Encontro Nacional BETÃO ESTRUTURAL - BE2012 FEUP, 24-26 de outubro de 2012

Efeitos das não linearidades no Viaduto do Corgo

Pedro Pereira1 Victor Barata 2 RESUMO A presente comunicação faz uma comparação dos resultados de análises lineares do Viaduto do Corgo com análises não-lineares, tendo em conta os efeitos isolados de catenária dos tirantes ou em alternativa a aplicação da teoria dos grandes deslocamentos à estrutura.

Conclui-se pela validade de utilização das análises lineares no caso de avaliação do tabuleiro e tirantes, sendo no entanto adequado considerar os resultados da análise pela teoria dos grandes deslocamentos para o dimensionamento dos elementos verticais, em resultado da sua elevada altura, a variar entre 60m e 200m, aproximadamente.

Palavras-chave: Análise não-linear, Efeito de Catenária, Fórmula de Ernst, Mastro, Tirante

1. GEOMETRIA DA OBRA 1.1. Descrição geral e configuração longitudinal A presente obra, descrita exaustivamente em comunicação autónoma na conferência C3 deste Congresso, apresenta um Sub-Viaduto Central em solução atirantada (Fig. 1), que constitui o objecto desta comunicação.

Figura 1 – Corte longitudinal do Sub-Viaduto Central do Viaduto do Corgo.

1 Eng.º Civil, LCW Consult, S.A. – Lisboa, Portugal, pedro.pereira@lcwconsult.com 2 Eng.º Civil, LCW Consult, S.A. – Lisboa, Portugal, victor.barata@lcwconsult.com

Efeitos das não linearidades dos tirantes no Viaduto do Corgo

2

Trata-se de um viaduto em betão armado pré-esforçado com uma extensão de 768m, cujo vão principal é de 300m e os dois vãos adjacentes de 126m, recorrendo-se para tal a uma solução atirantada com suspensão central. A suspensão do tabuleiro realiza-se por intermédio de 88 tirantes com comprimento livre a variar entre os 35m e os 155m. O nº de cordões dos tirantes varia entre 39 e 69, respectivamente.

1.2. Tabuleiro O tabuleiro é em viga-caixão com uma altura de 3.50m nas almas e é constituído por uma laje superior de 28m de largura, com uma espessura corrente de 0.25m, a variar entre 0.40m, junto às almas e, 0.50m na nervura central, onde se estabelece a reacção dos tirantes (Fig.2).

Figura 2 – Corte transversal do tabuleiro do Sub-Viaduto Central.

A carga de suspensão exterior é transmitida à viga-caixão, fundamentalmente, através de pares de tirantes interiores constituídos por HE e também pela laje superior.

1.3. Pilares e Mastros Os pilares centrais, P18 e P19, apresentam mastros com 63m, monolíticos com o tabuleiro de 3.5m nas almas e, com os fustes de 132m, numa altura total de 198.5m (Fig.3).

Os fustes apresentam largura constante de 11m e são variáveis transversalmente de 10m no topo a 19.5m junto ao maciço de fundação mista com micro-estacas.

Os restantes pilares dispõem de aparelhos de apoio unidireccionais e de anti-levantamento sobre os quais se apoia o tabuleiro.

Os pilares correntes, são constituídos por uma secção tubular octogonal, constante em altura, sendo adelgaçados na direcção norte-sul, ou seja, transversalmente (Fig. 4).

Figura 3 – Corte do fuste e mastro dos pilares principais e da secção do fuste.

Figura 4 – Corte do fuste corrente e da secção do fuste.

Pedro Pereira e Victor Barata

3

2. ANÁLISES CONSIDERADAS. MODELOS DE CÁLCULO Perante o objectivo de comparar os resultados de análises lineares e não-lineares, baseadas no programa de cálculo automático RM Bridge V8i, procurou-se um conjunto de avaliações do estado tensional e de deformação do Viaduto do Corgo.

Estas diferentes análises têm as seguintes características:

• linear; • linear com correcção do módulo de elasticidade dos tirantes (E*) pela fórmula de Ernst (Eq. 1);

EEl

E

3

20

2*

121

1

σγ+

= (1)

• não-linear, em resultado do efeito de catenária do tirante: • e, não-linear, em resultado da avaliação pela teoria dos grandes deslocamentos.

No caso das análises não-lineares, são considerados apenas os efeitos geometricamente não-lineares conforme se apresenta nas Figuras 5 e 6, desprezando os fisicamente não-lineares, por se tratar de avaliações definidas para a verificação dos estados limite de serviço.

Figura 5 – Composição dos esforços no tabuleiro. Figura 6 – Composição dos esforços nos fustes.

Quanto ao modelo de cálculo, este caracteriza-se por ser um pórtico tridimensional (Fig. 7) constituído por elementos de barra de secção variável com discretização do tabuleiro em elementos de 2m, assim como os mastros, e em elementos de aproximadamente 5m nos fustes. Os tirantes são constituídos por um único elemento de cabo para efeito das análises lineares.

Para as análises não-lineares, os tirantes deixam de ser simulados por apenas um elemento para serem discretizados em um conjunto de 20 elementos sujeitos ao seu peso próprio.

Para efeitos das avaliações, que são objecto deste artigo, consideram-se o carregamento fictício de cargas permanentes e tensionamento dos tirantes, em simultâneo, por um lado, e, a acção das sobrecargas rodoviárias, nas posições mais desfavoráveis, por outro. Além destas, avaliou-se a acção transversal do vento sobre a estrutura, para as análises linear e não-linear.

Efeitos das não linearidades dos tirantes no Viaduto do Corgo

4

Figura 7 – Modelo de cálculo.

3.1. Resultados das Análises 3.1.1. Cargas permanentes e tensionamento dos tirantes

Observando a deformação vertical do tabuleiro (Fig. 8), verifica-se que os resultados da análise pela teoria dos grandes deslocamentos se distinguem dos resultados das restantes análises, os quais são muito similares entre si, podendo-se concluir inequivocamente que o efeito de catenária é muito reduzido.

Contudo, esta diferença nos resultados, resultante essencialmente dos efeitos P-∆, da ordem de 2cm, revela também reduzida expressão.

Figura 8 – Deformação vertical do tabuleiro para as cargas permanentes.

No que se refere às forças dos tirantes nas ancoragens do tabuleiro (Fig. 9), os valores apresentam-se idênticos para todas as análises, com diferenças inferiores a 2%. Contudo, quando se avalia a diferença de forças nas extremidades dos tirantes, observam-se diferenças entre as análises que incluem o efeito de catenária – assumindo maior expressão no caso dos tirantes mais compridos, justificado pelo desvio vectorial das forças nas ancoragens, que equilibram o peso próprio dos tirantes – e as que não o incluem.

-50

-25

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 800.0

Vy

(m

m)

X (m)

An. Linear

An. Linear E(Ernst)

An. Não Linear Tir.

An. Não Linear

Pedro Pereira e Victor Barata

5

Figura 9 – Força instalada nos tirantes para as cargas permanentes. Diferença entre as força nas extremidades

dos tirantes.

Se analisarmos os esforços nos pilares principais (Fig. 10), incluindo o deslocamento dos topos dos mastros (Fig. 11), a análise pela teoria dos grandes deslocamentos proporciona resultados sensivelmente diferentes face às restantes análises, as quais se apresentam muito similares entre si, tal como nas situações anteriores.

Figura 10 – Diagrama de momentos flectores no Pilar P18 incluindo o mastro.

Figura 11 – Flecha horizontal do pilar P18 incluindo o mastro.

0

10

20

30

40

50

60

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

P1

8L.

22

P1

8L.

20

P1

8L.

18

P1

8L.

16

P1

8L.

14

P1

8L.

12

P1

8L.

10

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8L.

08

P1

8L.

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8L.

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8L.

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P1

8C

.01

P1

8C

.03

P1

8C

.05

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8C

.07

P1

8C

.09

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8C

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P1

8C

.13

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8C

.15

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8C

.17

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8C

.19

P1

8C

.21

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9C

.22

P1

9C

.20

P1

9C

.18

P1

9C

.16

P1

9C

.14

P1

9C

.12

P1

9C

.10

P1

9C

.08

P1

9C

.06

P1

9C

.04

P1

9C

.02

P1

9L.

01

P1

9L.

03

P1

9L.

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P1

9L.

07

P1

9L.

09

P1

9L.

11

P1

9L.

13

P1

9L.

15

P1

9L.

17

P1

9L.

19

P1

9L.

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Dif

. T

ir.

[kN

]

Fo

rça

Tir

. [k

N]

Tirante

An. Linear An. Linear E(Ernst) An. Não Linear Tir. An. Não Linear

An. Linear Dif. An. Linear E(Ernst) Dif. An. Não Linear Tir. Dif. An. Não Linear Dif.

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225

Mz

[kN

m]

H [m]

An. Linear

An. Linear E(Ernst)

An. Não Linear Tir.

An. Não Linear

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225

Vx

[mm

]

H [m]

An. Linear

An. Linear E(Ernst)

An. Não Linear Tir.

An. Não Linear

Efeitos das não linearidades dos tirantes no Viaduto do Corgo

6

Assim, verifica-se que os momentos flectores no pilar P18 poderiam evoluir de -40000kNm (PD – teoria dos pequenos deslocamentos) para +20000kNm (GD – teoria dos grandes deslocamentos) na base e, de -50000kNm (PD) para -85000kNm (GD), na ligação monolítica com o tabuleiro.

Por outro lado, ao nível dos deslocamentos do pilar, evoluir-se-ia de -20mm (PD) para -7mm (GD) ao nível do tabuleiro, sendo de -40mm no topo do mastro, em qualquer das análises.

Para estas diferenças significativas nos esforços e nas deformadas dos pilares contribui a elevada altura destes, dando expressão aos efeitos P-∆.

Já relativamente aos efeitos P-∆ sobre o tabuleiro, no que respeita a esforços (Fig.12), conclui-se que as diferenças entre as diferentes análises são residuais quando comparadas com a análise dos elementos verticais. Tal facto deve-se ao efeito de restituição dos tirantes.

Figura 12 – Diagrama de momentos flectores no Tabuleiro.

3.1.2. Acção das sobrecargas

Além das análises referidas, também se avalia o comportamento do tabuleiro e dos tirantes face a dois tipos de carregamento equivalente à parcela frequente das sobrecargas, ou seja, 50 kN/m, distribuída, no 1º caso, apenas no vão central e, no 2º caso, nos vãos laterais.

Para o 1º caso, carregamento no vão central, apresentam-se a seguir os resultados para a deformada do tabuleiro (Fig. 13) e para as variação de força nos tirantes (Fig. 14).

Figura 13 – Deformação vertical do tabuleiro para a situação da aplicação de uma carga distribuída de 50kN/m

no vão central.

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Mz

[kN

m]

X [m]

An. Linear

An. Linear E(Ernst)

An. Não Linear Tir.

An. Não Linear

-250

-225

-200

-175

-150

-125

-100

-75

-50

-25

0

25

50

0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 800.0

Vy (

mm

)

X (m)

An. Linear

An. Linear E(Ernst)

An. Não Linear Tir.

An. Não Linear

Pedro Pereira e Victor Barata

7

Figura 14 – Acréscimo de força nos tirantes para a situação da aplicação de uma carga distribuída de 50kN/m no

vão central.

Da observação dos resultados conclui-se que as diferenças entre as várias análises são muito reduzidas. Para o caso da não linearidade dos tirantes, obteve-se uma flecha do tabuleiro menor que nas restantes análises. Isto deve-se à capacidade de actualização da matriz de rigidez, por modificação do módulo de elasticidade, face ao acréscimo do estado de tensão dos tirantes e à não consideração dos efeitos P-∆.

Nesta situação, a análise pela teoria dos grandes deslocamentos fornece resultados muito similares às análises lineares no que se refere à variação de força nos tirantes.

Para o 2º caso, sobrecarga nos vãos laterais, observa-se (Figs 15 e 16) que os resultados da análise pela teoria dos grandes deslocamentos se afastam dos resultados das restantes análises no que se refere à flecha a meio-vão central e, em geral, às variações de forças nos tirantes dos vãos laterais. Isto acontece porque existe pequena variação nas forças dos tirantes do vão central, ficando a deformada do tabuleiro dependente dos efeitos P-∆. No entanto, tal como acontece para o comportamento do tabuleiro sob a acção das cargas permanentes e tensionamento dos tirantes, aquela diferença tem reduzida influência nos efeitos do tabuleiro.

Figura 15 – Deformação vertical do tabuleiro para a situação da aplicação de uma carga distribuída de 50kN/m

nos vãos laterais.

0

100

200

300

400

500

600

700

800P

18

L.2

2

P1

8L.

20

P1

8L.

18

P1

8L.

16

P1

8L.

14

P1

8L.

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P1

8L.

10

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8L.

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04

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8L.

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8C

.01

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8C

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8C

.05

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8C

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P1

8C

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.11

P1

8C

.13

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.15

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.19

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8C

.21

P1

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.22

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9C

.20

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9C

.16

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9C

.14

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03

P1

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05

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9L.

07

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9L.

09

P1

9L.

11

P1

9L.

13

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9L.

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9L.

17

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9L.

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P1

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Fo

rça

Tir

. [k

N]

Tirante

An. Linear

An. Linear E(Ernst)

An. Não Linear Tir.

An. Não Linear

-50

-25

0

25

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0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 800.0

Vy (

mm

)

X (m)

An. Linear

An. Linear E(Ernst)

An. Não Linear Tir.

An. Não Linear

Efeitos das não linearidades dos tirantes no Viaduto do Corgo

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Figura 16 – Acréscimo de força nos tirantes para a situação da aplicação de uma carga distribuída de 50kN/m

nos vãos laterais.

3.1.3. Acção do vento

Por último, também se avaliou o comportamento da estrutura sob a acção do vento regulamentar actuando ortogonalmente ao desenvolvimento do viaduto.

Figura 17 – Flecha transversal do pilar P18 incluindo o mastro.

Analisando as diferenças entre o deslocamento pela análise linear e pela análise não linear (Fig. 17) constata-se que estas são mais pronunciadas ao nível do mastro, uma vez que a sua rigidez é inferior à do fuste.

Uma vez que a carga axial na base do mastro é de cerca de 250000kN, o efeito não linear produzido sobre a estrutura provoca um agravamento no diagrama de momentos flectores, associado ao deslocamento observado entre o topo do fuste e meia altura do mastro (≈150mm), de aproximadamente 40000 kNm, como se pode observar pela Figura 18.

Este último valor representa cerca de 5% do valor global obtido para o momento flector sob a acção mais condicionante no dimensionamento dos elementos verticais desta obra.

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

P1

8L.

22

P1

8L.

20

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8L.

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P1

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8L.

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10

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8L.

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8L.

06

P1

8L.

04

P1

8L.

02

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8C

.01

P1

8C

.03

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8C

.05

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8C

.07

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8C

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8C

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.22

P1

9C

.20

P1

9C

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9C

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P1

9C

.12

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9C

.10

P1

9C

.08

P1

9C

.06

P1

9C

.04

P1

9C

.02

P1

9L.

01

P1

9L.

03

P1

9L.

05

P1

9L.

07

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9L.

09

P1

9L.

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P1

9L.

13

P1

9L.

15

P1

9L.

17

P1

9L.

19

P1

9L.

21

Fo

rça

Tir

. [k

N]

Tirantes

An. Linear

An. Linear E(Ernst)

An. Não Linear Tir.

An. Não Linear

0

50

100

150

200

250

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225

Vz

[mm

]

H [m]

An. Linear

An. Não Linear

Pedro Pereira e Victor Barata

9

Figura 18 – Diagrama de momentos flectores no Pilar P18 incluindo o mastro.

CONCLUSÕES

Confirma-se a ideia prévia de que a análise linear com adopção de módulo de elasticidade fictício dos tirantes é adequada ao caso do Viaduto do Corgo para dimensionamento do tabuleiro e tirantes. Isto deve-se ao comprimento não muito longo dos tirantes e ao seu elevado nível de tensão permanente.

No entanto, para o caso dos elementos verticais - fustes e mastros - a aplicação dos efeitos de 2ª ordem, pela teoria dos grandes deslocamentos, assume alguma importância para o seu dimensionamento, uma vez que se está perante elementos com uma altura considerável.

REFERÊNCIAS LCW consult, S.A., Projecto de Execução do Viaduto do Corgo.

-900000

-800000

-700000

-600000

-500000

-400000

-300000

-200000

-100000

0

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225

My [

kN

m]

H [m]

An. Linear

An. Não Linear