eletromagnetismo i - engenharia elétrica

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Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Eletromagnetismo I - Notas de Aula Curitiba, Pr 2007 Tel: (41) 8419 5313 e-mail: [email protected]

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eletromagntismo notas de aula

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  • Prof. Beatriz Bronislava Lipinski

    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Curitiba, Pr

    2007

    Tel: (41) 8419 5313 e-mail: [email protected]

  • Captulo 1

    ,Algebra Vetorial

    1.1 Introduo

    o eletromagnetismopodeserconsideradocomooestudoda interaoentrecargaseltricasemrepousoeemmovi-mento.Envolvea anlise,a sntese,a interpretaofsicaeaplicaodecamposeltricose magnticos.

    o estudodosfenmenoseletromagnticospodeserresumidoporquatroeqaues,conhecidascomoequaesdeMaxwell1:

    fj .15= (2, fj .13= O, (1.1)

    - - 813 - - - 815"'Vx E =-{it' "'Vx H =J +{it' (1.2)

    sendo'\l umoperadorvetorialdiferencialconhecidocomo nomedenabla.Umarpidaolhadanasequaes(1.1)e(1.2)mostraquedeveremosoperarcomgrandezasvetoriaisnoestudodoeletromagnetismo.Ostrscaptulosiniciaisapresentamalgunsconceitosfundamentaisdelgebraeclculovetorial.Paraseestudareletromagnetismoessencialconheceresaberempregaroperadores,realizarintegraesvetoriaise trabalharcomsistemasdecoordenadas.Semestesconhecimentos praticamenteimpossvelentendereaplicarasteoriaseletromagnticas.

    1.2 Escalares, Vetores e Campos

    Escalar umagrandezacompletamentedeterminadapor sua magnitude.Exemplosde grandezasescalaressomassa,tempo,cargaeltrica,potencialeltricoentretantasoutras.

    Umasimplesextensoda idiade um escalar um campo escalar, isto , umafunoda posioqueestcompletamenteespecificadaporsuamagnitudeemtodosospontosdoespao.

    Vetor2 umagrandezaque completamentedeterminadapor seumdulo,direoe sentido.Comoexemplo,pode-secitara velocidade,fora,intensidadedecampoeltrico.

    A generalizaoparaumcampo vetorial forneceumafunodaposioqueestcompletamenteespecificadaporsuamagnitude,direoesentidoemtodosospontosdoespao.

    Portanto,campo umafunoqueespecificaumagrandezaparticularem qualquerpontode umaregio.Exemplosdecamposescalaresso:adistribuiodetemperaturaemumprdio,a intensidadedesomemumteatro,

    1Estasso as equaesde Maxwell escritasna formadiferencial.H tambma forma integraldestasequaes,queservista naseqnciadestecurso.

    2Umaoutracategoriadegrandezasfsicas denominadade tensor, do qualos escalarese osvetoressoapenascasosparticulares.

    1

  • 1.3 VETaREs UNITRIOS UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 2

    o potencialeltricoemumaregiodoespaoeo ndicederefraoemummeioestratificado.A foragravitacionalsobreumcorponoespaoe a velocidadedasgotasdechuvana atmosferasoexemplosdecamposvetoriais.Umcampovetorialditoconstanteouuniforme senodependerdasvariveisdeespaox, y e z.

    1.3 Vetores Unitrios

    Um vetar possuimagnitude(mdulo)e tambmorientaoespacial(direoesentido).A magnitudede umescalarescritocomoA ousimplesmenteII.

    Um vetor unitrio A ao longode definidocomoum vetarcuja magnitude a unidade(isto, 1) e aorientao amesmadovetar, ouseja3:

    _ A= A - II'

    (1.3)

    A principalfunodeumvetorunitrio(versar) estabelecerumadireoe sentido,umavezqueseumdulounitrio.Sobestalgica, possvelescrevero vetor daseguinteforma:

    (1.4)

    A equao(1.4)estafirmandoque possuimduloA eestorientadoparaleloaoversarA. ParaumvetarB talque

    (1.5)

    pode-sedizerqueseumduloa metadede esuaorientaoantiparalelaa , ousejapossuisentidoopostoa.

    Um vetar, emcoordenadascartesianas(ouretangulares),podeserrepresentadocomo:

    (1.6)

    sendox,ye z osversores unitrios nestesistemadecoordenadase queestoorientadosconformeo sentidopositivodoseixosx, y ez conformea figura(1.1).Ax, Ay e Az sodenominadasdecomponentesdovetar nasdireesx, y ez, respectivamente.O mdulo de definidopor:

    ---+I mdulo de um vetor I (1.7)

    Sefornecessrio,possveldefinirumvetarunitrioaolongodoprpriovetar:

    A Ax A Ay A Az A Ax x +Ayy+ Azz

    aA =A ax+A ay+A az = J A2 +A2 +A2 'x y z (1.8)conformeasequaes(1.3),(1.6)e (1.7).

    1.4 Soma e Subtrao de Vetores

    Doisvetares eB podemsersomadospararesultaremoutrovetar6, isto:

    (1.9)

    3A notaosermantidaassim:umasetasobreo smbolosignificaumvetorqualquer,porexemplo, enquantoumacentocircunflexoindicaum vetorcujo mdulo unitrio,ou simplesmenteum versor,por exemplox- Por questesde praticidade,nas ilustraesumvetorserindicadocomfonteemnegrito e o escalarem itlico.

  • 1.4 SOMA E SUBTRAO DE VETORES UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 3

    z z

    y 'Y

    x

    Figura 1.1: (a) Vetoresunitriosemcoordenadascartesianas:x, y e z; (b) decomposiode um vetor emcoordenadascartesianas.

    A somadevetores feitacomponentea componente.Dessaforma,se = Axx+Ay y +Az z e B=Bx x +Byy+Bzztem-seque:

    (1.10)

    A subtraodevetares feitademaneirasimilar,componentea componente:

    (1.11)

    Graficamente,a somae a subtraodevetoressoobtidastantopelaregradoparalelogramaquantopelaregrado "inciodeum-finaldeoutro",comoilustradona figura(1.2).

    C=A+B

    Figura1.2:A regradoparalelogramoparaa soma,a adiodevetarespelaregrado "inciodeum-finaldeoutro"ea comparaodesubtraoe adiodevetares.

    As propriedadesassociativa,comutativae distributivadalgebralinearseaplicamnormalmente somae sub-traovetorial:

    + (B+C) = (+B) +C+B=B+

    C(+B) =c+cB,sendoc umagrandezaescalar.

  • 1.5 VETOR POSIO E VETOR DESLOCAMENTO UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 4

    1.5 Vetor Posio e Vetor Deslocamento

    Um pontoP emumsistemadecoordenadascartesiano,podeserrepresentadopor3 coordenadas(x,y, z). O vetorposior deumpontoumvetorquecomeanaorigemdosistemadecoordenadaseterminanopontoemquesto.ParaumpontoP qualquertem-se:

    rp =xx +yy+zz.O ponto(2,3,2,5)dafigura(1.3),porexemplo,possuivetorposiorp =2x+3y+2,5z.

    (1.12)

    z

    ..."'...P(2.3.2.5)

    y

    Figura1.3:Vetorposiorp =2x+3y +2,5zdoponto(2;3;2,5).

    O vetor deslocamentoadiferenaentreaposiodedoispontos.EntreospontosQ eP ovetordeslocamentodefinidopor:

    (1.13)

    p

    OQ

    Figura1.4:Vetordeslocamento6.rpQ=rQ- rp

    Por exemplo,seumacargaeltricasedeslocarentreospontos(1,-2, -5) e (2,7, 1) o vetordeslocamentodestacargaser:

    6.r=(2- 1)x+ (7+ 2)y+ (1+ 5)z=x+9y +6z.Relembrandoo conceitodecampovetorialconstante,o vetorB=x +9y+6z umvetoruniforme,enquantoqueo vetor(}= x+9yy+ 6xzznouniforme,poisC variadepontoa ponto.

    1.6 Multiplicao Vetorial

    Quandodoisvetores eB somultiplicadosentresi,o resultadotantopodeserumagrandezaescalarquantoumagrandezavetorial, dependendoda formacomoesteproduto efetuado.De fato, h doistiposdemultiplicao

  • 1.6 MULTIPLICAO VETORIAL UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 5

    envolvendovetores4:

    (a) produtoescalar:. jj

    (b) produtovetoria!: x B

    1.6.1 Produto Escalar:.

    o produtoescalarentredoisvetores definidocomoo produtoentreos mdulosdosdoisvetorese o cossenodonguloentreeles:

    . jj =AB cos0=IIIBIcosO. ~ I escalarI (1.14)O nomeproduto escalarestassociadoaoresultadofinaldestamultiplicao,queumagrandezaescalar,cujamagnitudeA B cosO.O nguloO o menor ngulo entreosvetores eB.

    Se =Ax x+Ay y+Az z e B=Bx x+By y+Bzzentoo produtoescalarentreosdoisvetoresdefinidopela relao:

    (1.15)

    Combasenarelao(1.14)diz-sequedoisvetores e jj demdulosno-nulossoortogonais (ouperpendicu-lares)entresi se. jj =O,pois nessecasotem-seO=~rad.

    Estetipodemultiplicaoobedecespropriedadescomutativae distributiva:

    Almdisso, possvelconcluir,combasenarelao(1.14)e noconceitodevetor unitrio(1.3)que:

    pois doisvetoresou versoresidnticossoparalelosentresi (O=O)e os versoresx, y e z somutuamenteperpendiculares(O=~rad).

    1.6.2 ProdutoVetorial: x

    Em analogiacomo casoanterior,o nomeprodutovetorial decorredo fatoqueestetipodemultiplicaoresultaemumvetor.

    O produtovetorialentredoisvetores e B resultaemumterceirovetor C

    ~ I vetor I

    cujomdulo igual reado paralelogramaformadopelosvetores e S, conformeilustradonafigura(1.5):

    ICI =lx SI=ABsenO =IIISlsenO, ~ I mdulo I (1.16)

  • 1.6 MULTIPLICAO VETORIAL UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 6

    AxB

    ?

    A~ea

    A

    ----------------.

    A BxA=-AxB

    Figura1.5:Diferenaentreo sentidodoprodutovetorial x 13e 13x =- x B.

    sendo()o nguloentreosvetores e 13.

    A orientaodovetorC = x 13obtidadaseguintemaneira:

    .adireoa mesmadeumaretaperpendicularaoplanoformadopelosvetores e 13;

    .o sentidodadopeloavanodeumparafusoderoscadireita medidaque giraemdireoa 13(peloladodomenorngulo),ousepreferir a orientaodopolegarda mo direita5 quandoosdedosdamodireitagiramde at13(peloladodomenorngulo).

    Se =Ax x+Ay y+Az z e B=Bx x+By y+Bz zentooprodutovetorialentreosdoisvetoresdefinidopelamatriz:

    x y zAx Ay AzBx By Bz

    (1.17)

    queequivalente relao:

    (1.18)

    o produtovetorialpossuiaindaasseguintescaractersticas:

    (a) Nocomutativo: x B =-B x .

    (b) Noassociativo: x (B x C) =/:( x B) xC.

    (c) distributivo: x (B +C) = x 13+ xC.

    Tambm possvelconcluir,combasenarelao(1.16)enoconceitodevetorunitrio(1.3)que:

    (i) x =O,

    (ii) xx x=yx y=z x z=O,4H aindaqueseconsiderara multiplicaode um vetorpor umagrandezaescalar,masestamultiplicao muito simples,pois o

    escalar,seforpositivo,alteraapenaso mdulo do vetor,mantendodireoe sentidooriginais.Seo escalarfor negativo,almdealteraro mdulodo vetor,alteratambmo sentido.

    5ConhecidacomoRegra da mo direita.

  • 1.6 MULTIPLICAO VETORIAL UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 7

    (iii) x x y =z (ou ainda y x x =-z),

    (iv) yx z= x (ouaindaz x y= -x),

    (v) zx x= y (ouaindax x z= -y),

    pois doisvetaresou versaresidnticossoparalelosentresi (Operpendiculares(O=~rad).

    O) e os versaresx, y e z somutuamente

    1.6.3 Sistemasde CoordenadasDextFgiro

    Sistemasdecoordenadasdextrgirossoaquelesnosquaisaregra da modireita verificada.Emoutraspalavras,a relaoxx y= z deveserobedecida.Estetipodeprodutovetorial resultadodacombinaocclica entreosndices(x, y, z), comopor exemplo(y, z, x) ouainda(z, x, y) - comparecomos tens(iii), (iv) e (v) anteriores.Ao longodestecursosomenteseroadotadossistemasdecoordenadasdotipo dextrgir06.

    1.6.4 Produto Escalar 'Iriplo

    Sejamtrsvetares,Be C. Define-seo produtoescalartriplocomo:

    . (B xC) =jj. (Cx)=C. (xB) , ~ I escalarI (1.19)

    obtidoapartirdeumapermutaocclicadosvetares, B eC. O resultadodestaoperaodemultiplicaoumagrandeiaescalar.

    1.6.5 Produto Vetorial 'Iriplo

    O produtovetorialtriploentreosvetares, jj eC definidocomo:

    x (jj x C) =jj (.C) - C (.B) . ~ I vetor I (1.20)

    O resultadodestaoperaodemultiplicaoumagrandezavetoria!.

    1.6.6 Projeo ou ComponenteEscalar de Um Vetor

    Umaaplicaodiretadamultiplicaovetorialseuusoparadeterminara projeoou a componentedeumvetaremumadireo.

    Define-seAB comoa projeoou componenteescalar7dovetar aolongodadireodeterminadapelovetarBcomo:

    AB =. B =IllBI COSOAB=A COSOAB, ~ I projeo ou componenteescalarI (1.21)relembrandoqueomdulodovetarunitrioB,comoo prprionomediz,1. OABo (menor)nguloentreo vetarB e , conformea figura (1.6):

    EstanotaocomndiceB eAB foiutilizadanaequao(1.21)porrazesilustrativas.A partirdestepontonosermaisusadondiceparaespecificara projeodeumvetaraolongodeumadireoouentoumdeterminadongulo.

    60 outrotipo decoordenadas o levgiro, aqueleno qual vale",x y =-z.7A componentevetorialB de aolongodeB simplesmenteacomponenteescalar(1.21)multiplicadaporumvetorunitriona

    direode B,ousejaB = AB B.

  • 1.7 EXERCCIOSUNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 8

    B

    Figura1.6:Projeodovetor aolongodadireodefinidapor B.

  • Captulo 2

    Sistemase Transformaes deCoordenadas

    Em geral,asgrandezasfsicascomquetrabalhamosnoEletromagnetismo(EM) sofunesdoespaoedotempo.A fimdedescreverasvariaesespaciaisdessasgrandezas,deve-sedefinirtodosos pontosde maneiraunvocanoespaodeformaadequada.Isto requero usodeumsistemadecoordenadasapropriado.

    Nestecurso,umpontoouumvetorpoderserrepresentadoemqualquersistemadecoordenadasortogonal.Umsistema ortogonal aqueleemqueascoordenadassomutuamenteperpendiculares.Exemplosdesistemasdecoordenadasortogonaisincluemo sistemacartesiano(ou retangular),o cilndrico,o esfrico,entrevriosoutros.Pode-seeconomizartempoetrabalhoaoescolherumsistemadecoordenadasquemaisseadaptaaumdadoproblema.Um problemadifcilemumsistemadecoordenadaspodeserdefcilsoluoemoutrosistema.

    2.1 Coordenadas Cartesianasou Retangulares(x, y, z)

    Um pontoP podeserrepresentadopor 3 coordenadas(x, y, z), nohavendolimiteparaa variaodestascoorde-nadas,ousejax, y, z podemassumirquaisquervalores

    -00 < x

  • 2.2 COORDENADASCILNDRICAS (p, 4>,z) UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 11

    . p o raiodocilindroquepassaporP ouaindaa distnciaradialmedidaa partirdoeixoZj

    . cjJ o nguloazimutal,medidoa partirdoeixox noplanoxyj

    . z a mesmacoordenadadefinidaanteriormentenosistemacartesiano.

    z

    z

    x

    y

    Figura2.1:Coordenadascilndricaseosvetoresunitriosp,

  • 2.2 COORDENADAS CILNDRICAS (p, cf>,z) UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 12

    (iii) px p= .px .p= z x z = O,

    (iv) p x .p= z (ou ainda .px p = -z),

    (v) .px z = p (ou ainda z x .p= -p),

    (vi) z x p= .p(ou ainda p x z = -.p).

    2.2.1 CoordenadasCartesianasx CoordenadasCilndricas

    possvelestabelecerumarelao escalarentreascoordenadascartesianas(x, y, z) ecilndricas(p, e/>,z) de umamaneirabemsimples.A partirdafigura(2.2)percebe-seque:

    zP(x.y. z) ~ P(p, ,z)

    z

    y

    x

    ~

    ~ I ~~;= pcos~y =p sen

    Figura2.2:Relaoentreascoordenadascartesianase ascilndricas.

    As relaesvetoriais queestabelecema conexoentreosversoresp,.p,zeseuscorrespondentesnosistemacartesianox, y, z so as seguintes:

    ~=~e/>~-~e/>~

    ~=~e/>~+~e/>~

    (2.6)

    ou ainda asrelaesinversasentreestesversares

    p= cose/>x +sene/>y

    .p= - sene/>x + cose/>y

    (2.7)

    Combasenasrelaesacima(2.6)pode-seagoraescrevero vetar, definidoem(2.1),daseguintemaneira:

    = (Ax cose/>+ Ay sene/p+ (- Ax sene/>+ Ay cose/.p+ Az z (2.8)

    p = J x2 +y2 e/>= arc tan "!!.. z = z, (2.4)xou sepreferir

    x = pcose/> y =psene/> z = z. (2.5)

  • ---- ---

    2.3 COORDENADASESFRICAS (r, 9,

  • 2.3 COORDENADASESFRICAS (r, 8, cf UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 14

    (ii) r. o=r .

  • 2.4 EXERCCIOS UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 15

    2.3.2 Distncia entre dois pontos

    UmagrandezaqueaparececomfreqncianaTeoriaEletromagnticaa distnciaentredoispontos.A distnciadentredoispontosquepossuemvetoresposiorI e r2 definidapor:

    d=lfi - rll. (2.16)

    Estagrandezapodeserusualmenteexpressanostrssistemasdecoordenadasdescritosanteriormente:

    d = V(X2 - XI)2 + (Y2- YI)2+ (Z2- ZI)2,

    d = V pi + P~- 2PIP2cos(cP2- cPI)+ (Z2- ZI)2,

    ~ I cartesianoI (2.17)

    ~ I cilndrico I (2.18)

    (2.19)

    A relao(2.17)obtidapelasubstituiodadefinio(1.13)ou (2.16)em(1.7).Para sechegarsrelaes(2.18)e (2.19),bastasubstituirem(2.17)asequaesdeconexoentreossistemasdecoordenadas:(2.5)e (2.12).

  • Captulo 3

    Clculo Vetorial

    Estetextotratadeoperaesenvolvendoclculovetorial,comopor exemploa integraoe a diferenciaodeve-tores.OsconceitosintroduzidosaquiforneceroumalinguagemconvenienteparaexpressardeterminadasconcepesfundamentaisemEletromagnetismo.

    3.1 Comprimento, rea e Volume Diferenciais

    Os elementosdiferenciaisdecomprimento,reaevolumesofreqentesnoclculovetorial,principalmentequandosedesejadeterminarintegraisde linha,reaou volume,comosoos casosdasequaesdeMaxwellsoba formaintegral.Esteselementosdeclculopodemserexpressosnostrssistemasdecoordenadasdocaptuloanterior.

    3.1.1 CoordenadasCartesianas(x,y, z)

    Um comprimento(vetorial)oudeslocamento(vetorial)diferencialpodeserexpressopelarelao:

    dl= dx x +dyy+dzz, -+Icomprimento I (3.1)ouseja asoma(vetorial)dosdeslocamentosdiferenciaisemcadadireopossvel.

    ,I ",,/I ,/ "" yI ;,"'-

    x ~~/

    Figura3.1:Elementosdecomprimento,dereae devolumeemcoordenadascartesianas.

    17

    zl , , , , , 8-'

    dz 8y

    8.18x ax

    I

    8yII

  • 3.1 COMPRIMENTO, REA E VOLUME DIFERENCIAIS UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 18

    Em relaoa umelementodiferencialderea,segundoa figura(3.1),h trspossibilidades:

    {

    dydzx, oudS = dxdzy, ou

    dxdyz,-+I reaI (3.2)

    cadaumdelesresultadodamultiplicaoentredoiselementosdecomprimento.Aqui,dS pordefinioumvetorlo queimplicaquehumaorientaoespecficaparadS: normal(perpendicular)aoelementodereaconsiderado.

    o volumediferencialobtidoatravsde

    dv=dxdydz, -+ I volume I (3.3)

    sendoesta,aocontrriodedl edS, umagrandezaescalar.

    importantedestacarqueparaencontraro elementodiferencialdereadS ouo elementodiferencialdevolumedv bastaconhecerapenaso vetord~poisdS aolongodez, porexemplo, o produtodascomponentesdedl nasoutrasduasdirees,istoaolongodexey,enquantoquedvobtidopormeiodoprodutodastrscomponentesescalaresdedf Estaobservaovaleparaqualquersistemadecoordenadasortogonal.

    3.1.2 CoordenadasCilndricas (p,

  • 3.2 INTEGRAIS DE LINHA, DE SUPERFCIE E DE VOLUME UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 19

    3.1.3 CoordenadasEsfricas (r, O,cP)

    As trsgrandezasdiferenciaisd~dS edvsoescritasdaseguintemaneira:

    dl=dr r +r deo+r senedq;,-+I comprimento I (3.7)

    {

    r2 sen ededq;r,dS= rsenedrdq;o,

    r dr de ,

    dv = r2 sene dr de dq;.

    ou

    ou -+ I rea I (3.8)

    -+ I volume I (3.9)

    z

    y

    Figura3.3:Elementosdecomprimento,dereaedevolumeemcoordenadasesfricas.

    3.2 Integrais de Linha, de Superfcie e de Volume

    o prximopassoestenderosconceitosusuaisdeintegraoparaoscasosqueenvolvemgrandezasvetoriais.

    ....

    3.2.1 Integral de Linha - di

    A integral de linha2 a integraldacomponentetangencial3deumvetar,por exemplo:

    i . dl=ibII cosedi, -+ I integral de linha I (3.10)querepresentaa integraldelinhadocampovetorial aolongodacurvaL, considerandoumcaminhodeintegraodopontoa ato pontob4,conformea figura(3.4).Seo caminhodeintegrao umacurvafechada,comoabca,aexpressoanterior(3.10)torna-seumaintegraldelinhafechadaouaindaa circulaode emtornodeL:

    -+ I integral de linha fechadaI (3.11)

    2Linha significaum percurso,caminhoou trajetriaao longode umacurvano espao.30u seja, a projeodo vetorque tangenciaa linha ou curvaemquesto. a componentede paralela direode dl~veja a

    equao(1.21).4Comparea equao(3.10)com(1.21),querepresentaa projeode umvetorao longode umadireo.Aqui, o integrandofornecea

    projeode ao longoded~ou vice-versa.

  • 3.2 INTEGRAIS DE LINHA, DE SUPERFCIE E DE VOLUME UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 20

    b

    a

    Figura3.4:Caminhodeintegraodocampovetorial.

    3.2.2 IntegraldeSuperfcie- dS

    o fluxo oua integral de superfcie deumcampovetorialcontnuo definidopor meiodaexpresso:

  • 3.3 O OPERADOR NABLA UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 21

    O significadofsicodecadaoperadorintegralficarmaisclaroquandooscamposvetoriais eeforemsubstitudosporgrandezasfsicasreais.

    3.3 O OperadorNabla

    No clculovetorialaparececomfreqnciao operadorvetorialdiferencialnabla oudeI, representadopelosmbolo'eledefinidopor:

    'el=:x x+ :y y+ :z z, -+I operador nabla Iquandoo sistemadecoordenadasescolhidofor o cartesiano.No casodecoordenadascilndricaseesfricastem-se,respectivamente:

    (3.15)

    " 8. 18. 8.y =8pap+p8cjJ a

  • 3.5 A DIVERGNCIA DE UM VETOR UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 22

    conforme(1.21).Esteproduto,queresultaemumagrandezaescalar,defineaderivada direcional deV aolongodadireoestabelecidapelovetorl.

    Seumvetor puderserdefinidoemtermosdogradientedeumcampoescalar,comoporexemplo:

    ='\7V, (3.20)

    entoo campoescalar,V nesteexemplo,denominadodepotencial escalardovetor.

    3.5 A Divergncia de um Vetar

    Define-sea divergnciade um vetor emum determinadopontocomoo fluxolquidoquesai deumasuperfciefechada,porunidadedevolumeenvolvidoporestasuperfcie, medidaqueestevolumesereduzzeroemtornodopontoconsiderado:

    div ='\7. = lim .dSv-+O t::!..v -+ I divergente de I (3.21)

    importantedestacarqueaocontrriodogradientedeumescalar,odivergentedeumvetorumagrandezaescalar.Compareainda(3.21)coma definiodefluxoem(3.13).

    Do pontodevistafsico,o divergentedeumcampovetorialrepresentaa medidadequantoo campodivergeounoemumdeterminadopontodoespao,conformeestilustradonafigura(3.6).

    Figura 3.6: (a) Divergnciapositiva,(b) negativa(ou convergncia)e (c) nula (indiferente,no divergee nemconverge)deumcampovetorialqualqueremtornodopontoP.

    A divergnciasersemprepositivaemtornodeumponto-fonte docampovetoriale negativaemtornodeumponto-sumidouro do campovetorialemquesto.Vejapor exemplo,a primeiradasequaesdeMaxwell(1.1),querelacionaadivergnciadocampovetorialD (campoeltricoouvetordeslocamento)comeadensidadedecargaeltrica(fonte do campo D).

    '\7 .D=e.

    Sesetratardecargapositiva(e>O)ento'\7.Dpositiva,casocontrrioa divergncianegativa.Em umaregiodoespaolivredecargas,'\7 .D=O,o quesignificaquenohcamponestaregio.

    O operadordivergentede um campovetorialqualquer podeser escritonos trssistemasde coordenadasanalisadosanteriormente:

    div ='\7 . =Ax+Ay+Azx y z '

    div ='\7. =~(pAp)+ ~A.p+ Az,p p p cP z

    div='\7.=~(r2Ar) +~ (AosenO)+~ A.p.r2 r r senO O r senO cP

    -+I coordenadascartesianasI (3.22)

    -+I coordenadas cilndricas I (3.23)

    -+I coordenadasesfricasI (3.24)

  • 3.6 O ROTACIONAL DE UM VETOR UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 23

    A divergnciadeumcampoescalarapresentaalgumaspropriedades

    1. '\7.( +B) = '\7. +'\7. B;

    2. '\7.(V) = V'\7. + . '\7V ,

    sendo eB camposvetoriaisquaisquereV umcampoescalar.

    3.5.1 O Teoremada Divergncia

    Umaextensodaequao(3.21)conduzaoteoremada divergncias:

    i .dS=1'\7. dv,sendov o volumelimitadopelasuperfciefechadaS. Esteteoremaseaplicaa qualquervolume,desdequetantocomo'\7. sejamfunescontnuasnaregioconsiderada.

    (3.25)

    o teoremadadivergncia muitotil noestudodaTeoriaEletromagntica,umavezqueo clculodeintegraisdevolume maisfcildeserrealizadoquea integraoemsuperfcies.No casoda determinaodofluxodeumcampovetorial(3.13),podesermaissimplesdeterminaro ladodireitode(3.25)doqueo ladoesquerdo.

    3.6 O Rotacional de um Vetor

    Outrotipo deoperadordiferencial o rotacional deum vetor,por exemplo, queresultaemumvetor axial(girante),cujomdulo igual integralde linha (ou circulao)de por unidadede rea, medidaqueestareatendea zero,e cujaorientao perpendicular rea.A representaomatemticadestadefinioconduzaoseguintevetor:

    ---+I rotacional de I (3.26)

    sendoflS a readelimitadapelacurvaL e no vetor unitrionormal superfcieflS. O sentidodovetor'\7 x obtido por meioda regrada mo direita9.

    Da mesmaformaqueparao operadordivergente,pode-seexpressaro rotacionalde um vetorqualquer,porexemplo, nostrssistemasdecoordenadasanteriores:

    A- f7 A-

    [

    8Az 8Ay]

    A

    [

    8Ax 8Az

    ]

    A

    [

    8Ay 8Ax]

    A

    rot =vx = --- ax+ --- a + --- az8y 8z 8z 8x y 8x 8y ---+I coordenadascartesianasI

    (3.27)

    A- f7 A-

    [

    18Az 8A

    ]

    A

    [

    8Ap 8Az]

    A 1

    [

    8(PA - 8z ap+ 8z - 8p a+p 8p - 8c/> az ---+coor ena as Cl m rIcas(3.28)

    rot ='\7x =~[8(AsenO) _ 8Ao

    ]r +~

    [~ 8Ar _ 8(rA r senO 8c/> 8r r 8r 80

    '---+ I coordenadasesfricasI(3.29)

    As principaispropriedadesenvolvendoo rotacionaldeumvetor ouB soasseguintes:

    8TambmconhecidocomoTeoremade Gauss-Ostrogradsky.9Vejao comentriosobrea regrada modireitana seqnciada equao(1.16).

  • 3.6 O ROTACIONAL DE UM VETOR UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 24

    1. '\7x (+B) ='\7x +'\7x B;

    2. '\7x ( x B) = ('\7.B) - B('\7.) + [B .'\7 - (. '\7)]B;

    3. '\7x (V)=V '\7x +('\7V)x ;

    4. '\7.('\7x ) = O(divergnciadorotacionaldeumcampovetorial);

    5. '\7x '\7V= O(rotacionaldogradientedeumcampoescalar),

    sendoV umcampoescalar.

    arotacionaldeumcampovetorialno pontoP forneceumamedidada circulaodestecampo,ou emoutraspalavras,dequantoo campovetorialgiraemtornodeP e estilustradona figura(3.7).

    (c)

    Figura 3.7: a rotacionalde um campovetorialqualqueremtornodo pontoP estorientado:(a) paraforadapgina,(b) paradentroe (c) nulo.

    3.6.1 O Teoremade Stokes

    Da definiodorotacionalde em(3.26)seobtma expresso:

    i .df=fs('\7x ).dS, (3.30)querepresentao Teorema de Stokes.

    dS

    di

    Figura3.8:a significadodedfe dS noteoremadeStokes.I

    I

    I

    I

    I

    Esteteoremaestabelecequeacirculaodeumcampovetorial emtornodeumcaminhofechadoL (ladodireitode(3.30)) igual integraldesuperfciedorotacionaldestevetarsobrea superfcieabertaS limitadaporL (ladoesquerdode(3.30)),desdeque e '\7x sejamfunescontnuassobreS.

    .-- "' --- -.......I" "

    / "p p. .Ij

    "- ./ " /-- --(a) (b)

  • 3.7 O LAPLACIANO DE UM ESCALAR E DE UM VETOR UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 25

    A orientaodedfe dedS em(3.30)deveserescolhidausando-sea regradamo-direita(oudoparafusoderoscadireita).Ao seusara regradamodireita,osdedosdevemestarposicionadosaolongodadireoded[ O polegarfornecerentoo sentidodedS.

    Comparando-se(3.30)com(3.25),percebe-sequeenquantoo teoremada divergnciarelacionaa integraldesuperfciecomumaintegraldevolume,o teoremadeStokesrelacionaumaintegralde linhacomumaintegraldesuperfcie.

    3.7 O Laplaciano de um Escalar e de um Vetor

    Seogradienteoperasobreumcampoescalareo divergentesobreumcampovetorial,haindaapossibilidadedesecombinarestesdoisoperadoreseobterumterceirooperador:o laplaciano.

    O laplaciano de um campo escalar,por exemploV, denotado10por \72V simplesmenteo divergentedogradientedeV:

    \72V='\7. ('\7V). ~ Ilaplaciano de V I (3.31)Como quesesabea respeitodeprodutoescalar,relao(1.14),pode-seconcluirquea aplicaodolaplacianosobreumcampoescalarresultaemumoutrocampoescalar.

    Nostrssistemasdecoordenadasanalisadosanteriormente,o laplacianoexpressodaseguinteda forma:

    ~ I coordenadascartesianasI (3.32)

    2 1 8 (8V)

    1 82V 82V

    \7 V =P 8p P 8p + p28(jJ2+ 8z2'2 1 8 (28V) 1 8 r. 8V) 1 82V I .. I\7 V =r28r r 8r +r2senO80 ,senO 80 + r2sen208(jJ2.-+ coordenadasesferIcas

    ~ I coordenadascilndricas I (3.33)

    (3.34)

    Um campoescalarV ditoharmnico emumadadaregioquandoo seulaplacianoseanulanessaregio.Emoutraspalavras,sea igualdade

    (3.35)

    forsatisfeitanaregioconsiderada,asoluodaequao(3.35)paraocampoescalarV harmnica,ousejanaformadefunesperidicascomosenooucosseno.A equao(3.35)muitoimportanteeempregadanoEletromagnetismoe conhecidacomoequaode Laplace.

    Almdeoperarsobrecamposescalares,possveltambmconsideraro laplaciano de um vetor, porexemplo. Nessecaso,\72 deveserentendidocomo:

    -+\laplaciano de I (3.36)

    ou seja,o gradientedo divergentede a menosdorotacionaldorotacionalde. importantedestacarque,aocontrriodoqueacontecequandoseaplicao laplacianosobreumcampoescalar,o resultadoda operaoefetuadaem(3.36)umvetor.

    No casodosistemadecoordenadascartesianas,a formaparao laplacianodeumvetor,por exemplo, muitosimples:

    -+ I coordenadascartesianasI (3.37)

    10A notaodooperadorlaplaciano''2Vequivale '\72V,umavezque'\7 umvetor,maso operadorlaplacianoemsi umagrandezaescalare por estarazo omitidoo smbolovetorial.

  • 3.8 CLASSIFICAO DE CAMPOS VETORIAIS UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALvEs 26

    Infelizmenteomesmonopossvelafirmarparaooutrossistemasdecoordenadasestudadosaqui.A relao(3.37)valeexclusivamenteparacoordenadascartesianas.

    Ao longodocursodeEletromagnetismoseroestudadasequaesenvolvendoosvetorescampoeltricoemagntico,comoporexemploasequaesvetoriaisdeondaouEquaes de Helmholtz:

    \72 E - .l E =O \7213- "{213=O, (3.38)

    sendo"( a constantedepropagao,ouaindaasEquaesde Laplace edePoisson

    (3.39)

    respectivamente,queenvolvemo potencialeltricoV, a densidadedecargap e a constantedo meiot, grandezasescalares.Em todasestasequaesfundamentais,o operadorlaplacianoestpresente.

    3.8 Classificaode Campos Vetoriais

    Umcampovetorialcompletamentecaracterizadoporseudivergenteeseurotacional.Apenasestasduasgrandezas,conjuntamente,sosuficientesparadescrevercompletamenteocampo.Qualquercampovetorialpodeserclassificadoemfunodaanulaoounodeseudivergenteedeseurotacional.H quatropossibilidades:

    (b)

    Figura3.9:Quatrotiposdecamposvetoriaispossveisdeacordocomo divergenteeo rotacional.

    3.8.1 CampoSolenoidal

    ocampovetorialditosolenoidal ouno divergentese:~.=O. (3.40)

    Nestecaso,o campoqueobedeceestacondiono fontenemsumidourodeumfluxo.O teoremadadivergncia,equao(3.25),aplicadoa estecasoconduzaoresultado:

    (3.41)

    (a) . = O e x=O ou

    (b) . O e x=O ou

    (c) .=O e xO ou

    (d) .O e x O,

    que esto ilustradas na figura (3.9).

    - -- -- -- -(a)

    -/- " t /! ! t t

    "t / _--"'-/ - / t-- / t

    (c) (d)

  • 3.8 CLASSIFICAO DE CAMPOS VETORIAIS UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 27

    o quesignificaqueaslinhasdefluxode,queentramemqualquersuperfciefechada,devemobrigatoriamentesairdela(ladoesquerdode(3.41)).Exemplosdecampossolenoidaisso:fluidosincompressveis,camposmagnticosemcondiesestacionrias,densidadedecorrentedeconduoemcondiesestacionrias.

    Em geral,ocampodorotacionaldeumvetor,comoo casodefl x F, tal queF sejaexpressocomoorotacionaldeumoutrocampovetorial,nestecasoF =fl x , puramentesolenoidal,pois

    fl . (fl x F) =fl . [fl x (fl x )) =O, (3.42)

    deacordocomaspropriedadesdeumrotacional.

    Outramaneiradedescreveresteresultadoobservarquesehumvetar, cujodivergentenulo

    fl . =O,

    entoo fluxodestevetartambmnulo

    t.dS=O.Assim,pode-seconcluirquehumvetor F,quepodeserexpressoemfunodorotacionalde:

    3.8.2 Campolrrotacional

    Um campovetorial dito irrotacional oupotencial se

    fl x = O, (3.43)

    ou seja,umvetarcujorotacional nulo denominadodeirrotacional(semrotacional).Aplicandoaquio teoremadeStokes,equao(3.30),obtm-se:

    t. dl=l (flx ).dS=O. (3.44)Destaforma,paraumcampoirrotacional, a circulaodestecampoemtornodeum caminhofechado nula. Aconseqnciamaisimportantedestefatoquea integraldelinhade independedo caminho escolhido.Por estarazo,umcampoirrotacional tambmconhecidocomocampo conservativo. Exemplosdecamposirrotacionaisso:o campoeletrostticoeo campogravitacional.

    Em geral,qualquercampovetorial quepossaserexpressocomoo gradientedeumcampoescalarY, comoporexemplo =- fly, puramenteirrotacional,pois

    fl x =- fl x (flY) =O,

    deacordocomaspropriedadesdorotacional.

    Outramaneiradeverificarestaobservao,quesehumvetor, cujorotacional nulo

    fl x =O,

    (3.45)

    entoa integraldelinhade tambm nula

    t.dl=O,

    o quelevaconclusoqueovetor podeserexpressoemfunodogradientedeumescalarY:

    =-fly.

    Por isto, tambmconhecidocomocampo potencial e Y comopotencial escalar de. O motivodo sinalnegativonadefiniode seresclarecidonoestudodoEletromagnetismo.

  • 3.9 EXERCCIOS UNC FSICA IV - PROFESSORA GISELLE MUNHOZ ALVES 28

    3.8.3 O Teoremade Helmholtz

    Conformeo quefoi comentadono inciodestaseo,umvetor integralmentedescritodentrodeumaregioporseudivergenteeseurotacional.Se,parao vetor, possvelescrevero divergenteeo rotacionalcomo:

    fj x =ps, (3.46)

    entoPv e PS soa densidadedefonte(escalar)e densidadedecirculao(vetar)de, respectivamente.SobacondioqueasdensidadesPvePS seanulamno infinito,ento podeserexpressocomoa somadedoisvetores:um irrotacional i =- fjv e outro solenoidals =fj x B:

    (3.47)

    o conjuntodeequaes(3.46)e (3.47)expressamo Teoremade Helmholtz.

  • UNIVERSIDADE TUIUTI DO PARAN Curso: Engenharia Eletrnica / Eletrotcnica) Disciplina: Eletromagnetismo I Prof. Beatriz Bronislava Lipinski

    Exerccios avaliativos 1 Reviso de clculo vetorial Aluno: __________________________________________________ Curso: ________________ Aluno: __________________________________________________ Curso: ________________

    Nota:

    1) Se zyx aaaA 6410 +=r

    e yx aaB 2 +=r

    , determine:

    a) a componente de Ar

    ao longo da direo do eixo y ;

    b) o mdulo de BArr 3 ;

    c) um vetor unitrio ao longo da direo do vetor BArr

    2+ .

    2) Os pontos e Q esto localizados em e P )4,2,0( )5,1,3( , todos dados em metros. Determine:

    a) o vetor posio Pr

    ;

    b) o vetor distncia de a Q ; P

    c) a distncia entre e Q . P

    3) Dados os vetores e zyx aaaA 43 ++=r

    zy aaB 52 =r

    , determine o ngulo entre Ar

    e Br

    .

    4) Se , e zyx aaaA 32 +=r r

    zy aaB = zyx aaaC 753 ++=r

    , determine os produtos:

    a) CArr ;

    b) . )( CAB + rrr

    5) Converta o campo vetorial xayxzA

    =r em coordenadas esfricas.

    6) Considere um ponto e o vetor )3,6,2(P yx azxayA )( ++=

    r.

    a) expresse em coordenadas cilndricas; Pb) expresse em coordenadas cilndricas; A

    r

    c) expresse P em coordenadas esfricas;

    d) expresse em coordenadas esfricas. Ar

  • 7) Considere o campo vetorial zyx ayaayA 325 ++=r e o ponto , determine: )2,5,4(P

    a) no ponto Ar

    P ; b) a componente escalar de A

    r no ponto P ao longo da direo do versor

    zyxn aaaa 32

    31

    32 += ;

    c) a componente vetorial de Ar

    no ponto P ao longo da direo de ; na

    d) o ngulo entre e . )( PrArr

    r

    na

    8) Considere o plano . Determine um versor normal a este plano. 52 =+ yx

    9) Determine o divergente de . 2/])2()cos()sin[( mCazayeayeD zyx

    xx +=

    10) Dado o campo potencial escalar e o ponto zyxV 52 2 = )6,3,4(P , determine:

    a) o potencial no ponto P ; b) o campo vetorial VE = rr no ponto ; Pc) a direo de E

    r;

    d) o campo escalar no ponto e Ev =*rr

    P .

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  • UNIVERSIDADE TUIUTI DO PARAN Curso: Engenharia Eletrnica / Eletrotcnica) Disciplina: Eletromagnetismo I Prof. Beatriz Bronislava Lipinski

    Exerccios avaliativos 2 Lei de Coulomb Teorema da Divergncia Aluno: __________________________________________________ Curso: ________________ Aluno: __________________________________________________ Curso: ________________

    Nota:

    1) Duas placas infinitas, carregadas com cargas superficiais homogneas S esto dispostas paralelamente uma outra. Determine o campo eltrico:

    a) num ponto esquerda da primeira placa; b) num ponto direita da segunda placa; c) num ponto entre as duas placas.

    2) Quatro cargas positivas de esto localizadas no plano nC10 0=z , nos vrtices de uma quadrado de de lado. Uma quinta carga positiva de colocada num ponto distante

    de cada uma das outras cargas. Considere que o sistema est no vcuo e calcule a fora resultante sobre a quinta carga:

    cm8 nC10cm8

    3) Duas cargas pontuais de esto localizadas nos pontos e nC120 )1,0,0(A )1,0,0( B , no espao livre.

    a) Determine Er

    no ponto

    0,0,21P ;

    b) Qual carga colocada na origem forneceria o mesmo resultado?

    4) Uma linha de cargas uniforme de mC /2 est situada ao longo de toda a extenso dos trs eixos coordenados. Considerando as condies de espao livre, determine o vetor campo eltrico no ponto . )1,2,3( P

    5) A regio 1,19,0e250,54

  • Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidade Tuiuti do Paran

    Captulo 1

    Lei de Gauss

    A Lei de Gauss explora com mais objetividade as simetrias dos problemas envolvendo o clculode campo eltrico. A sua aplicao consiste em considerar o campo eltrico numa superfcie fechada,dita superfcie gaussiana, que envolve a distribuio de cargas ou parte dela. O campo eltrico totalsobre a superfcie a soma dos campos eltricos infinitesimais sobre a superfcie. Esta soma umasoma vetorial, portanto os sinais devem ser levados em conta.

    Na prtica, consiste em dividir a superfcie gaussiana em pedaos to pequenos que podem serconsiderados como uma superfcie plana, calcular a contribuio de cada um destes planos infinitesi-mais e somar continuamente, ou seja: integrar!

    Para chegarmos integral que define a Lei de Gauss, devemos conhecer o conceito de fluxo. Con-sidere um vento uniforme cuja velocidade ~v. Se a vazo (volume por unidade de tempo) do aratravs da espira mostrada na figura, ento depende do ngulo entre ~v e o plano da espira. Se ~v perpendicular ao plano da espira, ento = vA, com A sendo a rea da espira. Se ~v paralela aoplano da espira, o ar no passa pela espira, portanto: = 0. Se o ngulo entre ~v e a rea da espirafor uim ngulo qualquer, ento: = vAcos, o que significa um produto escalar entre o vetorvelocidade e o vetor rea: = ~v ~A. Esta expresso pode ser interpretada como o fluxo do campo develocidades atravs da espira.

    1

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 1: Lei de Gauss

    Definio: O fluxo de campo eltrico.

    Considere uma superfcie gaussina totalmente irregular, imersa em um campo eltricono-uniforme. Calcular um campo eltrico no-uniforme um problema bastante complexo de seresolver utilizando-se apenas da geometria. A Lei de Gauss nos ajuda a resolv-lo de forma prtica.Na figura, podemos notar que a superfcie gaussiana foi dividida em minsculos elementos de reaA. Perceba que cada pedacinho da rea sobre a superfcie aponta para uma direo especfica, car-acterizando que estes elementos de rea so vetorias. Como estes elementos de rea A so muitopequenos, 0, podemos considerar que tratam-se de quadrados planos e por analogia ilustraoda velocidade do vento atravs da espira, podemos definir aqui, o fluxo de campo eltrico atravs decada quadradinho de ndice i, como sendo: i = ~Ei ~Ai. Perceba que, para cada quadradinhoeste produto e diferente pois, o vetor campo eltrico muda e o vetor elemento de rea tambm muda.Porm, todos contribuem para o valor do campo eltrico total que atravessa a superfcie gaussiana.Quando o ngulo entre ~E e ~A menor que 90, a contribuio i positiva; quando o ngulo entre ~E e ~A maior que 90, a contribuio i negativa e quando o ngulo entre ~E e ~A iguala 90, a contribuio i nula. O campo eltrico total a soma de todas as contribuies:

    =i

    i ou: =i

    ~Ei ~Ai.

    Como os elementos de rea so infinitesalmente pequenos, podemos levar a soma acima ao limitequando ~A 0, transformando a somatria sobre termos discretos em uma somatria contnua:uma integral:

    =~E d ~A,(1.1)

    nesta o smbolo

    indica que a integrao feita sobre uma superfcie fechada. Isto implica em dizerque o fluxo de campo eltrico atravs de uma superfcie gaussiana proporcional ao nmero de linhasde campo eltrico que atravessam a superfcie.

    Definio: Lei de Gauss.

    A Lei de Gauss relaciona o fluxo total de campo eltrico atravs de uma superfcie gaussiana coma carga total que ela envolve (qe), e fica expressa pela equao:

    0 = qe,(1.2)

    ~E d ~A = qe

    0,(1.3)

    sendo a carga envolvida qe a soma algbrica de todas as cargas no interior da superfcie gaussiana.

    2

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 1: Lei de Gauss

    A utilidade da Lei de Gauss bastante expressiva, como vamosver no decorrer do curso. Uma das mais expressivas aplicaes adeduo da Lei de Coulomb. Considere uma carga pontual de valor+q. J sabemos que o campo eltrico gerado por uma carga pontual radial, ento a melhor superfcie gaussiana, que podemos escolherpara calcular o campo eltrico desta carga, uma superfcie esfricade raio r em torno da carga, como mostra a figura.

    Como se trata de uma esfera, o vetor ~E sempre normal ao ele-mento de rea d ~A na superfcie gaussiana, e sempre dirigida para fora,pois a carga positiva. Como a direo de d ~A sempre normal superfcie por definio, o produto~E d ~A torna-se EdAcos0, que vale EdA. A rea de uma esfera vale 4

    3pir2. Aplicando este resultado

    na Lei de Gauss, obtemos:

    ~E d ~A = q

    0, que a Lei de Gauss,(1.4)

    EdA =

    q

    0 E

    dA =

    q

    0, ,

    EA =q

    0 E 4pir2 = q

    0,

    E =1

    4pi0

    q

    r2,

    ~E =1

    4pi0

    q

    r2ar, que a Lei de Coulomb!!!(1.5)

    Linha de cargas: Simetria cilndrica.

    Suponha um fio infinito com distribuio linear de cargas, l = qL . J discuti-mos anteriormente, que o campo eltrico gerado por esta cnfigurao radial aolongo de todo o comprimento do fio. Portanto, o campo eltrico varia de acordocom a distncia r do ponto considerado at o fio, sobre uma reta ortogonal aofio. Considere ento a figura ao lado. Se o campo varia apenas com a distncia r,podemos tomar um cilindro de raio r e comprimento L, como a superfcie gaus-siana ao redor de uma parte do fio. Para um cilindro, podemos definir vetores derea em trs direes: dois vetores d ~A ortogonais s bases do cilindro, com sen-tidos opostos e um vetor d ~A ortogonal ao eixo do cilindro. Portanto, o fluxo decampo eltrico total no ponto P dado pela soma = 1 + 2 + 3. Aplicando

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 1: Lei de Gauss

    a Lei de Gauss, temos:

    =~E d ~A1 +

    ~E d ~A2 +

    ~E d ~A3,

    =EdA1cos1 +

    EdA2cos2 +

    EdA3cos3,

    =EdA1cos(90

    o) +EdA2cos(90

    o) +EdA3cos(0

    o),

    = 0 + 0 +EdA3,

    q

    0= E

    dA3,

    q

    0= EA3,

    q

    0= E2pirL,

    E =1

    2pi0

    q

    rL, l =

    q

    L,

    E =l

    2pi0r,

    ~E =l

    2pi0 rar.

    Plano de cargas: Simetria Planar.

    Considere agora uma placa carregada, conforme afigura. A simetria do problema planar. Cada rea in-finitesinal contribui com um valor de campo infinitesinalque ter duas componentes. Porm, as componentes pa-ralelas ao plano so simtricas, por isso se anulam. Por-tanto, o fluxo do campo eltrico sempre ortogonal aoplano de cargas. Ento, a superfcie gaussiana cilndricaortogonal ao plano descreve bem o campo eltrico sobrequalquer linha ortogonal ao plano, como mostra a figura.

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 1: Lei de Gauss

    =~E d ~A1 +

    ~E d ~A2,

    =EdA1cos1 +

    EdA2cos2,

    =EdA1cos(0

    o) +EdA2cos(0

    o),

    =EdA1 +

    EdA2,

    q

    0= 2E

    dA,

    q

    0= EA,

    E =s20

    , s =q

    A.

    Dois planos de cargas paralelos.

    Na figura ao lado, duas placas carregadas com densi-dade superficial de cargas s = qA , esto dispostas par-alelamente. Observe as direes dos campos eltricos de-vido a cada placa sobre os pontos P1, P2 e P3. Nospontos P1 e P3 o campo eltrico nulo, pois os cam-pos ~E1 e ~E2 tm o mesmo mdulo, mesma direo e sen-tidos opostos. No ponto P2 o campo eltrico vale E =2.(s20

    ), pois os campos ~E1 e ~E2 tm o mesmo m-

    dulo, mesma direo e mesmo sentido. Ento: E =s0.

    Distribuio volumtrica de cargas: Simetria esfrica

    J vimos que para a simetria esfrica, a Lei de Gauss resulta na lei de Coulomb quando tomamosuma superfcie gaussiana esfrica de raio maior ou no mximo igual ao raio da esfera. Quando a su-perfcie gaussiana esfrica menor que o raio da esfera, podemos analisar como se segue: Considereuma esfera carregada, com distribuio volumtrica de cargas, de raio R e uma superfcie gaussianade raio r, sendo r < R. A lei de Gauss relaciona o fluxo de campo eltrico com a quantidade de cargaque est dentro da superfcie gaussiana. Neste caso, a carga dentro da superfcie gaussiana de raio r

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 1: Lei de Gauss

    menor que a carga total na esfera. Chamemos de q a carga contida na superfcie gaussiana. Estacarga proporcional ao volume da superfcie gaussiana e esta relao resulta na expresso: q

    v

    = qV

    ,sendo v o volume da superfcie gaussiana e V o volume da esfera. Ento:

    q43pir3

    =q

    43piR3

    , ento: q = qr3

    R3.

    O campo eltrico em qualquer ponto entre r e R dado pela lei de Coulomb: E = 14pi0

    qr2

    .Substituindo valor de q:

    E =1

    4pi0

    qr

    R3.

    Ilustraes:

    1 - Considere um campo eltrico externo ~E de linhas de campo paralelas ao eixo principal de umasuperfcie gaussiana cilndrica, como mostra a figura. Determine o fluxo de campo eltrico totalneste atravs desta superfcie.

    2 - Considere duas placas paralelas com densidades superficiais de carga +s = 6, 8C/m2 es = 4, 3C/m2. Determine o campo eltrico nos pontos P1, P2 e P3.

    3 - Considere uma superfcie gaussiana cbica, como mostra a figura, imerso em um campoeltrico externo ~E = 3xi+ 4j. Determine o fluxo de campo eltrico atravs da:

    (a) face direita do cubo;

    (b) face esquerda do cubo;

    (c) face superior do cubo.

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 1: Lei de Gauss

    Faa suas contas aqui!!

    Aqui torna-se interessante a definio de uma nova grandeza, chamada densidade de fluxo dedeslocamento ou simplesmente, densidade de deslocamento, ~D = 0 ~E, que mede a quantidade decarga por unidade de rea. Sua unidade , ento, C/m2:

    ~D = 0 ~E ento: ~D =Q

    4pi r2ar.

    Ilustraes:

    1) Encontre o vetor ~D na regio ao redor de uma linha de cargas uniforme de 8 nC/m situada noeixo z no espao livre. Quanto vale | ~D| a uma distncia de 6 m sobre o eixo ortogonal linha?

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    Captulo 1: Lei de Gauss

    1) Uma carga puntiforme colocada no centro de uma superfcie gaussiana esfrica. O valor dofluxo de campo eltrico mudar se:

    (a) a esfera for substituda por um cubo de mesmo volume?

    (b) a superfcie gaussiana for substituda por um cubo de volume dez vezes maior?

    (c) a carga for afastada do centro da esfera original permanecendo no seu interior?

    (d) a carga for removida para fora da esfera original?

    (e) uma segunda carga for colocada no interior da esfera original?

    (f) uma segunda carga for colocada muito prxima da esfera original, porm fora dela?

    2) Uma carga de 1, 8 C est no centro de uma superfcie gaussiana cbica, de aresta 55 cm. Qual o fluxo total de campo eltrico sobre esta superfcie?

    3) Considere as suas respostas nos dois exerccios anteriores e responda:

    (a) possvel calcular o campo eltrico na superfcie cbica do exerccio 2). Justifique!?

    (b) Tente calcul-lo. Voc encontrar grande dificuldade neste clculo! Explique o por qu destadificuldade!

    (c) O que voc pode mudar no problema 2) para calcular o campo eltrico gerado por aquela cargautilizando a Lei de Gauss?

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 1: Lei de Gauss

    A Lei de Gauss e o vetor deslocamento ~D:

    Como = qe0

    =S~E d ~A e ~D = 0 ~E, a Lei de Gauss pode ser escrita como = qe = S ~D d ~A.

    Como a carga qe a carga total envolvida pela superfcie gaussiana, podemos express-la de vriasmaneiras, de acordo com a simetria do problema:

    qe =L l dl para uma distribuio linear de cargas;

    qe =S s dS para uma distribuio superficial de cargas;

    qe =V v dV para uma uma distribuio volumtrica de cargas.

    Ento:

    S~D d ~A = L l dl para uma distribuio linear de cargas;

    S~D d ~A = S s dS para uma distribuio superficial de cargas;

    S~D d ~A = V v dV para uma uma distribuio volumtrica de cargas,

    sendo esta ltima, a expresso mais geral, capaz de representar qualquer umas das outras distribuiesde cargas. Ento a Lei de Gauss se resume na expresso:

    S~D d ~A = V v dV . Esta expresso

    pode ser calculada por aproximao, utilizando o teorema da divergncia.

    Considere um ponto P (x, y, z) num sistema de coordenadas cartesianas. O valor de ~D no pontoP , ~D0, expresso em termos das suas comonentes cartesianas dado por: ~D0 = D0xi+D0y j +D0zk.Como estamos num sistema de coordenadas cartesianas, escolhemos uma superfcie gaussiana naforma de uma caixa retangular entrada em P , de lados x, y e z. Aplicando a Lei de Gauss:

    qe =S

    ~D d ~A

    qe =S

    ~D d ~A1 +S

    ~D d ~A2 +S

    ~D d ~A3 +S

    ~D d ~A4 +S

    ~D d ~A5 +S

    ~D d ~A6

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 1: Lei de Gauss

    Sobre a face frontal:

    S

    ~D d ~A1 = (Dxi+Dy j +Dzk) (yzi)S

    ~D d ~A1 = Dxyz

    Dx = D0x +x

    2

    Dxx

    S

    ~D d ~A1 = D0x + x2

    Dxx

    yz.

    Sobre a face de trs:

    S

    ~D d ~A1 = (Dxi+Dy j +Dzk) (yz( i))S

    ~D d ~A1 = Dxyz

    Dx = {D0x x

    2

    Dxx

    }S

    ~D d ~A1 = D0x + x2

    Dxx

    yz.

    Somando as contribuies das faces da frente e de trs, temos: Dxx

    xyz.

    Fazendo o mesmo procedimento para as faces direita e esquerda, temos: Dyy

    xyz.

    E o mesmo procedimento para as faces de cima e de baixo, temos: Dzz

    xyz.

    Somando:

    qe =S

    ~D d ~A =(Dxx

    +Dyy

    +Dzz

    )V,

    qeV

    =

    S~D d ~AV

    =

    (Dxx

    +Dyy

    +Dzz

    ).

    Levando ao limite V 0:

    limV0

    qeV

    = limV0

    S~D d ~AV

    =

    (Dxx

    +Dyy

    +Dzz

    ),

    v = limV0

    S~D d ~AV

    = div ~D,

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 1: Lei de Gauss

    Teorema da divergncia para o vetor deslocamento de fluxo:

    ~ ~D = limV0

    S~D d ~AV

    = v.

    A divergncia do vetor deslocamento a descarga de fluxo por unidade de volume, sobre umapequena superfcie fechada.

    Ilustraes:

    1) Determine o valor aproximado da carga contida em um volume incremental de 109 m3, locali-zado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas, se o vetor deslocamento vale~D = ex sin yi ex cos yj + 2zk.

    2) Determine o valor da densidade volumtrica de carga de um sistema para o qual ~D = 8xyz4i+4x2z4zj + 16x2yz3k.

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 1: Lei de Gauss

    Primeira Equao de Maxwell:

    ~ ~D = v.

    Em coordenadas esfricas: ~ ~D = 1r2

    r

    (r2Dr) +1

    r sin

    (D sin ) +1

    r sin

    D

    . Se con-siderarmos uma carga pontual na origem de um sistema de coordenadas esfricas, observamos queo vetor deslocamento de fluxo invariante nas coordenadas e : simetria esfrica. Portanto:~ ~D = 1

    r2r

    (r2Dr). Para uma carga pontual: ~D = Q4pi0r2 ar. Ento:

    v = ~ ~D = 1r2

    d

    dr

    (r2

    Q

    4pi0r2

    ).

    Assim, para uma carga pontual v = 0 se r 6= 0 e v = + se r = 0. A Lei de Gauss conhecidacomo a Forma Integral da Primeira Equao de Maxwell.

    Ilustrao:

    Determine uma expresso para a densidade volumtrica de carga associada aos camposa) ~D = 4xy

    zi+ 2x

    2

    zj + 2x

    2yzk;

    b) ~D = z sina + z cosa + z sinaz.

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    Captulo 2

    Energia Potencial eltrico

    Suponha que desejamos deslocar uma carga de teste qt sobre uma linha L desde um ponto A atum ponto B, em uma regio de campo eltrico ~E. A fora que atua sobre esta carga FE = qt ~E.Na direo da linha considerada: FE = qt ~E aL. Assim, para deslocar a carga ser necessrioaplicar sobre ela uma fora contrria fora eltrica, de mdulo no mnimo igual ao mdulo de ~FE:Fap = qt ~E aL. Se multiplicarmos esta expresso pelo deslocamento dL, temos fora vezes deslo-camento = trabalho realizado. Ento: W = qt( ~E aL) dL. Se considerarmos que o deslocamento infinitesimal:

    dW = qt( ~E aL) dL,

    W = qt BA

    ( ~E aL) dL,

    trabalho realizado para deslocar a carga de teste qt, desde um pontoA at um pontoB, numa regio decampo eltrico ~E, cujo deslocamento d~L = BA. A integral se faz sobre a linha de deslocamentoda carga teste, por isso dita integral de linha, e significa a soma de todos os pequenos caminhosinfinitesimais, sobre a trajetria realizada pela carga teste, desde o ponto A at o ponto B. Por issod~L = dxi+ dyj + dzk.

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 2: Energia Potencial eltrico

    Ilustraes:

    1) Uma carga de 6 nC de desloca do pontoA(4, 1, 1) m para o pontoB(7, 5, 6) m, numa regiode campo eltrico dado por ~E = 1

    z2(8xyzi+ 4x2zj 4x2yk). Determine o trabalho realizado.

    2) Determine o trabalho realizado por uma carga de 2nC, que se desloca do ponto A(1, 0, 1)para o ponto B(8/10, 6/10, 1), ao longo da reta

    y = 3(x 1)z = 1 , numa regio de campo eltrico~E = yi+ xj + 2k.

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    Captulo 2: Energia Potencial eltrico

    Diferena de Potencial

    A diferena de potencial entre dois pontos definida como o trabalho realizado por um agenteexterno, para deslocar uma carga de teste unitria de um ponto ao outro:

    VBA = BA

    ( ~E aL) dL,

    na qual A o ponto final e B o ponto final da trajetria da carga. O ponto A, frequentemente oinfinito e o ponto A representa uma posio fixa da carga de teste unitria. A unidade da diferena depotencial o volt, V .

    Trabalho e Diferena de Potencial de uma Linha de Cargas

    Devemos observar que a integral que calcula o trabalho realizado para deslocar uma carga deteste unitria de um ponto a outro uma integral de linha, ou seja: a integrao feita em d~L,que em coordenadas cartesianas vale d~L = dxi + dyj + dzk; em coordenadas cilndricas valed~L = da + da + dzaz e em coordenadas esfricas vale d~L = drar + rda + r sin da.

    O campo eltrico de uma linha de cargas tem simetria cilndrica, como visto em seco anterior e dado por:

    ~E = Ea =L

    2pi0a,

    W = qt BA

    ~E d~L = qt BA

    Ea (da + da + dzaz),

    W = qt BA

    Ed = qt BA

    L2pi0

    d,

    W = qtL2pi0

    BA

    d

    ,

    W = qtL2pi0

    [ln(B) ln(A)] ,

    W = qtL2pi0

    ln(B

    A

    );

    a diferena de potencial entre os pontos A e B ento:

    VBA =W

    qt=

    L2pi0

    ln(B

    A

    ).

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    Captulo 2: Energia Potencial eltrico

    Trabalho e Diferena de Potencial de uma Carga Pontual

    O campo eltrico de uma carga pontual tem simetria esfrica e s varia de acordo com o raio. Estevaloe dado pela lei de Coulomb: ~E = Erar = Q4pi0r2 ar. O trabalho realizado para deslocar umacarga teste, da superfcie de uma esfera de raio rA at a superfcie de uma esfera de raio rB dadopor:

    W = qt BA

    ~E d~L = qt BA

    Ear (drar + rda + r sin da),

    W = qt BA

    Edr = qt BA

    Q

    4pi0r2dr,

    W = qt Q4pi0

    BA

    dr

    r2,

    W =qt Q

    4pi0

    [1

    rB 1rA

    ];

    a diferena de potencial entre os pontos A e B ento:

    VBA =W

    qt=

    Q

    4pi0

    [1

    rB 1rA

    ].

    Potencial absoluto

    Representa o potencial medido em um determinado ponto do espao. Esta medida s possvelse considerarmos uma referncia nica para a medida de potencial em todos os pontos do espao.Ou seja: o potencial absoluto uma medida relativa. Em geral, definimos o potencial zero dereferncia, no infinito. Ento podemos dizer que o potencial absoluto na superfcie de uma cascaesfrica de raio rA, ao redor de uma carga pontual, VA e que o potencial absoluto na superfcie deuma casca esfrica de raio rB VB. S ento podemos estabelecer a diferena de potencial entre ospontos A e B como sendo VBA = VB VA.

    Observando o resultado de VBA para uma carga pontual, podemos separar os valores de VA e VB:

    VBA = VB VA = Q4pi0

    1

    rB Q

    4pi0

    1

    rA.

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    Captulo 2: Energia Potencial eltrico

    Ilustrao:

    1) Um campo eltrico expresso por ~E = 6x2i+ 6yj + 4z.

    a) Calcule a diferena de potencial entre os pontos M(2, 6,1) e N(3,3, 2).

    b) Se o potencial no ponto Q(4,2,35) nulo, determine o poencial no ponto M ;

    c) Se o potencial no ponto P (1, 2,4) vale 2, determine o poencial no ponto N .

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    Captulo 2: Energia Potencial eltrico

    Campo potencial de um sistema de cargas: propriedade conservativa

    Para podermos definir a grandeza potencial eltrico, impomos que este no depende da trajetriaque a partcula teste faz entre os pontos a e b. Este o conceito de um campo conservativo. Assim,o potencial devido a uma carga pontual, num ponto cuja representao posicional ~r, s depende dadiferena ~r~r1, sendo ~r1 o vetor posio da carga geradora do campo,Q1. Devido a esta depebdncianica de V com ~r~r1, o princpio da superposio vlido. Ento, se colocarmos uma segunda carga,Q2, com vetor posicional ~r2, o potencial total no ponto considerado, de vetor posicional ~r, dado pleasoma dos potenciais gerados por Q1 e Q2:

    V (~r) = V1 + V2 =Q1

    4pi0|~r ~r1| +Q2

    4pi0|~r ~r2| .

    Para um sistema com n cargas, temos:

    V (~r) =ni=1

    1

    4pi0

    Qi|~r ~ri| .

    Como cada carga Qi pode ser representada por vV , ento o potencial pode ser expresso por:

    V =v(~r1)V1

    4pi0|~r ~r1| +v(~r2)V2

    4pi0|~r ~r2| + ...+v(~rn)Vn

    4pi0|~r ~rn| ,

    V (~r) =v

    v(~r)dv

    4pi0|~r ~r | .

    Para uma linha de cargas, a distribuio de cargas linear, dada por L e para uma lmina decargas, a distribuio de cargas superficial, dada por S . Ento, o potencial para estas duas configu-raes so dados, respectivamente, por:

    V (~r) = L(~r )dL

    4pi0|~r ~r | e V (~r) =S

    S(~r)dS

    4pi0|~r ~r | .

    Campo potencial de um anel carregado

    Considere um anel carregado com uma densidade linear decargas dada por L, como na figura. Assim, dL = ad, ~r =zaz, ~r = aa, |~r ~r | =

    a2 + z2. Finalmente, temos a

    integral:

    V = 2pi

    0

    Lad

    4pi0a2 + z2

    =La

    4pi0a2 + z2

    2pi0

    d,

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 2: Energia Potencial eltrico

    V =La

    2pi0a2 + z2

    .

    Assim, estabelece-se que o potencial eltrico num dado ponto A, considererando a referncia depotencial nulo no infinito dado por

    VA = A

    ~E d~L ou, pela diferena de potencial VAB = VA VB = AB

    ~E d~L,

    que no depende do caminho escolhido para a integral de linha, entre os pontos A e B, ou desdeo infinito at o ponto A. Ento, se considerarmos que a carga teste move-se sobre uma trajetriafechada, voltando ao ponto inicial, o trabalho realizado nulo e

    ~E d~L = 0.

    Esta equao vlida para campos estticos (que no variam com o tempo), por isso so ditoscampos conservativos e as foras relacionadas com estes campos so ditas foras conservativas. Aexpresso acima demosntra que o campo eltrico (campo vetorial) e o potencial eltrico (campo es-calar), gerados por uma carga fixa no espao e constante no tempo, so campos conservativos e quea fora coulombiana, relacionada com estes campos, tambm conservativa. Esta expresso e su-ficiente para descrever fenmenos eletrostticos. Porm, num sistema realstico, as cargas eltricasso naturalmente variveis no tempo e esto em constante movimento, gerando campos eltricos ecampos potenciais no-conservativos e cujas foras no so mais bem descritas pela lei de Coulomb.Maxwell entra na histria para resolver a descrio destes campos no-conservativos, que fazem parteda natureza e descobre que campos eltricos que variam no tempo, geram campos magnticos, e quecampos magnticos que variam no tempo, geram campos eltricos. Nasce o Eletromagnetismo, pro-priamente dito, sendo esta lei: a lei de Ampre, a base do funcionamente de motores e geradoreseltricos.

    Gradiente de potencial

    Considere a figura ao lado. J sabemos que o campo poten-cial, com referncia de potencial nulo no infinito, dado pelaintegral V =

    ~E d~L. O sentido inverso desta equao dado pela equao diferencial V = ~E ~L, com V Ve ~L ~L. O produto escalar entre ~E e ~L dado porEL cos . Ento, temos:

    V = EL cos VL

    = E cos ,

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 2: Energia Potencial eltrico

    o valor mximo desta expresso obtido quando = pi, ento cos pi = 1 e

    V

    L=V

    L

    mx = E dV

    dL

    mx = E.Esta expresso carrega informaes importantes a cerca das grandezas envolvidas:

    1) O mdulo do campo eltrico na regio considerada dado pelo valor mximo da taxa devariao espacial do potencial;

    2) O valor mximo obtido quando o vetor campo elrico oposto ao deslocamento infinitesimalda carga de teste, sujeita ao campo potencial nesta regio. Ou seja: ~E oposto ao sentiso no qual opotencial cresce.

    Este resultado corrobora a lei de foras entre cargas de mesma natureza e entre cargas de naturezasopostas!! E tambm est coerente com a nossa definio de superfcies equipotenciais: superfciescom o mesmo potencial. Nestas superfcies V = 0, ento: V = ~E ~L = 0, portanto: ~E e ~Ldevem ser ortogonais. Ou seja: ~E deve ser ortogonal s superfcies equipotenciais.

    Para uma superfcie qualquer, temos: ~E = dVdL

    mx aN , sendo aN , um vetor normal superfcieequipotencial, no sentido de crescimento do potencial. Esta expresso o prprio gradiente de V :~E = ~V .

    Se estivermos utilizando um sistema de coordenadas cartesianas, temos:

    ~E = (V

    xi+

    V

    yj +

    V

    zk

    );

    em coordenadas cilndricas:

    ~E = (V

    a +

    1

    V

    a +

    V

    zaz

    )e

    em coordenadas esfricas:

    ~E = (V

    rar +

    1

    r

    V

    a +

    1

    r sin

    V

    a

    ).

    Ilustrao:

    Numa dada regio do espao, h um campo vetorial que pode ser expresso por V = 2x2y 5z.Determine o potencial, o vetor campo eltrico, a densidade de fluxo eltrico e a densidade volumtricade carga no ponto P (4, 3, 6) pertencente a esta regio.

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    Captulo 2: Energia Potencial eltrico

    Soluo:

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    Captulo 2: Energia Potencial eltrico

    Questo 1:Calcule o trabalho realizado ao deslocarmos uma carga de 4 C de B(1, 0, 0)m at A(0, 2, 0)m, ao

    longo do caminho y = 2 2x, z = 0, quando o campo eltrico na regio vale: (a) ~E = 5i V/m, (b)~E = 5xi V/m e (c) ~E = 5xi+ 5yj V/m.

    Questo 2:Em uma dada regio no espao, h um campo potencial de simetria retangular, cujas superfcies

    equipotenciais so planos paralelos ao palo coordenado xz. Uma carga move-se, devido a um agenteexterno, realizando a trajetria (1, 2, 4) (2,1, 4) (3, 4, 4) (1, 2, 5). Uma segunda carga,sujeita ao mesmo agente externo, move-se segundo a trajetria 4x y2 = 0 e uma terceira carga,devido mesma fora externa move-se atravs dos pontos (1, 2, 4) (2,1, 5) (3, 4, 5) (1, 2, 5). Faa uma anlise comparativa entre os trabalhos realizados pelas trs partculas.

    Questo 3:A figura abaixo mostra parte de uma regio de campo potencial bidimensional. Determine valo-

    res aproximados de ~E em coordenadas cartesianas nos pontos (a), (b) e (c) da figura. O retculo temescala de 1 mm.

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    Captulo 3

    Corrente eltrica e Densidade de correnteeltrica

    Um tomo de um metal qualquer, isolado, eletricamenteneutro. Por exemplo, um tomo de cobre constitudo de umncleo que contm 29 prtons cercados por 29 eltrons; o daprata contm 47 prtons e 47 eltrons. J um fio metlico con-tm um nmero muito grande de partculas. Por isso a sua es-trutura diferente. No interior do metal cada tomo perde emgeral, um ou dois eltrons, tornando-se, portanto, um on pos-itivo. Os ons se arranjam de modo regular, constituindo umarede cristalina tridimensional, tal como a figura ao lado.

    Esses eltrons perdidos ficam vagando pelos espaos vazios entre os ons. Dessa forma o fiometlico fica eletricamente neutro. A distncia entre dois ons da rede cristalina da ordem de trsvezes o raio do on. Quer dizer, apenas cerca de 15% do volume total de um fio so ocupados pelosons; o restante do espao est disponvel para o movimento de parte dos eltrons. Em outras palavras,num metal a grande maioria dos eltrons est presa na vizinhana dos ncleos, enquanto outros podemse deslocar livremente e por isso so denominados eltrons livres.

    O nmero de eltrons em um metal muito grande. Podemos fazer uma estimativa para um fio decobre. Se considerarmos que h um eltron livre por tomo de cobre, a densidade dos eltrons livrespor unidade de volume igual densidade dos tomos. A densidade volumtrica de tomos de cobre temperatura ambiente da ordem de 8, 92 g/cm3. O tomograma de cobre 63, 5 g/mol. Portanto,o nmero de eltrons livres por unidade de volume

    n =6, 02.1023 tomos/mol

    63, 5 g/mol= 8, 46.1023 tomos.

    Na ausncia de um processo de eletrizao, os eltronslivres de um metal no podem se desprender do material, masso livres para se moverem no interior do metal. Esse livre

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 3: Corrente eltrica e Densidade de corrente eltrica

    significa que as interaes entre os eltrons livres e os ncleosda rede inica so fracas. As interaes entre as superfcies dosmetais e os eltrons livres so fortes. Por isso eles no conseguem sair do metal se que haja um agenteexterno atuando. As superfcies de um metal funcionam como as paredes de uma caixa tempera-tura ambiente, na regio do espao confinada pelas superfcies do metal, tanto os eltrons quanto osons esto em movimento de origem trmica. Enquanto cada on oscila em torno da sua posio deequilbrio, o movimento de um eltron livre do tipo trmico desordenado ou aleatrio, como o demolculas gasosas em recipientes fechados, como na figura ao lado.

    Corrente eltricas so, ento, cargas eltricas em movimento ordenado. Apesar do fio metlicoter eltrons livres que se deslocam com uma velocidade mdia de 100.000 m/s no existe correnteeltrica nele, pois o movimento aleatrio. S existe corrente eltrica quando o movimento eltronsest ordenado, ou seja: quando o nmero eltrons que atravessam uma rea imaginria A aberta,localizada interior do metal em um dado sentido, maior do que o nmero eltrons que atravessam amesma rea em sentido contrrio. Veja as figuras.

    A corrente eltrica e, ento, definida como a razo entre a variao de carga que atravessa umaseo reta do condutor num determinado intervalo de tempo: i = q

    t. Se considerarmos um intervalo

    muito pequeno, tendendo a zero, apenas uma variao infinitesimal de carga atravessar a seo retado condutor e temos como resultado:

    I =dQ

    dtou: Q =

    t0Idt.

    A unidade de corrente eltrica [C/s], que recebe o nome especial ampre, [A]. Ento:1 A = 1C/s.

    Quando o movimento dos eltrons aleatrio: o nmero de eltrons que atravessam a rea A emum sentido igual ao nmero de eltrons que atravessam A em sentido contrrio. Portanto, a correnteeltrica nula (figura acima, lado esquerdo). Quando um metal ligado a uma tomada ou a uma pilha,isto , quando ele ligado a uma fonte de energia eltrica, aparece um campo eltrico que atua sobreos eltrons livres que so acelerados pelo campo eltrico, com uma velocidade que tem em mdia amesma direo do campo eltrico criado pela fonte e sentido contrrio ao dele. Essa velocidade denominada velocidade de deslocamento. A velocidade de deslocamento est representada na figuraacima (lado direito) pelas setas cinza. A representao das velocidades no desenho no est na escala

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    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 3: Corrente eltrica e Densidade de corrente eltrica

    correta.Quando o metal ligado a uma fonte de energia eltrica, a fora eltrica que acelera os eltrons

    livres na direo do campo eltrico est sempre presente, fazendo com que a energia cintica desseseltrons aumente no intervalo de tempo entre duas colises (com a rede ou com outros eltrons). Coma ocorrncia de um choque, essa energia em parte transferida aos ons da rede. Em outras palavras,o campo eltrico causa um aumento na energia cintica dos eltrons livres. Essa energia transferida rede cristalina por meio de choques, fazendo com que ela vibre mais intensamente, representandoum aumento de sua energia interna. Esse aumento de vibrao percebido macroscopicamente comoaumento da temperatura do fio, que passa a se comportar como uma fonte de calor para o meio. Oaquecimento de um condutor pela passagem de corrente eltrica denominado Efeito Joule.

    As interaes dos eltrons livres com a rede de ons dependem do nmero de eltrons livres porunidade de volume, da temperatura do condutor e da tenso aplicada. O nmero de eltrons livres porunidade de volume varia de condutor para condutor. Por isso, as correntes eltricas que atravessamdois condutores diferentes ligados a uma mesma fonte de tenso so diferentes. Dizemos que o con-dutor que atravessado pela corrente eltrica maior oferece uma resistncia menor ao movimento dosseus eltrons livres e aquele que atravessado pela menor corrente eltrica oferece maior resistnciaao movimento dos seus eltrons livres.

    A resistncia de um condutor definida, portanto, como a razo entre a diferena de potencialaplicada nos terminais do condutor e a corrente eltrica, isto :

    R =V

    I.

    A unidade de resistncia eltrica o ohm []. Portanto, para medir a resistncia de um condutor necessrio medir a diferena de potencial entre os seus terminais e a corrente eltrica.

    Densidade de corrente eltrica:

    Para se estabelecer o fluxo de cargas atravs de uma seo reta de um condutor em um determinadoponto do circuito, torna-se mais amigvel definir uma grandeza que relacione a corrente eltrica e area desta seo reta. Esta grandeza chamada densidade de corrente, ~J . Perceba que a densidadede corrente deve ser uma grandeza vetorial, pois ela depende da direo relativa entre a direode deslocamento dos eltrons e a direo normal rea da seo reta do condutor e dada por~J = I

    SJN , na qual JN um versor normal superfcie considerada. Ento:

    I = JNS.

    Se a densidade de corrente faz um ngulo 6= 90o com o vetor de rea, temos:

    I = ~J ~S,

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    Captulo 3: Corrente eltrica e Densidade de corrente eltrica

    I =S

    ~J d~S.

    Um conjunto de cargas se movendo dentro de um material pode ser comparada com o movi-mento de uma parcela de cargas consituinte de uma densidade volumtrica de cargas. Considereum elemento de carga Q = vv = vSL, como mostra a figura (faa a figura junto com oprofessor):

    No intervalo de tempo t, o elemento de cara moveu-se de uma distncia x. Ento, temos:Q = vSx, atravs de um plano de referncia perpendicular direo de deslocamento:

    I =Q

    t= vS

    x

    t,

    levando ao limite t 0, temos:

    I = vSvx,

    na qual vx representa a componente x da velocidade ~v. Em termos da densidade de corrente:

    I

    S= vvx Jx = vvx, em todas as direes, temos:

    ~J = v~v.

    A corrente I dita corrente de conveco e ~J chamada densidade de corrente de conveco.

    Ilustrao:

    Dada a densidade de corrente ~J = 10z2a 4z2 cosa + sin3 az A/m2. Determine:a) a densidade de corrente em P (2, pi/3, 3);b) a corrente total que flui para fora da faixa circular = 3, 0 < < 2pi e 2 < z < 2, 5.

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    Captulo 3: Corrente eltrica e Densidade de corrente eltrica

    A Equao da Continuidade

    J comeamos a falar em corrente eltrica, que nada mais do que a variao de cargaduranteum intervalo de tempo. Porm, ainda estamos estudando eletrosttica, por isso devemos enxergaresta variao de carga no tempo como algo que deve ser compensado. Considerando o princpioda conservao da carga, sabemos que carga eltrica algo que no pode ser criado e nem destrudo,mas pode ser transferida de um corpo para outro, de forma que quem recebe uma quantidade de carga,deve estar recebendo a mesma quantidade de carga que foi cedida por outro corpo, com o qual houvecontato (ou atrito). a equao da continuidade segue este princpio, quando consideramos uma regiolimitada por uma superfcie fechada. A corrente atravs da superfcie fechada dada por

    I =S

    ~J d~S,

    e este fluxo de cargas positivas para fora da superfcie S deve ser equilibrada pelo aumento de cargasnegativas dentro desta superfcie. Se a carga dentro da superfcie Qi, ento a taxa de decaimento dada por dQi

    dt, e o princpio da conservao de cargas requer que:

    I =S

    ~J d~S = dQidt

    : forma integral da equao da continuidade.

    O sinal negativo significa que se trata do sentido real da corrente eltrica. Isto : a direo dodeslocamento dos portadores de cargas negativas (eltrons). Se utilizarmos o sentido convencionalde corrente, o sentido de deslocamento dos portadores de cargas positivas, (lacunas) ento temosI = dQi

    dt. Na nossa construo, a corrente com sinal negativo est saindo da superfcie fechada,

    enquanto que a corrente com sinal positivo est entrando na superfcie.A forma diferencial da equao da continuidade obtida atravs do teorema da divergncia:

    (~ ~J) = vt

    ,

    o que significa que a corrente que diverge de um pequeno volume relativo igual taxa de reduode carga por unidade de volume em cada ponto.

    Ilustrao:

    Suponha que existe uma densidade de corrente ~J = 106z1,5az A/m2 na regio 0 20 m.Determine:a) a corrente total que atravessa a superfcie z = 0, 1 m na direo az;b) v no ponto em que a velocidade da carga 2.106 m/s em z = 0, 1 m;c) a velocidade da carga no ponto em que z = 0, 15 m e v = 2000 C/m3.

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    Captulo 3: Corrente eltrica e Densidade de corrente eltrica

    Condutores metlicos

    O estudo do comportamento dos eltrons em um material condutor passa pelo entendimento da suaconstituio atmica. Um eltron do tomo pode ser fraca ou fortemente ligado ao ncleo atmico,dependendo da rbita por onde ele realiza o seu movimento. Os eltrons de um tomo so, ento,classificados em dois grandes grupos: os eltrons cororianos, que formam o caroo inico (ncleo+ eltrons prximos, que formam a camada de valncia) e os eltrons livres, que formam a nuvemeletrnica na camada de conduo, estes eltrons so livres para circularem pela rede cristalina. Aenergia que prende um eltron ao ncleo tanto maior quando menor for a sua distncia ao ncleo.Esta energia chama-se energia potencial eltrica. Em contrapartida, o eltron mais afastado do ncleotem maior energia cintica. Por este motivo, os eltron mais afastados, os de conduo tm maiormobilidade dentro do material. A energia de ligao (energia potencial eltrica) uma quantidadenegativa, pois para que um eltron se afaste do ncleo, necessrio fornecer-lhe energia atravs deuma fonte externa.

    Assim, o espao vazio do tomo pode ser dividido em regies chamadas nveis de energia, queestabelecem estados de energia para o eltron. A teoria quntica prev que somente determinadosnveis de energia so permitidos para o movimento dos eltrons. Assim, para passar de um nvelde energia para outro, um eltron deve absorver ou emitir uma certa quantidade de energia bemdeterminada.

    Em um solido cristalino, os tomos esto muito mais prximos uns dos outros e h um nmeromuito maior de eltrons livres e, portanto, um nmero maior de nveis de energia permitidos. Essesinmeros nveis de energia so agrupados em largas faixas, ou bandas de energia, cada banda sendoconstituda de inmeros nveis discretos de energia de valores muito prximos. Os maiores nveis deenergia so os de energia menos negativa e, portanto, os mais afastados. Os eltrons que ocupam estesnveis de energia so ditos eltrons de valncia e esta banda dita banda de valncia. Os eltron demaior mobilidade, ou seja de menor energia de ligao esto na banda de conduo e so chamadosde eltrons de conduo. Entre as bandas de valncia e de coduo h uma banda proibida, chamadagap de energia.

    Os materiais cristalinos podem ser classificados de acordo com as suas bandas de valncia e deconduo, da seguinte forma:

    condutor: no h gap de energia e as bandas de valncia e de conduo se interseccionam;

    semicondutor: bandas de valncia e de conduo parcialmente preenchidas e gap de energiarelativamente baixo, em torno de 3 4 eV ;

    isolante: banda de valncia totalmente preenchida e banda de conduo totalmente vazia. Ogap de energia maior que 6 eV .

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    Captulo 3: Corrente eltrica e Densidade de corrente eltrica

    O condutor imerso em um campo eltrico

    Quando um condutor est imerso em uma regio de campo eltrico, estabelece-se uma correnteeltrica. Os eltrons livres esto sujeitos a uma fora ~F = e ~E. Se estivesse no espao livre o eltronseria constantemente acelerado. Como o eltron est confinado no material, a velocidade fica limitadano valor da velocidade de deriva ~vd = e ~E, na qual e mede a mobilidade do eltron. Definimosuma outra grandeza chamada densidade de carga do eltron livre, e. Ento podemos, finalmente,escrever ~J = ee ~E ou ~J = ~E, na qual = ee a condutividade eltrica, medida em siemenspo metro, [S/m]1.

    A equao ~J = ~E a forma pontual da lei de Ohm: a condutividade constante para largasfaixas de densidade de corrente e campo eltrico aplicado. Os condutores metlicos obedecem muitofielmente a esta lei e so chamados de materiais isotrpicos (mantm as mesmas propriedades emtodas as direes). Ento a resistividade e a condutividade de um material so grandezas inversas.

    Nota-se ento que quanto maior a temperatura, maior a vibrao da rede e com isso, h umamaior dificuldade em estabelecer uma corrente eltrica. Ou seja, quanto maior a vibrao, menor aenergia cintica de translao e portanto, menor a mobilidade dos eltrons livres do material.

    Se juntarmos o efeito de mobilidade de todos os eltrons livres do condutor, temos:

    I =S

    ~J d~S e Vab = ba

    ~E d~L = ~E ~Lab V = EL.

    Assim, temos:

    J =I

    S= E =

    V

    L V = L

    SI,

    sendo R = LS

    chamada de resistncia eltrica. Chegamos na lei de Ohm na forma macroscpica:

    V = RI,

    que significa que a corrente varia linearmente com o potencial aplicado. A resistncia de um materialhmico constante e pode ser mais geralmente expresso por:

    R =V

    I= ab ~E d~LS

    ~E d~S .

    11 S = 1 A/V e igual ao inverso de 1 = 1 V/A

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  • Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidade Tuiuti do Paran

    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 3: Corrente eltrica e Densidade de corrente eltrica

    Condies de fronteira em condutores

    1. A carga lquida no interior de um condutor nula;

    2. O campo eltrico no interior de um condutor nulo.

    Justificativas:

    1) Suponha que por alguma fonte externa, aparea uma carga lquida negativa no interior de umcondutor. Pela lei de Coulomb, somos forados a pensar que, os eltrons em excesso no interior docondutor sofrero uma fora repulsiva, fazendo-os se afastarem o mximo possvel uns dos outros,indo para a superfcie do condutor. Assim, por mais que o condutor estja carregado negativamente,esta carga jamais ficar no interior do condutor, migrando para a sua superfcie.

    2) Pela lei de Gauss, qe0

    =S~E d~S. Se tomarmos uma superfcie gaussiana interna ao condutor,

    pouca coisa menos que ele, uma superfcie rente superfcie externa do condutor, o campo eltricodeve ser nulo, pois no h carga dentro do condutor.

    Estas duas condies nos garantem ainda estarmos trabalhando com cargas estticas. Porm, nosimpe que, se h carga lquida na superfcie do condutor, ento existe uma densidade de carga super-ficial no-nula e, portanto, h um campo eltrico fluindo a partir deste condutor. Como a superfciede qualquer condutor real no perfeitamente reta ou lisa, o vetor deslocamento de carga deve serdividido em uma componente normal e uma tangencial superfcie, como mostra a figura abaixo.

    J sabemos que para um caminho fechado ~E d~L = 0. Se considerarmos o caminho fechado

    abcd da figura acima, temos:

    ba

    ~E d~L+ cb

    ~E d~L+ dc

    ~E d~L+ ad

    ~E d~L = 0;

    Etw 12ENh+ 0 +

    1

    2ENh = 0 Etw = 0 Et = 0.

    Portanto, a primeira condio de fronteira para um condutor no espao livre :

    A componente tangencial do campo eltrico nula.

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  • Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidade Tuiuti do Paran

    Eletromagnetismo I - Notas de Aula

    Captulo 3: Corrente eltrica e Densidade de corrente eltrica

    Considerando o cilindro da figura acima e escrevendo a lei de Gauss para o vetor deslocamento,q =

    S~D d~S, temos:

    topo

    ~D d~S +base

    ~D d~S +lateral

    ~D d~S = q;

    DNS + 0 + 0 = q DN = qs

    DN = S.

    Portanto, a segunda