eletromagnetismo - aula 20

ELETROMAGNETISMO II

UNESP/Bauru Naasson Pereira de Alcantara Jr. Claudio Vara de Aquino

187

Este captulo dedicado a fenmenos que ocorrem em materiais ferromagnticos, quando estes so submetidos a campos magnticos variveis no tempo. Estes fenmenos ocorrem porque os materiais ferromagnticos alm de serem bons condutores para o fluxo magntico, tambm se enquadram na categoria dos materiais condutores de corrente eltrica (no to bons condutores como o cobre, o alumnio e o ouro, por exemplo) 20.1 - Permeabilidade Diferencial e Permeabilidade Incremental Como vimos no captulo passado, o clculo de indutncias requer o conhecimento de permeabilidades magnticas que no so constantes, variando na medida em que a intensidade de campo magntico ao qual o material ferromagntico est submetido tambm varia. Esta permeabilidade, por sua vez, varia com as correntes nos enrolamentos, responsveis pela excitao dos campos magnticos. Entretanto, para certas aplicaes, devemos definir um nmero que expresse esta permeabilidade magntica. Portanto, algumas consideraes devem ser feitas aqui. A indutncia definida como a relao entre o fluxo concatenado e a corrente, s vlida quando constante. No caso dos materiais ferromagnticos, no constante e escrevemos para a indutncia:

didN

didL m (20.1)

Para o circuito magntico da figura 20.1 de comprimento mdio , podemos escrever que:

dBSdBS mm (20.2) Da mesma forma

NdHdiHiN (20.3)

Figura 20.1 - Estrutura ferromagntica com um enrolamento

Portanto, de (20.1) temos:

20 COMPORTAMENTO EM C. A. DOS MATERIAIS FERROMAGNTICOS

I N

ELETROMAGNETISMO II


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dHdBSNL

2 (20.4)

O fator dB/dH com dimenso de permeabilidade magntica corresponde declividade (varivel) na curva de histerese. Conforme podemos observar na figura 20.2, a relao dB/dH, por sua razo de ser, conhecida por permeabilidade diferencial, maior do que a relao Bi/Hi no mesmo ponto i.

Figura 20.2 - Ciclo de Histerese com representao de B, H e dB/dH.

Se uma corrente alternada aplicada ao circuito, tal que dB/dH varie de instante a instante, fica impraticvel utilizarmos o conceito de indutncia. Neste caso, conveniente utilizar uma indutncia mdia Lav, definida como:

SN

dHdBSNL

2

av

2

av

(20.5)

onde max

maxHB

Suponhamos agora que em adio a uma pequena corrente alternada, tenhamos uma componente DC (corrente contnua) relativamente grande. Neste caso, pequenos laos de histerese existiro em cada ponto do ciclo de histerese principal, como pode ser visto na figura 20.4. Neste caso, o valor mdio dB / dH dado por B / H onde B e H so as diferenas entre os extremos do lao de histerese menor onde B / H recebe o nome de permeabilidade incremental.

Hi

Bi dB/dH

H (A/m)

B (T)

Hmax

Bmax

Figura 20.3 representao da permeabilidade magntica mdia como sendo a relao Bmax/Hmax

ELETROMAGNETISMO II


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Figura 20.4 - Lao de histerese com laos de histereses secundrios

20.2 - Correntes Parasitas Quando uma massa metlica ferromagntica submetida a uma densidade de fluxo com induo varivel no tempo, foras eletromotrizes sero induzidas no seu interior, produzindo laos ou espiras de correntes parasitas que circularo pelo metal. Tais correntes parasitas so tambm conhecidas por correntes de Foucault, que encontrando resistncia, aquecem o material dissipando energia. Considere a figura 20.5, onde uma chapa ou lmina de material ferromagntico, de espessura , comprimento um pouco maior do que e profundidade a, submetida a um campo magntico varivel, no tempo, na direo do eixo x, ou seja, perpendicular a rea (plano do papel) dele saindo.

Figura 20.5 - Chapa de material magntico submetida a campo varivel

A anlise que faremos se restringe a chapas ou lminas de material ferromagntico, onde >>, na presena de campos magnticos de induo senoidal, uniformemente distribudo ao longo da seo transversal de modo que:

x0 atcosBB

(20.6) A presena deste campo magntico de induo senoidal no tempo induz laos de corrente alternada no meio ferromagntico, ocorrendo por conseqncia a dissipao de energia. Considerando o material como uma chapa ou lmina de espessura

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parasita praticamente acompanham o perfil da lmina e assim considerar apenas as diferenas de potencial na direo y em decorrncia da fem e induzida segundo a lei de Faraday, conforme

s SdBdt

de

(20.7)

Para um lao genrico de corrente induzida na chapa, podemos escrever que

.tsenBz2e 0 (20.8) Como j vimos em captulos anteriores a fem induzida encontra-se na espira e estabelece a circulao da corrente induzida em cada lao. Assim, cada lao de corrente induzida percorrendo a chapa, pela lei de Joule, dissipar uma potncia dada por:

dREdP

2ef (20.9)

onde R a resistncia do percurso significativo 2 com resistividade especfica percorrido por cada lao de corrente induzida. Assim,

dza

2dR (20.10)

Portanto, a potncia mdia dissipada na lmina em cada lao de corrente ser:

dzzaB

adz2

2Bz2

dP22

02

20

(20.11)

A potncia total dissipada na lmina ser dada pela integrao da potncia em cada lao de corrente, para z variando de 0 a /2. Desta forma, a potncia dissipada em toda a espessura da chapa pela circulao das correntes parasitas envolventes ou de Foucault ser ento:

2/

0

2220

fdzzaBP (20.12)

O caminho oferecido pelos laos de correntes parasitas encontra uma resistncia eltrica no percurso fechado 2 . Da considerarmos apenas a metade da espessura da chapa no clculo da potncia dissipada na lmina para que no a tomemos duas vezes, valor este j considerado na equao (20.10) na determinao da resistncia elementar dR em cada lao de corrente. Assim,

24

aBP322

0f

(20.13)

Sendo o volume da lmina a , as perdas por unidade de volume no Sistema Internacional de Unidades ser:

3

2220

3220

fv mW

24B

a24aBp

(20.14)

ou:ainda

ELETROMAGNETISMO II


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3

2220

24 mWBp fv (20.15)

Vemos ento que as perdas por correntes parasitas so: 1. proporcionais ao quadrado da induo magntica B;. 2. proporcionais ao quadrado da freqncia f ou , onde = 2f; 3. proporcionais ao quadrado da espessura da chapa do material magntico; 4. proporcionais condutividade (ou inversamente proporcionais resistividade). 20.3 - Perdas por Histerese O material ferromagntico quando submetido a um campo magntico varivel no tempo se aquece por duas razes; uma delas, j vista, pela induo de correntes parasitas ou de Foucault e outra por dissipao de energia na inverso dos dipolos ou domnios magnticos existentes no meio, que so as perdas por histerese. A teoria dos circuitos eltricos mostra que a energia W entregue por uma fonte a um circuito :

diNdtidtdNdt)t(i)t(vW

t

0

t

0

(20.16)

Admitindo o circuito magntico com comprimento mdio e seo reta S uniforme temos:

BB

dBHSdBSHBSdN

HNW (20.17)

Suponhamos que um material ferromagntico seja submetido ao de um campo magntico H

varivel no tempo, com uma frequncia f ou perodo T = 1/f. Em cada ciclo ou perodo, uma parcela da energia injetada no material ser dissipada ou utilizada apenas para percorrer o ciclo de histerese e se constituir em perdas por histerese. Para melhor compreendermos as perdas por histerese, vamos fazer uma anlise passo a passo. Denominando Ph a potncia associada ao ciclo de histerese, e Wh a energia dissipada em um ciclo, ou perodo T teremos:

fP

TPW hhh (20.18)

Em termos de potncia dissipada por histerese podemos ento escrever que:

fWP hh (20.19) Se o campo magntico expresso em A/m e a induo magntica em tesla (T) ou Wb/m2, a densidade volumtrica de energia magntica wm, dada na equao (20.17), necessria para criar uma induo magntica B dada no Sistema Internacional por:

3

B

0m m

WdBHw (20.20)

Neste caso, a energia magntica total armazenada no material de volume V :

VwW mm (20.21)

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Vamos examinar agora graficamente a expresso para a densidade de energia ao longo de um ciclo de histerese: Se a curva percorrida no sentido positivo (acrscimo na magnetizao) como na figura 20.6, esta rea algebricamente positiva e representa a energia entregue pela fonte ao material.

Figura 20.6: energia armazenada no material medida que se aumenta a intensidade de campo magntico

Pela figura 20.7, quando a curva percorrida no sentido negativo (reduo na magnetizao) a rea algebricamente negativa e representa a parcela de energia devolvida pelo material fonte externa.

Figura 20.7: energia liberada pelo material magntico, medida que a intensidade de campo magntico reduzida

A diferena entre as reas a energia que foi dissipada na inverso dos domnios magnticos no material, em forma de calor.

Figura 20.8 energia magntica perdida no aumento e reduo de H

H (A/m)

B (T)

B (T)

H (A/m)

H (A/m)

B (T)

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Fazendo essa anlise ao longo de todo o ciclo de histerese, obteremos a perda por histerese em um ciclo, que a rea do lao de histerese.

Figura 20.9 energia dissipada em um ciclo de histerese A energia dissipada Wh em todo o material, ou seja, no volume V por ciclo :

VAW h (20.22) onde A a rea do ciclo de histerese, e V o volume do material. Pela equao (20.19) a potncia devido ao fenmeno da histerese ento:

)W(fVAPh (20.21)

Exemplo 20.1 Seja um ncleo laminado de transformador, com chapas de espessura = 1 mm, cuja liga de ferro possui a curva mostrada na figura 20.10. Se o volume de material empregado no circuito magntico V = 100 cm3, a condutividade do material = 107 S/m para uma freqncia eltrica f = 60 Hz, calcule as perdas totais no ferro.

Figura 20.10 - Ciclo de histerese do exemplo 18.1

Soluo: a) clculo das perdas por correntes parasitas ou de Foucault:

A densidade volumtrica de potncia dissipada pelas correntes parasitas dada por

1,5

100

B (Wb/m2)

H )A/m)

- 0,98

0,98

- 35 35

B (T)

H (A/m)

ELETROMAGNETISMO II


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24Bp

222max

f

24

10.60.2.5,1.10p23227

f

35

f m/W1033,1p

E a potncia dissipada por efeito Joule neste caso resulta

W3,1310100.1033,1VpP 65ff

b) - clculo das perdas por histerese

Da mesma forma, temos que a potncia dissipada por unidade de volume por histerese dada pela rea do ciclo, no caso calculada de forma aproximada pelo paralelogramo:

cmax H2B2A (W/m3)

Logo, a potncia dissipada pelas perdas em histerese dada por

fVH2B2P cmaxh

W3,160.10.100.35.2.5,1.2P 6h

Temos para o total das perdas no ferro

W6,143,13,13PPP hfFe

20.4 - Magnetoestrio A Magnetostrio (ou magnetoestrio) um fenmeno que certos materiais magnticos apresentam quando submetidos a tenses mecnicas (trao e compresso) modificando a arrumao de seus dipolos magnticos, produzindo deformaes em suas dimenses. um fenmeno de efeito anlogo ao piezeltrico no qual a presso exercida provoca arrumao de dipolos eltricos, criando diferenas de potencial. A variao do comprimento do material, por unidade de comprimento, ao longo da direo do campo representada no grfico da figura 20.11 esquerda, para o ferro, nquel e cobalto. Valores altos de H so necessrios para produzir o mais alto efeito da magnetostrio. Alguns materiais, como o nquel e o cobalto, se contraem na direo do campo magntico aplicado, (magnetoestrio negativa) enquanto outros, como ligas permalloy, se alongam (magnetoestrio positiva) O nquel, por exemplo, possui magnetoestrio negativa pois quando na presena de um campo H da ordem de 50 A/m sofre uma reduo da ordem de 0,002 % em seu comprimento.

-40

-30

-20

-10Fe

Co

Ni

lDl x10 -6

H (A/m)20000 40000 60000

0.50

0.25 20 N/mm

10 N/mm

0 N/mm

2

2

2

500 1000 1500

Figura 20.11 - Curva de magnetostrio para vrios materiais ferromagnticos O efeito magnetostritivo tambm reversvel. Uma excitao mecnica modifica as propriedades magnticas do material enquanto que uma excitao magntica faz o material variar em suas dimenses. Conforme pode ser visto no grfico da figura 20.11 direita. Inversamente, quando submetido compresso, o nquel melhora as suas propriedades ferromagnticas. Em mquinas eltricas, o fenmeno da magnetostrio percebido atravs de rudos durante a operao das mesmas. Materiais magnetostritivos so utilizados na produo de ondas ultrassonicas (sonar), filtros eltricos e medidores de deformao (transdutores em instrumentao).

eletromagnetismo - aula 20

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