127

Circuitos magnéticos são usados para concentrar o efeito magnético de uma corrente em uma região particular do espaço. Em palavras mais simples, o circuito direciona o fluxo magnético para onde ele é necessário. Um circuito magnético pode ser construído a partir de uma variedade de seções com diferentes comprimentos, e diferentes propriedades magnéticas. As características magnetizantes dos materiais são não lineares, e isso deve ser levado em conta nos projetos de dispositivos eletromagnéticos. Um problema típico seria a determinação da corrente requerida em um enrolamento para produzir uma dada densidade de fluxo no entreferro de um pequeno atuador, relé ou eletromagneto 19.1 -CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES São considerados magneticamente lineares os circuitos magnéticos onde a permeabilidade relativa é baixa. Circuitos magneticamente lineares podem ser obtidos quando o núcleo é de ar, ou de material não-ferromagnético, ou quando o entreferro for bastante grande. 19.1.1 - Analogia com Circuitos Elétricos Consideremos o dispositivo da figura 19.1, onde o núcleo é formado por um material magnético ( µ µ⟩ 0 ).

figura 19.1 - Circuito magnético Pela lei de Ampére teremos:

� �

H dL Il

.∫ = (19.1)

Considerando que H (em módulo) é constante ao longo do caminho mostrado na figura teremos: N I H lm. .= (19.2)

19

CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES E NÃO LINEARES

V

i

N

φ

128

H

N Il

A esp mm

=.

( . / )

(19.3)

onde lm é o caminho médio percorrido por ϕm . O termo N.I será chamado de força magnetomotriz (Fmm).

Como &

B = µH , teremos:

BN I

lm=

µ. .

(19.4)

e o fluxo magnético ϕm será: ϕm B S= . (19.5)

ϕµ

mm

Fmml

S= .

(19.6)

ϕmFmm

=ℜ

(19.7)

O termo ℜ = l

Sm

µ (19.7)

é chamado de relutância do circuito magnético (dificuldade imposta à circulação do fluxo magnético), e tem como unidade : A/Wb.esp. Considere agora o circuito elétrico da figura 19.2 Para esse circuito elétrico temos:

RlS

= ρ

(19.8)

IVR

=

(19.9)

Portanto, para a corrente elétrica:

IFem

RFem

lS

= = ρ

(19.10)

Podemos montar um circuito análogo ao circuito elétrico, para o circuito magnético:

V i

R figura 19.2 -

Circuito elétrico análogo

129

Circuito Magnético Circuito Elétrico Fmm = N.I Fem = V

Fluxo Magnético = ϕm Corrente elétrica = I

Relutância = ℜ Resistência Elétrica = R Permeabilidade = µ Condutividade = σ Permeância = 1 ℜ Condutância = G R= 1

Exemplo 19.1

Para o dispositivo da figura 19.1, têm-se: I = 5 A, N = 100 esp., M = 10 cm, Q = 8 cm, S = 2 cm2, µ r = 1000. Calcular: a) - A relutância do circuito magnético b) - A permeância do circuito magnético c) - A intensidade de campo magnético no núcleo d) - A densidade de fluxo magnético no núcleo e) - O fluxo magnético no núcleo Resp: ℜ = 1,4x106 A/Wb.esp; Ρ = ℜ1 = 7.14x10-7 Wb.esp/A; H = 1.4x103 A.esp/m; B = 1.75

Wb/m2; ϕm = 3.5x10-4 Wb. Exemplo 19.2 Calcular o valor do fluxo magnético em cada braço da estrutura magnética da figura 19.3, dados: N = 500 espiras, I = 1,0 A, µr1 = 200, µr2 = 100.

Figura 19.3 - Estrutura ferromagnética do exemplo 19.2 Solução figura 19.4 - circuito elétrico análogo do exemplo

19.2 Para o lado do material 1:

NI H l= 1 1

l cm cm cm cm cm cm cm

cm cm cm cm cm cm1 5 5 5 5 1 1 1

1 1 1 1 1 28

= + + + + + ++ + + + + =

HNIl

Ae m11

500 10 28

178 57= =×

=,

, /

Para o lado do material 2:

NI H l= 2 2

5 5

5

2 2 2

2

2

N

medidas em cm

espessura: 2 cm

material 1 material 2

H1l1 H2l2

NI

130

HNIl

Ae m22

500 10 28

178 57= =×

=,

, /

Indução magnética no braço esquerdo: B H Tr1 1 0 1

72000 4 10 178 57 0 45= = × × × × =−µ µ π , ,

fluxo magnético no braço esquerdo:

φ1 1 14 40 4 10 1 8 10= = × × = ×− −B S Wb,45 ,

Indução magnética no braço direito: B H Tr2 2 0 2

71000 4 10 178 57 0 23= = × × × × =−µ µ π , ,

fluxo magnético no braço direito:

φ2 2 24 40 23 4 10 0 92 10= = × × = ×− −B S Wb, ,

fluxo magnético no braço central:

φ φ φc Wb= + = × −1 2

42 10,72

19.2 - CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO-LINEARES São considerados não lineares todos os circuitos magnéticos que utilizam material ferromagnético, tais como ferro fundido, aço silício, aço fundido, ferrite etc. A maioria dos circuitos magnéticos reais

são não lineares, pois a permeabilidade dos materiais ferromagnéticos é variável (função de &

B no núcleo). Exemplo 19.3 As dimensões da estrutura magnética 19.5 são indicadas na tabela. O enrolamento de excitação possui 100 espiras. Determine a corrente no enrolamento para estabelecer um fluxo de 1.5x10-4 (Wb). Considere que todo o fluxo está confinado ao núcleo. Utilize as curvas de magnetização da figura 19.7. Mat. 1 - Ferro Fund. Mat. 2 - Aço-Silício

lm 0.2 m 0.4 m S 15x10-4 m2 15x10-4 m2

Solução

figura 19.5 - Estrutura ferromagnética figura 19.6 - Circuito elétrico análogo

Fmm N I H li ii

n

= ==∑. .

1

Fmm H l H l= +1 1 2 2. .

em série temos:

φ φ φ1 2415 10= = = −. ( )x Wb

φ = B S.

φ = =B S B S1 1 2 2. .

B BS

x

xWb m1 2

4

4215 10

15 1001= = = =

−

−φ .

. ( / )

2 1

131

figura 19.7a - Curvas de magnetização (extraída do livro ELETROMAGNETISMO. J. A.

Edminister, pg. 164)

figura 19.7b - Curvas de magnetização (extraída do livro ELETROMAGNETISMO. J. A. Edminister, pg. 1645)

Das curvas de magnetização temos: ferro fundido -

B Wb m H A esp m1

2101 225= ⇒ ≅. ( / ) ( . / )

aço-silício - B Wb m H A esp m2

2201 35= ⇒ ≅. ( / ) ( . / )

portanto:

132

IH l H l

N=

+1 1 2 2. .

Ix x

A=+

=225 0 2 35 0 4

1000 59

. .. ( )

Imagine que tivéssemos que escolher apenas um tipo de material, entre os materiais 1 e 2, para manter o mesmo fluxo magnético. Qual seria o escolhido?. Se o material escolhido fosse o 2 teríamos :

IH l H l

Nx x

A'. . . .

. ( )= + = + =1 1 2 2 35 0 2 35 0 4100

0 21

Se o material 1 fosse o escolhido teríamos :

Ix x

A' '. .

. ( )=+

=225 0 2 225 0 4

100135

Portanto o material escolhido seria o material 2, por requerer uma corrente (e consequentemente uma força magnetomotriz) muito menor do que a exigida no caso do material 1. Exemplo 19.4 Considere a estrutura magnética mostrada na figura 19.6. Qual é o valor da corrente que deve circular no enrolamento de 200 espiras, para que um fluxo de 1,5x10-4 Wb seja estabelecido ?, dados que S1 = 16 cm2, S2 = 20 cm2, l1 = 15 cm, l2 = 30 cm, N = 200 esp. O material é aço fundido. Solução O fluxo magnético é o mesmo, em qualquer seção:

φ φ φ= =1 2

A indução magnética na seção 1 é:

BS

T11

4

41 5 1016 10

0= =××

=−

−φ ,

,084

Da curva para o aço fundido (figura 19.5):

B T H Ae m1 10 85= ⇒ =,084 /

A indução magnética na seção 2 é:

BS

T22

4

41 5 10

20 100 075= =

××

=−

−φ ,

,

Da curva para o aço fundido (figura 19.5):

B T H Ae m2 10 075 65= ⇒ =, /

Aplicando a lei de Ampére:

NI H l H l= +1 1 2 2

I A=× + ×

=85 0 15 65 0

2000 16

, ,3,

Exemplo 19.5 Uma estrutura magnética é feita de aço-silício. Determine a corrente quer deve circular no enrolamento com 500 espiras para estabelecer um fluxo de 9x10-4 Wb no braço direito da estrutura, dados: l1 = l3 = 50 cm, l2 = 15 cm, S = 22,5 cm2.

N

1 2

figura 19.6 - estrutura ferromagnética

133

figura 19.7 - Estrutura magnética do exemplo 19.5

Solução malha I :

Fmm H l H l I= +1 1 2 2. . ( )

malha II

0 3 3 2 2= −H l H l II. . ( ) nó 1:

φ φ φ1 2 3= + ( )III

figura 19.8 - Circuito análogo do exemplo 19.5

φ349 10= −x Wb

φ3 3 3= B S.

Bxx x

Wb m3

429 10

0 05 0 05 0 90 4= =

−

. . .. /

Da curva de magnetização para o aço silício:

B H A esp m3 30 4 60= ⇒ =. . / A partir da equação (II):

HH l

lx x

xA esp m2

3 3

2

2

2

60 50 10

15 10200= =

−

−.

. /

Da curva de magnetização :

H B Wb m2 22200 107= ⇒ . /

φ2 2 2

4107 0 05 0 05 0 9 24 08 10= = = −B S x x x x Wb. . ( . . . ) .

Da equação III :

φ14 4 424 08 10 9 10 3308 10= + =− − −. .x x x Wb

BS

x

xWb m1

1

1

4

4233 08 10

22 5 10147

φ= =

−

−.

.. /

Da curva de magnetização :

B H A esp m1 1147 2050= ⇒ =. . /

Da equação I : Fmm x x x x A esp= + =− −2050 50 10 200 15 10 10552 2 . ∴ = =i A

1055500

2 11.

EXERCÍCIOS 1) - Um circuito magnético compõe-se de duas partes de mesmo material ferromagnético ( µ r 4000 ).

A parte 1 tem 50 mm de comprimento e 104 mm2 de seção reta. A parte 2 tem 30 mm de

N = 500

L1 L3

L2

134

comprimento e 120 mm2. O material está na parte da curva onde a permeabilidade relativa é proporcional à densidade de fluxo. Encontre o fluxo ϕ, supondo uma Fmm de 40 Ae.

2) - A figura abaixo mostra um circuito magnético cujos braços são de aço fundido. A parte 1 tem l1 =

34 cm, e S1 = 6 cm2. A parte 2 tem l2 = 16 cm e S2 = 4 cm2. Calcule a corrente do enrolamento I1 supondo que I2 = 0.5 A., N1 = 200 espiras, N2 = 100 espiras, e ϕ = 120 µWb.

figura do problema 2

3) - A figura abaixo mostra um circuito magnético com uma Fmm de 500 Ae. A parte 1 é de aço

fundido, com l1 = 340 mm, e S1 = 400 mm2. A parte 2 é de ferro fundido, com l2 = 138 mm e S2 =

360 mm2. Calcule o fluxo magnético.

figura do problema 3 4) - Para o circuito magnético mostrado na figura abaixo, a permeabiliade relativa é 1000. A seção

transversal é de 2 cm2, com exceção da perna central, que é de 4 cm2. Os caminhos l1 e l2 medem 24 cm, e l3 mede 8 cm. Calcular o fluxo magnético nos pontos 1 e 2.

figura do problema 4

2 1

N2

N1

F2

F1

1 2

1000 Ae 500 Ae

L1 L2

L3