eletromagnetismo - aula 19

ELETROMAGNETISMO II

UNESP/Bauru Naasson Pereira de Alcantara Jr. Claudio Vara de Aquino

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19.1 Indutncia No captulo 12 apresentamos a definio de indutncia como sendo a relao entre fluxo magntico concatenado e corrente, no nos preocupando com o fato de ser esta corrente contnua ou alternada no domnio do tempo. Da maneira como fizemos, a indutncia era tratada como uma grandeza escalar, funo apenas dos dados geomtricos e caractersticas magnticas do meio. Vamos agora abordar novamente esse assunto, a partir do fenmeno da induo eletromagntica, visto no captulo anterior. Vimos pela equao (12.16) e pela aplicao direta da lei circuital de Ampre, que a indutncia de um solenide longo ou de um toride enrolado por N espiras dada por:

)(

2HANL

(19.1)

onde:

= permeabilidade magntica do meio. (H/m).

N = nmero de espiras do enrolamento A = rea da seo transversal de cada espira no enrolamento (m2)

= comprimento disposto para o solenide ou toride (m). Da definio de indutncia, vimos que o fluxo magntico total = Nm concatenado com a corrente i em N espiras expresso como: iLN m (19.2) Substituindo a corrente eltrica contnua I por outra i = i(t), variando no tempo, com a aplicao imediata da lei de Faraday, podemos determinar a tenso e(t) produzida pela variao temporal do fluxo magntico Nm produzido em conseqncia da corrente alternada onde:

dtdLiN

dtdiLN

dtdNte m )( (19.3)

A derivada do fluxo em relao ao tempo no caso mais geral produz dois termos; um devido variao alternada da corrente e outro pela variao da indutncia em relao tempo. Se a geometria permanece imutvel no tempo, o segundo termo resulta nulo. Pela lei da induo eletromagntica de Faraday, a tenso induzida e(t) que aparece entre os terminais de um enrolamento solenoidal com N espiras de rea A constante determinada por:

)(V

dtdBAN

dtdNe m (19.4)

Onde para o solenide longo ou o toride NiB . Assim:

19 AUTO INDUTNCIA, INDUTNCIA MTUA E TRANSFORMADOR IDEAL

ELETROMAGNETISMO II


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)(

2V

dtdiANe

(19.5)

Podemos observar que o termo que multiplica a derivada temporal da corrente i (t) na equao acima a expresso para a indutncia do solenide, aqui considerada fixa. Ento:

)(V

dtdiLe (19.6)

19.2 Indutncia Mtua Considere agora dois enrolamentos, montados sobre um mesmo ncleo que os acopla magneticamente, como mostrado na figura 19.1 abaixo. Como os enrolamentos so atravessados pelo mesmo fluxo magntico m, imagine ento que esse fluxo seja produzido por uma corrente i1 no enrolamento 1 (primrio) e que o enrolamento 2 (secundrio) esteja em circuito aberto. Segundo a lei de Faraday-Lenz, sobre ele aparecer uma tenso induzida dada por:

Figura 19.1 - Ncleo com dois enrolamentos

dt

dNe m 22 (19.7)

ou

dtdiANNe 1122

(19.8)

Agrupando o fator que multiplica a derivada, esta expresso pode ainda ser escrita como:

)V(

dtdiMe 1212 (19.9)

Reciprocamente, caso seja agora o enrolamento 2 percorrido por uma corrente i2 e o enrolamento 1 posto em circuito aberto, teremos:

dt

dNe m 11 (19.10)

Ou ainda

N1 N2

i1

e2

m

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)(2211 VdtdiANNe

(19.11)

de modo que:

)V(dtdiMe 2121 (19.12)

Pelas equaes (19.8) e (19.11) M a indutncia mtua entre os enrolamentos onde:

)H(ANNMMM 212112

(19.13)

Considerando as equaes (19.9) e (19.12), observamos que uma tenso e2(t) aparece no enrolamento 2 (secundrio) em virtude da variao temporal da corrente i1(t) no enrolamento 1 (primrio) e vice-versa. Tal situao pode ser representada eletricamente pelo circuito dado na figura 19.2, onde a indutncia mtua M pode ainda ser expressa como:

dtdie

dtdieM

1

2

2

1 (19.14)

Figura 19.2 - Circuito eltrico equivalente ao magntico da figura 19.1

Admitindo agora uma variao harmnica (senoidal) das correntes no tempo, pela frmula de Euler, podemos escrever que:

tjeIi 11 ; tjeIi 22 (19.15)

Derivando as expresses acima em relao ao tempo vem:

111 ijeIj

dtdi tj

222 ijeIj

dtdi tj

(19.16)

Assim pela equao (19.14) temos:

1

2

2

1ij

eij

eM

(19.17)

ou ainda

)(1

2

2

1 i

eieMj (19.18)

e1 e2 N1 N2

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O termo jM a impedncia mtua (complexa) entre os dois enrolamentos. Exemplo 19.1 Uma espira retangular de 4 m x1 m est no mesmo plano de um condutor retilneo longo, com o lado maior paralelo ao fio, a uma distncia de 2 m, como mostra a figura 19.3. Se a corrente no condutor i = 10 sen (1000t) A, encontre: a) - A indutncia mtua entre a espira e o condutor. b) - O valor rms da tenso induzida na espira. Soluo:

Figura 19.3 - Espira paralela a um condutor retilneo

a) da aplicao imediata da lei de Faraday temos:

dtd

e m

onde

sm SdB

drdzri

m

4

0

3

20

2

3

202

rdri

m

)(23ln

2 0 Wbi

m

Aqui

iMm

H324.023ln10.42M

7

b) -

dtdiMe

mVtsente 100024,31000cos10001010.324,0 6

O valor rms de e fica ento:

mV29,2224,3E

Exemplo 19.2 Repetir o exemplo anterior, porm com o lado menor paralelo ao condutor. Soluo:

dtde m

drdzri

m

1

0

6

20

2

)(3ln2

0 Wbim

H22,03ln210.4M

7

mVtte 1000cos2,21000cos1010001022,0 6

mVE 56,1

r = 3 m

i 4 m

z

B

r = 2 m

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Exemplo 19.3 Um condutor longo de raio a percorrido por uma corrente i = Isen(t). Uma luva de ferro, de raio interno b, raio externo c, comprimento e permeabilidade envolve o condutor. N espiras so enroladas sobre a luva no sentido longitudinal (axial), conforme mostra a figura 19.4. a) - Deduza uma expresso para a indutncia mtua entre o condutor e o enrolamento. b) - Idem para a tenso induzida no enrolamento. Soluo:

Figura 19.4 Luva de ao envolvida por N espiras, axial a um condutor.

dtdNe m

sm SdB

atsenrIB

2

; adrdzSd

0 2c

bmdzdrtsen

rI

tsenIbc

m

ln

2

tIsendtd

bcN

dtdNe

ln

2

O termo que est multiplicando a derivada da corrente em relao ao tempo a indutncia mtua entre o enrolamento e o condutor, ou seja:

)(ln2

HbcNM

Para a tenso induzida temos:

)(cosln2

VtbcIN

dtdiMe

19.3 - O Transformador Ideal O transformador um dispositivo eletromagntico que modifica tenses e correntes de um nvel maior para um nvel menor, e vice-versa. Tais dispositivos so constitudos de um circuito magntico que favorece o caminho ao fluxo, sobre o qual so montados os enrolamentos. Como os processos baseados nas leis de interao magntica esto sujeitos a perdas, o transformador ideal pode ser definido e seu funcionamento entendido, desde que essas perdas sejam desconsideradas. Sobre a estrutura ferromagntica da figura 19.5 so montados dois enrolamentos; o enrolamento primrio e o enrolamento secundrio. Se uma tenso v1 for aplicada no enrolamento primrio, sobre o secundrio aparecer uma tenso induzida dada por:

dt

dNv m 22 (19.19)

i = Isen(t)

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figura 19.5 - Transformador ideal

Considerando que este mesmo fluxo m enlaa a bobina 1, desprezando-se as perdas, a tenso na bobina 1 ser:

dt

dNv m

11 (19.20)

Assim, estabelecendo a relao entre as equaes (19.19) e (19.20) vem:

1

2

1

2NN

vv

(19.21)

Vemos que a relao entre as tenses nos enrolamentos est na proporo direta da relao entre o nmero de suas espiras. Razo pela qual esta relao entre os nmeros de espiras tambm conhecida por relao de transformao. Exemplo 19.4 Qual a indutncia, e a impedncia mtuas de um transformador ideal se uma corrente de 2 A (rms), em 60 Hz, induz uma tenso de 6 V (rms) no enrolamento secundrio ? Soluo: Da expresso

dtdiMv 12 tem-se

dtdivM

1

2

Mas Ve26v tj2

Ae22i tj1

Da tj1 e22jdtdi

Ento

j3

e22je26M tj

tj

A indutncia mtua, M ento igual a:

mH8602

3M

E a impedncia mtua 3Mj

Comentrios suplementares Ao estudarmos este captulo pudemos notar que um transformador modifica valores de tenses e correntes baseado na relao entre o nmero de espiras em cada enrolamento. Assim temos um transformador abaixador quando a sua tenso no secundrio menor do que no primrio, ou seja o

v1(t) 2

i1(t) m

v2(t)

i2(t)

1

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terminal secundrio de sada possui menos espiras do que o terminal primrio de entrada. Pela mesma razo um transformador elevador tem mais espiras no secundrio do que no primrio Em ambos os casos a energia e a potncia se conservam e relao entre as correntes se d no modo inverso. Concluindo, podemos dizer que a denominao de elevador ou abaixador depende do terminal definido como secundrio, ou de sada do transformador, se este tem a sua tenso maior ou menor do que a do primrio. Outra questo que chamamos ateno para o transformador que possui uma relao de transformao 1:1, ou seja, o nmero de espiras no primrio e no secundrio o mesmo. Neste caso, o transformador conhecido como de isolao ou de isolao galvnica onde no h variao de tenso nem de corrente. Este tipo de transformador permite que os potenciais de referncia no lado do primrio e no do secundrio sejam desvinculados.

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EXERCCIOS 1) A figura abaixo mostra dois solenides de comprimento , e reas S1 (solenide 1) e S2

(solenide 2) coaxiais. Mostre que a indutncia mtua entre eles pode ser expressa por:

21LLKM , onde L1 a indutncia prpria do solenide 1, e L2 a indutncia prpria do solenide

2, onde 1

2SSK chamado de coeficiente de acoplamento, cujo valor mximo unitrio.

Figura 19.6 Figura para o problema 1

2) Em um dia sujeito a tempestades, uma nuvem tpica pode desenvolver uma carga negativa de 100 C, induzindo uma carga de igual magnitude, porm de sinal contrrio, no solo. Se as cargas so neutralizadas por uma descarga de 2 ms de durao, encontre a corrente mdia da descarga. Tipicamente, descargas atmosfricas possuem um crescimento rpido, e um decaimento gradual. Se o tempo de subida 2 s, para uma corrente de 104 A em um condutor que recebe a descarga, encontre a tenso desenvolvida no condutor. A indutncia prpria do condutor 10-3 H, e sua resistncia 10-2 .

3) Qual a indutncia, e a impedncia mtuas de um transformador ideal se uma tenso de 12 V (rms), em 60 Hz, induz uma corrente de 3 A (rms) no enrolamento secundrio ?

S1

S2

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