Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicações

Aula 2

Maio, 2005

Revisão

Principais conceitos e definições

Revisão

Jogo estático

“Common knowledge”

Eliminação de estratégias estritamente

dominadas

Equilíbrio de Nash

Estratégias mistas

Aplicações

Estrutura de mercado Formação de cartéis Modelo de Hotelling

Ambiente econômico Curva de demanda:

p(Q)=a-Q,onde Q=q1+...+qN.

Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,...,n.

Lucro:i(qi,q-i)=p(Q)qi-cqi=[p(Q)-c]qi

Hipótese: c<a (viabilidade econômica da tecnologia)

2 casos polares Competição perfeita com livre entrada:

Para simplificar, ci=c para todo i. Firmas são tomadoras de preços. Há entrada enquanto houver lucro positivo. Equilíbrio:

pC=c; QC=a-c; C=0

Monopólio: Monopolista incorpora sua influência na demanda. Problema: max [a-Q-c]Q Equilíbrio:

QM=½(a-c)<QC; pM=½(a+c)>pC; M=(a-c)2/4

Estruturas de Oligopólio

Encontram-se entre os casos anteriores.

Diferentes formas de interação estão associadas a importantes diferenças nos preços, quantidades e lucros.

Serão consideradas situações onde há competição em: quantidade (Cournot, 1838); preço (Bertrand, 1883); localização (Hotelling, 1929).

Competição em quantidade: o modelo de Cournot Firmas se encontram apenas uma única vez no

mercado, simultaneamente, decidindo sobre quantidade (capacidade instalada).

2 firmas.

Equilíbrio de Nash: (q1*, q2

*) tais que q1*=q1(q2

*) e

q2*=q2(q1

*); onde qi(qj) é a melhor resposta de i à

quantidade qj da adversária.

Equilíbrio de Nash

Função de melhor resposta:qi(qj)=argmax [a-qi-qj-c]qi=½(a-c-qj).

EN: qi*=(a-c)/3, i=1,2.

Q*=2(a-c)/3 QM < Q* < QC

pM > p* > pC

*=(a-c)2/9 < M/2

Características do EN O modelo de Cournot apresenta uma

característica semelhante ao dilema dos prisioneiros.

As duas firmas estariam melhores caso praticassem quantidades iguais a qM/2, agindo como uma única firma – situação de cartel.

Entretanto, dado que a adversária pratica qj=qM/2, a melhor resposta é qi=qi(qM/2)>qM/2.

Extensão para n firmas

Função de melhor resposta:qi(q-i)=argmax [a-qi-Σj≠iqj-c]qi=½(a-c-Σj≠iqj).

EN: qi*=(a-c)/(n+1), i=1,...,n.

Q*=n(a-c)/(n+1) QM < Q* < QC

pM > p* > pC

*=(a-c)2/(n+1)2 < M/n, n>1.

Propriedades – n firmas Benefício do cartel:

M-*=(a-c)2f(n), onde f(n) tem o formato abaixo.

Propriedades – n firmas Desvio:

D-M=(a-c)2g(n), onde g(n) tem o formato abaixo.

Formação de cartéis A formação de cartéis, em um jogo

simultâneo é dificultada por uma série de razões:

há sempre um incentivo individual ao desvio, que é crescente no número de firmas;

os benefícios individuais das firmas, com o arranjo de cartel, depende do número de firmas no mercado – no exemplo, o valor máximo encontra-se entre 4 e 5 firmas. Para n>6, o benefício é decrescente.

Paradoxo de Bertrand

Suponha agora que a competição ocorre através dos preços.

Os produtos são perfeitamente homogêneos – o consumidor comprará da firma mais barata e irá sortear em caso de empate.

Equilíbrio de Nash

O EN do modelo é:pi=c, i=1,...,n.

Paradoxo: mesmo com uma estrutura de oligopólio, o equilíbrio de Nash replica o caso competitivo.

Bertrand com produtos diferenciados 2 firmas

Curva de demanda:qi(pi,pj)=a-pi+bpj.

Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,2.

Lucro:i(pi,pj)=(pi-c)qi(pi,pj)

Hipótese: c<a, b<2 (viabilidade econômica da tecnologia)

Equilíbrio de Nash

Função de melhor resposta:

pi(pj)=argmax (pi-c)[a-pi+bpj]

=½(a+bpj+c).

EN: pi*=(a+c)/(2-b), i=1,2.

Ao contrário do caso de produtos homogêneos, pi

*>c.

Competição Espacial 2 firmas

Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,2.

Lucro: i=(pi-c)qi

Demanda: consumidores estão uniformemente

distribuídos ao longo do intervalo [0,1]; há custo de transporte (linear) – cada

consumidor se dirige à loja mais próxima.

Demanda de cada firma Suponha, sem perda de generalidade, que

a firma 1 é aquela localizada à esquerda, isto é, x1≤x2.

Seja x a localização do consumidor indiferente às duas firmas.

0 1x1 x2x

q1=x q2=1-x

Interpretação

Localização geográfica

Espaço de produtos

Plataforma política

Demanda (continuação)

Denotando por pi o preço praticado pela firma i, o consumidor indiferente é dado por:

t(x-x1)+p1=t(x2-x)+p2.

Ou seja,x=(x1+x2)/2 + (p2-p1)/2t.

Se p2=p1, o consumidor indiferente se localiza no centro das duas firmas.

Equilíbrio de Nash Dados os preços p1=p2=p, as localizações

são definidas simultaneamente. Equilíbrio de Nash:

x1*=x2

*=1/2; cada empresa atende metade do mercado.

Equilíbrio é ineficiente: empresas poderiam auferir os mesmos lucros com os consumidores gastando menos com transporte.

“Princípio da diferenciação mínima”

Extensões

O modelo de Hotelling é bastante instável a modificações.

Por exemplo, com 3 firmas já não há equilíbrio em estratégias puras.

Caso haja competição de preços após a localização, o equilíbrio muda drasticamente, com as firmas localizadas nas extremidades – diferenciação máxima.