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Curso de Matemática Financeira

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Jovi Barboza

Matemática Financeira

Maringá - 2011

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Editora Projus Ltda.

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EDITORA PRO-JUS LTDA. R. Silva Jardim, 386 - 2° andar 87013-010 – Maringá - PR Tel.: (0xx44) 3226-5439 www.editoraprojus.com.br

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Curso de Matemática Financeira

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Jovi Barboza

Matemática Financeira

Apostila destinada ao Curso de Matemática Financeira, podendo ser aplicada tanto para os Cursos de Graduação, como de Extensão e de Pós-Graduação, dependendo do Instrutor, no tocante à profundidade da abordagem dos temas Juros Simples, Compostos e Anuidades, englobando, correção monetária, tabelas de amortização e taxas equivalentes em operações com descontos de duplicatas, índices econômico-financeiros e correção monetária.

Maringá – 2011

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PROJUS - 2011 © 2011 by PRO-JUS Rua Silva Jardim, 386 – 2° andar 87013-010 – Maringá - PR Tel.: (0xx44) 3226-5439 3ª. ed. 2011 Apostilas TODOS OS DIREITOS RESERVADOS – É proibida a reprodução total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer meio ou processo. A violação dos direitos de autor (Lei nº. 9.610/98) é crime previsto no art. 184, do Código Penal Brasileiro, combinado com as sanções civis dos art.s 101 a 110, da Lei nº. 9.610, de 19.02.1998, Lei dos Direitos Autorais. Obra registrada e depositada na BIBLIOTECA NACIONAL, primeira versão em 06/11/1992, sob n°. 79391, livro 100, fls. 306. Novo registro em andamento.

Capa: Jovi Barboza Consultora Técnica: Elena Yatiyo Tanaka Contatos: www.editoraprojus.com.br [email protected]

Índices para catálogo sistemático:

1. Brasil : Matemática : Financeira : Juros Simples e Compostos 2. Anuidades : Brasil. 3. Administração financeira.

Barboza,Jovi.

Matemática Financeira / Jovi Barboza -- Maringá, PR : Editora Projus, 2011.

Apostila. Bibliografia. 1. Matemática Financeira 2. Matemática - Brasil 3.

Cálculos - Brasil 4. Amortizações - Brasil.

Editora Pro-Jus Ltda. - Apostilas

- Livros Didáticos - Cursos de Extensão - Cursos Profissionais

- Treinamento - Consultoria

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Curso de Matemática Financeira

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Jovi Barboza

Matemática Financeira

RESUMO Apostila de Matemática Financeira, compreendendo Juros Simples e Compostos, Sistemas de Amortização Constante, Tabela Price, operações com bancos (descontos de duplicatas), operações de longo prazo, correção monetária, taxas equivalentes, Valor Presente e Futuro, Fatores de Atualização e Correção e de Juros, modalidades de empréstimos e conversão de moedas, índices econômicos e financeiros, enfim, uma gama de informações e exercícios destiandos a profissionais que atuam no mercado financeiro, comercial, e, também, a estudantes de Cursos de Ciências Contábeis, Economia e Administração, além de poder ser aplicada em Cursos de Extensão e de Pós-Graduação, dependendo da profundidade que o aplicador pretenda impor à disciplina. Palavras-Chave: JUROS SIMPLES. JUROS COMPOSTOS. CORREÇÃO MONETÁRIA. PARCELAS. TAXA. TEMPO. EMPRÉSTIMOS. FLUXO DE CAIXA

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Curso de Matemática Financeira

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Sumário

Prefácio................................................................................................................................... 15Introdução.............................................................................................................................. 16Conceitos................................................................................................................................ 18Juros....................................................................................................................................... 18Capital.................................................................................................................................... 18Montante................................................................................................................................ 19Taxa........................................................................................................................................ 19 Taxa Nominal....................................................................................................................... 20 Taxa Efetiva ou Real............................................................................................................ 20 Taxa Equivalente.................................................................................................................. 20 Taxa Linear.......................................................................................................................... 20Período ou Tempo................................................................................................................. 20Valor Presente (Valor Atual)............................................................................................... 21Valor Futuro.......................................................................................................................... 21Pagamentos ou Anuidades (Prestações).............................................................................. 21Capitalização......................................................................................................................... 22Descapitalização.................................................................................................................... 22Fator....................................................................................................................................... 23Potência e Raiz....................................................................................................................... 23Aplicação................................................................................................................................ 24Inflação................................................................................................................................... 24Fluxo de Caixa....................................................................................................................... 25Descontos................................................................................................................................ 25 Desconto Racional ou Desconto “Por Dentro”.................................................................... 25 Desconto Comercial ou Desconto “Por Fora”..................................................................... 26JUROS SIMPLES................................................................................................................. 27Juros....................................................................................................................................... 29Capital.................................................................................................................................... 31Montante................................................................................................................................ 32Taxa........................................................................................................................................ 34 Taxa Nominal....................................................................................................................... 36 Taxa Efetiva ou Real............................................................................................................ 37 Taxa Equivalente.................................................................................................................. 37 Taxa Linear.......................................................................................................................... 37Período................................................................................................................................... 38Valor Presente (Valor Atual)............................................................................................... 40Valor Futuro.......................................................................................................................... 41Pagamentos (Anuidades)...................................................................................................... 41Capitalização e Descapitalização......................................................................................... 41Fator....................................................................................................................................... 41Potência e Raiz....................................................................................................................... 42Aplicação................................................................................................................................ 42Inflação e Fluxo de Caixa..................................................................................................... 43Descontos................................................................................................................................ 43

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Desconto Racional ou Desconto “Por Dentro”.................................................................... 43 Desconto Comercial ou Desconto “Por Fora”..................................................................... 44 Desconto Bancário............................................................................................................... 45 Prazo Médio (Média Ponderada)......................................................................................... 45JUROS COMPOSTOS......................................................................................................... 49Juros Compostos................................................................................................................... 51Juros....................................................................................................................................... 51Capital.................................................................................................................................... 53Capitalização......................................................................................................................... 53Fator....................................................................................................................................... 54Descapitalização.................................................................................................................... 54Montante................................................................................................................................ 56Período (Tempo).................................................................................................................... 58Logaritmo............................................................................................................................... 58Taxa........................................................................................................................................ 62 Taxas Equivalentes............................................................................................................... 62 Conversão de Taxas............................................................................................................. 63Valor Presente....................................................................................................................... 63Valor Futuro.......................................................................................................................... 64Anuidades e Empréstimos.................................................................................................... 65 Anuidades Temporárias....................................................................................................... 65 Anuidades Perpétuas............................................................................................................ 66 Anuidades Constantes.......................................................................................................... 66 Anuidades Variáveis............................................................................................................ 66 Anuidades Imediatas............................................................................................................ 66 Anuidades Imediatas Antecipadas.................................................................................... 66 Anuidades Imediatas Postecipadas................................................................................... 66 Anuidades Diferidas............................................................................................................. 67 Anuidades Periódicas........................................................................................................... 67 Anuidades Não-Periódicas................................................................................................... 67 Sistema ou Tabela “Price”................................................................................................... 67 Sistema Francês (SF)............................................................................................................ 69 Sistema de Amortizações Constantes (SAC)....................................................................... 69 Sistema Americano (AS)...................................................................................................... 70 Valor Presente de “n” Prestações......................................................................................... 71Aplicações Financeiras.......................................................................................................... 72 Inflação................................................................................................................................. 72 Correção Monetária.............................................................................................................. 75 Custo Efetivo da Operação................................................................................................... 75 Juros Reais........................................................................................................................... 75Moedas e Índices Financeiros.............................................................................................. 79Moedas................................................................................................................................... 79 ORTN................................................................................................................................... 80 OTN...................................................................................................................................... 80 BTN...................................................................................................................................... 81 BTN-R.................................................................................................................................. 82 Moeda Fiscal........................................................................................................................ 82 UFIR..................................................................................................................................... 83

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Curso de Matemática Financeira

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UFESP.................................................................................................................................. 84 UFM..................................................................................................................................... 85 DOLAR................................................................................................................................ 86 Dólar Oficial...................................................................................................................... 87 Dólar Paralelo.................................................................................................................... 87 Ouro...................................................................................................................................... 87 Salário Mínimo..................................................................................................................... 87Índices Financeiros................................................................................................................ 88 TRD-Taxa Referencial Diária.............................................................................................. 89 Salário Mínimo..................................................................................................................... 89 INPC-IBGE.......................................................................................................................... 89 IPC-FGV.............................................................................................................................. 89 IPC-FIPE.............................................................................................................................. 89 IPCA-IBGE.......................................................................................................................... 89 ICV-DIEESE........................................................................................................................ 89 IGP-FGV.............................................................................................................................. 90 IGP-M – FGV...................................................................................................................... 90 Poupança.............................................................................................................................. 90Referências............................................................................................................................. 91Anexos..................................................................................................................................... 93Legenda.................................................................................................................................. 93Fórmulas e Tabelas Financeiras.......................................................................................... 95Fórmulas................................................................................................................................ 95Juros Simples......................................................................................................................... 95 Juros..................................................................................................................................... 95 Capital.................................................................................................................................. 95 Montante.............................................................................................................................. 95 Taxa...................................................................................................................................... 95 Tempo.................................................................................................................................. 96Juros Compostos................................................................................................................... 96 Juros..................................................................................................................................... 96 Capital.................................................................................................................................. 96 Montante.............................................................................................................................. 96 Taxa...................................................................................................................................... 96 Tempo.................................................................................................................................. 97 Prestações Constantes Imediatas.......................................................................................... 97 Valor Presente de “n” Prestações......................................................................................... 98 Desconto Racional............................................................................................................... 98 Desconto Comercial............................................................................................................. 99 Prazo Médio......................................................................................................................... 99 Fórmulas Diversas de Juros Simples.................................................................................... 99 Fórmulas Diversas de Juros Compostos.............................................................................. 100 Fórmulas Diversas de Anuidades (Pagamentos – Prestações)............................................. 101 Fórmulas Diversas de Depósitos Sucessivos....................................................................... 101Tabelas................................................................................................................................... 102Tábua de Logaritmos............................................................................................................ 102Tabela de Contagem de Dias do Ano Civil......................................................................... 104Tabela de Taxas para Descontos Simples de Duplicatas................................................... 104

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Tabelas de Fatores................................................................................................................. 105 Taxa de 0,50% (0,0050)................................................................................................... 105 Taxa de 1,00% (0,0100)................................................................................................... 105 Taxa de 1,50% (0,0150)................................................................................................... 105 Taxa de 2,00% (0,0200)................................................................................................... 105 Taxa de 2,50% (0,0250)................................................................................................... 406 Taxa de 3,00% (0,0300)................................................................................................... 106 Taxa de 3,50% (0,0350)................................................................................................... 106 Taxa de 4,00% (0,0400)................................................................................................... 106 Taxa de 4,50% (0,0450)................................................................................................... 107 Taxa de 5,00% (0,0500)................................................................................................... 107 Taxa de 7,00% (0,0700)................................................................................................... 107 Taxa de 10,00% (0,1000)................................................................................................... 107 Taxa de 15,00% (0,1500)................................................................................................... 108 Taxa de 20,00% (0,2000)................................................................................................... 108 Taxa de 25,00% (0,2500)................................................................................................... 108 Taxa de 30,00% (0,3000)................................................................................................... 108 Taxa de 35,00% (0,3500)................................................................................................... 109 Taxa de 40,00% (0,4000)................................................................................................... 109 Taxa de 50,00% (0,5000)................................................................................................... 109 Taxa de 100,00% (1,0000)................................................................................................... 109Meio Circulante 110Exercícios............................................................................................................................... 113Juros Simples......................................................................................................................... 114Juros Compostos................................................................................................................... 114Prestações............................................................................................................................... 115Respostas................................................................................................................................ 117Créditos do Autor.................................................................................................................. 118Sites do Autor......................................................................................................................... 119

“É lutando que se consegue o que se quer... Lute pelos bens que você deseja.”

U. S. ANDERSEN

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Curso de Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

PRIMEIRA PARTE

INTRODUÇÃO

CONCEITOS “Pode-se viver no mundo uma vida magnífica, quando se sabe trabalhar e amar. Trabalhar pelo que se ama e amar aquilo em que se trabalha.”

TOLSTOI

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Curso de Matemática Financeira

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Primeira Parte

PREFÁCIO Numa época bem remota não havia moeda (que popularmente chamamos de dinheiro –

já que dinheiro é moeda, mas moeda nem sempre é dinheiro). Então, as pessoas juntavam seus bens para consumo de várias maneiras (caçando, pescando etc.). Com o tempo, surgiu a troca, isto é, alguém queria consumir um determinado bem e não dispunha dele, então, pedia ao vizinho que lhe desse tal bem em troca de outro bem que dispunha e que fosse do interesse do vizinho. Esse sistema é chamado de “escambo”. Mais tarde, surgiu a moeda. Não vamos alongar este assunto, mas, é muito importante imaginar o que seria o mundo de hoje sem a moeda. Mas, a moeda, no sentido de patrimônio, é que justifica o aparecimento dos “juros”, pois quando alguém faz uso do patrimônio alheio deve lhe pagar uma recompensa por isto.

As pessoas acumulavam seus bens de consumo para os períodos de necessidades. Mas,

quando alguém não tinha o bem para o consumo e precisava do mesmo, pedia “dinheiro” emprestado para comprá-lo. E quem emprestasse o dinheiro, queria, em troca, uma recompensa por ter que ficar o período do empréstimo sem poder adquirir os bens para o seu próprio consumo. Essa recompensa convencionou-se chamar de Juros.

Com o aprimoramento da técnica de aplicação de capitais, incrementou-se, também, o

aprendizado da Matemática Financeira, atualmente tão indispensável para aquelas pessoas que lidam com dinheiro, principalmente no mercado de capitais, aplicando e gerenciando carteiras de empréstimos e aplicações.

Porém, não é só isto. O mercado de consumo ficou muito sofisticado. Atualmente,

quando uma operadora de Cartão de Crédito envia a fatura para o cliente, oferece-lhe uma oportunidade de parcelar a faturar e, com isto, liberar o saldo do Cartão para efetuar novas compras. Essa ardileza das operadoras pode significar uma armadilha, pois esse mercado trabalha com nuanças psicológicas, que vão de encontro às necessidades (ou não – às vezes, as pessoas compram sem ter necessidade, apenas por serem induzidas a fazer a compra) do consumidor, que nempercebe que naquelas parcelas “tão pequenas” há uma taxa de juros embutida.

Por isto, o presente curso de matemática financeira é essencial para aqueles que

pretendem ampliar seus conhecimentos de matemática financeira e, também, para quem opera no mercado financeiro, seja aplicando ou tomando dinheiro empresatado.

Aproveite bem o presente trabalho e quando for de seu interesse, faça contato com o

autor ou com a Editora, pois as sugestões e críticas serão sempre bem vindas.

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INTRODUÇÃO A presente apostila foi elaborada para facilitar o aprendizado do participante do Curso

de Matemática Financeira da PRO-JUS. Procuramos colocar o assundo de uma maneira bem simples, com base na experiência adquirida através de treinamentos a diversos grupos, observando as principais dúvidas e dificuldades durante os Cursos.

A Matemática Financeira é uma matéria muito fácil de se entender e muito gostosa de

se estudar, bastando, porém, que a pessoa que participa do Curso esteja interessada em aprender e possa dedicar-se aos exercícios com atenão e força de vontade. Ao instrutor cabe revelar os caminhos mais fáceis de serem percorridos para que o aluno possa atingir o objetivo. Porém, a parte de maior sacrifício cabe realmente ao aluno.

Inicialmente, na Primeira Parte, vamos estabelecer os CONCEITOS que fazem parte

da linguagem utilizada pela Matemática Financeira. Isto fará com que o nível do grupo seja ajustado à linguagem habitualmente usada no mercado financeiro, que é a seara da Matemática Financeira. Tal alinhamento se faz necessário para que o participante não perca a linha de raciocínio dos exemplos e exercícios dados.

A Segunda Parte será dedicada ao estudo dos JUROS SIMPLES, buscando

demonstrar de forma clara o entendimento e a aplicabilidade dos chamados Juros Simples. A Terceira Parte é reservada ao estudo dos JUROS COMPOSTOS. Aqui veremos

todos os aspectos de utilização dos sistemas de capitalização, amortização, apuração de custo efetivo da operação etc., utilizando todas as ferramentas possíveis.

As MOEDAS e os ÍNDICES FINANCEIROS serão objeto da Quarta Parte do

trabalho, já que o participante precisa se conscientizar da importância de entender bem esse complexo de indicadores, enquanto que na Quinta Parte destacaremos as FÓRMULAS e TABELAS FINANCEIRAS que são importantes para quem não dispõe ou não quer depender de calculadoras. Já na Sexta Parte, vamos encontrar alguns EXERCÍCIOS elaborados com ênfase para as situações mais variadas do nosso dia a dia empresarial, tais como descontos de duplicatas em bancos, empréstimos bancários, compras a prazo, conversão de moedas, pagamento de dívidas com atraso etc. A intenção é, com isto, dar praticidade ao aprendizado, de forma que o aluno possa utilizar-se do conteúdo no exercício profissional.

O uso de calculadoras financeiras não será obrigatório, mas, a HP-12C é recomendada

para agilizar o aprendizado, apesar de que o Curso não cobrirá o aprendizado do manuseio da calculadora. A prática, com os exercícios, entretanto, facilitará o participante do curso, dando ao mesmo importante agilidade e dinamismo. Porém, as tabelas auxiliares serão utilizadas por quem não dispuser de calculadoras financeiras, ou a HP-12C propriamente. A calculadora financeira pode auxiliar na solução de problemas com muita rapidez e facilidade. Entretanto, faz com que o usuário fique “viciado” na utilização da mesma e não pratique regularmente as fórmulas e os cálculos necessários à solução dos problemas. Assim, com o passar do tempo, o usuário pode esquecer de algumas técnicas, que, aliás, são essenciais para o profissional. Mas,

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Curso de Matemática Financeira

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a calculadora não é de todo indispensável. Recomendamos a todos que pratiquem constantemente os passos de resolução dos problemas, independentemente do tipo de calculadora que se possa utilizar.

Após o curso, a presente apostila deverá ser constantemente utilizada, como uma

ferramenta importante para o treinamento e aprimoramento diário, pois os exercícios que contém são de grande ajuda para o participante.

Além disso, é preciso que o participante passe, doravante, a ativar o seu senso crítico a

todas as nuanças financeiras que se lhe apresente através da mídia escrita, falada ou televisada, procurando calcular os juros de todas as ofertas que são apresentadas em propagandas e publicidades, pois, esta é uma boa maneira para se manter atualizado e cada vez mais entendido do assunto.

Sugesões serão sempre bem-vindas. Assim, qualquer observação que deseje fazer, pode

utilizar-se do email constante da página de créditos. Esperamos que o seu aproveitamento seja o máximo. Desejamos um bom curso para

você e muito sucesso em seu trabalho e em todos os projetos que pretenda realizar. Jovi Barboza

“Muitas pessoas devem a grandesa de suas vidas aos problemas e obstáculos que tiveram que vencer”

SPURGEON.

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CONCEITOS Todo estudo deve começar pelos conceitos do objeto estudado. No caso da Matemática

Financeira, não se trata, apenas, de definir o que é a própria matéria. O caso é que a Matemática Financeira apresenta uma linguagem nem sempre dominada pelo participante do Curso, principalmente o neófito. Por isto, alguns elementos são importantes para serem estudados. Vejamos os principais conceitos.

JUROS Os Juros são a remuneração a um determinado volume de moeda que é devido por uma

pessoa a outra. Normalmente, obedece a um referencial de mercado, denominado Taxa. Esse volume de moeda pode ser dinheiro propriamente dito ou qualquer bem adquirido numa loja, por exemplo, ou ainda, um direito transferido. Entretanto, a idéia de Juros, como foi referida na Introdução, está relacionada à recompensa (ou remuneração) que a pessoa que deve, tem que pagar ao seu credor.

Em um país inflacionário, muita gente confunde Juros com Inflação e vice-versa,

quando, na realidade, não tem nada a ver uma coisa com a outra. Assim, muitas vezes, em uma transação, os Juros, ou seja, a recompensa, não são reais, eles embutem a inflação do período. Porém, didaticamente, é imprescindível estudar as coisas separadamente.

Entendendo os mecanismos da Matemática Financeira, fica muito mais fácil lidar com

fatores de problemas inflacionários. Os Juros podem ser SIMPLES ou COMPOSTOS como veremos mais à frente. Os Juros são representados, didaticamente, nas fórmulas pela letra “J”. CAPITAL O Capital é o volume de moeda que uma pessoa aplica ou investe em uma transação

qualquer. Ele pode estar representado por dinheiro propriamente dito ou por qualquer bem físico, ou ainda, por qualquer direito transferido. O Valor do Capital é, quase sempre, determinado por parâmetros do mercado. Quando é expresso em moeda o seu valor equivale ao próprio volume da moeda. Quando a expressão é feita por um bem qualquer, o Valor do Capital é determinado pelo potencial de conversão em moeda que o Bem possui.

Para fins didáticos, o Capital é representado pela letra “C”.

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Curso de Matemática Financeira

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MONTANTE O Montante é o volume de moeda que representa o total da dívida de uma pessoa para

com outra. Isto quer dizer que o Montante equivale à soma do Capital com os Juros do período envolvido na transação.

O Montante é representado nas fórmulas pela letra “M”. TAXA Taxa é, genericamente, uma razão, isto é, denomina a grandeza que determina, por

exemplo, preços (gêneros ou mercadorias), relação entre moedas (taxa de câmbio), imposto (tributo legal) etc.

A Taxa de Juros é um referencial, normalmente, adotado pelo mercado como fator de

remuneração do Capital aplicado ou investido em uma determinada transação por um determinado período.

Didaticamente, consideramos a Taxa como sendo o fator de maior dificuldade para os

iniciantes em Matemática Financeira. Este fato está relacionado com a dificuldade do aluno em entender que a Taxa tem relação com o determinado período de tempo e, assim, deve ser corretamente convertida para o período da transação. Por exemplo, tomamos um empréstimo por 20 dias a uma Taxa de 10% (dez por cento) ao mês. Ora, o período está contado em dias e a Taxa está contada em meses, neste exemplo. Então, devemos converter a Taxa Mensal para o equivalente a 20 dias, para que o problema possa ser resolvido.

A relação usual para o emprego da Taxa é o Percentual. O Percentual refere-se a um determinado volume de juros para cada CEM UNIDADES

do Capital. Por exemplo, se o Capital for 2.000 (dois mil) e o percentual for de 5 (cinco), isto quer dizer que os Juros totais serão de 100 (cem), porque 2.000 unidades de Capital tem 20 vezes 100 unidades e, se para cada cem unidades, obtemos 5 unidades de juros, então 5 vezes 20 é igual a 100 de juros.

Há outra relação para o emprego da Taxa que é a Unitário. Pela representação unitária, a Taxa é o potencial dos JUROS PARA CADA

UNIDADE do Capital aplicado ou investimento em uma transação. Assim, no exemplo acima, temos 2000 unidades de Capital, a Taxa era de 5 unidades para cada 100, então, agora passa a ser de 0,05 unidades para cada unidade, ou seja, as 100 unidades foram divididas por cem e tornam-se uma. A Taxa de 5 foi dividida por 100 e tornou-se 0,05. Assim, os Juros são calculados multiplicando-se as 2.000 unidades do Capital, pela Taxa de 0,05 que resultará no mesmo resultado de 100.

A Taxa pode ser:

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TAXA NOMINAL É a Taxa aplicada sobre o Valor Nominal da operação, ou seja, o valor total da dívida.

Então podemos dizer: sobre o VALOR FUTURO (o Montante). Normalmente, empregada nas operações de Desconto Comercial ou Por Fora, Desconto Racional ou Por Dentro e no Desconto Bancário ou Simples. A Taxa Nominal é operada pela divisão ou multiplicação linear em números de períodos. É aplicada sobre o Montante ou Valor Nominal.

TAXA EFETIVA ou REAL É a Taxa aplicada sobre o Capital efetivamente envolvido na transação, isto é, quando

fazemos um desconto e o banco nos entrega um valor líquido na operação, o Capital, na realidade, é este líquido e não o total bruto do Desconto, que é o Montante. Diferentemente da Taxa Nominal, a Taxa Efetiva é operada pela Potenciação (ou Exponencial) e pela Raiz “N” ‘sima (enésima) em números de períodos.

TAXA EQUIVALENTE Taxa Equivalente é a Taxa para um período menor que equivale à outra para um período

maior ou vice-versa. Por exemplo, uma Taxa Mensal equivalente a uma Taxa Anual, ou uma Taxa Anual equivalente a uma Taxa Quadrimestral.

TAXA LINEAR É a taxa que é dividida ou multiplicada, linearmente, pelo determinado número de

períodos envolvido na transação. Não devemos, porém, confundir Linear com Nominal, já que o que determina se uma Taxa é Nominal é a sua aplicação, sobre o Montante da operação.

A Taxa de Juros é um dos mais importantes fatores atrelados à Economia de qualquer país. A Taxa às vezes já embute o potencial inflacionário da Economia, mas isso não a impede de ser Taxa.

A Taxa é representada nas fórmulas pela letra “i”. PERÍODO OU TEMPO O intervalo de tempo ocorrido a partir do momento em que se efetua uma transação, até

o momento em que essa transação é saldada ou terminada, é denominado PERÍODO ou TEMPO da operação. A Taxa é relacionada há um tempo, por exemplo, 1% (um por cento) ao dia, ou 1% (um por cento) ao mês, ou ainda 12% (doze por cento) ao ano. Às vezes a Taxa é dada para o período, mas isto não ocorre regularmente, pois o período das operações é geralmente quebrado, em relação à Taxa.

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O Período é representado pela letra “n”. VALOR PRESENTE (VALOR ATUAL) O Valor Presente ou Valor Atual de uma transação financeira é o volume de Capital que

representa a situação no momento atual de uma transação a ser concretizada em um momento futuro. Por exemplo, se quisermos saber o Valor Presente de uma prestação a ser paga daqui a um mês, temos que levar em consideração a Taxa da operação ou de mercado e constituir um “fator”, para dividir o valor da prestação pelo mesmo e, assim, encontrar o Valor Presente.

A prática do Valor Presente tem aplicação, por exemplo, quando conseguimos o

dinheiro suficiente para pagar um débito futuro e não podemos fazer o pagamento. Aí, aplicamos o dinheiro em um Banco pelo prazo que falta para o vencimento e, quando resgatar a aplicação o Montante será equivalente ao valor do pagamento.

O Valor Presente é representado pelas letras “PV ou VP”. VALOR FUTURO O Valor Futuro de uma operação é o Montante, ou seja, o valor do Capital somado aos

Juros incorridos no período que determina o Futuro. Ao solicitar um empréstimo, por exemplo, você já sabe qual o seu poder de pagamento

para uma determinada data. Sabendo a Taxa de Juros que o Banco vai cobrar, você saberá se o Valor Futuro é mais ou menos do que você pode pagar e, assim, decidirá mais facilmente se pode ou não tomar o empréstimo.

O Valor Futuro é representado pelas letras “FV ou VF”. PAGAMENTOS ou ANUIDADES (PRESTAÇÕES) Os Pagamentos são as parcelas a serem pagas do início até o fim de uma transação

financeira, denominada Anuidade. Por exemplo, compramos um Aparelho de TV em uma loja em 12 prestações. Os elementos de uma anuidade são:

• TERMOS – os valores que constituem os pagamentos ou renda; • PERÍODO – os intervalos de tempo entre dois termos; • DURAÇÃO – a soma dos períodos da anuidade; • MONTANTE – a soma dos montantes de todos os termos; • VALOR ATUAL – a soma dos valores atuais de todos os termos.

A anuidade classifica-se em:

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a) - Quanto ao prazo:

• Temporária: quando a duração for limitada; • Perpétua: quando a duração for ilimitada.

b) - Quanto ao valor dos termos:

• Constante: quando todos os termos são iguais; • Variável: quando os termos não são iguais.

c) - Quanto à forma de Pagamento/Recebimento:

• Imediata: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período.

Classificam-se em: • Postecipadas: quando os termos são exigíveis no final de cada um dos

períodos; • Antecipadas: quando os temos são exigíveis no início de cada um dos

períodos. • Diferidas: quando os termos são exigíveis a partir de uma data que não

seja o primeiro período (Carência), e também se classificam em Postecipadas e Antecipadas.

d) - Quanto à forma de Pagamento/Recebimento:

• Periódicas: quando todos os períodos são iguais; • Não-Periódicas: quando os períodos são diferentes entre si.

Os Pagamentos são representados pelas letras “PMT”. CAPITALIZAÇÃO A Capitalização é o sistema em que a cada período ocorrido converte-se os Juros

decorridos em Capital e, a partir daí, os mesmos passam a receber Juros também. Quando temos um Capital aplicado a uma determinada Taxa Mensal, por exemplo, ao capitalizarmos os Juros no final do mês, esses Juros serão Capitais no mês seguinte e, isso, determina a efetividade da Taxa.

A Capitalização pode ser efetuada pela multiplicação do fator por ele mesmo, tantas

vezes quantas sejam o número de períodos a que se refere. Vamos ver um exemplo esclarecedor no tópico em que falamos de Fator.

DESCAPITALIZAÇÃO Descapitalização é o sistema inverso da Capitalização, ou seja, e quando tiramos os

Juros de uma determinada operação e ficamos apenas com o Capital. É o processo pelo qual

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encontramos o Valor Presente de uma transação. Para trabalharmos com a Capitalização e a Descapitalização, usamos os Fatores, que estudaremos logo a seguir. Quando capitalizamos, trabalhamos com o capital e quando descapitalizamos trabalhamos com o montante.

FATOR O Fator é um item interessante, porque é aqui que começamos a resolver os exercícios

de Matemática Financeira. O Fator é a soma do Capital e da Taxa, ambos na forma unitária. Assim, se você tem uma Taxa de 20% (vinte por cento), o Capital é sempre “1” e o Fator será 1,20 (um vírgula vinte). Porque a Taxa de 20% (na forma Percentual) é dividida por 100 e fica na forma Unitária (0,20). Vale lembrar que quando a Taxa está na forma unitária, nós não podemos falar a expressão “por cento”, ou seja, 20% (dizemos “vinte por cento”) e 0,20 (dizemos “zero vírgula vinte”).

POTÊNCIA e RAIZ A Potência é representada pela quantidade de períodos em que consiste a operação ou

transação, no processo de Capitalização. Quando o processo é o inverso da Potenciação, ou seja, a Raiz “n” (onde “n” é o número de períodos da transação).

Por exemplo, em uma transação onde a Taxa é 20% (vinte por cento), o Fator, como já

vimos é 1,20. Se o prazo for de 5 períodos, então a Potência será de 5, quando o processo for de Capitalização e a Raiz será a “quinta”, se o processo for de Descapitalização.

Suponhamos que a operação seja o seguinte:

Ora, já sabemos que o Fator é 1,20 (hum vírgula vinte), isto porque a Taxa de 20% é dividida por 100 e transforma-se em 0,20. A ela é somado o Capital na forma unitária (1), obtendo-se 1,20.

Uma vez obtendo-se o Fator, multiplica-se por ele mesmo, tantas vezes quantas seja o

número de Períodos (Potência), no caso 5. Assim:

R$ 20.000.000,00 20% ao mês 5 meses ---------------- Qual o valor dos Juros? ---------------- Qual o valor do Montante?

Capital ................ : Taxa .....................: Período: ...............: Juros ....................: Montante .............:

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Agora, fica fácil Capitalizar qualquer valor nas mesmas condições. Se o Capital é de R$ 20.000.000,00, então o Montante é 20.000.000,00 x 2, 48832 = 49.766.400,00.

Assim, os Juros serão de R$ 29.766,400 (que é o resultado de 49.766.400,00 -

20.000.000,00 = 29.766,400 (que é o resultado de 49.766.400,00 - 29.766.400,00). É óbvio que estamos falando de Juros Compostos, pois se fosse Juros Simples, o Fator

seria encontrado de forma diferente, ou seja, primeiro multiplica-se a Taxa pelo Período (“i” x “n” = 0,20 x 5) e somente depois é que soma-se o Capital (1). Assim:

Compare a diferença entre o cálculo efetuado com Juros Simples e Compostos. Pelos Simples, soma-se, pelos Compostos, multiplicam-se os fatores (ou eleva-se - potência, como veremos mais à frente).

Se, ao contrário, o processo fosse de Descapitalização, então dividiríamos o Montante

pelo Fator encontrado e encontraríamos o Valor Presente da Operação, ou seja, o Capital. APLICAÇÃO Diz do ato de entregar uma importância em dinheiro, bens ou direitos a outra pessoa,

com o objetivo de receber uma contraprestação na forma de lucro. A aplicação pode ser feita no mercado financeiro (Poupança, Open Market, Fundos de Aplicação etc.), no mercado mobiliário (Ações na Bolsa de Valores, Debêntures etc.), no mercado imobiliário (Imóveis – casas, terrenos etc) e no mercado de bens (veículos, móveis, equipamentos eletrônicos etc).

INFLAÇÃO Um dos maiores problemas no aprendizado da Matemática Financeira é a existência da

INFLAÇÃO. A Inflação é registrada pela “perda do poder aquisitivo da moeda”. Nem sempre equivale à Taxa de Juros e, assim, muitas vezes, um Capital é remunerado independentemente da existência ou não da Inflação e pode ocorrer um fenômeno econômico de “perda” ou “ganho” em relação à Inflação pelo aplicador ou tomador dos Recursos Financeiros. A maior

1,20 x 1,20 x 1,20 x 1,20 x 1,20 = 1,205 = 2,488832 (FATOR)

0,20 x 5 = 1 + 1 = 2 (FATOR), então 20.000.000,00 x 2 = 40.000.000,00.

1 2 3 4 5

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problemática com referência à Inflação é que este fenômeno é medido somente depois de ocorrido, isto é, é imprevisível, devido aos diversos fatores que influem e contribuem para a formação do índice de Inflação do Período e, assim, ao ser aplicado um determinado Capital, é, praticamente, impossível calcular-se de quanto será este índice para o Período em que consiste a operação.

FLUXO DE CAIXA O Fluxo de Caixa é qualquer rubrica pela qual os recursos financeiros entram ou saem

(fluem) para o Caixa ou do Caixa da empresa. Quando falamos do Caixa Global, analisamos todos os fluxos (rubricas – tais como Duplicatas a Receber, Fornecedores etc), mas quando falamos em Matemática Financeira, temos que considerar como Fluxo de Caixa, para efeito de Taxa de Retorno (que é a Taxa que representa a volta do Capital investido em um determinado Período), qualquer rubrica individualmente, considerando suas aplicações (SAÍDAS) e seus retornos (ENTRADAS).

Vamos verificar mais à frente que grande parte dos nossos cálculos será efetuada com

base no Diagrama do Fluxo de Caixa. DESCONTOS Toda aplicação de Capital tem um comprovante (um recibo, uma nota promissória, uma

duplicata, um cheque, um bem etc.). É com este comprovante que efetuamos a troca na data futura para, assim, resgatar o Capital aplicado, juntamente com os Juros (o Montante).

Entretanto, muitas vezes, uma das partes envolvidas no processo tem interesse na

liquidação antecipada da operação, isto é, antes de chegar a hora predeterminada para o resgate.

A este tipo de operação chamamos “Desconto”. Há três formas de Descontos, a saber: a) DESCONTO RACIONAL ou DESCONTO “POR DENTRO”

O Desconto “Por Dentro” ou Racional é aquele que representa a diferença entre o

Montante e o Valor Atual de uma transação liquidada a certo número de períodos antecipadamente ao seu vencimento.

Suponha-se que alguém tenha um compromisso para ser liquidado em um ano. Passados

4 meses, portanto, faltando 8 meses para o seu vencimento, resolve-se liquidar a transação, antecipando-se o vencimento. Para isso, será concedido um desconto, diminuindo-se o valor futuro da operação para um valor atual, descontando-se os oito meses que estão faltando para chegar ao vencimento.

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A forma de cálculo empregada é a de Juros Simples. No Desconto “Por Dentro”, o Desconto é o Valor Atual dos Juros Simples calculados.

Ou seja, primeiramente acham-se os Juros Simples do Período e depois descapitaliza-se este valor pela Taxa do Período.

O Valor Atual a pagar, será o Valor Futuro da operação, menos o Valor Presente dos

Juros devidos no Período. “No regime de ‘juros simples’, o desconto racional aplicado ao valor é igual aos juros

devidos sobre o capital (valor descontado), desde que ambos sejam calculados à mesma taxa. Ou seja, a ‘taxa de juros da operação’ é também a ‘taxa de desconto’”.

b) DESCONTO COMERCIAL ou DESCONTO “POR FORA”

O Desconto Bancário é o mesmo que o Desconto Comercial, com apenas uma diferença: a Taxa cobrada pelo banco é sempre maior porque a entidade precisa embutir na Taxa o custo de suas operações.

Portanto, o sistema de cálculo será o mesmo que aprendemos para o Desconto

Comercial.

“O sucesso consegue-se com decisão, confiança, persistência; e não, com desânimo, indecisão, lamúrias...”

Sanson Alhadef

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

SEGUNDA PARTE

JUROS SIMPLES

“Tudo que o homem adquire deve ter um preço: O TRABALHO.”

DINAMOR

“Eu não me envergonho de corrigir meus erros E mudar as minhas opiniões, porque

Não me envergonho de raciocinar e aprender.”

ALEXANDRE HERCULANO

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Segunda Parte JUROS SIMPLES Como dissemos antes, a apostila será dividida em partes, de forma que, após estabelecer

os conceitos para o participante do Curso, possa-se estudar separadamente os Juros Simples e os Compostos, para, ao final se ter uma visão global e poder identificar na aplicação profissional do aprendizado em qual circunstância se aplica uma ou outra técnica.

Vejamos, portanto, os elementos que interessam ao sistema de juros simples. JUROS Nos Juros Simples, a Taxa é dividida linearmente, ou seja, a divisão aritmética pelo

número de períodos que embute, ou multiplicada pelo número de período que representa. Assim, se estamos falando em um empréstimo ou aplicação à Taxa de 10 ao mês e o

período for, por exemplo, 8 dias, então, dividimos a Taxa pelo número de períodos (DIAS) que embute (um mês = 30 dias) e multiplicamos depois pelo período que representa (8 dias). Assim, 0,10/30x8 = 0, 0266666.

Se, ao contrário, tivermos uma taxa de 10% ao mês e o empréstimo for por 18 meses,

então, multiplicamos a Taxa pelo número de períodos que representa: 0,10x18 = 1,80.

A fórmula é lida assim: Juros é igual a “Capital vezes Taxa vezes Tempo”. É imprescindível notar que a Taxa deve estar na forma UNITÁRIA, isto é, a Taxa

Percentual deve ser dividida por 100.

Exercício resolvido:

J = C i n

10% = 0,10; 1% = 0,01; 0,5 = 0, 005; 35% = 0,35; 120% = 1,20; 2.475% = 24,75.

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Ex. 1. Suponhamos um Capital de R$ 35.000.000,00 aplicado à Taxa de 7,5% ao mês, por um prazo de 9 meses. Qual o valor dos Juros:

SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 0, 075; 2º Passo: 35.000.000,00 x 0, 075 x 9 = 23.625.000,00. Portanto, o valor dos Juros será de R$ 23.625.000,00. E se a Taxa for dada para um período e o empréstimo for tomado para outro? Vejamos o exemplo a seguir: Ex.: 2. Um investidor cobra 235% ao ano por empréstimos em Juros Simples. Você

decide tomar um empréstimo de R$ 200 mil pelo prazo de 14 meses para pagar a dívida de ma só vez. Quanto você pagará de Juros por este empréstimo:

SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 2,35; 2º Passo: Dividir a Taxa por 12. 2,35/12 = 0, 19583333; 3º Passo: 200.000,00 x 0, 1958333 x 14 = 548.333,32.

Exercícios Propostos

01. Quais os Juros que renderá um Capital de R$ 1.000,00 aplicado pelo período de 1 ano, à Taxa de 10% ao ano?

02. Suponhamos que se tome emprestada uma quantia no valor de R$ 1.000.000,00, pelo prazo de 2 anos e a taxa combinada seja de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago referente aos Juros?

03. Quanto rende de Juros um Capital de R$ 100.000,00 aplicado à Taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos?

04. Qual o valor dos Juros de uma operação que envolve um Capital de R$ 759.500,00 à Taxa combinada seja de 10,5% a.a. pelo prazo de 2 anos e meio?

05. Quanto rende um Capital de R$ 12.000.000,00 pelo prazo de 48 horas, à Taxa de 630% ao ano?

06. Em um empréstimo convencionou-se pagar os Juros mensalmente e devolver o Capital no final do período. Se o prazo da operação foi de 15 meses, a Taxa de 75% a.a. e o Capital de R$ 100.000,00, quanto será pago por mês?

07. Que Juros rende um Capital de R$ 1.500,00 em 5 meses, a uma taxa de 8,5% ao ano? 08. J = ?; C = 12.000.000,00; T = 45% ao mês; n = 27 dias. 09. Uma pessoa tem um Capital de R$ 10.000.000,00 e não pretende gasta-lo. Porém, quer

adquirir uma Geladeira nova e entende que com os Juros do Capital aplicado no Mercado Financeiro poderá pagar a prestação da Geladeira. A Taxa de aplicação é de 73,5% ao ano. O aplicador consegue um tomador para o período de 1 ano, com pagamento mensal dos Juros. A Geladeira nova custa R$ 1.600.000,00. A loja financia em 12 prestações de R$

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Curso de Matemática Financeira

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400.000,00. Conseguirá o aplicador pagar a prestação da Geladeira nova com os rendimentos do Capital Aplicado?

10. Uma pessoa aplica um Capital de R$ 2.000.000,00 à Taxa de 16,20% a.a. pelo período de 24 meses. O contrato reza que se a pessoa pagar os Juros mensalmente terá um desconto de 20% do valor dos Juros. Se pagar semestralmente terá um desconto de 8%. Porém, pagará 100% dos Juros no final do período. Pede-se:

a) De quanto será o valor mensal dos Juros já com o desconto? b) Quanto pagará o tomador se optar pelo período semestral? c) Qual será o valor dos Juros se a opção do aplicador for para efetuar o pagamento no

final do período? CAPITAL Com a prática do cálculo dos Juros, podemos aprender facilmente a calcular o Capital

envolvido em uma operação, desde que tenhamos os outros três elementos da fórmula: Juros, Taxa e Tempo. Basta conferir a fórmula do Capital

A fórmula lê-se assim: “Capital é igual aos Juros divididos pelo produto da Taxa vezes

o Tempo.” Exercício resolvido: Ex. 3. Qual o Capital que aplicado à Taxa de 5% ao mês, durante 3,5 anos, rendeu

os Juros de R$ 195.000,00? SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 0,05; 2º Passo: Multiplicar 3,5 anos por 12 meses = 42 meses; 3º Passo: Achar o produto Taxa vezes Tempo (0,05 x 42 = 2.10); 4º Passo: 195.000,00/2,10 = 92.857,14. Ex. 4. Se o Montante é de R$ 9.000,00, a Taxa de 13% a.a. e o prazo de 7 meses,

qual é o valor do Capital? SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 0,13; 2º Passo: Dividir por 12 e multiplicar por 7 = 0, 0108; 3º Passo: Resolver o produto e somar “1” (1 + 0, 0108 x 7) = 1,0758;

J

C = in

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4º Passo: 9.000,00/1, 0758 = 8.365,61.

Exercícios Propostos

11. Qual o Capital que aplicado a uma Taxa de 10% ao ano pelo prazo de 1 ano, produz os Juros de R$ 175.100,00?

12. Uma certa pessoa ganhou Juros de R$ 1.000.000,00 no prazo de 2 anos com uma Taxa de 10% a.a. Qual valor essa pessoa aplicou?

13. Um determinado Capital produziu Juros de R$ 100.000,00 aplicado à Taxa de 5% ao semestre pelo período de 2 anos e meio. Qual o valor do Capital?

14. C = ?; J = 75.000,00; i = 6,5% a.a; n = 9 meses. 15. Certo Capital foi aplicado por 72 horas e rendeu Juros de R$ 1.200.000,00. Considerando

que a Taxa era de 35% a.m., qual o valor desse capital? 16. Um empréstimo foi efetuado com as seguintes condições: a cada mês a pessoa que emprestou

recebia de Juros R$ 750.000,00 e a Taxa era de 78,5% a.a., sendo que o prazo da operação foi de 2 anos. Com base nestes dados, qual o valor do empréstimo?

17. Uma pessoa foi a uma loja e perguntou quanto pagaria por mês por uma compra a prazo de um Televisor, sem entrada. A loja informou que a prestação seria de R$ 815.000,00, durante 15 meses. A pessoa verificou que o Capital que tem disponível no banco, aplicado à Taxa que o banco oferece que é de 15% a.m., é suficiente para pagar a prestação e ainda sobrará R$ 35.000,00. Quanto essa pessoa tem no Banco?

18. Sendo um Capital aplicado à Taxa de 12,5% ao bimestre, pelo prazo de 7 meses, e rendendo R$ 350.000,00 de Juros no final, qual os seu valor?

19. Quanto devo depositar em uma Caderneta de Poupança que paga Juros Simples, pelo prazo de 18 meses, à Taxa de 12% a.m., se pretendo ganhar de Juros, no final do período, a importância de R$ 1.250.000,00?

20. Uma pessoa comprou um carro financiado e ficou com uma dívida mensal de R$ 3.250.000,00. Ela pretende gastar apenas R$ 1.750.000,00 do seu salário para pagar o carro. Entretanto, pretende aplicar parte de suas economias para gerar de Juros o valor complementar da prestação mensal. Sabe-se que o mercado paga 34,5% ao trimestre, para resgate mensal de rendimentos. Quanto uma pessoa precisa aplicar de suas economias?

MONTANTE O Montante, como já vimos, é o Valor Nominal da operação, isto é, representa a soma

do Capital aplicado mais os Juros obtidos. Assim, se você aplica a importância de R$ 10.000.000,00 por um determinado período, a uma determinada Taxa que produz Juros de R$ 2.000.000,00, o Montante será de R$ 12.000.000,00. O Montante é muito usado quando pretendemos saber o valor de uma aplicação que fizemos para determinado período. Porém, é mais comum referir-se ao “Valor Nominal” da operação, pois, como veremos a seguir, certas operações são enfocadas tendo como base o Valor Nominal da transação.

Para calcular o Montante, é necessário que tenhamos o valor do Capital, a Taxa e o

Tempo envolvidos na operação. A fórmula é:

M = C (1 + in)

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A fórmula é lida da seguinte forma: “Montante é igual ao Capital que multiplica ‘um’ mais o produto da Taxa vezes o Tempo”.

Para se chegar a esta fórmula, vamos analisar o seguinte:

Então, coloca-se em evidência o “C” e obtém-se a fórmula mais usada que é aquela demonstrada acima: M = C (1 + in).

Exercício resolvido: Ex. 5. Qual o Montante de uma operação onde o Capital aplicado é de R$

10.000.000,00, a Taxa de 5% a.m. e o prazo de 10 meses? SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 0,05; 2º Passo: Acha-se o produto de “in” (0,05 x 10 = 0,5); 3º Passo: Resolve-se o parêntese: 1,5 → (1 + in) → (1 + 0,5); 4º Passo: 10.000.000,00 x 1,5 = 15.000.000,00. Ex. 6. Calcule o Montante para uma operação efetuada para um prazo de 17

meses, a uma Taxa de 675% a.a., envolvendo um Capital de Cr$ 72.350.000,00. SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 6,75; 2º Passo: Dividir a Taxa por 12 (a.a.) (6,75: 12 = 0, 563); 3º Passo: Multiplicar a Taxa mensal por 17. (0, 563 x 17 = 9, 563); 4º Passo: Somar “um” à Taxa (1 + in): 1 + 9, 563 = 10, 563; 5º Passo: 72.350.000,00 x 10, 563 = 764.196.875,00.

Exercícios Propostos

21. N = ?; C = 15.000.000,00; i = 240% a.a. n = 36 dias. 22. Um Capital de R$ 18.000.000,00, foi aplicado à Taxa de 89% a.a. pelo período de 215 dias.

Qual o Montante? 23. Quanto pagarei no final de 745 dias, pelo empréstimo de R$ 200.000,00 à Taxa de 7% ao

mês? 24. Ao comprar um eletrodoméstico, você pode optar para pagar tudo no final do período ao

invés de efetuar pagamentos mensais. O preço à vista do eletrodoméstico é de R$ 500.000,00 e a loja cobra uma Taxa de 12% a.m. Qual o pagamento no final do período:

a) de 1 ano;

J = C in → M = C + J → Assim: M = C + (C in)

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b) de 24 meses; c) de 18 meses; d) de 120 dias.

25. Quanto devo pagar por uma dívida de R$ 700.000,00, pelo prazo de 175 dias à Taxa de 400% ao semestre?

26. Qual o Montante de um Capital de R$ 18.000,00, aplicado pelo período de 60 dias, à Taxa de 250% a.a.?

27. M = ?; C = 700.000,00; i = 2% a.m.; n = 2 anos. 28. Ao comprar uma Televisão, o cliente pediu para o vendedor lhe informar de quanto seria o

valor ao final do período de 8 meses. Sabendo-se que a loja cobra 45% ao bimestre e o preço à vista da Televisão é de R$ 2.200.000,00, qual foi a resposta do vendedor?

29. Seja um Capital de R$ 90.000.000,00, aplicado em uma transação pelo período de 976 dias, à Taxa de 450% a.a, qual o valor da dívida final?

30. M = ?; C = 250.000,00; i = 900% a.a.; n = 297 dias. TAXA A Taxa é calculada pela aplicação das seguintes fórmulas: No caso acima, temos o conhecimento dos Juros, do Capital e do Tempo. Pode ocorrer,

entretanto, conhecermos o Capital, o Tempo e o Montante da operação. É claro, que neste caso poderíamos subtrair o Capital do Montante e encontrar o valor

dos Juros, podendo, assim, utilizar-se da fórmula acima. Mas, para economizarmos este passo, poderemos aplicar a fórmula originada das operações com Montante:

J i = Cn

M

- 1 C

i =

n

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Curso de Matemática Financeira

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Exercício resolvido: Ex. 7. Se um Capital de 200.000,00, aplicado pelo prazo de 7 meses, rendeu Juros

de R$ 140.000,00, qual foi a Taxa da operação? SOLUÇÃO: 1º Passo: Achar o produto Capital pelo Tempo: 1.400.000,00. 2º Passo: 140.000,00/1.400.000,00 = 0,10. 3º Passo: Multiplicar por 100, 10 x 100 = 10% ao mês. Observe que na solução, já mencionamos que a Taxa é mensal. Logicamente, isto

ocorreu em função do prazo que foi dado em meses. Ex. 8. Uma pessoa auferiu Juros de Cr$ 120.000,00, pela aplicação de um Capital

de R$ 900.000,00, pelo prazo de 28 dias. Qual a Taxa Mensal e qual a Taxa Anual desta operação?

SOLUÇÃO: 1º Passo: Achar o produto Capital pelo Tempo: 25.200.000,00. 2º Passo: 120.000,00/25.200.000,00 = 0, 004762. 3º Passo: Multiplicar por 30: 0 004762 x 30 = 0, 142857. 4º Passo: Multiplicar por 360: 0 004762 x 360 = 1, 714320. 5º Passo: Multiplicar por 100: 0 142857 x 100 = 14, 2857% ao mês. 6º Passo: Multiplicar por 100: 1 714320 x 100 = 171, 4320% ao ano. Como o prazo foi dado em dias, pela utilização da fórmula, obtivemos a Taxa diária da

operação que é 0,4762% ao dia (só que na forma unitária = 0,004762). Podemos trabalhar com a Taxa na forma percentual ou unitária.

Então, podemos afirmar que com a utilização da fórmula, a Taxa encontrada será

referente ao período dado no problema (prazo em dias taxa diária; prazo em meses taxa mensal; e prazo em anos, taxa anual).

Exercícios Propostos

31. Um Capital de R$ 150.000,00 foi aplicado pelo prazo de 4 meses e rendeu Juros de R$ 72.500,00. Pede-se:

a) Qual a Taxa Mensal desta operação? b) Qual a Taxa Anual desta operação? 32. Qual a Taxa Anual de uma operação em que um Capital de R$ 72.700,00, no período de 4

meses rendeu Juros de R$ 25.200,00? 33. Uma pessoa dispõe de um Capital de R$ 23.000.000,00. Pretende adquirir uma quota de

Consórcio para aquisição de um carro novo, cujo valor mensal é de R$ 3.750.000,00. Qual a Taxa que essa pessoa deve cobrar na aplicação de seu Capital para que os Juros obtidos sejam suficientes para pagar a prestação do Consórcio e ainda reservar 5% do valor da prestação para cobrir Taxas futuras do Consórcio?

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34. i = ?; C = 670.000,00; M = 885.350,00; n = 97 dias. 35. Seja uma importância de R$ 755.715,00, aplicada pelo prazo de 16 meses, gerando Juros de

R$ 155.765,00. Qual a Taxa? 36. Qual a Taxa Mensal que devo cobrar de uma aplicação de R$ 275.000,00, pelo prazo de 225

dias, para auferir Juros de R$ 225.315,00? 37. Se desejo pagar uma conta de R$ 324.000,00 com os Juros de uma aplicação de Cr$

922.000,00, em quatro meses, que a Taxa Anual devo cobrar? 38. i = ? a.m.; C = 715.771,50; M = 840.986,52 n = 105 dias. 39. Quanto devo cobrar de Taxa Anual pela aplicação de um Capital de R$ 700.000,00, para

gerar Juros de R$ 197.500,00, em 97 dias? 40. Uma pessoa tem quatro filhos de 12, 15, 17 e 21 anos. Para cada filho, distribui uma mesada

mensal de R$ 4.000,00 por ano de idade. Reservou um Capital de R$ 82.000.000,00 para aplicar com o objetivo de auferir Juros suficientes para pagar as mesadas de seus filhos mais uma prestação de Consórcio de R$ 1.725.000,00. Que Taxa Anual deve cobrar para esta operação, de forma que satisfaça seus objetivos?

TAXA NOMINAL Quando falamos em Taxa Nominal relacionamos imediatamente com Juros Simples.

Porém, uma confusão muito grande é feita sobre os conceitos de Taxa Nominal. Ora, para compreender o conceito de Taxa Nominal é imprescindível observar que a Taxa é Nominal quando é aplicada sobre o Valor Nominal da operação.

Alguns autores definem a Taxa Nominal como sendo aquela “cuja unidade de referência

de seu tempo, não é coincidente com a unidade de tempo dos períodos de capitalização”. Entretanto, em um desconto bancário, normalmente é empregada a Taxa Nominal e pode haver coincidência no período de referência da mesma com o de capitalização. Porém, o que distingue a Taxa como sendo Nominal é que a mesma é aplicada sobre o Total do empréstimo, isto é, sobre o Valor Nominal (ou MONTANTE ou VALOR FUTURO em uma data).

Exercício resolvido: Ex. 11. Qual a Taxa Nominal Mensal de uma operação de Desconto Bancário, em

que o valor da Nota Promissória é de R$ 40.000,00 e o valor creditado na conta do cliente é de R$ 34.750,00, quando o prazo da operação é de 27 dias?

SOLUÇÃO: 1º Passo: Subtrair o valor líquido do Bruto = R$ 5.250,00. 2º Passo: Dividir os Juros pelo Montante (5.250/40.000) = 0, 1313. 3º Passo: Dividir pelo número de períodos (0,1313/27) = 0,0049. 4º Passo: Multiplicar por 30 (Mensal) (0, 0049 x 30) = 0, 1458. 5º Passo: Multiplicar por 100. Obtém-se: 14,58% a.m.

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Curso de Matemática Financeira

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TAXA EFETIVA ou REAL

A Taxa Efetiva é estudada somente quando os Juros forem Compostos. Assim, este tópico será apresentado mais à frente.

TAXAS EQUIVALENTES As Taxas Equivalentes são estudadas, também, quando forem enfocados os Juros

Compostos. Assim, veremos este tópico um pouco mais adiante. TAXA LINEAR Conforme já vimos na Primeira Parte da apostila, quando nos referimos a este tópico, a

Taxa é Linear quando sua relação com o período é feita pela divisão aritmética da Taxa ser Linear não determina que a mesma seja Nominal, pois o que determina se a Taxa é Nominal é o fato de ser aplicada sobre o Montante.

Vejamos os exemplos a seguir: Vale salientar novamente que o fato de uma Taxa ser Linear não determina se a Taxa é

Nominal é o fato de ser aplicada sobre o Montante. Vejamos os exemplos a seguir: Há ocasiões em que a Taxa Linear coincide com a Taxa Efetiva. Ora, se a Taxa Linear

pode ser numa determinada operação NOMINAL e numa outra operação EFETIVA, então, na verdade, podemos dizer que a TAXA LINEAR não existe, isto é, “Taxa Linear” não é um tipo de taxa, mas sim, uma circunstância sofrida pela Taxa Efetiva ou pela Taxa Nominal em uma determinada operação.

Às vezes, a prática com Taxas Lineares pode iludir uma ou outra parte envolvida na transação e levar o “custo da operação” para outra Taxa que não a mencionada.

Vejamos o exemplo que segue: Uma duplicata de um fornecedor foi atrasada pelo período de 30 dias e os Juros de

Mora são cobrados à Taxa de 28% a.m. (LINEAR). Ora, o valor a ser pago será acrescido de 28%, porque a Taxa é de 28% ao mês e o período decorrido é um mês. Neste caso, não importa, a Taxa é Linear, mas é, também, TAXA EFETIVA.

Com o mesmo exemplo de Taxa, vamos supor que o atraso fosse de, apenas, 20 dias.

Ora, como a Taxa é Linear, divide-se 28 por 30, multiplica-se por 20 e acha-se 18,6666. Esta taxa é, na realidade, diferente da Taxa Efetiva que é de 17,8890 (quando utilizamos o sistema de descapitalização). Isto quer dizer que a Taxa Efetiva cobrada foi outra na realidade. Essa Taxa foi de 29,26% a.m.

Da mesma forma, se o prazo de atraso for de 12 dias, dividindo-se 28 por 30 e

multiplicando-se por 12 e acha-se 11,2, diferentemente do sistema de descapitalização para

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trinta dias que daria 10,3783. Isto indica que a Taxa Efetiva cobrada na operação foi de 30,39%, enganando as partes com referência aos 28% mencionados. Vejamos:

Exercício resolvido: Ex. 12 . Um banco cobra 45% a.m. para operações de desconto de Notas

Promissórias. Se o prazo for de 15 dias e o valor da Nota Promissória for R$ 750.000,00, qual será o valor dos Juros?

SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 0,45. 2º Passo: Dividir a Taxa Unitária por 30 e multiplicar por 15 = 0,225 3º Passo: Multiplicar 750.000,00 x 0,225 = 168.750,00 Portanto, o valor dos Juros é de R$ 168.750,00. Neste exemplo, a Taxa é Linear porque

é dividida por 30 (pois é Taxa Mensal) e trata-se de uma Taxa Nominal, porque é aplicada sobre o Valor Nominal da operação (R$ 750.000,00).

Ex. 13. Um cliente atrasou uma duplicata de um fornecedor no valor de R$

820.500,00 por 18 dias. O fornecedor cobra Taxa de mora de 42% a.m. Linear. Quanto será acrescentado ao valor da duplicata no ato do pagamento?

SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 0,42. 2º Passo: Dividir por 30 e Multiplicar por 18 = 0,2520. 3º Passo: Multiplicar 820.500,00 x 0,2520 = 206.766,00 Porém, se fizermos os cálculos pelo sistema de Juros Compostos, a Taxa Efetiva é

outra, como veremos mais à frente. PERÍODO Para calcular o período da operação, pelo sistema de Juros Simples, quando se tem o

valor do Capital, o valor dos Juros e a Taxa, utilizamos a seguinte fórmula:

Condição valor taxa 30 d 20 d 12 d LINEAR 1.000, 00 28% a.m 1.280,00 1.186,66 1.112,00 Taxa Efetiva 28% a.m 29,26% a.m 30,39% a.m DESCAPIT. 1.000,00 28% a.m 1.280,00 1.178,89 1.103,78 Taxa Efetiva 28% a.m 28% a.m. 28% a.m

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Curso de Matemática Financeira

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Porém, temos outra fórmula que é a que envolve as operações com Montante, vejamos a

seguir: Vejamos os exemplos a seguir: Ex. 14. Em uma operação com um Capital de R$ 13.000.000,00, aplicado à Taxa de

5% ao mês, foram auferidos os Juros no valor de R$ 7.355.900,00. Qual o prazo desta operação?

SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 0,05. 2º Passo: Achar o produto Capital x Taxa = 650.000,00. 3º Passo: Dividir os Juros por este resultado: O resultado é 11, 3168 meses, ou seja, 11 meses e 9 dias. Agora vejamos o próximo exemplo: Ex. 15. Em uma operação foi aplicado o Capital de R$ 432.500,00, à Taxa de 12%

a.a. e no final do período foi resgatado o valor de R$ 915.750,00. Qual foi o período? SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 0,12. 2º Passo: Dividir o Montante pelo Capital, e subtrair “1”:

J

n = Ci

M - 1 C n = i

7.355.900,00

= 11, 3168 650.000,00

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3º Passo: Dividir o resultado pela Taxa: 1, 1173/0,12 = 9,3108. Portanto, o prazo da operação é 9, 3108 anos, isto é, 9 anos, 3 meses e 22 dias. Note-se que se a Taxa dada for mensal, o prazo encontrado será expresso em meses,

sendo que as casas decimais representam dias. Caso a Taxa seja expressa em anos, o resultado será expresso em anos e as casas decimais representarão meses. Ao serem convertidas em meses, essas casas decimais, se houver “resto”, isto indicará a presença de “dias” no prazo da operação.

Exercícios Propostos

41. Uma pessoa auferiu Juros de R$ 715.000,00 em uma operação com a aplicação de um Capital de R$ 9.170.350,00, à Taxa de 3,5% a.m. Quantos meses duraram esta aplicação?

42. Foi aplicado um valor de R$ 1.000.000,00, à Taxa de 7,5% a.a. e no final do período foi resgatado o valor de R$ 12.750.000,00. Que período consiste a operação?

43. Quantos dias são necessários para que um Capital de R$ 500,00, aplicado à Taxa de 56% a.a., gere Juros de R$ 912,00?

44. Qual o período necessário para que um Capital de R$750.000,00, à Taxa de 126% a.a. seja resgatado pelo valor de R$ 2.500.000,00?

45. n = ? anos; J = R$ 916.000,00; C = R$ 7.500.000,00; i = 35% a.m. 46. Seja um Capital de R$ 250.000,00, resgatado pelo valor de R$ 1.250.000,00, sabendo-se que a

Taxa era de 40% a.a., quantos meses dura a operação? 47. n = ? meses; M = 750,00; C = 350,00; i = 123% a.a. 48. Quanto tempo deveremos aplicar um Capital de R$ 900.000,00, à Taxa de 42% a.a. para que

seja resgatado o valor de R$ 2.315.000,00? 49. Seja o Capital de R$ 13.750.000,00, aplicado à Taxa de 235% a.a. e que renda Juros de R$

9.317.250,00. Qual o período em meses? 50. Quanto tempo deveremos deixar aplicado um Capital de R$ 4.350.000,00, para que o resgate

seja de R$ 15.000.000,00, sendo que a Taxa oferecida pelo mercado é de 900% a.a.? VALOR PRESENTE (VALOR ATUAL) É o Valor de uma operação no momento presente, ou seja, no dia corrente, sem se levar

em conta os Juros que ainda vão vencer.

915.750,00 - 1 = 2, 1173 – 1 = 1,1173/0,12 = 9,3108.

432.500,00

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Curso de Matemática Financeira

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VALOR FUTURO É o Valor da operação no futuro, isto é, no dia do seu vencimento, já contando os Juros

pactuados. PAGAMENTOS (ANUIDADES) As anuidades são estudadas com Juros Compostos. Veremos mais à frente. CAPITALIZAÇÃO E DESCAPITALIZAÇÃO Capitalização e Descapitalização são assuntos usualmente estudados com Juros

Compostos. Entretanto, a Capitalização é o processo pelo qual se agrega os Juros já decorridos ao Capital fazendo, com isso, que os Juros passem a ser Capital também e, assim, incidam juros, a partir de então. Já a descapitalização é o processo inverso, isto é, e quando se tira de um certo montante o valor dos Juros embutidos, sobrando o capital. No processo de Capitalização e Descapitalização, o Capital é sempre representado pelo número “1”, que é somado à Taxa na forma unitária, facilitando a operação de cálculo.

Veremos com mais clareza ao estudarmos o Fator, a seguir. FATOR Didaticamente, chamaremos de Fator, o “número que multiplicado pelo Capital resulta

no Montante”, ou, ainda, o “número pelo qual o Montante for dividido e resultar no Capital”. Esse processo é chamado, como já vimos, de Capitalização e Descapitalização,

respectivamente. O Fator é, na realidade, a soma do Capital e da Taxa, ambos na forma unitária. Assim,

se a Taxa for 13% a.m., em Juros Simples, para o período cheio, o Fator será 1.13, que multiplicado pelo Capital resultará no Montante.

Ao contrário, se o Fator dividir o Montante, achará o Capital. Se a Taxa for de 315% a.a., por exemplo, na forma unitária será escrita assim: 3,15.

Então, o Fator para Capitalização ou Descapitalização no período completo será de 4,15. Porém, se o prazo da operação for menor, por exemplo, 7 meses, o Fator será de 2,8375. O cálculo é feito pela divisão da Taxa por 12, multiplicando-se o resultado por 7 e, após isso, somando-se o Capital (“1”).

O Fator não pode ser “dividido” ou “multiplicado” por número de períodos. Esta ação

somente é sofrida pela Taxa, na forma unitária, e, apenas depois de efetuados os cálculos é que se soma o Capital também na forma unitária (“1”), constituindo-se, assim, o FATOR.

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Exercício resolvido: Ex. 16. Qual o Fator para uma Taxa 715% ao ano, e o período de Capitalização é

de 216 dias? SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 7,15. 2º Passo: Dividir a Taxa Unitária por 360 = 0, 01986111. 3º Passo: Multiplicar pelo período: 216. Obtém-se 4,29. 4º Passo: Somar “1”. Obtém-se o Fator: 29.

Exercícios Propostos

51. Sendo um Montante no valor de R$ 818.500,00, referente a um Capital aplicado pelo período de 147 dias, à Taxa de 916% a.a., por quanto devo dividir o mesmo para descobrir o valor do Capital?

52. Qual o Fator que atualiza uma dívida de R$ 125,00 que está atrasada há 3, 4 anos, sendo que a Taxa de Juros é de 2,5% a.m.?

53. Fator = ???; i = 12%a.a.; n = 9 meses. 54. Sendo o Capital de R$ 900.000,00 e o Montante de R$ 12.725.000,00, qual o Fator? 55. Sabendo-se que um Capital de R$ 3.715.217,00 foi aplicado pelo período de 90 dias e

produziu um Montante de R$ 7.058.912,30, pede-se: calcular por qual Fator devemos multiplicar o mesmo capital para atualizar a dívida para 15 dias?

56. Se um Fator de 4,31516, atualiza uma dívida para o período de 416 dias, qual é o Fator correspondente a 2 meses?

57. Tinha um Capital de R$ 918.675,00 que aplicado pelo período de 135 dias resultou em um Montante de R$ 1.952.184,37. Se o Capital fosse de R$ 217.500,00 e o período de 75 dias, sendo o Fator correspondente, qual será o novo Montante?

58. Fator = ?; M = 715.327,50; C = 316.117,50. 59. Fator p/ 1 mês? M = 715.327,50 C = 317.116,50; n = 102 dias. 60. Que Fator deve utilizar para descapitalizar uma operação em 35 dias, cujo Montante é de R$

9.215.700,00, sendo que a Taxa é de 35% a.a.? POTÊNCIA E RAIZ Estudaremos Potência e Raiz com Juros Compostos na Terceira Parte da apostila. APLICAÇÃO Aplicação é todo e qualquer processo pelo qual um Capital é entregue a outra pessoa em

caráter não-definitivo, com a intenção de ganho (ou recompensa) por parte de quem cedeu o Capital. Essa Aplicação pode estar representada por dinheiro em espécie ou por um bem ou, ainda, por um direito cedido. Normalmente, a Aplicação é a base para o cálculo dos Juros.

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Curso de Matemática Financeira

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INFLAÇÃO E FLUXO DE CAIXA São tópicos que desenvolveremos com mais propriedade quando dos estudos dos Juros

Compostos na Terceira Parte da Apostila. DESCONTOS Qualquer operação financeira, seja o Capital em dinheiro ou representação por um bem

ou direito transferido, normalmente, tem-se um prazo determinado como termo da mesma. Para que isso fique bem claro, um documento é, via de regra, emitido (um cheque, uma duplicata, uma nota promissória etc.). Em determinados casos a parte interessada em receber de volta o seu Capital antes do vencimento, utiliza-se de outra operação que pode ser feita com terceiros ou com a outra parte envolvida. Essa outra operação denomina-se “Desconto”. Nesse caso, o direito de recebimento do título envolvido, é transferido para a pessoa ou instituição que descontou o mesmo.

DESCONTO RACIONAL OU “POR DENTRO” No Desconto Racional, o valor a ser descontado é o Valor Atual dos Juros. Assim,

como já nos referimos na primeira parte da Apostila, primeiro achamos o “Valor Presente” dos Juros da operação e, em seguida, abate-se esse valor do valor do título, encontrando, assim, o Valor Atual (ou Valor Descontado Racional).

Em uma operação de Desconto por Dentro, temos: a) – N – Valor Nominal da Operação (Valor Futuro/Montante); b) – Vr – Valor Atual (ou Valor Descontado Racional); c) – n – Número de períodos que falta para chegar o vencimento; d) – i – Taxa da Operação de Desconto; e) – Dr – Valor do Desconto. O Valor Atual (“V”) é encontrado pelo processo de Descapitalização, ou seja,

dividindo-se o Valor Nominal pelo Fator. Veja a Fórmula:

ou

VALOR NOMINAL

VALOR ATUAL = FATOR

N V = 1 + in

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Exercício resolvido: Ex. 17. Suponha-se que alguém queira resgatar um título de R$ 11.000,00, faltando

três meses para o vencimento e com uma Taxa de 40%a.a., qual o Valor Atual a ser pago:

SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 0,40. 2º Passo: Dividir por 12 e multiplicar por 3 (0,40/12 x 3 = 0,10). 3º Passo: Somar o Capital Unitário: 1,10 4º Passo: 11.000,00/1,10 = 10.000,00. Suponha-se que a pergunta fosse “Qual o Valor do Desconto (Dr)?” Para achar-se o Valor do Desconto é necessária a aplicação de outra fórmula, a saber: Então: Note-se que, enganosamente, poder-se-ia dizer que o Valor do Desconto era de R$

1.100,00, pois a Taxa de 0,40, dividida por 12 e multiplicada por 3, que é o prazo, dá 0,10. E R$ 11.000,00 multiplicado por 0,10 dá R$ 1.100,00. Porém, seria o Valor Futuro dos Juros e o Desconto Racional emprega o Valor Presente dos Juros. Assim, podemos fazer a conta achando o Valor Presente dos Juros pelo Fator do Período (1.100/1,10 = 1.000).

DESCONTO COMERCIAL OU “POR FORA” No Desconto Comercial, como vimos na Primeira Parte da apostila, o Valor do

Desconto é o Valor Futuro do Desconto. Os elementos são: a) - N - Valor Nominal (Montante); b) - Vc - Valor Atual (ou Valor Descontado Comercial); c) - n - Número de Períodos que faltam para o vencimento;

N in

Dr = 1 + in

11.000,00 x 0,10

= R$ 1.000,00 1,10

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d) - i - Taxa de Desconto; e) - Dc - Desconto Comercial da operação. Assim, a fórmula para o Valor Comercial é: E a fórmula para o Desconto Comercial é: Suponhamos o exemplo anterior para o presente caso: Exercício resolvido: Ex. 18. Uma dívida de R$ 11.000,00, à Taxa de 40% a.a. será saldada 3 meses antes

do seu vencimento. Qual o Valor Atual e qual o Valor do Desconto Comercial? SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir a Taxa por 100. Obtém-se 0,40. 2º Passo: Dividir por 12 e multiplicar por 3. Obtém-se 0,10 3º Passo: Vc = 11.000,00 x (1 – 0,10 = 0,90) = 9.900,00. 4º Passo: Dc = 11.000,00 x 0,10 = 1.100,00. DESCONTO BANCÁRIO A técnica do Desconto Bancário é a mesma utilizada pelo Desconto Comercial. No

passado, os bancos empregavam uma Taxa de Despesa Administrativa que acompanhava a operação e era acrescida à Taxa de Desconto Comercial. Com a evolução dos tempos e o aparecimento dos computadores, ficou muito mais fácil para os bancos embutirem em suas Taxas, as Despesas Administrativas e, assim, não há diferença na forma de se calcular o Desconto Bancário e o Desconto Comercial.

PRAZO MÉDIO (MÉDIA PONDERADA) A grande maioria das operações comerciais de Desconto é efetuada envolvendo mais de

um título. Quando isto ocorre, nem sempre os títulos têm o mesmo valor e o mesmo vencimento. Assim, é necessário fazer o cálculo “um a um” para somarem-se os valores dos Juros e obter-se o total da operação. Porém, muitos são os casos em que esta operação seria

Vc = N (1 – in)

Dc = N in

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demais trabalhosa e demorada. Então, utiliza-se a técnica do PRAZO MÉDIO PONDERADO.

O Prazo é Médio porque reflete a média dos prazos dos títulos envolvidos na operação e

é PONDERADO porque considera o “peso” que cada título tem dentro da dívida total. Se devermos duas duplicatas, sendo uma no valor de R$ 1.000,00 e outra no valor de R$

10.000,00, e ambas tem o mesmo vencimento, por exemplo, 30 dias, então, podemos dizer que devemos R$ 11.000,00 para 30 dias. Entretanto, se a duplicata de R$ 1.000,00 vencer daqui a 45 dias e a de R$ 10.000,00 vencer daqui a 30 dias, a situação fica diferente. Neste caso, podemos dizer que:

a) devemos R$ 10.000,00 para 30 dias; e b) devemos R$ 1.000,00 para 45 dias. Mas, não podemos dizer que devemos R$ 11.000,00 para 30 dias, nem para 45 dias.

Também, não podemos somar os prazos e dividir por 2 (dois títulos), achando 75/2 = 37,5, pois, assim, estaríamos dando o mesmo peso para os dois títulos e eles têm pesos diferentes (valores diferentes !).

Assim, devemos utilizar a MÉDIA PONDERADA da dívida, considerando o peso que

cada título tem dentro da dívida. Vejamos: Então, 31,36 dias é o Prazo Médio Ponderado da operação.

Exercícios Propostos

61. Qual o valor líquido de um borderô de Desconto em que um banco cobra a Taxa de 15% a.m., já que o prazo da operação é de 22 dias e o Valor Nominal dos Títulos é de R$ 7.200,00?

62. Se você tem uma Nota Promissória para receber daqui a 45 dias, à Taxa de 35% a.m, no Valor de R$ 12.250.000,00, quanto receberá hoje, calculando-se o Desconto Por Dentro?

63. Qual o Valor Atual da Nota Promissória referida no exercício 62, se o Desconto utilizado for “por fora”?

64. Fui ao banco com um título de R$ 15.725.000,00, pelo prazo de 27 dias. O banco creditou em minha conta o Valor de R$ 12.208.850,93, qual foi a Taxa Mensal de Desconto?

10.000,00 x 30 = 300.000,00 1.000,00 x 45 = 5.000,00 11.000,00 75 345.000,00/11.000,00 = 31,36 dias

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65. Descontei com um amigo um título de R$ 15.725.000,00, pelo prazo de 27 dias e ele me cobrou uma Taxa de 32% a.m., sobrando a importância líquida de R$ 12.208.850,93. Qual foi o método usado, “por dentro” ou “por fora”?

66. Se a sua resposta à pergunta 65 estiver correta, responda quanto seria o Valor Líquido se o método utilizado fosse o outro.

67. Descontei um borderô em um banco, à Taxa mensal de 13,4%. O Prazo Médio da operação era de 32,15 dias e o valor dos Juros foi de R$ 1.350,00. Qual era o valor bruto do borderô?

68. Calcule o Prazo Médio do seguinte borderô de duplicatas: a) 45 dias – R$ 72.500.000,00 b) 65 dias – R$ 1.735.000,00 c) 37 dias – R$ 22.555.250,00 d) 42 dias – R$ 19.125.115,00 e) 51 dias – R$ 29.735.000,00 TOTAL → R$ 145.650.365,00

69. Se o borderô acima (questão 68) for descontado à Taxa de 24% a.m., responda: a) Quanto será o líquido se for Desconto por Fora? b) Qual o valor dos Juros se for Desconto por Dentro? c) Qual o Valor dos Juros pelo Desconto Comercial se a operação for feita daqui a 12 dias?

70. De quanto será o novo Prazo Médio e qual o líquido do Desconto Comercial à Taxa de 145% a.a., se acrescentarmos ao borderô da questão 68, os seguintes Títulos, sabendo-se que a data da operação é 24/10/92?

a) vencimento 12/12/92 – R$ 19.250.000,00 b) vencimento 02/02/93 – R$ 12.125.000,00 c) vencimento 15/11/92 – R$ 24.756.230,00 d) vencimento 10/01/93 – R$ 13.715.771,50 TOTAL → R$ 69.847.001,50

“O DIA vai acontecer, quer você se levante ou não.”

JOHN CIARDI

“O sonho é o início de tudo...”

JOVI

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

TERCEIRA PARTE

JUROS COMPOSTOS

“A oportunidade nunca chega. Vive aqui.”

“Você não precisa fazer muito. Basta fazer o bem e fazê-lo bem feito.”

MARIA ISABEL PESSOTI

“O amigo é aquele que aparece na prosperidade quando é chamado, e na dificuldade sem ser chamado.”

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Terceira Parte JUROS COMPOSTOS A grande problemática da Matemática Financeira é entender a diferença entre os Juros

Simples e os Juros Compostos. Já estudamos os Juros Simples e verificamos que a coisa é bem diferente mesmo nesse caso. Agora vamos verificar os Juros Compostos.

A grande diferença está no REGIME DE CAPITALIZAÇÃO. Os Juros Simples são

capitalizados no final do período da transação, pela soma dos juros obtidos em cada período de capitalização dado pela Taxa. Os Juros Compostos são capitalizados a cada período de capitalização dado pela Taxa e, assim, incorrem em Juros no próximo período. Daí, a expressão Juros sobre Juros.

Imaginemos um empréstimo de R$ 10.000,00, à Taxa de 20% a.a, pelo período de 6

anos. Vejamos o quadro que segue:

JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS n Cálculo Juros Juros Montante n Cálculo Juros Juros Montante 1 10.000 x 0,20 2.000 12.000 1 10.000 x 0,20 2.000 12.0002 10.000 x 0,20 2.000 14.000 2 12.000 x 0,20 2.400 14.4003 10.000 x 0,20 2.000 16.000 3 14.400 x 0,20 2.880 17.2804 10.000 x 0,20 2.000 18.000 4 17.280 x 0,20 3.460 20.7405 10.000 x 0,20 2.000 20.000 5 20.740 x 0,20 4.148 27.8886 10.000 x 0,20 2.000 22.000 6 24.888 x 0,20 4.977 29.865

Veja que nos Juros Simples, a cada ano registra-se o Juro e soma-se ao Montante, porém, não se capitaliza. Observe que o Capital que serve de base de cálculo para os Juros é sempre o mesmo (10.000), isto é, não incorpora os Juros.

Já nos Juros Compostos, a cada período os “Juros são capitalizados” e passam a fazer

parte da base de cálculo para os próximos Juros, isto é, passam a ser Capital. Por isso, se diz JUROS SOBRE JUROS.

Em uma operação de Juros Compostos, o Capital, às vezes, recebe o nome de Principal.

JUROS Para se calcular os Juros, devemos aplicar a seguinte fórmula:

J = C [(1 + i)n - 1]

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É importante observar que o Fator em Juros Compostos é calculado pela fórmula: Quando estudamos o Fator, na Segunda Parte da apostila, verificamos que aquele “1”

que faz parte da fórmula é o Capital na forma unitária. Por isso que, na fórmula de cálculo dos Juros Compostos é necessário diminuir “1” antes de multiplicar pelo Capital.

Mas, uma pergunta poderia surgir: “Por que, então, temos que colocar aquele “1” na

fórmula se terá que retirá-lo depois? Ocorre que se o Capital não estiver fazendo parte da fórmula, a multiplicação constante (exponencial) da Taxa pela Taxa apura os Juros do período referente, apenas, à Taxa e não inclui os Juros do Capital.

Exercício resolvido: Ex. 19. Um Capital de R$ 35.000,00 aplicado à Taxa de 7,5% ao mês, por 9 meses,

quanto gera de Juros? SOLUÇÃO: 1º Passo: fórmula: J = C [(1 + i)n - 1] 2º Passo: (1 + i)n = (1 + 0, 075)9 = 1, 0759 = 1, 91723866 - 1 = 0, 91723866 3º Passo: J = 35.000 X 0, 91723866 = 32.103,35 Observe que, diferentemente da Segunda Parte da apostila, não mencionamos “dividir a

Taxa por 100”. Achamos que, a partir de agora em diante, você já sabe que para fazer os cálculos financeiros, você precisa ter a Taxa dividida por 100, ou seja, na forma unitária.

Exercícios Propostos

71. Quais os Juros que renderá um Capital de R$ 2.000,00 aplicado pelo período de 2 anos, à Taxa de 10% ao ano?

72. Suponhamos que se tome emprestada uma quantia no valor de R$ 2.000,00, pelo prazo de 2 anos e a Taxa combinada seja de 30% a.a. Qual será o valor pago referente aos Juros?

73. Quanto rende de Juros um Capital de R$ 400.000,00 aplicado à Taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos?

74. Qual o valor dos Juros de uma operação que envolve um Capital de R$ 975.500,00 à Taxa de 10,5% a.a. pelo prazo de 2 anos e meio?

FATOR (1 + i )n

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75. Quanto rende um Capital de R$ 15.000.000,00 pelo prazo de 96 horas, à Taxa de 630% ao ano?

76. Em um empréstimo convencionou-se pagar os Juros mensalmente e devolver o Capital no final do período. Se o prazo da operação foi de 15 meses, a Taxa de 95% a.a. e o Capital de R$ 400.000,00, quanto será pago por mês?

77. Que Juros rende um Capital de R$ 7.800,00, em 8 meses, a uma Taxa de 3,5% ao ano? 78. J =?; C = 24.000.000,00 T = 15% ao mês; n = 97 dias. 79. Uma pessoa tem um Capital de R$ 3.500.000,00 e não pretende gastá-lo. Porém, quer

adquirir uma Geladeira nova e entende que com os Juros do Capital aplicado no Mercado Financeiro poderá pagar a prestação da Geladeira. A Taxa de aplicação é de 735% ao ano. O aplicador consegue um tomador para o período de 1 ano. A Geladeira nova custa R$ 1.600.000,00. A loja financia em 12 prestações de R$ 650.000,00. Conseguirá o aplicador pagar a prestação da Geladeira nova com os rendimentos do Capital aplicado?

80. Uma pessoa aplica um Capital de R$ 9.000.000,00 à Taxa de 75,20% a.a. pelo período de 36 meses. O contrato reza que se a pessoa pagar os Juros mensalmente terá um desconto de 12% do valor dos Juros. Se pagar semestralmente terá um desconto de 5%. Porém, pagará 100% dos Juros no final do período. Pede-se:

a) De quanto será o valor mensal dos Juros já com o desconto? b) Quanto pagará o tomador se optar pelo período semestral? c) Qual será o valor dos Juros se a opção do aplicador for para efetuar o pagamento no

final do período?

CAPITAL Para se obter o Capital envolvido em uma operação com Juros Compostos,

necessitamos de alguns elementos. É necessário conhecermos a Taxa, o Valor em uma determinada data e o período que decorreu desde a aplicação até aquela data.

Para se encontrar o Capital de uma operação é necessário recorrermos ao processo de

Descapitalização, que é o inverso do cálculo do Montante, quando utilizamos o processo de Capitalização.

Para acharmos o Capital é necessário aplicar a Descapitalização. Vamos, então, adiantar três tópicos do nosso programa que foram vistos um pouco mais

tarde na Segunda Parte. Vamos, antes de trabalhar com Capital e Montante, estudar Capitalização, Descapitalização e Fator.

CAPITALIZAÇÃO É o processo pelo qual agregamos os Juros dos períodos ocorridos em uma operação

envolvendo um Capital ( C ) , gerando um Montante (M). É costumeiro mencionarmos a Capitalização ou mesmo a Descapitalização da Taxa,

porque, na realidade, trabalhamos com um Fator que multiplicado ou dividido por um valor dado, resultará, respectivamente, um Montante ou um Capital.

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FATOR O Fator, como já vimos, é um número composto pela soma do CAPITAL com a TAXA,

ambos na forma unitária. Quando estudamos os Juros Simples, vimos que a Taxa era multiplicada pelo prazo

antes de ser somada ao Capital, para gerar o Fator. Em Juros Compostos ocorre o oposto. A Taxa é somada ao Capital unitário antes de se

iniciar o cálculo de Capitalização ou Descapitalização. Mas, em Juros Compostos, ao invés de se multiplicar a Taxa pelo período, o período serve como expoente ou fator de raiz.

Assim, se queremos capitalizar elevamos o Fator pelo número de períodos e se

queremos descapitalizar, achamos a raiz correspondente ao número de períodos (enésima). Vejamos:

CAPITALIZAÇÃO DESCAPITALIZAÇÃO

Exercício resolvido:

Ex. 20. Se quisermos capitalizar um valor de R$ 3.500,00 pelo prazo de 11 meses, à

Taxa de 18% ao mês, qual o Fator e o Montante? SOLUÇÃO: 1º Passo: 1,1811 = 6,17592595 Fator = 6,17592595 2º Passo: 3.500,00 x 6, 17592595 = 21.615,75 (Montante). A esse processo, chamamos CAPITALIZAÇÃO. DESCAPITALIZAÇÃO O processo de Descapitalização é o inverso da Capitalização. Assim, para descapitalizar

devemos empregar o inverso da POTÊNCIA (EXPONENCIAL). O inverso da Potência é a Raiz. Se o período for 2 a Raiz será “quadrada”, se for 3, a Raiz será “cúbica”, se for “n”, então a raiz será “enésima”.

(*) – O “i”, aqui, representa a taxa do período da operação e não a taxa nominal.

n

(1 + i*)

√ (1 + i)n

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Ex. 21. Se quisermos descapitalizar uma operação pelo prazo de 14 meses, sabendo-se que o Montante é de R$ 435.000,00 e a Taxa de 5% ao mês, qual é o Fator e qual é o Capital da operação?

SOLUÇÃO: 1º Passo: Achar o Fator 1,0514 =

2º Passo: 435.000,00 / 1, 97993160 = Ex. 22. Se um Capital de R$ 200.000,00 ficou aplicado pelo período de 27 meses e

gerou um Montante de R$ 1.242.773,52. Qual é a Taxa Mensal desta operação? SOLUÇÃO: 1º Passo: Achar o Fator do Período: 2º Passo: Descapitalizar o Fator em 27 períodos:

Como fica muito difícil operar com a Raiz 27, então, fazemos o cálculo com a

utilização da potência inversa.

3º Passo: Taxa Mensal é (1,07- 1) x 100 = 7% a.m.

1, 97993160 (Fator do período)

219.704,55 (Capital)

1.242.773,52/200.000,00 = 6,21386763 (Fator do Período

√ 6,21386763

√6, 21386763 = ( 6, 21386763)

(6,21386763)0,03703704 = 1,07 (Fator inicial).

7% a.m.

27

27 1

27

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Ex. 23. Seja uma dívida R$ 350.001,00, à Taxa de 15% a.m., após 65 dias do início,

qual o Capital envolvido? SOLUÇÃO: 1º Passo: Descapitalizar a Taxa para 1 dia: 1,15 1/30 = 1,00467. 2º Passo: Capitalizar para 65 dias: 1,0046765 = 1,35366745. 3º Passo: 350.001,00/1,35366745 = 258.557,59 (Capital).

Exercícios Propostos

81. Qual o Capital que aplicado a uma Taxa de 15% ao ano pelo prazo de 1 ano, produz os Juros de R$ 175.100,00?

82. Certa pessoa ganhou Juros de R$ 915.000,00 no prazo de 3 anos com uma Taxa de 12% a.a. Qual valor essa pessoa aplicou?

83. Um determinado Capital produziu Juros de R$ 700.000,00 aplicado à Taxa de 12% ao semestre, pelo período de 3 anos e meio. Qual é o valor do Capital?

84. C = ?; J = 65.000,00; I = 7,7% a.m.; n = 7 meses. 85. Certo Capital foi aplicado por 96 horas e rendeu Juros de R$ 200.000,00. Considerando que

a Taxa era de 22% a.m., qual o valor desse Capital? 86. Um empréstimo foi efetuado com as seguintes condições: a cada mês a pessoa que emprestou

recebia de Juros R$ 815.000,00 e a Taxa era de 637% a.a., sendo que o prazo da operação foi de 3 anos. Com base nestes dados, qual o valor do empréstimo?

87. Uma pessoa foi a uma loja e perguntou quanto pagaria por mês por uma compra a prazo de um Televisor, sem entrada. A loja informou que a prestação seria de R$ 617.000,00, durante 25 meses. A pessoa verificou que o Capital que tem disponível no banco, aplicado à Taxa que o banco oferece que é de 17% a.m., é suficiente para pagar a prestação e ainda sobrará R$ 12.000,00. Quanto essa pessoa tem no Banco?

88. Sendo um Capital aplicado à Taxa de 14,7% ao bimestre, pelo prazo de 9 meses, e rendendo R$375.000,00 de Juros no final, qual o seu valor?

89. Quanto devo depositar em uma Caderneta de Poupança que paga Juros Compostos, pelo prazo de 14 meses, à Taxa de 18% a.m., se pretendo ganhar de Juros no final do período, a importância de R$ 2.736.417,00?

90. Uma pessoa comprou um carro financiado e ficou com uma dívida mensal de R$ 2.175.000,00. Ela pretende gastar apenas R$ 750.000,00 do seu salário para pagar o carro. Entretanto, pretende aplicar parte de suas economias para gerar de Juros o valor complementar da prestação mensal. Sabe-se que o mercado paga 27,4% ao trimestre, para resgate mensal de rendimentos. Quanto essa pessoa precisa aplicar de suas economias?

MONTANTE O Montante é a soma do Capital e Juros da operação. Em Juros Compostos, é a

Capitalização da operação pela aplicação do Fator.

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Eis a fórmula: Exercício resolvido: Ex. 24. Qual o Montante de uma operação com um Capital de Cr$ 18.000,00,

aplicado pelo período de 14 meses à Taxa de 13,5% a.m.? SOLUÇÃO: 1º Passo: Capitalizar a Taxa: 1,13514 = 5,88765104. 2º Passo: Capitalizar a operação: 18.000 x 5,88765104 = 105.977,72. Ex. 25. Qual o Montante de uma dívida de R$ 135,00, à Taxa de 435% a.a., pelo

prazo de 7 meses? SOLUÇÃO: 1º Passo: Descapitalizar a Taxa para 1 mês: 5,351/12 = 1,14999. 2º Passo: Capitalizar para 7 meses: 1,149997 = 2,65994734. 3º Passo: Capitalizar a operação: 135 x 2,65994734 = 359,09.

Exercícios Propostos

91. M = ?; C = 13.000.000,00; i = 740% a.a.; n = 96 dias. 92. Um Capital de R$ 22.000.000,00, foi aplicado à Taxa de 997% a.a. pelo período de 361 dias.

Qual o Montante? 93. Quanto pagarei no final de 824 dias, pelo empréstimo de R$ 315.796,00 à Taxa de 9% ao

mês? 94. Ao comprar um eletrodoméstico, você pode optar para pagar tudo no final do período ao

invés de efetuar pagamentos mensais. O preço à vista do eletrodoméstico é de R$ 250.900,00 e a loja cobra uma Taxa de 17% a.m. Qual o pagamento no final do período:

a) de 2 anos; b) de 26 meses; c) de 14 meses; d) de 115 dias.

95. Quanto devo pagar por uma dívida de R$ 875.215,00 pelo prazo de 916 dias à Taxa de 612% ao semestre?

96. Qual o Montante de um Capital de R$ 87.200,00, aplicado pelo período de 80 dias, à Taxa de 315% a.a.?

97. M = ?; C = 875.123,00; i = 6% a.m.; n = 4 anos. 98. Ao comprar uma Televisão, o cliente pediu para o vendedor lhe informar de quanto seria o

valor ao final do período de 7 meses. Sabendo-se que a loja cobra 65% ao bimestre e o preço à vista da Televisão é de R$ 1.101.000,00, qual foi a resposta do vendedor?

M = C (1 + i) n

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99. Seja um Capital de R$ 78.715.000,00, aplicado em uma transação pelo período de 817 dias, à Taxa de 672% a.a., qual o valor da dívida final?

100. M = ?; C = 156.000,00; i = 913% a.a.; n = 479 dias.

PERÍODO (TEMPO) Quando estudamos os Juros Simples, foi muito fácil encontrar o prazo de uma operação

(vide Ex. 14 e Ex. 15). Duas maneiras foram vistas para se fazer o cálculo. Uma delas era encontrar o produto “Capital pela Taxa” e dividir o valor dos Juros por este resultado. A outra era achar o fator do período, subtrair “1” e dividir pela Taxa, obviamente, na forma unitária.

Agora, a situação fica um pouco mais complicada. Nós vimos que o processo de

Capitalização em Juros Compostos utiliza-se de “expoentes” e a Descapitalização utiliza-se de Raiz.

A Capitalização é feita, portanto, com a fórmula: ( 1 + i ) n

Para achar o período, é necessário, fazer um cálculo que possibilite encontrar aquele “n”

que está lá em cima como expoente. O “n” é a potência da operação. É o número que elevou o Fator base para formar o “Fator do período”. O inverso da potência é a Raiz. Mas, neste caso é justamente a potência que não temos. Sendo assim, como poderemos achar uma raiz “enésima” se não conhecemos o “n”?

Então, vamos ter que utilizar outra técnica, para não dependermos das Tabelas

Financeiras, para quem dispõe de uma calculadora com função logarítmica. Porém, é necessário usar a Tabela de Logaritmos, para quem não dispõe de calculadora

com esse recurso. Vejamos, pois um pouco de logarítmo. LOGARÍTMO O Logaritmo de um número “x”, numa base qualquer “b”, é o número “z” que

compreende a potência que leva a base “b”, resultando naquele número “x”. Para compreendermos melhor, analisaremos a seguinte fórmula:

=

A fórmula lê-se “log de ‘x’ na base ‘b’ é igual a ‘z’”. Quer dizer que “’b’ elevado a ‘z’ é igual a ‘x’”.

Log X = Z

BZ = X

B

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Curso de Matemática Financeira

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Para exemplificar, vejamos a expressão:

Se você tivesse a seguinte pergunta: “Qual o log de 8 na base 2?” A resposta é 3, como

você já sabe. Mas, como resolver? Vamos utilizar nesta apostila, uma técnica chamada “Mudança de Base”. Consiste em

encontrar o logarítmo de cada número envolvido na operação pela base 10 e dividir o primeiro pelo segundo, sendo que o primeiro é o número dado e o segundo é a base dada.

Assim, a expressão acima, “log de 8 na base 2”, pode ser resolvida da seguinte forma:

encontra-se pela Tábua de Logaritmos, o log de 8, que é 0,903090 e o log de 2, que é 0,301030. Dividindo-se o primeiro pelo segundo, 0,903090/0,301030, vamos obter “3”.

Porém, é importante entendermos porque o número que se encontra na Tábua (903090),

foi escrito 0,903090. Ocorre que o logarítmo é formado por duas partes distintas: a “característica” e a “mantissa”.

A “característica” representa quantas potências da base estão contidas no número dado.

No nosso caso (o número dado é 8), a base “dez” é maior. Então, a característica é “0” (zero). A característica é a parte inteira do logaritmo.

Para encontrarmos a “característica” de um número dado, basta contar o número de

dígitos que tem sua parte inteira e subtrair “um”, quando a base for 10. Assim, o número “oito” dado tem um dígito, menos “um” é igual a “zero”. Por isso, a característica de “oito” é “0” (zero). Idem para o número “dois”, dado.

A “mantissa” é a parte decimal do logaritmo e é encontrada facilmente pela Tábua,

quando a base for 10. Exercício resolvido: Ex. 26. Qual o log de 214 na base 8? SOLUÇÃO: (usando a técnica da mudança de base). 1º Passo: Característica de 214 (3 – 1 = 2) = 2 (dois). 2º Passo: Mantissa de 214, na Tábua = 330414. 3º Passo: Característica de 8 = “0” (zero). 4º Passo: Mantissa de 8, na Tábua = 903090. 5º Passo: Dividir 2,330414/0,903090 = 2.580489.

Log 8 = 3

2

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Exercícios Propostos 101. Achar o log de 4.715 na base 3, usando a Tábua. 102. Use a Tábua de Logaritmos e responda qual o log de 18.765 na base 4? 103. Qual o log de 65.536 na base 4? 104. Calcule (log2 3) x (log3 5) x (log5 2). 105. Calcule o logarítmo de 45, na base 8, com o uso da Tábua. 106. Demonstre por que o log de 8, na base 2 é 3. 107. Qual a característica do número 12.314,7689, na base 10? 108. Qual a característica do número 24,7161, na base 2? 109. Qual a característica do número 75, na base 6? 110. Qual o log de 12.314,72, na base 8?

Agora que já sabemos trabalhar com logaritmos, vamos voltar ao cálculo do tempo com Juros Compostos.

Exercício resolvido: Ex. 27. Quanto tempo um Capital de R$ 12.000,00, aplicado à Taxa de 7% a.m.,

resultou em um Montante de R$ 252.029,42? SOLUÇÃO:

1º Passo: Achar o Fator do Período:

2º Passo:

3º Passo:

4º Passo: Achar os logs pela Tábua:

5º Passo: Dividir

No caso, o prazo correto é 45 meses. Porém, seria por demais trabalhoso calcularmos o log correto de 21,00245176, já que teríamos que buscar uma equivalência logarítmica do resto 0,00245176 e, assim, ao término da operação, encontraríamos o número exato de períodos. Caso você disponha de uma calculadora com função de “log”, faça os cálculos e verificará que o resultado é exatamente 45.

252.029,42 = 21,00245176 12.000,00

Log1.07 21,00245176 = n.

1,07n = 21,00245176.

21,00245176 1,322219; 1,07 0,029384

1,322219/0,029384 = 44,998 meses.

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Outra forma de calcular o exercício acima seria: a) (1,07)n = 21,00245176 log (1,07) n = log 31,00245176. b) n . log (1,07) = log 21,00245176. log 21,00245176 1,3227 c) n = = = 45 meses. log 1,07 0,02938378

Vale salientar que a exatidão encontrada acima, prende-se ao fato de ter sido feito uso da calculadora que reproduz todas as casas decimais tanto do dividendo quanto do divisor.

Exercícios Propostos

111. Uma pessoa auferiu Juros de R$ 675.990,00 em uma operação com a aplicação de um Capital de R$ 6.123.378,00, à Taxa de 2,7% a.m. Quantos meses duraram esta aplicação?

112. Foi aplicado um valor de R$ 2.120.000,00, à Taxa de 7,5% a.a. e no final do período foi resgatado o valor de R$ 18.999.613,00. Que período consiste a operação?

113. Quantos dias são necessários para que um Capital de R$ 315,00, aplicado à Taxa de 86% a.a., gere Juros de R$ 817,35?

114. Qual o período necessário para que um Capital de R$ 215.789,00, à Taxa de 231% a.a. seja resgatado pelo valor de R$ 3.956.234,00?

115. n = ? anos; J = R$ 549.350,00; C = R$ 4.312.000,00; i = 27% a.m. 116. Seja um Capital de R$ 123.450,00, resgatado pelo valor de R$ 8.345.000,00, sabendo-se que

a Taxa era de 76% a.a., quantos meses dura a operação? 117. n = ? meses; M = 976,00; C = 117,00; i = 276% a.a. 118. Quanto tempo deve-se aplicar um Capital de R$ 765.879,00, à Taxa de 87% a.a. para que

seja resgatado o valor de R$ 8.324.715,00? 119. Seja o Capital de R$ 11.950.000,00, aplicado à Taxa de 635% a.a. e que renda Juros de R$

8.734.415,00. Qual o período em meses? 120. Quanto tempo deve-se deixar aplicado um Capital de R$ 9.735.916,00, para que o resgate

seja de R$ 19.760.315,00, sendo que a Taxa oferecida pelo mercado é de 624% a.a.? Para cálculo da Taxa com Juros Compostos, a técnica utilizada é o processo de

Descapitalização da Taxa. Assim, devemos encontrar a Raiz “enésima”, onde “n” é o número de períodos dado.

Exercício resolvido: Ex. 28. Qual a Taxa que faz com que um Capital de R$ 1.500,00, em 15 meses

passe a ser de R$ 4.138,54?

TAXA i = (F1/n – 1 ) . 100

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SOLUÇÃO: 1º Passo: Dividir 4.138,54/1.500,00 = 2,75903154. 2º Passo: 2,75903151/15 = 1,07. 3º Passo: Menos 1 x 100 = 7 % ao mês.

Exercícios Propostos

121. Um Capital de R$ 365.000,00 foi aplicado pelo prazo de 6 meses e rendeu Juros de R$ 98.995,00. Pede-se:

a) Qual a Taxa Mensal desta operação? b) Qual a Taxa Anual desta operação? 122. Qual a Taxa Anual de uma operação em que um Capital de R$ 99.123,00, no período de 7

meses rendeu Juros de R$ 32.123,50? 123. Uma pessoa dispõe de um Capital de R$ 65.450.317,00. Pretende adquirir uma quota de

Consórcio para aquisição de um carro novo, cujo valor mensal é de R$ 2.616.700,00. Qual a Taxa que essa pessoa deve cobrar na aplicação de seu Capital para que os Juros obtidos sejam suficientes para pagar a prestação do Consórcio e ainda reservar 2% do valor da prestação para cobrir Taxas futuras do Consórcio?

124 i = ?; C = 215.716,00; M = 957.350,00; n = 186 dias. 125. Seja uma importância de R$ 755.715,00, aplicada pelo prazo de 26 meses, gerando Juros de

R$ 1.955.765,00. Qual a Taxa? 126. Qual a Taxa Mensal que devo cobrar de uma aplicação de R$ 675.990,00, pelo prazo de 315

dias, para auferir Juros de R$ 925.875,00? 127. Se desejo pagar uma conta de R$ 212.617,00 com os Juros de uma aplicação de R$

475.300,00, em oito meses, que Taxa Anual devo cobrar? 128. i = ? a.m.; C = 717.157,70; M = 996.754,80 n = 97 dias. 129. Quanto devo cobrar de Taxa Anual pela aplicação de um Capital de R$ 912.000,00, para

gerar Juros de R$ 213.576,00, em 75 dias? 130. Uma pessoa tem quatro filhos de 13, 15, 19 e 21 anos. Para cada filho, distribui uma mesada

mensal de R$ 2.750,00 por ano de idade. Reservou um Capital de R$ 96.450.300,00 para aplicar com o objetivo de auferir Juros suficientes para pagar as mesadas de seus filhos mais uma prestação mensal de Consórcio de R$ 2.123.615,00. Que Taxa Anual deve cobrar para esta operação, de forma que satisfaça seus objetivos? TAXAS EQUIVALENTES Dizemos que duas taxas são equivalentes, quando uma delas descapitalizada pelo

período a que se refere e capitaliza pelo período a que se refere à outra, se iguala a esta. Ex. 29. Se você tem uma Taxa de 56,25% a.a. e outra de 25% ao semestre, são elas

equivalentes? SOLUÇÃO:

(1,56251/12 )6 = 1,25

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Curso de Matemática Financeira

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Então, as Taxas são Equivalentes. CONVERSÃO DE TAXAS Uma grande dificuldade que enfrentamos em Matemática Financeira é trabalharmos

com uma operação dada em uma unidade de prazo (dias, meses, anos etc.) e a Taxa em outra. Por exemplo, quais os Juros de uma operação de quatro meses a uma Taxa de 45% ao ano? A operação foi dada em “meses” e a Taxa “ao ano”.

Assim, precisamos fazer a conversão da Taxa anula para a mensal neste caso. E assim

por diante. É com este processo de conversão de Taxas que encontramos a Taxa Equivalente àquela dada.

Exercício resolvido: Ex. 30. Transformar a “Taxa Efetiva” de 10% a.m. em Taxa Efetiva Anual. SOLUÇÃO: 1º Passo: 1,1012 = 3,1384. 2º Passo: Menos “1” vezes 100 = 213,84% a.a. A este processo chamamos de Capitalização. Ex. 31. Transformar 715% a.a. em Taxa Efetiva Mensal. SOLUÇÃO: 1º Passo: 8,151/12 = 1,1910. 2º Passo: Menos “1” vezes 100 = 19,10% a.m. VALOR PRESENTE (VALOR ATUAL) Valor Atual ou Valor Presente de uma operação é o Valor na data que se pretende o

cálculo, descapitalizando-se os Juros embutidos no seu Valor até o vencimento, considerando-se uma determinada Taxa, que pode ser a própria Taxa da operação ou a Taxa de Mercado, conforme convier ao interessado.

Exercício resolvido:

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Ex. 32. Considerando-se uma dívida de R$ 13.750.000,00, à Taxa de 14% a.m. que vencerá daqui a 8 meses, qual o Valor Presente?

SOLUÇÃO: 1º Passo: Capitalizar a Taxa de 1,148 = 2,85258642. 2º Passo: Descapitalizar a dívida: 13.750.000/2,85258642. Resultado: 4.820.187,00. O Valor Atual da dívida é de R$ 4.820.187,00. Então, para se achar o Valor Atual, o processo utilizado é a Descapitalização do Valor

da Dívida pelo Fator do período, que é a Capitalização da Taxa. Com este processo, excluem-se os Juros que ainda estão por vencer.

VALOR FUTURO O Valor Futuro de uma operação é o Valor que embute os Juros que ainda estão por

vencer, calculados a uma determinada Taxa (a da operação ou a de mercado ou, ainda, uma Taxa prevista).

O processo utilizado é o de Capitalização pelo Fator (que é, também, a Capitalização da

Taxa). Exercício resolvido: Ex. 33. Tomei um empréstimo em um banco de R$ 2.500.000,00, à Taxa de 17,15%

ao mês, para pagamento no final do período (Capital + Encargos). Quanto deverei ao banco no final de 9 meses?

SOLUÇÃO: 1º Passo: Capitalização da Taxa: 1,17159 = 4,15604878. 2º Passo: Capitalização da dívida: 2.500.000 x 4,15604878. Resultado: 10.390.121,95. Então, o Valor Futuro da operação é de R$ 10.390.121,95.

Exercícios Propostos

131. Se uma pessoa deve um valor de R$9.750.116,00 a um banco e a Taxa de Mercado hoje é de 6,5% ao mês, mas ainda faltam 18 meses para o pagamento da dívida, quanto o banco deveria cobrar pela dívida hoje?

132. Devo R$ 2.000.000,00 a um amigo à Taxa de 14,5% ao mês, R$ 3.250.000,00 a outro amigo à Taxa de 320% ao ano. Qual será o valor total de minha dívida, daqui a 7 meses?

133. Comprei um Televisor em uma loja de departamentos há alguns meses atrás, em prestações mensais fixas de R$ 850.000,00 cada. Hoje, fui à loja e propus pagar as três últimas

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Curso de Matemática Financeira

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prestações, pelo valor presente, à Taxa de Mercado de 7,5% a.m. A loja aceitou. Quanto paguei no total?

134. Comprei um automóvel a prazo com prestações mensais de R$ 1.250.000,00, mais a variação da inflação do período. No dia seguinte, houve um congelamento de preços e o governo fixou os índices de inflação para os próximos 6 meses em 12% ao mês. Pergunta-se:

a) Qual o valor de minha 4ª prestação? b) Quanto pagarei pela 6ª prestação?

135. Uma pessoa adquiriu Debêntures de uma empresa, resgatáveis pelo valor facial em ema determinada data. A empresa resolveu oferecer 65% do valor facial das Debêtures para quem quiser resgatar antecipadamente. Essa pessoa tem um papel com vencimento daqui a 3 meses. Sabendo-se que a Taxa de aplicação do Mercado é hoje de 14% a.m., qual a melhor opção?

a) Resgatar o título; b) Esperar o vencimento.

136. Quanto pagarei por uma dívida de R$ 750,00 após 7 meses, à Taxa de 4.325% a.a.? 137. Seja uma dívida de R$ 12.700.800,00 liquidada quatro meses antes do seu vencimento,

sabendo-se que a Taxa era de 750%a.a., qual o valor do pagamento efetuado? 138. Quanto devo pagar por um título que vence daqui a 18 meses, cujo valor é de R$

18.735.000,00, se hoje o Mercado está cobrando 7,25% ao mês por operações acima de 60 dias?

139. Uma pessoa tem uma dívida de 7 parcelas mensais de R$ 4.800,00 cada, cuja soma aritmética é R$ 33.600,00. O devedor resolve fazer uma promoção e cobra 50% desse valor pela dívida toda, isto é, R$ 16.800,00. A pessoa tem o dinheiro na Poupança, que está pagando 7%a.m. Qual a melhor opção?

a) Pagar R$ 16.800,00 hoje; b) Pagar parceladamente.

140. A Caderneta de Poupança paga 12% a.m. de rendimentos por um Capital que tenho aplicado. Quero comprar uma Máquina de Lavar cujo preço à vista é de R$ 3.600.000,00. A loja financia o eletrodoméstico, sem entrada, em 6 prestações mensais iguais de R$ 814.511,81. Qual a melhor opção?

a) Tirar o dinheiro da Poupança e pagar à vista; b) Comprar a prazo. ANUIDADES E EMPRÉSTIMOS Em uma aplicação financeira podem ser escolhidas várias formas diferentes de se

efetuar o resgate do Capital investido. Uma dessas formas é a que se convencionou chamar de “Rendas Certas ou Anuidades”, que consiste em uma série de pagamentos efetuados pelo tomador em pagamento de uma dívida.

ANUIDADES TEMPORÁRIAS Diz-se que um sistema de amortização é de Anuidades Temporárias quando a sua

duração é de prazo limitado. Por exemplo, adquirimos em uma loja um eletrodoméstico para pagamento a prazo em 12 prestações. Neste caso, o sistema de amortização utilizado é o de Anuidade Temporária.

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ANUIDADES PERPÉTUAS Anuidades Perpétuas são aquelas que representam o pagamento de uma dívida em

parcelas, sem que haja um limite determinado para o seu término. Suponhamos um contrato de aluguel com prazo indeterminado para o seu vencimento (esqueçamos, aqui, se tem correção ou não!). Este caso reflete um sistema de pagamentos com Anuidades Perpétuas.

ANUIDADES CONSTANTES As Anuidades Constantes são aquelas cujos valores de todos os termos são iguais. No

nosso exemplo acima, da compra de um eletrodoméstico em uma loja, se as 12 prestações forem de valores iguais, temos, então, um sistema de amortização com Anuidades Constantes.

ANUIDADES VARIÁVEIS Em determinados sistemas de amortizações, as prestações (termos) não são iguais entre

si. Um exemplo disto são aqueles planos de vendas de casas e apartamentos, onde se tem um sinal de um determinado valor, depois 3 parcelas de outro valor, depois mais 6 parcelas de um outro valor, mais alguns pagamentos de outro valor até a entrega das chaves e no meio do caminho o comprador se arrepende e cancela o contrato! Temos, então, um sistema de amortização com Anuidades Variáveis.

ANUIDADES IMEDIATAS As Anuidades Imediatas são aquelas em que se efetua o pagamento a partir do período,

isto é, a partir do fechamento do negócio. Por exemplo, é muito comum algumas lojas oferecerem promoções em que o cliente efetua três ou quatro pagamentos, sendo a primeira na frente. Aí está o caso de Anuidades são Imediatas. Mas, neste caso específico, dizemos que as Anuidades são Imediatas ANTECIPADAS. Porém, se os pagamentos são efetuados a partir do primeiro período, mas, no final de cada termo, dizemos que as Anuidades são Imediatas POSTECIPADAS.

ANUIDADES IMEDIATAS ANTECIPADAS São aquelas cujos termos são exigíveis a partir do primeiro período e no início do

mesmo. ANUIDADES IMEDIATAS POSTECIPADAS Uma das formas de amortização mais praticadas no mercado de compra e venda de bens

é o sistema que envolve as Anuidades Imediatas Postecipadas, o qual consiste em os seus termos vencerem-se no final dos respectivos períodos. Naquele exemplo em que falamos em

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Curso de Matemática Financeira

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comprar um eletrodoméstico em um aloja em 12 prestações. Se os pagamentos começam no final do período e assim sucessivamente, temos, então, o sistema de amortizações com Anuidades Imediatas Postecipadas.

ANUIDADES DIFERIDAS São anuidades em que os termos (ou pagamentos) são exigíveis a partir de uma data

futura, diferente do primeiro período. É o caso, por exemplo, dos pagamentos de financiamentos do tipo FINAME, onde há uma carência para que o bem adquirido possa começar a trabalhar e contribuir com a geração dos recursos que servirão de pagamento. Às vezes, durante a carência são exigidos os pagamentos dos juros em alguns períodos. Isto não tira a característica da Anuidade Diferida, uma vez que não está se amortizando a dívida. As Anuidades Diferidas podem ser também, ANTECIPADAS ou POSTECIPADAS, da mesma forma que as Anuidades Imediatas, com os mesmos critérios.

ANUIDADES PERIÓDICAS Consistem Anuidades Periódicas o sistema de amortização em que os períodos são

iguais. Por exemplo, o financiamento daquele eletrodoméstico pela loja de departamentos. Se as 12 prestações forem mensais, significa dizer que a cada mês se faz um pagamento e, assim, os períodos são iguais, tratando-se, pois, de Anuidades Periódicas.

ANUIDADES NÃO-PERIÓDICAS O Sistema de amortizações inverso ao tópico acima é aquele em que os períodos não

são iguais. É bastante comum no mercado imobiliário como já exemplificamos. Às vezes são ofertados apartamentos com certo valor de sinal, 3 parcelas trimestrais de determinado valor, 6 parcelas semestrais de determinado valor etc. Assim, são as Anuidades Não-Periódicas.

SISTEMA ou TABELA “PRICE” No sistema de amortização de empréstimos pela Tabela “Price”, a Taxa de Juros é

fornecida em termos nominais e, normalmente, para o período de um ano. Entretanto, as prestações têm período menor do que aquele a que se refere à Taxa e as amortizações são, via de regra, praticadas mensalmente. É um sistema bastante usado pelo mercado imobiliário.

O sistema de amortização ”PRICE” é, na realidade, o Sistema Francês como veremos a

seguir. “Price” é o nome da Tabela desenvolvida e convencionada com a conversão das Taxas pela proporcionalidade dos períodos, levando-se em conta as Taxas mais usuais.

Exercício resolvido:

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Ex. 34. Um banco emprestou R$ 1.000.000,00, entregues no ato, sem prazo de

carência. A Taxa cobrada pelo banco é de 12% a.a., pela Tabela Price. A amortização será em 8 meses, pelo sistema de Anuidades Periódicas Imediatas Postecipadas. Demonstrar a Planilha de Amortizações deste empréstimo.

A fórmula usada para calcularem-se as prestações com Unidades Periódicas Imediatas

Postecipadas é a seguinte:

A fórmula lê-se: “A ‘n’ cantoneira ‘i’ é igual a “1” menos “um mais ‘i’ elevado a menos ‘n’”, dividido pó ‘i’, sendo “p” = “Prestaçõe”s e “C” = Capital.

Esta fórmula é usada na construção das Tabelas Financeiras para todas as Taxas

constantes do Sumário, para a coluna “a ‘n’ cantoneira ‘i’”.

SOLUÇÃO:

1º Passo:

2º Passo: consultar a Tabela

3º Passo:

4º Passo: Montar a Planilha de Amortizações, ou seja:

C

P = a n i

1 – (1 + i) –n

a = n i i

0,12 = 0,01 a.m. 12

a n i ≈ 7,651678

1.000.000,00 = 130.690,29 7,65167787

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Meses

Saldo Devedor no início

(sd.k)

Amortização

Juros

Prestação (A.k + J.k)

Saldo Devedor no final de ‘k’

Meses

0 1.000.000,00 ----------------- ----------- ---------------- 1.000.000,00 0

1 1.000.000,00 120.690,29 10.000,00 130.690,29 879.309,71 1

2 879.309,71 121.897,19 8.793,10 130.690,29 757.412,52 2

3 757.412,52 123.116,17 7.574,12 130.690,29 634.296,35 3

4 634.296,35 124.347,33 6.342,96 130.690,29 509.949,02 4

5 509.949,02 125.590,83 5.099,46 130.690,29 384.358,19 5

6 384.358,19 126.846,71 3.843,58 130.690,29 257.511,48 6

7 257.511,48 128.115,18 2.575,11 130.690,29 129.396,30 7

8 129.396,30 129.396,30 1.293,99 130.690,29 --------------------- 8 TOTAL 1.045.522,32

SISTEMA FRANCÊS (SF) Pelo Sistema Francês de amortização, o cálculo se efetua com a utilização da fórmula

dada para “a ‘n’ cantoneira ‘i’”, como vimos no tópico anterior. Assim, procuramos na Tabela da Taxa “i” dada, para o “n” equivalente e vamos encontrar o divisor do Capital para encontrar a Prestação a ser paga.

O Procedimento é o mesmo do tópico anterior, como dissemos com a diferença em

relação ao tópico Tabela Price de que pelo Sistema Francês a Taxa é dada para o período equivalente ao cálculo.

Pode haver, também, um período de carência em que o devedor paga somente os Juros

convencionados incorridos, sem amortizar o seu débito. Neste caso, o cálculo pela fórmula ou Tabela, começa no momento em que termina o período de carência.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC) O Sistema de Amortizações Constantes é um dos mais fáceis de entender e de se

aplicar. Por este sistema de amortizações, se pega o Capital envolvido na operação e divide-se pelo número de períodos convencionados para a amortização. Os Juros são calculados sobre o Saldo Devedor do Capital e somados à parcela de amortização, perfazendo no total a prestação do período.

Exercício resolvido: Ex. 35. Um empréstimo de R$ 1.000.000,00 deve ser amortizado em quatro

parcelas mensais, à taxa de 10% ao mês, sendo dados 3 meses de carência, com pagamento de Juros durante a carência. Qual a Planilha de cálculo?

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SOLUÇÃO:

MESES S. Dev. Início Amortiz. Juros Prest. S.Dev. Final 0 1.000.000 ---------------- ---------------- ---------------- 1.000.000

1 1.000.000 ---------------- 100.000 100.000 1.000.000

2 1.000.000 ---------------- 100.000 100.000 1.000.000

3 1.000.000 ---------------- 100.000 100.000 1.000.000

4 1.000.000 250.000 100.000 350.000 750.000

5 750.000 250.000 75.000 325.000 500.000

6 500.000 250.000 50.000 300.000 250.000

7 250.000 250.000 25.000 275.000 --------------

TOTAL 1.000.000 550.000 1.550.000

Caso não haja a carência, então, entra-se direto no cálculo das prestações somando-se os

Juros ao valor das amortizações. SISTEMA AMERICANO (SA) Uma diferença muito grande é encontrada quando da utilização do Sistema Americano

de amortizações. Por este sistema, o devedor devolve o Capital em uma só parcela no final da operação. Pode-se convencionar o pagamento dos Juros durante o período ou a Capitalização dos mesmos para devolução no final.

Meses S Dev. Inicio Amortização Juros Prestação S Dev. Final 0 1.000.000 - - - 1.000.000 1 1.000.000 - 100.000 100.000 1.000.000 2 1.000.000 - 100.000 100.000 1.000.000 3 1.000.000 - 100.000 100.000 1.000.000 4 1.000.000 250.000 100.000 350.000 750.000 5 750.000 250.000 75.000 325.000 500.000 6 500.000 250.000 50.000 300.000 250.000 7 250.000 250.000 25.000 275.000 - Total 1.000.000 50.000 1.550.000

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Assim, suponhamos uma dívida de R$ 100.000,00 para ser devolvido no final de 6

meses, à Taxa de 10% ao mês, com pagamento dos Juros mensalmente. Neste caso, durante os primeiros 5 meses, o devedor efetuará o pagamento de R$ 10.000,00 e, no final do sexto mês, pagará a importância de R$ 110.000,00, pondo fim à sua dívida.

VALOR PRESENTE DE “n” PRESTAÇÕES Vimos no tópico “Tabela Price” que a fórmula para encontrarmos o valor das prestações

pelas Anuidades Imediatas Periódicas Postecipadas é “a, n/i” (a ‘n’ cantoneira ‘i’). Dividindo o Capital envolvido pelo Fator encontrado, obteremos o valor das prestações.

Podemos, também, querer juntar as prestações vincendas e calcular o Valor Presente

Total dessas prestações. Para isso, procedemos da seguinte forma: a) – Calculamos os Fatores referentes a cada Prestação, considerando o número de

períodos que faltam para vencer; b) – Dividimos o valor das Prestações pelos Fatores encontrados; c) – Somamos os resultados. Ex. 36. Três parcelas faltam para quitar um financiamento de automóvel com

Anuidades Imediatas Periódicas Postecipadas. Como a pessoa pretende vender o veículo, quer liquidar antecipadamente o seu débito. Considerando que a Taxa é de 10% ao mês e as parcelas são mensais, no valor de R$ 3.250.000,00, qual o Valor Presente Total das três parcelas?

SOLUÇÃO: 1º Passo: Calculamos os Fatores:

2º Passo: Dividimos o Valor da Prestação pelos Fatores:

3º Passo: Somamos os resultados:

1,101 ; 1,102; 1,103.

3.250.000 3.250.000 3.250.000 1,10 1,21 1,331

2.954.545 + 2.685.950 + 2.441.773 = 8.082.268.

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Podemos chamar este processo de Descapitalização das Parcelas. APLICAÇÕES FINANCEIRAS Uma das grandes tendências em um Sistema Capitalista é a canalização de recursos

financeiros para o mercado de Aplicações. Esta opção nem sempre é boa, nem sempre é ruim. O Governo tem interesse em captar os recursos financeiros do mercado, diminuindo os meios de pagamento e, com isso, evitar o consumo exagerado, o que elevaria a Taxa de Inflação. Mas, esse problema não é tão simples. A complexidade reside justamente em entender como o Governo pode captar mais recursos e evitar alta de Inflação, uma vez que, para atrair esses recursos, o mesmo precisa oferecer uma Taxa de Juros maior. Assim, os setores produtivos que necessitam de recursos para financiar suas operações, acabam pagando Juros altos e, ao repassar em seus preços, geram, também, aumento para a Taxa de Inflação.

INFLAÇÃO É muito difícil entender o que é Inflação. Mais difícil ainda é entender as suas causas.

Porém, seus efeitos são sentidos diariamente por todas as pessoas que, de forma qualquer, manuseiam “dinheiro”. Desde 1994, o Brasil vive uma experiência de inflação baixa. Mas, a situação já foi muito complicada em épocas anteriores.

Para demonstrar de uma forma bem simples o que é a Inflação, podemos mencionar um

exemplo banal: Uma pessoa recebe mensalmente a importância de R$ 1.000,00 e com este salário pode adquirir um determinado eletrodoméstico, por exemplo, um aparelho de som. Com o passar dos meses, essa pessoa recebe aumentos de salário em função da política salarial existente. Seis meses depois, essa pessoa dirige-se a uma loja de departamentos para comprar aquele bem. Mas, o preço aumentou. Agora, é necessário acrescentar 30% do seu salário para comprar aquele bem. No exemplo, a Inflação “corroeu” o salário dessa pessoa.

Mas, o que causou o tal fenômeno? São muitos os fatores que contribuem para que haja a Inflação. Um desses fatores é a

alta exagerada dos preços, criando um desalinhamento dos mesmos, quando o referencial é deixado de lado (por exemplo, uma Televisão custa hoje o equivalente a 1.000 latas de cerveja de uma determinada marca e um ano depois, aquela mesma Televisão está custando 2.000 latas da mesma cerveja, ou menos de 1.000 – o que quer dizer “perdeu-se o referencial”). Outro fator que contribui para elevação das taxas inflacionárias é a emissão de moeda pelo Governo1. Isto ocorre quando as receitas não são suficientes para pagar as despesas e, a “maquininha” de fazer dinheiro entra em funcionamento, aumentando o volume de dinheiro

1 Após a crise imobiliária dos Estados Unidos, estamos constatando uma queda do valor do “dólar” no mercado internacional, inclusive em relação à moeda brasileira. Um dos fatores que estão causando o fenômeno é a alta emissão de moeda pelo tesouro americano.

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disponível. Porém, o volume de dinheiro aumenta2, mas os componentes da Economia não aumentam. Ou seja, aquele “volume novo” de dinheiro vale, na verdade, o mesmo que o “volume velho” de dinheiro que existia. Teoricamente, tem-se mais dinheiro, mas, na verdade, tem-se menos.

Quando ocorre a Inflação, quem aplica no mercado financeiro pode sair ganhando ou

sair perdendo, dependendo do diferencial entre a Taxa de Inflação registrada no período e o rendimento auferido.

Vejamos os dois quadros da página seguinte, onde são registradas algumas comparações

entre as Aplicações Financeiras e as Taxas de Inflação, com registro, inclusive, para o “ganho” ou a “perda” real.

Os quadros foram retirados do Jornal “A Gazeta Mercantil”.

2 Um dos anexos do presente trabalho trata do “meio circulante”. Convém visitar o site do Banco Central de vez em quando para se ter uma idéia da emissão de moedas. A posição apresentada neste trabalho traz um incremento de 38 milhões de reais em cerca de trinta dias (consulta anterior).

RENDIMENTOS (EM %) NOMINAL Acumulado REAL Acumulado 1992 nominal ano ano real Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Bolsa (SP) 84,40 29,37 21,09 28,60 14,78 -22,55 33,54 340,96 46,48 6,41 -0,54 4,78 -6,32 -36,75 9,91 9,91 Bolsa (RJ) 75,31 22,87 26,01 25,09 16,32 -18,51 32,98 327,53 39,12 1,07 3,51 1,92 -5,07 -33,45 9,45 2,56 CDB (pré 30 dias) (1) 26,66 29,99 30,70 22,72 23,79 24,05 24,03 402,98 0,61 6,93 7,36 -0,01 1,03 1,31 2,08 20,66

Poupança(2) 26,11 26,24 24,89 21,69 20,41 21,66 24,31 340,57 0,17 3,84 2,59 0,85 -1,73 0,65 2,31 5,69

Overnight 29,05 28,75 26,86 23,92 22,89 24,28 26,20 403,87 2,51 5,91 4,21 0,97 0,38 1,50 3,87 20,88 Ouro (Físico) 19,46 23,04 18,90 27,15 14,89 25,74 30,13 317,74 5,11 1,21 -2,33 3,61 6,23 2,68 7,10 0,21 Ouro (Spot) 19,43 23,06 18,93 27,13 14,89 25,74 30,14 317,71 -514 1,22 -2,31 3,58 6,23 2,69 7,11 0,21 US$ Comercial 24,78 23,63 21,90 20,53 18,91 20,97 21,99 297,71 0,88 1,69 0,13 -1,79 -2,95 -1,21 0,40 -4,59

US$ Paralelo 12,72 25,29 23,91 28,32 17,19 24,33 24,66 307,89 -10,46 3,06 1,78 4,56 -4,36 1,54 2,60 -2,15 FAF (3) 25,30 23,61 23,64 20,85 19,33 19,99 22,56 306,11 -0,47 1,68 1,56 -1,53 -2,61 -2,01 0,87 -2,58 TR 25,48 25,61 24,27 21,08 19,81 21,05 23,69 325,43 -0,33 3,32 2,08 -1,34 -2,22 -1,14 1,80 2,06

IPC 25,89 21,57 21,74 22,73 22,53 22,45 21,50 316,85 - - - - - - - -

Fonte: Bovespa, BVRJ, BC, Degussa, BM&F, Anbid, FIPE e Centro de Informações da Gazeta Mercantil.

* Taxa real em relação ao IPC (FIPE). (1) Taxa líquida para aplicações realizadas no primeiro dia do mês. (2) Cadernetas com “aniversário” no primeiro dia de cada mês.

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No quadro maior, o Centro de Informações de A Gazeta Mercantil, analisou a Taxa Real das Aplicações Financeiras na Bolsa (SP), Bolsa (RJ), CDB, Poupança, Over, Ouro, Dólar Comercial, Dólar Paralelo e FAF, comparando-as com o IPC(FIPE) e, assim, obtendo o “Ganho Real”. No quadro menor, os rendimentos das aplicações são acumulados pelo período decorrido durante o Governo Collor, desde 13/03/90 até 31/07/92.

RENDIMENTOS (EM %) NOMINAL REAL*

1992 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Acumulado nominal ano

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Acumulado real ano

Bolsa (SP)

84,40 29,37 21,09 28,60 14,78 -22,55 33,54 340,96 46,48 6,41 -0,54 4,78 -6,32 -36,75 9,91 5,78

Bolsa (RJ)

75,13 22,87 26,01 25,09 16,32 -18,51 32,98 327,53 39,12 1,07 3,51 1,92 -5,07 -33,45 9,45 2,56

CDB (pré 30dias) (1)

26,66 29,99 30,70 22,72 23,79 24,05 24,03 402,98 0,61 6,93 7,36 -0,01 1,03 1,31 2,08 20,66

Poupança (2)

26,11 26,24 24,89 21,69 20,41 21,66 24,31 340,57 0,17 3,84 2,59 -0,85 -1,73 -0,65 2,31 5,69

Overnight

29,05 28,75 26,86 23,92 22,99 24,28 26,20 403,87 2,51 5,91 4,21 0,97 0,38 1,50 3,87 20,88

Ouro (Físico)

19,46 23,04 18,90 27,15 14,89 25,74 30,13 317,74 -5,11 1,21 -2,33 3,61 -6,23 2,68 7,10 0,21

Ouro (Spot)

19,43 23,06 18,93 27,13 14,89 25,74 30,14 317,71 -5,14 1,22 -2,31 3,58 6,23 2,69 7,11 0,21

US$ Com.

24,78 23,63 21,90 20,53 18,91 20,97 21,99 297,71 0,88 1,69 0,13 -1,79 -2,95 -1,21 0,40 -4,59

US$ Par.

12,72 25,29 23,91 28,32 17,19 24,33 24,66 307,89 -10,46 3,06 1,78 4,56 -4,36 1,54 2,60 -2,15

FAF (3)

25,30 23,61 23,64 20,85 19,33 19,99 22,56 306,11 -0,47 1,68 1,56 -1,53 -2,61 -2,01 0,87 -2,58

TR 25,48 25,61 24,27 21,08 19,81 21,05 23,69 325,43 -0,33 3,32 2,08 -1,34 -2,22 -1,14 1,80 2,06 IPC (FIPE)

25,89 21,57 21,74 22,73 22,53 22,45 21,50 316,85 ------ ------ ------ ------ -------

-------- ---------

-------------

Fonte: Bovespa, BVRJ, BC, Degussa, BM&F, Ahbid, Fipe e Centro de Informações da Gazeta Mercantil. * Taxa Real em relação ai IPC (FIPE). (1) Taxa líquida para aplicações realizadas no primeiro dia do mês. (2) Cadernetas com “aniversário” no primeiro dia do mês. (3) Preliminar em junho.

RANKING DAS APLICAÇÕES (Variações acumuladas durante o governo Collor) Variação Variação nominal real (%) (%) Bolsa – SP 14.267,66 52,69 Bolsa – RJ 12.004,13 28,63 CDB Pré 30 dias 16.506,96 76,48 Poupança 8.712,26 -6,35 Overnigth 8.895,29 -4,41 Ouro (Físico) 5.164,00 -44,06 Ouro (Spot) 5.148,26 -44,23 Dólar Paralelo 5.570,73 -39,74 Dólar Comercial 9.791.78 5,12 Inflação 9.309,45 0,00 Fonte: Bovespa, BVRJ, BC, BM&F, Andima, FGV e centro de Informações da Gazeta Mercantil. Obs: Todas as variações referem-se ao período compreendido entre os dias 13/03/90 e 31/07/92. A inflação inclui estimativa de 21,50% para Jul/92.

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CORREÇÃO MONETÁRIA Desde a década de 70, vigora a sistemática que o

Governo criou para corrigir os efeitos da inflação sobre a Moeda Corrente nacional (desce o Cruzeiro até o Real) denominada “Correção Monetária”. Consiste em aplicar-se um determinado índice que aplicado sobre os valores anteriores dos bens e direitos, atualize-os, corrigindo, dessa forma, monetariamente, o seu valor, tentando compensar aperda ocorrida em função da existência da Inflação. Vários foram os índices de Correção Monetária, desde a sua instituição. O mais comum foi a O.R.TN, depois pela B.T.N. etc. Esses índices foram usados para Correção Monetária dos Balanços das Empresas e, como assim, largamente criticados por não refletir completamente os efeitos inflacionários, devido a manuseios efetuados pelo Governo na constituição do índice, segundo seus interesses.

CUSTO EFETIVO DA OPERAÇÃO Em muitas ocasiões, as operações realizadas têm custo nominal (não confundir com

“Taxa Nominal”), mas têm um Custo Efetivo diferente. Isto ocorre porque certas operações têm alguns Custos Acessórios que não estão embutidos na Taxa negociada. Alguns exemplos desses custos são:

− Seguros cobrados pelos bancos; − Créditos em datas posteriores à contratação; − Despesas de Informações Cadastrais; − Comissões de Crédito; − Taxas de liberações de recursos; − Outros custos. JUROS REAIS Como vimos no tópico Inflação, os ganhos reais representam a parte que realmente

pode se considerada “ganho” em uma operação, isto é, desconta-se o efeito da Inflação sobre o Capital aplicado e, assim, calcula-se quanto se ganhou com a aplicação.

Da mesma forma, certas operações podem custar uma Taxa de Juros Efetiva ou

Nominal, mas, na realidade, representar em “Custo Real” completamente diferente, dependendo de como os índices inflacionários possam ou não ter afetado essa aplicação.

RANKING DAS APLICAÇÕES (Variações acumuladas durante o Governo

Collor) Variação

Nominal (%)

Variação Real (%)

Bolsa - SP 14.267,66 52,69 Bolsa – RJ 12.004,13 28,63 CDB Pré 30 dias 16.506,96 76,48 Poupança 8.712,26 -6,35 Overnight 8.895,29 -4,41 Ouro (Físico) 5.164,00 -44,06 Ouro (Spot) 5.148,26 -4,23 Dólar Par. 5,570,73 -39,74 Dólar Com. 9.791,78 5,12 Inflação 9.309,45 0,00 Fonte: Bovespa, BVRJ, BC, BM&F, Andima, FGV e Centro de Informações da Gazeta Mercantil. Obs.: Todas as variações referem-se ao período compreendido entre os dias 13/03/90 e 31/07/92. A inflação inclui estimativa de 21,50% para Jul/92.

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Para achar-se o “Custo Real”, basta que se tomem os Juros pactuados e descapitalize-se a “Taxa de Inflação”.

Exercício resolvido: Ex. 37. Suponha-se que a Taxa seja de 13% a.m. pelo prazo de 5 meses e durante

este período a Inflação registrada seja de 75, 2%. Quais os Juros Reais dessa operação? SOLUÇÃO: 1º Passo: Achar o Fator do período: 1,135 = 1,84243518. 2º Passo: Achar o Fator Inflacionário: 1,752. 3º Passo: Dividir o 1º pelo 2º: 1,84243518/1,752 = 1,05161825. 4º Passo: Menos “1”, vezes “100” = 5,16% no período. Observe que um “ganho” de 84,24% no período de 84,24% no período de 5 meses,

resume-se em um “ganho real” de 5,16% no período, ou 1,01% ao mês em média, em função da existência de um índice inflacionário que “comeu” o rendimento da operação em exemplo.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

QUARTA PARTE

MOEDAS E ÍNDICES FINANCEIROS

“Mesmo que você viva um século, nunca deixe de aprender.” “Faríamos maiores coisas se não julgássemos tantas coisas IMPOSSÍVEIS.” “O mundo pertence aos OTIMISTAS e persistentes... Os PESSIMISTAS são meros espectadores.”

“Tudo que nós VIVIDAMENTE imaginarmos, ARDENTEMENTE desejarmos,

SINCERAMENTE acreditarmos, e ENTUSIATICAMENTE colocarmos AÇÃO,

INEVITAVELMENTE tornar-se-á REALIDADE!!!!”

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Quarta Parte MOEDAS E ÍNDICES ECONÔMICOS Vamos estudar algumas moedas, para entender o esquema de atualização ou de

recuperação do poder aquisitivo, em casos de inflação, seja através de planos de recuperação econômica ou através de mecanismos de ajustes por indicadores econômicos e financeiros.

MOEDAS A Moeda é um instrumento medidor (quantificador) do valor dos bens e serviços. A

Moeda é de difícil definição. Porém, pode-se imaginar a sociedade sem a existência da Moeda? O sistema de escambo estaria perdurando até a atualidade.

Com a evolução dos tempos, surgiu a Moeda substituindo o sistema de escambo. Uma

das primeiras moedas a surgir foi o “ouro”. O “ouro” representava a riqueza do seu possuidor e era trocado pelos bens e serviços que desejava adquirir.

Mais tarde surgiu o chamado “dinheiro” como instrumento representador da Moeda.

Para exemplificar o dinheiro citamos o Dólar, o Cruzeiro etc, enquanto representado “em espécie”.

No Brasil, convencionaram-se chamar de Moeda, alguns índices econômicos que

representavam a constância do valor do dinheiro, nos momentos em que ocorriam (ou ocorrem) o fenômeno da Inflação. Assim, é o caso da O.R.T.N., B.T.N., T.R.D. etc.

Entretanto, essas moedas especiais servem bem como instrumentos para análises

econômico-financeiras e correção monetária de valores históricos, pois não são do meio circulante, isto é, não são moedas correntes.

A Moeda Corrente Nacional tem um nome e, como vemos no quadro abaixo, já possui

diversos nomes. Vejamos: UNIDADES DO SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO

PERÍODO DE VIGÊNCIA MOEDA VIGENTE SÍMBOLO - até 04/10/42 05/10/42 até 12/02/67 13/02/67 até 14/05/70 15/05/70 até 27/02/86 28/02/86 até 15/01/89 16/01/89 até 15/03/90 16/03/90 em diante

MIL RÉIS CRUZEIRO CRUZEIRO NOVO CRUZEIRO CRUZADO CRUZADO NOVO CRUZEIRO

$ Cr$ NCr$ Cr$ Cz$ NCz$ Cr$

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O.R.T.N. O.R.T.N. é uma sigla que significa OBRIGAÇÕES REAJUSTÁVEIS DO TESOURO

NACIONAL. Foi um instrumento criado em 1964, pelo Governo Brasileiro com a intenção de registrar a constância do poder aquisitivo da moeda e, assim, servir de fator de Correção Monetária (correção do valor da moeda). E vigorou até Fevereiro de 1986, quando foi extinta, pela edição do Plano de Estabilidade Econômica do Governo Sarney, chamado popularmente de “Plano Cruzado”. Nessa época, as O.R.T.N. – Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional deram lugar à outra Moeda: a OTN – Obrigações do Tesouro Nacional.

O quadro abaixo representa os valores das Obrigações Reajustáveis do Tesouro

Nacional, já convertidos pelas “divisões por 1.000” do Plano Cruzado, devendo-se considerar que houve mais uma “divisão por 1.000 em Janeiro de 1989 (Plano Verão).

“Valores divididos por 1.000”

O.T.N. Com o advento do “Plano Cruzado” do governo Sarney, a O.R.T.N. foi extinta dando

lugar a outro índice chamado O.T.N. – Obrigações do Tesouro Nacional em 28 de Fevereiro de 1986. A Moeda foi dividida por “1.000”, isto é, perdeu “três zeros” e passou a se chamar “CRUZADO” e o país passou a viver uma vida completaente diferente daquela que estava acostumado no que se refere aos problemas Econômico-Financeiros.

Nos primeiros 12 meses do Plano Cruzado, o índice oficial de Correção Monetária, a

OTN, ficou com seu valor facial oficial congelado em R$ 106,40 (cento e seis cruzeiros e

ANOS JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL MAIO JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO 1964 - - - - - - - - - 0,01000 0,01000 0,01000 1965 0,01130 0,01130 0,01130 0,01340 0,01340 0,01340 0,01520 0,01520 0,01570 0,01590 0,01605 0,01630 1966 0,01660 0,01705 0,01730 0,01760 0,01828 0,01909 0,01987 0,02043 0,02101 0,02161 0,02218 0,02269 1967 0,02323 0,02378 0,02428 0,02464 0,02501 0,02501 0,02618 0,02684 0,02725 0,02738 0,02757 0,02796 1968 0,02848 0,02898 0,02940 0,02983 0,03039 0,03120 0,03209 0,03281 0,03341 0,03388 0,03439 0,03495 1969 0,03562 0,03627 0,03691 0,03743 0,03801 0,03848 0,03900 0,03927 0,03956 0,03992 0,04057 0,04142 1970 0,04235 0,04330 0,04417 0,04467 0,04508 0,04550 0,04620 0,04661 0,04705 0,04761 0,04851 0,04954 1971 0,05051 0,05144 0,05212 0,05264 0,05325 0,05401 0,05508 0,05618 0,05736 0,05861 0,05979 0,06077 1972 0,06152 0,06226 0,06309 0,06381 0,06466 0,06575 0,06693 0,06789 0,06846 0,06895 0,06961 0,07007 1973 0,07087 0,07157 0,07232 0,07319 0,07403 0,07497 0,07580 0,07648 0,07712 0,07787 0,07840 0,07907 1974 0,08062 0,08147 0,08269 0,08373 0,08510 0,08691 0,08980 0,09375 0,09822 0,10190 0,10410 0,10541 1975 0,10676 0,10838 0,11018 0,11225 0,11449 0,11713 0,11927 0,12131 0,12320 0,12570 0,12843 0,13093 1976 0,13334 0,13590 0,13894 0,14224 0,14583 0,15017 0,15470 0,15855 0,16297 0,16833 0,17440 0,17968 1977 0,18365 0,18683 0,19051 0,19483 0,20045 0,20690 0,21380 0,21951 0,22401 0,22715 0,23030 0,23374 1978 0,23832 0,24335 0,24899 0,25541 0,26287 0,27088 0,27904 0,28758 0,29557 0,30329 0,31049 0,31844 1979 0,32682 0,33420 0,34197 0,35051 0,36364 0,37754 0,39010 0,40071 0,41224 0,42880 0,44847 0,46871 1980 0,48783 0,50833 0,52714 0,54664 0,56686 0,58613 0,60489 0,62425 0,64423 0,66356 0,68479 0,70670 1981 0,73850 0,77543 0,82583 0,87786 0,93053 0,98636 1,04554 1,10827 1,17255 1,23939 1,31004 1,38209 1982 1,45396 1,52666 1,60299 1,68314 1,77571 1,87337 1,97641 2,09499 2,24164 2,39855 2,56645 2,73327 1983 2,91093 3,08559 3,29232 3,58863 3,91161 4,22454 4,55405 4,96391 5,38584 5,89749 6,46955 7,01299 1984 7,54598 8,28549 9,30461 10,23507 11,14599 12,13798 13,25467 14,61990 16,6961 17,86700 20,11871 22,11046 1985 24,43206 27,51050 30,31657 34,16677 38,20846 42,03156 45,90191 49,39688 53,4374 58,30020 53,54722 70,61367 1986 80,04766 93,03940

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quarenta centavos). Todos os preços foram congelados e, por motivos políticos, não foram feitos alguns ajustes necessários para que o Plano tornasse um dos maiores e mais benéficos efeitos para o país. Por isso, algum efeito inflacionário “correu por fora”, sem ser registrado oficialmente pelo governo, tendo, entretanto, um efeito muito forte que serviu de “guilhotina” para o Plano em Março do ano seguinte. Assim, A O.T.N., que passara 12 meses adormecidos recebia, de presente, uma bordoada de 70.68% de acúmulo inflacionário de uma só vez, passando a valores R$ 181,81. Foi o caos financeiro. Para quem tinha dinheiro aplicado com Correção Monetária, tudo bem. Mas, para quem devia...

Então, vejamos o valor das O.T.N., considerando o efeito “pro-rata temporare” da

Inflação registrada durante o período em que ficou congelada. Note-se que houve uma variação negativa de Fevereiro para Março de 1986.

“VALORES GRAFADOS EM CRUZADOS”

B.T.N.

Com o desgaste da morte do Plano Cruzado e sem ter sucesso com a edição do “Plano

Bresser”, o governo Sarney foi se constituindo numa colcha de retalhos pelos planos em que se embasou na tentativa da sonhada Estabilização da Economia.

Em Fevereiro de 1989, surgiu mais um Plano denominado “Plano Verão” e, com ele,

veio a extinção da O.T.N. que cedeu lugar ao B.T.N. - Bônus do Tesouro Nacional. Era mais uma moeda nova na tentativa de uma estabilidade econômica que duraria pouco tempo também. A Moeda Corrente perdeu mais uma vez “três zeros” e passou a se chamar “Cruzado Novo”.

Vejamos a relação dos valores do B.T. N., no período de Fevereiro de 1989 a Fevereiro

de 1991, enquanto vigorou: “VALORES GRAFADOS EM CRUZADOS”

ANOS JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL MAIO JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO 1986 “PRÓ RATA” 99,50 99,39 100,16 101,57 102,86 104,08 105,83 107,65 109,70 113,30 119,49 1987 129,97 151,82 181,61 207,97 251,56 310,53 366,49 377,67 401,69 424,51 463,48 522,99 1988 596,94 695,50 820,42 951,77 1.135,27 1.337,12 1.598,26 1.982,48 2.392,06 2.966,39 3.774,73 4.790, 89 1989 6.170,19

ANOS JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL MAIO JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO 1989 - 1,0000 1,0360 1,0991 1,1794 1,2966 1,6186 2,0842 2,6956 3,6647 5,0434 7,1324 1990 10,9518 17,0968 29,5399 41,7340 41,7340 43,9793 48,2057 53,4071 59,0576 66,6465 75,7837 88,3941 1991 105,5337 126,8621

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B.T.N. – T.R. No Brasil, há um costume importado do sistema de quotação do Dólar Americano pelo

mercado paralelo, que consiste em continuar adotando uma moeda qualquer mesmo depois de extinta, para facilidade de entendimento da nova sistemática. Este é o caso dos BTN – Bônus do Tesouro Nacional que, mesmo extinto, perdura por algum tempo na utilização de cálculos para correção monetária de certos ativos. Em certos casos, e este é um deles, o uso da “moeda-black” pega tanto que dura até a nova mudança de governo. Na atual situação, a TR – Taxa Referencial foi instituída para regular as variações do mercado financeiro, mas, foi proibida de ser utilizada como fator de correção. Assim, a esperteza do mercado ousou convencionar o BTN-TR que é uma continuação “não amparada pela lei” do BTN, acumulando as variações oficiais da TR- Taxa Referencial.

Vejamos os seus valores até o mês de Outubro/92:

MOEDA FISCAL Uma prática oficial é estabelecer valores diários para certas moedas utilizadas como

fator de correção monetária. Em Janeiro de 1992, foi instituída a UFIR diária para correção de impostos federais. O Estado de São Paulo utiliza a sua UFESP para correção de seus créditos fazendários. E o próprio BTN foi objeto de variação diária.

Mesmo depois de sua extinção, com o surgimento da TRD-Taxa Referencial Diária, que

já é uma Moeda Fiscal, o BTN-black continuou recebendo este tratamento de atualização. Vejamos:

TRD – TAXA REFERENCIAL DIÁRIA

A TRD – Taxa Referencial começou a vigorar imediatamente após sua instituição e seus valores continuam sendo atribuídos com antecedência de aproximadamente 20 dias, levando-se em consideração a tendência de Taxas de Juros do mercado financeiro, por expectativas do governo.

Vejamos a tabela a seguir:

ANOS JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL MAIO JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO 1991 105,5337 126,8621 135,7424 147,2806 159,7959 174,8555 191,2920 210,5169 234,4488 275,2197 329,6306 430,2340 1992 552,5064 693,2850 870,8353 1.082,1870 1.310,3120 1.569,8848 1.900,3454 2.350,5375 2.896,3322 3.631,4211

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UFIR – UNIDADE FISCAL DE REFERÊNCIA

A UFIR foi criada para atualizar os impostos federais de uma forma geral, a partir do 1º dia útil seguinte à apuração. Os valores são:

1991 janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro01 1.0000000 1.0700000 1.1609498 1.2596014 1.3726622 1.5078737 1.6594151 1.8577152 2.1694398 2.5983379 3.391350902 1.0000000 1.0700000 1.1652628 1.2646226 1.3726622 1.5140154 1.6675100 1.8577152 2.1855097 2.6326480 3.391350903 1.0000000 1.0700000 1.1695919 1.2697840 1.3783121 1.5201821 1.66751000 1.8577152 2.2016987 2.6326480 3.433860804 1.0000000 1.0746041 1.1738287 1.2697840 1.3843910 1.5263739 1.6675100 1.8849328 2.2180076 2.6326480 3.476903605 1.0028741 1.0792280 1.1788009 1.2697840 1.3904965 1.5325909 1.6756444 1.8986909 2.2344373 2.6674111 3.520200206 1.0057565 1.0838718 1.1788009 1.2749665 1.3967709 1.5389070 1.6389697 1.9125493 2.2344373 2.7022683 3.564036107 1.0086472 1.0885356 1.1788009 1.2801702 1.4030736 1.5389070 1.6923363 1.9265089 2.2344373 2.7383206 3.608090608 1.0115461 1.0932195 1.1823432 1.2853951 1.4094047 1.5389070 1.7007445 1.9265089 2.2509888 2.7744791 3.608090609 1.0115461 1.0932195 1.1866315 1.2906413 1.4094047 1.5452491 1.7093746 1.9265089 2.2690062 2.8111151 3.608090610 1.0115461 1.0932195 1.1913618 1.2959536 1.4090447 1.5517419 1.7093746 1.9405703 2.2871678 2.8111151 3.652160011 1.0115761 1.09779235 1.1961110 1.2959536 1.4157645 1.5582619 1.7093746 1.9550473 2.3054748 2.8111151 3.696194812 1.0115461 1.1026478 1.2008792 1.2959536 1.4221529 1.5648093 1.7180486 1.9696323 2.3239283 2.8482348 3.740553213 1.0144534 1.1073924 1.2008792 1.3011287 1.4285701 1.5713843 1.7270239 1.9843260 2.3239283 2.8858447 3.784583714 1.0181731 1.1121574 1.2008792 1.3066437 1.4350164 1.5713843 1.7360461 1.9991294 2.3239283 2.9249242 3.829132415 1.0219063 1.1169429 1.2056663 1.3120218 1.4414917 1.5713843 1.7451155 1.9991294 2.3425296 2.9645328 3.829132416 1.0219063 1.1169429 1.2104726 1.3174221 1.4414917 1.5779869 1.7542323 1.9991294 2.3612797 2.9645328 3.829132417 1.0219063 1.1169429 1.2152980 1.3228446 1.4414917 1.5846172 1.7542323 2.0140433 2.3801799 2.9645328 3.874205618 1.0266167 1.1217490 1.2201426 1.3228446 1.4479962 1.5912753 1.7542323 2.0290683 2.3992314 2.9645328 3.919809319 1.0313489 1.1265758 1.2250065 1.2250065 1.455300 1.5979615 1.7633966 2.0442055 2.4184353 3.0046778 3.965949820 1.0361029 1.1314233 1.2250065 1.3282893 1.4610934 1.6046757 1.7726089 2.0594556 2.4184353 3.0453664 4.012633421 1.0408788 1.1362917 1.2250065 1.3337565 1.4676863 1.6046757 1.7818692 2.0748195 2.4184353 3.0866060 4.059866522 1.0456767 1.1411811 1.2298899 1.3392462 1.4743091 1.6046757 1.7911780 2.0748195 2.4377930 3.1284041 4.059866523 1.0456767 1.1411811 1.2347927 1.3447585 1.4743091 1.6114181 1.8005354 2.0748195 2.4573057 3.1707682 4.059866524 1.04566767 1.1411811 1.2397150 1.3502935 1.4743091 1.6181889 1.8005354 2.0902980 2.4769745 3.1707682 4.107655725 1.0504967 1.1460915 1.2446570 1.3502935 1.4809617 1.6249881 1.8005354 2.1058919 2.4968007 3.1707682 4.156007326 1.0553389 1.1510230 1.2496186 1.3502935 1.4876443 1.6318159 1.8099417 2.1216022 2.5167857 3.2137060 4.156007327 1.0602035 1.1559768 1.2496186 1.3558513 1.4943570 1.6386724 1.8193971 2.1374297 2.5167857 3.2572252 4.204928228 1.0650904 1.1559758 1.2496186 1.3614319 15011001 1.6386724 1.8289019 2.1533753 2.5167857 3.3013338 4.254428829 1.0650904 1.1559758 1.2546001 1.3670356 1.5078737 1.6386724 1.8384563 2.1533753 2.5369306 3.3460396 4.254428830 1.1559758 1.2596014 1.3670356 1.5078737 1.6455577 1.8480607 2.1533753 2.5572367 3.3913509 4.254428831 1.1559758 1.3726622 1.6524719 1.8480607 2.5577054 4.3045041

1992 janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 01 4.3551728 5.4648708 6.8644242 8.5304200 10.3286326 12.3747316 14.9796163 18.5282874 22.8305557 28.6249486 35.8012274 02 4.3551728 5.4648708 6.8644242 8.6212814 10.3286326 12.4900258 15.1182489 18.5282874 23.0744470 28.9395264 03 4.4027471 5.4648708 6.8644242 8.7131102 10.3286326 12.6063911 15.2586445 18.5282874 23.3209376 28.9395264 04 4.4508411 5.5272879 6.8644242 8.8044328 10.3286326 12.7238406 15.3993750 18.7103892 23.5700645 28.9395264 05 4.4508411 5.5903178 6.9414403 8.8044328 10.4253871 12.8423843 15.3993750 18.8942807 23.5700645 29.2575607 06 4.4508411 5.6542688 7.0193212 8.8044328 10.5230477 12.9617185 15.3993750 19.0799979 23.5700645 29.5791369 07 4.4894605 5.7188491 7.0980755 8.8967126 10.6211334 12.9617185 15.8308943 19.2675035 23.5700645 29.9401564 08 4.5476667 5.7841670 7.0980755 8.9887298 10.7201333 12.9617185 15.8308962 19.9568705 23.8786399 30.2299622 09 4.5963893 5.7841670 7.0980755 9.0816987 10.7201333 13.0821618 15.8308962 19.4568705 24.3383890 30.5575965 10 4.6456341 5.7841670 7.1777130 9.1744683 10.7201333 13.2026363 15.9774072 19.4568705 24.3383890 30.8859019 11 4.6456341 5.8502309 7.2575185 9.1744683 10.8194940 13.3234313 16.7252741 19.6500971 24.6000259 30.8859019 12 4.6456341 5.9170494 7.3370335 9.1744683 10.9185646 13.4440589 16.1252741 19.9452426 25.8644733 30.8859019 13 4.6942435 5.9846311 7.4169941 9.2681856 11.0178866 13.5657746 16.1252741 20.0426261 24.8644733 30.8859019 14 4.7433629 6.0534265 7.4973623 9.3599132 11.1181121 13.5657746 16.2752999 20.2441495 24.8644733 31.2175304 15 4.7915801 6.1230129 7.4973623 9.4525487 11.2177680 13.5657746 16.4267203 20.4480052 25.1353133 31.5482605 16 4.8402874 6.1230129 7.4973623 9.5461010 11.2177680 13.6885923 16.5795501 20.4480052 25.4091034 31.8824944 17 4.8894898 6.1230129 7.5784488 9.5461010 11.2177680 13.8125218 16.7338017 20.4480052 25.6858759 32.2202694 18 4.9391923 6.1933991 7.6604124 9.5461010 11.3183171 13.9375734 16.8894885 20.6539138 25.9656632 32.2202694 19 4.9391923 6.2645944 7.7432624 9.5461010 11.4197675 13.9375734 16.8894885 20.8678958 26.2484980 32.2202694 20 4.9391923 6.3366082 7.8270084 9.5461010 11.5221270 14.0637571 16.8894885 21.0719722 26.2484980 32.5616229 21 4.9894001 6.4094498 7.9116602 9.6405792 11.6254042 14.0637571 17.0466237 21.2841640 26.2484980 32.9065928 22 5.0401183 6.4831287 7.9116602 9.6405792 11.7296071 14.0637571 17.2052209 21.4984925 26.5344137 33.2552175 23 5.0913520 6.4831287 7.9116602 9.7359924 11.8347441 14.1910833 17.3652937 21.4984925 26.9234438 33.6075356 24 5.1431065 6.4831287 7.9972276 9.8323499 11.8347441 14.3195621 17.5288557 21.4984925 27.1156222 33.9635863 25 5.1953872 6.5576546 8.0837204 9.9296611 11.8347441 14.4492042 17.6899208 21.7149794 27.4109832 33.9635863 26 5.1953872 6.6330372 8.1711486 9.9296611 11.9408234 14.5800200 17.6899208 21.9336462 27.70955614 33.9631563 27 5.1953872 6.7092863 8.2595224 9.9296611 12.0478535 14.7120201 17.6899208 22.1545149 27.7095614 34.3234091 28 1.0650904 1.1559758 1.2496186 1.3614319 15011001 1.6386724 1.8289019 2.1533753 2.5167857 3.3013338 4.254428829 1.0650904 1.1559758 1.2546001 1.3670356 1.5078737 1.6386724 1.8384563 2.1533753 2.5369306 3.3460396 4.254428830 1.1559758 1.2596014 1.3670356 1.5078737 1.6455577 1.8480607 2.1533753 2.5572367 3.3913509 4.254428831 1.1559758 1.3726622 1.6524719 1.8480607 2.5577054 4.3045041

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“UFIR”

1992 janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro

01 597.06 736.56 945.64 1.153.96 1.382.79 1.577.05 2.073.99 2.531.89 3.135.92 3.867.16 02 597.06 736.56 945.64 1.165.60 1.382.79 1.722.28 2.093.85 2.531.89 3.166.85 3.905.97 03 602.70 749.91 945.64 1.177.35 1.382.79 1.737.64 2.113.89 2.546.39 3.198.40 3.905.97 04 602.70 757.87 954.97 1.177.35 1.382.79 1.734.14 2.113.89 2.569.69 3.230.76 3.905.97 05 602.70 765.91 964.39 1.177.35 1.395.35 1.768.77 2.113.89 2.593.06 2.263.44 3.946.24 06 608.40 774.03 964.39 1.189.22 1.408.03 1.768.77 2.160.73 2.616.72 3.263.44 3.986.42 07 614.15 782.43 964.39 1.201.21 1.420.83 1.768.77 2.179.87 2.641.18 3.263.44 4.028.02 08 619.96 782.43 973.91 1.213.32 1.433.74 1.784.55 2.199.19 2.641.18 3.263.44 4.069.54 09 625.82 782.43 983.52 1.225.56 1.433.74 1.800.47 2.218.65 2.641.18 3.296.45 4.111.50 10 631.74 790.92 993.23 1.237.91 1.433.74 1.817.03 2.238.35 2.665.87 3.329.80 4.111.50 11 631.74 799.50 1.003.03 1.237.91 1.446.76 1.833.74 2.238.35 2.690.80 3.363.49 4.111.50 12 631.74 808.18 1.012.93 1.237.91 1.459.91 1.850.61 2.230.35 2.715.95 3.363.49 4.111.50 13 637.71 816.94 1.012.93 1.250.40 1.473.17 1.850.61 2.258.19 2.741.34 3.398.89 4.155.00 14 643.74 825.81 1.012.93 1.263.00 1.486.56 1.850.61 2.277.58 2.767.85 3.434.66 4.198.96 15 649.83 825.81 1.012.93 1.275.74 1.500.07 1.867.63 2.297.14 2.767.85 3.470.81 4.243.39 16 655.97 825.81 1.022.92 1.275.74 1.513.70 1.885.52 2.316.86 2.767.85 3.507.33 4.288.28 17 662.17 834.77 1.033.01 1.275.74 1.513.70 1.903.57 2.336.76 2.794.61 3.544.33 4.288.28 18 662.17 843.82 1.043.28 1.275.74 1.513.70 1.903.57 2.336.76 2.821.63 3.544.25 4.288.28 19 662.17 852.98 1.053.50 1.275.74 1.527.45 1.921.80 2.336.76 2.848.91 3.544.25 4.335.23 20 668.43 862.23 1.063.90 1.288.60 1.542.85 1.921.80 2.356.83 2.876.45 3.544.25 4.382.69 21 674.75 871.59 1.063.90 1.288.60 1.558.41 1.921.80 2.377.07 2.905.74 3.581.55 4.430.68 22 681.13 881.04 1.063.00 1.301.60 1.574.12 1.940.21 2.397.48 2.905.74 3.619.24 4.479.19 23 687.57 881.04 1.074.40 1.314.72 1.574.12 1.958.76 2.418.07 2.905.74 3.657.33 4.528.23 24 694.07 881.04 1.085.00 1.327.98 1.574.12 1.977.51 2.438.83 2.935.33 3.695.82 25 694.07 890.60 1.095.71 1.327.98 1.590.00 1.996.44 2.438.83 2.965.23 3.734.72 26 694.07 905.08 1.106.52 1.327.98 1.610.26 2.015.55 2.438.83 2.995.43 3.734.72 27 700.63 913.70 1.118.19 1.341.37 1.630.78 2.015.55 2.459.78 3.025.93 3.734.72 28 708.97 924.53 1.118.19 1.354.89 1.655.82 2.015.55 2.478.86 3.056.75 3.774.03 29 717.41 924.53 1.118.19 1.354.89 1.681.24 2.034.85 2.498.10 3.056.75 3.813.74 30 726.92 1.129.99 1.373.43 1.681.24 2.054.33 2.517.48 3.056.75 3.840 31 736.56 1.141.92 1.681.24 2.531.89 3.095.94

UFESP – UNIDADE FISCAL DO ESTADO DE SÃO PAULO A UFESP tem o seu valor ajustado pela variação do índice de Preços ao Consumidor –

IPC, calculado pela FIPE- Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da USP – Universidade de São Paulo, conforme estabelece a Lei Estadual nº 6.374/89, art. 113. Vejamos seus valores para o ano de 1992.

“UFESP”

1992 janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 01 5.958.40 7.406.51 9.133.78 10.891.38 13.228.29 16.223.74 19.836.00 23.960.07 29.076.50 35.941.23 02 6.021.02 7.406.51 9.133.78 10.950.00 13.228.29 16.314.43 20.005.47 23.960.07 29.281.91 36.167.86 03 6.084.13 7.473.93 9.133.78 11.008.94 13.228.29 16.405.63 20.176.38 24.087.58 29.488.77 36.167.86 04 6.084.13 7.541.97 9.276.75 11.008.94 13.335.58 16.497.34 20.176.38 24.214.85 29.697.09 36.167.86 05 6.084.13 7.610.63 9.421.95 11.008.94 13.443.74 16.589.57 20.176.38 24.342.80 29.697.09 36.395.92 06 6.147.90 7.697.50 9.517.08 11.155.48 13.552.79 16.589.57 20.346.76 24.608.21 29.697.09 36.625.42 07 6.216.29 7.785.38 9.517.08 11.303.98 13.740.39 16.589.57 20.587.62 24.876.52 29.697.09 37.295.84 08 6.285.44 7.785.38 9.517.08 11.454.46 13.930.59 16.771.51 20.829.29 24.876.52 30.197.93 37.978.53 09 6.355.36 7.785.58 9.613.17 11.606.94 13.930.59 16.955.46 21.073.79 24.876.72 30.707.22 38.673.73 10 6.426.06 7.874.25 9.710.23 11.741.62 13.930.59 17.141.42 21.321.17 25.147.75 31.225.10 38.673.73 11 6.426.06 7.964.14 9.808.28 11.741.62 14.123.42 17.329.43 21.321.17 25.421.94 31.751.72 38.673.73 12 6.426.06 8.055.06 9.907.31 11.741.62 14.318.92 17.580.65 21.321.17 25.699.12 31.751.72 38.673.73 13 6.497.55 8.130.77 10.007.35 11.877.87 14.517.13 17.580.65 21.571.45 25.979.33 31.751.72 39.381.65 14 6.551.06 8.207.21 10.007.35 12.015.70 14.639.37 17.580.65 21.776.61 26.262.59 32.287.22 39.786.46

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Curso de Matemática Financeira

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15 6.607.04 8.207.21 10.007.35 12.155.13 14.672.64 17.835.52 21.983.73 26.262.59 32.575.07 40.195.44 16 6.662.48 8.207.21 10.070.29 12.296.17 14.672.64 18.094.08 22.192.82 26.262.59 32.865.50 40.608.62 17 6.718.38 8.284.36 10.133.63 12.296.17 14.672.64 18.356.39 22.403.90 26.534.32 33.158.51 40.608.62 18 6.718.38 8.362.23 10.197.37 12.296.17 14.886.95 18.356.39 22.403.90 26.808.86 33.454.13 40.608.62 19 6.713.38 8.440.84 10.261.52 12.296.17 15.012.31 18.622.50 22.403.90 27.086.25 33.454.13 41.026.05 20 6.774.75 8.520.18 10.336.13 12.438.86 15.138.73 18.622.50 22.616.98 27.366.50 33.454.13 41.447.77 21 6.831.59 8.600.28 10.336.13 12.438.86 15.266.21 18.622.50 22.832.09 27.649.66 33.752.39 41.873.82 22 6.888.92 8.663.12 10.336.13 12.583.20 15.418.66 18.892.48 23.049.25 27.649.66 34.053.32 42.304.26 23 6.964.17 8.663.12 10.411.28 12.690.10 15.418.66 19.002.44 23.268.48 27.649.66 34.353.45 42.739.12 24 7.040.24 8.663.12 10.486.98 12.797.91 15.418.66 19.113.04 23.378.02 27.850.78 34.656.24 25 7.040.24 8.726.43 10.563.23 12.797.91 15.572.64 19.224.29 23.378.02 28.053.36 34.961.69 26 7.040.24 8.790.20 10.640.40 12.797.91 15.728.16 19.336.18 23.378.02 28.257.42 34.961.69 27 7.117.15 8.854.44 10.717.41 12.906.63 15.885.23 19.336.18 23.488.08 28.462.97 34.961.69 28 7.194.89 8.993.02 10.717.41 13.016.29 16.043.87 19.336.18 23.598.66 28.670.01 35.269.84 29 7.273.49 8.993.02 10.717.41 13.121.86 16.133.55 19.501.37 23.709.76 28.670.01 35.492.23 30 7.273.49 10.775.09 13.228.29 16.133.55 19.667.98 23.835.03 28.670.01 35.716.03 31 7.406.51 10.833.08 16.133.55 23.960.97 28.872.54

UFM – UNIDADE FISCLA DO MUNICÍPIO (SÃO PAULO) A Unida Fiscal do Município (Município de São Paulo) é um índice criado pela

Prefeitura Municipal de São Paulo, com o objetivo de corrigir os débitos fiscais de contribuintes da Fazenda Municipal.

Vejamos os seus valores para 1992.

11992 Janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro UFM 31.871 39.281 49.950 60.116 73.185 89.819 110.055 134.762 163.161 200.992

DÓLAR

DOLAR é o nome da moeda norte-americana que tem servido como referência básica

de valor em quase todo o mundo. Para se ter uma idéia do poder da moeda norte-americana, vamos reproduzir uma

reportagem publicada pela revista “READER´S DIGEST” americana, edição de Junho de 1983, à página 173:

“PICTOGRAM. OUR SHRIKING DOLLAR.

AS THE LONGEST, most vicious spiral of inflation in modern

U.S. history winds down, many experts envision a period of relative price stability ahead.

And yet if inflation can be held to only four percent each year

until 2000, the value of the 1900 dollar – just nine cents today – still will shrivel to mere four pennies.

“condensed from U.S. NEWS & WORLD REPORT”.

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BUYING POWER OF 1900 DOLLAR (as deflated by the

consumer price index).

INFLATION BY DECADE (average annual of change):

Vemos acima uma forte comprovação do “porque” o “dollar” é a moeda mais usada em todo o mundo. Note que desde o ano de 1900 até o ano de 1982, a moeda americana desvalorizou “91%” (noventa e um por cento), o que dá uma média linear de 10,97% ao ano, ou, então, uma média com descapitalização de 7,92% ao ano.

Como podemos notar pela reportagem, esta situação causa uma certa “irritação” aos

norte-americanos, porque não é fácil aceitar uma inflação de quase “dez por cento” ao ano quando a moeda é forte. Muita gente até ficaria surpresa em saber que os Estados Unidos tiveram uma média de quase 8% (oito por cento) de inflação. Acontece que, para os menos desavisados, estamos falando de uma inflação de “OITO POR CENTO AO ANO!!!” E não ao mês!!!!!!

É incrível. Mas, é verdade. Bem, o valor do dólar é a relação de conversão de uma moeda em outra, isto é, o

“fator”, a “quantidade” de uma moeda que é necessário para comprar “uma” única unidade da outra moeda.

A conversão de uma moeda em outra é chamada CÂMBIO. O preço estabelecido para

compra e venda da moeda estrangeira é denominado COTAÇÃO. O método adotado pelo sistema consiste no seguinte: a moeda é adquirida nas casas de

câmbio por um preço e é vendida para essas casas de câmbio por outro preço, que é menor, para compensar despesas de administração do câmbio.

A moeda estrangeira tem, então, dois preços: a) - COMPRA – é o preço que a casa de câmbio paga pela moeda; e b) - VENDA – é o preço pelo qual a casa de câmbio vende a moeda.

1900 = ($1); 1930 (50¢); 1960 = (28¢); 1982 = (9¢);

1900–10 1910–20 1920–30 1930–40 1940–50 1950-60 1960-70 1970-80 1980-82 1,1% 7,9% -1,8% -1,7% 5,6% 2,1% 2,7% 7,8% 8,2%

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Curso de Matemática Financeira

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Vejamos os valores do Dollar: DOLLAR OFICIAL (VENDA)

Cr$/US$ no final do mês

US$ janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 1988 83.403 98.50 114.55 137.44 162.69 194.63 241.23 292.49 362.98 463.34 588.07 756.55 1989 1.00 1.00 1.00 1.032 1.153 1.519 2.166 2.802 3.797 5.225 7.368 11.358 1990 17.731 30.636 42.560 51.243 55.219 61.022 68.990 71.674 84.223 106.950 144.710 170.060 1991 22.014 223.43 238.93 260.95 284.70 312.23 346.57 93.76 464.93 645.02 840.41 1.068.80 1992 1.319.45 1.630.85 1.988.00 2.396.10 2.396.10 3.446.70 4.024.60 5.131.00 6.400.00 1993 1994 1995

DÓLAR PARALELO (VENDA) Para evitar evasão da moeda nacional, a compra de moeda estrangeira é regulamentada

e não pode ser adquirida indiscriminadamente. Entretanto, a economia informal traz a moeda estrangeira em espécie para o país e a mesma passa a ser negociada como uma mercadoria qualquer. A moeda que transita neste mercado paralelo tem uma cotação diferente daquela estabelecida oficialmente. Seu preço pode subir ou descer, dependendo da oferta e procura no mercado.

OURO O ouro é um indicador econômico bastante utilizado como referencial. É um dos ativos

mais procurados pelos investidores, mas, apresenta riscos e pode apresentar queda substancial da remuneração e um determinado mês e reagir em seguida.

Vamos ver o percentual de variação da cotação do ouro no período de 1990 a 1992:

ANOS janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro1990 52.06% 92.07% 37.39% 44.27% 15.28% 0.63% 0.41% 2.48% 16.13% 17.19% 0.59% 53.90% 1991 34.21% 2.60% 4.59% 11.96% 8.93% 10.95% 10.24% 16.20% 30.94% 43.97% 17.72% 16.34% 1992 19.44% 23.06% 18.90% 27.16% 14.89% 25.74% 30.04% 17.49% 29.94%

SALÁRIO MÍNIMO O Salário Mínimo é um dos fatores mais discutidos da Economia Nacional. Alguns

autores inclusive levantam a tese de que o Salário Mínimo, de maneira como é instituído no país, nem tem razão de ser. Primeiro, porque não é suficiente para atingir o principal motivo de sua existência que é cobrir as despesas básicas de alimento e vestuário do trabalhador. Segundo, porque não é respeitado na maioria das circunstâncias.

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Vejamos os valores do Salário Mínimo para a Região Sudeste3:

ÍNDICES FINANCEIROS Os índices Econômicos Financeiros, também chamados de “indicadores” são

largamente utilizados para acompanhamento do comportamento da Economia Nacional pelos interessados. Basicamente, o índice deve representar um conjunto de variações de preços dos componentes de um setor da Economia. Nem sempre a inflação sentida por um determinado setor da Economia é a mesma sentida pelos outros.

Existem vários índices que servem como base para análise ou atualização de ativos. O

grande problema é que a preferência pelos índices não é a mesma para todos. Algumas pessoas escolhem um índice, outras pessoas escolhem outro índice.

Existem vários índices porque a forma de apuração é diferenciada. Para cada um deles

os critérios são diferentes, segundo alguns interesses intrínsecos que variam conforme o comportamento de seus componentes em cada setor da Economia.

A Bolsa de Valores é uma das instituições mais influentes no comportamento da

Economia. Qualquer acontecimento político pode afetar as negociações na Bolsa, fazendo com que o índice tenha oscilações para cima ou para baixo, dependendo do fato.

O IBGE-Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística é uma entidade oficial para

pesquisa e geração de informações na constituição de índices como IPC-Índice de Preços ao Consumidor, IPCA-Índice de Preços ao Consumidor Ampliado, INPC-Índice Nacional de Preços ao Consumidor etc.

A FGV-Fundação é uma das instituições mais respeitadas no Brasil. Isto porque não

sofre influência governamental na apuração dos índices e, assim, o mesmo passa a ter uma maior aceitação. Os índices mais utilizados da FGV são IPC-Índice de Preços ao Consumidor, IGP-Índice Geral de Preços e outros.

Outra instituição respeitada é o DIEESE-Departamento Intersindical para Estudos

Estatísticos e Sóci-Econômicos. Um dos índices mais utilizados do DIEESE é o ICV-Índice do Custo de Vida em São Paulo.

3 Havia no passado uma legislação que diferenciava o Salário Mínimo para cada região do país.

ANOS janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro1988 3.060.00 3.600.00 4.248.00 4.932.00 5.918.00 6.984.00 8.376.00 10.464.00 12.702.00 15.756.00 20.476.00 25.595.001989 31.866.00 36.74 36.74 63.90 81.40 120.00 149.80 193.80 249.81 381.73 557.33 788.18 1990 1.283.95 2.004.37 3.674.05 3.674.05 3.674.05 3.857.76 4.904.76 5.203.46 6.056.31 6.425.14 8.329.65 8.836.82 1991 13.325.60 15.895.46 17.000.00 17.000.00 17.000.00 17.000.00 17.000.00 17.000.00 42.000.00 42.000.00 42.000.00 42.000.001992 96.037.33 96.037.33 96.037.33 96.037.33 230.000.00 230.000.00 230.000.00 230.000.00 522.186.94 522.186.94 522.186.94

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Curso de Matemática Financeira

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A FIPE-Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da Universidade de São Paulo, também é uma entidade respeitada na apuração dos índices. A FIPE também faz a apuração do IPC-Índice de Preços ao Consumidor.

Colocamos o Dólar, o Ouro, o Salário Mínimo como Moeda porque, na realidade, a sua

aplicabilidade é mais bem compreendida deste modo, entretanto, os mesmos podem ser utilizados perfeitamente como índices.

Vamos ver, então, a relação dos índices. INPC-IBGE

ANOS Janeiro fevereiro março abril maio junho julho Agosto setembro outubro novembro dezembro 1988 18.97% 15.81% 18.09% 18.33% 18.24% 22.28% 23.02% 20.63% 26.93% 26.69% 28.15% 28.43% 1989 35.48% 16.35% 5.90% 8.06% 16.67% 29.40% 27.40% 33.18% 36.35% 38.76% 48.47% 51.28% 1990 68.19% 73.99% 82.18% 14.67% 7.31% 11.64% 12.62% 12.18% 14.26% 14.43% 16.92% 19.14% 1991 20.95 20.20% 11.79% 5.01% 6.68% 10.83% 12.14% 15.62% 15.62% 21.08% 26.48% 24.15% 1992 25.92% 24.48% 21.62% 20.84% 22.67% 20.85% 22.08% 22.38%

IPC-FGV

ANOS janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 1988 21.16% 17.89% 18.88% 19.69% 18.58% 20.33% 20.87% 21.74% 25.16% 26.53% 27.70% 28.23% 1989 39.10% 13.06% 5.83% 5.34% 13.29% 27.96% 33.86% 33.38% 34.07% 38.67% 45.48% 51.87% 1990 72.84% 67.52% 80.74% 17.24% 9.63% 12.75% 14.71% 12.86% 13.12% 14.04% 16.74% 18.87% 1991 19.91% 21.53% 6.60% 8.62% 7.05% 11.72% 13.31% 15.49% 16.87% 23.98% 25.33% 23.80% 1992 25.70% 23.88% 20.86% 20.10% 23.13% 23.11% 20.45% 24.48% 26.13%

IPC-FIPE

ANOS janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 1988 14.70% 13.38% 18.65% 21.17% 16.25% 21.70% 22.65% 19.67% 23.60% 28.98% 25.77% 27.89% 1989 31.11% 14.01% 6.46% 10.02% 16.59% 25.29% 28.06% 30.95% 35.89% 37.62% 42.96% 51.82% 1990 74.53% 70.16% 79.11% 20.19% 8.53% 11.70% 11.31% 11.83% 13.13% 15.83% 18.56% 16.03% 1991 21.82% 20.54% 7.48% 7.19% 5.76% 9.78% 11.30% 14.42% 16.21% 25.17% 25.39% 23.25% 1992 25.89% 21.57% 21.74% 22.73% 22.53% 22.45% 21.10% 23.16% 24.41%

IPCA-IBGE ANOS janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 1988 18.89% 15.70% 17.60% 19.29% 17.42% 22.00% 20.91% 21.59% 27.45% 25.62% 27.94% 28.70% 1989 17.49% 16.78% 6.82% 8.33% 17.92% 28.65% 27.74% 33.71% 37.56% 39.77% 47.82% 51.50% 1990 67.55% 75.73% 82.39% 15.52% 7.59% 11.75% 12.92% 12.88% 14.41% 14.36% 16.81% 18.44% 1991 20.75% 20.72% 82.39% 4.99% 7.43% 11.19% 12.41% 15.63% 15.63% 20.23% 25.21% 23.71% 1992 25.94% 24.32% 11.92% 19.93% 24.86% 20.21% 21.83% 22.14%

ICV-DIEESE ANOS janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 1988 15.80% 16.90% 21.91% 19.88% 17.14% 21.09% 20.51% 21.67% 22.99% 27.56% 26.20% 25.38%

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1989 33.78% 18.41% 10.22% 9.96% 16.22% 16.50% 28.60% 36.32% 37.07% 39.30% 46.99% 47.34% 1990 74.30% 77.23% 79.68% 22.29% 11.23% 10.56% 13.63% 13.83% 13.74% 16.90% 16.01% 17.07% 1991 24.43% 19.40% 9.99% 7.93% 8.93% 11.30% 13.29% 13.59% 16.20% 20.76% 25.76% 23.64% 1992 29.38% 21.86% 24.50% 19.75% 22.35% 22.03% 23.57% 21.02%

IGP-FGV ANOS janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 1988 19.14% 17.65% 18.16% 20.33% 19.51% 20.83% 21.54% 22.90% 25.76% 27.58% 27.97% 28.89% 1989 36.56% 11.80% 4.23% 5.17% 12.76% 26.77% 37.88% 36.48% 38.92% 39.70% 44.27% 49.39% 1990 71.90% 71.68% 81.32% 11.33% 9.07% 9.02% 12.98% 12.93% 11.72% 14.16% 17.45% 16.46% 1991 19.93% 21.11% 7.25% 8.74% 6.53% 9.86% 12.83% 15.49% 16.19% 25.85% 25.76% 22.14% 1992 26.84% 24.79% 20.70% 18.74% 22.45% 21.42% 21.69% 25.54%

IGPM-FGV ANOS janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 1988 19.14% 17.65% 18.16% 20.33% 19.51% 20.83% 21.54% 22.90% 25.76% 25.78% 27.97% 28.89% 1989 36.56% 11.80% 4.23% 5.17% 12.76% 19.68% 35.91% 36.92% 39.92% 40.64% 40.48% 47.13% 1990 61.46% 81.29% 83.95% 28.35% 5.93% 9.94% 12.01% 13.62% 12.80% 12.97% 16.86% 18.00% 1991 17.70% 21.02% 9.19% 7.81% 7.48% 8.48% 13.22% 15.25% 14.93% 22.63% 25.62% 23.63% 1992 23.56% 27.86% 21.39% 19.94% 20.43% 23.61% 21.84% 24.63% 25.27%

POUPANÇA

ANOS janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 1988 1989 18.9456% 20.4139% 11.5182% 10.4897% 25.4542% 29.4038% 29.9867% 36.6500% 38.3081% 42.1271% 5463177%1990 56.89% 73.64% 85.24% 0.5% 5.91% 10.15% 11.34% 11.3112.51%% 14.27% 17.22% 1991 7.53% 9.04% 9.47% 9.53% 9.95% 10.60% 23.84% 17.36% 20.37% 31.17% 29.06% 1992 26.11% 26.24% 24.89% 21.69% 20.41% 21.65% 24.31% 26.00% 25.70%

“faça sempre mais do que aquilo que é pago para fazer. Este é um dos princípios do s u c e s s o !!!”

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Curso de Matemática Financeira

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Referências

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S U C E $ $ O ! ! ! S U C E $ $ O ! ! ! S U C E $ $ O ! ! ! “Não basta acreditarmos no êxito. Um abraço concentrado, ordenado e razoável deve pôr ação à sua fé na direção do resultado. O planejar cotidiano forma uma imagem daquilo que o esforço executa.”

HENRY FRANK

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Anexos

LEGENDA J JUROS C CAPITAL M MONTANTE Ii TAXA (do Inglês “interest”) Io TAXA INICIAL In TAXA DO PERÍODO IF TAXA EFETIVA N PERÍODOS (do Inglês “number” of compounding periods). F FATOR Fo FATOR INICIAL Fp FATOR DO PERÍODO PV VALOR PRESENTE (do Inglês “Present Value”) VP VALOR PRESENTE FV VALOR FUTURO (do Inglês “Future Value”) VF VALOR FUTURO PMT PAGAMENTOS (do Inglês “Payment”) D DESCONTO Dc DESCONTO COMERCIAL ou Por Fora Dr DESCONTO RACIONAL ou Por Dentro N VALOR NOMINAL Vc VALOR DESCONTADO COMERCIAL Vb VALOR DESCONTADO BANCÁRIO PM PRAZO MÉDIO PONDERADO S SOMATÓRIO P PARCELA

“Ser hoje, melhor do que ontem; e, amanhã, melhor do que hoje. Eis o grande objetivo da vida!”

Constâncio C. Vigil

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Curso de Matemática Financeira

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Fórmulas e Tabelas Financeiras FÓRMULAS JUROS SIMPLES

JUROS

CAPITAL

MONTANTE

TAXA

J = C . i . n

J C = in

M C = 1 + in

M = C (1 + in)

J i = cn

M - 1 C i = n

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TEMPO

JUROS COMPOSTOS

JUROS

CAPITAL

MONTANTE

TAXA

M -1 C n = i

J n = C . i

J = C [(1 + i)n - 1]

M C =

(1 + i)

M = C (1 + i)

i = [{n√ (1 + i)n – 1} . 100]

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97

TEMPO

então:

PRESTAÇÕES CONSTANTES IMEDIATAS

4 O “a,n, cantoneira i” é o Fator.

1 (a ) = n i a n i Obs:4

i P = C 1 – ( (1 + i)-n

1 . i = [{(1 + i) n - 1} . 100

n = Log( 1 + i) Fator

Log (1 + i)n

n = Log (1 + i)

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VALOR PRESENTE DE “n” PRESTAÇÕES

C = P x a n i

PRESTAÇÕES IMEDIATAS CONSTANTES

VALOR PRESENTE DE “n” PRESTAÇÕES

C = P . a n i

1 - (1 + i)-n

a = n i i

DESCONTO RACIONAL

(1 + in)

i

P = C 1 - (1 + i)n

V F

C = F

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DESCONTO COMERCIAL

PRAZO MÉDIO PONDERADO

JUROS SIMPLES

C = VF . (1 - in)

C = VF - J

J VF = in

J = VF . in

VF = C . (1 + in)

C VF = 1 - in

S [ Nn ] PMp = S [ N ]

i

Fp = n + 1 12

i Fp = n + 1 360

M I = - 1 C

i F = + 1 100

i

Fp = n+1 6

M F = C

M C = F

F – 1 i = n

J i = C

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JUROS COMPOSTOS

M = C . F

Fp = 1 + in

F = 1 + in

in = F - 1

M = C + J

J = C (F - 1)

J = M - C

C = M - J

F = (1 + i)n

Fo = (Fp)1/n

M F = C

J F = + 1 C

M = C . F

M = C + J

J = C (F – 1)

J = M - C

C = M - J

Fp = (1 + i)n

in = F - 1

io = Fo - 1

M C = F

M i = - 1 C

J i = C

LOG M/C N = LOG (1+i)

J i = [ ( + 1)1/n - 1 ] . 100 C

M i = [ ( )1/n - 1 ] . 100 C

J LOG + 1

C n = LOG (1 + i)

LOG Fp n = LOG Fo

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ANUIDADES (PRESTAÇÕES)

DEPÓSITOS SUCESSIVOS

PARCELAS - MONTANTE

1 - (1 + i)-n

a = n i i

i (a )-1 = n i 1 – (1 + i)-n

C = p . a

n i

C p = a n i

C a = n i p

a 1 n i io = - a n2 n i

LOG [ 1 – (a i)

n i n = LOG (1 + i)

(1 + i)n - 1 S = n i i

M = p . S n i

M p = S n i

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TABELAS

TÁBUA DE LOGARÍTMOS

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Curso de Matemática Financeira

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TABELA DE CONTAGEM DE DIAS DO ANO CIVIL

DIA Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez 1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 13 13 44 72 103 133 164 194 225 257 286 317 347 14 14 45 73 104 134 165 195 226 258 287 318 348 15 15 46 74 105 135 166 196 227 259 288 319 349 16 16 47 75 106 136 167 197 228 260 289 320 350 17 17 48 76 107 137 168 198 229 261 290 321 351 18 18 49 77 108 138 169 199 230 262 291 322 352 19 19 50 78 109 139 170 200 231 263 292 323 353 20 20 51 79 110 140 171 201 232 264 293 324 354 21 21 52 80 111 141 172 202 233 265 294 325 355 22 22 53 81 112 142 173 203 234 266 295 326 356 23 23 54 82 113 143 174 204 235 267 296 327 357 24 24 55 83 114 144 175 205 236 268 297 328 358 25 25 56 84 115 145 176 206 237 269 298 329 359 26 26 57 85 116 146 177 207 238 270 289 330 360 27 27 58 86 117 147 178 208 239 271 300 331 361 28 28 59 87 118 148 179 209 240 272 301 332 362 29 29 88 119 149 180 210 241 273 302 333 363 30 30 89 120 150 181 211 242 274 303 334 364 31 31 90 151 212 243 275 304 335 365

TABELA DE TAXAS PARA DESCONTO DE DUPLICATAS Tx. Ano 5 dias 10 dias 20 dias 30 dias 40 dias 45 dias 50 dias 54 dias 60 dias 70 dias 80 dias 90 dias 200% 9,0881 9,0193 8,8836 8,7508 8,6206 8,5565 8,4930 8,4427 8,6979 8,2453 8,1252 8,0074 250% 10,3457 10,2556 10,0812 9,9099 9,7425 9,6602 9,5788 9,5144 9,4189 9,2625 9,1087 8,9603 270% 10,8049 10,7076 10,5165 10,3300 10,1479 10,0584 9,9701 9,9001 9,7964 9,6269 9,4613 9,2996 300% 11,4452 11,3361 11,1219 10,9131 10,7096 10,6097 10,5112 10,4332 10,3177 10,1290 9,9450 9,7655 310% 11,6460 11,5330 11,3113 11,0953 10,8848 10,7816 10,6797 10,5991 10,4798 10,2849 10,0950 9,9098 320% 11,8376 11,7208 11,4918 11,2689 11,0516 10,9452 10,8401 10,7570 10,6339 10,4331 10,2374 10,0467 330% 12,0287 11,9082 11,6718 11,4417 11,2177 11,1079 10,9996 10,9139 10,7872 10,5803 10,3788 10,1825 340% 12,2194 12,0950 11,8512 11,6139 11,3830 11,2699 11,1583 11,0701 10,9395 10,7265 10,5192 10,3173 350% 12,4010 12,2729 12,0218 11,7777 11,5401 11,4238 11,3090 11,2183 11,0841 10,8653 10,6523 10,4450 370% 12,7545 12,6190 12,3536 12,0956 11,8449 11,7221 11,6011 11,5055 11,3641 11,1337 10,9095 10,6916 400% 13,2606 13,1141 12,8274 12,5492 12,2790 12,1468 12,0166 11,9138 11,7618 11,5143 11,2738 11,0402 410% 13,4229 13,2729 12,9792 12,6943 12,4177 12,2824 12,1492 12,0440 11,8885 11,6354 11,3897 11,1510 420% 13,5850 13,4312 13,1305 12,8388 12,5558 12,4175 12,2812 12,1736 12,0147 11,7560 11,5048 11,2610 430% 13,7381 13,5809 13,2735 12,9754 12,6862 12,5449 12,4057 12,2959 12,1336 11,8695 11,6133 11,3646 440% 13,8911 13,7307 13,4161 13,1115 12,8161 12,6718 12,5297 12,4176 12,2519 11,9825 11,7211 11,4675 460% 14,1876 14,0199 13,6923 13,3749 13,0674 12,9172 12,7693 12,6527 12,4805 12,2005 11,9290 11,6658 480% 14,4747 14,3001 13,9593 13,6293 13,3097 13,1538 13,0003 12,8792 12,7005 12,4101 12,1288 11,8561 500% 14,7440 14,5629 14,2093 13,8674 13,5364 13,3749 13,2160 13,0907 12,9058 12,6056 12,3148 12,0332

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Curso de Matemática Financeira

105

TABELAS DE FATORES

Taxa de 0.5% (0,0050)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,005000 0,995025 1,005000 1,000000 1 5 1,025251 4,925866 0,203010 5,050251 5

10 1,051140 9,730412 0,102771 10,228026 10 15 1,077683 14,416625 0,069364 15,536547 15 20 1,104896 18,987419 0,052666 20,979115 20 25 1,132796 23,445638 0,042652 26,559115 25 30 1,161400 27,794054 0,035979 32,280016 30 35 1,190727 32,035371 0,031215 38,145378 35 60 1,348850 51,725561 0,019333 69,770030 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 1.0% (0,00100)

N

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,010000 0,990099 1,010000 1,000000 1 5 1,051010 4,853431 0,206040 5,101005 5

10 1,104622 7,471304 0,105582 10,462213 10 15 1,160969 13,865052 0,072124 16,096895 15 20 1,220190 18,045553 1,055415 22,019004 20 25 1,282432 22,023156 0,045407 28,243199 25 30 1,347849 25,807708 0,038748 34,784891 30 35 1,416603 29,408580 0,034004 41,660275 35 60 1,816697 44,955038 0,022244 81,669669 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 1.5% (0,0150)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,015000 0,980392 1,015000 1,000000 1 5 1,077284 4,713460 0,209089 5,152267 5

10 1,160541 8,982585 0,108434 10,702722 10 15 1,250232 12,849264 0,074944 16,682138 15 20 1,346855 16,351433 0,058246 23,123667 20 25 1,450945 19,523456 0,048263 30,063024 25 30 1,563080 22,396456 0,041639 37,538681 30 35 1,683881 24,998619 0,036934 45,592088 35 60 2,443220 34,760887 0,025393 96,214652 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 2.0% (0,02000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,020000 0,980392 1,020000 1,000000 1 5 1,104081 4,713460 0,212158 5,204040 5

10 1,218994 8,982585 0,111327 19,949721 10 15 1,345868 12,849264 0,077825 17,293417 15 20 1,485947 16,351433 0,061157 24,297370 20 25 1,640606 19,523456 0,051220 32,030300 25 30 1,811362 22,396456 0,044650 40,568079 30 35 1,999890 24,998619 0,044650 49,994478 35 60 3,281031 34,760887 0,028768 114,051520 60

a ┐ (a ┐)-1 S ┐

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Editora Projus Ltda.

106

n (1 + i)n n │ i n│i n│i n Taxa de 2,5% (0,0250)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,025000 0,975610 1,025000 1,000000 1 5 1,131408 4,645829 0,215247 5,256329 5

10 1,280085 8,752064 0,114259 11,203382 10 15 1,448298 12,381376 0,080766 17,931927 15 20 1,638616 15,589162 0,064147 25,545658 20 25 1,853944 18,424376 0,054276 34,157764 25 30 2,097568 20,930293 0,047778 43,902703 30 35 2,373205 23,145157 0,043206 54,928207 35 60 4,399790 30,908656 0,032353 135,991590 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 3,0% (0,03000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,030000 0,970874 1,030000 1,000000 1 5 1,159274 4,579707 0,218355 5,309136 5

10 1,349916 8,530203 0,117231 11,463879 10 15 1,557967 11,937935 0,083767 18,598914 15 20 1,806111 14,877475 0,067216 26,870374 20 25 2,093778 17,413148 0,057428 36,459264 25 30 2,427262 19,600441 0,051019 47,575416 30 35 2,813862 21,487220 0,046539 60,462082 35 60 5,891603 27,675564 0,036133 163,053437 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 3,5% (0,0350)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,035000 0,966184 1,035000 1,000000 1 5 1,187686 4,515052 0,221481 5,362466 5

10 1,410599 8,316605 0,120241 11,731393 10 15 1,675349 11,517411 0,086825 11,731393 15 20 1,989789 14,212403 0,070361 19,295681 20 25 2,363245 16,481515 0,060674 28,279682 25 30 2,806794 18,392045 0,054371 38,949857 30 35 3,333590 20,000661 0,049998 51,622677 35 60 7,878091 24,944734 0,040089 196,516883 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 4,0% (0,04000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,040000 0,961538 1,040000 1,000000 1 5 1,216653 4,451822 0,224627 5,416323 5

10 1,480244 8,110896 0,123291 12,006107 10 15 1,800944 11,118387 0,089941 20,023588 15 20 2,191123 13,590326 0,073582 29,778079 20 25 2,665836 15,622080 0,064012 41,645908 25 30 3,243398 17,292033 0,057830 56,084938 30 35 3,946089 18,664613 0,053577 73,652225 35 60 10,519627 22,623490 0,044202 237,990685 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

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Curso de Matemática Financeira

107

Taxa de 4,5% (0,0450)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,045000 0,952381 1,050000 1,000000 1 5 1,246182 4,329477 0,230975 5,525631 5

10 1,552969 7,721735 0,129505 12,577893 10 15 1,935282 10,379658 0,096342 21,578564 15 20 2,411714 12,462210 1,080243 33,065954 20 25 3,005434 14,093945 0,070952 47,727099 25 30 3,745318 15,372451 1,065051 66,438848 30 35 4,667348 16,374194 0,061072 90,320307 35 60 14,027408 18,929290 0,052828 353,583718 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 5,0% (0,5000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,050000 0,952381 1,050000 1,000000 1 5 1,276282 4,329477 0,230975 5,525631 5

10 1,628895 7,721735 0,129505 12,577893 10 15 2,078928 10,379658 0,096342 21,578564 15 20 2,653298 12,462210 0,080243 33,065954 20 25 3,386355 14,093945 0,070952 47,727099 25 30 4,321942 15,372451 0,06551 66,438848 30 35 5,516015 16,374194 0,061072 90,320307 35 60 18,679186 18,929290 0,052828 353,583718 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 7,0% (0,0700)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,070000 0,934579 1,070000 1,000000 1 5 1,402552 4,100197 0,243891 5,75079 5

10 1,967151 7,023582 0,142378 13,816448 10 15 2,759032 9,107914 0,109795 25,129022 15 20 3,869684 10,594014 0,094393 40,995492 20 25 5,427433 11,653583 0,085811 63,249038 25 30 7,612256 12,409041 0,080586 94,460786 30 35 10,676582 12,947672 0,077234 138,236878 35 60 57,946427 14,039181 0,071229 813,520383 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 10,0% (0,01000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,100000 0,909091 1,100000 1,000000 1 5 1,610510 3,790787 0,263797 6,105100 5

10 2,593742 6,144567 0,162745 15,937425 10 15 4,177248 7,606080 0,131474 31,772482 15 20 6,727500 8,513564 0,117460 57,274999 20 25 10,834706 9,077040 0,110168 98,347059 25 30 17,449402 9,426914 0,106079 164,494023 30 35 28,102437 9,644159 0,103690 271,024368 35 60 304,48164 9,967157 0,100330 3.034,816395 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

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Editora Projus Ltda.

108

Taxa de 15,0% (0,150000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,150000 0,869565 1,150000 1,000000 1 5 2,011357 3,352155 0,298316 6,742381 5

10 4,045558 5,018769 0,199252 20,303718 10 15 8,137062 5,847370 0,171017 47,580411 15 20 16,366537 6,259331 0,159761 102,443583 20 25 32,918953 6,464249 0,154699 212,793017 25 30 66,211772 6,565980 0,151135 434,745146 30 35 133,175523 6,616607 0,150034 881,170156 35 60 4,383,99874 6,665146 29,219,991638 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 20,0% (0,200000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,200000 0,833333 1,200000 1,000000 1 5 2,488320 2,990612 0,334380 7,441600 5

10 6,191736 4,192472 0,238523 25,958682 10 15 15,404022 4,675473 0,213882 72,035108 15 20 38,337600 4,869580 0,205357 186,688000 20 25 95,396217 4,947587 0,202119 471,981083 25 30 237,376314 4,978936 0,200846 1,181,881569 30 35 590,669229 4,991535 0,200846 2.948,341146 35 60 ................ .................. .................... ..................... 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 25,5% (0,250000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,250000 0,800000 1,250000 1,000000 1 5 3,051758 2,689280 0,371847 8,207031 5

10 9,313226 3,570503 0,280073 33,252903 10 15 28,421709 3,859263 0,259117 109,686838 15 20 86,736174 3,953883 0,252916 342,944695 20 25 234,697796 3,984888 0,250948 1.054,791184 25 30 807,793567 3,995048 0,250310 3.227,174268 30 35 2.465,19032 3,998377 0,250101 9.856,761315 35 60 ................... .................. .................. ................... 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 30,0% (0,30000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,300000 0,769231 1,300000 1,000000 1 5 3,712930 2,435570 0,410582 9,043100 5

10 13,785849 3,091539 0,323463 42,619497 10 15 51,185893 3,268211 0,305978 167,286310 15 20 190,049638 3,315794 0,301587 630,165459 20 25 705,641001 3,328609 0,300426 2.348,083338 25 30 2.619,995644 3,332061 0,300115 8.729,985479 30 35 9.727,860425 3,332991 0,300031 32.422,868084 35 60 ..................... ................ ................... .......................... 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

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Curso de Matemática Financeira

109

Taxa de 35,0% (0,3500)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,350000 ...................... ...................... ...................... 1 5 ...................... ...................... ...................... ...................... 5

10 ...................... ...................... ...................... ...................... 10 15 ...................... ...................... ...................... ...................... 15 20 ...................... ...................... ...................... ...................... 20 25 ...................... ...................... ...................... ...................... 25 30 ...................... ...................... ...................... ...................... 30 35 ...................... ...................... ...................... ...................... 35 60 ...................... ...................... ...................... ...................... 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 40,0% (0,400000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,400000 0,714286 1,400000 1,000000 1 5 5,378240 2,035164 0,491361 10,945600 5

10 28,925465 2,413572 0,414324 69,813664 10 15 155,568096 2,483930 0,402588 386,420239 15 20 836,682554 2,497012 0,400479 2.089,206386 20 25 4,499,87958 2,499444 0,400089 11.247,198951 25 30 24.201,4325 2,499897 0,400017 60.501,080889 30 35 130.161,1115 2,499981 0,4000003 325.400,278879 35 60 ...................... ...................... ...................... ...................... 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 50,0% (0,50000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 1,500000 0,666667 1,500000 1,000000 1 5 7,593750 1,736626 0,575829 13,187500 5

10 57,665039 1,965317 0,508824 113,330078 10 15 437,893890 1,995433 0,501144 873,787781 15 20 3.325,256730 1,999399 0,500150 6.648,513460 20 25 25.251,168294 1,999921 0,500020 50.500,336588 25 30 191.751,05923 1,999990 0,500003 383.500,118466 30 35 1.456.109,606 1,999999 0,500000 2.912.217,212099 35 60 ...................... ...................... ...................... ...................... 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

Taxa de 100,0% (2,00000)

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

1 2,000000 ...................... ...................... ...................... 1 5 ..................... ...................... ...................... ...................... 5

10 ..................... ...................... ...................... ...................... 10 15 ..................... ...................... ...................... ...................... 15 20 ..................... ...................... ...................... ...................... 20 25 ..................... ...................... ...................... ...................... 25 30 ..................... ...................... ...................... ...................... 30 35 ..................... ...................... ...................... ...................... 35 60 ..................... ...................... ...................... ...................... 60

n

(1 + i)n a ┐ n │ i

(a ┐)-1 n│i

S ┐ n│i

n

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110

Meio Circulante

O Meio Circulante Nacional5: As cédulas e moedas metálicas (inclusive as comemorativas) do padrão monetário Real,

que estão em poder do público e da rede bancária, constituem o meio circulante nacional, cuja composição é a seguinte6:

Cédulas - 1a. família

Denominação Quantidade Valor

1,00 154.371.267 154.371.267,00

2,00 719.818.865 1.439.637.730,00

5,00 401.568.911 2.007.844.555,00

10,00 678.760.064 6.787.600.640,00

20,00 648.707.519 12.974.150.380,00

50,00 1.515.010.886 75.750.544.300,00

100,00 354.960.417 35.496.041.700,00

Total = 4.473.197.929 134.610.190.572,00Posição em: 11/10/2010

Cédulas - em polímero

Denominação Quantidade Valor

10,00 5.706.844 57.068.440,00

Total = 5.706.844 57.068.440,00Posição em: 11/10/2010

Moedas - 1a. família (inox)

Denominação Quantidade Valor

0,01 1.990.872.733 19.908.727,33

0,05 1.319.573.747 65.978.687,35

5 Pesquisado em 12 de outubro de 2010. Recomenda-se nova pesquisa, ao menos, uma vez por mês. 6 Fonte: Banco Central (http://www4.bcb.gov.br/adm/mecir/Resposta.asp).

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Curso de Matemática Financeira

111

Moedas - 1a. família (inox)

Denominação Quantidade Valor

0,10 1.400.643.170 140.064.317,00

0,25 425.909.576 106.477.394,00

0,50 481.827.716 240.913.858,00

1,00 35.423.223 35.423.223,00

Total = 5.654.250.165 608.766.206,68Posição em: 11/10/2010

Moedas - 2a. Família

Denominação Quantidade Valor

0,01 1.199.930.127 11.999.301,27

0,05 2.567.237.477 128.361.873,85

0,10 2.933.140.444 293.314.044,40

0,25 1.409.259.146 352.314.786,50

0,50 1.189.643.002 594.821.501,00

1,00 1.726.160.814 1.726.160.814,00

Total = 11.025.371.010 3.106.972.321,02Posição em: 11/10/2010

Moedas comemorativas

Denominação Tema Quantidade Valor

2,00 300 anos CMB 7.000 14.000,00

2,00 Pan Rio 2007 9.903 19.806,00

2,00 Ayrton Senna 10.000 20.000,00

2,00 100 anos 14 Bis 3.996 7.992,00

2,00 100 anos FIFA 12.166 24.332,00

2,00 Portinari 2.000 4.000,00

2,00 Ary Barroso 2.975 5.950,00

2,00 Drummond 3.721 7.442,00

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112

Moedas comemorativas

Denominação Tema Quantidade Valor

2,00 100 anos JK 7.333 14.666,00

3,00 100 anos de BH 20.000 60.000,00

3,00 30 anos BCB 5.000 15.000,00

4,00 Tetra 9.000 36.000,00

5,00 Pan Rio 2007 3.796 18.980,00

5,00 Família real 2.000 10.000,00

5,00 500 anos 12.515 62.575,00

5,00 Pentacampeonato 6.221 31.105,00

20,00 Pentacampeonato 1.947 38.940,00

20,00 Ary Barroso 840 16.800,00

20,00 100 anos FIFA 4.060 81.200,00

20,00 500 anos 6.557 131.140,00

20,00 Ayrton Senna 5.000 100.000,00

20,00 100 anos JK 2.496 49.920,00

20,00 Drummond 1.095 21.900,00

20,00 Tetra 2.000 40.000,00

2,00 Imigração Japão 9.995 19.990,00

5,00 Brasília 5.408 27.040,00

5,00 Copa 2010 8.613 43.065,00

Total = 165.637 921.843,00Posição em: 11/10/2010

Total do Meio Circulante Nacional: R$ 138.383.919.382,70 Posição em: 11/10/2010

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Curso de Matemática Financeira

113

MATEMÁTICA FINANCEIRA

SEXTA PARTE

EXERCÍCIOS

“AS DIFICULDADES fazem o homem ao invés de esmagá-lo.”

Arthur Meighen

“SE VOCÊ acertar de primeira, tente alguma coisa mais difícil.”

JO PETTY

“NO INÍCIO, faça o imprescindível, depois o possível, e, de repente, estará fazendo o IMPOSSÍVEL!!!”

SÃO FRANCISCO DE ASSIS

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114

Exercícios JUROS SIMPLES

141. Calcular a taxa quadrimestral proporcional às seguintes taxas:

a) 21% a.a; b) 33% ao bimestre; c) 10% a cada cinco meses.

142. Determinar a taxa proporcional referente a 5 meses, dadas as seguintes taxas: a) 1% a.m.; b) 2,5% ao bimestre; c) 12% a.s.

143. Calcular o montante das seguintes operações: a) R$ 5.000,00 a 25% a.a. por 8 meses; b) R$ 22.000,00 a 30,2% a.a. por 2 anos e 5 meses; c) R$ 30.000,00 a 34% a.a. por 19 meses.

144. Qual é a taxa de juros que, de um capital de R$ 12.000,00, gera um montante de: a) R$19.980,00 em 3 anos e 2 meses? b) R$14.700,00 em 10 meses? c) R$ 20.640,00 em 1 ano e 8 meses?

145. Qual é o capital que rende: a) R$ 1.500,00 a 18% a.a. em 10 meses? b) R$ 6.480,00 a 21,6% a.a. em 2 anos e 6 meses? c) R$ 15.000,00 a 30% a.a. em 3 anos e 4 meses?

146. Em quanto tempo um capital de R$ 100.000,00 aplicado a 26,4% a.a.: a) renderá R$ 46.200,00? b) elevar-se-á a R$ 161.600,00?

147. Qual é a taxa bimestral equivalente a 28,2% a.a.? 148. Assinalar as proposições:

a) 1% ao mês equivalente a 12% ao ano; b) 2,25% ao bimestre equivale a 26,80 ao biênio; c) 3,4% ao trimestre equivale a 13,6% ao ano; d) 50% ao ano equivale a 20% em 5 meses.

149. Calcular o juro simples comercial das seguintes propostas: a) R$ 8.000,00 a 20% a.a. por 90 dias; b) R$ 11.000,00 a 27% a.a. por 135 dias.

150. Quantos meses são necessários para que o capital de R$ 72.500,00, atinja o montante de R$ 975.000,00 a uma taxa de 916% a.a.? JUROS COMPOSTOS

151. Calcular o Montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 sob as hipóteses abaixo: a) 20% a.a. em 5 anos; b) 5% a.s. em 3 anos e meio;

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c) 2,5% a.m. em 1 ano. 152. Se eu quiser comprar um carro no valor de R$ 60.000,00, quanto devo aplicar hoje para

que daqui a 2 anos possua tal valor? Considerar as seguintes taxas de aplicação: a) 2,5% a.m.; b) 10% a.s.; c) 20% a.a.

153. Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo período de tempo, ele recebeu R$ 35.644,02, estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado?

154. Um título de valor nominal de R$ 20.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratada a taxa de 2,5% a.m. Qual foi o desconto racional concedido?

155. Qual é a taxa efetiva anual cobrada em cada uma das hipóteses abaixo: a) 18% a.a. nominal com capitalização mensal; b) 20% a.a. nominal com capitalização trimestral; c) 25% a.a. nominal com capitalização semestral.

156. Qual o montante gerado por um capital de R$ 10.000,00, aplicado pelos prazos e taxas que seguem: a) 1% a.m. em 12 meses; b) 1,5% a.m. em 3 anos; c) 10% a.a. em 120 meses.

157. O Banco Jovicons S.A. anuncia que sua taxa para empréstimo pessoal é de 2,5% a.m. Um cliente retirou R$ 200.000,00 e quando foi saldar sua dívida o gerente lhe disse que esta importava em R$ 311.931,70. Quanto tempo levou o cliente para restituir o empréstimo?

158. Um sítio é posto a venda por R$ 500.000,00 de entrada e Cr$ 1.000.000,00 em 1 ano. Como outra opção o vendedor pede R$ 1.240.000,00 à vista. Se a taxa de juros de mercado é de 2,5% a.m., qual a melhor alternativa?

159. Se o mercado financeiro paga mensalmente pela sua aplicação 1.350% a.a. e você tem um capital equivalente ao preço de um carro que é vendido à taxa de 26% a.m., sem entrada, em 12 parcelas mensais de R$ 625.000,00. Pergunta-se: a) Qual o valor do seu Capital? b) Qual a diferença entre o valor da prestação do carro e o rendimento do seu capital? c) Sua melhor opção é aplicar o dinheiro e comprar o carro a prazo? d) Se você ficar indeciso e o carro aumentar de preço para R$ 3.500.000,00, quanto você sai perdendo?

160. Uma Caderneta de Poupança rendeu R$ 5.000,00 sobre um capital de R$ 8.000,00 em 1 ano e 3 meses. Qual é a taxa de rentabilidade anual? PRESTAÇÕES

161. Calcular o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 10.000,00, nas hipóteses abaixo: a) 2% a.m. em 24 meses; b) 3% a.m. em 12 meses; c) 2,5% a.m. em 36 meses; d) 10% a.t. em 8 trimestres; e) 15% a.s. em 5 semestres.

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162. Um terreno é vendido por R$ 100.000,00 de entrada e 36 prestações mensais de R$ 50.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 2,5% a.m., até que preço vale a pena comprar o terreno à vista?

163. O preço de uma motocicleta é de R$ 2.000.000,00 à vista ou, caso o cliente deseje as facilidades do crediário, poderá pagá-la a prazo. No segundo caso, exigem-se24 prestações mensais de 124.546, 00. Que taxa de juros mensais está sendo cobrada?

164. Se uma financeira apresentar o coeficiente de 0,09749 para 12 prestações mensais e, além disso, cobrar 2% sobre o valor financiado, a título de despesas administrativas (desconto este feito no ato da compra), qual será a taxa de juros mensal efetiva?

165. Que taca anula, Tabela Price, será cobrada em um financiamento de R$ 50.000,00, pelo qual o cliente pagou 30 prestações mensais de R$ 2.082,00?

166. Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, se tenha R$ 500.000,00. Considerar que a instituição paga 2,5% a.m. sobre o saldo credor.

167. Se uma pessoa efetuar 60 depósitos mensais de R$ 200,00 em um banco que paga 2,5% sobre o saldo credor, quanto poderá retirar em 60 meses?(Considerar a1ª retirada um mês após o último depósito).

168. Uma pessoa aplicou R$ 15.000,00 e após 3 anos recebeu a soma total de R$ 61.558,99. Que depósitos mensais nesse período produziram a mesma soma, se os juros sobre saldo credor fossem beneficiados com a mesma taxa da primeira hipótese?

169. Um apartamento é vendido por R$ 1.000.0000,00 à vista ou por 50% de entrada e o restante em 60 meses, Tabela Price 12% a.a. Qual é o valor das prestações?

170. Em quantas prestações mensais de R$ 1.004,62 será pago um título de um clube de campo, se seu valor à vista for de R$ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3% a.m.?

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RESPOSTAS

01. R$ 100,00 02. R$ 200.000,00 03. R$ 20.000,00 04. R$ 199.368,75 05. R$ 420.000,00 06. R$ 6.250,00 07. R$ 53,12 08. R$ 4.860.000,00 09. Sim 10a. R$ 21.600,00 10b. R$ 149.040,00 10c. R$ 648.000,00 11. R$ 1.751.000,00 12. R$ 5.000.000,00 13.R$ 400.000,00 14. R$ 128.204,13 15. R$ 34.285.714,28 16. R$ 1.146.496,81 17. R$ 5.666.666,66 18. R$ 800.000,00 19. R$ 578.703,70 20. R$ 13.043.478,26 21. R$ 18.600.000,00 22. R$ 114.320.000,00 23. R$ 547.666,66 24a. R$ 1.220.000,00 24b. R$ 1.940.000,00 24c. R$ 1.580.000,00 24d. R$ 740.000,00 25. R$ 3.422.222,22 26. R$ 25.500,00 27. R$ 1.036.000,00 28. R$ 6.160.000,00 29. R$ 1.188.000,00 30. R$ 2.106.250,00 31a. 12,0833% a.m. 31b. 145% a.a. 32. 103,99% a.a. 33. 17,12% a.m. 34. 0,33% a.d. 35. 1,29% a.m. 36. 12,38% 37. 105,42% a.a. 38. 5,00% a.m. 39. 104,71% a.a. 40. 29,05% a.m. 41. 2,23 meses 42. 156,66 anos 43. 1.173 dias 44. 1,8519 anos 45. 0,0291 anos 46. 120 meses 47. 11,15 meses 48. 3,74 anos 49. 3,46 meses 50. 0,2720 anos 51. 4,7403 52. 2,02 53. 1,09 54. 14,1389 55. 1,15 56. 1,4781 57. R$ 353.437,49 58. 2,2629 59. 1,3693 60. 1,0340 61. R$ 6.408,00 62. R$ 8.032.786,88 63. R$ 5.818.750,00 64. 24,84% a.m. 65. “por dentro” 66. R$ 11.196.200,00 67. R$ 9.400,89 68. PM = 44,83 dias 69a. R$ 93.414.318,10 69b. R$ 38.447.305,30 69c. R$ 38.253.611,86 70. 47,8516/173.963.319 71. R$ 420.000,00 72. R$ 1.380.000,00 73. R$ 86.202,50 74. R$ 276.582,57 75. Cr$ 334.998,42 76. R$ 521.729,00 77. R$ 180,95 78. R$ 13.710.959,71 79.R$ 677.103,64 80a. R$ 378.883,92 80b. R$ 2.767.048,20 80c. R$ 39.399.939,07 81. R$1.167.333,33 82. R$ 2.259.660,97 83. R$ 578.186,79 84. R$ 95.479,23 85. R$ 7.443.783,80 86. R$ 4.500.121,48 87. R$ 3.700.000,00 88. R$ 439.273,31 89. R$ 299.152,07 90. R$ 16.950.588,43 91. R$ 22.930.728,03 92. R$ 242.951.042,80 93. R$ 3.368.122,43 94a. R$ 10.863.289,25 94b. R$ 14.870.756,65 94c. R$ 2.259.970,26 94d. R$ 458.015,11 95. R$ 19.067.373.170 96. R$ 119.635,61 97. R$ 14.346.654,21 98. R$ 6.353.053,18 99. R$ 8.136.835.560,00 100. R$ 3.397.378,50 101. 7,699262 102. 7,0979 103. 8 104. 1 105. 1,8306 106. 23 = 8 107. 4 108. 4 109. 2 110. 4,529365 111. 3,93 meses 112. 30,32 anos 113. 742,23 dias 114. 2,43 anos 115. 0,0068 anos 116. 89,45 meses 117. 19,22 meses 118. 3,8118 anos 119. 3,30 meses 120. 4,29 meses 121ª. 4,08%a.m. 121b.61,60%a.a. 122. 61,80% a.a 123. 4,08%a.m. 124. 0,8%a.d2 7,17%a.m. 125. 5,56% a.m. 127. 74,12% a.a 128. 10,72% a.m. 129. 174,55% a.a. 130. 32,85% a.m. 131. R$ 3.138.461,77 132. R$ 12.666.859,76 133. R$ 2.510.446,88 134a. R$ 1.966.899,20 134b. R$ 2.467.278,35 135. B Esperar o Vencto. 136. R$ 6.841,90 137. R$ 6.223.357,76 138. R$ 5.314.987,92 139. A – Pagar hoje 140. B Comprar a Prazo 141a. 7% a.a 141b. 5,5% a. biênio 141c. 8% 142a. 5% a.m. 142b. 6,25% a.b. 142c. 10%a.s. 143a. R$ 5.833,33 143b. R$ 38.056,33 143c. R$ 46.150,00 144a. 1,75% a.m. 144b. 2,25% a.m. 144c. 3,6% a.m. 145a. R$ 10.000,00 145b. R$12.000,00 145c. R$15.000,00 146a. 21 meses 146b. 73,45 meses 147. 4,7% 148a. SIM 148b. NÃO (27%) 148c. SIM 148d. NÃO (20,83%) 149a. R$ 400,00 149b. R$ 1.113,75 150. 16,3 meses 151a. R$ 24.883,20 151b. Cr$14.071,00 151c. R$ 13.448,88 152a. R$ 33.172,52 152b. R$ 40.980,80 152c. R$ 41.666,67 153. 12 meses 154. Cr$1.395,35 155a. 19,56% 155b. 21,55% 155c. 26,56% 156a. R$ 11.268,25 156b. Cr$ 17.091,39 156c. R$ 25.937,42 157. 18 meses 158. à vista $ 1.274.710,69159a.R$ 2.253.718,69 159b. Cr$ 62.409,24 159c. NÃO 159d.R$345.618,03p/m 160. 47,46% a.a. 161a. R$ 189.139,25 161b. Cr$ 99.540,04 161c. R$ 235.562,51 161d. R$53.349,26 161e. R$ 33.521,55 162. R$1.277.712,55 163. 3,5% a.m. 164. 3% a.m. 165. 18% a.a. 166. R$ 3.676,70 167. R$27.878,27 168. Cr$ 793,31 169. R$ 60.066,92 170. 12 prestações ------------------------

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Autor JOVI BARBOZA

MESTRE em Direito pela UNIMES – Universidade Metropolitana de Santos /SP; Pós-Graduado Lato Sensu pelo IICS - Instituto Internacional de Ciências Sociais, com defesa de Monografia sobre Contrato de Licença de Uso de Marcas; Advogado e Contador, atuante em Direito do Consumidor, Empresarial, (Comercial, Tributária, Societária, Trabalhista), Civil e Direito Ambiental (Geral e do Trabalho), com ênfase para Direitos Difusos; Bacharel em Direito pela Faculdade de Ciências Jurídicas da Universidade São Francisco, Campus de São Paulo; cumpriu créditos de pós-graduação do CEAG - Curso de Especialização para Graduados da Fundação Getúlio Vargas (FGV-SP), e Bacharel em Ciências Contábeis pelas Faculdades de Ciências Econômicas de São Paulo (FACESP), da Fundação Escola de Comércio Álvares Penteado (FECAP). Palestrante e Consultor Empresarial para o SEBRAE e CRC e professor universitário para a FCV –

Faculdade Cidade Verde – Maringá-PR (Graduação e Pós-Graduação), para a Unifamma – Faculdade Metropolitana de Maringá-PR (Pós-Graduação), para o Instituto Paranaense de Ensino - Maringá-PR (Pós-Graduação), para a FGV-Trecsson de Maringá-PR (Pós-Graduação), para a UEM-Universidade Estadual de Maringá (Pós-Graduação) e, como convidado, para a FACAPE (Petrolina-PE) e Faculdade Atual da Amazônia - Boa Vista - Roraima. Foi Diretor e Gerente de diversas empresas nacionais de porte, na região da Grande São Paulo, gerenciando áreas como Financeira, Administrativa, Comercial e de Recursos Humanos, destacando-se em diversos setores, unificando áreas humanas e sociais com finanças e jurídicas. Autor dos Livros A Roda da Vida, pela RCR Editora – São Paulo-SP, 1995; Como Formar o Preço de Venda, pela Editora Projus – Maringá-PR, 2004; Dano Moral, o problema do quantum debeatur nas indenizações por danos morais, pela Editora Juruá – Curitiba-PR, 2006 (Dissertação de Mestrado), Do Plano Diretor, pela Editora Projus – Maringá-PR, 2007 e Arbitragem no Brasil, pela Editora Projus – Maringá-PR, 2009.

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