eletromagnetismo - aula 18

ELETROMAGNETISMO II

UNESP/Bauru Naasson Pereira de Alcantara Jr. Claudio Vara de Aquino

169

Neste captulo estudaremos a lei da induo eletromagntica de Faraday. Ela uma das primeiras leis do eletromagnetismo e o efeito que ela descreve de fundamental importncia. As mquinas eltricas e os transformadores, por exemplo, tem o seu funcionamento baseado inteiramente no princpio da induo eletromagntica. A ela devemos toda energia eltrica que consumimos em nossas residncias, instalaes industriais e comerciais, pois o funcionamento de geradores sncronos em usinas geradoras de energia eltrica baseado nesse princpio. Tambm devemos a esse fenmeno a capacidade de nos comunicarmos com todo o mundo. At em sondas interplanetrias as ondas eletromagnticas, geradas nas estaes ou equipamentos transmissores, viajam pelo espao (sem fio) e so captadas por equipamentos receptores, onde tenses variveis sero induzidas em seus circuitos, para posterior decodificao e interpretao. 18.1 Induo eletromagntica Consideremos a espira circular da figura 18.1a, onde um m permanente move-se em direo ao encontro da espira. Este movimento contribui para que mais linhas de campo magntico atravessem a espira, aumentando assim o fluxo magntico concatenado com a espira. Uma corrente ser induzida na espira de modo que o fluxo produzido por ela se oponha variao (aumento) do fluxo externo, produzido pelo m permanente. Em outra situao, na figura 18.1b, o m se afasta da espira e o fluxo que a atravessa estar diminuindo. Novamente ter-se- uma induo de corrente na espira, produzindo um fluxo que se oponha variao (diminuio) do fluxo magntico produzido, procurando desta vez aumentar o fluxo resultante que cruza a espira. Assim, o sentido da corrente induzida pela espira na figura 18.1b ser no sentido contrrio ao da corrente mostrada na figura 18.1a. Se o m se mover alternadamente para cima e para baixo, uma corrente alternada (CA) fluir na espira. Este arranjo se constitui no exemplo mais simples de um gerador de corrente alternada. Gigantescos geradores sncronos, com capacidade para produzir centenas de megawatts de potncia numa nica unidade, tambm funcionam baseados no mesmo princpio eletromagntico aqui apresentado.

Figura 18.1 a: fluxo induzido diminuindo o fluxo magntico na espira que est aumentando.

Figura 18.1 b: fluxo induzido aumentando o fluxo magntico na espira que est diminuindo.

Para que a energia seja conservada, a corrente induzida pela espira se ope ao efeito da variao do fluxo externamente provocado. Em outras palavras, se o fluxo magntico que atravessa a espira est aumentando, a corrente induzida o far diminuir e se o fluxo magntico na espira estiver diminuindo

18 CAMPOS ELETROMAGNTICOS VARIVEIS NO TEMPO

N

S

i

b)

N

S

i

a)

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esta corrente induzida o far aumentar. O fato da corrente induzida na espira estar em oposio variao do fluxo produzido pelo m permanente justificado matematicamente pela lei de Lenz. Se a espira seccionada em um ponto qualquer, como na figura 16.2, o movimento alternado do m em relao espira far agora com que uma fora eletromotriz (fem) varivel no tempo aparea entre os pontos de abertura ou terminais. Essa fem induzida ser ento igual taxa de variao oposta do fluxo magntico concatenado com a espira em relao ao tempo, expressa por:

dt

de m (18.1)

Onde no Sistema Internacional de Unidades: e = fora eletromotriz induzida em volts (V); m = fluxo magntico em weber (Wb); t = tempo em segundos (s).

Figura 18.2: fora eletromotriz induzida e numa espira em circuito aberto.

A equao 18.1 uma maneira de apresentar matematicamente a lei de Faraday e expressa a fem induzida em um circuito devido variao temporal do fluxo concatenado com ele. Analisando esta equao em maiores detalhes, podemos ver que esta variao de fluxo concatenado pode ocorrer atravs de: - variao no tempo da intensidade de fluxo magntico; - movimento relativo entre um campo magntico e o circuito ou algum de seus trechos; - combinao de ambos. Sabe-se que o fluxo magntico m define o nmero de linhas de induo que atravessam uma determinada superfcie S. Assim, o fluxo concatenado com a espira igual integral da componente normal do vetor induo magntica sobre a superfcie aberta delimitada pelo contorno da espira, ou seja:

sm SdB

(18.2)

onde: B

= vetor induo magntica, em weber/m2 (Wb/m2). Sd

= vetor elemento diferencial de rea, em m2 orientado pela Regra da Mo Direita (RMD) em funo do sentido da corrente que gera o fluxo magntico na espira.

N

S

e

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A fem e em um circuito igual integral de linha do vetor intensidade de campo eltrico E

, associado corrente induzida ao longo do comprimento da espira, considerando a separao entre os terminais como sendo desprezvel. Assim:

l ldEe

(18.3)

Substituindo a equao (18.2) em (18.1), teremos para a fem induzida:

s SdBdt

de

(18.4)

Fisicamente esta fem encontra-se distribuda ao longo do circuito na espira em fontes diferenciais, no sendo possvel saber a priori onde ela se concentra. Vamos a seguir analisar cada possibilidade em que a variao temporal do fluxo resulta em fem ou tenso induzida em um circuito. 18.2 - Tenso induzida por efeito variacional Neste caso a variao do fluxo magntico concatenado com um circuito devida apenas variao do vetor B

(induo magntica) em relao ao tempo e se restringe derivada parcial do campo

gerador do fluxo magntico em relao ao tempo. Considerando a espira ou circuito fechado estacionrio ou mantendo sua forma fixa podemos reescrever a equao (18.4) da seguinte forma:

s

SdtBe

(18.5)

Em outras palavras, esta forma da lei de Faraday-Lenz expressa a fem induzida devido especificamente variao do vetor densidade de fluxo magntico ou induo magntica em relao ao tempo para uma espira ou circuito fechado considerado estacionrio em relao ao observador. Ela tambm chamada de tenso de transformador, sendo ela a base para a relao de transformao entre as tenses primria e secundria, onde o circuito no apresenta nenhum movimento relativo ou variao na sua forma geomtrica. Combinando as equaes (18.3) e (18.5 ) podemos escrever:

SlSd

tBLdE

(18.6)

Esta uma das equaes de Maxwell, na forma integral, advinda da lei de Faraday, j conhecida para campos magnetostticos onde a integral de linha do campo eltrico resulta nula por um caminho fechado. Mais adiante veremos que ela tambm pode ser expressa na forma diferencial. Exemplo 18.1 Calcular a fora eletromotriz induzida na espira retangular da figura 18.3, sabendo-se que ela est na presena de um campo magntico varivel no tempo produzido por uma corrente alternada senoidal que flui em um fio retilneo de comprimento infinito. Soluo:

Figura 18.3 espira retangular na presena de

um campo magntico varivel

z

0 b c r

i

a B

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A espira est em repouso e sua forma geomtrica no varia. Da lei de Faraday vem que:

SS

SdtBeSdB

dtde

onde

atsenIr

ariB m 2

2

00

adrdzSd

a c

bm dzdr

rtI

e0

02

cos

dz

rdrtIe

a c

bm

00

2cos

bctaIe m ln

2cos0

O sinal negativo na expresso da tenso justifica a aplicao da lei de Lenz, onde uma fem e, distribuda ao longo da espira, induz um fluxo magntico que se ope ao comportamento do fluxo magntico produzido pela corrente i do condutor retilneo. A ttulo de exemplo, se o fluxo produzido estiver aumentando, uma fem surge na espira e induz um fluxo magntico no intuito de diminuir o crescimento do fluxo criado pela corrente i do condutor retilneo. 18.3 - Tenso induzida por efeito mocional Vimos pela equao (18.1) que a fem induzida que aparece em um contorno ou circuito fechado dada pela taxa de variao do fluxo magntico que o atravessa em relao ao tempo. Imaginemos agora uma situao onde o campo magntico mantido constante e o circuito eltrico, de alguma maneira, tem a sua forma alterada, contribuindo com a variao do fluxo magntico concatenado com o circuito, conforme pode ser ilustrado na figura 18.4. O circuito abaixo sofre uma modificao na sua forma devido ao condutor em destaque que se move, levando a uma variao no fluxo no decorrer do tempo.

Figura 18.4 Condutor deslizando sobre condutores fixos.

Quando uma carga eltrica Q se move na presena de um campo magntico, ela est sujeita ao da fora de Lorentz, perpendicular sua velocidade e induo magntica presente, na direo orientada pela regra da mo direita, onde:

)( BvQF

(18.7)

Essa fora agir sobre os eltrons livres do condutor em movimento, deslocando-os na direo oposta da fora F

, buscando a separao das cargas positivas das negativas, dando origem a um

campo eltrico mE

presente. O equilbrio se d quando a resultante da fora magntica de Lorentz com a fora eltrica se anula em cada extremidade do condutor em movimento, de modo que: BvQEQ m

(18.8)

B v

Em

x

L dL

e

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O produto vetorial B

v aponta a localizao das cargas positivas no condutor em movimento

enquanto que a separao entre as cargas positivas e negativas d origem a um campo eltrico: BvEm

(18.9)

Pela figura acima podemos ver que o trabalho por unidade de carga contra o campo eltrico mE

d

origem a uma diferena de potencial e entre as extremidades do condutor em movimento onde

LdBvLdEeacima

abaixo

acima

abaixom

(18.10)

Esta diferena de potencial ou tenso eltrica induzida no circuito quando um condutor se movimenta ou tem a sua forma modificada em relao a um campo magntico, seja ele estacionrio ou no. Esse campo eltrico d origem a uma fem no contorno ou circuito expressa por:

LdBvLdEeLC m

)( (18.11)

Exemplo 18.2 Calcular a fora eletromotriz induzida entre os pontos a e b da figura 18.5. O condutor entre c e d, em destaque, desliza sobre outros dois condutores paralelos a uma velocidade uniforme v, na presena de um campo magntico tambm uniforme (invariante no tempo) cuja induo vale B orientada para dentro do plano do papel, conforme mostra figura 18.5.

Soluo: O campo magntico constante ir induzir uma fem de efeito apenas mocional , onde

L LdBve

O vetor intensidade de campo eltrico, resulta do produto vetorial oposto entre a velocidade do condutor e o vetor induo magntica, na direo de d para c valendo

yzxm avBaBavE

A integral de linha contra o campo ao longo do condutor mvel de comprimento L de c para d resulta:

BLvadyavBe yd

cy

Esta a expresso da fem induzida apenas pelo efeito mocional.

18.4 - Caso Geral de Induo A equao (18.4) explica a Lei de Faraday na sua forma geral, ou seja, justifica que a fem induzida ocorre pela variao do fluxo magntico no tempo, motivado pela variao do campo magntico e/ou pela variao na geometria do circuito. A combinao dos dois casos, ou seja, o movimento do

Figura 18.5 B

v

b

a

d

c

Em

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condutor em relao ao campo magntico e este variando em relao ao tempo constituem no caso geral de induo. A superposio dos efeitos resulta para a fem induzida

SL SdtBLdBve

(18.12)

O sinal negativo no lado direito da expresso acima apenas indica a polaridade da fonte induzida ou das fontes induzidas por efeito mocional e variacional das fems, segundo a lei de Lenz.

Exemplo 18.3 Resolver o exemplo anterior, porm com B variante no tempo segundo tBB cos0 , independente da posio.

Soluo: Considerando a variao do campo magntico no tempo alm da variao na geometria do circuito em relao ao tempo a fem induzida dada por:

dStBLdBve

SL

O movimento da haste vertical com velocidade v induz uma fem mocional dada por:

tLvBdytvBe dcmoc

coscos 00

Por outro lado, a variao temporal da induo magntica implica numa fem induzida de efeito variacional expressa por:

zzd

c

x

Svar adxdyatsenBSdt

Be 0

0

tsenxLBevar 0

A superposio dos efeitos resulta em

tsenxLBtcosvLBe 00 tsenxtcosvLBe 0

Multiplicando e dividindo o segundo lado da

expresso acima por 22 xv tem-se:

tsen

xv

xtxv

vxvLBe2222

220 cos

Fazendo

2222cos

xv

xexv

vsen

Teremos

tsencostcossenxvLBe 220

Logo a fem induzida ser tambm variante no tempo e dada por

tsenxvLBe 220

18.5 Lei da induo eletromagntica de Faraday na forma diferencial A aplicao do teorema de Stokes primeira integral da equao 18.6 resulta em:

SdELdESL

(18.13)

Assim:

SS

SdtBSdE

(18.14)

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Como as duas integrais de superfcie so calculadas sobre o mesmo domnio de integrao, ou seja, sobre a mesma superfcie, podemos igualar os integrandos de modo que:

tBE

(18.15)

Esta uma das quatro equaes de Maxwell, deduzida da equao da induo eletromagntica de Faraday na forma diferencial. Exemplo 18.4 Suponha uma densidade de fluxo magntico zatsenBB 0 . Uma espira circular de raio r posta na presena deste campo magntico, no plano z = 0. Determinar a expresso para o vetor intensidade de campo eltrico, utilizando a formulao da lei da Faraday na forma integral e na forma diferencial. Soluo: No caso, o circuito ou contorno eltrico mantm sua forma dispensando a fem induzida na forma mocional. Assim, utilizando a forma integral, podemos escrever:

SdtBLdE

sL

O comportamento da induo magntica uniforme em relao ao plano z e a integral de linha do campo eltrico acompanha o formato da espira, ao longo do percurso escolhido. Assim, teremos

20 .cos2. rtBrE

ou:

atrB

E .cos20

Utilizando agora a forma diferencial teremos:

tBE

zatBtB .cos0

Por outro lado, o vetor intensidade de campo eltrico s possui a componente na direo

a e sua magnitude s varia na direo radial. Portanto em coordenadas cilndricas:

zar

Err1E

Neste caso:

tcosBrdErd

r1

0

Multiplicando ambos os membros pelo raio r, separando as variveis, e integrando:

r

00

L

drtcosrBErd

2rtcosBEr

2

0

ou:

atcos2

rBE 0

como espervamos.

Comentrios complementares Vimos em estudos anteriores que uma distribuio esttica (invariante no tempo) de cargas produz um campo eltrico conservativo, onde a integral de linha deste campo sobre um contorno C (caminho fechado) resulta nula. Desta forma:

C

LdE 0

(18.16)

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Sendo este campo eltrico esttico conservativo, vimos tambm que suas linhas de fora so abertas e comeam nas cargas positivas, terminando nas cargas negativas, de modo que a integral de superfcie do vetor densidade de fluxo sobre uma superfcie S fechada traduz a carga lquida envolvida por ela, em acordo com a lei de Gauss. Assim,

envolvidaS

QSdD

(18.17)

Quando as cargas eltricas apresentam variao no tempo, a lei de Faraday justifica a consistncia no tocante conservao da energia, produzindo uma fem induzida que se ope variao do fluxo magntico que lhe deu origem, ou seja,

S

m

C

SdBdtd

dtdLdEfem

(18.18)

onde a superfcie aberta S pode ser vista como a de um balo (inflvel) cuja boca definida pelo percurso C fechado. Como a superfcie S aberta devemos especificar a direo do fluxo de B

atravs dela, vinculando-

a com o sentido do contorno fechado C pela regra da mo direita. Colocando os dedos desta mo com exceo do polegar percorrendo o sentido do contorno C, o polegar ir apontar a direo vetorial de S, indicando o sentido positivo do fluxo atravs da superfcie. Assim, a lei de Faraday estabelece que qualquer fluxo magntico variante no tempo que atravessa uma superfcie S limitada por um contorno C ir produzir uma fem naquele contorno, muito similar de uma fonte de tenso. O sinal negativo na expresso para a tenso induzida (lei de Lenz) estabelece que essa fem tem o objetivo de fazer circular uma corrente no contorno C cujo campo magntico ir se opor variao do campo original, mantendo a energia conservada. Essa fem induzida pode ser inserida no contorno como uma fonte de tenso, no sendo possvel definir sua exata localizao no circuito. A chave para se fazer cumprir apropriadamente a lei de Faraday est no fato de termos o valor e a polaridade corretos na fonte inserida, o que ser mais bem esclarecido com a resoluo dos exerccios propostos.

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EXERCCIOS

1) Uma bobina estacionria, quadrada, de oito espiras, tem vrtices em (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (2,2,0) em metros. Se um campo magntico normal espira varia em funo da posio, segundo a lei B = 12 sen(x/2) seny/2), encontre a fora eletromotriz induzida (fem) em valor eficaz (rms) na espira, posto que B varia tambm harmonicamente no tempo em 800 Hz.

2) Um pndulo de chumbo est se movimentando com a sua extremidade descrevendo um circulo de 150 mm de raio sobre uma pelcula de mercrio, no sentido anti-horrio, com uma ponta em contato com o liquido (conforme a figura 18.6). O comprimento da parte do fio que est se movimentando de 1 m e leva 6 s para uma volta completa. O gancho que suporta o pndulo tambm suporta um fio rgido e esttico vertical, ao longo do eixo do cone descrito pelo pndulo. Este fio faz contato com o mercrio no centro do circulo, completando assim o circuito eltrico. Se existe um campo magntico horizontal de 60 T, encontre a f.e.m induzida no circuito.

Figura 18.6 figura para o problema 2

3 Um fio condutor oscila como um pndulo, na presena de um campo magntico uniforme de induo B = 1 mT, conforme a figura 18.7. A velocidade de um ponto sobre o fio, distante r m do ponto P de articulao dada por v = d (r/R) cos(t), onde d o deslocamento mximo horizontal, ou amplitude. Se o comprimento R do pndulo 3 m, seu perodo T dado por

8.9/R2T s, e d = 150 mm, determine a fem induzida no circuito.


4) Um campo magntico de induo uniforme B = 200 mT estende-se sobre uma rea de100 mm de lado, como na figura 18.8, sendo que fora desta rea o campo magntico nulo. Uma espira retangular de 40 mm por 80 mm move-se atravs do campo com uma velocidade uniforme v. a) Se uma tenso de 2 V induzida na espira, encontre a velocidade v. b) Determine os valores de x para os quais haver tenso induzida.

B

R

d

R r

e

B

P

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5) Encontre a mxima taxa de variao da fem induzida em um condutor retilneo que se move com velocidade v constante, perpendicularmente a um campo magntico uniforme de induo B, produzido pelas faces circulares de um eletromagneto, como na figura 18.9. O campo magntico confinado ao limite de raio R. Em qual valor de r a mxima fem deve ocorrer?

6) Uma espira condutora "pintada" em torno da linha equatorial de um balo esfrico e flexvel. Um campo magntico de induo B = 0,2 cos (4t) T aplicado perpendicularmente ao plano do equador. O balo est se contraindo com uma velocidade radial v. Se quando o raio do balo 0,5 m, o valor eficaz da tenso induzida 5 V, encontre a velocidade v neste instante.

7) A figura 18.10 mostra uma barra metlica podendo mover-se para a direita com velocidade v ao longo de dois trilhos condutores e paralelos separados pela largura w. Um campo magntico de induo B aplicado perpendicular ao contorno formado pelos trilhos e pela barra. Determine a tenso induzida Vba para os seguintes casos: (a) B = 2 t Wb/m2 e v = 0, (b) B = 2 Wb/m2 e v = 5 m/s, (c) B = 2 t Wb/m2 e v = 5 m/s e (d) B = 2 t Wb/m2 e v = 5 t m/s.

Figura 18.10 figura para o problema 7.

b

a

w v

L

Vba B

B

x

v

100 mm

100 mm

B R

r v



eletromagnetismo - aula 18

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