8/19/2019 Ejercicios Resueltos Del 1 Al 12

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. √

∫ ∫ ∫

. =

∫

∫ ( )

∫ | |

| |

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El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto ax, y se denota por el símbolo ∫( ) = ( )+ . Resolver las siguientes integralesindefinidas:

.

∫

. √

∫ √ √ ∫ √ √

∫ √

√ √

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∫√

√

∫

. ( )

∫

Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas oaclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica omatemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativodel teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.

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9. Hallar el valor medio de la función √ en el intervalo [0, 3].

∫

Primero se resolverá la integral √ :

∫

[ ]

[ ] Como la integral del ejercicio es definida entonces se extrapola el resultado de laintegral indefinida, así:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

10. Si se supone que la población mundial actual es de 7 mil millones y que lapoblación dentro de t años está dada por la ley de crecimiento exponencial ( )= . Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años.

Hallamos el valor promedio de la población de t=0 a t=30 con la ecuación:

En esta anterior ecuación (la cual se expresa en miles de millones) se tuvo en cuenta lapoblación inicial (7 mil millones) en t=0. Aplicando el teorema del valor medio se tiene:

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∫

1

Así, el valor promedio de la población en 30 años de acuerdo al ejercicio será de 10081millones de habitantes.

11. Si . Determinar

12. Aplicar el segundo Teorema fundamental del cálculo para resolver:

El segundo teorema fundamental del cálculo enuncia que:

Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier funciónprimitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces

Tanto la función, sen(2x) como la función cos(2x) son continuas en el intervalo [0, ]esto de acuerdo a:

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

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Figura 1 . Gráfica de la función sen(2x). Dominio en radianes.

Figura 2 . Gráfica de la función cos(2x). Dominio en radianes.

Ahora vamos a calcular la primitiva F(x), buscando la función que al derivarla generecomo resultado f(x) así:

∫

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∫

( ) Así, se halló la antiderivada de f(x), la cual fue la función F(x), pues al derivar F(x) seobtiene f(x), es decir:

( ) Luego de ello, se aplica la antiderivada (F(x)) en ambos extremos del problema inicial(0 y ):

∫ ( )

( )

Así, por medio del segundo teorema del cálculo, se demostró que:

∫