eletromagnetismo - formulario geral

Formulário Eletromagnetismo

1

PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO

COORDENADORIA DO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Eletromagnetismo – 2º semestre de 2010 – Turnos Integral e Noturno

FORMULÁRIO – Capítulos 1 a 5 do Livro Texto Professor: Marco Aurélio de Oliveira Schroeder

I. Análise Vetorial (Capítulos 1 a 3) Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas

Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas

Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas

Coordenadas cartesianas e cilíndricas Coordenadas cartesianas e esféricas

rar raθ

raφ rax • senθ cosφ cosθ cosφ - senφ ray • senθ senφ cosθ senφ cosφ raz • cosθ - senθ 0

raρ raφ

raz rax • cosφ - senφ 0 ray • senφ cosφ 0 raz • 0 0 1


2

Comprimentos, áreas e volumes diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas

Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas Sistema Comprimento (d L ) Área (d s ) Volume(dv)

Cartesiano zyx adzadyadxLd ++=

zz

yy

xx

adxdysd

adxdzsdadydzsd

=

==

dzdydxdv =

Cilíndrico zp adzadadLd +φρ+ρ= φ

zz addsd

adzdsd

adzdsd

φρρ=

ρ=

φρ=

φφ

ρρ

dzdddv φρρ=

Esférico φθ φθ+θ+= adsenrardadrLd r

φφ

θθ

θ=φθ=φθθ=

ardrdsdadrdsenrsd

addsenrsd r2

r φθθ= ddrdsenrdv 2

Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas SISTEMA Cartesiano Cilíndrico Esférico

Cartesiano

zzyyxx

===

zzsenycosx

=φρ=φρ=

θ=

φθ=φθ=

rcoszsen rsenycos senrx

Cilíndrico

zz20 )x/y(tan

0 yx1-

22

=π≤φ≤=φ

≥ρ+=ρ

zz =φ=φρ=ρ

θ=φ=φ

θ=ρ

rcosz

senr

Esférico

( )( ) π≤φ≤=φ

π≤θ≤+=θ

≥++=

20 x/ytan

0 zyxtan

0r zyxr

1-

221-

222

( )π≤φ≤φ=φπ≤θ≤ρ=θ

≥+ρ=

20 0 ztan

0r zr1-

22

φ=φθ=θ

= rr


3

DIVERGÊNCIA

CARTESIANAS: zzD

yyD

xxD

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=•∇ D

rr

CILÍNDRICAS: zzDD1)D(1

∂

∂+

∂φφ∂

ρ+

∂ρρρ∂

ρ=•∇ D

rr

ESFÉRICAS: ∂φφ∂

θ+

∂θ

θθ∂

θ+

∂

∂=•∇

D

senr1)senD(

senr1

r

)rDr(

r1

2

2Drr

GRADIENTE

CARTESIANAS: zyx zV

yV

xV

V aaarrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

CILÍNDRICAS: zzVV1VV aaa rrrr

∂∂

+∂φ∂

ρ+

∂ρ∂

=∇ φρ

ESFÉRICAS: φθ ∂φ∂

θ+

∂θ∂

+∂∂

=∇ aaa rrrr Vsenr1V

r1

rVV r

LAPLACIANO

CARTESIANAS: r∇ = + +2

2

2

2

2

2

2VV

xV

yV

z∂∂

∂∂

∂∂

CILÍNDRICAS: r∇ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +2

2

2

2

2

21 1

VV V V

zρ∂∂ρ

ρ∂∂ρ ρ

∂∂φ

∂∂

ESFÉRICAS: r∇ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

22

22 2 2

2

21 1 1

Vr r

rVr r

Vr

V∂∂

∂∂ θ

∂∂θ

θ∂∂θ θ

∂∂φsen

sensen

ROTACIONAL

CARTESIANAS: zxy

yzx

xyz

yH

xH

x

Hz

H z

Hy

H aaaHrrrrr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=×∇

CILÍNDRICAS: ( )

zzz

HH1 Hz

H

zHH1 aaaH

rrrrr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂φ

∂−

∂ρ

ρ∂

ρ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ρ∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂φ∂

ρ=×∇ ρφ

φρ

ρφ

ESFÉRICAS:

( ) ( )θ

φθφ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂φ∂

θ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂φ∂

−∂θ

θ∂

θ=×∇ aaH

rrrr

rrHH

senr1

r1 HsenH

senr1 r

r( )

φθ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂θ∂

−∂

∂+ a

r

Hr

rHr1 r


4

II. Campos Eletrostáticos (Capítulo 4)

Lei de Coulomb:

RaR

QQF ˆ

41

221

0επ=

r ; '

'ˆrrrr

RRaR rr

rrr

−−

== ; mFx /10854,8 120

−=ε

Campo Vetorial Intensidade de Campo Elétrico: P

Q QFE

P

rr

0lim→

=

i. Carga pontual ⇒ RaRQ

E ˆ4

12

0επ=r

ii. Linha de carga ⇒ RaRdE ˆ'

41

2´0

lrl

l

ρεπ ∫=

iii. Superfície de carga ⇒ RS

S

aR

SdE ˆ´4

12

´0

ρεπ ∫=

r

iii. Volume de carga ⇒ Rv

v

aR

vdE ˆ´4

12

´0

ρεπ ∫=

r

Casos particulares:

a) Linha infinita de carga ⇒ ρρεπρ aE ˆ

2 0

lr=

b) Lâmina (ou plano) infinita de carga ⇒ nS aE ˆ

2 0ερ

=r

Campo Vetorial Densidade de Fluxo Elétrico: EDrr

0ε=

Fluxo Elétrico: SdDS

rr•= ∫ψ

Lei de Gauss:

encQ=ψ ; encS

QSdD =•∫rr

; VD ρ=•∇rr

Diferença de Potencial Elétrico: ∫ •−==−=B

APABAB dE

QWVVV l

rr

∫ •−=−P

REFREFP dEVV l

rr

Potencial Elétrico Absoluto: REF

P

REFP VdEV +•−= ∫ l

rr


5

Potenciais e diferenças de potencial de distribuições particulares de carga:

i. Carga pontual ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

REFpREFP rr

QVV 114 0επ

ii. Linha de carga ⇒ RdV ´

41

´0

ll

l

ρεπ ∫=

iii. Superfície de carga ⇒ RSdV S

S

´4

1

´0

ρεπ ∫=

iii. Volume de carga ⇒ RvdV v

v

´4

1

´0

ρεπ ∫=

Casos particulares:

a) Linha infinita de carga ⇒ P

REFLREFP VV

ρρ

επρ

ln2 0

=−

b) Lâmina (ou plano) infinita de carga ⇒ ( )PREFS

REFP DDVV −=−02 ε

ρ, onde DREF e

DP correspondem, respectivamente, às distâncias verticais dos pontos de referência e

P em relação à lâmina de carga.

Relação entre Campo Elétrico e Potencial: VE ∇−=rr

Natureza não rotacional do campo eletrostático: 0=∇ EXrr

; 0=•∫C

dE lrr

Densidade de Energia em campos eletrostáticos:

∫∫ =•=vv

E dvEdvEDW 202

121 ε

rr


6

III. Campos Elétricos em Meio Material (Capítulo 5)

Corrente elétrica: tdQdI =

Campo Vetorial Densidade de Corrente elétrica: SdJIS

rr•= ∫

Campo Vetorial Densidade de Corrente de Condução: EJC

rrσ=

Campo Vetorial Densidade de Corrente de Convecção: UJ vconvecção

rrρ=

Resistência de condutores de seção reta uniforme:

SSSdJ

dE

IVR C

SC

B

A

σρ ll

rr

lrr

==•

•−==∫

∫

Potência dissipada (Efeito Joule):

RVIRIVdvEdvJEP

vvC

222 ====•= ∫∫ σ

rr

Campo Vetorial Polarização: EP e

rr0εχ=

Campo Vetorial Densidade de Fluxo Elétrico: EPEDrrrr

εε =+= 0

0

;1εεεεχ =−= rre

Capacitância de um capacitor de placas paralelas: dA

dE

SdD

VQC B

A

S ε=•−

•==

∫

∫

lrr

rr

Equação da Continuidade: tJ

∂∂

−=•∇ρrr

Tempo de Relaxação: σε

=rT

Condições de Interface:

i. Tangenciais ⇒ 2

2

1

121 ;

εεtt

ttDD

EE ==

ii. Normais ⇒ SnnSnn EEDD ρεερ =−=− 112212 ; Observação:

Todas as fórmulas da Parte II deste formulário são válidas para a Parte III, desde

que seja substituído, em cada uma delas, ε0 por ε = εrε0.


7

Formulário de Derivadas #

# u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias.

1. [ ] 0adxd

=

2. [ ] cxcdxd

=

3. [ ] 1nn xncxcdxd −=

4. [ ]x2

1xdxd

=

5. [ ]dxdu

un

1udxd

n 1nn

−=

6. [ ]dxdv

dxduvu

dxd

+=+

7. [ ]dxducuc

dxd

=

8. [ ]dxduv

dxdvuvu

dxd

+=

9. 2v

udxdvv

dxdu

vu

dxd −

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

10. [ ]dxduunu

dxd 1nn −=

11. [ ]dxduaaa

dxd uu ln=

12. [ ]dxdvuu

dxduuvu

dxd v1vv ln+= −

13. ( )[ ]dxdu

dudfuf

dxd

=

14. [ ] ( )1a,0adxdu

uelog

ulogdxd a

a ≠≠=

15. [ ]dxdu

u1u

dxd

=ln

16. [ ]dxduucosusen

dxd

=

17. [ ]dxduusenucos

dxd

−=

18. [ ]dxduusectgu

dxd 2=

19. [ ]dxduucosecucotg

dxd 2−=

20. [ ]dxdutguusecusec

dxd

=

21. [ ]dxduucotgucosecucosec

dxd

−=

22. [ ]dxdu

u1

1uarcsendxd

2−=

23. [ ]dxdu

u1

1uarccosdxd

2−−=

24. [ ]dxdu

u11uarctg

dxd

2+=

25. [ ]dxdu

u11uarccotg

dxd

2+−=

26. [ ]dxdu

1uu

1uarcsecdxd

2 −=

27. [ ]dxdu

1uu

1uarccosecdxd

2 −−=

28. dxdu

dudy

dxdy

= (Regra de Chain)

29. dzzFdy

yFdx

xFdF

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

(Diferencial total de )z,y,x(F )

30. yFxF

dxdy0)y,x(F

∂∂∂∂

−=⇒=


8

Formulário de Integrais #

#u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias.

1. ( )[ ] )x(fdxxfdxd

=∫

2. ( ) Cdxvdxudxvu ++=+ ∫ ∫∫

3. Cdxuadxua += ∫∫

4. ( )1nC1n

uduu1n

n −≠++

=+

∫

5. ∫ += Cuu

du ln

6. ∫ += Cedue uu

7. ( )1a,0aCa

aduau

u ≠>+=∫ ln

8. ∫ +−= Cucosduusen

9. ∫ += Cusenduucos

10. CusecCucosduutg +=+−=∫ lnln

11. CucosecCusenduucotg +−=+=∫ lnln

12. ∫ ++= Cutgusecduusec ln

C42

utg +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+= ln

13. ∫ ++−= Cucotgucosecduucosec ln

= C2utg +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ln

14. ∫ +−= C4

u2sen2uduusen2

15. ∫ ++= C4

u2sen2uduucos2

16. ∫ += Cutgduusec2

17. ∫ +−= Cucotgduucosec2

18. ∫ +−= Cuutgduutg2

19. ∫ +−−= Cuucotgduucotg2

20. ∫ += Cusecduutgusec

21. ∫ +−= Cucosecduucotgucosec

22. Cauarctg

a1

audu

22 +=+

∫

23. Cauau

a21

audu

22 ++−

=−

∫ ln

24. Cuaua

a21

uadu

22 +++

=−

∫ ln

25. Cauarcsen

ua

du22

+=−

∫

26. Cauuau

du 2222

+++=+

∫ ln

27. Cauuau

du 2222

+−+=−

∫ ln

28. Cauarcsec

a1

auu

du22

+=−

∫

29. Cu

auaa1

auu

du 22

22+

++−=

+∫ ln

30. Cu

uaaa1

uau

du 22

22+

−+−=

−∫ ln

31. ( )

Cau

ua1

au

du2222/322+

+=

+∫

32. 2222 ua2uduua −=−∫

Cauarcsen

2a 2

++

33. 2222 au2uduau ±=±∫

Cauu 22 +±+± ln

34. ∫ ∫−= duvvudvu (Integração por partes)

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