HELIANE MARIZA GRZYBOWSKI RIPPLINGER

A SIMETRIA NAS PRTICAS ESCOLARES

CURITIBA

2006

HELIANE MARIZA GRZYBOWSKI RIPPLINGER

A SIMETRIA NAS PRTICAS ESCOLARES

Dissertao apresentada ao Curso de PsGraduao em Educao - Linha de Pesquisa em Educao Matemtica como requisito parcial obteno do Grau de Mestre em Educao, do Setor de Educao da Universidade Federal do Paran.

Orientadora: Prof.a Dr.a Ana Maria Petraitis Liblik.

CURITIBA

2006

Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo

total ou parcial desta dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.

_____________________Curitiba, maro de 2006.

AGRADECIMENTOS

Universidade Federal do Paran, por fazer parte

da minha histria.

Aos professores da linha de pesquisa em Educao

Matemtica, obrigado

orientadora, Dr. Ana Maria Petraitis Liblik, pelo

acompanhamento dedicado, objetividade e

competncia.

Rui, meu marido, Silvia, minha querida professora,

Estanislau, meu pai amado, onde estiverem sempre

os terei na lembrana.

Cristiane e Rui Jnior, meus queridos filhos, pela

pacincia e perdo pelas horas de ausncia.

minha me, que sempre me incentivou.

Aos alunos e professores e direo do Colgio E. J.

B., meus agradecimentos.

Aos meus companheiros de turma, obrigado pelas

contribuies.

A todos os que direta ou indiretamente contriburam

para a realizao desta pesquisa.

Ns vos pedimos com insistncia No digam nunca:

Isso natural! Diante dos acontecimentos de cada dia

Numa poca em que reina a confuso Em que corre o sangue

Em que o arbtrio tem fora de lei Em que a humanidade se desumaniza

No diga nunca: Isso natural!

A fim de que nada passe por imutvel!

Bertold Brecht

RESUMO

Trata-se de uma pesquisa para verificar se os contedos de simetria so trabalhados de 5 a 8 srie na disciplina de Matemtica do Ensino Fundamental, em uma escola da rede pblica estadual, da regio Oeste do Paran, em 2004. O objetivo do trabalho fazer uma anlise documental dos registros escritos de alunos e professores, olhando para cadernos de alunos e para dirios de classe dos professores, verificando quais contedos de simetria esto presentes. Os dirios de classe da totalidade dos professores de Matemtica do Colgio Estadual Jos Bonifcio do ano de 2004 foram analisados, bem como alguns cadernos, somente dos alunos que ainda o tinham consigo. Tambm utilizamos a tcnica do grupo focal, com estes professores de Matemtica da escola investigada. O que consta que esse contedo aparece nos cadernos de alunos e dirios de classe apenas na quinta srie e sexta srie do Ensino Fundamental e de forma incipiente.

Palavras-chave: Educao Matemtica - Simetria - Cadernos de alunos - Dirios de classe - Sries Finais do Ensino Fundamental.

ABSTRACT

This is a research to verify if the symmetry contents are taught in the Mathematics course from the 5th to the 8th grade of the elementary school, in a state public school from the western of Paran. This research aims to accomplish a documental analysis of the written registers of students and teachers, observing students' notebooks and teachers' diaries, checking which symmetry contents are present. All the Colgio Estadual Jos Bonifcio, math teachers' class diaries from 2004 were analyzed, as well as the notebooks whose students still had them. It was also used the focal group technique with this teachers the Math on School investigated. What verify is that this content is present only in 5th and 6th grade class notebooks and diaries of elementary school and in an incipient way.

Key words: Mathematical Education Symmetry Students notebooks Class diaries Final Grades of Elementary School.

LISTA DE ILUSTRAES

Fig. 01 A letra R. ............................................................................................... 24 Fig. 02 Translao............................................................................................. 24 Fig. 03 ngulo. .................................................................................................. 24 Fig. 04 Usina elica de Palmas PR ................................................................ 26 Fig. 05 Rotao do nmero 3. ........................................................................... 28 Fig. 06 Rosa-dos-ventos. .................................................................................. 28 Fig. 07 Rotao do tringulo eqiltero............................................................. 29 Fig. 08 Circunferncia. ...................................................................................... 30 Fig. 09 Folha da Catharanthus roseus ............................................................ 31 Fig. 10 Trapzio ................................................................................................ 31 Fig. 11 Tringulo eqiltero............................................................................... 31 Fig. 12 Reflexo em E....................................................................................... 32 Fig. 13 Paralelogramo. ...................................................................................... 32 Fig. 14 Pegadas na areia. ................................................................................. 33 Fig. 15 Exemplos simples da arte grega ........................................................... 34 Fig. 16 Trabalhos de croch.............................................................................. 35 Fig. 17 Bordados manuais................................................................................. 35 Fig. 18 Diagrama do bordado............................................................................ 36 Fig. 19 Imagens produzidas no caleidoscpio................................................... 42 Fig. 20 Imagens produzidas no caleidoscpio II................................................ 43 Fig. 21 Desenhos em peas de cermica ......................................................... 45 Fig. 22 Cisnes ................................................................................................... 46 Fig. 23 Homem Vitruviano ................................................................................. 47 Fig. 24 Estrela-do-mar....................................................................................... 48 Fig. 25 Violeta. .................................................................................................. 48 Fig. 26 Trevo. .................................................................................................... 49 Fig. 27 Primavera. ............................................................................................. 49 Fig. 28 Bandeirinhas. ........................................................................................ 52 Fig. 29 - Questo 02 da Olimpada Brasileira de Matemtica- I ........................... 61 Fig. 30 Questo 14 da Olimpada Brasileira de Matemtica II .......................... 62 Fig. 31 Ptio do Col. Est. Jos Bonifcio. ......................................................... 66 Fig. 32 Faixa decorativa I .................................................................................. 71 Fig. 33 Faixa decorativa II ................................................................................. 72 Fig. 34 Faixa decorativa III ................................................................................ 72 Fig. 35 Recorte do caderno do aluno I ........................................................... 75 Fig. 36 Recorte do caderno do aluno II .......................................................... 76 Fig. 37 Recorte do caderno do aluno III ............................................................ 77 Fig. 38 Exerccio do livro didtico, utilizado pela escola em 2004..................... 84

SUMRIO

INTRODUO..................................................................................................... 11

1. ENSINO DE MATEMTICA, DE GEOMETRIA E DE SIMETRIA................... 15

1.1 INTRODUO ....................................................................................................................................... 15

1.2 CONSIDERAES SOBRE O ENSINO DE MATEMTICA ......................................................... 15

1.3 SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA................................................................................................ 16

1.4 DISCUSSES SOBRE O ENSINO DE SIMETRIA.......................................................................... 19

1.5 POR QUE ENSINAR SIMETRIA? ...................................................................................................... 20

1.6 SIMETRIA: MOVIMENTOS BSICOS .............................................................................................. 22 1.6.1 O MOVIMENTO DE ROTAO .................................................................................................... 26 1.6.2 O MOVIMENTO DE REFLEXO................................................................................................... 30 1.6.3 O MOVIMENTO DE TRANSLAO............................................................................................. 33

2. CONSIDERAES SOBRE SIMETRIA.......................................................... 37

2.2. A SIMETRIA PRESENTE NOS CURRCULOS ESCOLARES..................................................... 37 2.2.1 DO ESTADO DO PARAN............................................................................................................. 37 2.2.2 NO BRASIL ...................................................................................................................................... 38

2.3 REGULARIDADES PARA COMPOR O BELO ................................................................................ 40

2.4 A SIMETRIA E ALGUMAS RELAES COM AS REAS DO CONHECIMENTO: ................. 44

2.5 A SIMETRIA E SUAS POSSILIDADES............................................................................................. 50 2.5.1 USANDO A ARTE ........................................................................................................................... 50 2.5.3 USANDO OS RECURSOS TECNOLGICOS................................................................................ 54

3. OPES METODOLGICAS E RESULTADOS ............................................ 56

3.1 CARACTERIZAO DA ESCOLA .................................................................................................... 64

3.2 PROCEDIMENTOS METODOLGICOS DA PESQUISA .............................................................. 56

3.3 A ANLISE DOCUMENTAL DOS DIRIOS DE CLASSE E DOS CADERNOS DE ALUNOS66

3.4 CADERNOS DOS ALUNOS ................................................................................................................ 67 3.4.1 OS REGISTROS NOS CADERNOS DOS ALUNOS E OS CONTEDOS.................................... 69 3.4.1.1 FAIXAS DECORATIVAS............................................................................................................. 70

3.5 OS DIRIOS DE CLASSE DOS PROFESSORES .......................................................................... 78 3.5.1 NOSSAS OBSERVAES COM RELAO AOS DIRIOS DE CLASSE ................................ 78

3.6 A SIMETRIA NO LIVRO DIDTICO DE MATEMTICA ................................................................ 80 3.6.1 UM BREVE HISTRICO................................................................................................................. 81 3.6.2 LIVROS DIDTICOS UTILIZADOS PELA ESCOLA EM 2004................................................... 82

3.6.3 OS CONTEDOS DE SIMETRIA NO LIVRO DIDTICO........................................................... 83

CONSIDERAES FINAIS................................................................................. 87

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.................................................................... 92

ANEXOS .............................................................................................................. 97

11

INTRODUO

O presente estudo intitulado A Simetria nas prticas escolares, insere-se

na linha de Pesquisa de Educao Matemtica do Mestrado em Educao da

Universidade Federal do Paran.

Fazendo parte de nossa experincia profissional, em muitos momentos,

concentramos especial ateno nos contedos e no processo de

ensino/aprendizagem da Geometria. Priorizando nossas participaes em eventos

sobre este assunto, decidimos procurar a Universidade Federal do Paran para

cursar o Mestrado em Educao, rea de concentrao Educao.Cultura e

tecnologia, na linha de pesquisa da Educao Matemtica.

Decorrente de nossa formao profissional superior, no curso de Cincias

com Habilitao em Matemtica (FECIVEL-1986), e tambm pelo nosso gosto

pessoal, pelo prazer que temos ao estudar os contedos de Geometria, decidimos

neste trabalho, contemplar questes relacionadas ao estudo da Simetria.

Quando da realizao de um curso de especializao no Ensino de

Cincias Exatas: Matemtica, Fsica e Qumica (UNIOESTE-1998),

desenvolvemos uma pesquisa bibliogrfica sobre o tema em questo.

Conjuntamente desenvolvi atividades em classes de stima srie do Ensino

Fundamental, concluindo com uma monografia cujo ttulo O estudo da simetria

e sua aplicabilidade no Ensino Fundamental.

Apoiamos e orientamos a formao continuada de professores na rea de

Matemtica, da qual fazemos parte na regio Oeste do Paran, pelo

Departamento de Educao da AMOP (Associao dos municpios do oeste do

Paran), onde ns, trabalhadores da rede pblica do ensino, adquirimos

experincia e aprendizado.

Esse percurso que fizemos e o estudo, abordando a problemtica dos

contedos e encaminhamentos metodolgicos no ensino da simetria nas sries do

Ensino Fundamental contriburam de forma significativa para nossa prtica

pedaggica e tambm para nossos alunos.

Como integrantes do curso de Mestrado, como pesquisadores da Educao

Matemtica, pensamos que investigar, buscar, realimentar alternativas

12

metodolgicas seja no ensino da simetria ou de outros contedos (saberes

escolares), faz-se necessrio, pois vimos relevncia do estudo frente aos

desafios da cincia:

Estamos na entrada do novo milnio, de posse de novas vises do cosmos, do planeta e do homem. Se considerarmos que a matemtica acadmica e a educao matemtica se fundaram em vises do cosmos [medidas de tempo e movimentos celestes, astronomia] da natureza [medidas de terra, reconhecimento e delimitao do espao, cartografia, movimento e velocidade], da sociedade [mercantilismo, estatstica e probabilidade] e do homem [cognio, aprendizagem] bvio perguntar como a matemtica reage s profundas modificaes de suas bases, isto , s novas vises do cosmos, da natureza, da sociedade e do homem (DAMBRSIO, 2001 p.16).

E nesta perspectiva de mudana temos o ensino da Simetria, que nos

possibilita refletir sobre questes relacionadas sua aprendizagem. No h como

ser conservadores nos estudos tericos que buscam alternativas metodolgicas e

possveis inovaes, reflexes em torno do assunto. na expectativa de repensar

e melhorar a nossa prtica pedaggica, enquanto professores/pesquisadores

atuando na sala de aula, que nos propomos a este trabalho de pesquisa.

H formas distintas de ensinar. Mas elas devem ter como objetivo motivar o

aluno, despertar o gosto, o envolvimento. Um dos aspectos importantes da funo

da escola e principalmente o papel do professor, mediar efetiva aprendizagem

dos alunos.

A partir disso, elaboramos as seguintes perguntas de pesquisa:

1) Os contedos de simetria esto presentes em documentos como dirios

de classe e cadernos de alunos?

2) Se esto presentes, como esses contedos esto sendo abordados?

3) Se esto presentes nos currculos escolares, mas se no esto sendo

ensinados, investigar quais os determinantes de sua excluso no ensino?

Pretendemos com essa busca, observarmos o que ensinado de Simetria

nas sries finais do Ensino Fundamental, por professores, na escola, atravs da

anlise dos registros escritos de alunos e de professores do Ensino Fundamental,

em uma escola da rede pblica de ensino, analisando documentos como

anotaes de alunos em seus cadernos e dirios de classe dos professores,

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coletados ao longo do ano letivo de 2004, e ainda realizando um grupo focal, com

os professores.

Pensando assim, necessria uma base terico-metodolgica que

fortalea e que possa dar suporte para o saber/fazer em sala de aula, atravs

tambm da pesquisa bibliogrfica. Assim, outras indagaes vo se colocando: O

estudo da Simetria importante? Qual a justificativa para a sua importncia?

Os documentos oficiais nacionais e estaduais e os livros didticos mais usados

trazem o porqu, os fundamentos para o estudo da Simetria, justificando sua

importncia e necessidade?

Usando como opo metodolgica o grupo focal, realizado com os

professores de Matemtica de quinta a oitava srie do ano 2004, e tambm a

anlise documental, na qual reportamos nosso trabalho a verificar os documentos

escritos de alunos (cadernos) e professores (dirios de classe), o que est

presente sobre o contedo Simetria e, simultaneamente a isso, nos propomos a

discutir o que aparece, fazendo, portanto, uma abordagem qualitativa.

O desenvolvimento do projeto de pesquisa iniciou-se com uma anlise

documental dos cadernos de alunos e dirios de classe dos professores, a partir

dos quais foi obtida uma pequena amostra do Ensino Fundamental da rede

pblica do Paran da regio Oeste do Estado, o Colgio Estadual Jos Bonifcio,

do Municpio de Campo Bonito - Ensino Fundamental e Mdio.

O objetivo desta pesquisa verificar o que o professor desenvolve sobre o

contedo simetria, em sala de aula.

Essa amostra foi coletada no Colgio, com alunos e professores que

aceitaram disponibilizar para o pesquisador os registros documentais acima

apontados.

Cientes de que as mais diferentes pesquisas que vm sendo levantadas no

campo especfico do Ensino de Matemtica, eles tm parte na contribuio de

melhorias no ensino/aprendizagem da Matemtica e de forma muito particular, no

ensino aprendizagem da Simetria, lanamo-nos ao processo de reviso

bibliogrfica e tambm ao campo de nossa pesquisa.

Inicialmente delimitamos o problema e desenvolvemos uma reviso

bibliogrfica com os autores que trabalham com Simetria de forma ampla, para

depois fazermos um estudo que trouxesse referncia faixa de escolaridade que

14

estamos investigando (Ensino Fundamental 5 a 8 srie) e com o devido

recorte feito neste campo: A simetria nas prticas escolares.

No primeiro captulo, como resultado da pesquisa bibliogrfica,

apresentamos algumas consideraes sobre o ensino da Matemtica, da

Geometria e da Simetria. Ainda uma preocupao presente a de justificar o

ensino da Simetria presente em nossas aulas de Matemtica, tratando ainda de

algumas idias de nosso interesse, sobre a temtica. Os movimentos bsicos de

rotao, translao e reflexo tambm so tratados neste captulo.

No segundo captulo, por meio de pesquisa bibliogrfica, fazemos uma

anlise de como o assunto Simetria proposto em documentos oficiais,

Parmetros Curriculares Nacionais e Currculo Bsico para a Escola Pblica do

Paran. Consideraes sobre o belo, trazendo um aspecto da Matemtica, que

ainda necessita ser conhecido para que possa ser desenvolvido. E ainda,

mostrando a relao da Matemtica com as outras reas do conhecimento, como

a Arqueologia, a Fsica, a Biologia, a Arte, e a Antropologia. Trazemos tambm

contribuies sobre o uso dos recursos tecnolgicos nas aulas de Matemtica.

No terceiro captulo, por meio da anlise documental e dos depoimentos

obtidos no grupo focal realizado, apresentamos a anlise dos dados fornecidos

por esses procedimentos metodolgicos. Apresentamos um histrico sobre a

Escola onde ocorreu a pesquisa, os depoimentos obtidos na realizao do grupo

focal com os professores e um olhar para registros dos cadernos dos alunos e dos

dirios de classe dos professores, do ano 2004,da disciplina de Matemtica.

Juntamente com a descrio do caminho metodolgico, as observaes e

constataes realizadas no decorrer do trabalho, um olhar breve sobre os livros

didticos utilizados pela escola, no ano de 2004.

Traamos para complementar nosso trabalho de pesquisa, as

consideraes finais, onde buscamos responder problemtica levantada

inicialmente, e apresentarmos ainda alguns indcios de futuras pesquisas que

podero dar continuidade pesquisa iniciada nesta investigao.

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CAPTULO I

1. ENSINO DE MATEMTICA, DE GEOMETRIA E DE SIMETRIA.

1.1 INTRODUO

Descreveremos, aqui, algumas idias sobre Ensino da Educao

Matemtica e, mais sucintamente, sobre o ensino da Geometria e, de forma

particular, sobre a Simetria, abordando os movimentos de rotao, reflexo e

translao, chamados bsicos, que nos interessam de maneira especial, neste

momento, e ainda aspectos que possibilitem justificar a insero do contedo

simetria nos currculos escolares.

1.2 CONSIDERAES SOBRE O ENSINO DE MATEMTICA

Trabalhando h muito tempo na formao de professores e tambm

atuando junto a alunos do Ensino Fundamental da rede pblica, constatamos

algumas dificuldades dos mesmos no ensino/aprendizagem da Matemtica, de

uma forma geral, e mais especificamente no ensino/aprendizagem da Geometria.

Reclamaes constantes da comunidade escolar professores/alunos sobre a

aprendizagem e o encaminhamento de situaes vivenciadas em sala de aula,

alm de outras dificuldades por ns encontradas como as relacionadas aos

contedos especficos de Geometria, a falta desses contedos na sua formao

superior, os recursos bibliogrficos no disponveis ou insuficientes, entre outros.

Ouvimos, no nosso dia a dia de trabalho, comentrios constantes como:

Eles no sabem ouvir....

Eu explico, explico e eles no entendem....

Meu filho no aprende essa parte, no sei por que....

Eu no sei, a professora fica explicando coisas que eu no sei onde vou

usar....

Questionamos alunos, sobre o que eles estavam estudando e aprendendo

na disciplina de Matemtica. Em geral, obtivemos as mesmas respostas:

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Ah! um negcio... Como mesmo o nome? No lembro....

uma coisa assim....

Essas respostas colocadas desta forma nos levam a refletir sobre a nossa

prtica pedaggica. Possivelmente se os alunos nem mesmo sabem o assunto

que esto estudando, o que poderemos dizer ento de seu aprendizado? No

estar este seriamente comprometido? So dvidas que temos e que certamente

demandariam pesquisas, pois esta uma pergunta para a qual to rapidamente

no obteremos resposta.

na tentativa de buscar caminhos para responder ou atenuar possveis

dificuldades do ensino da simetria que realizamos esta pesquisa. Faremos uma

tentativa de aproximao da resposta no desenrolar de nossa pesquisa, a

exemplo de outras tantas questes colocadas no decorrer deste trabalho, no que

tange ao ensino da Geometria.

1.3 SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA

Historicamente, encontramos na Grcia a grande sistematizao do

conhecimento geomtrico. Segundo Machado (1999 p.48): apenas na Grcia, por

volta do sculo III aC., com os trabalhos de Euclides, a Geometria logrou uma

notvel sistematizao, tornando-se modelo de organizao do conhecimento em

quase todas as reas.

A Geometria uma parte da cincia Matemtica que poderia ser mais

explorada no Ensino Fundamental. A Geometria oportuniza que trabalhemos de

maneira mais dinmica, em movimento. Uma dos aspectos do trabalho

pedaggico pode ser o uso do material manipulativo, possibilitando estimular

assim o desenvolvimento do pensamento geomtrico. Quando nos propomos a

trabalhar, neste nvel de ensino, com alguns conceitos, enfocando a Simetria, o

leque de possibilidades se abre.

No Brasil, a educao comea a sofrer mudanas apenas em 1930,

quando foi criado o Ministrio de Educao e Sade Pblica. E em 1931, o

governo provisrio sanciona decretos que organizam o ensino no nvel secundrio

e em algumas universidades brasileiras existentes, como exemplo a UFPR criada

em 1912. Na histria da educao brasileira estes decretos so chamados de

17

Reforma Francisco Campos. E neste mesmo ano, a Portaria Ministerial n.

19.890 de 30 de junho, apresentava programas do curso fundamental do ensino

secundrio.

pertinente a lembrana das idias do professor Euclides Roxo, do Colgio

D. Pedro II, professor catedrtico de Matemtica nesse Colgio e maior

responsvel pela elaborao da proposta modernizadora brasileira, baseado em

argumentos utilizados por nomes de valor indiscutvel, especialmente Felix Klein

(Miorim, 1998). E as preocupaes de Euclides Roxo, entre as quais unificao

do curso em uma disciplina nica sob a denominao de matemtica (Miorim,

1998), constaram da Reforma:

As preocupaes demonstradas pelo ministro Campos, especialmente com relao modernizao dos contedos e mtodos do ensino secundrio, compatibilizavam-se com a proposta de modernizao do ensino de Matemtica apresentada por Euclides Roxo, adotada integralmente pela Reforma (MIORIM, 1998, p. 94).

Os programas traziam tambm as consideraes pedaggicas, alm do

que a proposta consistia numa nova concepo, mais moderna, dos contedos de

Matemtica, preocupando-se com aspectos metodolgicos do seu ensino, trazia

ainda uma lista de conceitos a serem trabalhados nas sries e mais uma

possibilidade de articular vrios campos. O ensino da lgebra, da aritmtica, da

geometria era feito separadamente, passando com a reforma, a compor uma

disciplina nica, chamada de matemtica.

Depois, de acordo com Miorim (1998):

Na parte relativa Geometria, percebe-se uma clara preocupao em introduzir os raciocnios lgicos apenas aps um trabalho inicial que familiarize o aluno com as noes bsicas presentes nas figuras geomtricas, quer em sua posio fixa, quer atravs de seus movimentos. Com respeito a este ltimo aspecto, enfatizava-se a importncia de serem examinadas as noes de simetria axial central, de rotao e de translao (p. 97).

Tendo isso em vista, propomos um trabalho de pesquisa que busque

atenuar algumas inquietaes e angstias que, com certeza, foram e ainda so as

mesmas de muitos, em diferentes pocas. Como diz Klein, A modernizao do

ensino da geometria, isto liberao do rgido mtodo de Euclides, comeou na

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Frana muito cedo, cerca de 1550 (Miorim, 1998, p. 40). Longo o caminho a ser

percorrido at que se concretize uma proposta pedaggica efetiva no ensino da

Geometria. necessrio que a Geometria avance no espao pedaggico da sala

de aula, derrubando uma muralha invisvel que separa, impossibilitando s vezes,

que o processo ensino/aprendizagem ocorra.

Mas apesar da reforma, temos que mais tarde, nas dcadas de 60 a 80, o

ensino da Geometria de forma geral foi deixado de lado. Segundo Lorenzato, Por

que no ensinar Geometria? A Educao Matemtica em Revista. SBEM-n 04-1 semestre de 1995, que trata da omisso geomtrica, confirma o fato acima citado:

No Brasil, j fomos mais alm: a Geometria est ausente ou quase ausente da sala de aula. Vrios trabalhos de pesquisadores brasileiros, entre eles Peres (1991) e Pavanelo (1993), confirmam essa lamentvel realidade educacional. E por que essa omisso? So inmeras as causas, porm, duas delas esto atuando forte e diretamente em sala de aula: a primeira que muitos professores no detm os conhecimentos geomtricos necessrios para a realizao de suas prticas pedaggicas. ... A segunda causa da omisso geomtrica deve-se exagerada importncia que, entre ns, desempenha o livro didtico, quer devido m formao de nossos professores, quer devido estafante jornada de trabalho a que esto submetidos (LORENZATO, 1995, p.3-4).

O que pode ser ainda um dos motivos pelos qual a Geometria no era

ensinada que ficava na parte final do livro texto (Lorenzato, 1993), logo a falta

de tempo dentro do perodo letivo era um dos empecilhos, tambm.

Hoje, propostas curriculares estaduais e nacionais vm sendo construdas,

de diferentes formas, trazendo tona a discusso de contedos escolares que

devem ser trabalhados, como esse rol de contedos deve constar nas propostas,

e trazendo ainda discusses sobre a utilidade dos mesmos.

No interior das escolas, as discusses acerca de o qu trabalhar, fazem-

se presentes, s vezes causando discusso e gerando certa lacuna nas nossas

prticas pedaggicas.

O ensino da Geometria um dos temas que vm sendo muito discutidos

pelos educadores matemticos. Buscando alternativas e tentando contribuir com

seu ensino de forma significativa, pensando na formao continuada de

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professores, temos muitas publicaes em peridicos e livros resultados de

pesquisas que vm se destacando de forma singular na Educao Matemtica. medida que surgem propostas no sentido de contribuir para superar

lacunas existentes no ensino da Geometria observamos os avanos no ensino da

mesma e, no seu interior, a valorizao do assunto Simetria.

1.4 DISCUSSES SOBRE O ENSINO DE SIMETRIA

A Simetria no um nmero ou uma frmula, uma propriedade das

figuras, uma transformao. Ou seja, o resultado de uma regra, de um

movimento de acordo com esta regra. A simetria preserva a forma. Conserva

caractersticas tais como ngulos, comprimento dos lados, distncias, tipos e

tamanhos, mas altera a posio do objeto desenhado.

Segundo Weyl (1997), em relao aos conhecimentos especficos de

Simetria, podemos dizer que os sumrios, povo que viveu na antigidade, 4000

aC., parecem ter sido os que de forma particular se interessaram pela simetria

bilateral. Esta a simetria do corpo da maioria dos animais. Ainda destaca-se a

simetria na Botnica, nas folhas, nos galhos de rvores, flores entre outros.

Complementando com o que diz Weyl (1997): O sentido da simetria a

idia pela qual o homem tem tentado compreender e criar a ordem, a beleza, e a

perfeio atravs dos tempos (p.17). Podemos considerar a simetria como

sinnimo de proporo, beleza e perfeio, pelo efeito visual que ela oferece e

mais pelas criaes artsticas do homem, a observao atenta da natureza e

aliada a isso como resultado das suas necessidades ao longo de sua histria.

A regularidade o resultado do trabalho criativo do Homem e no o seu pressuposto. So vantagens prticas, realmente existentes, da forma regular descoberta que conduzem a conscincia crescente dessa ordem e regularidade. As mesmas vantagens estimulam comparao com outros resultados de trabalho e com fenmenos naturais. A regularidade do produto de trabalho simplifica a sua reproduo e assim se refora a conscincia da sua forma e o interesse por ela. Com a crescente conscincia e interesse forma-se, simultaneamente, uma valorizao positiva da forma descoberta: a forma tambm aplicada onde ela no necessria; ela sentida e apreciada como bela (GERDES, 1992, p.100).

Fica o questionamento:

20

O que estamos fazendo com o ensino da Simetria mais especificamente? O

que seu ensino/aprendizado possibilita? O que de Simetria vem sendo ensinado

em nossas escolas?

A problemtica que envolve o processo de ensino da Simetria, de forma

geral, mostra-nos que ainda temos questes de reflexo e pesquisa como:

Quando comear seu ensino? Que concepo adotar? Qual a forma mais

significativa e adequada? Quais sero nesse processo, as dificuldades a serem

consideradas? Essas so questes prementes frente aos desafios que o trabalho

pedaggico nos coloca no momento.

Deparando-nos com o ensino da Simetria nas sries do Ensino

Fundamental, podemos considerar que no ensino da Matemtica de forma geral,

tratamos da regularidade, ou seja, de pesquisar e conhecer aquilo que sempre

acontece e se repete, atravs de um giro, um deslocamento ou uma troca.

Faremos, a seguir, uma tentativa de justificar a insero da Simetria nos currculos

escolares.

1.5 POR QUE ENSINAR SIMETRIA?

Mas, por que ensinar simetria em nossas aulas de Matemtica?

Elaborar uma justificativa para assuntos que ensinamos em nossas salas

de aula, e mais ainda, de contedos de Matemtica, no um exerccio simples.

Mas, ousaremos assim mesmo. Est uma tentativa de justificar o objeto da

pesquisa.

Este exerccio exige que repensemos entre outros assuntos, sobre a nossa

prtica pedaggica. Depende muito, e isso prprio de cada pesquisador, como

ele ensina e como concebe a sua prpria rea do conhecimento. Este um

exerccio necessrio para a atuao em sala de aula.

A elaborao de um por que ao estudar Simetria nos remete ao que est

acontecendo nas salas de aula do Ensino Fundamental. A justificativa do processo

traz tona discusses mais amplas, pois no s a justificativa que garantir o

processo ensino/aprendizagem.

A aprendizagem acontece s vezes independente das intervenes

pedaggicas do professor, sobre o assunto.

21

Um importante caminho a ser traado de que a escola oferea aos

nossos educandos um programa no esttico, tomando a cincia, e neste

contexto as cincias Matemticas, voltadas aos problemas da atualidade, e

tambm que seja de interesse dos alunos, entre outros.

Sobre o porqu justificar o ensino de determinado contedo, DAMBRSIO

(1996) nos diz que:

Um bom exerccio para o docente preparar uma justificativa para cada um dos tpicos do programa - mas no vale dar justificativas internalistas, isto , do tipo progresses so importantes para entender logaritmos. Pede - se justificativas contextualizadas ao mundo de hoje e do futuro (p. 32).

O que nos propomos elaborar um enfoque relacionado com o momento

atual, mas no apenas com o que til e aplicvel.

Completamos com:

O estudo da Geometria ajuda os alunos a representar e a dar significado ao mundo. A simetria, por exemplo, proporciona oportunidades para os alunos visualizarem a geometria no mundo da arte ou na natureza. Neste domnio, a explorao de conceitos e padres geomtricos pode criar situaes muito interessantes para os alunos (ESTUDOS COMPLEMENTARES-AVA 2000: anlise da resoluo de questes de matemtica. p. 44).

O desenvolvimento de um projeto de pesquisa, em Educao Matemtica,

com o tema Simetria, olhando para anotaes de alunos e professores de

Matemtica do Ensino Fundamental, justifica-se por:

1) uma razo Matemtica: a busca da regularidade, os padres que se

repetem a essncia do conhecimento matemtico;

2) Estar presente no SAEB (Sistema Nacional de Avaliao da Educao

Bsica), com questes a serem verificadas no aprendizado dos alunos, relativas

ao tema;

3) Faz-se presente em outras reas do conhecimento como Biologia,

Arqueologia, Artes, Fsica, estabelecendo inter-relaes dessas reas com a

Matemtica;

22

4) Dentro da prpria disciplina, existem conexes entre os contedos e

poderamos citar muitos exemplos, um deles nas retas numeradas, os nmeros

inteiros;

5) Constar nos Documentos Oficiais, propostas curriculares, do Brasil e do

Estado do Paran, como parte integrante do currculo, o contedo de simetria, a

ser desenvolvido nas sries Finais do Ensino Fundamental;

6) uma das partes da Geometria, onde o belo, a harmonia na Matemtica

pode ser facilmente trabalhada;

7) Faz parte dos trabalhos, e conseqentemente da cultura de alguns

povos, como, por exemplo, os povos indgenas, mais especificamente atravs de

seu artesanato;

8) Podemos ter contato, virtualmente inclusive, em publicaes de livros e

peridicos, trabalhos de exposies permanentes, entre outros;

9) Ainda alguns livros didticos, que na sua maioria significam o apoio ao

trabalho dos professores, contemplam em seus contedos a Simetria.

Mais especificamente tratando do ensino da Simetria, temos distintas

possibilidades de um encaminhamento metodolgico para conduzir nossas

atividades de sala de aula com aprendizagem mais efetiva. Traaremos um

panorama dos conceitos sobre os movimentos bsicos em simetria: rotao,

reflexo e translao.

1.6 SIMETRIA: MOVIMENTOS BSICOS

Preocupa-nos o fato de que os contedos de Geometria, enfocando a

simetria, so trabalhados s vezes de forma muito superficial, mostrando no

ensino da simetria apenas um de seus movimentos, que a simetria reflexional,

sendo deixados de lado os movimentos, como translao e rotao e a

combinao dos mesmos, de uma forma geral.

Weyl (1997) em seu livro, publicado originariamente em 1952 sob o ttulo

Symmetry, nas pginas iniciais discute o uso da palavra simetria, na linguagem

coloquial, com dois significados diferentes. A beleza envolta pela simetria e a idia

de que simetria denota aquele tipo de concordncia em que vrias partes de algo

23

se integram em uma unidade. E em segundo lugar a idia de que a palavra

simetria pode nos conduzir imagem de uma balana: simetria bilateral.

A simetria, como comumente chamada, vem sendo denominada

recentemente de Geometria das Transformaes e, segundo Crowe e Thompson

(1994), seria o estudo da translao, rotao e reflexo, que so movimentos

rgidos, que fazem as figuras apenas mudarem de posio.

Em sua dissertao de mestrado em Educao Matemtica, Mabuchi

(2000) tambm usa o termo Geometria das Transformaes e inclui alm dos

movimentos rgidos, a homotetia.

Carvalho (1992) classifica as transformaes em transformaes

isomtricas, transformaes topolgicas e transformaes projetivas. As

transformaes isomtricas se dividem em translaes e simetrias (reflexo e

rotao) e as ampliaes e redues se incluem como transformaes projetivas e

nas transformaes topolgicas no tm divises.

Rohde (1982) considera a reflexo:

Simetria de reflexo a simetria bilateral obtida colocando-se um objeto diante de um espelho e considerando-se a forma e sua imagem [...]. Um objeto, ente ou forma que possui simetria de reflexo tem um plano imaginrio que o divide em duas partes idnticas, de natureza especular (enantiomorfas). p.20

Rohde chama de operaes de simetria os movimentos e os classifica

como operaes simples e combinadas. Uma operao combinada a que possui

as propriedades reunidas de duas ou mais operaes simples (p.16). Sendo

operaes simples: translao, dilatao, inverso, rotao reflexo. E operaes

combinadas: inverso rotatria, reflexo rotatria, rotao deslizante, reflexo

deslizante, dilatao deslizante, dilatao rotatria, reflexo dilatatria, rotao

deslizante dilatatria, reflexo dilatatria deslizante e reflexo rotatria dilatatria.

Lopes e Nasser (1996) chamam isometrias de reflexo, rotao e

translao, e a homotetia como podendo ser usada no ensino da semelhana, e

definem os movimentos de reflexo, translao e rotao dessa forma:

reflexo: Uma figura uma reflexo de outra se:

(I) a linha que une cada par de pontos correspondentes perpendicular ao eixo de simetria.

24

(II) dois pontos correspondentes esto mesma distncia (perpendicular) do eixo de simetria, em lados opostos (LOPES; NASSER, 1996, p.102).

Fig. 01 A letra R.

Conceituam o movimento de translao como sendo: uma transformao

em que a figura se desloca paralelamente a uma reta. Isto , todos os pontos da

figura so deslocados numa mesma direo (retilnea) com a mesma distncia.

Fig. 02 Translao. http://www.prof2000.pt/users/edveloso/paginas/chat/matdez10figu/frisos01b.gif

O movimento de rotao assim tratado por eles: rotao: Uma rotao de centro O e um ngulo uma transformao em que a imagem obtida girando-se cada ponto da figura segundo um arco de circunferncia de centro O, percorrendo um ngulo (no sentido horrio ou anti-horrio (LOPES; NASSER, 1996. p.115).

Fig. 03 ngulo. http://www.atractor.pt/simetria/matematica/caixas/jpg/rotacao.jpg

25

Em Mega (2001): temos que a palavra (transformao), em sua acepo popular, refere-se a algo que muda suas caractersticas, mas que permanece

intrinsecamente a mesma coisa ou que conserva o seu substrato (p.10).

Mega (2001) diz que temos quatro, aos quais ele denomina bsicos, de

transformaes isomtricas, que so: a translao, a reflexo, a reflexo com

deslizamento e a rotao. Na sua dissertao de mestrado, cujo ttulo

Ensino/Aprendizagem da rotao na 5 srie: um estudo comparativo em relao

ao material utilizado, o autor pesquisa somente a rotao, e faz um estudo

comparativo entre dois grupos, usando diferentes materiais alternativos,

desenvolvendo atividades sobre rotao. Realizando ainda um pr e um ps

teste, conclui que analisando os resultados obtidos nas atividades e no ps-teste

existe forte influncia do material utilizado no desempenho dos alunos, varivel de

acordo com a natureza da atividade; e que os materiais utilizados pelos dois

grupos de testagem serviram para ampliar as experincias dos alunos, e ainda

auxiliaram na compreenso do conceito de rotao.

O autor acima citado, em sua pesquisa, considera que o movimento de

rotao deve ser o primeiro dos movimentos apresentados s crianas, pela

familiaridade que as crianas tm com o mesmo na sua vida diria, nas

brincadeiras, sendo o giro j vivenciado por eles.

Ainda, em Mega 2001, encontramos a indicao ao leitor que esteja

querendo compreender as transformaes isomtricas que Flix Klein, um dos

mais importantes matemticos do final do sculo XIX, que deu grande impulso

matemtica em seu Erlangen Programm (1872), cujo trabalho amplo e se

constitui num princpio unificador de quase todas as geometrias.

Miorim (1998) destaca:

o seu famoso Programa de Erlangen, de 1872, em que apresentou toda a geometria como o estudo das propriedades das figuras que permanecem invariantes sob um particular grupo de transformaes serviu como fonte de inspirao no apenas para os seus futuros trabalhos, mas tambm para futuras pesquisas de muitos outros matemticos(p.65).

Cada um dos movimentos produz um tipo diferente de transformao que

conhecemos com o nome de rotao, reflexo e translao, que comumente

26

podemos associar s respectivas denominaes como giros, trocas,

deslizamentos.

1.6.1 O MOVIMENTO DE ROTAO

Parques de diverses possuem alguns brinquedos que nos do idia do

movimento de rotao. Por exemplo, a roda gigante, o chapu mexicano, mesmo

manobras radicais de skate. A explorao do seu prprio corpo das crianas,

fazendo uso de brincadeiras de roda entre outros, mostrando tambm o aspecto

ldico, como uma possibilidade didtica. Nas mais simples brincadeiras de roda,

as crianas perfazem um movimento, um giro, conhecido como rotao. Outros

exemplos como os ventiladores, os ponteiros do relgio que seguem uma rotao

contnua e uniforme e ainda o movimento da Terra ao redor do Sol e em torno de

si mesma, ajudam a dar a idia do movimento. Para melhor visualizao trazemos

uma foto das hlices da usina elica de Palmas - PR:

Fig. 04 Usina elica de Palmas PR

Foto da autora.

Desde a Educao Infantil, na escola, deve-se desenvolver um trabalho

que possibilite as crianas alimentar a idia do giro, ou do movimento da

rotao. Comea tambm o trabalho exploratrio sobre ngulos, fazendo

27

experincias, movimentos, giros de uma volta, meia volta, trajetrias que

possibilitem a elaborao de conceitos menos estticos e abrangentes no

aprendizado das noes iniciais e fundamentais sobre ngulos.

Ainda a percepo espacial nas atividades exploratrias com as letras do

alfabeto, como as abaixo listadas, mostrando o seu movimento.

Inicialmente, mostrando a simetria reflexional. Observando que a imagem

do objeto, neste caso a letra, refletida em um espelho plano, que forma a outra

letra. esse nosso objetivo: que as crianas compreendam que duas figuras so

iguais, ou seja, so congruentes, se uma for a imagem da outra. Sendo que essa

imagem pode ser por deslizamento, giro ou troca, melhor explicitando, por

translao, rotao ou reflexo. E a contradio acontece, pois mostramos para a

criana na alfabetizao que b, p, q, d so diferentes.

No momento em que escrevemos essas letras nesse texto, traamos

somente o b, e usando os comandos existentes na tela do computador como girar

para a direita, girar para a esquerda, ou mesmo girar livremente, traamos as

outras letras, como p, q, d.

Tratando dos movimentos, podemos pensar na rotao dos smbolos

numricos, ou seja, dos movimentos que podemos apresentar com esses

algarismos e como conseqncia o que se originam a partir desses movimentos.

Ao fazermos o giro ou a troca, como temos no quadro a seguir, podemos compor

desenhos ou outros smbolos muito diferentes.

28

possvel explorar os smbolos numricos e com isso podemos mostrar a rotao dos smbolos, como o caso do algarismo trs:

Fig. 0

A rotao um moviment nto chamado centro

de rotao. Na figura abaixo, ao

figura no se altera.

Fig 5 Rotao do nmero 3.

o, um giro em torno de um po realizarmos uma rotao de 90, por exemplo, a

. 06 Rosa-dos-ventos.

29

A medida do giro o ngulo de rotao. O nmero de graus que o objeto

girou determina o tamanho da rotao.

O movimento de rotao de algumas figuras geomtricas planas possibilita

a construo de polgonos regulares. Com a rotao de tringulos eqilteros

possvel construir polgonos regulares. Tomemos um tringulo eqiltero ABC, e

fixemos um de seus vrtices. No primeiro movimento, o segmento AB coincidir

com AC, e assim por diante, fazendo assim uma rotao, com contornos

sucessivos,

O

A B

Fig. 07 Rotao do tringulo eqiltero.

Realizando todas as rotaes em torno do eixo O, obteremos um polgono

denominado hexgono, e observamos que a rotao foi de 60 graus. Essa uma

das possibilidades para construirmos um hexgono dito regular, com os seus

lados congruentes.

Seria possvel construir um polgono de 18 lados, usando a rotao de um

tringulo? Se a resposta for positiva, qual medida ter cada um dos ngulos

internos do tringulo? So perguntas que podem originar trocas de idias e

debates para a soluo dos problemas.

Os polgonos, de forma geral, possuem estruturas rotacionais que esto

relacionadas com o nmero de lados que possuem.

Na maioria dos carros, as rodas tm cinco furos que so encaixados com

pinos. A roda tem simetria rotacional de 72, o que na troca de pneus ajuda

30

bastante. Em Mega (2001), temos um bom exemplo nos parafusos chamados

sextavados, ou seja, que tm a base em forma de um hexgono, usado em peas

de mecnicas de automveis e outros. Ele mais confortvel de ser apertado ou

desapertado, pois exige apenas giros de 60, ou seja, movimentos mais curtos do

brao, Esta uma boa aplicao do aproveitamento rotacional do hexgono,

auxiliando assim, as pessoas que trabalham neste servio.

Do giro de uma semi-reta obtemos pontos eqidistantes que determinam

uma circunferncia de raio r e que segundo Weyl (p.17), foi considerada pelos

pitagricos como a mais perfeita figura geomtrica plana.

r

Fig. 08 Circunferncia.

Com o movimento de rotao de algumas figuras planas em torno de um

eixo, obteremos a formao de alguns slidos geomtricos no espao. Por

exemplo, com a rotao de um retngulo em torno de seu eixo, obteremos o

cilindro. E da rotao de um tringulo, o cone.

E buscando definir o movimento de rotao citamos:

rotao de um certo ngulo em torno de um eixo perpendicular, digamos 30, que leva cada ponto p do espao a um ponto p, definindo assim o mapeamento. Uma figura tem simetria rotacional em torno do eixo I se trouxer em si mesma todas as rotaes em torno de I (WEYL, 1997, p.17).

1.6.2 O MOVIMENTO DE REFLEXO

Ao dobrarmos uma figura sobre uma linha, e esta coincidir com outra parte

da figura, as peas tm simetria bilateral, tambm chamada axial ou reflexional.

31

Uma das peas o reflexo da outra, como se usssemos o espelho. Podemos

observar nas folhas.

Fig. 09 Folha da Catharanthus roseus

http://s92141478.onlinehome.us/porcaseparafusos/imagem/folha.jpg A reflexo ocorre atravs de uma reta que denominamos eixo de simetria.

Eixo de simetria Fig. 10 Trapzio

Na figura 10, o trapzio tem um eixo de simetria, se traamos a reta no

sentido vertical. Se a reta for traada no sentido horizontal, no obteremos

nenhum eixo de simetria.

Uma figura pode ter vrios eixos de simetria, ou nenhum. No segundo caso,

dizemos que ela no possui simetria reflexional.

Vejamos o exemplo que segue: B A C

Fig. 11 Tringulo eqiltero

32

Tomando um tringulo eqiltero qualquer ABC e traando a sua altura,

segmento perpendicular base, obteremos uma linha. Ao dobrarmos exatamente

nesta linha, parte da figura se sobrepor outra. A essa linha damos o nome de

eixo de simetria ou simetria de reflexo, pois Weyl (1997) considera que:

um corpo ou uma configurao espacial simtrica com relao a um dado plano E,se possuir em si tambm sua prpria reflexo E. Tome, por exemplo, qualquer ponto p pertencente a uma reta l perpendicular ao plano E:deve existir ento um,e somente um,ponto p tambm em l que possui a mesma distncia de E, mas que est do outro lado do espao. O ponto p` somente coincide com p, se p estiver no plano E(p.16).

P P

E

Fig. 12 Reflexo em E

A reflexo em E o mapeamento do espao sobre si prprio, S:p p` que

leva um ponto arbitrrio p a sua imagem especular p com respeito a E.

Um contra exemplo seria o paralelogramo abaixo que no possui um

mapeamento do espao sobre si prprio, como nos diz o autor acima (p.16).

Podemos dizer que esse paralelogramo tem outros movimentos como rotao e

a translao, mas no possui eixos de simetria.

Fig. 13 Paralelogramo.

Explicando de forma simples para as crianas podemos dizer que ao

desenharmos sobre o papel transparente esse paralelogramo e depois dobrarmos,

33

as partes no se sobrepem. Usando o papel vegetal ou mesmo transparncias,

podemos desenhar figuras e partindo dessas observaes, possvel fazer

algumas discusses interessantes com as crianas.

Podemos classificar as figuras geomtricas planas de acordo com os eixos

de simetria. Algumas figuras geomtricas possuem mais de um eixo de simetria.

Outras no possuem nenhum eixo de simetria. Porm, todos os polgonos

regulares apresentam estrutura simtrica, portanto so figuras simtricas, sempre

apresentam o nmero de eixos de simetria igual ao nmero de lados. Lembrando

que a classificao dos polgonos se d normalmente pela medida dos lados e

dos ngulos, dificilmente pelo eixo de simetria.

1.6.3 O MOVIMENTO DE TRANSLAO

As formas mais simples de congruncias so as translaes (WEYL, 1997,

p.54).

As translaes so transformaes que fazem as figuras deslizarem ao

longo de uma direo, a uma distncia d. De acordo com Rodhe (1980, p.16), nesta simetria surgem dois elementos: o comprimento de translao e a repetio

da forma.

Um exemplo simples de translao podem ser as pegadas na areia, aonde

as pegadas vo formando como que um carimbo e se repetindo ao longo da

faixa,mantendo entre si uma distncia constante.

Fig. 14 Pegadas na areia. http://www.hawaiiparadise.us/images/footsteps.jpg

34

Tambm podemos observar a faixa de ornamentos, exemplos simples de

arte grega a seguir que nos mostram o deslocamento do chamado mdulo ou

motivo, em sua extenso.

Fig. 15 Exemplos simples da arte grega Weyl, 1997, p.59.

Segundo Weyl (1997):

as faixas de ornamentos consistem realmente em uma tira bidimensional em torno de uma linha central e assim tem uma segunda dimenso transversal. Desse modo pode ter simetrias adicionais. O padro pode ser levado a si mesmo pela reflexo na linha central l ; vamos distingui-la como reflexo longitudinal da reflexo transversal em uma linha perpendicular a l. Ou o padro pode ser levado a si mesmo por uma reflexo longitudinal combinada com a translao de a (reflexo desliza longitudinal) (p. 60-61).

Esse autor (1997) considera que nos vegetais, o aparecimento da simetria

translacional tanto freqente quanto a simetria bilateral dos animais. Na msica,

o princpio musical do ritmo a repetio unidimensional do tempo em intervalos

iguais (p.62).

Em muitos trabalhos manuais e artesanais o movimento de translao se

faz presente, como por exemplo, nas amostras/trabalhos de croch (fig.16), e nos

35

bordados (fig.17 e fig.18), entre outros, em que os motivos se repetem ao longo do

trabalho, mostrando o movimento de translao.

Fig. 16 Trabalhos de croch Fonte: Revista Croch dos Aores p.5

Fig. 17 Bordados manuais Fonte: Revista Agulha de Ouro. p. 46

36

Fig. 18 Diagrama do bordado Fonte: Revista Agulha de Ouro p. 49

Neste diagrama do bordado (fig.18) temos um molde, destacado na figura,

onde seu principal movimento a rotao, em torno de um ponto. Por

deslizamento, formando um motivo que se repete ao longo do desenho, num

movimento de translao, temos o diagrama de todo bordado.

Esses so os movimentos bsicos na simetria: a rotao, a reflexo e a

translao. Como parte dos contedos escolares, eles constam nos documentos

oficiais do Estado e do Pas, e esto presentes nas discusses sobre os

contedos no ensino da Matemtica.

Os movimentos de reflexo, rotao e translao podem ser amplamente

desenvolvidos em sala de aula. Esto presentes nosso cotidiano e nos ajudam a

entender melhor a Geometria.

37

CAPTULO II

2. CONSIDERAES SOBRE SIMETRIA

Melhorias vm sendo incorporadas no ensino da Matemtica, em distintos

espaos geogrficos e de variadas formas. Em nosso Pas, e em nosso Estado de

forma particular, surgiram propostas. Propostas estas que trazem em torno de si

novas idias e outras ainda vm incrementando o que j vem sendo realizado.

Com isso, algumas propostas curriculares vm sendo construdas, e

paulatinamente incorporadas pela comunidade escolar.

O objetivo deste captulo abordar, de forma sucinta, algumas propostas

curriculares que no Estado do Paran e no Brasil, nas ltimas duas dcadas,

foram elaboradas, e que no seu interior contemplam, entre outros, o contedo de

simetria.

2.1A SIMETRIA PRESENTE NOS CURRCULOS ESCOLARES 2.1.1 DO ESTADO DO PARAN

Na dcada de 80, no Estado do Paran, houve a preocupao de

elaborao de uma proposta curricular, que culminou na elaborao de um

documento intitulado: Currculo Bsico para a Escola Pblica do Estado do

Paran.

Pesquisando neste documento, observamos que na disciplina de

Matemtica (p. 63-80), o assunto simetria no se faz presente, com nenhum dos

termos citados no captulo anterior.

Encontramos na disciplina de Educao Artstica, na 8 srie, a proposio

de um breve trabalho para o ensino da simetria, com os seguintes destaques:

A. LEITURA DAS QUALIDADES PLSTICAS DOS OBJETOS E DA REALIDADE 1. Anlise do modo de relao dos homens com os objetos e a realidade. Qualidades Plsticas da Forma e do Espao em relao posio:

38

- simetria, - assimetria (p. 157).

Passados quase 20 anos, h ressurgimento de uma proposta que vem

sendo discutida no Estado do Paran, e, que foi recentemente publicada como

verso preliminar das Diretrizes Curriculares para a Escola Pblica do Paran -

Ensino Fundamental. No corpo deste texto no constam os contedos

programticos das disciplinas nas referidas sries ficando assim implcito no texto

que os contedos programticos devero fazer parte da proposta pedaggica de

cada escola. Mas no mbito da rede estadual esses documentos preliminares

ainda esto sendo discutidos.

2.1.2 NO BRASIL

No Brasil, na dcada de 90, teve incio a escrita e a divulgao dos

Parmetros Curriculares Nacionais.

Os PCNs, documentos que como o prprio nome j diz so apenas

parmetros, nos apresentam princpios norteadores de um trabalho pedaggico

para o Brasil.

Como conseqncia da discusso na construo dos parmetros, os

contedos propostos neste documento trouxeram algumas inovaes.

As mudanas comeam com a denominao do documento de parmetros.

O estudo da Geometria ficou no bloco denominado de Espao e Forma.

Os PCNs, neste bloco, tratam a simetria como transformao (reflexo,

translao e rotao) e a congruncia de figuras planas (isometrias), tratando a

noo de semelhana das figuras planas, chamando-as de homotetias (p. 86).

Pesquisando os PCN's, encontramos que Simetria um dos contedos a

serem trabalhados no Ensino Fundamental. Consta nos Contedos de Matemtica

para o Primeiro Ciclo, e para o bloco Espao e Forma no volume trs:

observao de formas geomtricas presentes em elementos naturais e nos objetos criados pelo homem e de suas caractersticas: arredondadas ou no, simtricas ou no, etc., (p.73).

Para o segundo ciclo, os contedos de Matemtica em Espao e Forma

so: Identificao da simetria em figuras tridimensionais. [...]. Identificao de

39

semelhanas e diferenas entre polgonos, usando critrios como nmero de

lados, nmero de ngulos, eixos de simetria, etc. (p.128).

Nos PCNs, o volume que trata das sries finais destaca o estudo do bloco

Espao e Forma e ressalta que: deve-se destacar tambm neste trabalho a

importncia das transformaes geomtricas (isometrias, homotetias), de modo

que permitam o desenvolvimento de habilidades de percepo espacial e como

recurso para induzir de forma experimental descoberta (p. 51).

Fazendo parte dos objetivos de Matemtica para o terceiro ciclo, diz o

documento oficial Nacional que o ensino da Matemtica deve procurar

desenvolver:

O pensamento geomtrico, por meio da explorao de situaes de aprendizagem que levem o aluno a: - resolver situaes-problema que envolva figuras geomtricas planas, utilizando procedimentos de decomposio/composio e, transformao, ampliao e reduo. (p. 65)

Quando trata dos contedos e procedimentos, o documento oficial do pas

para o 3 ciclo (5 a 6 srie) em que trata sobre conceitos e procedimentos, na

seco Espao e Forma, tem como contedos propostos: Transformao de uma

figura no plano por meio de reflexes, translaes e rotaes e identificao de

medidas que permanecem invariantes nessas transformaes (medidas dos

lados, dos ngulos, da superfcie) (p. 73).

E para o 4 ciclo (7 e 8 sries), os Parmetros Curriculares Nacionais

propem: Desenvolvimento do conceito de congruncia de figuras planas a partir

de transformaes (reflexes em retas, translaes, rotaes e composio

destas) identificando as medidas invariantes (dos lados, dos ngulos, da

superfcie) (p.89).

Ainda no quarto ciclo ou sries finais do Ensino Fundamental, o estudo das

transformaes como invariantes, aparece junto ao estudo da congruncia e

semelhana, mostrando tambm elementos variantes. Ainda no estudo dos

contedos do Bloco Espao e Forma, ressaltada a importncia da anlise de

figuras pela observao e manuseio, e ainda da sua construo, o que permite

aos alunos, no processo de ensino/aprendizagem atingir objetivos mais amplos,

40

como levantar conjecturas e identificar propriedades acerca do que est sendo

ensinado.

Mega (2001, p.34), infere que a abordagem sugerida nos PCNs seria a

utilizao das transformaes como ferramentas para o estudo das propriedades

das figuras geomtricas planas. O autor considera que parece ser dado

isometria um tratamento intuitivo e menos formal.

Cifuentes (no prelo) destaca dois tipos de contextualizao, necessrios

para a transposio didtica dos assuntos ou temas a serem desenvolvidos no

processo pedaggico, que so:

- a contextualizao dos conceitos matemticos no cotidiano do aluno, com a finalidade de aplic-los a situao ditas concretas, e - a contextualizao dos objetos matemticos num contexto espao-temporal, com a finalidade de apreci-los esteticamente, ou melhor, de pr em evidncia suas qualidades estticas.

Cifuentes considera que os PCNs, destacam o primeiro tipo de

contextualizao e no levam em conta o outro, porm no justifica esse seu

argumento.

Acreditamos que o estudo da simetria nos remete para apreciao da

beleza, valorizando assim um outro aspecto da Matemtica.

2.2 REGULARIDADES PARA COMPOR O BELO

Freqentemente nos deparamos com o conhecimento matemtico, sendo

tratados numa viso platnico-formalista, de acordo com o que diz o Currculo

Bsico para Escola Publica do Paran (p. 64). Encontramos ainda o

conhecimento matemtico, unicamente ligado razo.

Porm, juntamente com a razo temos a emoo, que uma fonte de

conhecimento, chamado conhecimento sensvel, de acordo com Cifuentes (2003).

E nesta discusso, tratamos a Simetria com uma abordagem esttica, uma

linguagem que admite outros valores que no apenas a exatido e o rigor.

Madsen (2002) nos traz um olhar que no muito comum no ensino da

Matemtica, nem nos professores da rea:

41

entretanto, algumas reas da matemtica, como a Geometria, possibilitam o surgimento de prazer e gozo que merecem ser explorados pelos educadores. Assim so as situaes de contemplao de aspectos harmoniosos ou de contrastes na arte, na pintura ou arquitetura, ou na prpria natureza. A visualizao de simetrias, por exemplo, um fator poderoso para sentir o belo. A simetria um conceito muito importante na Filosofia da Arte e na Esttica, um fator determinante de emoes, tanto que pensadores, talvez exorbitando um pouco, consideram-na a ordem de beleza estvel ou o ritmo esttico. Ela individualiza um objeto belo e lhe fornece carter e expresso. Essas emoes produzidas pelos objetos ou situaes de beleza coincidem com o estado consciente do sujeito e a representao (p.13. ver e sentir o belo e apresentar um senso esttico talvez propriedade inerente a alguns poucos temas da matemtica; entre outros, muitos so ridos ou desinteressantes. O despertar e desenvolver do senso esttico pode muito bem ser cuidado e aproveitado com o tema fractais, quer apreciando o belo irradiante, quer observando regularidades harmoniosa nas suas prprias irregularidades (p.14).

Levantando consideraes sobre o conhecimento sensvel, a emoo, o

autor j citado, Cifuentes, em seu artigo intitulado A Linguagem Visual da

Matemtica, convida-nos a contemplar e a mostrar para nossos alunos, com

exemplos claros e bem explcitos os valores estticos da Matemtica, o que nos

possibilita fazer com que isso possa acontecer de forma simples, em nosso

trabalho pedaggico:

o esttico no apenas um olhar sobre a matemtica, de fato existe um contedo esttico na matemtica, e esse contedo est ligado ao que pode ser apercebido pelo intelecto. So valores estticos da matemtica, por exemplo, a perfeio, a simetria, a forma, o contexto, o contraste, a ordem, o equilbrio, a simplicidade e a abstrao, tambm a liberdade (no prelo).

O despertar de cada um de ns professores, sobre tpicos relacionados

discusso do belo na Matemtica, acreditamos ser um desafio. Um caminho que

est ainda por ser trilhado. Gostamos desse enfoque. Pensamos que todos os

professores que atuam no Ensino Fundamental deveriam apropriar-se de

discusses e serem colocados em contato com leituras inerentes ao assunto, e

refletir sobre trabalhos com esse tema. Pois essa forma de olhar a Matemtica,

conduz-nos para distintas possibilidades de ver e ensinar na Geometria, e para

formar alunos alfabetizados geometricamente.

Estudando e lendo Murari (2004), vemos projeto sobre simetria, espelhos,

caleidoscpios, jogos e softwares educacionais no ensino e aprendizagem de

42

geometria. Levando em conta a construo de caleidoscpios, por exemplo, e o

posterior estudo dos mesmos atravs da simetria. E sobre caleidoscpios e

espelhos ele traz a seguinte considerao estudando a utilizao de espelhos e

caleidoscpios como instrumentos facilitadores na explorao de idias

geomtricas.

Com o uso dos espelhos podem ser trabalhados e contemplados os valores

da ordem, do equilbrio, do contraste, da perfeio e da abstrao na Matemtica.

Mas, pavimentaes do plano, ampliao dos espaos fsicos, composio e

decomposio de figuras so algumas possibilidades de trabalho com o auxlio de

espelhos planos ou angulares.

Fig. 19 Imagens produzidas no caleidoscpio http://www.sesisp.org.br/home/sociocultural/imagens/caleidoscopio.jpg

Murari constri caleidoscpios, novos tipos de caleidoscpios que se

prestaro para a visualizao de pavimentaes esfricas e hiperblicas, e

tambm de poliedros (Murari,2004). Ele explica sobre sua linha de investigao:

O nosso projeto, em toda a sua extenso, envolve o estudo de espelhos,

caleidoscpios, simetrias, jogos e softwares educacionais (relacionados ao ensino de geometria). Os objetos de nosso estudo se inter-relacionam, pois por meio dos espelhos que construmos os caleidoscpios, e atravs dos espelhos e caleidoscpios podem-se visualizar isometrias de figuras geomtricas, que tenham estrutura simtrica (linhas de simetria) sem retir-los do plano e faz-las coincidirem com sua imagem, obtendo-se reflexes e/ou rotaes atravs de imagens virtuais, que so operaes relacionadas simetria, no que concerne ao seu conceito geomtrico (MURARI, 2004 p. 201).

43

Lembramos a grande poetisa paranaense, Helena Kolody, que nos conta

em seu livro que, quando criana, gostava de brincar com caleidoscpios, e nunca

conseguiu repetir um desenho que lhe encantara. E em Caleidoscpio (1970), ela

escreve:

A cada giro de espelhos, Muda o vitral da vivncia. No permanece a figura.

Nem um desenho regressa (p.39).

Fig. 20 Imagens produzidas no caleidoscpio II. http://www.quiltsandpatchwork.com/imatges/Copia%20de%20stack%20detall.jpg

O caleidoscpio possibilita a viso do belo que pode ser observado, mas

no repetido, sempre inovado pelas sucessivas reflexes.

Ela, a Geometria, um dos recursos que possibilitam ao educando muitas

oportunidades e:

para isso considera-se imprescindvel que ele tenha oportunidade de fazer exploraes, representaes, construes, discusses, que ele possa investigar, descobrir, descrever e perceber propriedades. A geometria excepcionalmente rica em oportunidades para que essas metas sejam alcanadas (OCHI, 1997, p.9).

No s no contexto da prpria disciplina que a simetria pode ser aplicada,

estudada e contemplada em sua beleza e em seus padres que se repetem.

Temos diferentes reas onde inter-relao da Matemtica e os outros ramos do

conhecimento se tornam possveis.

A Simetria pode apresentar-se como padres e regularidades no interior da

Matemtica. Mas a relao da Matemtica com as outras reas do conhecimento

muito estreita e faz do conhecimento matemtico umas pontes para ligao da

Matemtica com as outras reas do conhecimento, entre elas podemos citar a

Fsica, a Biologia, a Arqueologia e as Artes.

44

2.3 A SIMETRIA E ALGUMAS RELAES COM AS REAS DO CONHECIMENTO:

Ao desenvolver a nossa reviso bibliogrfica, constatamos que o processo

de carter evolutivo da Matemtica esteve fortemente presente nos mais diversos

fazeres da humanidade, e vai desde as Artes at a Msica, passando pela

Arqueologia, a Fsica, a Biologia, a Cristalografia, a Antropologia, entre outros.

inegvel seu valor, pelo contexto e pelas diferentes culturas em que

aparecem, e devem ser respeitadas e estudadas.

Essa possibilidade de inter-relao entre a simetria e outras reas do

conhecimento se estende. E faz sua beleza maior justamente neste contexto,

deixando assim um desafio para os pesquisadores da Educao Matemtica de

buscar respostas, num futuro bem prximo, a algumas questes do ensino, que no

momento permanecem em aberto e esto inter-relacionadas inclusive com outras

reas do conhecimento. Temos a Simetria como um tema que atende ao que

descreve, pois:

o estudo da simetria amplo por duas razes: pela sua prpria extenso

e por possuir implicaes diretas e indiretas em todas as reas das

cincias e das artes. Nas cincias (fsicas, qumicas e biolgicas), a

simetria caracteriza a organizao do universo animado e inanimado,

macro ou microscopicamente considerado. Nas artes, o conceito de

simetria igualmente indispensvel, revelando propores, espaos e

formas (ROHDE, 1982, p. 09).

Nas reas do conhecimento como na Fsica, a idia de simetria

freqentemente lembrada. O que compreendemos sobre o assunto, est ancorado

pelos princpios de simetria. Como exemplo, temos as leis de conservao de

energia.

Weyl (1997):

os dois grandes eventos de Fsica do sculo XX so o surgimento da teoria da relatividade e da mecnica quntica. Ser que existe alguma conexo entre a mecnica quntica e simetria? Verdadeiramente, sim. A simetria tem um grande papel na ordenao do espectro atmico e

45

molecular, cuja chave para o entendimento dada pela fsica quntica (p.139).

Na Arqueologia, destacamos no livro Aprendendo e Ensinando Geometria, o artigo que tem como ttulo Alguns usos modernos da Geometria, em que

relatam a anlise completa dos padres usados por alguns povos na confeco de

seus objetos.

ilustraremos o valor dessa abordagem alternativa da Geometria por

meio de desenvolvimentos recentes em arqueologia. Em certos stios arqueolgicos, encontram-se vasos de cermica decorados (ou fragmentos dessa cermica), e tradicionalmente tem-se usado uma espcie de geometria rudimentar para estud-los (CROWE; THOMPSON, 1994, p.13).

Fig. 21 Desenhos em peas de cermica CROWE; THOMPSON, 1994, p. 134

Nesse artigo, aparecem estudos sobre a maior semelhana quanto

estrutura das simetrias dos objetos de arte, o que permitiu aos arquelogos fazer

um mapa da localizao dos 21 stios arqueolgicos do Noroeste do Novo Mxico

e sudoeste do Colorado, por um processo estatstico de graduao em escala

multidimensional, baseado no que o autor chama hiptese das distncias, de

acordo com a qual as populaes vizinhas devam produzir desenhos com maior

semelhana quanto estrutura da simetria (p.136).

Na Arte, a simetria percebida nas mais distintas manifestaes arttisticas. Podemos destacar os trabalhos do artista holands M. C. Escher que,

em 1954, teve seus trabalhos expostos no Congresso Internacional de

Matemtica, em Amsterd. Escher estudou arquitetura e arte decorativa, era um

46

grande observador da natureza. Nos seus trabalhos, depois de 1937, suas obras

retratam sua prpria imaginao e viso detalhista, mas sempre buscando a

regularidade, fazendo assim composies geomtricas de vrias geometrias

(Madsen, 1993).

Hoje, Escher um nome de referncia nos estudos de Geometria, sendo

suas obras de rara composio, alm dos padres geomtricos de pavimentao

do plano, com suas simetrias, Escher tem vrias obras usando reflexes em

espelhos.

Fig. 22 Cisnes Escher. Entalhe em madeira, 20 x 32 cm,1956.

http://www.pen.k12.va.us/Div/Winchester/jhhs/math/escher/angels.jpg

Na Arqueologia, encontramos em diferentes povos e culturas um vasto legado de esculturas, pinturas, entalhes, molduras de quadros, desenhos ao redor

de vasilhas, jarros, potes de cermica, adereos.

Os povos indgenas brasileiros tm na confeco de utenslios necessrios

sua sobrevivncia, suas manifestaes artsticas. Os chapus, cestos, peneiras

mostram-nos diferentes tranados e figuras geomtricas, indcios de conceitos

matemticos.

47

Os ndios Yanoama, que vivem na selva entre dois rios, o Orinoco

Superior e o Rio Negro, na regio fronteiria da Venezuela e Brasil, tm seus

objetos de trabalho:

como o seu banco de trepar, obrigatoriamente simtricos, quer dizer, na interao entre a reconhecida necessidade social, as possibilidades materiais e a experimentao, a forma simtrica mostrou-se a melhor: pontas de seta, redes de descanso, aliavas, arcos, recipientes alongados para sopa de banana, cestos redondos entrelaados hexagonalmente, taas para beber e gamelas de casca de frutos cortados ao meio (GERDES, 1992, p. 65).

Modelando, tranando,esculpindo, bordando, no importa, os artesos,

sejam eles de qualquer raa, transmitem de gerao em gerao, suas tcnicas,

garantindo assim a continuidade de uma prtica que nasceu muitas vezes com

seus ancestrais.

Nas mais diferentes culturas tm o aparecimento de peas de valor

artesanal ou trabalhos manuais como bordado, croch, tric, entre outros, so

peas de beleza e valor artstico que com seus motivos ou padres que se

repetem, nos do a idia de Simetria.

Na Biologia, cujo maior objeto de estudo a natureza, podemos observar que a maioria dos animais possui simetria bilateral que, para Weyl, a simetria

da esquerda e da direita, especialmente notvel na estrutura do ser humano e dos

animais superiores (p. 16).

Fig. 23 Homem Vitruviano Leonardo Da Vinci 1492- Desenho

http://www.carbuyersnotebook.com/archives/Da-Vinci-Man.jpg

48

Para exemplificar um pouco mais podemos citar os vrus de forma

icosadrica, a concha espiralada de Nautilus, os chifres helicoidas das gazelas e

as notveis simetrias rotacionais das estrelas-do-mar (fig. 24), das medusas e das

flores como a violeta (fig. 25), o trevo (fig.26), primavera (fig. 27), que tm

respectivamente 3, 4, 5 ptalas igualmente dispostas. So inmeros os exemplos

que podemos citar na Biologia,quando enfocamos simetria.

Fig. 24 Estrela-do-mar.

http://www.frigoletto.com.br/GeoAlagoas/Estrelas/astrop.jpg

Fig. 25 Violeta. http://www.mma.es/parques/lared/caldera/imagenes/violeta.gif

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Fig. 26 Trevo. http://www.ideotario.com/blog500_zzz_trevo.jpg

Fig. 27 Primavera. http://www.pasarlascanutas.com/paisajes_pirineo/panticosa/panticosa_2887.JPG

Tm, portanto, estrutura rotacional idntica dos tringulos eqilteros,

quadrados e pentgonos regulares. Mas, e como ficam as outras flores? a

pergunta que nos faz Barboza (1993 p. 46).

A simetria pentagonal aparece com freqncia, no mundo orgnico. Mas,

no a encontramos nos cristais, que segundo Weyl so as mais perfeitas criaes

da natureza inorgnica. E foi no estudo dos cristais, denominado de

Cristalografia que:

50

a teoria dos grupos de Weyl permitiu classificar de forma sucinta os

vrios tipos de estruturas atmicas, assim como entender a simetria de suas propriedades. Permitiu tambm o clculo das estruturas de bandas nos cristais, que so fundamentais para a fsica de semicondutores e suas aplicaes como a microeletrnica e a optoeletrnica (WEYL, 1997, p. 11-12).

Mais especificamente tratando do ensino da Simetria, temos distintas

possibilidades de um encaminhamento metodolgico, que percebemos pelo

descrito sobre a conexo existente entre a Matemtica e as outras reas do

conhecimento. Ainda temos a beleza na e da Matemtica que pode compor um

quadro, dentro desta perspectiva, o que nos remete possibilidade de trabalho no

ensino da simetria, mais diretamente ligada ao Ensino fundamental. E temos a

arte tambm como oportunidade de trabalhar com a geometria de forma mais

ampla.

2.5 A SIMETRIA E SUAS POSSILIDADES

No ensino da Simetria, temos algumas possibilidades de trabalho muito

interessantes, como o uso da arte e ainda o uso dos recursos tecnolgicos como

um encaminhamento metodolgico importante, entre outros.

2.5.1 USANDO A ARTE

No trabalho pedaggico com crianas do Ensino Fundamental, podemos

lanar mo de ferramentas, enquanto instrumentais que nos do suporte

pedaggico, no processo ensino/aprendizagem de alguns conceitos matemticos.

Podemos fazer uso de espelhos planos ou angulares, como material

manipulativo para ensinar conceitos de simetria. Caleidoscpios, dobraduras e

recortes, logotipos ou logomarcas, embalagens, rtulos poderam ser usados ou

explorados para desenvolver de forma mais efetiva uma aprendizagem no ensino

da simetria. So atividades simples que possibilitam concordar com o que diz o

Currculo Bsico para a Escola Pblica do Paran (1992 p.66):

51

aprender matemtica muito mais que manejar frmulas, saber fazer contas ou marcar x na resposta correta: interpretar, criar significados, construir seus prprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocnio lgico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensvel.

Temos as obras de arte que poderiam ser mais bem exploradas por ns

professores no trabalho pedaggico. Lembrando Liblik (2001) que tem como

objeto de estudo a imagem: o conhecimento produzido ao longo dos sculos

chegou at ns, principalmente pela imagem. So desenhos, textos, traados dos

mais diversos que nos contam sua histria. A perspectiva de termos em mos

essa linguagem, nem to nova assim, para a utilizarmos como ponte, como

passagem entre as diferentes cincias, entre as diferentes reas do conhecimento

pode nos deixar atnitos (p.79).

E podemos citar ainda Liblik (2001), que nos apresenta:

mediante um desenho, um traado, uma leitura, produzimos imagens que

nos remetem e nos revelam - por analogias, metforas - a outras verdades, outros pensamentos, outras idias, que ao se entrelaar, formam o tecido do conhecimento. esta caracterstica que nos torna seres humanos: a utilizao de palavras ou smbolos, no apenas para nos comunicar com nossos semelhantes, mas para manipularmos nossas prprias idias (p. 78).

As obras de arte podem ser leituras interessantes para o trabalho no

ensino da simetria. Trabalhando com elas, fazendo uso das obras de arte de

artistas famosos como Escher, Volpi, Mondrian, Mir entre outros, possvel obter

bons resultados.

52

Fig. 28 Bandeirinhas. Alfredo Volpi - 102x68cm tmpera sobre tela - dcada de 80

http://www.pinturabrasileira.com/artistas_det.asp?cod=1063&in=1&cod_a=5

Observando as telhas das casas, os desenhos das grades nas janelas,

muros, portes, a composio dos paraleleppedos nas caladas, as telas de

arames e suas composies, os desenhos dos tecidos, os trabalhos manuais,

como bordado entre outros, percebe-se como o conhecimento matemtico

permeia nossa vida. Na natureza, os desenhos da casca de abacaxi, e no casco

de uma tartaruga, os hexaedros dispostos nos favos de mel, a distribuio dos

gros de milho numa espiga, tambm esto presentes a regularidade, os padres

que se repetem.

E aliado a isso, o mais importante a necessidade dos homens. Pela

produo, pelo seu trabalho objetivando a sua sobrevivncia, possibilitou que

Gerdes (1992) argumentasse:

as primeiras fases do fabrico de ferramentas mostram que a escolha de

uma forma simtrica no foi uma imitao de padres simtricos na natureza, mas sim o resultado de tradies de produo de milhares de geraes. Essa formao do conceito de simetria foi dialtica.

53

Aconteceu uma reviravolta: a forma mais racional passou a ser considerada bela; a figura simtrica passou a ser objetivo em si; a forma adquire uma crescente importncia independente, tcnica e esttica (p.18).

Faz-se necessrio concordar com o fato de que a Simetria, com seus

movimentos, giros, deslocamentos e trocas, aparece em diferentes situaes.

Contemplando um outro aspecto no menos importante, temos a afinidade com a

beleza, a perfeio, a ordem. Sendo maneiras distintas de ver, de conceber a

simetria, que vem desde os gregos at os nossos dias.

talo Calvino (1999), um grande escritor, cubano de nascimento, mas que

gostava de ser citado como italiano, em seu livro Seis propostas para o prximo

milnio, no captulo em que discute exatido trabalhando na literatura, ele declara

seu gosto pela Matemtica, e lembra entre tantos, da simetria: Queria lhes falar

sobre minha predileo pelas formas geomtricas, pelas simetrias, pelas sries,

pela anlise combinatria, pelas propores numricas (CALVINO, 1999, p.82).

Sua obra literria metaforicamente nos conduz a caminhos matemticos, pela

regularidade, pelas analogias, pelas simetrias e assimetrias.

O trabalho pedaggico na sala de aula do Ensino Fundamental contempla a possibilidade de desenvolver novas atitudes em relao ao professor e ao aluno

no tratamento dos contedos escolares. Consideramos o trabalho investigativo

como parte integrante das aulas de Matemtica, um encaminhamento

metodolgico importante.

Este trabalho usando diferentes recursos exige tambm dos professores

que as atividades escolares sejam organizadas, pois necessitam de certo

gerenciamento das aulas como todas as outras atividades. Para incorporar essa

tendncia em seu cotidiano, o professor dever repensar a sua concepo do

ensino de Matemtica, revendo seu referencial terico e aprofundando seus

conhecimentos, incorporando algumas mudanas em seu trabalho pedaggico

dirio, tentando a aproximao entre teoria e prtica.

Frente s novas tecnologias, o professor necessita incorporar na sua

prtica pedaggica o uso de novas ferramentas. E os recursos de que dispomos

hoje so fontes excelentes como apoio pedaggico para o processo

ensino/aprendizagem. No que ele, o recurso tecnolgico, por si s garanta a

efetividade do processo, mas como destacada ferramenta de apoio.

54

2.5.3 USANDO OS RECURSOS TECNOLGICOS

Devemos chamar a ateno para o uso das ferramentas advindas das

novas tecnologias, e suas implicaes no ensino, sendo que seu uso deve ser

parte integrante do ensino da Geometria, o que constitui um desafio. Pois isso

demanda formao e aprendizado contnuo dos professores.

O ensino da Geometria nas escolas deve contemplar o uso dos

movimentos e das diferentes linguagens, entre elas a imagem, na sua proposta de

trabalho, tendo como pressuposto o avano tecnolgico, entre outros. E a

referncia no apenas com relao ao uso de computadores, mas pensando na

realidade em que vivem nossas crianas e pr-adolescentes, na sua experincia,

nesta gerao que no trato com botes, j vem sendo mantida, desde seus

primeiros anos de vida.

Os recursos tecnolgicos so uma forma nova de comunicao, com uma

linguagem diferente, e adquirindo informaes sempre atualizadas; e eles vm,

atravs de softwares direcionados, desenvolver e oportunizar o processo ensino

aprendizagem.

Por outro lado:

de que vale a organizao curricular de Matemtica nas escolas em vista das novas oportunidades de trabalho? No sabemos que oportunidades de emprego tero. O que podemos fazer dar s novas geraes instrumentos comunicativos, analticos e materiais para que possam enfrentar um mundo que desconhecemos (DAMBRSIO, 2001, p.17).

Temos grupos de trabalho no exterior e no Brasil, preocupados com o uso

das tecnologias, que desenvolvem estudos juntamente com softwares para serem

usados no ensino da Geometria. O Geometriks um deles. Foi desenvolvido pela

Royal Danish of Educacional Studies, em Copenhagen, na Dinamarca, e traduzido

no Brasil por Mirian G. Penteado e Marcelo C. Borba, da Unesp de So Paulo. Ele

possibilita a construo, a movimentao e que se arrastem objetos geomtricos

e, alm da Geometria Euclidiana, traz recursos para a introduo da Geometria de

Fractais, mostrando as transformaes. Para maiores informaes sobre o

Geometriks, podemos acessar www.editora.unesp.br .

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Alm do que temos um grupo de professores da UEM Maring/PR que

tambm desenvolveu um software intitulado Simetria, que pode ser acessado

www.dma.uem.br/simetrias, que muito fcil e simples, podendo ser usado com os alunos do Ensino Fundamental.

Temos ainda em www.matematica.br, o Programa de vero do IME-USP, Programa de Geometria Dinmica, usando iGeom. Este mesmo programa tem

ainda Cursos de Laboratrio do Ensino de Matemtica (LEM), compostos por

mdulos, destinados exclusivamente aos professores que atuam no Ensino

Fundamental e Mdio e que queiram fazer uso do computador em sala de aula.

Consta com o cdigo B 12.4 o mdulo que trata da construo de mosaicos

atravs da geometria dinmica, neste software os alunos/professores podem

trabalhar, entre outros a rotao, a translao e reflexo.

Com o levantamento bibliogrfico desenvolvido no decorrer da pesquisa,

tecemos as consideraes deste captulo, passando para o relato, no seguinte

captulo, dos trabalhos realizados com os cadernos dos alunos e dirios de classe

e ainda a realizao do grupo focal com os professores do colgio, componentes

do caminho metodolgico utilizado para o desenvolvimento dessa pesquisa.

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CAPTULO III

3. OPES METOD