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Elementos de Matemática ITRANSCRIPT
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INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS
MATEMÁTICO I ………………………………………………………………………Lic.Edgardo Di Dio
2
Introducción
Conjunto de los números reales
Está formado por el conjunto de los números enteros, racionales e irracionales, en adelante lo vamos a denotar por R ; gráficamente el conjunto de los números reales lo podemos representar por una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le corresponda un número real y a cada número real le corresponda un punto de la recta. A esta recta la denominamos la recta real
Función :
Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra f y escribimos y=f(x).
Dominio de definición de una función f :
Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x) existe. Lo representamos por Dom(f).
Imagen de una función f :
Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo representamos por Img(f).
Función real de variable real :
Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.
Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de ejes cartesianos o sistema de referencia . En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una función ; la segunda, no es la gráfica de una función:
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En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados.
Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica clasificamos las funciones de la siguiente forma:
Intervalos y entornos
Definimos sobre la recta real :
El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y (a,b) se llama intervalo abierto. En cualquiera de los casos b-a se llama longitud del intervalo.
eficiente de los recursos, además de la ayuda que presta para globalizar la información.
Algunas consideraciones iniciales sobre desigualdades
Dado que el conjunto de los números reales R es totalmente ordenado, dados dos números reales a y b, siempre es cierta alguna de las tres relaciones siguientes: a<b ó a>b ó a=b Las dos primeras se llaman desigualdades. Entre las desigualdades numéricas se cumplen las tres transformaciones de equivalencia siguientes: Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo número, la desigualdad se conserva en el mismo sentido, es decir:
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número positivo, la desigualdad conserva el sentido, es decir:
4
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido, es decir:
Dados cuatro número reales a, b, c y d cualesquiera, se cumple la compatibilidad de la ordenación con la suma, es decir:
Dados dos números reales, si el primero es menor que el segundo, el inverso del primero es mayor que el del segundo y viceversa, es decir:
Si un número real es menor que otro, con los opuestos de ambos la desigualdad cambia de sentido, es decir:
PL2 Inecuaciones lineales con una incógnita y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Se llama inecuación lineal con una incógnita a una expresión de cualquiera de los cuatro tipos siguientes:
donde Cualquiera de los cuatro tipos de inecuaciones definidos anteriormente, admite, tras la aplicación de las transformaciones de equivalencia vistas en el apartado primero, una de las formas:
Lo que indica que las inecuaciones lineales con una incógnita admiten un número infinito de solución que suelen expresarse en forma de intervalo de números reales. Ejemplo: Resolver la inecuación:
Procedemos igual que si de una ecuación se tratase: Eliminamos paréntesis:
Eliminamos denominadores, multiplicando ambos miembros por el m.c.m. de todos ellos:
Trasponemos los términos:
Reducimos términos semejantes:
Despejamos la incógnita multiplicando ambos miembros por el inverso de su coeficiente (ojo, si es negativo habrá que cambiar el sentido a la desigualdad):
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La solución es el intervalo cerrado por la derecha . Es cerrado por la derecha pues el signo usado ha sido menor o igual, si hubiese sido sólo menor, sería abierto. El conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales con una incógnita se llama sistema de inecuaciones lineales con una incógnita. La solución de un sistema de este tipo es un conjunto de números reales que satisfagan simultáneamente todas y cada una de las desigualdades. La solución suele expresarse en forma de intervalo llevando cuidado de expresar correctamente si es abierto o cerrado según el signo de desigualdad utilizado. Ejemplo:
Resuelve el sistema De la primera inecuación se obtiene que:
De la segunda:
De la tercera:
La solución del sistema es la intersección de los tres intervalos obtenidos:
ya que no existe ningún número real que pueda ser al mismo tiempo menor o igual que 1, mayor que 2 y mayor que 4. Veámoslo en el siguiente dibujo, donde aparece pintado en rojo la solución de la 1*, en verde la de la 2* y en azul la de la 3*:
NOTA: Las inecuaciones lineales con dos incógnitas se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace, el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro. Ejemplo:La inecuación 3x+2y+5<0 es decir por forma segmentaria
Dibujamos la recta sobre unos ejes de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:
Luego la solución es la zona sombreada de la figura
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Ejercicios de desigualdades
1.-
(1, ∞)
2
7
3
4.- Resuelve el sistema:
(x +1) · 10 + x ≤ 6 (2x + 1)
10x + 10 + x ≤ 12 x + 6
10 x + x - 12x ≤ 6 - 10
−x ≤ − 4 x ≥ 4
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5.- Resolver las inecuaciones:
i.- 7x2 + 21x − 28 < 0
sacamos factor común 7 y simplificamos
x2 +3x − 4 < 0
x2 +3x − 4 = 0
P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0
P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0
P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0
(−4, 1)
ii .- x2 - 4x + 7 < 0
x2 − 4x + 7 = 0
Observemos que si X=0 entonces el valor númerico del polinomio es
P(0) = 02 - 4 ·0 + 7 < 0 no tiene solución
3
P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0
P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0
9
P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0
(-∞ , −2 ] [2, +∞)
Ejercicios de aplicación
1.-El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce a un precio de. $60 cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3.000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1.000 a la semana.
SOLUCIÓN.Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. Entonces el costo total de producir x unidades es de U.S. $3.000 más U.S. $40 por artículo, lo cual es
(40x + 3.000)pesos
El ingreso por vender x unidades por.$60 cada una será de 60xpesos. Por lo tanto,
Utilidad = Ingresos – Costos
= 60x - (40x + 3.000) = 20x – 3.000
Puesto que deseamos obtener una utilidad de al menos $1.000 a la semana, tenemos las desigualdades siguientes.
Utilidad ≥ 1.000
20x – 3.000 ≥ 1.000
20x ≥ 4.000
10
X ≥ 200
En consecuencia el fabricante deberá producir y vender al menos 200 unidades cada semana.
2.- El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a U.S. $1,10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en U.S. $800 al mes y el costo de material y de mano de obra será de U.S. $0,60 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques?
SOLUCIÓN
Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes. Entonces el costo de adquirir x empaques a U.S. $ 1,10 cada uno es de 1,10x dólares. El costo de fabricar x empaques es de U.S. $0,60 por empaque más costos generales de U.S. $800 al mes, de modo que el costo total es
0,60x + 800
Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdad siguiente.
Costo de adquisición > costo de fabricación
1,10x> 0,60x + 800
1,10x – 0,60x > 800
0,50x > 800
X > 1600
En consecuencia la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para justificar el fabricarlos.
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Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $50 por corte. Por cada incremento de $ 7.5 en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes. ¿Qué precio deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que el obtiene por la tarifa de $50?
SOLUCIÓN
Sea X el número de incrementos de$ 7.5 en la tarifa por encima de $50. Entonces el precio por corte es de (50 + 7.5X) dólares y el número de clientes que acuden con esta tarifa será de (100 – 10X) a la semana.
Ingresos totales a la semana = Número de clientes X precios del corte
= (100 – 10X) (50 + 7.5X) dólares
Los ingresos correspondientes a 100 clientes son de 100 x $50 = $5000. Por tanto los nuevos ingresos semanales deberían ser al menos $5000 dólares. En consecuencia,
(100 – 10X) (50 + 7.5X) ≥ 5000
Simplificamos y factorizamos.
5000 + 25x – 7.5x2 ≥ 5000
250x – 75x2 ≥ 0
25x (10 – 3x) ≥ 0
Dado que x es positiva, podemos dividir ambos lados entre 2.5x con lo que obtenemos
10 – 3x ≥ 0
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X ≤ 10/3.
Así debería haber a lo más 10/3 incrementos de $ 7.5 o $25. el peluquero debería cobrar una tarifa máxima de $50 + $25 = $75 por corte con el objeto de obtener al menos los mismos ingresos que los correspondientes a 100 clientes cobrándoles $50 por corte.
FUNCIONES
Representación gráfica de funciones lineales
Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresion analítica es f: R —> R / f(x) = a.x+b con a y b números reales.
La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es b.
El punto de corte de la recta con el eje y es la ordenada en el origen y la llamamos b.
Veamos un ejemplo
.
Función polinómica de segundo grado
Las f unc iones cuadrá t i cas son funciones polinómicas es de segundo grado.
f (x ) = ax² + bx +c
La representación gráf ica de una func ión cuadrát ica es una
parábola .
Podem os cons t ru i r una parábola a par t i r de es tos puntos :
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1. Vért ice
Por es te punto pasa e l e je de s imet r ía de la parábola .
La ecuac ión de l eje de s imet r ía es :
2. Puntos de corte con e l e j e OX.
En e l e je de absc isas la segunda coordenada es cero , por lo que
tendrem os :
ax² + bx +c = 0
Reso lv iendo la ecuac ión , u t i l i zando la fo rmula
Dos puntos de corte : (x 1 , 0 ) y (x 2 , 0 ) s i b ² - 4ac > 0
Un punto de corte: ( x 1 , 0 ) s i b ² - 4ac = 0
Ningún punto de cor te s i b ² - 4ac < 0
3. Punto de corte con e l e je OY.
En e l e je de ordenadas la pr im era coordenada es cero , por lo
que tendrem os :
f (0 ) = a· 0 ² + b· 0 +c = c ( 0 ,c)
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Represen tar l a f unc ión f (x ) = x ² - 4x + 3
1. Vért ice
x v = - ( -4 ) / 2 = 2 y v = 2² - 4 · 2 + 3 = -1
V(2, -1 )
2. Puntos de corte con e l e je OX.
x ² - 4x + 3 = 0
(3 , 0 ) ( 1 , 0 )
3. Punto de corte con e l e je OY.
(0 , 3 )
Propiedades de las funciones logar í tmicas y exponenc ia l
Dominio :
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Recorr ido :
Es cont inua .
Los puntos (1 , 0 ) y ( a , 1 ) pertenecen a la gráf ica .
Es inyect iva (n inguna im agen t iene m ás de un or ig ina l ) .
Creciente s i a>1 .
Decreciente s i a<1 .
Las grá f ica de la función logar í tmica es s imétr ica ( respec to a
la b isec t r i z de l 1 e r y 3 e r cuadrante) de la grá f ica de la función
exponencia l , ya que son func iones rec ip rocas o inversas ent re s í .
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Función Valor Absoluto
Las func Función módulo
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:2
Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca
negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre
positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de
dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función
distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor
absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.
La función valor absoluto una función continua definida por trozos.
Propiedades fundamentales
también Propiedad aditiva)
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Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:
1. Se igua la a cero la f unc ión , s in e l va lo r abso lu to , y se ca lcu lan
sus ra íces .
2. Se fo rman intervalos con las raíces y se eva lúa e l s igno de
cada in te rva lo .
3. Def in imos la f unc ión a t rozos , ten iendo en cuenta que en l os
interva los donde la x es negat iva se cambia e l s igno de la función .
4 Representamos la f unc ión resu l tante .
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D=
Representa las func ión def in ida a t rozos:
Representa las func ión def in ida a t rozos:
19
Representa las func ión def in ida a t rozos:
20
D=
Encuentra la expres ión ana l í t i ca de la func ión
Representa las func ión def in ida a t rozos:
f (x) = E (x) se denomina parte entera
x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 1
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Representa las func ión def in ida a t rozos:
f (x) = x − E (x)
x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2
f(x) = x − E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0
Representa las func ión def in ida a t rozos:
f (x) = sgn(x) se denomina func ión s igno
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Reprsentación gráf ica de la Función rac ional
Las funciones rac ionales son de l t ipo :
E l dominio de una función racional de lo f o rm an todos los
núm eros rea les m enos los va lores de x que anu lan e l denom inador .
Ejemplo
Un t ipo de función racional es la función de proporcional idad
inversa de ecuac ión:
.
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Sus gráf icas son h ipérbolas. También son h ipérbolas las
gráf icas de las funciones
Construcción de h ipérbolas
Las hipérbolas son las m ás senc i l las de representar .
Sus as í ton tas son los e jes
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El cent ro de la h ipérbo la , que es e l punto donde se cor tan las
as ín to tas , es e l o r igen.
Límite
Límite de una función en un punto.
Entorno de un número real x:
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Los valores de x a considerar han de pertenecer al dominio de definición, D de la función. También es necesario que en D haya puntos tan próximos a a como queramos,
es decir, que a sea un punto de acumulación de D.
Puntos tan próximos como queramos significa que cualquiera que sea la distancia que consideremos, por muy pequeña que sea, existen puntos del dominio de definición de la función, que no coincidan con "a", a una distancia de "a" menor que la considerada.
El límite depende únicamente del comportamiento de la función en las proximidades de a, no de cual sea el valor de la función en el punto a ; de hecho, a puede no pertenecer al dominio de la función. Sí es necesario, que "a" sea punto de acumulación del dominio de definición de la función.
Ejemplo : Una función típica en análisis es :
Esta función no está definida en el punto x=1 . Para este valor de x, el denominador de la función es 0 , y no tiene sentido en matemáticas dividir por 0. El valor al que esta función se aproxima, cuando x tiende a 1 por la izquierda o por la derecha, es 2. Luego la función tiene límite cuando x se aproxima a 1 ; el límite es 2. Escribimos:
Límite de una función en un punto "a"
Suponemos que el punto "a" es un punto de acumulación del dominio de definición de la función. La aproximación a "a" podemos realizarla tanto por la izquierda como por la derecha.
Límites laterales:
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El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a . Lo representamos por :
El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a . Lo representamos por :
Ejemplo :
Límite de una función en el infinito.
Ejemplo :
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Sucesiones y límite de sucesiones.
Una sucesión es una función discreta, cuyo dominio de definición son los números naturales positivos. La variable independiente se representa con la letra n y la variable dependiente se representa por an.
Una sucesión an, tiene límite L , si al crecer indefinidamente n, los términos de la sucesión an se aproximan indefinidamente al número L. Que los terminos de an se aproximan indefinidamente a L, significa que todos los términos de la sucesión a partir de uno en adelante están contenidos en cada entorno L. Lo representamos por:
Observación : en las sucesiones no podemos hablar de límite cuando n se aproxima a un número natural positivo, porque en el dominio de definición de las sucesiones, el conjunto de los números naturales positivos, no nos podemos aproximar indefinidamente a cualquier elemento, como mucho nos podremos aproximar al número entero anterior o al siguiente.
Ejemplo :
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El número e
Vamos a considerar la sucesión :
Los términos de esta sucesión crecen continuamente, es decir aumentan cuando aumenta n, pero la sucesión está acotada, es decir sus términos no pasan de un determinado valor, por tanto los terminos de la sucesión han de aproximarse a algún número, que estará comprendido entre el 2 y el 3. El número al que se aproximan los términos de esta sucesión, es una
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constante muy característica en matemáticas que recibe el nombre de número e. Se define como :
Tiene infinitas cifras decimales, es un número real trascendente; para conseguir una aproximación de esta constante, podemos utilizar la calculadora del ordenador. En windows 98, la calculadora nos da el valor :
2,71828182845904523536028747135266
Límite de funciones. Cálculo
Propiedades.
Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces:
En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende.
No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite. Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito.
Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:
En cada caso, el límite en el punto en que la función no está determinada, dependerá de los valores que la función tome, en las proximidades de dicho punto.
Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones. Los métodos que se indican sirven de guía en casos parecidos.
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La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo : x - valor para el que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra función, que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestión.
En este caso concreto, el punto es : x = 1.
La nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminación, que son los que permiten calcular el límite .En el caso concreto que nos ocupa, sería:
Cuando x crece indefinidamente, esta función es un cociente de dos cantidades que crecen indefinidamente. Se puede plantear la duda, de que si al crecer x indefinidamente, también lo hará :
puesto que sería la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, que es una indeterminación. Sacando factor común se transforma esta expresión en otra equivalente:
que crece indefinidamente, puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de dos cantidades que crecen indefinidamente, también crece indefinidamente. Lo mismo ocurre con el denominador.
Como, al dividir numerador y denominador por una misma cantidad, distinta de 0, el valor de la fracción no cambia, sigue que:
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Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones . Se divide numerador y denominador por x, elevado al mayor de los expontentes con los que aparece en la función :
Hay un caso trivial, que ya hemos visto, sea:
Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, pero como :
Y a una cantidad que crece indefinidamente, le quitamos una cantidad constante y sigue creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente, crece indefinidamente, está claro que:
Veamos ahora otra indeterminación de este tipo, pero algo más complicada:
Como en este caso no se puede sacar factor común, para eliminar la indeterminación , multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado.
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El conjugado de una expresión, que es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, es otra igual, excepto que en lugar de una diferencia, es una suma de dos cantidades que crecen indefinidamente. En este caso, será:
Aparece este tipo de indeterminación cuando aparecen dos funciones tales que:
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Introducción
El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro pais. Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.
Esta disputa empañó el gran descubrimiento matemático que posibilitó revolucionar la física e inició una nueva etapa del conocimiento , el concepto de una nueva física ya estaba presente en los trabajos de Nicolle Oresme , Gaileo Galilei , Nicolás Copérnico y otros, pero no podía llevarse a cabo sin la invención de esta nueva herramienta llamada derivada.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
Concepto
El concepto de derivada es muy fácil de comprender. Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.
La definición de la derivada de la función y=f(x), es:
Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto.
El concepto de derivada está intimamamente ligado a el del límite .
Para comenzar debemos recordar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a,b) y (a',b') :
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El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta , y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal .
Si tenemos una función f(x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos) :
Por lo tanto tendremos que :
Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por :
Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0 ) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto)
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La ecuación de la recta tangente vendrá dada por :
Donde la pendiente es :
Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto :
¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto?
Puesto que la derivada es un límite , lo que tenemos que hacer es calcularlo . Veamos un ejemplo sencillo :
Sea la función f(x) = x2 vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3
Si sustituimos el punto x0 = 1 obtendremos que :
f '(1) = 2 · 1 = 2
Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2 .
Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la función es creciente , es decir , al aumentar la x aumenta la y .
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¿Para que se puede utilizar el concepto de derivada ?
Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x0 = -1 obtendremos que
f '(-1) = 2 · (-1) = -2
En este caso la pendiente es negativa por lo que la función en este punto es decreciente .
Si analizamos en general el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera , vemos que si x0 es positivo , la derivada f '(x0) es positiva y por lo tanto la función es creciente y si el punto x0 es negativo la derivada f '(x0) es negativa y por lo tanto la función es decreciente .
¿Qué ocurre en el punto x0 =0? Pues que ni es creciente ni decreciente si no que tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha .
Conclusión : la derivada nos puede servir para estudiar las funciones .
La derivada es un parámetro que nos permite determinar tasa de cambio o la velocidad de cambio de una función en un punto , en economía es importante conocer dicha tasa de cambio , así la derivada de la oferta se llama oferta marginal, de la demanda . demanda marginal, étc.
Derivada de una constante
Tipo nº1
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
38
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
Ejercicio nº 8)
Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Derivada de una función potencial: Forma simple
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
39
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol: <![endif]-->
Ejercicio nº 21)
Sol:
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
40
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Sol:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
Ejercicio nº 30)
Sol:
Ejercicio nº 31)
Sol:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: Forma simple
Ejercicio nº 32)
Sol:
Ejercicio nº 33)
Sol:
Ejercicio nº 34)
Sol:
41
Ejercicio nº 35)
Sol:
Ejercicio nº 36)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio nº 37)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
Ejercicio nº 38)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
Ejercicio nº 39)
Regla nº 1
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la constante por la derivada de la función
Ejercicio nº 40)
Sol:
Ejercicio nº 41)
Sol:
42
Ejercicio nº 42)
Sol:
Ejercicio nº 43)
Sol:
Ejercicio nº44)
Sol:
POTENCIAS Sigue recordando:
y
Ejercicio nº 45)
Sol:
Ejercicio nº 46)
Sol:
Ejercicio nº 47)
43
Sol:
Ejercicio nº 48)
Sol:
Ejercicio nº 49)
Sol:
Ejercicio nº 50)
Sol:
Ejercicio nº 51)
Sol:
Ejercicio nº 52)
Sol:
Ejercicio nº 53)
Sol:
Regla nº 2
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a
44
suma de las derivadas de las funciones
Ejercicio nº 54)
Solución:
Ejercicio nº 55)
Sol:
Regla nº 3
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función
Ejercicio nº 56)
Solución:
Ejercicio nº 57)
Solución:
Ejercicio nº 58)
Solución:
Ejercicio nº 59)
Solución:
45
Regla nº 4
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado
Ejercicio nº60)
Solución:
Ejercicio nº 61)
Solución:
Ejercicio nº 62)
Solución:
Ejercicio nº 63)
Solución:
46
Ejercicio nº 64)
Solución:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
Ejercicio nº 65)
Sol:
Ejercicio nº 66)
Sol:
En las fórmulas de las derivadas que aparecen a
continuación, cuando ponemos la letra , lo que estamos representando es una función que depende de
la variable x y que realmente se debe escribir
Derivada de una función logarítmica: Forma compuesta simple
Tipo nº 3
LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a la derivada de la función de x dividida entre dicha función
Ejercicio nº 1)
47
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
48
LOGARITMOS Recuerda de la ESO:
El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado por el logaritmo de a
Ejercicio nº 8)
Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
49
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
50
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
TRIGONOMETRÍA Recuerda de la ESO:
LA COTANGENTE DE UN ÁNGULO es igual al coseno de dicho ángulo dividido entre el seno del mismo
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
51
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Solución:
Ejercicio nº 30)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
Ejercicio nº 32)
Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
52
Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta
Tipo nº 5
LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha función
Ejercicio nº 35)
Sol:
Ejercicio nº 36)
Sol:
Ejercicio nº 37)
Sol:
Ejercicio nº 38)
Sol:
Ejercicio nº 39)
Sol:
Ejercicio nº 40)
Sol:
53
Derivada de una función potencial
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución: Derivada de una función logarítmica
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
:
Aplicación de la derivada a la representación gráfica de funciones
I) Estudio de f
1º Dominio de f. 2º Puntos de corte con los ejes. 3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo). 4º Simetrías. - Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas. - Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen. 5º Asíntotas - Verticales
Si existe a tal que , x =a es la ecuación de una asíntota vertical. - Horizontales
54
Si , y =b es una asíntota horizontal. - Oblicuas
Si y , y =m x +n es una asuntota oblicua. II) Estudio de f’
1º Crecimiento y decrecimiento. Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente. 2º Máximos y mínimos relativos Condición necesaria de máximo y mínimo es que f ’(x)=0.
III) Estudio de f’’)
2º S i f ’’(x0) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de inflexión.
EJERCICIOS MODELO
1. Representación gráfica de I) Estudio de f -Dominio de f Como f es una función racional, pertenecen al dominio son todos los números reales
menos los q anulan al denominador, es decir:
D = R- -Puntos de corte a) Con el eje de las ordenadas, OY Si x =0 entonces y = 0, luego pasa por (0, 0) b) Con el eje de abscisas, OX
Si y =0 entonces , luego 2x=0, es decir x =0 Observa q da el punto (0, 0) de nuevo, esto quiere decir q la gráfica de f solo corta a los
ejes en el origen de coordenadas. - Signo de f (su estudio nos permite ver las regiones donde existe la gráfica y ayuda a
posicionar las asíntotas) Para estudiar el signo de f se señalan en la recta los puntos donde no hay función (es
decir los q no pertenecen al dominio) y los puntos donde la función es 0, es decir -1 0 1 la recta queda dividida en 4 regiones donde puede cambiar el signo, basta tomar un
punto en cada una de ellas para saber el signo de toda la región (esto mismo haremos para ver el signo de la derivada f’ y de la derivada segunda f’’)
f(-2)= , f(-1/2)= , f(1/2)<0, f(2)>0 - -1 + 0 - 1 + -Simetrías
La función es impar f(-x)= =-f(x) - Asíntotas a) Verticales x=1, x=-1 (hay asíntotas en los puntos q no pertenecían al dominio) b) Horizontales
luego y=0 es asíntota horizontal, no hay oblícuas. II) Estudio de la derivada - Monotonía
55
El signo de la derivada nos indica cuando la función crece (si f’ >0) y cuando la función decrece (si f’<0)
Los puntos en q la derivada es 0 son posibles puntos extremos (max o mín)
y’= (comprueba) que como ves da siempre negativa en su dominio, por lo tanto podemos concluir:
a) decreciente en R- b) no tiene ni máximos ni mínimos locales III) Estudio de la derivada segunda Nos permite calcular los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de
inflexión (condición necesaria q la derivada segunda valga 0) y'’ =
Simplificando y agrupando queda:
y’’= = , si y’’=0 , x =0 Para estudiar la concavidad y convexidad y los puntos de inflexión estudiamos el signo
de la derivada segunda: f’’ - + - + -1 0 1
Como en el 0 cambia la concavidad f tiene ( en x=0) un punto de inflexión
56
2. Representamos gráficamente la función
I) Estudio de f
1º D =R 2º Puntos de corte, el (0, 0) 3º Signo de f, negativa en x< 0 y positiva para x>0 4º Simetrías, f(-x) = -f(x), luego simétrica respecto del origen. 5º Asíntotas. No hay verticales por que el dominio es todo R Horizontales y =0 No hay oblicua.
II) Estudio de f ’
, f ’(x)=0 -x2+1=0, de donde x = 1
2. Representamos gráficamente la función
1º f decrece en los intervalos (-inf, -1) y ( 1, inf) y crece en (-1, 1) 2º Tiene un mínimo relativo en el punto (-1, -1/2) y un máximo relativo en el punto (1,
1/2). III) Estudio de f ’’
f ’’(x)= =
En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexión La gráfica es:
Ejercicios propuestos
x - -1
1
f '(x) - 0 +
0 -
f(x)
Decrece Mínimo
Crece
Máximo
Decrece
x - -
0 +
f ’’ - 0 + 0 - 0
f inflexión inflexión inflexión
57
1. Hacer el estudio y comprobar las gráficas:
a)
b)
c)
d) y = x3-3x2+2
58
e) y = ln (x2 -1)
f) y = ln (x2+1)
59
Introducción
El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro pais. Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.
Esta disputa empañó el gran descubrimiento matemático que posibilitó revolucionar la física e inició una nueva etapa del conocimiento , el concepto de una nueva física ya estaba presente en los trabajos de Nicolle Oresme , Gaileo Galilei , Nicolás Copérnico y otros, pero no podía llevarse a cabo sin la invención de esta nueva herramienta llamada derivada.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
Concepto
El concepto de derivada es muy fácil de comprender. Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.
La definición de la derivada de la función y=f(x), es:
Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto.
El concepto de derivada está íntimamente ligado a el del límite .
Para comenzar debemos recordar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a,b) y (a',b') :
El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta , y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal .
60
Si tenemos una función f(x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos) :
Por lo tanto tendremos que :
Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por :
Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0 ) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto)
La ecuación de la recta tangente vendrá dada por :
Donde la pendiente es :
61
Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto :
LA DERIVADA ES LA TASA DE CAMBIO O LA VELOCIDAD INSTANTANEA DE VARIACION EN EL PUNTO
¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto?
Puesto que la derivada es un límite , lo que tenemos que hacer es calcularlo . Veamos un ejemplo sencillo :
Sea la función f(x) = x2 vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3
Si sustituimos el punto x0 = 1 obtendremos que :
f '(1) = 2 · 1 = 2
Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2 .
Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la función es creciente , es decir , al aumentar la x aumenta la y .
¿Para que se puede utilizar el concepto de derivada ?
Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x0 = -1 obtendremos que
f '(-1) = 2 · (-1) = -2
En este caso la pendiente es negativa por lo que la función en este punto es decreciente .
Si analizamos en general el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera , vemos que si x0 es positivo , la derivada f '(x0) es positiva y por lo tanto la función es creciente y si el punto x0 es negativo la derivada f '(x0) es negativa y por lo tanto la función es decreciente .
¿Qué ocurre en el punto x0 =0? Pues que ni es creciente ni decreciente si no que tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha .
62
Conclusión : la derivada nos puede servir para estudiar las funciones .
La derivada es un parámetro que nos permite determinar tasa de cambio o la velocidad de cambio de una función en un punto , en economía es importante conocer dicha tasa de cambio , así la derivada de la oferta se llama oferta marginal, de la demanda . demanda marginal, étc.
En economía nos indica la tendencia al cambio de la función y se llaman funciones marginales, por ejemplo sea C=3q+100 una función costo de la cantidad producida q de un bien A , siu derivada es 3 , decimos entonces que el costo marginal es 3 , por lo que el costo tiene un tendencia a triplicarse si aumente la cantidad a producir.
Derivada de una constante Y= k LA DERIVADA ES CERO
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
Ejercicio nº 8)
Sol:
63
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Derivada de una función potencial: Forma simple
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
64
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol: <![endif]-->
Ejercicio nº 21)
Sol:
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
65
Sol:
Ejercicio nº 29)
Sol:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
Ejercicio nº 30)
Sol:
Ejercicio nº 31)
Sol:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: Forma simple
Ejercicio nº 32)
Sol:
Ejercicio nº 33)
Sol:
Ejercicio nº 34)
Sol:
Ejercicio nº 35)
Sol:
Ejercicio nº 36)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio nº 37)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
66
Ejercicio nº 38)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
Ejercicio nº 39)
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la constante por la derivada de la función
Ejercicio nº 40)
Sol:
Ejercicio nº 41)
Sol:
Ejercicio nº 42)
Sol:
Ejercicio nº 43)
Sol:
Ejercicio nº44)
Sol:
67
POTENCIAS Sigue recordando:
y
Ejercicio nº 45)
Sol:
Ejercicio nº 46)
Sol:
Ejercicio nº 47)
Sol:
Ejercicio nº 48)
Sol:
Ejercicio nº 49)
Sol:
Ejercicio nº 50)
68
Sol:
Ejercicio nº 51)
Sol:
Ejercicio nº 52)
Sol:
Ejercicio nº 53)
Sol:
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las funciones
Ejercicio nº 54)
Solución:
Ejercicio nº 55)
Sol:
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función
69
Ejercicio nº 56)
Solución:
Ejercicio nº 57)
Solución:
Ejercicio nº 58)
Solución:
Ejercicio nº 59)
Solución:
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado
Ejercicio nº60)
Solución:
Ejercicio nº 61)
70
Solución:
Ejercicio nº 62)
Solución:
Ejercicio nº 63)
Solución:
Ejercicio nº 64)
Solución:
Derivada de una función logarítmica:
Ejercicio nº 65)
Sol:
Ejercicio nº 66)
Sol:
En las fórmulas de las derivadas que aparecen a
continuación, cuando ponemos la letra , lo que estamos representando es una función que depende de la variable x
71
y que realmente se debe escribir
LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a la derivada de la función de x dividida entre dicha función
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
72
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
LOGARITMOS Recuerda:
El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado por el logaritmo de a
Ejercicio nº 8)
Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11)
73
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
74
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
TRIGONOMETRÍA Recuerda:
LA COTANGENTE DE UN ÁNGULO es igual al coseno de dicho ángulo dividido entre el seno del mismo
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
75
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Solución:
Ejercicio nº 30)
Solución:
76
Ejercicio nº 31)
Solución:
Ejercicio nº 32)
Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
Derivada de una función exponencial con base e:
ENTONCES
LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha función
Ejercicio nº 35)
Sol:
Ejercicio nº 36)
Sol:
Ejercicio nº 37)
Sol:
77
Ejercicio nº 38)
Sol:
Ejercicio nº 39)
Sol:
Ejercicio nº 40)
Sol:
Derivada de una función potencial
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución: Derivada de una función logarítmica
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
:
78
79
Aplicación de la derivada en el estudio de funciones
Crec imien to en un punto
Si f es de r i vab le en a :
f es es t r i c tamen te c rec ien te en a s i :
f ' ( a ) > 0
Decrec imien to en un punto
Si f es de r i vab le en a :
f es es t r i c tamen te dec rec ien te en a s i :
f ' ( a ) < 0
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Para ha l l a r e l c rec im ien to y dec rec im ien to segu i remos l os s i gu ien tes
pasos :
1 . De r i va r la f unc ión .
2 . Ob tene r l as ra í ces de l a de r i vada p r ime ra , pa ra e l lo ha cemos : f ' ( x )
= 0 .
3 . Fo rmamos in te rva los ab ie r tos con los ce ros ( ra í ces ) d e la de r i vada
p r ime ra y l os pun tos de d i scon t i nu idad ( s i l os hub iese )
4 . Tomamos un va lo r de cada i n te rva lo , y ha l lamos e l s i gno que t i ene
en l a de r i vada p r ime ra .
S i f ' ( x ) > 0 es c r ec ien te .
80
Si f ' ( x ) < 0 es dec rec ien te .
5 . Esc r i b imos los i n te rva los de c rec im ien to y dec rec im ien to .
Ejemplo
Ca lcu la r los i n te rva los de c rec im ien to y dec rec im ien to de la f unc ión :
81
Derivadas máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento
82
83
EXTREMOS RELATIVOS CRITERIOS utilizando el signo de las derivada segunda
S i f es de r ivab le en a , a es un extremo re lat ivo o local s i :
1. Si f ' (a) = 0 .
2. Si f ' ' (a) ≠ 0 .S i Si f ' ' (a) = 0 hay punto de inflexión
Máximos loca les
S i f y f ' son der ivab les en a , a es un máximo re lat ivo o loca l s i se
cump le:
1. f ' (a) = 0
2. f ' ' (a) < 0
Mínimos loca les
S i f y f ' son der ivab les en a , a es un mínimo re lat ivo o loca l s i se
cump le:
1. f ' (a) = 0
84
2. f ' ' (a) > 0
Cálculo de máximos y mínimos
Es tud ia r l o s máx imos y mín imos de:
f (x ) = x 3 − 3x + 2
Para ha l l a r sus ex t remos lo ca les , segu i remos lo s s igu ientes pasos:
1. Hal lamos la der ivada primera y ca lcu lamos sus ra íces .
f ' (x ) = 3x 2 − 3 = 0
x = −1 x = 1 .
2. Real izamos la 2ª der ivada, y ca lcu lamos e l s igno que toman
en e l la los ceros de der ivada pr imera y s i :
f ' ' (x) > 0 Tenemos un mín imo.
f ' ' (x) < 0 Tenemos un máximo.
f ' ' (x ) = 6x
f ' ' (−1) = −6 Máx imo
f ' ' (1 ) = 6 M ín imo
3. Calcu lamos la imagen (en la función) de los ext remos
re lat ivos .
f (−1) = (−1) 3 − 3(−1) + 2 = 4
f (1 ) = (1 ) 3 − 3(1) + 2 = 0
85
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
Ejemplos de aplicación del modelo matemático de derivadas
1.- Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero
invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad
generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos
de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada
es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 ,
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0
la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:
f
f ´ + 200 -
se toma un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro
mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y
es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo
que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local
b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.
c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros
2.- La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa
funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300
1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días
distintos del primero y del último.
2 Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.
4.- Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene
dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
86
2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
3 ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
Soluciones
La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley: C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300 1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.
2 Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.
Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron. Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por: r = 300t (1−t). Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide: 1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento? r = 300t − 300t² r′ = 300 − 600t 300 − 600t = 0 t = ½
2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo? 300t (1−t) = 0 t = 0 t = 1 El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1). 3 ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es? r″ (t) = − 600 r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75 Rendimiento máximo: (½, 75)
¿Qué es la Elasticidad de la Demanda?
La elasticidad de la demanda, también conocida como la elasticidad-precio de la
demanda, es un concepto que en economía se utiliza para medir la sensibilidad o
87
capacidad de respuesta de un producto a un cambio en su precio. En principio, la
elasticidad de la demanda se define como el cambio porcentual en la cantidad
demandada, dividido por el cambio porcentual en el precio. La elasticidad
de la demanda puede ser expresada gráficamente a través de una simplificación de
curvas de demanda.
Como descubrió el economista francés Auguste Cournot en 1850 (autor de la Loi
de debit), la cantidad demandada de un bien (si todo lo demás permanece
constante = ceteris paribus) es función de su precio y, por tanto, a menor precio
mayor demanda. Alfred Marshall en sus Principios de Economía (1890)
desarrolló el tema en forma más detallada.
Esta relación inversa entre precio y cantidad genera un coeficiente negativo, por eso
generalmente se toma el valor de la elasticidad en valor absoluto. La elasticidad de
la demanda se expresa como Ed y dependiendo de la capacidad de respuesta a los
cambios en los precios, la elasticidad de la demanda puede ser elástica (A) o
inelástica (B). Cuanto más horizontal sea la curva de demanda, mayor es la
elasticidad de la demanda. Del mismo modo, si la curva de demanda es más bien
vertical, la elasticidad de la demanda será inelástica al precio.
De acuerdo a lo que hemos señalado, la elasticidad precio de la demanda se define
de la siguiente manera:
Ed = ðD/ðP . P/D
88
En general, la demanda de un bien es inelástica (o relativamente inelástica) cuando
el coeficiente de elasticidad es menor que uno en valor absoluto. Esto indica que las
variaciones en el precio tienen un efecto relativamente pequeño en la cantidad
demandada del bien. Un producto clásicamente inelástico es la insulina. Las
variaciones en el precio de la insulina tiene una variación prácticamente nula en la
cantidad demandada. Es decir, es insensible o inelástica al precio.
El concepto de elasticidad
Cuando la Elasticidad Precio de la Demanda es mayor que uno, se dice que la
demanda de este bien es elástica (o relativamente elástica). Una disminución a la
baja en el precio de la carne o el jamón serrano genera un impacto en la cantidad
demandada. Por ejemplo, si el precio del jamón disminuye en un 5% y la demanda
aumenta en un 10% se obtiene (10% / -5% = -2). La elasticidad es igual a 2, en valor
absoluto. Nótese que este es un número sin dimensiones.
Son varios los factores que influyen en el mayor o menor grado de elasticidad de un
bien. Por ejemplo, el tipo de necesidades. Si es un producto de primera necesidad,
su demanda será más bien inelástica; en cambio si es un producto de lujo su
demanda será más elástica, dado que un aumento en el precio alejará a algunos
consumidores. También afecta la elasticidad la existencia de bienes sustitutos. Si
hay buenos sustitutos, la demanda del bien será elástica y se podrá reemplazar su
89
consumo. Al reves, si hay pocos sustitutos, la demanda tenderá a ser inelástica. Un
ejemplo clásico de bienes sustitutos y elasticidad es la mantequilla y la margarina.
Si la mantequilla sube mucho de precio se podrá reemplazar por la margarina.
Otro factor que afecta es el período de tiempo. La elasticidad tiende a
aumentar en el largo plazo porque los consumidores tienen más tiempo para
ajustar su comportamiento y adaptarse a los bienes sustitutos. Frente a otros
productos, como por ejemplo el petróleo, el consumidor puede reaccionar
rapidamente a un alza y disminuir su consumo, pero con el tiempo se adaptará al
nuevo precio y volverá a consumir a los mismos niveles, mostrando así una
demanda inelástica. Los cigarrillos son un claro ejemplo.
La elasticidad no es una función lineal
Un elemento importante a tener en cuenta es que la elasticidad de la demanda
no es la misma a lo largo de toda la curva de demanda, es decir no es una
función lineal. Dependiendo del producto es posible que para precios altos la
demanda sea más elástica que para precios bajos, como ilustra la siguiente gráfica:
¿Por qué la elasticidad es más pequeña a precios más bajos? Esto se debe a que los
niveles del precio y la cantidad demandada afectan los cambios porcentuales.
Para un cambio dado del precio, el cambio porcentual es pequeño a un precio
elevado y grande a un precio bajo. De manera similar, para un cambio dado en la
cantidad demandada, el cambio porcentual es pequeño para una cantidad grande y
grande para una cantidad pequeña. Por esto, para un cambio dado en el
precio, cuanto más bajo sea el precio inicial, mayor será el cambio
90
porcentual del precio, menor será el cambio porcentual de la cantidad
demandada y menor la elasticidad.
Estudio completo de funciones 1º Dominio de f. 2º Puntos de corte con los ejes. 3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo). 4º Simetrías. - Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas. - Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen. 5º Asíntotas - Verticales
Si existe a tal que , x =a es la ecuación de una asíntota vertical. - Horizontales
Si , y =b es una asíntota horizontal. - Oblicuas
Si y , y =m x +n es una asuntota oblicua. II) Estudio de f’
1º Crecimiento y decrecimiento. Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente. 2º Máximos y mínimos relativos Condición necesaria de máximo y mínimo es que f ’(x)=0.
III) Estudio de f’’)
2º S i f ’’(x0) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de inflexión.
EJERCICIOS
Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:
1
2
91
3
1. Análisis de de I) Estudio de la función -Dominio de función Como f es una función racional, pertenecen al dominio son todos los números reales
menos los q anulan al denominador, es decir:
D = R- -Puntos de corte a) Con el eje de las ordenadas, OY Si x =0 entonces y = 0, luego pasa por (0, 0) b) Con el eje de abscisas, OX
Si y =0 entonces , luego 2x=0, es decir x =0 Observa q da el punto (0, 0) de nuevo, esto quiere decir q la gráfica de f solo corta a los
ejes en el origen de coordenadas. - Signo de f (su estudio nos permite ver las regiones donde existe la gráfica y ayuda a
posicionar las asíntotas) Para estudiar el signo de f se señalan en la recta los puntos donde no hay función (es
decir los q no pertenecen al dominio) y los puntos donde la función es 0, es decir -1 0 1 la recta queda dividida en 4 regiones donde puede cambiar el signo, basta tomar un
punto en cada una de ellas para saber el signo de toda la región (esto mismo haremos para ver el signo de la derivada f’ y de la derivada segunda f’’)
f(-2)= , f(-1/2)= , f(1/2)<0, f(2)>0 - -1 + 0 - 1 + -Simetrías La función es impar
f(-x)= =-f(x) - Asíntotas a) Verticales x=1, x=-1 (hay asíntotas en los puntos q no pertenecían al dominio)
92
b) Horizontales
luego y=0 es asíntota horizontal, no hay oblícuas. II) Estudio de la derivada - Monotonía El signo de la derivada nos indica cuando la función crece (si f’ >0) y cuando la función
decrece (si f’<0) Los puntos en q la derivada es 0 son posibles puntos extremos (max o mín)
y’= (comprueba) que como ves da siempre negativa en su dominio, por lo tanto podemos concluir:
a) decreciente en R- b) no tiene ni máximos ni mínimos locales III) Estudio de la derivada segunda Nos permite calcular los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de
inflexión (condición necesaria q la derivada segunda valga 0) y'’ =
Simplificando y agrupando queda:
y’’= = , si y’’=0 , x =0 Para estudiar la concavidad y convexidad y los puntos de inflexión estudiamos el signo
de la derivada segunda: f’’ - + - + -1 0 1
Como en el 0 cambia la concavidad f tiene ( en x=0) un punto de inflexión Grafo de f
93
2. Representamos gráficamente la función
I) Estudio de f
1º D =R 2º Puntos de corte, el (0, 0) 3º Signo de f, negativa en x< 0 y positiva para x>0 4º Simetrías, f(-x) = -f(x), luego simétrica respecto del origen. 5º Asíntotas. No hay verticales por que el dominio es todo R Horizontales y =0 No hay oblicua.
II) Estudio de f ’
-x2+1=0, de donde x = 1
2. Representamos gráficamente la función
1º f decrece en los intervalos (-inf, -1) y ( 1, inf) y crece en (-1, 1) 2º Tiene un mínimo relativo en el punto (-1, -1/2) y un máximo relativo en el punto (1,
1/2). III) Estudio de f ’’
f ’’(x)= =
En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexión La gráfica es:
x - -1
1
f '(x) - 0 +
0 -
f(x)
Decrece Mínimo
Crece
Máximo
Decrece
x - -
0 +
f ’’ - 0 + 0 - 0
f inflexión inflexión inflexión
94
Ejercicios propuestos 1. Hacer el estudio y comprobar las gráficas:
a)
b)
c)
d) y = x3-3x2+2
95
e) y = ln (x2 -1)
f) y = ln (x2+1)
96
Integrales indefinidas
Primitivas
Dada una función f (x), se dice que la función F (x) es primitiva de ella si se verifica que F’ (x) = f (x). La operación consistente en obtener la primitiva de una función dada se denomina integración, que es la inversa de la derivación.
De esta definición se desprende que la función f (x) posee infinitas primitivas, ya que si
F (x) es primhtiva de f (x), también lo será cualquier otra función definida como G (x) =
F (x) + C, siendo C un valor constante.
El conjunto de todas las primitivas de una función f (x) dada se denomina integral
indefinida de la función, y se denota genéricamente como:
Las primitivas de una función forman una familia de curvas desplazadas verticalmente unas de
otras. Así, la función f (x) = x tiene infinitas primitivas que difieren en una constante, tal como se
muestra a la derecha.
Propiedades de las primitivas
Aplicando las propiedades de la derivación, es posible determinar algunas propiedades comunes de la integración. Las siguientes propiedades de linealidad sirven para descomponer integrales complicadas en otras más sencillas:
La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones es igual a la suma (o diferencia)
de las integrales de cada una de ellas.
La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la
constante por la integral de la función.
Tabla de integrales inmediatas
97
En la tabla siguiente se resumen las reglas de integración de algunas funciones comunes. En general, se llama integrales inmediatas a las que se deducen directamente de esta tabla y de las propiedades de linealidad de la integración.
El símbolo diferencial
A primera vista, en la notación de las integrales, el símbolo dx con que se cierra el integrando podría parecer gratuito. Sin embargo no lo es, ya que sirve para poner de manifiesto sin ningún género de duda cuál es el símbolo de la variable que se va a someter a integración. Así, por ejemplo, en la expresión de dos variables:
la integración se va a realizar sobre la variable t, no sobre x. Antiderivada
98
Las operaciones de integración y derivación son mutuamente inversas. Así, si se deriva una función y después se integra, se obtiene de nuevo la función original (más una constante). Por ello, es habitual llamar antiderivada a la integral indefinida de una función.
Métodos clásicos de integración:
-Integración por sustitución.
-Integración por partes.
-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.
¿ Como empezar a integrar ?
1. Analiza si la integral está incluida en la lista de integrales declaradas como
inmediatas. De ser así pues halla el resultado en la tabla y si no pues valora la
posibilidad de transformarla en una o varias inmediatas aplicando alguna
transformación algebraica o simplificación del integrando.
2. Clasifica el integrando en racional (a su vez en propia o impropia) o no
racional.
Si es una fracción propia y es una fracción simple pues procedes como
corresponda según el tipo de fracción simple.
Si es una fracción racional propia no simple pues (excepto en casos excepcionales)
procede a descomponer en fracciones simples y luego como en el inciso anterior.
Si la fracción es racional impropia efectúa la división para transformarla en la suma
de un polinomio y una fracción racional propia.
3. Si el integrando no es racional(es algebraico irracional o en caso contrario,
trascendente) valora la posibilidad de aplicar alguna sustitución o el método de
integración por partes y así obtener directamente el resultado o en su defecto por lo
menos reducir el integrando a uno que esté en alguna tabla de integrales.
Resumen de algunas reglas de integración.
I)
II) ( )
III) Fórmula de Integración por partes!!!
IV) Siendo F primitiva de f en el correspondiente intervalo.
Ejemplo:
Resolver la integral
99
No reconozco esta integral como una integral del grupo de integrales inmediatas mas el
integrando es la suma de tres funciones. Pienso entonces en aplicar la regla I) lo cual permite
calcular por separado las 3 respectivas integrales.
Calculando pues hago uso a su vez de I) para reducirla a inmediatas.
Integración por sustitución.
E l método de integrac ión por sust i tuc ión o cambio de var iable
se basa en la de r ivada de la f unc ión compues ta .
Para cambiar de var iab le i dent i f i camos una par te de lo que se va a
in teg rar con una nueva var iab le t , de modo que se ob tenga una in tegra l
más senc i l l a .
Pasos para in tegrar por cambi o de var iab le
1º Se hace e l cambio de var iab le y se d i f e renc ia en los dos
té rm inos :
Se despe ja u y dx , su t i tu yendo en la in tegra l :
100
2º Si la in tegral resu l tan te es m ás senc i l la , in tegram os :
3º Se vue lve a la var iab le in ical :
Ejemplo
Integración por partes
101
102
. Queremos calcular la integral
En este caso, la derivada de x es 1 y una primitiva para e2x es fácil de calcular, de modo que hacemos
Entonces aplicando la fórmula (3) obtenemos
Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso.
xe-xdx = = - xe-x - (- e-x) dx = - xe-x - e-x + C
103
x2sen x dx = = - x2cos x + 2 x cos x dx=
= = - x2cos x + 2(x sen x - sen dx) =
= - x2cos x + 2xsen x + 2 cos x + C
ex cos x dx = = ex sen x - ex sen x dx =
= = ex sen x - - ex cos x - ex(- cos x)dx =
=ex(sen x + cos x) - ex cos x dx.
Si llamamos I a la integral original es: I= ex(sen x + cos x) -I.
De donde I = ex(sen x + cos x) + C.
ln xdx = = x ln x - dx = x ln x - x + C.
104
105
Calculando
La integral no es inmediata ni se me ocurre transformación algebraica ni sustitución alguna al
menos en principio. El integrando es trascendente y tiene forma de producto por lo que quizá
nos sea útil la fórmula III).
La elección que supongo conveniente es:
Observo que
Integrales de expresiones fraccionarias
El integrando no está en mi tabla de inmediatas pero es una fracción racional impropia por lo
que se ocurre dividir y se obtiene a partir de reconocer el cociente y el resto:
FRACCIONES PARCIALES Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
Procedimiento para:
Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal. Paso 1: Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador. Paso 2:
106
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o
factores cuadráticos irreductibles, cbxax 2, y agrupar los factores repetidos para que
la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma mqpx ,
donde 1m o ncbxax 2 los números m y n no pueden ser negativos.
Paso 3: Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.
...factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1: Determinar la descomposición en fracciones parciales de:
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una división larga. Segundo: factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga: Opero los paréntesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son:
4111 CBA
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi
107
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos que es mucho mas fácil.
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
31139134 2 xxCxxBxxAxx
108
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta:
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido. Ejemplo:
109
22
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi:
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el término repetido 33x lo pondríamos:
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos:
22
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominador el término repetido elevado al cuadrado así:
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver únicamente por sistemas de ecuaciones. Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los paréntesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda:
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi
110
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuación:
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuación
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 21
32
x
x 2)
2
452
2
xx
x
3) 2510
102
xx
x 4)
122
62
xx
x 5)
Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor cuadrático irreducible.
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una división larga. 2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador:
12412412482 2223 xxxxxxxx
111
42 x es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero asi:
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el mínimo común denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones:
214
12
12
CB
BA
CA
Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la resolución por matices
21410
1021
1102
1102
21410
1021
1140
21410
1021
851700
214 10
1 0 21
5
8517
C
C
1
2021
214
B
B
CB
3
21
21
12
A
A
BA
BA
RESPUESTA:
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
11 RR
3312 RRR
1140
1102
2042
3324 RRR
851700
1 140
841640
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi
112
Teorema Fundamental del Cálculo
El teorema fundamental del cálculo es el teorema más importante y alcanza el nivel de
uno de los más grandes logros de la mente humana. Antes de ser descubierto, desde los
tiempos de Eudoxo y Arquímedes, hasta la época de Galileo y Fermat, los problemas de
hallar áreas, volúmenes y longitudes de curvas eran tan difíciles que sólo un genio podía
vencer el reto. Pero ahora, armados con el método sistemático que Newton y Leibniz
moldearon como el teorema fundamental, es posible resolver muchos problemas. Este
teorema recibe este nombre porque establece una conexión entre las dos ramas del
cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El primero, sabemos que surgió del
problema de la tangente, mientras que, el cálculo integral lo hizo de un problema en
apariencia no relacionado como lo es el problema del área. Fue el profesor de Newton
en Cambridge, Isaac Barrow (1630–1677) quien descubrió que estos problemas están
íntimamente relacionados. Se dio cuenta que la derivación y la integración son procesos
inversos. El teorema fundamental del cálculo da la relación inversa precisa entre la
derivada y la integral, Newton y Leibniz explotaron esta relación y la usaron para
desarrollar el cálculo en un método matemático sistemático. El descubrimiento de esta
asombrosa relación constituye uno de los logros matemáticos más importantes de la
historia mundial.
Se puede decir que es importante porque nos provee de una herramienta
poderosa para evaluar integrales definidas. Su más profundo significado es
que sirve de eslabón entre la derivación y la integración, entre derivadas e
integrales. Este eslabón aparece claramente cuando escribimos
siendo F(x) una primitiva de f(x).
Vimos que cuando f(x) es la tasa (razón) de cambio de la función F(x) y f(x) 0 en [a,
b] entonces la integral definida tiene la siguiente interpretación:
cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b.
Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) o
equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x
cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es
decir, F(b) F(a). Podemos definir F(b) F(a).
Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en las
ciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar: Si v(t) es el volumen
de agua de un depósito, en el instante t, entonces su derivada v'(t) es la razón a la cual
fluye el agua hacia el depósito en el instante t. Así v(t2) v(t1) es el cambio
en la cantidad de agua en el depósito entre los instantes t1 y t2.
113
Si [c](t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante t
entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t). De esta manera
[c](t2) [c](t1) es el cambio en la concentración [c] desde el instante t1 hasta el t2.
Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x) entonces
la densidad lineal es (x) m'(x). De esta manera m(b) m(a) es la masa
del segmento de la varilla entre x a y x b.Si la tasa de crecimiento de una población
es entonces p(t2) p(t1) es el aumento de población durante el período
desde t1 hasta t2.
Si c(x) es el costo para producir x unidades de un artículo, entonces el costo marginal es
la derivada c'(t). Por consiguiente c(x2) c(x1) es el incremento en el
costo cuando la producción aumenta desde x1 hasta x2 unidades.
Si un objeto se mueve a lo largo de una recta con función de posición s(t) , entonces su
velocidad es v(t) s'(t) de modo que s(t2) s(t1) es el cambio de la
posición, o desplazamiento, de la partícula durante el período desde t1 hasta t2.
Dado que la aceleración de un objeto es a(t) v'(t), podemos asegurar que la expresión
v(t2) v(t1) es el cambio en la velocidad en el instante t1 hasta el t2.
La potencia P(t) indica la razón de cambio de la energía E(t). Esto permite decir que P(t)
E'(t) y por lo tanto resulta E(t2) E(t1) indica la energía utilizada en el
tiempo entre t1 y t2.
La definición que estudiamos de integral definida nos permite calcular o evaluar la
integral de funciones sencillas pero en la mayoría de los casos el cálculo del límite de
sumas resulta complicado.
LA INTEGRAL DEFINIDA COMO FUNCIÓN
Sea f una función continua en un intervalo [a, b]. Definimos una nueva función g dada
por g(x) donde a x b. Se observa que g sólo depende de x, variable que
aparece como límite superior en el cálculo de la integral.
Si x es un número fijo, entonces la integral es un número definido. Si hacemos
que x varíe, el número también varía y define una función que depende de x.
114
La integral como función La integral como número
Analicemos una función continua f(x) siendo f(x) 0.
Podemos decir que g(x) se puede interpretar como el área debajo de la
gráfica de f desde a hasta x, donde x puede variar desde a hasta b (se debe pensar en g
como la función "el área hasta").
El TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Primera Parte
Si f es una función continua en [a, b] entonces la función donde a x
b es derivable y verifica A' (x) f(x) para todo x del intervalo.
Ahora estamos en mejores condiciones para comprender la demostración del teorema.
Demostración: Queremos calcular
Pero según la definición de A(x) resulta:
De aquí el numerador: (1)
Por propiedades de la integral definida
Reemplazando en (1), surge
Es decir y por lo tanto:
115
Si observamos el siguiente gráfico, vemos que:
De aquí surge que si m es el mínimo valor y M es el máximo que toma la función en el
intervalo [x, x+h], el área de la región sombreada estará comprendida entre el área del
rectángulo de base h y altura m, y el área del rectángulo de base h y altura M.
El área sombreada es m . h El área sombreada es
El área sombreada es M . h
Suponemos h 0 (se demuestra de manera análoga para h 0).
Dividiendo por h, resulta: .
Pero cuando h 0, el intervalo [x, x+h] tiende a reducirse a un único punto x y por lo
tanto los valores m y M tienden a f(x).
Por lo tanto:
Luego
Segunda Parte
116
Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y F una primitiva cualquiera,
entonces:
Demostración:
Según la primera parte del teorema
Si F(x) es otra primitiva, se tiene que A(x) F(x) + k
Si x toma el valor a, se verifica que A(a) F(a) + k pero como
entonces F(a) k y A(x) F(x) F(a).
Si además sustituimos x por b, resulta A(b) F(b) F(a) , es decir:
Si F es cualquier primitiva .
A esta forma práctica de trabajo se la conoce como REGLA DE BARROW.
.
Ejemplo: Determine el valor de
Tomadas juntas las dos partes del teorema fundamental expresan que la derivación y la
integración son procesos inversos. Se puede decir, en un lenguaje coloquial que cada
una "deshace lo que hace la otra".
Observación: el teorema fundamental del cálculo no requiere que la función sea
positiva. Sirve para evaluar las integrales definidas y muestra la estrecha relación
existente entre la derivada y la integral.
La integral definida como función y la regla de Barrow a través de un ejemplo.
Halle la función F(x) en x 0, , 1, y 2.
Podemos hallar el valor de cada una de las cinco integrales definidas cambiando por los
límites superiores pedido, pero es mucho más sencillo fijar x (como una constante
temporalmente) y aplicar el teorema fundamental del cálculo con lo que obtenemos.
117
Resulta la función F(x) que se debe evaluar en los
distintos valores de x solicitados.
Si derivamos se obtiene F'(x) f(x) que coincide con el integrando.
Ejemplo: Encuentre el valor de a si se sabe que
Integrando y aplicando la regla de Barrow obtenemos:
Igualando y despejando a resulta: a 2
Ejemplo: Halle si f(x) .
La función f(x) es por tramos, en consecuencia:
(1 0) + .
Para verificar los cálculos en este caso, puede graficar la función y calcular el
área utilizando fórmulas para el cálculo de áreas de figuras geométricas.
Ahora puede verificar los resultados obtenidos al analizar el problema del área y el problema de la
distancia (donde se calcularon integrales definidas como límites de suma) utilizando la segunda parte del
teorema fundamental del cálculo.
CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS
Se incluyen aquí los ejercicios para calcular integrales definidas y sus respuestas
Ejercicio 1
Calcule las siguientes integrales definidas:
118
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m)
Respuestas: a)2 b)
c)
d)
e)
f)
g) 24,2
h)
i) 1
j)
k)
l)
m) 0
Ejercicio 2
Sabiendo que: halle:
a) b) c)
d) e) f)
Respuestas: a) 4,6 b) 10,8 c) 21,9 d) 11,95 e) 3,45 f) 7
Ejercicio 3
a) Calcule siendo .
b) Encuentre el valor de b tal que .
c) Calcule
Respuestas: a)
b) b 1, b 2 c)
Ejercicio 4
119
En la función definida gráficamente por:
se sabe que 8 y 6. Halle:
a)
b) e indique qué representa.
Respuestas: a) 6 b) 2, representa el área de la región entre la gráfica de f, el eje x, las
rectas xa, x c.
Ejercicio 5
En la función definida gráficamente por:
se sabe que . Halle:
a) e indique qué representa
b)
Respuestas: a) e indica el área de la zona entre la gráfica de f, el eje x, las rectas x
120
a y x b.
b) 4.
CÁLCULO DE ÁREAS
¿Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados
positivos si conocemos la expresión analítica de la función que la limita?
El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de f(x) + de x 0 a x 3.
Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente.
Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de
esta región se puede encontrar usando dos rectángulos. La altura del primer rectángulo
es f(0) 3 y la altura del segundo rectángulo es f(1,5) . El ancho de cada
rectángulo es 1,5
El área total de los dos rectángulos es:
A 3 . 1,5 + . 1,5 8,397114317 unidades cuadradas.
Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr
una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres partes iguales, cada
uno de una unidad de ancho.
121
La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2). En
todos los casos el ancho del subintervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad.
El área total de los tres rectángulos es:
Área 1 . f(0) + 1 . f(1) + 1 . f(2) 1 . 3 + 1 . + 1 .
Área 8,064495102 unidades cuadradas.
Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es
mayor que el área real buscada.
Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con anchos
iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo 0,5 unidades.
Rectángulo x f(x) Ancho de
la base Área
1 0 3 0,5 1,5
2 0,5
0,5 1,479019946
3 1 0,5 1,414213562
4 1,5
0,5 1,299038106
5 2 0,5 1,118033989
6 2,5
0,5 0,829156197
Área total 7,63946180
122
De la misma forma analizamos el área total considerando rectángulos de medida de base
0,25 unidades.
Este proceso de aproximar el área bajo una curva usando más y más rectángulos para
obtener cada vez una mejor aproximación puede generalizarse. Para hacer esto podemos
dividir el intervalo de x 0 a x 3 en n partes iguales. Cada uno de esos intervalos
tiene ancho de medida y la altura determinada por el valor de la función en el
lado izquierdo del rectángulo es decir fi donde i 1, 2 , 3, ....., n. Si utilizamos
el ordenador podemos hacer los cálculos tomando cada vez más rectángulos.
n Área
150 7,09714349
2500 7,0703623
10000 7,069030825
45000 7,068683193
175000 ?
720000 ?
¿Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más
sencilla para resolver este problema ...?
Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de rectángulos es
cada vez más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca cada vez más al
área real de la región.
En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas cuando n crece
indefinidamente, lo que puede escribirse:
Área (suma de las áreas de los n rectángulos)
Esta situación se puede visualizar en la animación siguiente.
123
Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la comprensión
intuitiva del Cálculo Integral.
Si calculamos el área utilizando la fórmula del área de un círculo y teniendo en cuenta
que el área sombreada es la cuarta parte del área del círculo de radio 3 con centro en el
origen resulta:
Área A 9 7,068583471.
Investigue por su cuenta qué hubiese pasado si se elige como altura el valor de la derecha o un
punto intermedio del intervalo.
Para tener en cuenta: para hallar el área debajo de una curva necesitamos resolver un tipo especial
de límite.
Se incluyen aquí los ejercicios para calcular áreas y sus respuestas
Ejercicio 6
Escriba, sin calcular, una integral definida que indique el área de la región sombreada.
a)
b)
c)
d)
124
Respuestas: a) b)
c) d)
Ejercicio 7
En los siguientes gráficos determine el valor del área sombreada:
a)
b)
c)
Respuestas: a) b) c)
Ejercicio 8
Dada la siguiente gráfica
halle:
125
a) las ecuaciones de las curvas,
b) el área de la zona sombreada.
Respuestas: a) y x2 , y (x 2)2 b) 10
Ejercicio 9
Grafique la región limitada por las curvas y calcule el área determinada por ambas.
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas, la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas, la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx, el eje de abscisas y las rectas x 2, x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
h) con y x2
i) y 4 x2 con la recta y x + 2
Respuestas: a) b) c) d)
e) 9 f) 13,64 g) h) i)
Ejercicio 10
Halle el área limitada por la parábola y 6 + 4x x2 y el segmento determinado por
los puntos A( 2, 6) y B(4, 6).
Ejercicio 11
Determine el área sombreada en las siguientes gráficas:
a)
b)
126
a=8/3 y b)= 9/2Ejercicio 12
Halle el área encerrada por las curvas y x2 4x e y 6x x2 . Grafique.
Respuesta:
el área vale
Ejercicio 13
Dada la siguiente gráfica halle:
a) las ecuaciones de las rectas
b) el área de las zonas I y II indicadas en el gráfico.
Respuesta: a) b) AI6 AII
Ejercicio 14
a) Calcule
127
b) Determine el área de la región comprendida entre la curva y sen x, el eje x y las
rectas x y x . Grafique.
c) Analice por qué no se obtiene el mismo resultado en a) y b).
Respuesta:
a) 0 b) el área vale 2
c) No se puede calcular el área como la integral planteada en
(a) ya que da 0 pues las dos tienen el mismo valor absoluto
pero distinto signo,geométricamente la región consta de dos
partes simétricas respecto del eje x.
Ejercicio 15
Calcule el área bajo la curva f(x) desde 0 hasta 3. Interprete
gráficamente.
Respuesta:
el área vale
Ejercicio 16Escriba la integral definida que proporciona el área de la región (no calcule
el valor del área)
Respuesta: A
Ejercicio 17
Halle el área limitada por la parábola y x2 x y la recta que une los puntos P(1, 2) y
Q( 3, 6). Grafique.
128
Respuesta:
Ejercicio 18
Halle, utilizando integrales, el área del triángulo limitado por las rectas de ecuación y
3x 0; x 3y 0 y x + y 4.
Respuesta: el área vale 4
Ejercicio 19
Calcule el área de la zona limitada por la curva y x3 3x2 x + 3 y el eje de
abscisas.
Respuesta: el área vale 8
Ejercicio 20
Halle el valor de las áreas sombreadas.
Obtenga conclusiones teniendo en cuenta que la suma de las áreas de las dos regiones
coincide con el área del cuadrado de medida de lado una unidad.
Lic Edgardo DiDio [email protected]