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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Circuitos Elétricos I - EEL420
Módulo 3
Conteúdo
3 - Teoremas e análise sistemática de redes................................................................................1
3.1 - Revisão de definições.....................................................................................................1
3.2 - Teoremas de rede e transformações de fontes................................................................1
3.2.1 - Teorema da superposição.......................................................................................2
3.2.2 - Teorema de Thévenin-Norton................................................................................3
3.2.3 - Explosão (transformação ou deslocamento) de fontes...........................................5
3.3 - Análise de nós e malhas.................................................................................................7
3.3.1 - Análise de nós........................................................................................................7
3.3.2 - Análise de malhas...................................................................................................9
3.4 - Grafos de rede e teorema de Tellegen..........................................................................12
3.4.1 - Conceito e definições de grafos............................................................................12
3.4.2 - Cortes e lei das correntes de Kirchhoff................................................................13
3.4.3 - Teorema de Tellegen............................................................................................15
3.5 - Grafos de rede aplicados a análise de nós....................................................................15
3.6 - Grafos de rede aplicados a análise de malhas..............................................................20
3.7 - Exercícios.....................................................................................................................21
3.8 - Soluções.......................................................................................................................25
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ 2
3 Teoremas e análise sistemática de redes
3.1 Revisão de definições
Revisando os conceitos anteriores podemos classificar os circuitos como: Circuitos
Lineares: cada elemento do circuito é linear ou uma fonte independente. Circuito Invariante:
cada elemento do circuito é invariante ou uma fonte independente. Circuito Linear e
Invariante: cada elemento do circuito é linear e invariante ou uma fonte independente.
Circuitos Não Lineares ou Variantes: aqueles que não são lineares ou não são invariantes.
Nestas definições as fontes independentes precisam ser tratadas separadamente pois
elas exercem um papel diferente do das outras variáveis de rede dos outros elementos. Além
disto todas as fontes independentes são elementos não lineares (sua característica é uma linha
reta que não passa pela origem).
3.2 Teoremas de rede e transformações de fontes
Apesar das leis de Kirchhoff se aplicarem a todas as classes de problemas que serão
estudados neste disciplina nem sempre seu uso é direto. Algumas vezes é necessário montar
sistemas de equações para solucionar um determinado problema. Computacionalmente
falando isto não representa um problema porém para análise manual de circuitos a solução de
sistemas de equações com ordem superior a três pode se tornar bastante trabalhosa.
Adicionalmente, durante o projeto de circuitos estas técnicas podem não ser de muita
utilidade.
Para nossa sorte, muitas vezes é possível calcular uma determinada variável de rede
simplificando a rede original. Isto pode ser realizado utilizando-se alguns teoremas,
associações e transformações de elementos. Estas simplificações podem ser aplicadas sem
medo desde que a resposta desejada não se encontre junto aos elementos simplificados.
Quando as simplificações forem realizadas eliminando ou modificando a resposta desejada
deve se ter o cuidado de retornar ao problema original para desfazer as simplificações iniciais.
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3.2.1 Teorema da superposição
Seja uma rede linear, que apresente apenas uma resposta para o conjunto de excitação
(conjunto de fontes independentes que excita o circuito), independente dos elementos serem
variáveis ou não com o tempo, então a resposta da rede causada por várias fontes
independentes é a soma das respostas devidas a cada fonte independente agindo sozinha.
Em outras palavras, se desejarmos analisar um circuito que contenha muitas fontes
independentes podemos analisar a resposta da rede (circuito) para cada fonte em separado
(considerando que as demais fontes têm valor nulo – curto circuito para as fontes de tensão e
circuito aberto para as fontes de corrente) e depois somar todas as respostas.
Exemplo: Calcular V 1 e V 2 .
Pela LTK temos que v2=vs−v1
logo 3−i ⋅2=4i⋅1 , de onde se obtém i=23
A
Então: v1=−23
V e v2=2⋅3−i =143
V
Por superposição temos que v2vs , i s=v2 vs , i s=0v2vs=0, is e
v1v s , is=v1vs ,i s=0v1vs=0, i s
então v2=[ v s
R1R2⋅R2][ i s⋅REQ ]= 4
3⋅23⋅2
3=14
3V e
v1=[ vs
R1R2⋅R1][−i s⋅REQ ]=4
3⋅1 –3⋅2
3=−2
3V
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3.2.2 Teorema de Thévenin-Norton
Seja uma rede linear ligada a uma carga por dois de seus terminais de forma que a
única interação entre rede e carga se dá através destes terminais, então o teorema de Thévenin-
Norton afirma que as formas de onda de tensão e corrente nestes terminais não se afetam se a
rede for substituída por uma rede Thévenin equivalente ou Norton equivalente.
Para se obter esta rede equivalente basta determinar a relação v x i nos terminais da
rede. Isto pode ser realizado de forma genérica aplicando-se uma fonte de corrente de valor I
nos terminais da rede e determinando a equação da tensão sobre esta fonte.
Quando a rede em análise apresenta apenas elementos lineares e fontes independentes
podemos obter os equivalentes Thévenin ou Norton da seguinte maneira: 1) A determinação
da tensão de Thévenin corresponde a tensão entre os terminais para os quais estamos
buscando o equivalente (os terminais devem ser mantidos em circuito aberto). 2) A
determinação da corrente de Norton corresponde a corrente que circularia pelos terminais para
os quais se deseja determinar o equivalente (curto circuitar os terminais). 3) A resistência
pode ser calculada substituindo as fontes independentes pela sua resistência interna ( R=0
para fonte de tensão e R=∞ para fonte de corrente) e determinando a resistência equivalente
nos terminais para os quais se deseja determinar o equivalente. Alternativamente a resistência
poderia ser obtida pela divisão da tensão de Thévenin pela corrente de Norton.
Exemplo: Determinar os equivalentes Thévenin e Norton entre os terminais A e B da
rede abaixo.
Terminais A e B mantidos em aberto
V AB=ix⋅R4=ix⋅3
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v sR3⋅ix – 2⋅ixR4⋅ix=0
ix= −1510−23
=−1511
V AB=−1511
⋅3=−4511
V
Terminais A e B mantidos em curto circuito
considerando I T=ixiR5 e GEQ=G 4G 5
então ix=14⋅iT e I R5=
34⋅iT (divisor de corrente)
v sR3⋅iT – 2⋅ixREQ⋅iT=0
v sR3⋅iT – 2⋅14⋅iTREQ⋅iT=0
iT=−15
10−24
34
=−6041
I R5=34⋅−60
41=−4541
A
Com dois pontos da curva v x i podemos calcular facilmente a resistência para os dois
modelos. Para evitar problemas vale a pena redesenhar os modelos e identificar os elementos
de cada um.
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V =V AB=V TH=vo , I=−IR5=−I N=−io
Rs=−V AB
I=−−45 /11
45 /41=41
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3.2.3 Explosão (transformação ou deslocamento) de fontes
Algumas vezes é interessante transformar uma fonte independente em muitas outras de
forma a simplificar a análise do restante do circuito que permanece inalterado. Quando isto é
feito chamamos de transformação, ou explosão, de fontes.
Uma fonte de tensão independente que tenha um de seus terminais ligados a mais de
um elemento de circuito pode ser desmembrada, removendo este nó desde que cada elemento
permaneça interligado em série com uma fonte de tensão de mesmo valor e polaridade. A
figura abaixo ilustra o fato. Uma fonte v se conecta aos resistores R1 e R2 . Ela pode ser
desmembrada em duas fontes em paralelo de mesmo valor e polaridade e, finalmente,
separadas de forma que cada uma fique em série com um dos resistores R1 ou R2 . Do ponto
de vista de circuito as formas de onda de tensão e corrente nos terminais A, B e C
permanecem inalteradas.
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Um procedimento semelhante pode ser realizado com as fontes de corrente. Neste caso
uma fonte que interligue dois pontos de um circuito pode ser substituída por outras tantas
desde que percorram um outro caminho que uma os mesmos dois pontos unidos pela fonte
original. A figura abaixo ilustra esta situação. Uma fonte de corrente faz circular uma corrente
i1 do nó B para o nó A. Em paralelo com esta fonte há um outro caminho, formado pelos
resistores R1 , R2 e R3 , interligando o nó B ao nó A. Então a fonte de corrente original pode
ser removida e outras podem ser colocadas em paralelo com estes resistores. Observe que a
corrente i1 movimentada pela fonte em paralelo com R3 e deslocada pela fonte em paralelo
com R2 e esta corrente é deslocada pela fonte em paralelo com R1 de forma que toda a
corrente que saiu do nó B chegou ao nó A sem alterar o restante do circuito.
Exemplo: No circuito abaixo deseja-se calcular o valor da corrente I mas sem montar
um sistema de equações pela LCK nem LTK. Mostre uma forma de fazer.
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Explodindo as fontes V 1 e I 1 e redesenhando o circuito obtemos
deste ponto em diante basta fazer transformações sucessivas de modelos Thévenin e
Norton além de algumas associações de resistores. I=0,332 A
3.3 Análise de nós e malhas
Quando a simplificação de circuitos não é possível ou deseja-se resolvê-lo com auxilio
de ferramentas computacionais a aplicação da LCK e da LTK é a maneira de resolver o
problema. Para facilitar a análise é possível sistematizar o equacionamento da LCK e da LTK
como segue.
3.3.1 Análise de nós
Para ilustrar esta técnica de resolução sistemática de circuitos considere a figura
abaixo.
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Contar os nós essenciais (nós A, B e C). Como as tensões VAC VBC e VAB se relacionam
pela lei das tensões de Kirchhoff, apenas duas destas tensões são independentes, a terceira é
uma combinação linear das anteriores. Sendo assim é possível escrever duas equações de
tensão de nós independentes. Quaisquer duas tensões podem ser utilizadas mas normalmente
se escolhem as tensões com relação ao nó referência. Assim chamamos de tensão de nó a
diferença de tensão entre o potencial de um nó com relação à referência. No exemplo abaixo
as tensões de nó serão VA e VB. Assim, para cada n nós essenciais existe n-1 equações de
tensões de nó independentes. Resolvendo o problema para as tensões de nó todas as tensões
de braço também ficam determinadas. As correntes de braço podem ser especificadas em
função das equações de braço impostas por cada elemento.
Para escrever as equações de nó precisamos da lei das correntes de Kirchhoff. Assim
para o problema da figura acima temos
para o nó A
i1i 2=is1
v A−0R1
v A – v B
R2=−is1
para o nó B
i3i 4i5=0
vB−v A
R2
v B−vs1
R4
vB−0R5
=0
reescrevendo as equações para os nós A e B respectivamente temos
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vA⋅ 1R1
1R2 −v B⋅ 1
R2 =−is1
−vA⋅ 1R2 v B⋅ 1
R3
1R4 =vs1⋅ 1
R4 Desta forma obtemos um sistema de equações com duas incógnitas e duas equações
que pode ser resolvido sem maiores problemas. Como solução para o problema obteremos as
tensões em cada nó. As correntes de cada ramo ficam definidas pela tensão e pelo valor da
resistência, ou pelo valor da fonte de corrente.
Observe que há uma lei de formação para o sistema de equações obtido, de forma que
ele poderia ter sido obtido por inspeção da rede. Para um determinado nó N a equação é obtida
da seguinte forma: A tensão do nó N multiplicada pelo somatório das condutâncias que vão do
nó N aos nos J. Esta parcela é subtraída das tensões nos nós J multiplicadas pelas
condutâncias que interligam os nós J ao nó N. O resultado é igual a soma das fontes de
correntes que saem do nó N multiplicadas por –1.
v N⋅∑GNJ –∑ v J⋅G JN =−∑ iN
onde GXY é a condutância que liga o nó X ao nó Y.
3.3.2 Análise de malhas
Um outro método de analisar uma rede genérica é o método das malhas. Para ilustrar
sua aplicação considere a figura a seguir.
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Inicialmente contamos o número de malhas essenciais (malhas M1, M2 e M3). Para
cada malha estipula-se uma corrente com sentido de referência arbitrário (IM1, IM2 e IM3). A
partir do sentido de referência arbitrado os sentidos das tensões de referência também ficam
bem definidos. A partir dos sentidos de tensão e utilizando a lei das tensões de Kirchhoff
podemos escrever as equações que regem as correntes de cada malha. Em elementos que
pertencem a mais de uma malha, a corrente resultante será a soma algébrica das correntes de
cada malha, levando-se em conta o sentido de cada corrente. Para o circuito acima temos
para a malha 1
v R1v R3v2v R2−v1=0
R1⋅ IM1R3⋅ IM1−IM2v2R1⋅ IM1−v1=0
para a malha 2
v R4vR5v R6−v2v R3=0
R4⋅ IM2−IM3IM2⋅R5 IM2⋅R6−v2R3⋅ IM2−IM1=0
para a malha 3
v R7−v3vR4v R2=0
R7⋅ IM3−v3R4⋅ IM3− IM2R2⋅ IM3−IM1=0
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reescrevendo as equações temos
IM1⋅R1R2R3−IM2⋅R3−IM3⋅R2=v1−v2
−IM1⋅R3IM2⋅R3R4R5R6− IM3⋅R4=v2
−IM1⋅R2−IM2⋅R4IM3⋅R2R4R7=v3
Que resulta num sistema com três equações e três incógnitas que pode ser resolvido de
forma simples. As correntes de ramo podem ser determinadas por uma simples relação
algébrica entre correntes de malha.
i1=−IM1
i2=IM2
i3=−IM3
i4=IM1− IM2
i5=IM2−IM3
As tensões de ramo podem ser obtidas a partir dos valores das fontes de tensão e das
quedas de tensão sobre os resistores. A tensão sobre as fontes de corrente deve ser
determinada pela lei das tensões de Kirchhoff.
Observe que há uma lei de formação para o sistema de equações que determinam as
correntes de malha de modo que ele poderia ter sido obtido por simples inspeção da rede. Para
uma determinada malha M a equação é obtida da seguinte maneira: A corrente da malha M
multiplica o somatório de todas as resistência que compõe a malha. Esta parcela deve ser
subtraída das demais correntes de malha multiplicas pelas resistência em comum com a malha
M. O resultado é igual ao somatório das fontes de tensão da malha multiplicadas por –1.
iM⋅∑ RMJ –∑ i J⋅RJM =−∑ v M
onde RXY é a resistência da malha X que também pertence a malha Y.
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3.4 Grafos de rede e teorema de Tellegen
Toda a análise de nós e malhas pode ser sistematizada ainda mais se for utilizada a
teoria e grafos e notação matricial. As próximas secções apresentam esta abordagem como um
exemplo de como esta sistematização pode simplificar e muito a análise de redes. Como será
visto todos as redes podem ser resolvidas a partir de uma só equação entretanto todo o
trabalho de análise passa a ser um problema matemático. Esta abordagem, portanto, se aplica
muito bem a simulação e análise computacional de redes.
3.4.1 Conceito e definições de grafos
Um grafo é um conjunto de braços e nós com a condição de que cada braço comece e
termine em um nó. Circuitos elétricos também são formados por braços e nós e por isso
também podem ser representados por grafos.
Como as leis de Kirchhoff não fazem exigência quanto a natureza dos elementos da
rede, é natural desprezar a influência dessa natureza ao reduzir a rede a um grafo. Idéias
teóricas de grafos são então usadas para formular de modo preciso a LTK e LCK. Isto é
realizado para obter uma forma sistemática de análise de circuitos que sirva para redes de
qualquer complexidade e tamanho e possa ser simulada em computadores.
A representação de um circuito por um grafo pressupõe a substituição dos elementos
de braço por um segmento de reta que pode estar orientado (grafo orientado) e que é
chamado de braço (ou ramo). Os nós do circuito são os nós do grafo e também podem ser
chamados de vértices ou junções. Os nós delimitam o início e o fim de um braço. A
orientação dos braços coincide com a orientação dos sentidos de referência associados de
tensão e corrente, adotados pela convenção passiva. Definidos assim, grafos mais simples
possuem apenas um nó ou um ramo e um nó. Os grafos também podem ser divididos em
subgrafos (subconjunto de elementos do grafo) sendo o menor deles chamado de grafo
degenerado (um grafo formado apenas por um nó). A figura abaixo apresenta um exemplo de
grafo.
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Os grafos também podem ser ligados se existir ao menos um braço entre quaisquer
dois nós. Um grafo ligado é chamado de uma parte separada, assim os grafos não ligados
possuem ao menos duas partes separadas. Um corte é um conjunto de braços que quando
removidos do grafo original resultam em um grafo com uma parte separada a mais porém, se
um dos braços do conjunto for mantido o grafo resultante continua com o mesmo número de
partes separadas do grafo original.
Um percurso fechado em um grafo é todo subgrafo ligado onde cada nó deste
subgrafo está conectado a apenas dois braços.
3.4.2 Cortes e lei das correntes de Kirchhoff
Usando a nomenclatura de grafos a lei das correntes de Kirchhoff pode ser enunciada
como “Para qualquer rede de parâmetros concentrados, para qualquer de seus cortes, e a
qualquer instante, a soma algébrica de todas as correntes através dos braços do corte é
zero”.
A figura abaixo mostra um grafo ligado onde uma superfície S corta o grafo em duas
partes separadas. Os braços 1, 2 e 3 formam este corte. Se ao menos um destes três braços não
forem removidos então o grafo continua ligado.
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S
Se adotarmos um sentido de referência associado a superfície S podemos aplicar a
LCK. Adotaremos a seguinte convenção: positivo são as correntes cujos sentidos são do
interior para o exterior da superfície.
Neste caso, aplicando a LCK para os braços do corte temos
i1 t −i2 t i3 t =0
Se fossemos aplicar a LCK a todos os nós dentro da superfície S teriamos
Nó 1: i1i5−i6=0
Nó 2: −i2−i5−i7i8=0
Nó 3: i3−i8=0
Nó 4: i6i7=0
A soma de todas estas equações resulta em
i1−i2i3=0
Da mesma forma podemos definir lei das tensões de Kirchhoff usando a nomenclatura
de grafos: “Para qualquer rede de parâmetros concentrados, para qualquer de seus
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percursos fechados, e a qualquer instante, a soma algébrica das tensões de braço ao longo
de qualquer percurso fechado é zero”.
3.4.3 Teorema de Tellegen
Para uma rede de parâmetros concentrados cujo grafo tenha b braços e n nós.
Arbitremos para cada braço do grafo uma tensão de braço vK e uma corrente de braço iK e
suponhamos que vK e iK sejam medidos a partir de um sentido de referência associado. Se as
tensões e as correntes de braço satisfazes a LTK e a LCK respectivamente então:
∑K=1
b
vK⋅iK=0
ou seja, toda a potência fornecida pela rede é consumida na própria rede. Em outras
palavras as leis de Kirchhoff implicam em conservação de energia.
3.5 Grafos de rede aplicados a análise de nós
Dado um determinado grafo orientado é possível descrevê-lo listando todos os braços
e nós e indicando qual braço está entrando e saindo de qual nó. Isto pode ser feito por uma
matriz chamada matriz de incidência, onde os elementos aik desta matriz podem assumir
valores +1 se o braço k sai do nó i; –1 se o braço k entra no nó i; 0 se o braço k não é incidente
(não se conecta) com o nó i. Assim, para o grafo abaixo
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a matriz que o descreve é
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A=[ 1 1 0 0 0 0−1 0 1 −1 0 00 0 0 1 −1 00 0 0 0 1 10 −1 −1 0 0 −1
]onde as colunas representam os braços e as linhas representam os nós.
Considerando a matriz incidência reduzida (a matriz A sem a linha correspondente ao
nó de referência do circuito) é possível escrever a LCK matricialmente como
A⋅ j=0
e pela LTK a tensão v em cada braço da rede pode ser obtida matricialmente como
v=AT⋅e
onde e é um vetor com tensões de cada nó.
Para concluir o equacionamento das tensões dos nós de uma rede será definido um
braço genérico contendo uma resistência, um modelo Thévenin ou Norton conforme
apresentado na figura abaixo. Para a continuidade da análise é imprescindível que haja ao
menos uma resistência no ramo mas caso isto não ocorra, deve-se utilizar técnicas de explosão
de fontes para que a condição seja satisfeita.
A corrente no ramo genérico que está sendo definido nesta secção pode ser
equacionado como
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j k= j sk – G k⋅vskG k⋅v k
onde o índice k denota o k-ésimo ramo da rede.
A mesma equação pode ser reescrita matricialmente para todos os ramos, assim a
equação acima pode ser reescrita como
j=G⋅v j s – G⋅vs
Se ambos os lados da equação forem multiplicados por A a esquerda então
A⋅ j=A⋅G⋅vA⋅j s – A⋅G⋅vs
0=A⋅G⋅vA⋅j s – A⋅G⋅vs
e substituindo v por AT⋅e considerando obtemos
0=A⋅G⋅AT⋅eA⋅ j s – A⋅G⋅v s , ou
A⋅G⋅AT⋅e=A⋅G⋅vs – A⋅ j s
Exemplo: No circuito da figura abaixo foram numerados os nós e os braços sendo
arbitrado um sentido para cada ramo. Os ramos foram escolhidos de tal forma que pudessem
ser equacionados de acordo com o modelo acima. As fontes não são deixadas em ramos
isolados.
A LCK pode ser escrita como
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A⋅ j=[1 1 0 0 00 −1 1 1 00 0 0 −1 1]⋅[
j 1
j 2
j 3
j 4
j 5
]=[000]
e a LTK como
v=AT⋅e=[1 0 01 −1 00 1 00 1 −10 0 1
]⋅[e1
e2
e3]
O equacionamento das correntes em cada ramo é dado por
j=G⋅v j s−G⋅vs
[j1
j 2
j3
j 4
j5
]=[2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 3 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
]⋅[v1
v2
v3
v4
v5
][20000]−[2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 3 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
]⋅[00001]
e as tensões de nó podem ser obtidas por
A⋅G⋅AT⋅e=A⋅G⋅vs – A⋅ j s
que pode ser reescrito como
Y n⋅e=i s
onde Y n=A⋅G⋅AT e i s=A⋅G⋅v s – A⋅ j s .
Assim
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Y n=[1 1 0 0 00 −1 1 1 00 0 0 −1 1]⋅[2 0 0 0 0
0 1 0 0 00 0 3 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
]⋅[1 0 01 −1 00 1 00 1 −10 0 1
]Y n=[ 3 −1 0
−1 5 −10 −1 2 ] e
i s=[−201 ]
Logo, as equações de nó, que podem ser obtidas diretamente pelas técnicas descritas
no capítulo anterior, são
[ 3 −1 0−1 5 −10 −1 2 ]⋅[e1
e2
e3]=[−2
01 ] .
Portanto
e= 125⋅[−17−112 ]
Com estas informações pode-se calcular as tensões e correntes de cada ramo
v=AT⋅e= 125⋅[−17−16−1−1312]
e
j=G⋅v j s−G⋅vs
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j= 125⋅[ 16−16−3−13−13
]3.6 Grafos de rede aplicados a análise de malhas
Alternativamente é possível descrever um grafo orientado, ligado, inseparável e planar
listando todos os braços e malhas e indicando os braços que pertencem a cada malha. Isto
pode ser feito por uma matriz onde os elementos aik desta matriz podem assumir valores +1 se
o braço k pertence a malha e tem o mesmo sentido estabelecido para ela; –1 se o braço k
pertence a malha e tem sentido contrário ao estabelecido para a malha; 0 se o braço k não
pertence a malha. Assim, para o grafo acima teríamos
M=[1 −1 1 0 0 00 0 −1 −1 −1 11 −1 0 −1 −1 1]
onde as colunas representam os braços e as linhas representam os nós.
Considerando a matriz M reduzida (matriz m sem a inclusão da malha externa –
apenas com malhas essenciais), podemos escrever a LTK como
M⋅v=0
e pela LCK as correntes de ramo podem ser obtidas pelas correntes de malha como
j=M T⋅i
onde i corresponde ao vetor de correntes de malha.
Mais uma vez a abordagem que está sendo apresentada requer a definição de um ramo
padrão de circuito como apresentado na figura abaixo.
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ 20
A tensão sobre o ramo genérico pode ser equacionado como
vk=v sk−Rk⋅ j skR k⋅ jk
onde o índice k define o k-ésimo ramo da rede.
Esta equação pode ser reescrita para todos os ramos na forma matricial como
v=Rb⋅j – Rb⋅ j sv s .
Multiplicando por M dos dois lados da equação
M⋅v=M⋅Rb⋅ j –⋅M⋅Rb⋅ j sM⋅v s
0=M⋅Rb⋅ j –⋅M⋅Rb⋅ j sM⋅v s
Substituindo j por M T⋅i obtêm-se
M⋅Rb⋅M T⋅i=M⋅Rb⋅ js−vs
3.7 Exercícios
1) Para o circuito abaixo determine a tensão V sobre R3 .
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2) A rede abaixo é o circuito equivalente de um amplificador transistorizado com
emissor comum ligado a uma carga resistiva não linear. a) Determine a rede Thévenin
equivalente do amplificador. b) Determine a tensão de saída sobre a carga.
3) Encontrar Vo em função de V1, V2 e dos resistores. Para os cálculos, redesenhar o
circuito substituindo cada amplificador operacional pelo seu modelo ideal.
4) Determine a tensão V sobre o resistor R2 para as seguintes situações: a) iS=4 A e
eS=10V e b) iS=10 A e eS=−10V . É possível resolver este problema por superposição?
5) Encontre o equivalente Thévenin entre os terminais A e B da rede abaixo.
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ 22
6) No circuito abaixo, calcular as potências das fontes de corrente. O braço X
apresenta uma característica v x=10⋅i x5 .
7) No circuito abaixo determine a potência dissipada pelo resistor R6. Para tanto,
simplifique o circuito até obter apenas duas malhas. Após, resolva o problema utilizando o
método das correntes de malha.
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8) Para o circuito abaixo aplique uma fonte de tensão de V Volts entre os terminais A e
B. Equacione o problema utilizando malhas e isole a tensão V em função da corrente pela
fonte. Compare com o resultado obtido no exemplo de Thévenin-Norton. Repita o processo
com uma fonte de corrente de I Amperes.
9) Escreva os sistemas de equações que resolvem os problemas abaixo pelos métodos
das malhas e dos nós.
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3.8 Soluções
1) Para o circuito abaixo determine a tensão V sobre R3 .
Por superposição (única solução possível)
Para I1: V I1=I 1⋅GEQ
G1GEQ⋅ 1
G3G4=
I 1⋅G 2⋅G3G4 G 2G3G4
G1G 2⋅G3G4G2G3G 4
⋅ 1G3G4
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Para V1: V V1=V 1⋅REQ
R4REQ=
V 1⋅R1R2⋅R3
R1R2R3
R4R1R2⋅R3
R1R2R3
V =V I1V V1
2) A rede abaixo é o circuito equivalente de um amplificador transistorizado com
emissor comum ligado a uma carga resistiva não linear. a) Determine a rede Thévenin
equivalente do amplificador. b) Determine a tensão de saída sobre a carga.
a) Transformando o circuito Norton em Thévenin obtemos uma fonte V 2=I⋅R3 em
série com R3. O positivo da fonte se conecta a R1 e R2. Assim, V 2=100k⋅i1 .
Substituindo a resistência dependente de tensão por uma fonte de tensão V ficamos
com um circuito de duas malhas. Estipulando as correntes de malha em sentido horário:
Malha da esquerda: −V 1R1⋅i1R2⋅i1−i =0 (1)
Malha da direita: R2⋅i – i1V 2R3⋅iV =0 (2)
De 1: i=V 1R2⋅i2
R1R2(3)
Substituindo 3 em 2:
R2⋅i –V 1R2⋅i2
R1R2 V 2R3⋅iV =0
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V = R2R1R2
– R2−R3⋅i R2⋅V 1
R1R2–V 2=−RTH⋅iV TH
RTH=R2R3− R2R1R2 , V TH=
R2⋅V 1
R1R2−V 2
b) O somatório de tensões no circuito equivalente Thévenin em série com a resistência
dependente de corrente é dado por
−V THi⋅RTH2600100⋅i2=0 .
Determinar a corrente do circuito, 100⋅i 2RTH⋅i2600 – V TH =0
e V =2600100⋅i2
3) Encontrar Vo em função de V1, V2 e dos resistores. Para os cálculos, redesenhar o
circuito substituindo cada amplificador operacional pelo seu modelo ideal.
Equacionando as 4 incógnitas ( V X , V DOWN , V UP e V O ) pelo método das tensões de
nós, bastaria resolver o sistema de equações abaixo.
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V X
R2
V X−V DOWN
R1=0
V 2 – V DOWN
R3
V 2−V 1
R=0
V 1−V 2
R
V 1−V UP
R3=0
V X – V UP
R1
V X−V O
R2=0
4) Determine a tensão V sobre o resistor R2 para as seguintes situações: a) iS=4 A e
eS=10V e b) iS=10 A e eS=−10V . É possível resolver este problema por superposição?
Transformando o circuito Thévenin em Norton obtemos uma fonte de corrente
I ES=esR1 em paralelo com o resistor R1. O sentido da corrente I ES é para baixo.
a) iS=4A para cima e I ES=5A para baixo. O diodo estará cortado pois as correntes
por R1 e R2 só poderiam circular de baixo para cima. Logo, o diodo é uma chave aberta e
V =0V . Não é possível resolver por superposição, pois neste caso o diodo conduziria para iS
.
b) iS=10A para cima e I ES=5A para cima. O diodo estará conduzindo pois as
correntes por R1 e R2 circulam de cima para baixo. Logo, o diodo é uma chave fechada e a
corrente se divide entre as resistências.
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V =iR2⋅R2 , iR2=iTOT
G1G2⋅G2= 15
0,50,5⋅0,5=7,5 A , V =15V
5) Encontre o equivalente Thévenin entre os terminais A e B da rede abaixo.
Simplificando o circuito:
a) R4 pode ser retirado pois está em paralelo com V1; b) R1 e R2 estão em paralelo;
c)R5 pode ser retirado pois está em série com I2; d) I2 e I3 ficam em paralelo e podem ser
associados; e) I4 está em curto e pode ser retirado.
Para calcular o equivalente Thévenin podemos colocar uma fonte de corrente I
(sentido para cima) entre os terminais A e B. Equacionando as tensões de nós:
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Nó A: −IV A
R8I 23I V3=0
−IV A
R8I 23 I 5
V A−V 3
R12 =0
V A=R8⋅R12
R8R12⋅i R8⋅R12
R8R12⋅ V 3
R12– I 23−I 5=RTH⋅iV TH
RTH=R8⋅R12R8R12 , V TH=
R8⋅R12R8R12
⋅ V 3
R12– I 23−I 5
6) No circuito abaixo, calcular as potências das fontes de corrente. O braço X
apresenta uma característica v x=10⋅i x5 .
O braço X corresponde a uma fonte de tensão de 5V em série com uma resistência de
10Ω ou uma fonte de corrente de 0,5A em paralelo com uma resistência de 10Ω. R4 e R3
estão em série e podem ser associados. R6 e R5 estão em série e podem ser associados.
Equacionando por tensões de nós:
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Nó B1: −I B1−I B2V B1V 2−−V R2
R34=0
Nó R2x: −I X−V R2
R2x−V R2−V B1V 2
R34=0
Sabendo que I B1=0,5⋅V R2 , I B2=3⋅I R3 e I R3=V B1V 2−−V R2
R34
PB1=−V B1⋅I B1=−V B1⋅0,5⋅V R2
PB2=−V B2⋅I B2=V B1−2⋅I R3R56⋅3⋅I R3⋅3⋅I R3
7) No circuito abaixo determine a potência dissipada pelo resistor R6. Para tanto,
simplifique o circuito até obter apenas duas malhas. Após, resolva o problema utilizando o
método das correntes de malha.
A fonte B1 pode ser explodida sobre V1, R2, R3 e R5 (explosões menores sobre R6 ou
R4 podem ser realizadas mas é necessário mais atenção para não errar as reais correntes sobre
estes resistores). Após a explosão é possível converter todos os modelos Norton em Thévenin.
Assim, a fonte B1 e a resistência R1 em paralelo com V1 são simplificadas. B1 em paralelo
com I1 podem ser somadas. O circuito final pode ser visto abaixo.
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Equacionando por malhas e considerando as correntes em sentido horário:
Malha da esquerda: −B1⋅R5ib⋅R5R4ib−i2 ⋅R3 I 1⋅R3 – B1⋅R3=0
Malha da direita: − I 1⋅R3 – B1⋅R3i2−ib⋅R3i2⋅R2B1⋅R2 – V 1i2⋅R6=0
PR6=R6⋅∣i2∣2
8) Para o circuito abaixo aplique uma fonte de tensão de V Volts entre os terminais A e
B. Equacione o problema utilizando malhas e isole a tensão V em função da corrente pela
fonte. Compare com o resultado obtido no exemplo de Thévenin-Norton. Repita o processo
com uma fonte de corrente de I Amperes.
Aplicando uma fonte de tensão entre A e B. Positivo para cima. Correntes de malha
em sentido anti-horário.
Malha da esquerda: i1⋅R3R4– i2⋅R4V H1 – V S=0
Malha da direita: −V 1i2⋅R4R5– i 1⋅R4=0
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Sabendo que V H1=2⋅iX , iX=i 2−i1 e V 1=RTH⋅i 2V TH , basta resolver o sistema de
equações.
Aplicando uma fonte de corrente entre A e B. Corrente de baixo para cima.
−i 2V R4
R4
V R4−V H1−V SR3
=0
e V H1=2⋅i X=2⋅V R4
R4
V 1=R5⋅i2V R4=RTH⋅i2V TH
9) Escreva os sistemas de equações que resolvem os problemas abaixo pelos métodos
das malhas e dos nós.
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