efeito casimir dinâmico com condições tipo robin · aos amigos do ppgf-ufpa e do ... para nos...

Efeito Casimir dinâmico com espelhos

parcialmente refletores tipo Robin

Jeferson Danilo Lima Silva

Orientador: Danilo Teixeira Alves

Jeferson Danilo26 de Fevereiro de 2010

UNIVER

ES DI AD FEDERAL DO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Efeito Casimir dinâmico com espelhos parcialmente

refletores tipo Robin



Belém - Pará

Março de 2013

Efeito Casimir dinâmico com espelhos

parcialmente refletores tipo Robin


Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Física da Universidade Federal do Pará

(PPGF-UFPA), como parte dos requisitos necessários para

a obtenção do título de Mestre em Ciências (Física).


Avaliada por:

Dr. Danilo Teixeira Alves - UFPA

Dr. Carlos Farina de Souza - UFRJ

Dr. Felipe Siqueira de Souza da Rosa - UFRJ

Belém - Pará

Março de 2013

Resumo

Efeito Casimir dinâmico com espelhos parcialmente refletores tipo

Robin



Neste trabalho estudamos o fenômeno de criação de partículas via efeito Casimir dinâ-

mico. Consideramos, em toda a extensão do trabalho, um campo escalar, real, sem massa,

que obedece à equação de Klein-Gordon num espaço-tempo bidimensional. O campo inte-

rage com um espelho parcialmente refletor sobre o qual, no caso limite em que tal espelho

se torna perfeitamente refletor para todas as frequências do campo, o campo fica sujeito

à condição de Robin − isto é o que denominamos de espelhos parcialmente refletores

“tipo Robin”. O efeito Casimir dinâmico é investigado em duas situações distintas: na

primeira, o espelho é móvel; na segunda, o espelho está parado, mas impõe uma condição

de contorno com um parâmetro característico − o parâmetro de Robin − dependente do

tempo, o que pode, de certa forma, simular um espelho em movimento. Através de uma

abordagem envolvendo matrizes de espalhamento, fórmulas são obtidas para a taxa e o

espectro de frequência das partículas criadas. Na literatura (pelo menos nos trabalhos

citados nesta dissertação), os trabalhos que investigam o efeito Casimir dinâmico com es-

pelhos parcialmente refletores consideram como limite de um espelho perfeito o caso em

que o espelho impõe a condição de Dirichlet. Ainda, os trabalhos que investigam o efeito

Casimir dinâmico com condições de Robin o fazem com espelhos perfeitos. Portanto, este

trabalho generaliza estas duas frentes − trabalhos com espelhos parcialmente refletores e

trabalhos com condições de Robin − simultaneamente.

Abstract

Dynamical Casimir effect with Robin-like partially reflecting mirrors


Supervisor: Danilo Teixeira Alves

The particle generation phenomenon via dynamical Casimir effect is investigated in

this work, considering a real, massless and scalar field that obeys Klein-Gordon equation

in a two-dimensional spacetime. The field interacts with a partially reflecting mirror, so

that, in the limiting case where the mirror becomes perfectly reflecting for all frequencies,

the field is subjected to the Robin boundary condition. This is what we denominated

by “Robin-like” partially reflecting mirrors. We investigate the dynamical Casimir effect

in two ways: at the first, the mirror moves; at the second, the mirror is at rest, but it

imposes such a condition that enables to simulate a moving mirror. Using an approach

involving scaterring matrices − taking as reference [M. T. Jaekel, S. Reynaud; J. Phys.

I France 1, 1395 (1991)] and [M. T. Jaekel, S. Reynaud; Quantum Opt. 4, 39 (1992)]

− formulae are obtained for the frequency spectrum and rate of created particles. In

literature (at least in the works cited here), the works dealing with the dynamical Casimir

effect with partially reflecting mirrors treat perfectly reflecting mirrors as they which impose

the Dirichlet condition. Moreover, the works dealing with the dynamical Casimir effect

with Robin boundary condition consider perfect mirrors. Therefore, the present work

generalizes these two models, considering them simultaneously.

Agradecimentos

A Deus.

Agradeço e dedico este trabalho aos meus pais Dênis e Maria Lindalva e ao meu irmão

Gilson Dean.

Aos amigos do PPGF-UFPA e do curso de graduação em física (citados em ordem al-

fabética) Alessandra Braga (amiga do peito e colega de trabalho dos últimos cinco anos

e, pelo menos, pelos próximos quatro anos), Carol Benone, Danilo Pedrelli, Everton Luís,

Igor Melo, Luiz Leite, Marcelo Siqueira, Natália Menezes, Silvio Santos. Também aos

amigos Danilo Andrade, Jucyara Gomes, Marcela Rayane e Müller Serras, sempre dando

aquela força.

Ao professor Danilo Alves pela excelente orientação feita nos últimos cinco anos, du-

rante a iniciação científica e o mestrado. E também pelos próximos anos de orientação no

doutorado.

Aos professores Carlos Farina e Felipe da Rosa pela disponibilidade em fazer parte da

banca de avaliação e contribuir com este trabalho.

Agradeço, ainda, Carlos Farina e Bruno Mintz pelas discussões valiosas durante o XX-

XIII ENFPC e o Amazonian Workshop on Quantum Vacuum Effects. Também a Andreson

Rego pelas constantes discussões que muito contribuiram para o desenvolvimento deste

trabalho.

Ao CNPq e a UFPA pelo auxílio financeiro.

Dedico à Lindalva, Dênis e Dean.

Verdade, Amor, Razão, Merecimentoqualquer alma farão segura e forte;porém, Fortuna, Caso, Tempo e Sortetêm do confuso mundo o regimento.

Efeitos mil revolve o pensamento,e não sabe a que causa se reporte;mas sabe que o que é mais que vida e morte,que não o alcança o humano entendimento.

Doctos varões darão razões subidas;mas são experiências mais provadas,e por isso é melhor ter muito visto.

Cousas há i que passam sem ser cridase cousas cridas há sem ser passadas,mas o melhor de tudo é crer em Cristo.

Luís de Camões

Sumário

Introdução 3

1 Aspectos preliminares 8

1.1 As condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Espelhos parcialmente refletores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Matriz de espalhamento e funções de onda . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Um espelho impondo condição de contorno tipo Robin 22

2.1 Apresentando o modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 A matriz de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Propriedades da matriz de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 O espelho móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Espelho estático tipo-Robin com parâmetro depedente do tempo . . . . . . . 34

3 Fenômeno de criação de partículas 41

3.1 Criação de partículas devido a um espelho móvel . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Espelhos ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.1.1 Condições de Dirichlet e Neumann . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.1.2 Condição de Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1.3 Condição Robin generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1.2 Espelhos parcialmente refletores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.2.1 Condições tipo Dirichlet e tipo Neumann . . . . . . . . . . 55

3.1.2.2 Condições tipo Robin usual e tipo Robin generalizado . . . 58

1

Sumário 2

3.2 Criação de partículas com um espelho tipo Robin estático . . . . . . . . . . . 62

3.2.1 Espelho ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.2 Espelho parcialmente refletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Considerações finais e perspectivas 71

Referências Bibliográficas 73

Introdução

Desde 1970, com o trabalho de Moore [1], é sabido que partículas reais podem ser

geradas, a partir do vácuo, por conta de modificações no estado quântico de um campo

causadas por certas variações temporais nas condições de contorno impostas a tal campo.

Por exemplo, submetê-lo a interagir com um espelho móvel ou mesmo com um espelho

fixo cujas propriedades materiais variem com o tempo. Esse fenômeno é denominado,

usualmente, efeito Casimir dinâmico (ECD).

O trabalho de Moore foi desenvolvido no contexto de um campo escalar real e sem

massa, em 1+1 dimensões, confinado numa cavidade composta por dois espelhos, um mó-

vel e outro estático, ambos perfeitamente refletores, que impõem sobre o campo condições

de Dirichlet. Para obter uma solução exata para o campo, Moore explorou a invariância

da equação de Klein-Gordon por uma transformação conforme, que é válida no contexto

de seu trabalho, mapeando assim o problema dinâmico em um problema no qual ambos

os espelhos estão estáticos, sendo este último conhecido.

Em 1975, independente do trabalho de Moore e com motivações diferentes, DeWitt

também chega ao ECD [2]. Seu trabalho é também desenvolvido num contexto unidimen-

sional1, porém, com apenas um único espelho, também perfeito, impondo a condição de

Dirichlet ao campo. Para obter a solução do campo na situação dinâmica, DeWitt faz uso

de argumentos de causalidade.

O efeito, apesar de ter sido descoberto independentemente por Moore (1970) e DeWitt

(1975), leva o nome do físico holandês H. Casimir. A razão para isso ter acontecido é sim-

ples: Casimir mostrou, em 1948 [3], que duas placas metálicas, perfeitamente condutoras

1Deste ponto em diante, vamos utilizar apenas a expressão modelo unidimensonal, ou contexto unidimensi-

onal, para nos referir a um modelo que considere um campo escalar real e sem massa em 1+1 dimensões.

3

Introdução 4

(entenda-se placas como sinônimo de espelhos), descarregadas e em repouso no vácuo,

atraem-se com uma força proporcional ao inverso da quarta potência da distância entre

elas. Esta força surge como consequência de distorções na energia de ponto zero do campo

eletromagnético provocadas somente pelo fato das placas estarem presentes. Esse fenô-

meno é conhecido por efeito Casimir estático, daí a referência ao nome de Casimir, que, na

verdade, não chegou a estudar o efeito gerado caso as placas fossem dinâmicas.

Por argumentos de conservação de energia, o fenômeno de criação de partículas, as-

sociado ao ECD, deve vir acompanhado de uma força dissipativa que atue sobre o espelho

móvel, como se o vácuo funcionasse como um meio resistente através do qual o espelho

se move de forma amortecida. Na verdade, o termo efeito Casimir dinâmico está associado

a estes dois fenômenos: criação de particulas reais a partir do vácuo e forças de reação

de radiação sobre espelhos em movimento. É possível mostrar que a energia total das

partículas criadas é igual a menos o trabalho realizado por essa força dissipativa de reação

do vácuo [4, 5]. A energia das partículas criadas é proveniente do agente externo que

movimenta a placa.

Em 1976, Fulling e Davies [6] mostraram que um espelho com aceleração não-uniforme

pode emitir radiação. Fulling e Davies, assim como Moore, também exploraram a invari-

ância conforme da equação de Klein-Gordon para obter uma fórmula exata para o valor

médio (considerando o vácuo como estado inicial) do tensor energia-momentum, quando

o campo é submetido à condição de Dirichlet sobre o espelho. No entanto, a fórmula

deles para a densidade de energia apresenta, em casos específicos, uma inconsistência: a

energia renormalizada é negativa e por isso não pode ser considerada como associada à

energia de partículas criadas [6, 7, 8]. Adiante, tornaremos a discutir sobre essa inconsis-

tência.

Em 1982, Ford e Vilenkin [9] estudaram o ECD, considerando um espelho que se move

com velocidade muito menor que a velocidade da luz, numa abordagem perturbativa,

na qual os efeitos dinâmicos surgem como pequenas correções acrescidas ao campo na

configuração estática do modelo. Os resultados de Ford e Vilenkin estão de acordo com

os de Fulling e Davies [6] no limite não-relativístico. E, apesar de ser mais restrito que

o método de Fulling e Davies no que diz respeito às possíveis velocidades do espelho, o

Introdução 5

método de Ford e Vilenkin tem a vantagem de poder ser estendido para modelos com

dimensões mais altas ou com campos massivos, nos quais a equação de Klein-Gordon não

é mais invariante sob transformações conformes.

Com mais de quatro décadas de história e estudos teóricos, o ECD foi finalmente ob-

servado em laboratório em 2011 por Wilson et al [10]. O experimento foi realizado no

contexto da eletrodinâmica quântica de circuitos [11, 12]. Na seção 1.1 veremos mais

detalhes acerca do modelo teórico por trás deste experimento.

É notável que os modelos unidimensionais predominem nos trabalhos que versam so-

bre o ECD; este fato ocorre por uma razão simples: este é o modelo mais simplificado

possível para abordar o problema e, com ele, é possível resolver, na maioria das vezes de

forma exata, problemas que aparentemente são de difícil solução. Apenas por esse motivo,

não seria estranho considerá-lo então como um modelo de brinquedo. No entanto, alguns

problemas dimensionalmente mais realistas, como o de um campo eletromagnético se

propagando perpendicularmente a um espelho plano, podem ser reduzidos a este modelo

simplificado. E além disso, o modelo unidimensional ganhou mais força recentemente por

estar conectado diretamente, como veremos mais adiante, à eletrodinâmica quântica de

circuitos [11, 12], contexto no qual, como já o dissemos, foi realizado o experimento que

mediu pela primeira vez o ECD.

Ainda no contexto de um campo escalar em 1+1 dimensões, o ECD foi investigado

em diversas outras situações, com diversas outras motivações, como por exemplo: um

único espelho ou uma cavidade impondo condições de contorno de Neumann (ou mistas2)

[13, 14, 15, 16, 17]; ou estados iniciais diferentes do vácuo [17]. Mintz et al [18, 19, 20],

utilizando o método perturbativo de Ford e Vilenkin [9], investigaram, de forma pioneira,

o problema de um espelho impondo a condição de contorno de Robin. Silva e Farina

[21] investigaram, também utilizando o método perturbativo de Ford e Vilenkin, o caso

em que a condição de Robin imposta ao campo por um espelho estático pode simular um

espelho em movimento. Esta condição de contorno, de fundamental importância para este

trabalho, será discutida com mais detalhes na seção 1.1.

Os modelos levados em conta nos trabalhos pioneiros do ECD [1, 2, 6], e em todos

2Uma cavidade na qual um espelho impõe a condição de Dirichlet e outro a condição de Neumann.

Introdução 6

os outros citados até então nesta introdução (exceto em [7, 8]), têm em comum o fato

de que são compostos por espelhos ideais (por ideais entenda-se perfeitamente refletores).

No entanto, um espelho perfeitamente refletor para todas as frequências é um objeto não

existente na natureza, pois quaisquer espelhos reais são certamente transparentes para

frequências altas o suficiente. Essa é, provavelmente, a motivação de maior peso para

estudar modelos mais realistas que levem em conta espelhos semitransparentes3. Além

disso, Haro e Elizalde [7, 8] mostraram que considerar um espelho parcialmente refletor

(EPR) pode curar a inconsistência de energias negativas, mencionada anteriormente, que

aparece no resultado de Fulling e Davies [6].

Tem sido crescente, nas últimas duas décadas, o número de trabalhos versando sobre

o ECD levando em conta EPRs. Destacamos entre eles Jaekel e Reynaud [22, 23], Barton

e Calogeracos [24], e Lambrecht em colaboração com Jaekel e Reynaud [25]. Detalhes

sobre estes e outros trabalhos serão vistos mais adiante na seção 1.2.

Nos trabalhos que envolvem modelos compostos por EPRs existe sempre um limite que

pode ser utilizado para tornar o espelho considerado um refletor perfeito, a este limite

chamaremos de limite de um espelho perfeito. Com uma rápida análise dos trabalhos que

envolvem modelos com EPRs, citados nesta dissertação, é possível perceber que no limite

de um espelho perfeito recupera-se sempre o caso em que o espelho impõe ao campo a

condição de Dirichlet.

O objetivo principal desta dissertação é investigar o ECD em modelos que envolvam um

EPR, de tal maneira que, no limite de um espelho perfeito, recuperem-se outras condições

de contorno, como por exemplo, e em especial, a condição de Robin. Ao longo do presente

trabalho, denominaremos a condição de contorno imposta por um EPR, que no limite de

um espelho perfeito recupere a condição de Robin, por condição tipo Robin. A mesma

denominação segue válida para qualquer outra condição recuperada; por exemplo, se a

condição recuperada for a de Neumann, a chamaremos de condição tipo Neumann.

Esta dissertação está divida conforme a estrutura a seguir: no capítulo 1 faremos um

estudo preliminar sobre a condição de Robin e uma breve revisão da literatura acerca do

ECD com espelhos parcialmente refletores. Ainda neste capítulo, faremos um estudo sobre

3Usaremos também o termo semitransparente como sinônimo para parcialmente refletor.

Introdução 7

a matriz de espalhamento no contexto da mecânica quântica. No capítulo 2 apresentare-

mos, detalhadamente, os cálculos para encontrar a matriz de espalhamento do problema

de um espelho impondo ao campo uma condição tipo Robin. Finalmente, no capítulo 3,

faremos uso dos resultados obtidos no capítulo 2 para computar o espectro de criação de

partículas. Ainda no capítulo 3, compararemos os resultados aqui obtidos com os já exis-

tentes na literatura, no contexto de espelhos perfeitos. Para finalizar, faremos uma breve

discussão acerca dos resultados deste trabalho em geral, bem como pontuaremos nossas

perspectivas. Ao longo de todo o trabalho, usaremos unidades naturais c = ~ = 1.

Capítulo 1

Aspectos preliminares

Nesta dissertação, investigamos o fenômeno de criação de partículas via ECD num

contexto unidimensional, no qual um único espelho, parcialmente refletor por construção,

impõe condições de contorno sobre um campo escalar, de tal maneira que se tomarmos

o limite de um espelho perfeito recaímos no caso em que o espelho impõe ao campo a

condição de Robin. Neste sentido, esta dissertação generaliza os trabalhos de Mintz et

al [18, 19] e de Silva e Farina [21], que investigaram o ECD com um espelho perfeito

impondo a condição de Robin sobre o campo: Mintz et al [18, 19] consideraram o caso

em que o espelho é móvel, no regime de velocidades não-relativísticas; Silva e Farina [21]

consideraram o caso em que o espelho está em repouso, porém impõe ao campo uma

condição de Robin com parâmetro que varia com o tempo (na próxima seção discutiremos

esse parâmetro). Em ambos os casos foi utilizado o método perturbativo de Ford e Vilenkin

[9]. Neste método, um campo φ é escrito da seguinte forma:

φ = φ0 + δφ, (1.1)

sendo φ0 o campo não perturbado, na configuração em que a condição de contorno imposta

a tal campo não depende do tempo, e δφ uma pequena perturbação acrescida ao campo

φ0, provocada pela dependência temporal na condição de contorno.

Antes de abordar o problema principal proposto, apresentaremos, na seção 1.1, al-

gumas situações nas quais a condição de contorno de Robin se faz presente. Logo em

8

1.1 As condições de contorno 9

seguida, na seção 1.2, faremos uma breve revisão dos trabalhos que investigaram o ECD

em modelos envolvendo EPRs.

1.1 As condições de contorno

Um campo, denominado φ(t, x), satisfaz a condição de Robin sobre um espelho fixo

se, sobre este espelho, o campo é proporcional a sua derivada espacial, a saber

[

φ(t, x)− γ∂φ(t, x)

∂x

]

espelho

= 0, (1.2)

sendo γ o chamado parâmetro de Robin.

Devemos destacar o fato de que esta condição recai, nos limites γ → 0 e γ → ∞ respec-

tivamente, nas condições mais conhecidas de Dirichlet e Neumann, dadas respectivamente

por

φ(t, x)|espelho = 0 (1.3)

e∂φ(t, x)

∂x

∣

∣

∣

∣

espelho

= 0. (1.4)

Uma forma, mais didática e talvez mais intuitiva, de visualizar estas condições de

contorno e suas implicações, é estudá-las em situações no contexto da física clássica.

Tomemos, como exemplo, o caso de vibrações tranversais de uma corda distentida cuja

densidade linear de massa seja a mesma em todos os pontos da corda. O deslocamento de

um ponto da corda em relação a sua posição de equilíbrio será representado por y(t, x).

No regime de pequenas inclinações em relação a posição de equilíbrio, a função y(t, x)

satisfaz à equação da onda com velocidade v =√

T/µ, sendo T a tensão na corda e µ a

densidade linear de massa da mesma, cuja solução geral é dada por

y(t, x) = f(x− vt) + g(x+ vt) (1.5)

É possível mostrar que, nessa aproximação de pequenas inclinações, a força transversal

que a porção da corda à esquerda de x exerce sobre a porção da corda à direita de x, num


instante t, é dada por

Fy = −T ∂y(t, x)∂x

. (1.6)

Dito isto, consideremos então uma corda semi-infinita cuja extremidade, na esquerda,

esteja amarrada a uma haste rígida. Obviamente, a corda não pode oscilar nessa extremi-

dade. Em outras palavras, a função y(t, x) está restrita a satisfazer à condição de Dirichlet:

y(t, x)|haste = 0. (1.7)

Se gerarmos um pulso se propagando para a esquerda em direção à haste dado por

yincidente(t, x) = g(vt+x), pode-se mostrar, aplicando a condição de Dirichlet (1.7) na solu-

ção (1.5), que este pulso, ao atingir a haste, será refletido com sinal trocado: yrefletido(t, x) =

−g(vt − x). Conclui-se que, numa corda presa, um pulso é refletido com uma defasagem

igual a π. Esta situação está representada na figura 1.1(a).

onda incidente

onda refletida

(a) Condição de Dirichlet. Corda amarrada na extremidade. Umpulso é refletido com diferença de fase igual π.

onda incidente

onda refletida

m=0

m=0

(b) Condição de Neumann. Corda com extremidade livre. Umpulso é refletido sem diferença de fase.

Figura 1.1: Uma corda presa ou com extremidade livre gera respectivamente as condiçõesde contorno de Dirichlet e Neumann.

Numa outra situação, se, em vez de amarrada, a corda estivesse acoplada a um anel de


massa desprezível que deslizasse sem atrito na haste, a extremidade da corda estaria livre

para oscilar, com nenhuma força transversal atuando sobre essa extremidade. Portanto,

de acordo com (1.6), a corda estaria sujeita a obedecer à condição de Neumann, a saber:

Fy|haste = − T∂y(t, x)

∂x

∣

∣

∣

∣

haste

= 0 → ∂y(t, x)

∂x

∣

∣

∣

∣

haste

= 0, (1.8)

ou seja, uma reta tangente à corda, nessa extremidade, permaneceria sempre na horizon-

tal. Nesta situação, o mesmo pulso considerado na situação da corda amarrada agora seria

refletido da mesma forma como incidiu, yrefletido(t, x) = g(vt− x), portanto sem mudança

de fase (situação representada na figura 1.1(b)). Mais adiante veremos como a defasagem

da onda refletida influencia na criação de partículas no contexto do ECD.

Consideremos, agora, a situação na qual a corda está acoplada a um anel de massa

desprezível e este, por sua vez, está preso a uma mola ideal de constante elástica κ (ver

figura 1.2). Neste caso, é aplicada uma força, transversal, restauradora do tipo elástica

sobre o anel. Portanto, de acordo com (1.6), a corda estaria sujeita a obedecer à seguinte

condição:

Fy|haste = −κy(t, x)|haste →[

y(t, x)− T

κ

∂y(t, x)

∂x

]

haste

= 0, (1.9)

que é nada mais do que a condição de Robin (1.2) com parâmetro γ = T/κ. O fato de

que as condições de Robin simulam um suporte elástico numa fronteira foi indicado na

literatura na referência [26].

Ainda no problema da corda vibrante, consideremos que, na situação anterior, a massa

do anel acoplado à mola seja agora finita. Isto implica, de acordo com a segunda lei de

Newton e ainda mantendo o regime de pequenas inclinações, em uma correção à equação

(1.6), que passaria a ser:

Fy + T∂y(t, x)

∂x=M

∂2y(t, x)

∂t2, (1.10)

na qual M é a massa do anel.


k

M

T

Figura 1.2: Corda presa a um anel acoplado a uma mola ideal. Se a massa do anel fordesprezível, a corda satisfaz a condição de Robin.

Nesta situação a corda estaria sujeita a obedecer à seguinte condição:

[

M∂2y(t, x)

∂t2− T

∂y(t, x)

∂x+ κy(t, x)

]

haste

= 0, (1.11)

Essa condição será denominada condição de contorno de Robin generalizada [27, 28].

Pretendemos investigar a influência desta condição no contexto do ECD, portanto, para

uso nos capítulos seguintes, vamos definir que, de maneira geral, a condição de contorno

de Robin generalizada satisfeita por um campo φ = φ(t, x) sobre um espelho seja dada

por:[

φ(t, x) − γ∂φ(t, x)

∂x+ α

∂2φ(t, x)

∂t2

]

espelho

= 0, (1.12)

sendo α denominado parâmetro de Robin generalizado. No caso da corda vibrante, o

parâmetro de Robin generalizado é dado por α =M/κ.

A condição de Robin generalizada surge, no contexto da eletrodinâmica quântica de

circuitos, em certo regime, como consequência da dependência temporal de um fluxo

magnético em um SQUID (dispositivo supercondutor de interferência quântica) fixado na

extremidade de uma linha de transmissão unidimensional (para mais detalhes veja [11]).

Neste contexto, os parâmetros γ (neste caso γ = γ(t)) e α desempenham os papeis de

algumas propriedades características do SQUID. Porém, em [11] a condição de Robin

generalizada não chega a ser de fato utilizada, pois nesse trabalho são feitas considera-

ções de maneira que o termo de segunda derivada temporal da condição de contorno é


desprezado, recaindo, dessa forma, na condição de contorno de Robin usual (1.2) com

parâmetro dependente do tempo, γ = γ(t). Rego, Silva, Alves e Farina investigaram em

[27] um modelo teórico, com espelhos perfeitos, no qual o termo de segunda derivada

temporal foi levado em consideração.

A condição de Robin (1.2), em certo regime, também pode simular o modelo de plasma

em metais reais. Suponhamos que uma onda monocromática incida, pela direita, sobre

um espelho que imponha a condição de Robin. Neste caso, a superposição das ondas

incidente e refletida é dada por

φ(t, x) = Aine−i(ωt+kx) +Aoute

−i(ωt−kx). (1.13)

O coeficiente de reflexão, definido pela razão entre Aout e Ain, é então dado por

r(ω) = −1 + iγω

1− iγω= −eiσ(ω), (1.14)

sendo σ(ω) = 2 arctan(γω) a defasagem entre a onda refletida e a onda incidente. Assim

como esperado da condição de Robin, nos limites apropriados, recupera-se a defasagem

igual a π rad do caso de Dirichlet e igual a 0 rad do caso de Neumann. Na figura 1.3

traçamos o gráfico de σ(ω).

Figura 1.3: No eixo vertical a defasagem da onda refletida como função de ωγ.

1.2 Espelhos parcialmente refletores 14

No regime γω ≪ 1, a defasagem σ(ω) ≈ 2γω, portanto o coeficiente de reflexão, dado

por (1.14), se reduz a r(ω) ≈ − exp(2iγω). Em contrapartida, no contexto do modelo

de plasma para metais reais, sabe-se que o coeficiente de reflexão, para ondas incidentes

com frequências muito menores que a frequência de plasma ωP, é dado por rplasma(ω) ≈

− exp(2iω/ωP). Portanto, por comparação, tem-se que, em boa aproximação, o parâmetro

γ−1 desempenha o papel de frequência de plasma.

Em 1985, Mostepanenko e Trunov consideraram a condição de Robin no contexto

do efeito Casimir estático [29]. Eles consideraram dois espelhos paralelos, um impondo

condição de Dirichlet e outro impondo a condição de Robin, no qual, o parâmetro de

Robin desempenha o papel de comprimento de penetração do campo no espelho.

Em resumo, as condições de contorno ideais, às quais faremos menção nesta disserta-

ção, serão as de Robin, Dirichlet, Neumann e Robin generalizado, dadas respectivamente

por (1.2), (1.3), (1.4) e (1.12), lembrando que a condição de Robin generalizada incor-

pora todas as outras.

1.2 Espelhos parcialmente refletores

A máxima “um espelho perfeitamente refletor para todas as frequências é um objeto não

existente na natureza” é, em geral, o que motiva a investigação do efeito Casimir dinâ-

mico com a presença de espelhos parcialmente refletores [7, 8, 22, 23, 24, 30, 31, 32].

O próprio Casimir, que apesar de ter levado em conta placas perfeitamente condutoras

(entenda-se como sinônimo para perfeitamente refletoras) em seu trabalho, se utilizou

dessa máxima para justificar, em seus cálculos, a inserção de um termo regularizador para

frequências altas e obter, com isso, um resultado finito [3]:

“O significado físico é óbvio: para ondas muito curtas (raio-x e.g.) nossa placa será

dificilmente um obstáculo, portanto, a energia de ponto zero dessas ondas não será

influenciada pela presença dessa placa.”

Moore que, assim como Casimir, também considerou um modelo com espelhos ideais [1],

reforça:


“Por causa das condições de contorno ‘(de Dirichlet)’, supõe-se que todas as flutuações

quânticas do campo sejam suprimidas sobre o espelho. Não se espera, é claro, que isto

ocorra com espelhos comuns, que não se comportam absolutamente como ideais para

frequências muito altas (por exemplo, na região de raio-x). (...)”

Nas duas décadas posteriores ao trabalho de Moore (1970) predominaram nas investiga-

ções sobre o efeito Casimir dinâmico modelos que envolviam espelhos ideais.

Em 1991, Jaekel e Reynaud [22] estudaram o efeito Casimir estático num modelo

cujos espelhos são, por construção, parcialmente refletores, no qual os efeitos de semi-

transparência são inseridos por meio de uma matriz de espalhamento, cujos coeficientes

de transmissão e reflexão são ambos funções da frequência do campo incidente. Eles

mostraram que nesta abordagem não surgem as divergências associadas à infinitude da

energia do vácuo. Portanto, não se fazem necessárias medidas de regularização impostas

à mão, pois os próprios coeficientes de reflexão, da forma como são postos no problema,

funcionam como regularizadores naturais para as divergências ultravioletas da energia do

vácuo.

Um ano depois, os mesmos autores investigaram o efeito Casimir dinâmico com um

espelho parcialmente refletor móvel no regime não-relativístico [23]. Levando em conta

referenciais inerciais co-móveis ao espelho, os efeitos de semitransparência foram inse-

ridos da mesma forma que no trabalho anterior [22]. Com isso, através de uma trans-

formação de Lorentz, é então calculada a matriz de espalhamento do ponto de vista do

referencial do laboratório, e com esta são obtidas fórmulas para a força exercida sobre o

espelho móvel.

Vários outros trabalhos, no contexto do ECD, que levam em conta espelhos parcial-

mente refletores (em modelos formados por cavidades ou um único espelho) foram pu-

blicados por Jaekel e Reynaud [30, 31], todos com a mesma abordagem de matrizes de

espalhamento utilizada no primeiro trabalho [22]. Estes autores, em colaboração com

Lambrecht, ainda nessa abordagem, investigaram o fenômeno de criação de partículas

criadas por um único espelho móvel parcialmente refletor [25], ou por uma cavidade “su-

pondo, em uma boa aproximação, os coeficientes de reflexão dos dois espelhos sendo reais e

independentes da frequência” [25, 33].


Outros autores também investigaram o ECD nessa abordagem de matrizes de espalha-

mento [7, 8, 34, 35, 36, 37]. Haro e Elizalde mostraram em [7, 8], como já dissemos, que

considerar um espelho parcialmente refletor evita a incosistência de energias negativas

do modelo de Fulling e Davies. Ainda, Haro e Elizalde [34] mostraram que um espelho

parcialmente refletor seguindo uma trajetória que simula o colapso de um buraco negro1,

no limite de um espelho perfeito, irradia partículas térmicas que satisfazem a estatística

de Bose-Einstein, o que está de acordo com os resultados prévios de Davies e Fulling [38],

no entanto, fora do regime de um espelho perfeito, as partículas irradiadas satisfazem

estranhamente a estatística de Fermi-Dirac. Os autores comentam [34]:

“A explicação física para essa imprevista mudança de estatística pode ser encontrada

no fato de que a forma do espectro não é determinada por meio da estatística do campo,

mas sim pela trajetória específica que o espelho segue e por sua interação com o campo

de radiação.”

Este resultado é revisitado pelos mesmos autores em [35]. Elizalde, num trabalho intitu-

lado “Efeito Casimir dinâmico com espelhos semitransparentes, e cosmologia” [36], discute a

possível contribuição das flutuações de vácuo à energia escura a la efeito Casimir, além de

modelos com dimensões compactificadas, modelos de branas e teorias de supergravidade.

Obadia e Parentani, também utilizando a abordagem de matriz de espalhamento, estudam

uma situação análoga a evaporação de um buraco negro [37].

Algo importante a ser mencionado acerca dos trabalhos que utilizam a abordagem

de matrizes de espalhamento, é o fato de serem recuperados os resultados em que os

espelhos impõem a condição de Dirichlet ao campo no limite de espelhos perfeitos (exceto,

é claro, naqueles casos em que os coeficientes são considerados reais e independentes da

frequência).

Barton e Calogeracos, num trabalho intitulado “Eletrodinâmica quântica de um espelho

dispersivo (partes I e II)” [24], utilizam uma abordagem diferente daquela considerada

por Jaekel e Reynaud para implementar características de semitransparência ao espelho.

Os espelhos são simulados por potenciais de interação do tipo delta de Dirac introduzidos

1A trajetória é kv = 1− exp(ku), sendo v e u as cordenadas tipo luz e k uma constante real.


à lagrangiana do modelo2. Para o caso de um campo escalar, a densidade de lagrangiana

para um espelho parado é dada por:

L =1

2

[

(

∂φ(t, x)

∂t

)2

−(

∂φ(t, x)

∂x

)2]

− βφ2(t, x)δ(x − ξ), (1.15)

sendo β a constante de acoplamento e ξ a posição do “espelho”.

O espelho perfeito é recuperado no limite de máximo acoplamento (β → ∞) e, neste

caso, o espelho perfeito é aquele que impõe a condição de Dirichlet ao campo (ver equação

(1.18) e texto logo a seguir). Para um valor de β finito, tem-se o caso de um espelho

semitransparente (tipo Dirichlet). Se β = 0, temos a situação de desacoplamento total e,

portanto, o campo se propaga livremente.

A equação de movimento associada a (1.15) é dada por

∂2xφ(t, x)− ∂2t φ(t, x) − 2βφ(t, x)δ(x − ξ) = 0. (1.16)

Após duas integrações sucessivas em x, cujos intervalos de integração contemplem x = ξ,

concluímos que o campo φ está sujeito às seguintes relações de continuidade:

φ|x=ξ+ = φ|x=ξ− e [∂xφ]x=ξ+− [∂xφ]x=ξ−

= 2βφ(t, x = ξ). (1.17)

Pode-se mostrar, a partir de (1.17), que os coeficientes de reflexão e transmissão, con-

siderando ξ = 0, são dados respectivamente por:

r(ω) = − iβ

ω + iβe s(ω) =

ω

ω + iβ, (1.18)

(note que se o acoplamento é máximo o coeficiente r → −1, como esperado de um espelho

que impõe a condição de Dirichlet).

De acordo com Barton e Calogeracos [24], o modelo (1.15) simula, numa boa aproxi-

mação, a interação entre um campo eletromagnético e uma película de plasma, interpre-

tando β = 2πne2/m (com n representando o número de elétrons, com carga e e massa m,

2Um trabalho bastante didático que investiga o efeito Casimir estático para potenciais de interação tipodelta de Dirac pode ser encontrado em [39].


por unidade de área).

Com esse modelo, Barton e Calogeracos estudaram a radiação emitida pelo espelho e

a força de reação da radiação média que atua sobre o espelho no regime de movimentos

não-relativísticos [24]. Nicolaevici [40] generalizou os resultados de Barton e Calogeracos

de maneira a considerar movimentos relativísticos arbitrários. Fosco, Lombardo e Mazzi-

telli [41] estudaram efeitos quânticos dissipativos em espelhos relativísticos acoplados ao

campo escalar ou ao campo de Dirac em 1+1 dimensões.

Por fim, no presente trabalho seguiremos o mesmo roteiro de Jaekel e Reynaud [22,

23] e construiremos a matriz de espalhamento de um modelo que leva em conta um

espelho parcialmente refletor tipo Robin. Antes disso, levando em conta o caráter didático

desta dissertação, faremos, na subseção a seguir, a construção da matriz de espalhamento

de um problema no contexto da mecânica quântica.

1.2.1 Matriz de espalhamento e funções de onda

No contexto da mecânica quântica, o estado de um sistema é descrito pela sua função

de onda, representada por ψ(t, x) no caso unidimensional, que é solução da equação de

Schrödinger:

− ~2

2m

∂2

∂x2Ψ(t, x) + V (t, x)Ψ(t, x) = i~

∂

∂tΨ(t, x). (1.19)

Se considerarmos um potencial que não depende do tempo, a função de onda será dada,

no caso de espectro discreto, por:

Ψ(t, x) =∑

n

cn(x)ψn(x)e−iEnt/~, (1.20)

na qual ψ(x) deve satisfazer a seguinte equação:

− ~2

2m

∂2

∂x2ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x), (1.21)

usualmente denominada equação de Schrödinger independente do tempo.

Dito isto, consideremos então o problema de uma partícula de massa m e energia

E > 0, à deriva em um potencial V (x) que tem a peculiaridade de ser nulo em todo o


espaço, menos numa região limitada e bem determinada, a qual chamaremos de região II

(ver figura 1.4). Denominaremos as regiões à esquerda e à direita de II, respectivamente,

regiões I e III. Na região II o potencial é dado por uma função arbitrária f , a saber:

V (x) =

f(x), região II

0, regiões I e III, (1.22)

com E < max[V (x)].

Região I Região II Região III

ikx

-ikx

Routikx

-ikx

V(x)

RinLout

Lin

Figura 1.4: Potencial espalhador.

Nas regiões I e III, onde o potencial é nulo, a equação de Schrödinger (1.21) reduz-se

à equação de um oscilador hamônico simples cuja solução é dada por

ψI(x) = Lineikx + Loute

−ikx e ψIII(x) = Routeikx +Rine

−ikx, (1.23)

sendo k =√2mE/~. Na região II, a função ψ só poderá ser determinada se a função f

for especificada. Mas, de maneira geral, pelo fato de a equação de Schrödinger ser linear

e de segunda ordem, deve-se obrigatoriamente ter:

ψII(x) = Cg(x) +Dh(x). (1.24)

na qual g e h são funções linearmente independentes.

Existem quatro condições de contorno para este problema, duas para a separação entre

as regiões I e II, e duas para a separação entre as regiões II e III. Duas dessas condições


são usadas para eliminar C e D, as outras duas são usadas para escrever Lout e Rout em

termos de Lin e Rin, a saber:

Rout = S11Rin + S12Lin e Lout = S21Rin + S22Lin. (1.25)

Em outras palavras, as amplitudes das ondas espalhadas Rout e Lout são escritas como

combinações das amplitudes das ondas incidentes Lin e Rin.

Os quatro coeficientes da relação acima, que em geral dependem do número de onda k,

podem ser agrupados em uma matriz 2×2, a qual será denominada matriz de espalhamento

e representada por S = S(k), a saber:

Rout

Lout

=

S11 S12

S21 S22

Rin

Lin

, (1.26)

sendo S12 ≡ r+ e S21 ≡ r− os coeficientes de reflexão e S11 ≡ s+e S22 ≡ s− os coeficientes

de transmissão [42].

As probabilidades de reflexão e de transmissão são obtidas diretamente através dos

módulos quadráticos desses coeficientes. Respectivamente, são dadas por:

|r−|2 = |S21|2 , |r+|2 = |S12|2 (1.27)

e

|s−|2 = |S22|2 , |s+|2 = |S11|2 . (1.28)

Como exemplo, considere o potencial tipo delta de Dirac, V (x) = βδ(x), que está

de acordo com a exigência (1.22), sendo a região II dada por um único ponto, x = 0.

As regiões I e III são dadas respectivamente por x < 0 e x > 0. A solução da equação

de Schrödinger para estados com energia positiva é dada por (1.23). A continuidade da

função de onda e a descontinuidade de sua derivada, em x = 0, nos garantem respectiva-

mente que

Rout +Rin = Lin + Lout (1.29)


e

Rout −Rin = Lin(1 + 2iα) − Lout(1− 2iα), sendo α = −mβ~2k

. (1.30)

Estas duas equações combinadas geram:

Lout =1

1− iαRin +

iα

1− iαLin e Rout =

iα

1− iαRin +

1

1− iαLin. (1.31)

De fato, escrevemos as amplitudes das ondas espalhadas como combinações das ampli-

tudes das ondas incidentes. Portanto, a matriz de espalhamento para este caso é dada

por

S(k) =1

1− iα

1 iα

iα 1

(1.32)

e as probabilidades de reflexão e transmissão são dadas por:

|r+|2 = |r−|2 =α2

1 + α2e |s+|2 = |s−|2 =

1

1 + α2. (1.33)

Observe que os coeficientes de transmissão e reflexão em (1.31) são exatamente os

mesmos dados na equação (1.18). Para ficar mais evidente, vamos reescrever a matriz

S(k) com a dependência em k de forma explícita, a saber:

S(k) =1

k + iβ

k −iβ

−iβ k

, (1.34)

na qual, por simplicidade, tomamos m = 1 e retomamos ~ = 1. Ou seja

r+(k) = r−(k) =−iβk + iβ

e s+(k) = s−(k) =k

k + iβ. (1.35)

Isto já poderia ser esperado, pois tanto o potencial considerado aqui quanto o considerado

no modelo (1.15) são potenciais do tipo delta de Dirac. A construção da matriz de es-

palhamento para espelhos parcialmente refletores tipo Robin é muito semelhante ao que

fizemos nesta subseção.

Capítulo 2

Um espelho impondo condição de

contorno tipo Robin

Este capítulo tem como objetivos apresentar os detalhes do modelo sobre o qual tra-

balharemos e construir a matriz de espalhamento correspondente. O problema abordado

consiste em estudar o fenômeno de criação de partículas, via efeito Casimir dinâmico,

devido à presença de um espelho que impõe uma condição de contorno tipo Robin ao

campo. Tal estudo será feito em duas situações distintas: na primeira, consideraremos um

espelho móvel; na segunda, consideraremos um espelho estático, mas de tal maneira que

este possa simular um espelho móvel. Para ambas as situações, nos limites apropriados,

faremos comparações entre os resultados aqui obtidos e os já existentes na literatura.

No próximo capítulo ficará evidente a importância do papel da matriz de espalha-

mento. Portanto, o foco do presente capítulo será a construção da matriz de espalhamento

para ambas as situações consideradas. Para a construção dessa matriz, como já o dissemos

anteriormente, seguiremos o mesmo roteiro de Jaekel e Reynaud em [22, 23]. Veremos

que a ideia é simples: inicialmente considera-se o modelo mais simplificado possível, cons-

tituído por um espelho perfeitamente refletor, e, em seguida, generaliza-se para o caso de

um espelho parcialmente refletor.

22

2.1 Apresentando o modelo 23

2.1 Apresentando o modelo

Vamos considerar um campo escalar real não massivo, representado por φ, em um

espaço-tempo bidimensional, φ = φ(t, x), obedecendo à equação de Klein-Gordon. Neste

modelo, a equação de Klein-Gordon reduz-se à equação da onda, a saber,

�φ(t, x) = 0, (2.1)

na qual � ≡ ∂2t − ∂2x é o operador d’Alembertiano.

Nessa dimensionalidade, o campo total é a superposição de dois campos distintos que

se propagam em sentidos opostos:

φ(t, x) = ϕ(t− x) + ψ(t+ x), (2.2)

da mesma forma como já foi visto em (1.5).

Se o campo se propaga livremente por todo o espaço-tempo, ou seja, se não há ne-

nhuma restrição imposta ao campo devido, por exemplo, à presença de um espelho, a

solução da equação (2.1), em termos de ondas planas harmônicas normalizadas e utili-

zando as regras de quantização canônicas usuais, é dada por

φ(t, x) =

ˆ

dω√

2π(2|ω|)[

a(ω)e−i|ω|teiωx + a†(ω)ei|ω|te−iωx]

, (2.3)

no qual a†(ω) e a(ω) são os operadores de criação e de aniquilação que satisfazem à

seguinte regra de comutação:

[

a(ω), a†(ω′)]

= δ(ω − ω′). (2.4)

Rescrevendo (2.3) num formato mais conveniente, temos

φ (t, x) =

ˆ

dω√2π

[

ϕ(ω)e−iω(t−x) + ψ(ω)e−iω(t+x)]

, (2.5)


na qual ϕ(ω) e ψ(ω) são as amplitudes dos modos com frequência ω dadas por:

ϕ(ω) =

√

1

2 |ω|(

Θ(ω)a(ω) + Θ(−ω)a†(−ω))

, (2.6)

ψ(ω) =

√

1

2 |ω|(

Θ(ω)a(−ω) + Θ(−ω)a†(ω))

, (2.7)

sendo Θ(ω) a função degrau de Heaviside. Como consequência de (2.4), as amplitudes

ϕ(ω) e ψ(ω) devem satisfazer às seguintes relações de comutação:

[

ϕ(ω), ϕ(ω′)]

=[

ψ(ω), ψ(ω′)]

=sinal(ω)

2 |ω| δ(ω + ω′) =1

2ωδ(ω + ω′); (2.8)

[

ϕ(ω), ψ(ω′)]

= 0. (2.9)

Dito isto, consideremos agora, em nosso modelo, a inserção de um espelho localizado

no ponto x = q. O espelho certamente impõe alguma restrição ao campo, e vamos admitir

que essa restrição seja prescrita1. A presença do espelho fará com que o campo seja espa-

lhado, ou seja, refletido e transmitido2. Antes de prosseguirmos, adotaremos o seguinte

padrão de nomenclatura: o campo que se propaga rumo ao espelho, que é o campo inci-

dente, será indexado por “in”; e o campo que se propaga afastando-se do espelho, que é o

campo espalhado, será indexado por “out” (como está ilustrado, de acordo com a notação

anterior, na figura 2.1).

x = q

Figura 2.1: Os campos incidem sobre o espelho e são espalhados.

Com a presença do espelho, devemos fazer distinção entre o campo do lado esquerdo,

1Queremos dizer que temos total liberdade para controlar a condição de contorno imposta pelo espelho.2Poderia também ser absorvido, mas, por simplicidade, vamos desconsiderar fenômenos de absorção. Uma

abordagem ao ECD na qual ocorre absorção pode ser encontrada em [43].


que chamaremos de φ−, e o campo do lado direito, que chamaremos de φ+. Dessa forma,

o campo em todo o espaço passará a ser escrito como

φ (t, x) = Θ(x− q)φ+ (t, x) + Θ(q − x)φ− (t, x) , (2.10)

na qual, de acordo com (2.5),

φ+(t, x) =

ˆ

dω√2π

[

ϕout(ω)e−iω(t−x) + ψin(ω)e

−iω(t+x)]

, (2.11)

e

φ−(t, x) =

ˆ

dω√2π

[

ϕin(ω)e−iω(t−x) + ψout(ω)e

−iω(t+x)]

. (2.12)

Por argumentos de causalidade, garante-se que, para os campos incidentes ϕin(ω)

e ψin(ω) não há diferença se existe ou não um espelho no modelo, e que somente os

campos espalhados devem carregar a informação da existência de tal espelho. Portanto

ϕin(ω) ≡ ϕ(ω) e ψin(ω) ≡ ψ(ω) que são dados pelas equações (2.6) e (2.7). Dessa forma,

para conhecer o campo total, nosso trabalho se resume apenas em encontrar quais são os

campos espalhados e, para fazê-lo, basta que especifiquemos qual a condição de contorno

que o espelho impõe sobre o campo e aplicá-la diretamente sobre (2.11) e (2.12).

Por conveniência, e para uso futuro, vamos agrupar as amplitudes dos campos espa-

lhados e dos campos incidentes em matrizes coluna, da seguinte forma:

Φout(ω) =

ϕout(ω)

ψout(ω)

e Φin(ω) =

ϕin(ω)

ψin(ω)

. (2.13)

Com isto, já temos tudo que é necessário para iniciarmos a construção da matriz de

espalhamento.

2.2 A matriz de espalhamento 26

2.2 A matriz de espalhamento

Queremos construir uma relação do tipo

Φout(ω) = S(ω)Φin(ω), (2.14)

para isso, definimos uma matriz quadrada S(ω), a qual chamaremos matriz de espalha-

mento, que tem o papel de operar sobre o campo incidente e é responsável por fornecer

todas as implicações do processo de espalhamento devido à presença do espelho, resul-

tando no campo espalhado.

Para iniciar a construção da matriz de espalhamento consideremos, a seguir, alguns

casos simples, os quais são compostos por um espelho perfeitamente refletor e parado (por

simplicidade em x = 0). Para cada caso, aplicaremos a condição de contorno imposta pelo

espelho nas equações (2.11) e (2.12). A saber:

(i) Condição de Dirichlet (definida na equação 1.3).

ϕout(ω) = −ψin(ω) e ψout(ω) = −ϕin(ω). (2.15)

Naturalmente, da mesma forma que no caso de uma corda amarrada a uma haste rígida,

discutido no capítulo anterior, o campo sujeito à condição de Dirichlet será refletido com

inversão de fase (defasagem igual a π rad);

(ii) Condição de Neumann (definida na equação 1.4).

ϕout(ω) = ψin(ω) e ψout(ω) = ϕin(ω). (2.16)

Assim como no caso de uma corda com uma extremidade livre, o campo sujeito à condição

de Neumann é refletido sem diferença de fase;

(iii) Condição de Robin (definida na equação 1.2).

ϕout(ω) = −1 + iγω

1− iγωψin(ω) e ψout(ω) = −1− iγω

1 + iγωϕin(ω). (2.17)

O campo sujeito à condição de Robin será refletido com um fator de fase não trivial, que


depende da frequência do campo incidente e do parâmetro de Robin, da mesma forma

como ocorre no modelo de plasma (1.14);

(iv) Condição de Robin generalizada (definida na equação 1.12).

ϕout(ω) = −1− αω2 + iγω

1− αω2 − iγωψin(ω) e ψout(ω) = −1− αω2 − iγω

1− αω2 + iγωϕin(ω). (2.18)

Para esta condição de contorno, surge, no fator de fase, um termo proporcional ao parâ-

metro α multiplicado pela frequência do campo incidente ao quadrado.

Note que, em todos esses casos, os campos espalhados são diferentes dos campos

incidentes apenas por um fator de fase (um número complexo de módulo unitário). Isto

ocorre pelo fato de estarmos considerando, por enquanto, que o espelho impõe reflexão

total. Sendo assim, podemos escrever, de maneira geral, a seguinte relação:

ϕout(ω) = eiσ(ω)ψin(ω) e ψout(ω) = e−iσ(ω)ϕin(ω), (2.19)

sendo σ(ω) a fase decorrente do processo de espalhamento. Para recuperar os casos par-

ticulares considerados, faz-se: para Dirichlet σ(ω) = π; para Neumann σ(ω) = 0; para

Robin σ(ω) = 2 arctan(γω); e para Robin generalizado σ(ω) = 2 arctan[γω/(1− αω2)].

Utilizando o que definimos em (2.13), podemos escrever, de forma compacta, as rela-

ções acima da seguinte maneira:

Φout(ω) = S(ω)Φin(ω), (2.20)

S(ω) =

0 eiσ(ω)

e−iσ(ω) 0

, (2.21)

na qual S(ω) é o que chamamos matriz de espalhamento (lembre-se de que, por enquanto,

o espelho é perfeitamente refletor e está parado).

A matriz S(ω) é, como foi desejado em (2.14), o operador que realiza a passagem

do campo incidente para o campo espalhado, ambos caracterizados por ondas planas.

Nesta matriz, como o próprio nome sugere, estão contidas todas as informações acerca do


processo de espalhamento. Em outras palavras: é nela que estão todas as características e

propriedades do espelho.

Os elementos da diagonal principal da matriz S(ω) carregam as características dos

campos que são transmitidos através do espelho, e, analogamente, os elementos da dia-

gonal secundária carregam as características dos campos refletidos. Como até aqui nosso

modelo é composto por um espelho perfeitamente refletor, a diagonal principal tem, na-

turalmente, elementos nulos, pois nada é transmitido. Pela mesma razão, já que reflexão

total implica, no máximo, uma mudança de fase, a diagonal secundária é composta pelos

fatores de fase que definimos em (2.19).

Para implementar espelhos parcialmente refletores faremos a generalização

S(ω) =

0 eiσ(ω)

e−iσ(ω) 0

→ S(ω, ωc) =

s+(ω, ωc) r+(ω, ωc)

r−(ω, ωc) s−(ω, ωc)

, (2.22)

sendo, conforme mencionado, r±(ω, ωc) e s±(ω, ωc) os coeficientes de reflexão e de trans-

missão, respectivamente, e ωc é um parâmetro, com dimensão de frequência, que foi

inserido com o objetivo de controlar a refletividade do espelho. Este parâmetro é esco-

lhido convenientemente de tal maneira a recuperarmos o caso de um espelho totalmente

refletor no limite ωc → ∞:

limωc→∞

S(ω, ωc) →

0 eiσ(ω)

e−iσ(ω) 0

, (2.23)

ou

limωc→∞

r±(ω, ωc) = e±iσ(ω), (2.24)

limωc→∞

s±(ω, ωc) = 0. (2.25)

No entanto, para não carregar desnecessariamente a notação, preferimos omitir a depen-

dência em ωc; explicitá-la-emos quando conveniente.

Um ponto importante deve ser mencionado aqui: já foi dito que estamos seguindo o


mesmo roteiro de Jaekel e Reynaud em [22] para a construção da matriz de espalhamento.

Porém, na generalização da equação (2.22) fizemos diferente, no sentido de que diferen-

ciamos explicitamente os coeficientes de ambos os lados do espelho, o que em [22] não

foi feito3. Ainda, em nosso limite de um espelho perfeito (2.23), recuperamos a reflexão

com um termo de fase arbitrário, enquanto, no limite correspondente em [22], recupera-

se reflexão com inversão de fase, ou seja, recupera-se o caso em que a condição imposta

pelo espelho é a de Dirichlet.

É necessário, ainda, deixar claro que a generalização feita na equação (2.22) não deve

ser feita de maneira imprudente, deve-se sempre manter a preocupação com a consistência

física do modelo. Queremos dizer com isso que, para que alguns príncipios fundamentais

sejam preservados, faz-se necessário que a matriz S(ω) satisfaça algumas propriedades.

Discutimos estas propriedades a seguir.

2.2.1 Propriedades da matriz de espalhamento

Propriedade 1. Os elementos da matriz de espalhamento são reais no domínio temporal.

S(−ω) = S∗(ω). (2.26)

Esta propriedade surge, naturalmente, pelo fato de que o campo que estamos conside-

rando também é real.

Propriedade 2. A matriz de espalhamento é unitária.

S(ω)S†(ω) = I. (2.27)

Esta propriedade surge, naturalmente, da seguinte relação de comutação do campo em

tempos iguais: [φ(t, x), φ(t, y)] = 0. Isso caracteriza que não há absorção no espelho, ou

seja, toda a radiação que chega ao espelho é espalhada de volta. Para o caso de um objeto

com perdas (como, por exemplo, um espelho que absorve ou emite radiação), a matriz de

espalhamento não pode ser unitária, pois parte da radiação incidente será perdida dentro

3Os autores consideraram r+(ω) = r−(ω) e s+(ω) = s−(ω).


do objeto, e, portanto, fazem-se necessárias outras regras de quantização, nas quais um

meio absorvente (ou amplificador) deve ser levado em consideração [43].

Propriedade 3. A matriz de espalhamento é causal.

r±(t < 0) = s±(t < 0) = 0. (2.28)

Esta propriedade surge, naturalmente, da seguinte relação de comutação do campo em

tempos iguais: [φ(t, x),Π(t, y)] = −iδ(x − y). Isso significa basicamente que o campo não

pode ser espalhado antes de chegar ao espelho.

Propriedade 4. Para frequências altas o suficiente a matriz de espalhamento se reduz a

matriz identidade.

S(ω) → I quando ω → ∞. (2.29)

Isto significa que no regime de altas frequências o espelho se torna totalmente transpa-

rente ao campo. Esta é a condição de um espelho real existente na natureza discutida

anteriormente. Naturalmente, o espelho ideal (2.21) não satisfaz esta propriedade, pois o

limite de um espelho ideal é o regime de baixas frequências.

A propriedade 2 restringe os elementos da matriz de espalhamento mais geral, dada

por (2.22), da seguinte forma:

|s+(ω)| = |s−(ω)| = |s(ω)| ; |r−(ω)| = |r+(ω)| = |r(ω)| ; (2.30)

|s(ω)|2 + |r(ω)|2 = 1; (2.31)

s+(ω)r∗−(ω) + r+(ω)s

∗−(ω) = 0. (2.32)

Com isso, a matriz de espalhamento mais genérica possível passa a ser:

S(ω,α) =

|s(ω)| eiξ+(ω) i |r(ω)| eiσ+(ω)

i |r(ω)| eiσ−(ω) |s(ω)| eiξ−(ω)

, (2.33)

2.3 O espelho móvel 31

com

σ−(ω) + σ+(ω) = ξ+(ω) + ξ−(ω) (2.34)

sendo eiξ±(ω) e ieiσ±(ω) os termos de fase.

Lembrando, ainda, que as escolhas das funções s(ω), r(ω), ξ±(ω) e σ±(ω), além de

estarem sujeitas a (2.31) e (2.34), que são consequências da propriedade 2, também estão

sujeitas às consequências das propriedades 1 e 3, aos limites que retomam o espelho ideal

em (2.15) e (2.16), e também aos limites da propriedade 4.

2.3 O espelho móvel

Uma vez definida a matriz de espalhamento, para o caso em que o espelho está parado

e impõe uma condição de contorno que não dependende do tempo (como foi feito na

seção anterior), iremos agora impor que o espelho pode se movimentar, e segue uma lei

de movimento genérica e prescrita, a qual chamaremos q(t), e encontraremos quais as

mudanças que ocorrem na matriz de espalhamento por conta do movimento.

Por razões de simplicidade, vamos nos restringir a uma lei de movimento oscilatória,

não-relativística e de amplitude pequena, a saber:

|δq(t)| ≪ 1 (2.35)

e

ω0 |δq(t)| ≪ 1 (2.36)

no qual ω0 é a frequência de oscilação do espelho e o símbolo δ foi inserido apenas com o

intuito de indicar as restrições adotadas. A imposição (2.36) fará mais sentido a posteriori,

no contexto do cálculo do espectro de partículas criadas que será realizado no próximo

capítulo, mas por enquanto ela nos será útil como argumento para podermos desprezar os

termos de ordem O(δq2).

Como o campo em questão é um campo escalar, em um ponto qualquer sobre a linha

de mundo do espelho é válida a seguinte relação entre um referencial comóvel ao espelho4

4Aqueles referenciais inerciais que, instantaneamente, possuem a mesma velocidade que o espelho e vêem


e o referencial do laboratório:

Φ(τ, 0) = Φ(t, δq(t)), (2.37)

lembrando que esta notação é uma maneira compacta de escrever o seguinte:

ϕ(τ − 0)

ψ(τ + 0)

=

ϕ(t− δq(t))

ψ(t+ δq(t))

, (2.38)

na qual τ e Φ são, respectivamente, a variável temporal e o campo do ponto de vista do

referencial comóvel.

Uma expansão em série de Taylor, em termos da amplitude da lei de movimento δq(t),

no lado direito da equação acima resulta em:

ϕ(τ)

ψ(τ)

=

e−δq(t)∂tϕ(t)

eδq(t)∂tψ(t)

= e−δq(t)η∂t

ϕ(t)

ψ(t)

, (2.39)

na qual

η =

1 0

0 −1

. (2.40)

Voltando à notação compacta:

Φ(τ, 0) = e−δq(t)η∂tΦ(t, 0) = [1− δq(t)η∂t] Φ(t, 0) +O(δq2). (2.41)

Como estamos considerando aqui uma lei de movimento não-relativística, e já foi dito

que desprezaremos os termos de ordem O(δq2), de modo que não deve haver diferença

entre o tempo medido do ponto de vista do referencial comóvel e medido do ponto de

vista do referencial do laboratório, uma vez que, em primeira ordem de aproximação:

dτ =

√

1− [δq(t)]2dt = dt+O(δq2) ≈ dt. (2.42)

o espelho em sua origem.


Dessa forma, podemos reescrever a equação (2.41) da seguinte maneira:

Φ(t, 0) = [1− δq(t)η∂t] Φ(t, 0). (2.43)

No domínio de Fourier esta relação é escrita da seguinte maneira:

Φ(ω) =1

2π

ˆ

dω′[

2πδ(ω − ω′) + δQ(ω − ω′)ηiω′]

Φ(ω′), (2.44)

sendo δQ(ω) a transformada de Fourier da lei de movimento δq(t) e, para simplificar a

notação, estamos fazendo Φ(ω, 0) ≡ Φ(ω) e Φ(ω, 0) ≡ Φ(ω).

Vamos supor que, fisicamente, seja uma aproximação razoável considerar que não há

distinção entre “ver o espelho móvel do ponto de vista de um referencial comóvel” ou sim-

plesmente “ver o espelho parado”. Queremos dizer com isso que um referencial comóvel

enxerga as propriedades do espelho como se este estivesse parado. Apesar desta hipótese

soar óbvia, este ponto pode ser bastante controverso. Dessa forma, para o referencial

comóvel, continua sendo válida a relação:

Φout(ω) = S(ω)Φin(ω), (2.45)

sendo S(ω), portanto, a mesma matriz de espalhamento para o caso de um espelho pa-

rado, definida na seção anterior.

Para obter a versão da equação acima no referencial do laboratório, aplicaremos a

transformação (2.44), indexada corretamente, na equação (2.45), feito isso virá:

Φout(ω) +

ˆ

dω′

2πiω′δQ(ω − ω′)ηΦout(ω

′) =

= S(ω)

[

Φin(ω) +

ˆ

dω′

2πiω′δQ(ω − ω′)ηΦin(ω

′)

]

, (2.46)

ou

Φout(ω) = S(ω)Φin(ω) +

ˆ

dω′

2πiω′δQ(ω − ω′)

[

S(ω)ηΦin(ω′)− ηΦout(ω

′)]

. (2.47)

2.4 Espelho estático tipo-Robin com parâmetro depedente do tempo 34

Deseja-se que o membro direito da equação acima seja composto pelo campo incidente

apenas, mas ainda existe um “Φout” neste membro. No entanto, notamos que este termo

já é um termo de primeira ordem de perturbação, e então substituiremos esta equação,

que funciona como uma relação de recorrência, nela mesma, a saber:

Φout(ω) = S(ω)Φin(ω) +

ˆ

dω′

2πiω′δQ(ω − ω′)

[

S(ω)η − ηS(ω′)]

Φin(ω′) +O(δq2). (2.48)

Lembrando que estamos desprezando os termos de segunda ordem, obtemos

Φout(ω) =

ˆ

dω′

2πS(ω, ω′)Φin(ω

′), (2.49)

com

S(ω, ω′) = 2πδ(ω − ω′)S(ω) + iω′δQ(ω − ω′)[

S(ω)η − ηS(ω′)]

. (2.50)

Se o espelho se move, a frequência do campo incidente muda após o processo de

espalhamento, e esta informação deve estar incluída na matriz de espalhamento e, em

geral, o processo de espalhamento mistura todas as frequências [25]. A equação (2.50) é

nada mais do que a matriz de espalhamento com correção de primeira ordem gerada pelo

movimento do espelho, e este termo de correção é dado explicitamente por:

δS(ω, ω′) = iω′δQ(ω − ω′)

s+(ω)− s+(ω′) −r+(ω)− r+(ω

′)

r−(ω) + r−(ω′) −s−(ω) + s−(ω

′)

. (2.51)

Note que esta correção é dada somente em termos dos coeficientes de reflexão e transmis-

são com o espelho estando parado e da lei de movimento (que é prescrita).

2.4 Espelho estático tipo-Robin com parâmetro depedente do

tempo

Até este ponto, construímos a matriz de espalhamento para o caso de um espelho

perfeito, que está parado e impõe uma condição de contorno que não depende do tempo.

Em seguida, generalizamos esta matriz para o caso em que o espelho é parcialmente


refletor. Por último, calculamos, perturbativamente, em primeira ordem, uma correção

para a matriz de espalhamento para o caso em que o espelho é dotado de movimento

(limitando-nos a movimentos não-relativísticos e de pequena amplitude), pois sabemos

que quando há um espelho móvel pode ocorrer o efeito Casimir dinâmico. Esta seção será

dedicada à construção da matriz de espalhamento de outro modelo onde também ocorre

o efeito Casimir dinâmico; trata-se de um espelho parado, mas que impõe uma condição

tipo Robin cujo parâmetro de Robin é dependente do tempo. Este modelo foi estudado, no

contexto de espelhos ideais nas referências [21, 27].

Consideremos agora que haja um espelho fixo na posição x = 0 e, assim como na

construção realizada na seção anterior, o espelho é (inicialmente) ideal. Nesta situação, o

espelho impõe ao campo a condição de contorno de Robin generalizada com parâmetro γ

dependente do tempo, a saber

[(

1− γ(t)∂x + γ(t)α0∂2t

)

φ(t, x)]

x=0= 0, (2.52)

sendo o parâmetro de Robin generalizado, neste caso, dado por α = γ(t)α0. Esta escolha

contempla o modelo de Robin generalizado apresentado na referência [11].

Aplicando esta condição sobre o campo, teremos, para o lado direito

[

1− γ(t)(

∂x − α0∂2t

)]

[ϕout(t− x) + ψin(t+ x)]x=0 = 0, (2.53)

e para o lado esquerdo

[

1− γ(t)(

∂x − α0∂2t

)]

[ψout(t+ x) + ϕin(t− x)]x=0 = 0. (2.54)

Vamos agrupar estas duas relações utilizando uma notação matricial:

[

1− γ(t)(

∂x − α0∂2t

)]

Φout(t, x)|x=0 = S0[

1− γ(t)(

∂x − α0∂2t

)]

Φin(t, x)|x=0 , (2.55)


na qual utilizamos as seguintes definições:

S0 ≡

0 −1

−1 0

e Φ(t, x) =

ϕ(t− x)

ψ(t+ x)

. (2.56)

É-nos conveniente reescrever estas relações entre os campos out e in no domínio da

frequência. Fazendo isso teremos

[

1− Γ(ω) ∗(

∂x + α0ω2)]

eiηωx Φout(ω)|x=0 =

= S0[

1− Γ(ω) ∗(

∂x + α0ω2)]

eiηωxΦin(ω)∣

∣

x=0, (2.57)

na qual, Γ é a transformada de Fourier de γ e a notação ∗ significa a convolução entre

funções (dada pelo teorema da convolução); e também foi usado o fato de que, pelas

definições em (2.13) e (2.40), tem-se

Φ(ω, x) =

ϕ(ω)eiωx

ψ(ω)e−iωx

= eiηωx

ϕ(ω)

ψ(ω)

= eiηωxΦ(ω). (2.58)

Podemos, agora, aplicar a derivada espacial e, em seguida, tomar x = 0. Desse modo,

obteremos

[

1− Γ(ω) ∗(

iηω + α0ω2)]

Φout(ω) = S0[

1− Γ(ω) ∗(

iηω + α0ω2)]

Φin(ω). (2.59)

Com o intuito de, aqui, desenvolver os cálculos, como feito no caso do espelho móvel,

de maneira perturbativa, vamos escolher o parâmetro de Robin γ(t) como sendo uma

função que oscila ligeiramente em torno de um valor fixo γ0, ou seja,

γ(t) = γ0 + δγ(t). (2.60)

Se desligarmos a variação temporal do parâmetro de Robin, γ(t) = γ0, teremos a condição

de Robin usual. Os termos de segunda ordem serão desprezados5 com a justificativa de

5Poderíamos levar o cálculo até qualquer ordem de perturbação que desejássemos, mas levaremos atésomente a primeira, pois assim já é possível comparar nossos resutados àqueles obtidos por [21, 27]. Não


que |δγ| /γ0 ≪ 1.

A transformada de Fourier do parâmetro de Robin será dada por

Γ(ω) = γ0δ(ω) + δΓ(ω). (2.61)

Substituindo, então, Γ(ω) na equação (2.59) e organizando um pouco os termos obte-

mos

[

1− (γ0δ(ω) + δΓ(ω)) ∗(

iηω + α0ω2)]

Φout(ω) =

= S0[

1− (γ0δ(ω) + δΓ(ω)) ∗(

iηω + α0ω2)]

Φin(ω). (2.62)

Simplificando um pouco mais

[

1− (γ0 + δΓ(ω)∗)(

iηω + α0ω2)]

Φout(ω) = S0[

1− (γ0 + δΓ(ω)∗)(

iηω + α0ω2)]

Φin(ω),

(2.63)

e, então, separando os termos perturbados dos não-perturbados concluímos que

[

1− iηγ0ω − γ0α0ω2 − δΓ(ω) ∗

(

iηω + α0ω2)]

Φout(ω) =

= S0[

1− iηγ0ω − γ0α0ω2 − δΓ(ω) ∗

(

iηω + α0ω2)]

Φin(ω). (2.64)

Para fins de simplificação, reescreveremos esta última equação da seguinte maneira:

[M(ω)− δΓ(ω) ∗ (iη + α0ω)ω] Φout(ω) = S0 [M(ω)− δΓ(ω) ∗ (iη + α0ω)ω] Φin(ω),

(2.65)

na qual M(ω) é a matriz M(ω) ≡ 1− γ0α0ω2 − iηγ0ω.

Manipulando um pouco mais, obtemos

M(ω)Φout(ω)− δΓ(ω) ∗ (iη + α0ω)ωΦout(ω) =

= S0M(ω)Φin(ω)− δΓ(ω) ∗ S0 (iη + α0ω)ωΦin(ω). (2.66)

obstante, o cálculo até ordens mais altas é de implementação direta, e generalizaria os resultados encontradosnas referências [27, 44]


É importante notar que, em ambos os membros da equação acima, há um termo de or-

dem zero e um termo perturbativo somados e, portanto, esta equação tem a mesma estru-

tura de recorrência da equação (2.19). Sempre mantendo apenas os termos de primeira

ordem, ao multiplicarmos ambos os lados à esquerda por M−1 e iterarmos o resultado

uma vez, obtemos

Φout(ω) = S(ω)Φin(ω)−

M−1(ω) {δΓ(ω) ∗ ω [S0 (iη + α0ω)− (iη + α0ω)S(ω)] Φin(ω)} , (2.67)

com S(ω) ≡ M(ω)−1S0M(ω).

Aplicamos, finalmente, a convolução e obtemos

Φout(ω) = S(ω)Φin(ω)−M(ω)−1 ×

×ˆ

dω′

2πδΓ(ω − ω′)ω′

[

S0(

α0ω′ + iη

)

−(

α0ω′ + iη

)

S(ω′)]

Φin(ω′). (2.68)

Usando o fato de que I = M(ω)M(ω)−1, temos

Φout(ω) = S(ω)Φin(ω)−ˆ

dω′

2πδΓ(ω − ω′)ω′ ×

×[

S(ω)M(ω)−1(

α0ω′ + iη

)

−M(ω)−1(

α0ω′ + iη

)

S(ω′)]

Φin(ω′). (2.69)

Perceba que, aqui, a matriz que chamamos de S(ω), definida anteriormente por S(ω) =

M(ω)−1S0M(ω), é dada explicitamente por

S(ω) =

0 eiσ(ω)

e−iσ(ω) 0

, (2.70)

sendo e±iσ(ω) os termos de fase para o caso de um espelho parado e ideal que impõe a

condição de Robin generalizada (com parâmetro independente do tempo), como já foi

visto em (2.18), dados por

e±iσ(ω) = −1− γ0α0ω2 ± iγ0ω

1− γ0α0ω2 ∓ iγ0ω. (2.71)


O leitor deve ter percebido que não foi à toa que escolhemos o símbolo “S” para represen-

tar tal matriz, pois, neste momento, a identificamos como sendo a matriz de espalhamento

(para um espelho com parâmetro de Robin independente do tempo).

Queremos aqui incluir os efeitos de transmissão, e esta inclusão será feita identica-

mente ao caso do espelho móvel: vamos generalizar a matriz S(ω) da maneira como

foi feita na equação (2.22), obedecendo, é claro, às mesmas propriedades. Tendo sido

feita tal generalização, a condição de contorno que agora o espelho impõe sobre o campo

também será chamada de tipo Robin. Para fazer distinção deste caso ao caso do espelho

móvel, convencionaremos as seguintes nomenclaturas: espelho “tipo Robin móvel” e espe-

lho “tipo Robin dependente do tempo”. Dito isto, prossigamos com a construção da matriz

de espalhamento.

A relação entre o campo espalhado e o campo incidente, para um espelho impondo

uma condição tipo Robin dependente do tempo, é dada por


dω′

2πiω′δΓ(ω − ω′)×

×[

S(ω)M(ω)−1(

η − iα0ω′)

−M(ω)−1(

η − iα0ω′)

S(ω′)]

Φin(ω′). (2.72)

Para escrever esta relação de uma forma mais compacta, definiremos a seguinte matriz:

N (ω, ω′) = M(ω)−1(

η − iα0ω′)

=(

1− γ0α0ω2 − iηγ0ω

)−1 (η − iα0ω

′)

. (2.73)

Dessa forma, temos


dω′

2πiω′δΓ(ω − ω′)

[

S(ω)N (ω, ω′)−N (ω, ω′)S(ω′)]

Φin(ω′).

(2.74)

Finalmente, para o caso tipo Robin dependente do tempo, a matriz S(ω, ω′) é dada por

S(ω, ω′) = 2πδ(ω − ω′)S(ω) + δS(ω, ω′). (2.75a)

com

δS(ω, ω′) = −iω′δΓ(ω − ω′)[

S(ω)N (ω, ω′)−N (ω, ω′)S(ω′)]

. (2.75b)


Notamos que a matriz de espalhamento, seja para o caso tipo Robin dependente do

tempo, seja para o caso tipo Robin móvel, apresenta a mesma estrutura. Para chegar a

esta conclusão, basta comparar as equações (2.50) e (2.75b).

Um último comentário: a condição de Robin generalizada com parâmetro γ = γ(t) =

γ0 + δγ(t) e a condição de Dirichlet sobre um espelho móvel (expandida até primeira

ordem de aproximação), dadas, respectivamente, por

[

1− γ(t)(

∂x − α0∂2t

)]

φ(t, x)

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0 (2.76)

e

φ(t, x)

∣

∣

∣

∣

x=δq(t)

= [1 + δq(t)∂x]φ(t, x)

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0, (2.77)

são matematicamente idênticas se γ0 = α0 = 0. Portanto, as matrizes de espalhamento

de ambos os casos também são as mesmas. De fato, se tomarmos γ0 = α0 = 0 em (2.73),

temos N (ω, ω′).= η, e as matrizes de ambos os casos serão iguais.

Capítulo 3

Fenômeno de criação de partículas

O objetivo deste capítulo é apresentar o cálculo do espectro de criação de partículas,

bem como discutir os resultados de algumas aplicações. Isto será feito para duas situações

distintas (para as quais construímos as respectivas matrizes de espalhamento nas seções

2.3 e 2.4): o caso de um espelho móvel; e o caso de um espelho estático que pode simular

um espelho móvel. Utilizando essas matrizes S(ω, ω′) é possível calcular, diretamente, o

espectro de partículas criadas.

Supondo que o estado inicial do campo seja o estado de vácuo, para o cálculo do

espectro basta aplicar a seguinte fórmula [25]:

dN

dω=

1

(2π)2

ˆ ∞

0dω′ n

(

ω, ω′)

, (3.1a)

na qual dN/dω é a densidade espectral, e n(ω, ω′) dada por

n(

ω, ω′)

=ω

ω′Tr

[

S(

ω,−ω′)

S†(ω,−ω′)]

, (3.1b)

que pode ser interpretada como o número de fatores espalhados com frequência entre ω

e ω + dω devido a fatores incidentes com frequência entre ω′ e ω′ + dω′, por unidade de

frequência. Desse modo, o número total de partículas criadas é dado por

N =

ˆ ∞

0dω

dN

dω. (3.1c)

41

3 Fenômeno de criação de partículas 42

Uma breve discussão e a dedução destas fórmulas podem ser encontradas na referência

[45].

Tudo o que precisamos para o cálculo do espectro, segundo o conjunto de equações

(3.1), é da matriz S(ω, ω′), que é dada pela equação (2.50) para o caso do espelho móvel,

e pela equação (2.75a) para o caso do espelho estático. As matrizes S(ω, ω′) das duas

situações consideradas aqui têm em comum a seguinte estrutura:

S(ω, ω′) = δ(ω − ω′)S(ω) + δS(ω, ω′), (3.2)

(um fator 2π, irrelevante para a discussão, foi suprimido). Note que a equação (3.2)

é formada, basicamente, por um termo não-perturbado com um fator de delta de Dirac

somado a um termo perturbativo gerado pela dependência temporal da condição de con-

torno. Portanto

S(

ω,−ω′)

S†(ω,−ω′) = δ(ω + ω′)S(ω)S†(ω) + δ(ω + ω′)S(ω)δS†(ω,−ω′) +

+ δ(ω + ω′)δS(ω,−ω′)S†(ω) + δS(ω,−ω′)δS†(ω,−ω′). (3.3)

Entretanto, note que as três primeiras parcelas à direita da equação acima são todas mul-

tiplicadas por δ(ω + ω′), e o intervalo de integração da equação (3.1a) só contempla as

frequências positivas. Por conta disso, somente a parcela isenta de deltas de Dirac contri-

bui para o espectro. Como o traço se distribui linearmente para a soma de matrizes, só é

então relevante calcular

n(

ω, ω′)

=ω

ω′Tr

[

δS(

ω,−ω′)

δS†(ω,−ω′)]

, (3.4)

o que serve de garantia para que não haja criação de partículas caso cessemos o movi-

mento do espelho ou a variação temporal de suas propriedades. De fato, somente os

termos de correção δS devem contribuir para criar partículas.

Calculemos, agora, o espectro para ambas as situação consideradas aqui, nas quais

ocorrem o efeito Casimir dinâmico.

3.1 Criação de partículas devido a um espelho móvel 43

3.1 Criação de partículas devido a um espelho móvel

Vamos, então, substituir (2.51) em (3.4). Depois de feitas algumas simplificações, o

espectro apresentará o seguinte aspecto:

dN

dω=

2ω

(2π)2

ˆ ∞

0dω′ ω′

∣

∣δQ(ω + ω′)∣

∣

2λ(ω, ω′), (3.5)

com

λ(ω, ω′) = Re[

2− s+(ω)s+(ω′)− s−(ω)s−(ω

′) + r+(ω)r+(ω′) + r−(ω)r−(ω

′)]

. (3.6)

Note que a função λ(ω, ω′) depende somente das propriedades de transparência do espe-

lho.

Pode-se realizar vários testes de consistência desta última expressão, e um deles, por

exemplo, é explorar a fórmula (3.5) no limite de espelhos perfeitos, o que será realizado na

próxima subseção. Para o caso particular em que se toma r+(ω) = r−(ω) e s+(ω) = s−(ω),

recupera-se o resultado já existente em [25]. Dessa expressão, podemos concluir, ainda,

que só há partículas criadas com frequências menores ou iguais à frequência de oscilação

do espelho. Para ilustrar isso, vamos então escolher, por conveniência, a seguinte lei de

movimento oscilatória amortecida para o espelho1:

δq(t) = δq0 cos(ω0t)e−|t|/T , (3.7)

sendo ω0 a frequência mecânica de oscilação do espelho e T o tempo característico de

oscilação.

O espectro de partículas criadas devido ao movimento do espelho, dado de maneira

geral pela fórmula (3.5), requer a expressão para δQ(ω), que para a nossa escolha de lei

1Grande parte das referências, com as quais iremos comparar os resultados aqui obtidos, também escolhemesta lei de movimento, que é conveniente por razões simples: ela simplifica consideravelmente os cálculos,como veremos; e espera-se que, na prática em uma situação experimental, os espelhos obedeçam de fato aleis de movimento como esta.


de movimento na equação (3.7) é dada por

δQ(ω) = δq0T

[

1

1 + (ω − ω0)2T 2+

1

1 + (ω + ω0)2T 2

]

. (3.8)

A rigor, para o cálculo do espectro, precisamos da função |δQ(ω)|2. Essa função, se

considerarmos ω0T ≫ 1, apresenta dois picos muito acentuados em torno das frequências

ω = ±ω0, portanto, nesse regime, essas devem ser as únicas frequências que contribuem

significativamente para o espectro. Para reforçar essa afirmativa, tracemos o gráfico de

|δQ(ω)|2 (veja figura 3.1).

Figura 3.1: Gráfico da função |δQ(ω)|2 com δq0 = 1; ω0 = 2 e T = 50.

Para finalizar a análise de |δQ(ω)|2 vejamos, ainda, a seguinte integral:

ˆ ∞

0dω |δQ(ω)|2 =

δq20Tπ

2

[

2 + T 2ω20

1 + T 2ω20

]

≈ δq20Tπ

2se ω0T ≫ 1. (3.9)

E como δQ(ω) é uma função par, a integral na região ] −∞, 0] apresenta o mesmo resul-

tado.

Reunindo todas essas características acerca da função δQ(ω), podemos fazer a seguinte

aproximação:

|δQ(ω)|2 ≈ π

2δq20T [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] , (3.10)


no regime ω0T ≫ 1.

Finalmente, substituindo (3.10) em (3.5), teremos

dN

dω=δq20Tω

4π

ˆ ∞

0dω′ ω′

[

δ(ω + ω′ − ω0) + δ(ω + ω′ + ω0)]

λ(ω, ω′). (3.11)

Ainda, nota-se que, pelo fato de ω0 e ω serem positivos e a integral em ω′ só abranger

os valores positivos, a segunda delta de Dirac na equação acima não contribui, pois seu

ponto fonte está fora da região de integração, portanto

dN

dω=δq20Tω

4π

ˆ ∞

0dω′ ω′δ(ω′ − (ω0 − ω))λ(ω, ω′). (3.12)

Pode-se, aqui, também notar que o espectro só será não-nulo se ω0 ≥ ω. Teremos, por-

tanto,dN

dω=δq20T

4πΘ(ω0 − ω)ω(ω0 − ω)λ(ω, ω0 − ω), (3.13)

no qual a função de Heaviside Θ(ω0 − ω) garante que, de fato, não haverá partículas

criadas com frequência maior que a frequência de oscilação do espelho, confirmando o

que já havíamos dito. Esta informação fortalece a hipótese feita em (2.36), de que a

amplitude de oscilação do espelho é muito menor do que o comprimento de onda mínino

das partículas criadas.

Naturalmente, não há criação de partículas se o movimento do espelho for cessado, o

que pode ser verificado diretamente tomando-se δq0 = 0 ou T = 0 na equação (3.13).

Note, também, que o número total de partículas criadas N , obtido pela integração da

equação (3.13), será proporcional ao tempo de oscilação T , o que é esperado num sistema

com uma geometria aberta [4, 18]. Por conta disso, em vez de lidar com o número de

partículas criadas por si só, será mais interessante tratarmos com uma taxa de criação de

partículas N/T .

Destacamos, ainda, o fato de o espectro (3.13) apresentar uma simetria de reflexão em

relação ao ponto ω = ω0/2, ou seja, o espectro não se altera pela troca ω ↔ ω0 − ω; isto é

uma assinatura de que as partículas são criadas ao pares [4, 18, 20]: para cada quantum

criado com certa frequência ω1, há outro equivalente com frequência ω2 = ω0 − ω1, de


modo que a energia do par seja dada por Epar = ~(ω1 + ω2) = ~ω0, e, portanto, por

consequência desta simetria, a energia total das partículas criadas pode ser obtida através

de

E =1

2N~ω0. (3.14)

A seguir faremos algumas aplicações destas fórmulas.

3.1.1 Espelhos ideais

Nesta subseção aplicaremos a fórmula (3.13) para o limite de um espelho perfeito, ou

seja,

s±(ω) → 0 e r±(ω) → e±iσ(ω) (3.15)

para todas as frequências.

Neste limite, a função λ(ω, ω′) toma a forma

λideal(ω, ω′) = 2

[

1 + Re(

eiσ(ω)eiσ(ω′))]

. (3.16)

Portanto, o formato do espectro vai depender, exclusivamente, da defasagem com que o

campo é refletido o qual, conforme já dissemos, depende somente da condição de contorno

imposta pelo espelho. Exploremos alguns casos específicos.

3.1.1.1 Condições de Dirichlet e Neumann

Podemos perceber, aqui, que se o espelho impõe a condição de Dirichlet, no qual

eiσ(ω) = −1, ou se o espelho impõe a condição de Neumann, no qual eiσ(ω) = 1 (basta

revisitar as equações (2.15), (2.16) e (2.19) para verificação), obtemos, para estes dois

casos, a mesma função

λD/N(ω, ω′) = 4, (3.17)

e, portanto, geram o mesmo espectro, dado por

dN

dω

∣

∣

∣

∣

D/N

=8ω

(2π)2

ˆ ∞

0dω′ ω′

∣

∣δQ(ω + ω′)∣

∣

2, (3.18)


estando de acordo com a equivalência entre as condições de Dirichlet e Neumann no

contexto do efeito Casimir dinâmico em 1+1 dimensões [16, 18, 20].

Com a lei de movimento oscilatória que escolhemos (equação (3.7)) e a aproximação

feita na equação (3.10), obtemos o seguinte espectro para os casos Dirichlet e Neumann:

dN

dω

∣

∣

∣

∣

D/N

=δq20T

πΘ(ω0 − ω)ω(ω0 − ω), (3.19)

e, por conseguinte, o número total de partículas, dado em geral por (3.1c), será

ND/N =δq20T

π

ˆ ω0

0dω ω(ω0 − ω) =

δq20Tω30

6π. (3.20)

Este resultado foi obtido por [25].

Neste caso, a taxa de criação de partículas, N/T , é uma função monotonicamente

crescente da frequência de oscilação do espelho, o que poderíamos intuitivamente esperar:

“se mover um espelho gera partículas, então mover o espelho mais freneticamente gera

mais partículas”. Este é, no entanto, um raciocínio ingênuo; veremos adiante, ao discutir

a condição de Robin, que isto não ocorre sempre.

Nota-se que na vizinhança do ponto de simetria do espectro, ω = ω0/2, ocorre uma

máxima criação de partículas (como está ilustrado na figura 3.2). Esta característica do

espectro, já destacada por [25], pode ser de grande utilidade numa situação experimen-

tal, por exemplo, para distinguir as partículas criadas (via efeito Casimir dinâmico) que

estarão amalgamadas com as outras já existentes ou de quaisquer efeitos espúrios.

3.1.1.2 Condição de Robin

Outra condição que será, aqui, explorada é a condição de Robin. Já vimos anterior-

mente que, diferentemente dos casos de Dirichlet e Neumann, esta apresenta um termo

de fase não trivial que depende da frequência do campo incidente. Este termo de fase −

basta revisitar as equações (2.17) e (2.19) para verificação − é dado por

eiσ(ω) = −1 + iγω

1− iγω, (3.21)


Figura 3.2: No eixo vertical: o espectro[

π/(δq20T )]

dN/dω como função de ω/ω0 para oscasos Dirichlet e Neumann. Há uma simetria em relação ao ponto onde ocorre a máximacriação de partículas, ω = ω0/2.

portanto, substituindo a equação acima em (3.16) obtem-se

λRobin(ω, ω′) =

4(

1− γ2ωω′)2

(1 + γ2ω2) (1 + γ2ω′2), (3.22)

que nos limites apropriados, como é esperado da condição de Robin, recupera a função

λ(ω, ω′) = 4 dos casos Dirichlet e Neumann.

Substituindo (3.22) em (3.5), obtemos o espectro para esse caso, que é dado por

dN

dω

∣

∣

∣

∣

Robin

=4ω

π (1 + γ2ω2)

ˆ ∞

0

dω′

2π

ω′(

1− γ2ωω′)2

1 + γ2ω′2

∣

∣δQ(ω + ω′)∣

∣

2. (3.23)

Esse resultado já fora obtido por Mintz et al [18, 20]2.

Para nossa escolha de lei de movimento e com a aproximação feita em (3.10) (a mesma

escolhida nos trabalhos de Mintz et al) obtemos:

dN

dω

∣

∣

∣

∣

Robin

=δq20T

π

ω(ω0 − ω)(

1− γ2ω(ω0 − ω))2

(1 + γ2ω2)(

1 + γ2 (ω0 − ω)2)Θ(ω0 − ω). (3.24)

2Na verdade, esse é o dobro do resultado de Mintz et al. O fator 2 aparece aqui porque estamos levandoem conta as partículas criadas em ambos os lados do espelho, enquanto que nos trabalhos de Mintz et al

considera-se apenas o lado direito.


Nota-se que o espectro, para este caso, diferentemente dos casos Dirichlet e Neumann,

não apresenta em geral uma criação máxima de partículas na vizinhança de ω = ω0/2

(ilustrado na figura 3.3). Ao aumentar o valor de γ, partindo de γ = 0 (caso Dirichlet),

o pico, que inicialmente ocorre no centro do espectro, começa a reduzir-se bruscamente,

culminando na formação de dois picos próximos às bordas ω = 0 e ω = ω0. A partir de

um certo valor próximo de γω0 = 2, o espectro torna a aumentar até recuperar a sua

forma inicial (caso Neumann), o que já era esperado uma vez que os espectros dos casos

Dirichlet e Neumann são, neste contexto, idênticos.

Figura 3.3: No eixo vertical, o espectro[

π/(δq20T )]

dN/dω como função de ω/ω0. Estamosconsiderando ω0 = 1 . A linha tracejada é o espectro de Robin com γ = 0, que, como jásabemos, é identicamente ao de Dirichlet. As linhas contínuas são os espectros de Robinpara diferentes valores de γ. Perceba que nenhuma das linhas contínuas ultrapassa a linhatracejada.

O espectro do caso Robin é sempre menor ou igual ao espectro do caso Dirichlet3. A

grosso modo, o espectro de Robin é o próprio espectro de Dirichlet multiplicado por um

fator de redução; para chegar a essa conclusão, além de contar com a análise dos gráficos

3Doravante, considerando que o leitor já está informado que os espectros dos casos Dirichlet e Neumannsão idênticos, passaremos a escrever apenas “Dirichlet” ao invés de “Dirichlet e Neumann” ao fazer mençãoao espectro destes casos.


na figura 3.3, basta comparar as equações (3.19) e (3.24), a saber

dN

dω

∣

∣

∣

∣

Robin

=

[

1− γ2ω(ω0 − ω)]2

(1 + γ2ω2)[

1 + γ2 (ω0 − ω)2]

dN

dω

∣

∣

∣

∣

Dirichlet

. (3.25)

O fator entre chaves nesta última equação, para qualquer valor de γ é sempre menor ou

igual a 1, por esse motivo o chamamos de fator de redução.

O número total de partículas criadas, dado em geral pela integral em (3.1c), para este

caso é dado por [20]

N =δq20Tω

30

πF (γω0), (3.26)

sendo

F (x) =x[

4x+ x3 + 12arctan(x)]

− 6(2 + x2) log(1 + x2)

6(4 + x2)x2. (3.27)

Nos limites em que recuperam-se as condições de Dirichlet e Neumann, a função F = 1/6,

portanto, nestes limites, a taxa de criação do caso Robin (3.26) recupera, como o deveria,

a taxa dos casos de Dirichlet e Neumann (3.20).

Note que para o caso de Robin, diferentemente dos casos de Dirichlet e Neumann,

a taxa de criação de partículas não é monotonicamente crescente de ω0; na figura 3.4

pode-se observar que na vizinhança de ω0γ = 2 a curva apresenta uma variação negativa,

portanto, ocorre uma dimuição na taxa de partículas criadas ao aumentar-se ω0. Note,

ainda, que a razão entre as taxas de criação do caso Robin e do caso Dirichlet NR/ND =

6F (ω0γ) ≤ 1, e na vizinhança de ω0γ = 2 esta razão é mínima (ver figura 3.5).


Figura 3.4: No eixo vertical, a taxa de criação de partículas (π/δq20)(N/T ). Neste caso, ataxa não é uma função monotonicamente crescente de ω0, diferentemente do que ocorrenos casos de Dirichlet e Neumann.

Figura 3.5: No eixo vertical, a redução da taxa de criação de partículas do caso Robin emrelação ao caso Dirichlet NR/ND.

A função λ(ω, ω′), dada pela equação (3.16), mostra que no caso de espelhos ideais

o espectro depende exclusivamente da defasagem σ(ω) do campo refletido (quando o

espelho está parado); e a função λ(ω, ω′) pode assumir valores no intervalo [0, 4]. Supo-


nhamos, então, que alguma condição de contorno fizesse com que o campo fosse refletido

com σ(ω) = π/2 para todo ω; esta condição geraria λ(ω, ω′) = 0 e, consequentemente,

segundo a equação (3.13), o espectro seria nulo. Em contrapartida, quando a condição de

contorno gera λ(ω, ω′) = 4, que são os casos de Dirichlet e Neumann nos quais σ(ω) = π

e σ(ω) = 0, o espectro assume seu valor máximo em cada valor de ω; isso garante que

qualquer condição de contorno4 irá gerar sempre um espectro menor que o dos casos de

Dirichlet e Neumann.

Já dissemos que somente os modos com frequências ω < ω0 contribuem para a criação

de partículas, então, no caso de Robin, em que a defasagem pode ser controlada pelo

parâmetro γ, quando ω0γ ≪ 1 ter-se-ia σ ≈ π, ou seja, quase todos os modos seriam

refletidos como no caso da condição de Dirichlet e, portanto, λ ≈ max(λ) =4. Porém, se

ω0γ ≈ 1 grande parte dos modos seriam refletidos com defasagem σ ≈ π/2, isso geraria

λ ≈ min(λ) =0, e, portanto, não contribuiriam para o espectro. Isso explica a diminuição

do espectro observada nos gráficos da figura 3.3. Este efeito é ainda mais evidente quando

ω0γ ≈ 2 (figura 3.5). Por último, se ω0γ ≫ 1, apenas uma quantidade insignificante de

modos seriam refletidos com σ ≈ π/2; a maior parte deles seriam refletidos com σ ≈ 0

como no caso da condição de Neumann e, portanto, λ ≈ 4, explicando o fato do espectro

tornar a aumentar.

3.1.1.3 Condição Robin generalizada

Ainda no contexto de espelhos ideais, vamos considerar a condição de contorno de

Robin generalizada (1.12), que acrescenta um termo de derivada temporal na condição

de Robin usual. Neste caso, a fase do campo refletido será, conforme dissemos na equação

(2.18), dada por:

eiσ(ω) =1− αω2 + iγω

1− αω2 − iγω, (3.28)

portanto, substituindo a equação acima em (3.16) obtem-se:

λRG(ω, ω′) =

4[(

1− αω2) (

1− αω′2)

− γ2ωω′]2

[

(1− αω2)2 + γ2ω2] [

(1− αω′2)2 + γ2ω′2] , (3.29)

4Desde que não haja nenhum parâmetro dependente do tempo envolvido na condição de contorno.


na qual, se tomarmos α = 0 recupera-se (3.22).

Substituindo (3.29) em (3.5), obtemos o espectro para esse caso como sendo

dN

dω

∣

∣

∣

∣

RG

=4ω

π[

(1− αω2)2 + γ2ω2] ×

×ˆ ∞

0

dω′

2π

ω′[(

1− αω2) (

1− αω′2)

− γ2ωω′]2

(1− αω′2)2 + γ2ω′2

∣

∣δQ(ω + ω′)∣

∣

2. (3.30)

Não encontramos na literatura, para fins de comparação, nenhum trabalho que tenha

considerado esta mesma condição de contorno no contexto de espelhos móveis.

Para nossa escolha de lei de movimento e com a aproximação feita na equação (3.10)

obtemos:

dN

dω

∣

∣

∣

∣

RG

=δq20T

π

ω(ω0 − ω)[

(1− αω2)2 + γ2ω2] ×

×[(

1− αω2) (

1− α(ω0 − ω)2)

− γ2ω(ω0 − ω)]2

(1− α(ω0 − ω)2)2 + γ2(ω0 − ω)2Θ(ω0 − ω), (3.31)

novamente, se tomarmos α = 0 recupera-se (3.24). Note que se se fizermos γ = 0, inde-

pendente de qualquer escolha para o parâmetro α, o espectro do caso Robin generalizado,

dado pela equação acima, reduz-se ao do caso Dirichlet, como esperado. Ainda, escolher

valores negativos para α modificaria o espectro, diferentemente do que aconteceria se

fizéssemos o mesmo com γ, pois este último sempre aparece elevado ao quadrado.

Uma discussão sobre as implicações dos termos de fase sobre o espectro seguiria, aqui,

de forma muito semelhante à que já foi feita no caso de Robin usual (com α = 0), por-

tanto, para tentar não sermos repetitivos, não a faremos. Limitaremo-nos a mostrar grafi-

camente, na figura (3.6), como a inserção da derivada temporal influencia no espectro de

Robin.



π/(δq20T )]

dN/dω como função de ω/ω0 . Alinha tracejada é o espectro com γ = α = 0, que, como já sabemos, é identicamente aode Dirichlet e, portanto, sempre o maior. As linhas contínuas são os espectros de Robingeneralizado para diferentes valores de γ e α.

3.1.2 Espelhos parcialmente refletores

Nesta subseção, aplicaremos a fórmula (3.13) para o caso de um espelho parcialmente

refletor. Os campos de ambos os lados do espelho, que eram isolados no caso do espelho

perfeito, agora misturam-se. Neste caso, com base no que foi dito na subseção 2.2.1, o

campo transmitido também interage com o espelho e sofre, em geral, uma mudança de

fase, por conta disso deve, certamente, contribuir para o espectro; de fato, os coeficientes

de transmissão s+(ω) e s−(ω) aparecem explicitamente na fórmula do espectro (3.5).

Apesar disso, quando o espelho é totalmente transparente, isto é, quando s±(ω) = 1 e

r±(ω) = 0, essa contribuição desaparece pois λ(ω, ω′) = 0.

Precisamos escolher, então, elementos da matriz de espalhamento tais que s±(ω) 6= 0,


que satisfaçam as propriedades listadas na subseção 2.2.1 e recuperem, nos limites ade-

quados, os casos ideais discutidos na subseção anterior. Comecemos escolhendo coefici-

entes tipo Dirichlet e tipo Neumann.

3.1.2.1 Condições tipo Dirichlet e tipo Neumann

Coeficientes que satisfazem todas as propriedades desejadas, e no limite de um es-

pelho perfeito recaem no caso Dirichlet já foram mencionados na equação (1.18), são

aqueles considerados por Barton e Calogeracos [24]. Adaptando tais coeficientes para

nosso padrão de notação teremos

r+(ω) = r−(ω) = − iωc

ω + iωce s+(ω) = s−(ω) =

ω

ω + iωc, (3.32)

lembrando que ωc é o parâmetro que controla a refletividade do espelho. De fato, no

limite de um espelho perfeito (ωc → ∞),

r±(ω) = −1 e s±(ω) = 0, (3.33)

recai-se no caso Dirichlet.

Ainda, uma outra pequena adaptação a tais coeficientes permite que no limite do es-

pelho perfeito recupere-se o caso de Neumann; basta fazer r±(ω) → −r±(ω), a saber

r±(ω) =iωc

ω + iωce s±(ω) =

ω

ω + iωc, (3.34)

recaindo, de fato, no caso Neumann quando ωc → ∞.

Substituindo então (3.32) ou (3.34) em (3.6) virá:

λ(ω, ω′) = 2ω2c

[

2ω2c + ω′2 + ω2

(ω2c + ω2) (ω2

c + ω′2)

]

. (3.35)

Note que o sinal “±” do coeficiente de reflexão não faz nenhuma diferença à função

λ(ω, ω′), mostrando, então, que os casos tipo Dirichlet e tipo Neumann apresentam o

mesmo espectro.


Desse modo, de acordo com a equação (3.13), o espectro para estes casos (tipo Diri-

chlet e tipo Neumann) será dado por:

dN

dω=δq20T

2πΘ(ω0 − ω)ω(ω0 − ω)ω2

c

2ω2c + (ω0 − ω)2 + ω2

(ω2c + ω2) (ω2

c + (ω0 − ω)2). (3.36)


π/(δq20T )]

dN/dω como função de ω/ω0 paradiferentes valores de ωc

Por comparação, a grosso modo, o espectro no caso tipo Dirichlet é igual ao espectro

do caso ideal − que é o próprio caso Dirichlet − multiplicado por um fator de redução:

dN

dω=

[

ω2c

2

2ω2c + (ω0 − ω)2 + ω2

(ω2c + ω2) (ω2

c + (ω0 − ω)2)

]

dN

dω

∣

∣

∣

∣

Ideal

. (3.37)

O fator de redução é o termo entre colchetes e o espectro do caso ideal é dado por (3.19).

O fato de os coeficientes de reflexão e transmissão serem complexos implica que, além

de apresentar variações na refletividade (|r(ω)| ≤ 1), o campo será espalhado com uma

mudança de fase. Para ilustrar isso, examinemos, por exemplo, o coeficiente de reflexão

do caso tipo Neumann:

r±(ω) =iωc

ω + iωc= |r(ω)|eiσ(ω) = ωc

√

ω2 + ω2c

ei arctan(ω/ωc). (3.38)


Naturalmente, quando aumenta-se o valor de ωc aumenta-se a refletividade |r(ω)|; mas

note que surge um fator de fase não trivial σ(ω) que depende do parâmetro ωc, e isso

retoma uma discussão já feita anteriormente (no final seção em que se discute o caso

Robin 3.1.1.2) acerca das implicações da defasagem sobre o espectro, e explica o fato do

pico do espectro (figura 3.7) sofrer uma redução mais acentuada que os demais pontos

conforme reduz-se a razão ωc/ω0, culminando no surgimento de dois picos próximos às

bordas ω = 0 e ω = ω0. Em suma, o parâmetro ωc, além de controlar a refletividade do

espelho, também controla a defasagem do campo espalhado, e a defasagem, por sua vez,

pode modificar o formato do espectro.

Como somente os modos com frequência ω < ω0 contribuem para o efeito, o limite

de um espelho perfeito acaba por se tornar ω0/ωc ≪ 1, ou seja, quando a frequência

de corte ωc é muito maior que a frequência ω0 praticamente todos os modos serão refle-

tidos como se estivessem incidindo sobre um espelho perfeito. No outro caso extremo,

quando ω0/ωc ≫ 1 ter-se-ia o espelho transparente a todas as frequências, e praticamente

todos os modos relevantes (aqueles com ω < ω0) seriam, portanto, transmitidos total-

mente (não sentiriam a presença do espelho). No caso intermediário, quando ω0/ωc ∼ 1,

parte considerável dos modos refletir-se-iam parcialmente; seria este, portanto, o espelho

parcialmente transparente.

A taxa de criação de partículas, obtida pela integração da equação (3.36), é dada por

N

T=δq202π

ω30G(ω0/ωc), (3.39)

na qual

G(x) =2 arctan(x) + x ln

(

x2 + 1)

− 2x

x3. (3.40)

No limite de um espelho perfeito temos G(x→ 0) = 1/3, o que está em concordância com

a equação (3.20). No caso do espelho transparente para todas as frequências (ω0/ωc ≫ 1)

o espectro é nulo.

Comparando a taxa de criação do caso semitransparente com a taxa do caso ideal tere-

mos N/Nideal = 3G(ω0/ωc) ≤ 1. Esta razão representa ‘como’ e ‘o quanto’ a taxa de criação

diminui conforme tornarmos o espelho cada vez mais transparente; ela depende unica-


mente da variável adimensional ω0/ωc tendendo, assintoticamente (e monotonicamente

decrescente), a 0 quando ω0/ωc ≫ 1; o que seria esperado já que o espelho totalmente

transparente não gera partículas. Este comportamento está ilustrado na figura 3.8.

Figura 3.8: No eixo vertical, a razão entre as taxas dos casos semitransparente e ideal,N/Nideal, como função de ω0/ωc.

Poderíamos, intuitivamente, esperar que quanto mais transparente fosse o espelho

menos partículas ele geraria, uma vez que menos modos do campo iriam interagir com o

espelho e contribuir efetivamente para a criação de partículas. No entanto, é preciso ter

cuidado com esse raciocínio; veremos, adiante, que isto não ocorre sempre.

3.1.2.2 Condições tipo Robin usual e tipo Robin generalizado

Fazem-se necessários coeficientes que no limite de um espelho perfeito recaiam naque-

les associados à condição de Robin. Para isso, faremos outra adaptação aos coeficientes

de Barton e Calogeracos:

r±(ω) =

[

1− αω2 ± iγω

1− αω2 ∓ iγω

]

iωc


ω

ω + iωc, (3.41)


(para não sermos repetitivos vamos discutir apenas o caso da condição de Robin generali-

zada, já que tomando-se α = 0 recupera-se o caso de Robin usual).

O campo, para esta escolha de coeficientes, é transmitido tal qual nos casos tipo Dirich-

let e tipo Neumann: com defasagem devido as propriedades de transparência do espelho.

Para o campo refletido, além da defasagem devido a transparência do espelho, incluimos

um termo de defasagem que é aquele experimentado quando o espelho impõe a condição

de Robin generalizada (é o fator entre colchetes nessa última equação).

Antes de prosseguirmos, alguns esclarecimentos fazem-se necessários. As adaptações

que temos feito aos coeficientes de Barton e Calogeracos são, na verdade, fruto de uma

propriedade de matrizes unitárias, tal como o é a matriz de espalhamento. A proprie-

dade de unitariedade continua inalterada pela seguinte modificação da matriz de espalha-

mento:

S(ω) → eiηh(ω)S(ω)e−iηh(ω), (3.42)

sendo h(ω) uma função real, a saber

S(ω)S†(ω) = eiηh(ω)S(ω)e−iηh(ω)eiηh(ω)S†(ω)e−iηh(ω) = I; (3.43)

ainda, se h(−ω) = −h(ω) (é direto mostrar que no caso da equação (3.41) isto é satis-

feito), as outras propriedades da matriz de espalhamento também permanecem inaltera-

das.

As matrizes exp [iηh(ω)] têm, explicitamente, o seguinte formato:

exp (iηh) =

(

1− h2

2!+h4

4!+ · · ·

)

+ iη

(

h− h3

3!+h5

5!+ · · ·

)

= cos h+ iη senh

=

cos h+ i senh 0

0 cosh− i senh

. (3.44)

Portanto

exp

[

1

2iηh(ω)

]

=

exp[

12 ih(ω)

]

0

0 exp[

−12 ih(ω)

]

; (3.45)


o fator 1/2 surgiu nesta última para fins de simplificação.

Com essa modificação, a matriz de espalhamento passaria a ser

S(ω) →

s(ω) r(ω)eih(ω)

r(ω)e−ih(ω) s(ω)

, (3.46)

de outra forma,

s±(ω) = s(ω) =ω

ω + iωce r±(ω) = r(ω)e±ih(ω) =

iωc

ω + iωce±ih(ω). (3.47)

Esta modificação não altera o coeficiente de transmissão, mas acrescenta um fator de fase

extra ao coeficiente de reflexão. Explorando esta propriedade de matrizes unitárias pode-

se adaptar, tal como fizemos, a matriz de espalhamento tipo Dirichlet para, por exemplo,

tipo Robin. Tudo que fizemos foi escolher

e±ih(ω) =1− αω2 ± iγω

1− αω2 ∓ iγω. (3.48)

A rigor, qualquer modificação pode ser feita na matriz de espalhamento desde que suas

propriedades permaneçam inalteradas. A modificação que fizemos já é suficiente para

nossos interesses. Dito isto, voltemos ao cômputo do espectro.

Com os coeficientes escolhidos teremos

λ(ω, ω′) = 2Re

[

1− ω

ω + iωc

ω′

ω′ + iωc+

iωc

ω + iωc

iωc

ω′ + iωcH(ω, ω′)

]

, (3.49)

sendo

H(ω, ω′) =

[(

1− αω2) (

1− αω′2)

− γ2ωω′]2 −

[

γω(

1− αω′2)

+ γω′(

1− αω2)]2

[

(1− αω2)2 + γ2ω2] [

(1− αω′2)2 + γ2ω′2] (3.50)

um fator que depende unicamente dos parâmetros de Robin.

Para obter o espectro basta substituir (3.49) em (3.13). Na figura 3.9 mostramos

alguns gráficos do caso tipo Robin.



π/(δq20T )]

dN/dω como função de ω/ω0 paradiferentes valores de ωc. A linha pontilhada é o caso Dirichlet, inserida para fins de com-paração (todas as curvas terão áreas menores que a curva do caso Dirichlet); a linha sólidaé o caso ideal com parâmetros γ e α indicados no título de cada gráfico; as linhas tracejadae tracejada-pontilhada representam o caso tipo Robin para diferentes valores de ωc, espe-cificamente ωc/ω0 = 0.4 (tracejada) e ωc/ω0 = 0.1 (tracejada-pontilhada). Para valoresde α 6= 0, os gráficos são, obviamente, diferentes mas com comportamentos semelhantes.Para todos os gráficos escolhemos ω0 = 1.

Analisando a figura 3.9, notamos que o espectro do caso ideal (linha sólida) é mais

sensível às variações do parâmetro γ que os espectros dos casos semitransparentes (linhas

tracejada e tracejada-pontilhada). Para γ = 0.1 ≈ 0, naturalmente, nada é muito diferente

3.2 Criação de partículas com um espelho tipo Robin estático 62

ao que ocorre no caso tipo Dirichlet, como pode ser visto comparando o primeiro gráfico

da figura 3.9 com a figura 3.7. Para γ = 1.4, o espectro do caso ideal reduz-se dramatica-

mente − como já é sabido da condição de Robin − enquanto os do caso semitransparente

alteram-se bem pouco, o que dá origem a um fato não intuitivo: o espelho ideal acaba por

gerar menos partículas (área abaixo do gráfico) que o espelho semitransparente, como se

pode facilmente perceber no segundo gráfico. Para γ = 2.0 − escolha que faz o caso Robin

gerar um mínimo de partículas − o caso ideal gera ainda menos partículas, sendo ultra-

passado por todos no terceiro gráfico. Aumentando-se ainda mais o valor de γ, o espectro

do caso ideal volta a ultrapassar os do casos semitransparentes. Para γ = 7.0, o caso ideal

torna a gerar mais partículas que os demais. A partir deste ponto, se aumenta-se o valor

de γ o espectro retoma seu formato inicial.

3.2 Criação de partículas com um espelho tipo Robin estático

Nesta seção, procedendo exatamente como na seção anterior, faremos uso das equa-

ções (3.1) para computar o espectro de criação de partículas, mas, agora, devido a um

espelho parado, mas que impõe uma condição de contorno tipo Robin (generalizado) cujo

parâmetro de Robin associado é uma função dependente do tempo. Desse modo, os resul-

tados desta subseção serão uma generalização do trabalho de Silva e Farina (2011) [21].

Ainda, pelo fato de levarmos em consideração a condição tipo Robin generalizado, nossos

resultados generalizam também um trabalho de Rego, Alves, Silva e Farina [27].

A matriz S(ω, ω′) para o modelo considerado nesta seção é dada explicitamente pela

equação (2.75a), mas, na prática, de acordo com o que foi visto na equação (3.4), tudo

que precisamos é da parcela δS(ω, ω′).

Substituindo (2.75b) em (3.4) e o resultado disso em (3.1a), obteremos, depois de

algumas simplificações, a seguinte expressão para o espectro:

dN

dω=

2ω

(2π)2

ˆ ∞

0dω′ ω′

∣

∣δΓ(ω + ω′)∣

∣

2ζ(ω, ω′), (3.51)


que apresenta exatamente a mesma estrutura da equação (3.5), sendo aqui

ζ(ω, ω′) = Re{

[

2− s+(ω)s+(ω′)− s−(ω)s−(ω

′)] ∣

∣G(ω, ω′)∣

∣

2}

+

Re{

r+(ω)r+(ω′)[

G(ω, ω′)]2

+ r−(ω)r−(ω′)[

G∗(ω, ω′)]2}

, (3.52)

no qual, para simplificar, definimos a função

G(ω, ω′) ≡ 1− iα0ω′

1− γ0α0ω2 + iγ0ω, (3.53)

e as funções r± e s± são aquelas que no limite de um espelho perfeito tornam-se

r±(ω) →1− α0γ0ω

2 ± iγ0ω

1− α0γ0ω2 ∓ iγ0ωe s±(ω) → 0. (3.54)

De acordo com a equação (3.51), tudo que precisamos é escolher uma lei de variação

para o parâmetro de Robin e especificar quais são os coeficientes de reflexão e transmissão.

Vamos escolher a seguinte lei de variação do parâmetro de Robin:

δγ(t) = δγ0 cos(ω0t)e−|t|/T ; (3.55)

com esta escolha, poderemos fazer analogia deste caso ao caso do espelho móvel (3.7).

Além disso, essa escolha pode ainda simular a variação de um campo magnético num

SQUID fixo no extremo de uma linha de trasmissão unidimensional [21, 5], o que esta

diretamente conectado com o modelo teórico do experimento que mediu o efeito Casimir

dinâmico em laboratório [10, 11]. Sabemos da equação (3.10) que, no limite ω0T ≫ 1,

podemos fazer a seguinte aproximação para a transformada de Fourier de δγ(t):

|δΓ(ω)|2 ≈ π

2δγ20T [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] . (3.56)

Substituindo esta última equação em (3.51) obteremos

dN

dω=δγ20T

4πΘ(ω0 − ω)ω(ω0 − ω)ζ(ω, ω0 − ω). (3.57)


Isto garante que aqui, analogamente ao caso do espelho móvel, só haverá partículas cria-

das com frequências menores que a frequência característica de variação do parâmetro de

Robin (ω < ω0). Pelo fato do modelo aqui também apresentar uma geometria aberta, o

número total de partículas, dado pela integral da equação acima, também será proporcio-

nal ao tempo característico T . Por outro lado, diferentemente do caso do espelho móvel,

aqui o espectro não é, em geral, invariante pela troca ω ↔ ω0 − ω, ou seja, não apresenta

simetria de reflexão em relação ao ponto ω = ω0/2 (o que ficará evidente mais adiante);

para o caso do espelho ideal esta simetria se mantém. No entanto, não podemos afirmar

que por esse motivo as partículas não sejam criadas aos pares.

3.2.1 Espelho ideal

Nesta seção, vamos investigar o caso em que o espelho é feito ideal, no qual os coefi-

cientes de reflexão e transmissão são aqueles dados pela equação (3.54); substituindo-os

então na equação (3.52) obtemos

ζ(ω, ω′) =4

[

(1− α0γ0ω2)2 + γ20ω2] [

(1− α0γ0ω′2)2 + γ20ω′2] , (3.58)

que depende dos parâmetros γ0 e α.

Substituindo (3.58) em (3.57), obtemos o espectro para este caso particular:

dN

dω

∣

∣

∣

∣

RG

=δγ20T

π

ω

(1− α0γ0ω2)2 + γ20ω2

(ω0 − ω)Θ(ω0 − ω)

[1− α0γ0 (ω0 − ω)2]2 + γ20 (ω0 − ω)2, (3.59)

que apresenta, como dissemos, a simetria de reflexão em relação ao ponto ω = ω0/2. Este

é o espectro de criação de partículas para um espelho que impõe a condição de Robin

generalizada com parâmetros γ = γ(t) = γ0 + δγ(t) e α = α0γ(t); é o mesmo resultado

obtido por [27], a menos de um fator multiplicativo 2 que surge aqui pelo fato de levarmos

em consideração, diferetemente de [27], ambos os lados do espelho.

Particularmente, se tormarmos α0 = 0 obtemos

dN

dω

∣

∣

∣

∣

Robin

=

(

δγ20T

π

)

ω(ω0 − ω)(

1 + γ20ω2)

[

1 + γ20 (ω0 − ω)2]Θ(ω0 − ω), (3.60)


e recuperamos assim o resultado de Silva e Farina [21] (a menos do fator 2).


π/(δq20T )]

dN/dω como função de ω/ω0 paravários valores de γ0. A linha sólida corresponde a γ0 = 1; a linha tracejada correspondea 20 ×

[

π/(δq20T )]

dN/dω com γ0 = 5; a linha tracejada-pontilhada corresponde a 100 ×[

π/(δq20T )]

dN/dω com γ0 = 10.

O espectro para este caso − assim como nos casos de Robin e tipo Dirichlet quando

o espelho é móvel − é, a grosso modo, o espectro do caso Dirichlet multiplicado por um

fator de redução (se considerarmos, é claro, que δq0.= δγ0):

dN

dω

∣

∣

∣

∣

Robin

.=

1(

1 + γ20ω2)

[

1 + γ20 (ω0 − ω)2]

dN

dω

∣

∣

∣

∣

Dirichlet

, (3.61)

Para obter a taxa de criação de partículas (ainda com α0 = 0) basta-nos integrar a

equação (3.60):N

T=

(

δγ20ω30

π

)

H(γ0ω0), (3.62)

no qual

H(x) =(2 + x2) ln(1 + x2)− 2 arctan(x)

x4(4 + x2). (3.63)


Figura 3.11: No eixo vertical, a taxa de criação de partículas[

π/(δγ20 )]

N/T como funçãode ω0γ0. A figura de dentro é o mesmo gráfico com uma visão mais geral.

Quando γ0ω0 ≪ 1 a função H(x) = 1/6, com isso a taxa de criação de partículas fica

idêntica àquela do caso Dirichlet com espelho móvel na equação (3.20), a saber

N

T≈ δγ20ω

30

6πquando γ0ω0 ≪ 1. (3.64)

Em contrapartida, quando γ0ω0 ≫ 1 a taxa de criação será

N

T≈

(

δγ20ω30

π

)

2 ln(γ0ω0)

(γ0ω0)4quando γ0ω0 ≫ 1, (3.65)

que desaparece quando γ0ω0 → ∞ (figura 3.11). Em suma: aumentando o valor de ω0,

mantendo γ0 fixo, a taxa, de início, também aumenta; em algum ponto, se continuarmos a

aumetar o valor de ω0, a taxa de criação passará a diminuir − mesmo comportamento ob-

servado no caso Robin com espelho móvel −, no entanto este comportamento se mantém,

aumentando ainda mais ω0, a taxa tenderá assintoticamente a zero (figura 3.11) − dife-

rente do que acontece no caso Robin com espelho móvel em que a taxa torna a aumentar

tendendo, monotonicamente, a infinito (figura 3.4).


Como espera-se, em princípio, que a condição de Robin com parâmetro dependente do

tempo simule um espelho móvel, faremos analogias entre esses dois casos: quando γ0 → 0

o espelho se comporta como um que impõe a condição de Dirichlet ao campo; quando

γ0 → ∞, mantendo ω0 6= 0, o espelho se comporta como um espelho parado (que não

gera partículas); quando γ0 é finito, o espelho tem, de certa forma, um comportamente

semelhante ao de um espelho móvel que impõe a condição de Robin, apresentando um

ponto máximo5 de criação de partículas. Tudo isso está ilustrado na figura (3.12).

Figura 3.12: No eixo vertical: a linha sólida é a razão das taxas de criação com γ0 = 0 eγ0 6= 0, (Nγ0=0) /N , como função de ω0γ0 para o caso Robin com parâmetro dependentedo tempo. A linha tracejada é o gráfico da figura 3.5 (com γ ≡ γ0), inserido aqui para finsde comparação.

3.2.2 Espelho parcialmente refletor

Os coeficientes que vamos utilizar para este caso são os mesmos da equação (3.41)

(faremos pequenos ajustes). Estes satisfazem todas as propriedades desejadas e no limite

de um espelho perfeito recuperam aqueles da subseção anterior.

O procedimento para obteção do espectro é o mesmo da subseção anterior − substituir

os coeficientes de espalhamento em (3.52) e o resultado disso em (3.57) − e, aqui, as

5Local no caso de um espelho móvel; global no caso de um espelho parado com parâmetro de Robindependente do tempo.


fórmulas não têm uma estrutura interessante para análises, portanto, para tentar não

deixar este trabalho monótono, preferimos omitir tais fórmulas e apresentar somente os

gráficos. Ainda, limitaremo-nos aos casos em que α0 = 0, pois o comportamento dos

gráficos é o mesmo independente do valor de α0. Desse modo, na prática, examinaremos

o caso em que os coficientes são

r±(ω) =

[

1± iγ0ω

1∓ iγ0ω

]

iωc


ω

ω + iωc. (3.66)


π/(δq20T )]

dN/dω como função de ω/ω0 paravários valores de ωp e γ0 = 1; fixamos ω0 = 1. A linha sólida corresponde ao limite deum espelho perfeito ja mostrado na figura 3.10; a linha tracejada corresponde ao caso emque ωp = 0.4; a linha tracejada-pontilhada corresponde ao caso em que ωp = 0.1; a linhapontilhada corresponde ao caso em que ωp = 0.05. Multiplicamos todos esses casos por1.5 pra manter a escala.

Estes gráficos (figura 3.13) são bastantes semelhantes aos do caso tipo Dirichlet (figura

3.7) − a não ser pelo fato da assimetria que surge aqui − onde quanto mais transparente

é o espelho menor é o espectro. Aqui, o espectro é ligeiramente reduzido do lado direito e

se mantém praticamente o mesmo do lado esquerdo, o que deixa o espectro com formato

assimétrico. Isso ocorre porque ω0/ωp = 0.4, ou seja, ω0 é 40% de ωp, portanto alguns

modos (aqueles com ω ≈ ω0) sentirão menos a presença do espelho do que outros (aqueles


com ω ≈ 0), já que quanto maior a frequência do modo incidente menos este modo percebe

o espelho.


π/(δq20T )]

dN/dω como função de ω/ω0 paravários valores de ωp e γ0 = 5; fixamos ω0 = 1. A linha sólida corresponde ao limite deum espelho perfeito ja mostrado na figura 3.10; a linha tracejada corresponde ao caso emque ωp = 0.4; a linha tracejada-pontilhada corresponde ao caso em que ωp = 0.1; a linhapontilhada corresponde ao caso em que ωp = 0.05. Multiplicamos todos esses casos por 6pra manter a escala.

Quando γ0 = 5 (figura 3.14) percebemos que o espectro do caso ideal é bem mais

sensível às variações do parâmetro γ0 que os espectros dos casos semitransparentes. A

assimetria ficou muito mais envidente quando aumentamos γ0. Assim como no caso do

espelho móvel, aqui o espelho perfeito acaba gerando menos partículas que o espelho

semitransparente. Quando γ0 = 10 (figura 3.15) o comportamento do espectro é o mesmo,

com o espelho ideal gerando ainda menos partículas em comparação ao semitransparente.

Em suma, no caso do espelho ideal, a medida que aumentamos γ0 o espectro diminui

cada vez mais, de modo que quando γ0 → ∞, como já dissemos, o espectro desapareçe

completamente. Quando o espelho é semitransparente o espectro tende a desaparecer

mais vagarosamente que no caso do espelho ideal, em outras palavras, ambos desapa-

recem, mas o do espelho ideal desaparece primeiro. Isso caracteriza uma ampliação na

criação de partículas quando se considera um espelho semitransparente, ou, de um ponto


de vista menos otimista, caracteriza a “redução de uma redução”.


π/(δq20T )]

dN/dω como função de ω/ω0 paravários valores de ωp e γ0 = 10; fixamos ω0 = 1. A linha sólida corresponde ao limite deum espelho perfeito ja mostrado na figura 3.10; a linha tracejada corresponde ao caso emque ωp = 0.4; a linha tracejada-pontilhada corresponde ao caso em que ωp = 0.1; a linhapontilhada corresponde ao caso em que ωp = 0.05. Multiplicamos todos esses casos por11 pra manter a escala.

Considerações finais e perspectivas

Em todos os trabalhos citados nesta dissertação que investigam o efeito Casimir dinâ-

mico com espelhos parcialmente refletores, no limite em que os espelhos se tornam refleto-

res perfeitos, recupera-se o caso em que a condição imposta é de a Dirichlet. E aqueles que

investigam o efeito Casimir dinâmico com espelhos impondo condições de Robin o fazem

com espelhos ideais. Nesta dissertação, utilizando uma abordagem envolvendo matrizes

de espalhamento, nos baseando em [22, 23, 25], investigamos o fenômeno de criação

de partículas via efeito Casimir dinâmico considerando espelhos parcialmente refletores

de modo que, no limite de um espelho perfeito, são recuperados os casos em que outras

condições de contorno, diferentes da de Dirichlet, são impostas, em especial a de Robin.

A estes espelhos denominamos, no título desta dissertação, por espelhos parcialmente re-

fletores tipo Robin. Isso caracteriza uma generalização de alguns trabalhos da literatura

em dois sentidos: nos casos de espelhos semitransparentes, outras condições de contorno,

além da de Dirichlet, são recuperados no limite de um espelho perfeito; e nos casos de

espelhos ideais que impõem a condição de Robin, implementamos semitransparência ao

espelho.

Considerando os espelhos inicialmente perfeitamente refletores, a influência dos es-

pelhos foi posta de duas formas distintas: na primeira, o espelho era móvel, no regime

não-relativístico, e impunha uma condição de contorno genérica (que gerava, portanto,

um termo de fase genérico σ(ω)), no qual, para estudar algumas características deste mo-

delo, particularizamos para o caso em que a condição imposta era a de Robin; Na segunda,

o espelho estava parado, mas impunha a condição de Robin generalizada com parâmetro

de Robin dependente do tempo. Implementamos semitransparência a estes modelos.

71

Considerações finais e perspectivas 72

Já é sabido dos resultados de [18, 19, 20] que a condição de Robin, imposta por

um espelho móvel, apresenta uma supressão na produção de partículas quando γω0 ≈ 2.

Mostramos que considerar espelhos parcialmente refletores tipo Robin pode fazer com que

essa supressão fique mais suave, “a supressão pode ser reduzida”. Com isso, um espelho

semitransparente acaba por gerar mais partículas que um espelho perfeitamente refletor,

caracterizando uma amplificação na produção de partículas. Sabe-se também dos resulta-

dos encontrados na referência [21] que a condição de Robin com parâmetro dependente

do tempo imposta por um espelho fixo também suprime a produção de partículas; quando

se aumenta γ0 se diminui a produção de partículas. Mostramos que considerar espelhos

parcialmente refletores tipo Robin faz com que a produção de partículas diminua mais

lentamente, em relação ao espelho ideal, conforme aumentamos o valor de γ0. Portanto,

o espelho semitransparente fixo mas com propriedades dependentes do tempo, do mesmo

modo que o caso do espelho móvel, em algumas condições acaba gerando mais partículas

que o próprio espelho ideal, caracterizando também uma amplificação na produção de

partículas.

Todos os nossos cálculos foram feitos em 1 + 1 dimensões, mas a extensão para dimen-

sões mais altas é factível e será abordada em trabalhos futuros. Estados iniciais do campo

diferentes de vácuo são considerados em [32, 45], em especial, o caso em que o estado

inicial é um banho térmico. Ainda como perspectiva, pretendemos implementar velocida-

des relativísticas ao espelho e, também, estudar os efeitos de uma cavidade formada por

espelhos parcialmente refletores.

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