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Eletromagnetismo I – Lista 6 Eletrodinˆ amica de Born-Infeld (1934) Asequa¸c˜ oes de Maxwell que estudamos at´ e agora s˜ ao lineares nos campos. Em geral, ´ e interessante considerar generaliza¸ c˜oesn˜ ao-lineares, que se aplicam a v´ arios contextos, do estudo da eletrodinˆ amica em meios materiais `a teoria de cordas. Nesse exerc´ ıcio vamos considerar um exemplo de eletrodinˆ amica n˜ ao-linear, a chamada eletrodinˆ amica de Born- Infeld. O ponto de partida ´ e procurar uma a¸ c˜ao,queal´ em de ser invariante de Lorentz e invari- ante de calibre, i) se reduza ` aa¸c˜ ao de Maxwell para campos ~ E e ~ B pequenos e ii) apresente um valor m´aximo para o campo el´ etrico ~ E, quando ~ B = 0. Vamos chamar esse valor m´ aximo E max b. Uma consequˆ encia desse valor m´aximo para ~ E vai ser que a auto-energia de cargas vai ser finita (diferentemente do que acontece na eletrodinˆamica de Maxwell). 1. Entenda como surge o limite v c para as velocidades do ponto de vista da a¸c˜ao de uma part´ ıcula relativist´ ıca. Dica: isso tem a ver com a raiz quadrada na a¸c˜ ao. 2. Inspirados pelo ponto 1., consideremos uma a¸c˜ao 1 com raiz quadrada: L = -b 2 r 1 - 2s b 2 + b 2 , s ≡- 1 4 F μν F μν . Essaa¸c˜ao´ e obviamente invariante de Lorentz e de calibre (por quˆ e?). Demonstre tamb´ em que E b para B = 0. Dica: expresse s em termos de ~ E e ~ B. Demonstre que para campos pequenos, ou seja s b 2 , essa a¸c˜ aosereduz`aa¸c˜ ao de Maxwell, L = s. 3. Generalizemos a a¸c˜ ao acima incluindo p ≡- 1 4 F μν ˜ F μν da seguinte maneira: L BI = -b 2 r 1 - 2s b 2 - p 2 b 4 + b 2 . Essaa¸c˜ao´ e chamada de Born-Infeld. Relembre que p ´ e tamb´ em invariante de Lorentz e de calibre. Demostre que p pode ser escrito como uma derivada total p = - 1 4 μ ( μνρσ F νρ A σ ). Demostre que ˜ F μν ˜ F μν ´ e proporcional `a s e portanto incluir essa combina¸ c˜aon˜ ao acres- centaria nada. Cheque o limite de campos pequenos, que de novo deve dar L = s. 1 Na linguagem de todos os dias, os f´ ısicos chamam a densidade Lagrangeana L dea¸c˜ ao, embora seja um abuso de linguagem. O correto seria chamar de a¸c˜ ao S = R d 4 xL. 1

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Page 1: Eletromagnetismo I { Lista 6dtrancan/HW6EM.pdf · Eletromagnetismo I { Lista 6 Eletrodin^amica de Born-Infeld (1934) As equa˘c~oes de Maxwell que estudamos at e agora s~ao lineares

Eletromagnetismo I – Lista 6

Eletrodinamica de Born-Infeld (1934)

As equacoes de Maxwell que estudamos ate agora sao lineares nos campos. Em geral, e

interessante considerar generalizacoes nao-lineares, que se aplicam a varios contextos, do

estudo da eletrodinamica em meios materiais a teoria de cordas. Nesse exercıcio vamos

considerar um exemplo de eletrodinamica nao-linear, a chamada eletrodinamica de Born-

Infeld.

O ponto de partida e procurar uma acao, que alem de ser invariante de Lorentz e invari-

ante de calibre, i) se reduza a acao de Maxwell para campos ~E e ~B pequenos e ii) apresente

um valor maximo para o campo eletrico ~E, quando ~B = 0. Vamos chamar esse valor maximo

Emax ≡ b. Uma consequencia desse valor maximo para ~E vai ser que a auto-energia de cargas

vai ser finita (diferentemente do que acontece na eletrodinamica de Maxwell).

1. Entenda como surge o limite v ≤ c para as velocidades do ponto de vista da acao de

uma partıcula relativistıca. Dica: isso tem a ver com a raiz quadrada na acao.

2. Inspirados pelo ponto 1., consideremos uma acao1 com raiz quadrada:

L = −b2√

1− 2s

b2+ b2 , s ≡ −1

4FµνF

µν .

Essa acao e obviamente invariante de Lorentz e de calibre (por que?).

Demonstre tambem que E ≤ b para B = 0. Dica: expresse s em termos de ~E e ~B.

Demonstre que para campos pequenos, ou seja s � b2, essa acao se reduz a acao de

Maxwell, L = s.

3. Generalizemos a acao acima incluindo p ≡ −14FµνF

µν da seguinte maneira:

LBI = −b2√

1− 2s

b2− p2

b4+ b2 .

Essa acao e chamada de Born-Infeld.

Relembre que p e tambem invariante de Lorentz e de calibre. Demostre que p pode ser

escrito como uma derivada total p = −14∂µ(εµνρσFνρAσ).

Demostre que FµνFµν e proporcional a s e portanto incluir essa combinacao nao acres-

centaria nada.

Cheque o limite de campos pequenos, que de novo deve dar L = s.

1Na linguagem de todos os dias, os fısicos chamam a densidade Lagrangeana L de acao, embora seja um

abuso de linguagem. O correto seria chamar de acao S =∫d4xL.

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4. Demostre que a acao de Born-Infeld pode ser escrita em termos de um determinante:

LBI = −b2√− det

(ηµν +

1

bFµν

)+ b2 .

5. Demonstre a invarianca de Lorentz de det(ηµν +Fµν). Coloquei, sem perda de generali-

dade, b = 1 para simplificar a notacao. Para restaurar b 6= 1 e so rescalar Fµν → Fµν/b.

Dicas:

(a) Demostre que o determinante de uma matriz M com ındices covariantes Mµν e

igual ao determinante da matriz M com ındices contravariantes Mµν . Isso implica

que det(η+F ) = det(η+F ) (espero que a notacao esteja obvia: η e ηµν , η e ηµν ,

etc.).

(b) Considere uma transformacao de Lorentz atuando sobre ηµν e Fµν .

(c) Relembre que (det Λ)2 = 1.

6. Demostre que LBI e uma funcao par de F .

7. Auto-energia (“self-energy”) de uma carga pontiforme

Consideremos o caso ~B = 0, o que e suficiente para as consideracoes que seguem.

Calcule

~D ≡ ∂L∂ ~E

e escreva E2 em termos de D2. Demostre que E ≤ b e E ≤ D.

Escreva ~E em termos de ~D e D2. Escreva L em termos de D2.

Calcule a (densidade de) hamiltoniana

H = ~E · ~D − L .

Na teoria de Maxwell a densidade de energia e proporcional a E2 (ver Lista 3) e

E ∼ 1/r2. Portanto d3xE2 ∼ dr/r2, que diverge quando integrado por r pequeno. Na

teoria de Born-Infeld e tambem D ∼ 1/r2 (confire!), porem podemos ver da expressao

para H que, para D →∞, temos H ∼ bD. Portanto d3x bD ∼ dr, que e regular perto

da origem.

Entenda isso de forma mais precisa, para uma carga pontiforme. Voce vai ter que

calcular uma integral do tipo∫ ∞

0

dx(√

1 + x4 − x2)

=(Γ(1/4))2

6√π

' 1.236, ,

que, justamente, e convergente.

Tente repetir a conta com ~B 6= 0. (Resposta: H =

√1 +B2 +D2 + ( ~D × ~B)2 − 1,

sempre usando b = 1).

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8. Capacidade de Born-Infeld

A capacidade de uma configuracao de dois condutores com cargas Q e −Q e diferenca

de potencial V e definida como C = Q/V . Seja CM a capacidade na teoria de Maxwell.

Explique porque CM e constante (independente de Q e V ).

Considere um capacitor plano de area A e separacao d entre os planos. Demostre que

a capacidade de Born-Infeld CBI e dada por

CBI =CM√

1− (V/Vc)2, Vc = bd .

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