

( ) 00 VabNIVm +−−= φρ

( ) 00 008,002,08,010002 VVm +−⋅−= φπρ

( ) 0008,002,08,0100002,02 VVm +−⋅⋅−= φπ

( ) 0008,002,0320 VVm +−−= φπ

φρπρ

µ dNIVm ∫−= 20

00

2VNIVm +−= φ

πµ

00

28,01000 VVm +

⋅−= φ

πµ

00400 VVm +−= φ

πµ


55

Campo Magnético

( ) 0000 12003,04003,0 µπ

πµπ =⇒=+−= VVVm

00 120400 µφ

πµ

+−=mV

)(4001200 AVm ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= φ

πµ

38. O solenóide mostrado na Fig.11b contém

400 espiras, conduz uma corrente I = 5 A, tem um comprimento de 8 cm e um raio a = l ,2 cm.

(a) Determine H dentro do solenóide, (b) Se V = 0 na origem, especifique V(r, f, z)

dentro do solenóide, (c) Seja A = 0 na origem e especifique A(r, f, z) dentro do solenóide se o meio é o

espaço livre.

39. Lâminas de correntes planas de K = 30az; A/m e -30az; A/m estão localizadas no espaço livre em x = 0,2 e x = -0,2, respectivamente. Para a região

-0,2 < x< 0,2: (a) determine H; (b) Obtenha uma expressão para Vm se Vm = 0 em

P(0,l; 0,2; 0,3); (c) Determine B; (d) obtenha uma expressão para A se A = 0 em P.

-

2ˆNa

-

1ˆNa

zaK ˆ302 += Solução:

(a) H; 2,0ˆ302 =⇒+= xaK z

2,0ˆ301 −=⇒−= xaK z

AbKI 124,03011 =⋅==

AbKI 124,03022 −=⋅−==

1ˆ12

11 NaKH ×=

( ) yxz aaaH ˆ15ˆˆ3021

1 −=−×=

2ˆ22

12 NaKH ×=

( ) ( ) yxz aaaH ˆ15ˆˆ3021

2 −=×−=

yy aaHHH ˆ15ˆ1521 −−=+=

( )mA

yaH ˆ30−= (b) Obtenha uma expressão para Vm se Vm = 0 em

P(0,l; 0,2; 0,3);

yym

m aay

VVH ˆ30ˆ −=∂∂

−=∇−=

03030 VydyVm +== ∫

602,030)2,0( 00 −=⇒=+⋅== VVyVm

)(630 AyVm −= (c) Determine B;

( )2ˆ30 00 mWb

yaHB µµ −==

(d) obtenha uma e pressão para A se A = 0 em P. xAB ×∇=

030µ−=∂∂

−∂∂

xA

zA zx

RLIdAd

πµ40=

Como 0ˆ// =⇒ xz AaLd

0000 303030 AxdxAxA

zz +==⇒−=

∂∂

− ∫ µµµ

0000 301,030)1,0( µµ −=⇒=+== AAxA

)110(3 0 −= xAz µ

( )mWb

zaxA ˆ)330(0 −= µ

40. Seja ( ) ( ) m

Wbzyx ayxazxazxA ˆ2ˆ223 22 ++−−=

no espaço livre .Determine A×∇×∇ em P(2, 3, -l).

41. Suponha que A = 50r2az , Wb/m em uma certa

região do espaço livre, (a) Determine H e B. (b) Determine J.


56

Campo Magnético

(c) Use J para determinar a corrente total que cruza a superfície 0 § r § 1, 0 § f § 2p, z = 0.

(d) Use o valor de Hf em r = l para calcular

∫ ⋅C

LdH para r = l,z=0.

Solução: (a) H B. e

AB ×∇= ( )

zzz a

AAaA

zA

az

AAB ˆ1ˆˆ1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=φρ

ρρρφρ

ρφφ

ρρ

φ

050 2 ==⇔= φρρ AAAz

( )zaa

za

zB ˆ001ˆ)50(0ˆ0)50(1 22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂=

φρρ

ρρρ

φρ

ρ φρ

( ) ( )2ˆ100mWbaB φρ−=

( )mAaHBH φµ µ

ρ ˆ100

0

10

−=⇒=

(b) Determine J. HJ ×∇=

( )z

zz aHH

aHz

Ha

zHHJ ˆ1ˆˆ1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=φρ

ρρρφρ

ρφφ

ρρ

φ

0100

0

==⇔−= zHHH ρφ µρ

( )( ) ( )2ˆ200ˆ1001

00mA

zz aJaJµρ

ρρρµ

−=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂−∂

=

(c) I na superfície 0 § r § 1, 0 § f § 2p, z = 0.

( )∫ ∫∫∫ ⋅−=⋅=π

φρρµ

2

0

1

0 0

ˆˆ200zz

S

addaSdJI

[ ] ππ

φρµ

φρρµ

20

1

0

2

0

2

0

1

00 2200200

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= ∫ ∫ ddI

( )AI0

200µπ

−=

( )AI 610500 ⋅−= (d) Use o valor de Hf em r = l para calcular

∫ ⋅C

LdH para r = l,z=0.

)(200100

0

2

0 0

AdLdHC µ

πφρµρπ

−=−=⋅ ∫∫

42. Mostre que ( ) ( ) 3

1212121122 11 RRRR =∇=∇ .

43. Calcule o potencial magnético vetorial dentro do condutor externo para uma linha coaxial cujo potencial magnético vetorial é mostrado na Fig. 8.20 se o raio externo do condutor externo é 7a. Escolha um zero de referência apropriado e esboce os resultados na figura. Solução:

C1 a b C2

c I I Cálculo do Campo Magnético H:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−+<<+

<<+<

=⋅∫cII

cbIIbaI

aI

LdHc

c

C

ρρ

ρρ

se se

se se

2

1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−+<<+

<<+<

=⋅∫cII

cbJAIbaI

aJA

LdHC

C

C

ρρ

ρρ

se se

se se

2

1

( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<−−

−

<<+

<

=

c

cbbbc

II

baI

aaI

H

ρ

ρρππ

ρ

ρπρπ

πρφ

se 0

se

se

se

222

22

22

( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−

<<+

<

=

c

cbabcbI

baaI

aaaI

H

ρ

ρρπρ

ρπρ

ρρπ

φ

φ

φ

se 0

se ˆ12

se ˆ2

se ˆ2

22

22

2


57

Campo Magnético

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

<<+

<

=

c

cbabc

cI

baaI

aaaI

H

ρ

ρρπρ

ρπρ

ρρπ

φ

φ

φ

se 0

se ˆ2

se ˆ2

se ˆ2

22

22

2

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

<<+

<

=

c

cbabc

cI

baaI

aaaI

B

ρ

ρρπρµ

ρπρµ

ρρπµ

φ

φ

φ

se 0

se ˆ2

se ˆ2

se ˆ2

22

220

0

20

AB ×∇= Como A//Jñ Ar= Af = 0

AB ×∇=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=×∇=ρ

ρφφ

zAz

AAB

( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−

<<+

<

=∂∂

−

c

cbbcbI

baI

aaI

Az

ρ

ρρπ

ρµ

ρπρµ

ρρπµ

ρ

se 0

se 2

1

se 2

se 2

22

22

0

0

20

( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

<<−

<−

=

∫

∫

∫

cA

cbdbcbI

badI

adaI

Az

ρ

ρρρπ

ρµ

ρρπρµ

ρρρπµ

se

se 2

1

se 2

se 2

c

22

22

0

0

20

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−−

<<+−

<+−

=

cA

cbAbbc

ρI

baAI

aAaI

A

cb

b

a

z

ρ

ρρρπ

µ

ρρπ

µ

ρρπµ

se

se ln24

1

se ln2

se 22

c

22

220

0

2

20

44. Expandindo a Eq. (58), Seção 8.7, em coordenadas cartesianas, mostre que (59) está correta.


58

Campo Magnético

Apêndice – Efeitos Adaptado de: http://www.feiradeciencias.com.br/sala19/texto72.asp 1. Efeito de magnetoestricção Quando metais, como o níquel, o ferro ou o

cobalto, são magnetizados pela presença de um campo magnético, eles sofrem uma variação no seu comprimento. Em freqüências ultra-sônicas, esse efeito é útil para aplicações de limpezas ou como transdutor para sonar.

Você pode constatar isso experimentalmente, utilizando-se de um tubo de aço ou de ferro, conforme a montagem que ilustramos.

2. Efeito Brigite Bardot

Assim é como os técnicos norte-americanos e brasileiros, denominam um bizarro defeito nas TVs.

Ele se caracteriza por "ondulações sinuosas" nas linhas verticais da imagem. O defeito é provocado por um sinal parasita que modula o sincronismo horizontal. Para sanar tal defeito recomendamos: verificação dos componentes em paralelo com o yoke; verificação do transistor (ou válvula) do estágio de saída horizontal e, finalmente, verificação do comparador de fase, particularmente o circuito de constante de tempo na linha de tensão de controle fornecida pelo comparador de fase.

3. Efeito Kerr

É um efeito eletro-óptico, segundo o qual certas substâncias transparentes tornam-se birrefringentes, quando submetidas a um campo elétrico.

Esse campo é aplicado em direção perpendicular ao estreito feixe de luz que se deseja modular em intensidade. Tem sido usado atualmente (célula Kerr) para modular feixes de luz de laser.

4. Efeito Stark

Surge quando associamos campos elétricos e luz.

Stark descobriu que os campos elétricos intensos "dissecam" as linhas espectrais de vários elementos, em numerosas linhas mais finas, relacionando-se esse efeito com a polarização do material.

5. Efeito Hallwachs Também é relacionado com a luz. É graças a esse efeito que um corpo eletrizado negativamente, no vácuo, se descarrega quando banhado com luz ultravioleta.

Isso pode ser constatado, conforme ilustramos, colocando-se uma esfera eletrizada negativamente dentro de uma campânula da máquina pneumática.

Um eletroscópio de folhas, interligado à esfera, mantém suas folhas abertas, indicando a


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eletrização. Após a incidência de luz ultravioleta, as delgadas lâminas do eletroscópio fecham-se, indicando a neutralidade da esfera.

6. Efeito Barkhausen É o efeito de orientação da força magnetizante imposta por uma corrente elétrica, sobre os elementos cristalinos num corpo ferromagnético. O efeito Barkhausen explica a elevação abrupta da curva de magnetização até a saturação. É originado pela repentina reordenação dos mesmos domínios magnéticos, que são facilmente girados. Barkhausen é geralmente mais conhecido devido à sua descoberta da auto-oscilação em válvulas termiônicas, quando uma grade (eletrodo de controle) está a um potencial maior que aquele da placa.

O efeito Barkhausen, do ferromagnetismo, resultado do salto espontâneo dos eixos dos dipolos dos recintos de Weiss, pode ser posto em destaque de um modo muito simples: uma haste de ferro (virgem), que se pretende imantar pela primeira vez, é introduzida no interior de uma bobina de carretel isolante; ao aproximarmos a haste de um pólo magnético, cada um dos saltos dos recintos magnéticos produz um aumento instantâneo do campo de indução na bobina, o que origina um pulso de tensão induzida na mesma. Essa, por sua vez, num circuito fechado, estimula um circulação de um pulso de corrente elétrica. Essas correntes são recebidas pelo amplificador de áudio e, os golpes de indução são ouvidos corno um crepitar no alto-falante. Se a imantação se efetuar com lentidão suficiente, podemos mesmo ouvir distintamente cada golpe.

7. Efeito Seebeck

É o efeito que permite a utilização dos termos elementos (par termelétrico).

Seebeck foi o primeiro a constatar que um circuito formado pela conexão de dois metais diferentes, passa a ser fonte de força eletromotriz (e conseqüentemente a causa da corrente elétrica num circuito fechado), quando as junções desses metais estiverem a temperaturas diferentes. Você pode verificar isso facilmente e até utilizar desse efeito para, por exemplo, examinar as diferentes temperaturas nas típicas regiões da chama de um bico de Bunsen.

8. Efeito Doppler

Consiste no aparente desvio de freqüência que ocorre quando existe movimento relativo entre uma fonte de ondas (sonoras ou eletromagnéticas) e o receptor (adequado a cada caso).

Esse efeito explica, por exemplo, a aparente modificação do tom do apito de uma locomotiva (sirene de ambulância, ruído dos motores de carros de corrida etc) aproximando-se ou afastando-se, a grande velocidade, do observador. Ele explica, também, o "desvio para o vermelho" das estrelas que se afastam da Terra. Quando o efeito é relativo às ondas eletromagnéticas, ele também é conhecido por Doppler-Fizeau.


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9. Efeito Meissner Manifesta-se quando um condutor é resfriado num campo magnético.

Ao atingir a temperatura de supercondutividade, o campo magnético é expelido para fora da massa do condutor, o qual passa a agir como um verdadeiro "isolante magnético". 10. Efeito Luxemburgo

Denomina-se assim, por ter sido observado, pela primeira vez, com relação às transmissões da Rádio Luxemburgo. Manifesta-se quando as ondas irradiadas por uma emissora poderosa atravessam a mesma região da ionosfera que são também atravessadas por ondas de outras freqüências, de outras emissoras. Corno resultado, o programa da estação mais potente poderá ser distintamente ouvido durante a recepção das emissoras mais fracas.

11. Efeito Ettinghausen Pertence à família dos efeitos termelétricos. Manifesta-se em condutores planos situados perpendicularmente a campos magnéticos. Quando circula corrente elétrica por esses condutores, observa-se um gradiente de temperatura na direção perpendicular ao fluxo dos elétrons participantes da corrente elétrica.

12. Efeito Siemens

Consiste no aquecimento da massa dielétrica de um capacitor "percorrido" por corrente alternada de alta freqüência. Esse efeito é muito empregado atualmente nos equipamentos de aquecimento dielétricos industriais, de plásticos, madeiras, secagens etc.

13. Efeito Bequerel

Bequerel descobriu que, emergindo-se duas lâminas do mesmo metal numa solução condutora (eletrólito), aparecerá uma diferença de potencial entre ambas, caso uma seja iluminada mais intensamente do que a outra.

14. Efeito Barnett

Consiste na magnetização de um cilindro de aço, na ausência de campos magnéticos (a menos do campo magnético terrestre), bastando para tanto, girar velozmente o cilindro em torno de seu eixo.

15. Efeito Hall É o fenômeno segundo o qual um condutor num campo magnético apresentará uma diferença de potencial de lado a lado, na direção do campo. Na realidade o efeito surge com virtualmente quase nenhum campo magnético, em alguns semicondutores ou em uma coluna de gás (naturalmente, sempre há algum campo magnético proveniente do próprio planeta).

16. Efeito Thomson

Consiste no fato de que um gradiente de temperatura num metal sempre se faz acompanhar por um pequeno gradiente de potencial elétrico, segundo direção que depende do metal. O resultado disso é que, num condutor atravessado por uma corrente elétrica, o calor devido aos efeitos resistivos (efeito Joule) é ligeiramente maior ou menor que aquele que se pode explicar.


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No cobre, isto é mais notável, quando a corrente flui de partes quentes para partes frias. No ferro ocorre o oposto. A pequena diferença que fugia às explicações é devida, exatamente, ao efeito Thomson.

17. Efeito Peltier

Comumente é confundido com o efeito de termo-elemento, porque de fato está presente na ação de um par-termelétrico. Na realidade, é um estorvo nessa explicação. O efeito Peltier ocorre quando passamos uma corrente elétrica pela junção de dois metais diferentes; na junção ocorrerá aquecimento ou um resfriamento, dependendo do sentido da corrente elétrica.

Encontra atual aplicação prática, no aquecimento ou resfriamento de pequenos objetos por elementos semicondutores e na termopilha.

A revista Química Nova, vol. 16, no. 1, janeiro/fevereiro de 1993 trás excelente artigo de Pedro L. O. Volpe, da UNICAMP, na página 49, com título: "O que são termopilhas, como funcionam e como os químicos podem utilizar estes componentes". Química Nova é uma publicação da Sociedade Brasileira de Química.

18. Efeito Volta Consiste na tensão elétrica gerada quando metais diferentes são postos em contato.

Assim, uma lâmina de cobre superposta a uma lâmina de zinco geram uma d.d.p., com cobre positivo e zinco negativo.

19. Efeito Joule Quando portadores de carga elétrica atravessam um meio condutor, haverá choques (interações) entre esses portadores e partículas do próprio condutor. Dessas interações, parte da energia elétrica associada aos portadores transfere-se para as partículas do meio condutor, as quais passam a vibrar mais intensamente - o que caracteriza o aquecimento do condutor. A lei de Joule permite equacionar quanto de energia elétrica é convertida em térmica.

Num resistor, a rapidez com que se efetua essa conversão, é grandeza conhecida como "potência dissipada pelo resistor".

O valor dessa grandeza vem expresso por: P = R.i2 ou P = U.i ou P = U2/R

Se indicarmos por E a quantidade de energia elétrica que é convertida em térmica durante o intervalo de tempo (delta)t, teremos:

E = P. Dt = R.i2. Dt que é exatamente a lei de Joule.

20. Efeito Miller

Encontra aplicação na linearização da varredura dos geradores de sinais dente de serra.

O efeito reside no fato de que a capacitância intereletródica, grade-placa, nas válvulas termiônicas, em particular do triodo, modifica a capacitância efetiva do circulo gerador, variando em eficácia segundo a freqüência e assim, contribui para a linearidade de subida do dente de serra gerado.

21. Efeito Edison

Edison observou que uma lâmpada incandescente (de sua época, quando então o filamento era de carbono), após certo tempo de uso, ficava com a superfície interna do bulbo evacuado revestida de uma fina e escura camada (A).

Ele concluiu que isso era devido às minúsculas partículas de carvão que se destacavam do filamento, quando o mesmo era levado à incandescência, pela corrente elétrica. Experimentando achar um modo de evitar esse escurecimento, Edison colocou uma placa de metal (P) entre o vidro e o filamento (F). Isso resolveu o problema do escurecimento do bulbo porém, nosso ilustre observador verificou que tal placa ficava carregada (eletrizada). Um sensível galvanômetro (G) ligado entre a tal placa e o filamento acusava uma corrente elétrica unidirecional (retificada, como diríamos hoje!).

Corno explicar a origem dessa corrente elétrica?

Edison não foi capaz de resolver essa questão, aliás, ninguém o faria pois, o elétron ainda não tinha nascido.

A válvula termiônica nasceu dessa observação de gênio.

Se o elétron fosse conhecido na época, sem dúvida Edison enunciaria o efeito, que hoje leva o seu nome, assim: "Todo metal aquecido emite elétrons"

A primeira válvula foi a retificadora; depois De Forest inventou a grade e dai para a frente você sabe no que deu isso tudo. Boa parte das válvulas, já


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há bom tempo, foram substituídas pelos transistores que, por curiosidade, baseiam-se num efeito conhecido mesmo antes de Edison --- o efeito galena.

22. Efeito magnetotrópico A ação do magnetismo sobre substâncias orgânicas já havia sido notado por Pasteur, há um século atrás. Experiências mais recentes, levadas a efeito por diversas Universidades, permitiram verificar que após 11 dias de exposição de tomates verdes ao intenso campo magnético de um pólo Sul, os tornaram praticamente vermelhos, enquanto que outros, isentos do "tratamento", apresentaram-se apenas meramente rosados. Mais recentemente, conseguiu-se, com a aplicação do magnetismo, acelerar a germinação de sementes. O efeito foi batizado de "magnetotropismo". Uma causa sugerida é a de que o campo magnético excita os sistemas enzimáticos e assim estimula a respiração.

23. Efeito Compton

Arthur Compton ao estudar o espalhamento de raios X, utilizando como meio espalhador um bloco de carbono (isso acorre com certas substâncias cujos átomos são relativamente leves, como o carbono, o boro, o oxigênio e outros), observou que as freqüências dos raios X espalhados diminuíam em certos ângulos.

Experiência de Compton

Para explicar a modificação da freqüência dos raios espalhados, Compton utilizou a teoria quântica da luz. O físico norte-americano propôs que a interação entre um fóton ou quantum de luz e um

elétron de um átomo podia ser considerada sob certas condições como a colisão entre duas partículas em mecânica Clássica. Os elétrons, ligados ao núcleo do átomo por forças eletrostáticas, podiam comportar-se como elétrons livres se a energia (hn) e a quantidade de movimento (hn/c) dos fótons incidentes fosse suficientemente grande. Utilizando as leis da conservação da energia: hn = hn’ + (1/2) mv2 , onde h.n = energia do fóton incidente, hn’ = energia do fóton espalhado e (1/2)mv2 = energia cinética do chamado “elétron de recuo”.

Efeito Compton.

Como o valor da velocidade do “elétron de recuo” está próximo da velocidade da luz, em muitos casos deve-se utilizar a correção relativística para a massa (ver relatividade, na Sala 23).

Compton também aplicou a conservação da quantidade de movimento (como no caso de duas esferas elásticas), obtendo finalmente a equação: l' - l = (h/mo.c)(1 - cosq) onde: l' - l = aumento do comprimento de onda para o fóton espalhado; ( h/mo.c) = ' comprimento de onda' de Compton, onde h é a constante de Planck, mo a massa em repouso do elétron e c a velocidade da luz e, q = ângulo de espalhamento do fóton de comprimento de onda l'.

O elétron de recuo do efeito Compton foi descoberto simultaneamente por Wilson e por Bothe e Becker.

O efeito Compton ocorre principalmente com elétrons livres ou fracamente ligados e pode ser explicado como uma absorção do fóton incidente pelo elétron livre. A energia deste fóton aparece repartida entre o elétron de recuo e um outro fóton de menor energia. Na explicação deste fenômeno, utiliza-se a idéia de “fótons virtuais”, mas não podemos neste resumo sobre os efeitos da Física estender-nos em sua explicação.


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24. Efeito Selbt Relativo às ondas eletromagnéticas (de rádio) estacionárias.

O transmissor tem freqüência fixada em 85

MHz e é alimentado por um transformador (primário para a rede local e secundário com tensões adequadas para os filamentos das válvulas osciladoras e suas placas).

O tubo de Selbt demonstra ondas de rádio estacionárias para as quais a velocidade de propagação é inferior à velocidade da luz no vácuo (c).

O tubo de Selbt é de vidro e tem sobre si um fio de cobre enrolado em forma de espiral. Essa espiral é projetada de modo a ter freqüência natural de oscilação igual a do transmissor. O tubo é acoplado ao transmissor apenas mantendo uma de suas extremidades próxima á bobina de transmissão.

À medida que deslocamos uma limpada (fluorescente, de néon ou incandescente) ao longo do tubo, podemos visualizar os ventres (lâmpada acesa) e os nós (lâmpada apagada) da onda estacionária. Para a freqüência da transmissão especificada (85MHz), a distância entre ventres consecutivos ou nós consecutiva está em torno de 11 cm, o que corresponde a meio comprimento da onda.

É necessário que a pessoa que segura a lâmpada esteja em contato com a terra para que, em regiões de ventre, a lâmpada seja percorrida por corrente elétrica. O melhor afeito se obtém com lâmpadas fluorescentes ou de néon.

25. Efeito... (envie sua colaboração) Eis aqui nossas sugestões para trabalhos

escolares envolvendo Efeitos Físicos. O aluno pode acrescentar mais outro tanto deles, apresentando um trabalho mais extenso, eventualmente incluindo algum histórico dos personagens citados. Mais sugestões para continuar esse trabalho:

Efeito Barkhausen (das oscilações), efeito Einstein-de Haas, efeito de eletrostricção, efeito fotoelétrico, Efeito Hall (das linhas equipotenciais), efeito Zeeman, efeito Zeeman (inverso), efeito Voigt, efeito Cotton-Mouton, efeito Faraday etc.

eletromagnetismo i prof. dr. cláudio s. sartori - capÍtulo...

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