edificacoes rurais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIOSA CENTRO DE CINCIAS AGRRIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AGRCOLA

ENG 450 Estruturas e Edificaes Rurais

Prof. Fernando da Costa Bata Construes Rurais e Ambincia

Edio: Jlio Csar de Melo Engenheiro Agrcola e Ambiental (31) 8425-5001

Viosa-MG

CARGAS ESTRUTURAISEstruturas, para o Engenheiro Agrcola, quer dizer Edificaes, incluindo equipamentos e dependncias dentro e em volta delas. O Estudo estrutural comea com a determinao das cargas, durante o projeto, e tem como base os limites das cargas previstas. O estudo estrutural inclui tambm a anlise das propriedades, aplicaes e usos dos materiais envolvidos. Na escolha dos materiais considera-se: tipo, classificao, custo e disponibilidade, associados com resistncia, durabilidade, manuteno, aparncia e facilidade de limpeza, entre outros.

Cargas permanentes, acidentais e devido ao vento.As cargas que agem sobre as edificaes rurais so, em geral, de um dos trs tipos: permanentes, acidentais e devido ao vento. As cargas permanentes so aquelas correspondentes ao peso prprio dos elementos estruturais e por todas as sobrecargas fixas. As cargas acidentais so aquelas que podem atuar sobre a estrutura de edificaes em funo do seu uso (produtos, pessoas, veculos, equipamentos, etc.). As cargas devido ao vento dependem do clima. Os valores de cargas acidentais considerados para edificaes rurais podem diferir daqueles empregados para construes urbanas. Normalmente estes valores so menores por considerar o nvel de importncia do elemento abrigado - por exemplo, mquinas quando comparadas com alunos em uma escola. A atuao das cargas em edificaes rurais complexa. As cargas impostas pelos ventos dependem do local, altura, forma e inclinao dos telhados. As cargas acidentais recomendadas variam tambm com a vida til e uso da estrutura, alm de ter que considerar o risco de vidas humanas. Todo elemento estrutural deve ser calculado e projetado para suportar uma das seguintes combinaes de cargas: Permanentes + acidentais, Permanentes + acidentais + vento, ou outra combinao necessria. O quadro 1 apresenta o peso especfico de diversos materiais que podem corresponder s cargas permanentes ou acidentais de edificaes. O quadro 2 apresenta as cargas e sobrecargas a serem consideradas nos diversos projetos.

2

QUADRO 1 Peso especfico de vrios produtos (kg/m3) Produtocido Carbnico (0o atm) cido clordrico(15o, 40o) cido ntrico (15o) cido sulfuroso (lq.) Acar branco gua destilada (4o) Alcatro lcool etlico (15o) Alumnio laminado Alvaiade Alvenaria de tijolo fresca Alvenaria de tijolo seca Amianto (asbesto) Amianto papelo Amido Angico Antimnio Ar (0o atm) Ardsia Areia fina seca Areia fina mida Areia grossa Argamassa Argila seca Argila mida Aroeira do serto Arroz Asfalto Aveia Azeite Barro Batata Benzina (0o) Borracha Bronze(8 a 14% estanho) Cabriva Clcio Cal hidratada Cal virgem Carvo de lenha branca Carvo fssil Caulim Cedro Centeio Cera Cerveja Chumbo Cimento em p Cloreto de clcio

kg/m31,980 1 190 1.520 1 490 1 610 1 000 1 200 790 2 700 - 2 750 6 700 1 570 - 1 700 1 420 - 1 550 2 800 1 200 1 530 960 - 850 6 700 1,29 2 630 - 2 670 1 400 - 1 650 1 900 - 2 050 1 400 - 1 500 2 100 - 2 500 2 000 - 2 250 2 600 1 210 - 1 160 770 - 850 1 100 - 1 330 360 - 560 840 - 941 1 700 - 2 800 1 060 - 1 130 900 920 - 960 7 400 - 3 900 980 - 870 1 500 1 150 - 1 250 900 - 1 300 135 - 180 1 200 - 1 500 2 200 580 - 420 680 - 790 965 - 970 1 020 - 1 040 11 250 -11 370 1 450 - 1 750 2 200 - 2 240

ProdutoCloro Cobre fundido Corda Cortia Couro seco Escria de alto forno Estanho fundido Farinha de trigo Ferro comum Gasolina (15o) Gelo Gesso calcinado Gesso peneirado Grafite Granito Graxa Hidrognio (0 atm.) Imbua Ip Jacarand Jatob L de carneiro Lato Mangans Manteiga Mrmore comum Milho em gro Neve Nquel Nitrato do Chile leo de algodo (15o) Osso Ouro laminado Palha (em feixe) Papel Parafina Parede de pedra Parede de tijolos cheios Parede de tijolos furados Pedra calcria Peroba Pinho brasileiro Prata laminada Salitre Terra argilosa seca Tijolo comum Trigo Vidro de janela Zinco laminado

kg/m31 330 8 800 1 160 - 1 950 240 860 2 500 - 3 000 7 260 430 - 470 7 800 800 - 850 880 - 920 1 810 1 250 1 900 - 2 300 2 510 - 3 050 920 - 940 0,089 650 1 030 - 960 910 - 720 1 020 - 850 1 320 8 400 - 8 700 7 150 - 8 300 970 - 950 2 520 - 2 850 700 800 125 8 400 - 8 650 2 260 920 1 800 19 300 -19 350 60 - 70 700 - 1 150 870 - 910 2 030 - 2 450 1 500 - 1 650 1 050 - 1 100 2 460 - 2 650 870 - 720 610 - 520 10 500 -10 600 1 990 - 2 030 1 700 - 2 000 1 400 - 1 550 700 - 830 2 400 - 2 600 7 130 - 7 200

3

QUADRO 2 Cargas e sobrecargas para edificaes rurais. Descrio Bovinos adultos Bezerros Caprinos e ovinos Sunos com at 90 kg Sunos com at 220 kg Eqinos Perus Galinhas e frangos de corte Estufas Residncias rurais Casas de mquinas Cozinhas no residencial Escolas rurais Escritrios Garagens e estacionamentos Laboratrios Telhado colonial Telhado com telhas francesas Telhado com telhas de fibrocimento Laje de forro Laje de piso Revestimento de forro Pisos sobre base de concreto Revestimentos de paredes Cargas kgf/m 500 290 240 250 340 500 140 100 250 200 750 300 300 200 300 300 140 125 90 120 180 50 50 - 80 25 Sobrecargas kgf/m 60 60 60 100 200 - 600 -

4

AO DO VENTO NAS EDIFICAES1 - Introduo A NBR-6123 tem por objetivo fixar condies que se exigem quando da considerao das foras devidas ao do vento, visando ao clculo das vrias partes que compem uma edificao. Convm relembrar que para o estudo das foras do vento necessrio, fundamentalmente, o conhecimento de trs parmetros: - presso de obstruo: depende essencialmente da velocidade do vento (V), numericamente igual a: q=

(Vk )216

1

q em kgf/m2, quando Vk em m/s. - coeficiente de presso: depende da geometria do edifcio, algebricamente igual a:

Cp = Cpe Cpi(fornece a presso num certo ponto, quando multiplicado pela presso de obstruo).

- coeficiente de forma: se refere a um certo ponto, enquanto o coeficiente de forma d os valores mdios em superfcies planas.C = Ce Ci

2 - Procedimentos para clculo O item 3 da NBR-6123 diz textualmente: As foras devidas ao vento sobre uma edificao devem ser calculadas separadamente para: a) elementos de vedao e suas fixaes (telhas, vidros, esquadrias, painis de vedao, etc.); b) partes de estrutura (telhados, paredes, etc.); c) a estrutura como um todo. As foras devidas ao vento so determinadas a partir dos seguintes parmetros: - velocidade bsica do vento (Vo), adequada ao local onde a estrutura ser construda. Essa velocidade bsica (Vo) deve ser multiplicada pelos fatores S1, S2 e S3 para ser obtida a velocidade caracterstica do vento (Vk). Assim tem-se simbolicamente: S1 = fator topogrfico S2 = fator de rugosidade do terreno S3 = fator estatstico

5

- presso de obstruo (q), determinada a partir da velocidade caracterstica (Vk), pela frmula (1) indicada no item anterior, onde:Vk = Vo . S1 . S 2 . S3

2

- coeficiente de presso e de forma, determinados experimentalmente e disponveis na literatura. Desta forma, o esforo imposto pelo vento na estrutura ou parte dela dado por: q final = Cp . q 3 - Velocidade bsica do vento: Vo De acordo com a NBR-6123, a velocidade bsica do vento Vo (em m/s) pode ser obtida no mapa do Brasil, onde se encontram as isopletas correspondentes (veja prxima figura). Definimo-la como sendo a velocidade de uma rajada de 3 segundos, exercida, em mdia, uma vez em 50 anos, a 10 m acima do terreno, em campo aberto e plano. Poder-se-ia dizer tambm que perodo mdio de retorno dessa velocidade de 50 anos, significando que em 100 perodos de 50 anos (5.000 anos) 63 dos perodos apresentaro uma velocidade mxima mdia anual superior ao valor fixado. 4 - Fatores Intervenientes 4.1 - Fator Topogrfico S1 Este fator leva em considerao as grandes variaes locais na superfcie do terreno, ou seja, aceleraes encontradas perto de colinas, protees conferidas por vales profundos, bem como os efeitos de afunilamento em vales. Lembramos que esses efeitos no foram levados em conta quanto da leitura do mapa das isopletas. A tabela I nos d os valores a serem usados.

6

Tabela I Fator topogrfico, "S"Caso a b c Topografia Todos os casos, exceto os seguintes: Encostas e cristais de morros em que ocorre acelerao do vento. Vales com efeito de afunilamento Vales profundos, protegidos de todo os ventos S1 1,0 1,1 0,9

4.2 - Fator de rugosidade S2 Este fator considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, da variao da velocidade do vento com altura acima do terreno (lembrar que Vo est relacionado com a altura do anemmetro a 10m) e das dimenses da edificao. Para edifcios muito grandes, o intervalo de durao das rajadas deve ser maior. A NBR-6123 classifica os terrenos em quatro categorias, no que diz respeito rugosidade. A fim de levar em conta - como dissemos anteriormente - o tamanho das edificaes, como conseqncia, o intervalo de durao das rajadas necessrias para perturbar todo o campo aerodinmico do edifcio, a NBR-6123 escolheu trs classes de edificaes e de seus elementos: - Classe A: durao das rajadas 3 segundos; aplicvel a todas as unidades de vedao, seus elementos de fixao e peas individuais de estruturas sem vedao; - Classe B: durao das rajadas 5 segundos, todas as edificaes nas quais a maior dimenso no exceda 50 m; - Classe C: durao das rajadas 15 segundos, todas as edificaes nas quais a maior dimenso exceda 50 m. A Tabela II nos d, de uma forma agrupada, as classificaes anteriores com a altura do edifcio sobre o terreno. Tabela II Fator "S2"Altura acima do terreno H (m) 3 5 10 15 20 30 40 50 60 80 100 Terreno aberto, sem obstrues, zonas costeiras, pradarias Rugosidade 1 A 0,83 0,88 1,00 1,03 1,06 1,09 1,12 1,14 1,15 1,18 1,20 B 0,78 0,83 0,95 0,99 1,01 1,05 1,08 1,10 1,12 1,15 1,17 C 0,73 0,78 0,90 0,94 0,96 1,00 1,03 1,05 1,08 1,11 1,13 Categorias de rugosidade do terreno Terreno aberto, com Terreno com muitas poucas obstrues, obstrues, pequenas granjas, casas de cidades, subrbios de campo grandes cidades Rugosidade 2 Rugosidade 3 Classe A B C A B C 0,72 0,67 0,63 0,64 0,60 0,55 0,79 0,74 0,70 0,70 0,65 0,60 0,93 0,88 0,83 0,78 0,74 0,69 1,00 0,95 0,91 0,88 0,83 0,78 1,03 0,98 0,94 0,95 0,90 0,85 1,07 1,03 0,98 1,01 0,97 0,92 1,10 1,03 1,01 1,05 1,01 0,96 1,12 1,08 1,04 1,08 1,04 1,00 1,14 1,10 1,06 1,10 1,06 1,02 1,17 1,13 1,09 1,13 1,10 1,06 1,19 1,16 1,12 1,16 1,12 1,09 Terreno com grandes e freqentes obstrues, centros de grandes cidades Rugosidade 4 A 0,56 0,60 0,67 0,74 0,79 0,90 0,97 1,02 1,05 1,10 1,13 B 0,52 0,55 0,62 0,69 0,75 0,85 0,93 0,98 1,02 1,07 1,10 C 0,47 0,50 0,58 0,64 0,70 0,79 0,89 0,94 0,98 1,03 1,07

7

4.3 - Fator estatstico S3 Pelo menos teoricamente existiriam diversas maneiras de se calcular a probabilidade de um determinado vento ser excedido durante um determinado perodo. Para tanto, so usadas as distribuies denominadas de extremos, sendo que a NBR-6123 adota a de Fishet-Tippett II ou de Frechet, matematicamente:

FV (V) = Pr ob[V < V ] = e

V

3

onde o parmetro denomina-se fator de velocidade caracterstica, dependendo ento da regio, e o parmetro denomina-se fator nico de forma e igual a 6,369. Todavia, cumpre salientar que impossvel afirmar, categoricamente, que um dado valor da velocidade no ser excedido. A Tabela III indica os mnimos valores do fato S3 que podem ser usados. A NBR-6123 tambm permite lanar mo de coeficientes de correo do fator S3 quando se deseja alterar o perodo mdio de recorrncia ou adotar nveis de probabilidades diferentes de ocorrncia, que podem variar de 10% a 90%.Tabela III Fator "S3 Grupo Descrio Edificaes cuja runa total ou parcial pode afetar a segurana ou possibilidade de socorro a pessoas aps uma tempestade destrutiva (hospitais, quartis de bombeiros e de foras de segurana, centrais de comunicaes, etc.). Edificaes para hotis e residncias. Edificaes para comrcio e indstria com alto fator de ocupao. Edificaes e instalaes industriais com baixo fator de ocupao (depsitos, silos, construes rurais, etc.). Vedaes (telhas, vidros, painis de vedao, etc.). Edificaes temporrias e estruturas dos grupos 1 a 3 durante a construo. S3 1,10

1

2 3 4 5

1,00 0,95 0,88 0,83

5 - Coeficientes aerodinmicos

A incidncia do vento sobre uma edificao, devido a sua natureza, provoca presses ou suces nos elementos da mesma, sendo que a intensidade destes esforos depende da forma e proporo da construo, bem como da localizao das aberturas. O exemplo mais simples aquele do vento atingindo perpendicularmente uma placa plana, conforme figura 2, na qual na face a barlavento o coeficiente de presso na zona central chega a +1,0, decrescendo at as bordas, e constante, e igual a 0,5, na face a sotavento. Assim sendo, esta placa estaria sujeita a uma presso total, na zona central, de cp = 1,5 = + 1,0 - (-0,5).

8

Assim sendo, as normas nada mais fazem do que apresentar tabelas e grficos dessas presses ou suces, mediante os denominados coeficientes de presso, tanto externos, Cpe, quanto internos, Cpi; e de coeficientes de forma, Ce e Ci, externos e internos, respectivamente, existindo ento diversas tabelas.

vento

Cp 1,0 0,5 0,0 -0,5

Em valores numricos a presso normal que age na placa obtida por: q t = q . Cp = 1,5q A tabela a seguir apresenta valores de Cp para diversas edificaes rurais.Tabela IV Coeficiente de presso, Cp, para edificaes ruraisSentido do vento

Duas guas10 a 30

Barlavento Parede Telhado

Sotavento Telhado Parede

Fundo ou paredes laterais

+0,7 +0,7Duas guas com uma lateral aberta

de +0,2(30o) a -0,7(10o) -0,7

-0,7 -0,7

-0,5 -0,5

-0,7 -0,5

-

-0,9

-1,2

-1,1

-1,4

+1,3Uma gua

+0,2

-0,2

-

-0,3

+0,7

-

-0,7

-0,7

-0,8

+0,6

0

-

-0,6

-0,9

+0,7 continuao...

-0,7

-

-0,4

-0,6

9

Sentido do vento

Barlavento Parede Telhado

Uma gua com uma abertura lateral

Sotavento Telhado Parede

Fundo ou paredes laterais

-

-

-1,3

-1,3

-1,3

+1,1Coberta

+0,5

-

-

-0,4

-

+0,6

-0,6

-

-

H

0,8H

-

-1,0

-1,1

-

-

Cobertura em arco

Parede a barlavento

Primeiro quarto da cobertura a barlavento

Centro da cobertura e primeiro quarto da cobertura a sotavento

Parede a sotavento

Paredes laterais

h

+0,8W

+2h/w 0,4

-0,7

-0,5

-0,7

h

-

+1,2h/w

-0,7

-

-0,7

W

* Os coeficientes listados so a soma vetorial da presso externa e interna. Coeficientes positivos correspondem presso propriamente dita, e negativos, suco.

A tabela a seguir apresenta valores de cp, ao redor de um silo ou tanque vertical (altura/dimetro < 5). Considerando a direo do vento, da esquerda para a direita, e o ngulo formado entre esta direo e a do ponto ao redor do silo ou tanque em que se deseja saber, pode-se verificar se h presso ou suco e a intensidade deste esforo.

10

ngulo B 0o 15o 30o 45o 60o 75o 90o 105o 120 135o 150o 165o 180o

Cp local +1,0 +0,8 +0,1 -0,8 -1,5 -1,9 -1,9 -1,5 -0,8 -0,6 -0,5 -0,5 -0,5

B

A tabela a seguir apresenta os coeficientes de presso, Cp, para serem utilizados quando do dimensionamento de elementos estruturais especficos e para beirais (com 90 cm ou 10% do vo).Tabela V Coeficientes de presso, Cp, para elementos estruturais isolados e beirais. Localizao dos elementos Parede Telhado Beirais e Cumeeira Edificaes fechadas +0,9 e -1,0 -1,0 -2,2 Edificaes abertas +0,9 e -1,5 -1.5 -2,2

A tabela a seguir apresenta os coeficientes de presso, Cp, para construes de vrios tipos.Tabela VI Coeficiente de presso, Cp, para construes de vrios tipos. Estrutura ou parte dela

Silos, tanques e chamins Postes de luz, de sinalizao e mastros para bandeiras Cercas, muros e outras divisriasAplicao:

Descrio quadrados circulares

Cp 1,3 em qualquer direo 0,6 em qualquer direo

qualquer forma elementos planos elementos circulares

1,4 em qualquer direo 1,7 em qualquer direo 0,9 em qualquer direo

Determine as presses, devidas ao vento, que agem em um armazm de p direito de 5m, inclinao do telhado de 30 e beirais de 0,8m, localizado em um vale da regio de Viosa.

11

q=

(Vk )216

Vk = Vo . S1 . S 2 . S3

Vo = 30m/s (grfico das isopletas), S1 = 0,90 (fator topogrfico) S2 = 0,88 (fator de rugosidade para h = 7,0m, terreno aberto com poucas obstrues, classe B) e S3 = 0,95 (fator estatstico, grupo 3). Ento:q=

(30.0,9.0,88.0,95)216

= 31,8Kgf / m 2

Coeficientes de presso a serem utilizados em clculos estruturais que envolvem a construo com um todo:q 0,2 0,7 q 0,7 q

0,7 q

0,5

q

30

0,7 q

LATERAIS

0,5 q

0,7 q

0,5 q

Coeficientes de presso a serem utilizados em clculos de elementos estruturais especficos (pilares, travessas, teras, cumeeiras, etc.).

2, 2

q

1, 0

q

2,2 q1,0 q 2, 2 qBEIRAIS

0,9 q 1,0 q

0,9 q 1,0 q

Obs: Em qualquer dimensionamento, o vento deve ser considerado atuando em todos os sentidos, e considerado o Cp de maior influncia tanto para presso como suco.

12

Problemas Propostos

1 - Que carga, por unidade de seo horizontal, devido ao do vento, deve ser considerada nos clculos das tesouras de uma coberta com 3m de p direito e 30o de inclinao para construo no Tringulo Mineiro? 2 - Para uma residncia, localizada em uma encosta da regio de Viosa, coberta com telhas pr-moldados de argamassa de cimento e areia, com dimenses de 24 cm x 34 cm, qual deve ser a massa de cada unidade para que no seja levantada pelo vento? 3 - Qual deve ser a resistncia trao apresentada pelos fixadores de cobertura de cimentoamianto com telhas de 1,10m x 1,83m para a coberta do problema 1? 4 - Qual deve ser o esforo horizontal, devido ao vento, considerado aplicado meia altura de um poste de eletrificao, com dimetro de 30 cm e 10 m de altura, para que o mesmo resista flexo?

13

CARGAS NOS SILOS PARA SILAGEM E BATATA1 - Silagem:

A Associao Nacional de Silos (NSA) recomenda uma densidade de fluido equivalente (DFE) de 320 kg/m3 para projetos de silos contendo silagem de milho de 68% a 72% de umidade. A presso lateral pode ser calculada tambm pela frmula de Rankine:

L = w.h.tg 2 45 2 onde: L w H = presso lateral, kgf/m2 = densidade da silagem, kg/m3 = profundidade da silagem, m, e = ngulo de atrito interno (repouso)

Eq. 1

A NSA recomenda ainda que a densidade mxima de 1041 kg/m3 e o ngulo mnimo de atrito de 32 sejam usados na equao 1 para obter uma DFE de 320 kg/m3. Uma DFE menor, 288 kg/m3, foi proposta por Curtis e Stanek, no relatrio da ASAE de 19794584. A carga vertical transmitida parede, devido ao atrito, por metro quadrado, Vw, em kgf/m2, estimada por:Vw = 96,88 . h1,08

Eq. 2

A carga vertical acumulada, a uma dada profundidade h, Vt em kgf/m de circunferncia da parede, devida ao peso da massa ensilada equilibrada por atrito dado por:Vt = 46,5 . h 2,08

Eq. 3

A carga vertical que atua sobre o fundo do silo, Vf, em kgf, pode ser calculada por: Vf = . r ( w . h . r 2 Vt ) Eq. 4

As paredes dos silos devem ser dimensionadas de forma a suportarem a presso lateral, L, e suportarem a compresso o peso prprio do silo e dos equipamentos instalados, mais a carga vertical absorvida pela parede devido silagem. O piso dos silos deve ser calculado de forma a suportarem o restante do peso da silagem que no foi transmitido s paredes, prevendo que esta carga pode aumentar em at 30% durante a descarga.

14

As fundaes dos silos devem ser dimensionadas para suportarem o peso prprio dos silos, o peso dos equipamentos, o peso da massa ensilada e no fundo, assumindo que estes esto apoiados nas mesmas.Aplicao:

Considerando um silo para forragem com 6 m de altura acima do solo e 3 m de dimetro, determinar: a) as presses laterais a 0, 2, 4 e 6 m de profundidade; b) a carga de compresso das paredes nas profundidades de 3 e 6 m; c) a carga transmitida pela silagem sobre o fundo; d) o nmero de barras de ferro CA-60 com dimetro 6 mm a serem distribudas nos intervalos de 0-2 m, 2-4 m e 4-6 m; e verificar se a alvenaria de tijolos macios, adm = 6 kgf/cm2, com 25 cm de espessura capaz de suportar os esforos de compresso a 6 m de profundidade.Resoluo

a) pela frmula de Rankine, considerando w = 1.041 kg/m3 e = 32; tem-se:32 L = 1041. h . tg 2 45 = 320.h 2 L0 = 0; L2 = 640 kgf/m2 L4 = 1280 kgf/m2 e L6 = 1920 kgf/m2 - pela densidade de fluido equivalente (DFE), L = 320.h, o que dar os mesmos resultados. b) Vt = 46,5.h2,08 Vt3 = 46,5.32,08 = 457 kgf/m de parede e Vt6 = 46,5.62,08 = 1932 kgf/m de parede c) Vf = .r ( w.h.r 2Vt )Vf = .1,5(1041 . 6 . 1,5 2 . 1932) = 25492 kgf

d)

o esforo de trao em uma faixa de 2 m de parede dado por:

15

T

d=3m L

2m T

2 T = L .3 m . 2 m T = 3 . L kgf Cada barra de ao CA-60 suporta a trao, considerando um coeficiente de segurana de 1,5, a seguinte carga: 60 kgf / mm 2 . (6 mm) 2 = 1131kgf . 1,5 4 T 0-2 = 3 . 640 = 1920 kgf N. de barras = T 2-4 = 3 . 1280 = 3840 kgf N. de barras = T 4-6 = 3 . 1920 = 5760 kgf N. de barras = e) 5760 kgf = 5,1 6 1131kgf 3840 kgf = 3,4 4 1131kgf 1920 kgf = 1,7 2 1131 kgf

um metro linear de parede pode suportar verticalmente: P = adm . A = 6 kgf/cm2 . 100 cm . 25 cm = 15000 kgf

Cargas verticais que atuam em um metro linear de parede: - Telhado com cobertura de barro tipo colonial e 0,5 m de beiral . r 2 . carga / m 2 . (1,5 + 0,25 + 0,5 m) 2 . 200 kgf / m 2 = = 313 kgf / m 2 r 2 (1,5 + 0,12) m

16

- Peso da alvenaria: 6 m . 1 m . 0,25 m . 1800 kg/m3 = 2700 kgf/m, - Peso da silagem absorvida pela parede por atrito: Vt6 = 1932 kgf/m, e - Peso de equipamentos: Carga Total = 313 + 2700 + 1932 + 1500 = 6445 kgf 6445 kgf . tg 45 + 2 2 sendo "D" o dimetro ou lado quadrado e "f" o ngulo de atrito interno. O presente trabalho apresentar duas conceituadas teorias empregadas no dimensionamento de silos, a de Janssen, desenvolvida na Alemanha, que a base da Norma Americana ACI 313 - 1977 e a teoria de Marcel e Andr Reimbert, desenvolvida na Frana.2 - Teoria de Janssen para silos verticais

Simbologia adotada: f f' G A U R h Pv Ph Pw Fa Pn K W ngulo de atrito interno, grau; superfcie da massa, verticalmente sobre o ponto A; Peso especfico do produto armazenado, kN/m3; rea de seo transversal do silo, m; Permetro do silo, m; =A/U = raio hidrulico mdio, m; Altura considerada para o clculo das presses, m; Presses verticais, MPa; Presso lateral ou horizontal, MPa; Presses de atrito, MPa; Fora vertical de atrito sobre a parede, kN/m; Presso normal na tremonha ou moega, MPa; (1 - sen f)/(1+sen f) = Relao entre a presso horizontal e a presso vertical; tg f' = Coeficiente de atrito, igual a relao entre a presso de atrito e a presso horizontal; H = Altura da clula, m; Cd = Coeficiente de sobrepresso de descarga; Ci = Coeficiente de impacto sobre o fundo. = = = = = = = = = = = = = =

20

Em 1985, Janssen, na Alemanha, lanou uma teoria que ficou famosa em todo o mundo e que ainda atualmente se utiliza. Ela consiste na determinao terica das presses em silos, em funo da altura da clula, analisando o equilbrio de uma massa de gros de altura dh a uma altura h (Figura 1).

h

Pv . A

dh

GA dh

WPhUdh

Pv dPv dh A dh

Figura 1 Presses de Janssen

Deste equilbrio demonstrou que: a) Presses verticais por m de superfcie transversal do silo: wkh GR Pv = 1 e R WK

b) Presses horizontais ou laterais por m de superfcie vertical da parede: wkh GR Ph = 1 e R W

c) Presses de atrito na parede por m de superfcie da parede: wkh Pw = GR 1 e R

d) Presses de descarga: Janssen desconhecia na poca o aumento de presses devido descarga do material.

21

3 - Norma Americana - ACI - 313 - 1977

A norma Americana "Recomendaes para o projeto e construo de clulas de concreto, silos e estruturas de armazenamento para materiais granulares (ACI - 313 - 77) e comentrios" fornece critrios recomendados para o projeto e construo de silos baseado em estudos analticos e experimentais.3.1 - Presses de carregamento

A norma americana adota valores de presses definidas por Janssen para o clculo das presses estticas de carregamento, ou seja: wkh GR Ph = 1 e R W

;

wkh GR Pv = 1 e R WK

A fora vertical do atrito sobre a parede pode ser estimada por: Fa = (Gh 0,8Pv ). R ; em KN / m3.2 - Presses de descarga 3.2.1 - presses de descarga central

As presses de descarga central so adotadas multiplicando os valores das presses de carregamento por um fator de sobrepresso Cd. Este fator varia em funo da altura e da relao entre altura (H) e lado (L) da clula (Quadro 1).3.2.2 - Presses de descarga excntrica

A norma no especifica valores para estas presses e comenta: "O efeito de descarga excntrica que causa presses no uniformes nas paredes deve ser considerado".3.3 - Presses sobre o fundo 3.3.1 - Fundo plano

As presses sobre o fundo plano so calculadas multiplicando-se o valor da presso vertical na altura h por um fator de sobrepresso Cd (Quadro 1) ou por um coeficiente de impacto Ci (Quadro 2), que leva em considerao a relao entre o volume total do silo e o volume de material carregado de uma s vez. Comenta tambm que para materiais no coesivos pode-se adotar 75% do valor de Cd. Desta forma,

Pv' = cd . Pv

ou

Pv' = Ci . Pv

(usar o maior dos valores)

22

QUADRO 1 Valores dos Coeficientes de Sobrepresso Cd.

topo do silo Hs = D.tg (f) h h H = hs + 4h h h base da parede do silo Sobrepresso no fundo dos silos Concreto armado Base metlica

H/D < 2 1,35 1,45 1,55 1,65 1,65 1,35 1,50

H/D = 2-4 1,45 1,55 1,65 1,75 1,75 1,35 1,50

H/D > 4 1,50 1,60 1,75 1,85 1,85 1,35 1,50

QUADRO 2 Valores dos coeficientes de impacto Ci Relao do volume carregado de uma s vez com a capacidade total do silo Fundo de concreto Coeficiente de impacto Ci Fundo metlico 3.3.2 - Fundo com tremonhas 1:2 1:3 1:4 1:5 1:6

1,4 1,75

1,3 1,6

1,2 1,5

1,1 1,35

1,0 1,25

Considerando uma superfcie inclinada em ngulo "a" com a horizontal:Pva = Ph . sen 2 a + Pv . cos 2 a ento,

Pv' a = Cd . Pva ou Pv' a = Ci . Pva3.4 - Caractersticas fsicas do material a armazenar

Para o clculo das presses, os dados de peso especfico "G", o ngulo de atrito interno "f" e o coeficiente de atrito do material ensilado com a parede "W" so apresentados no Quadro 3. O coeficiente de atrito dividido em trs classes, relacionadas com o tipo de superfcie com o qual o material est em contato: Classe 1 - Atrito praticamente dentro do material (chapas onduladas e trapezoidais). Classe 2 - Paredes medianamente lisas (concreto alisado, reboco, madeira aplainada na direo das fibras, chapas com parafusos ou rebites), Classe 3 - Paredes lisas (chapas de ferro ou alumnio soldadas, materiais sintticos e superfcie revestidas).

23

QUADRO 3 Caractersticas de alguns materiaisMaterial Trigo Milho Cevada Farinha de cereais Acar refinado Cascalho p/concreto Calcrio Clnquer Cimento Fosfato de Thmas xido de alumnio Peso especfico G (kN/m3) 9,00 8,00 8,00 7,00 9,40 18,00 13,00 18,00 l6,00 19,00 12,00 ngulo de atrito Interno (f) 31 31 26 27 29 31 30 33 28 27 27 Atrito material-parede W1 0,60 0,60 0,50 0,50 0,55 0,60 0,50 0,65 0,55 0,50 0,50 W2 0,40 0,40 0,35 0,35 0,50 0,50 0,40 0,55 0,40 0,40 0,45 W3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 0,30 0,50 0,30 0,40 0,45

4 - Teoria de Marcel e Andr Reimbert para silos verticais e horizontais. 4.1 - Silos Verticais

As presses estticas sobre as paredes dos silos verticais podem ser determinadas satisfatoriamente aplicando as equaes de Reimbert para silos cilndricos ou poligonais. Contudo, sequencialmente necessrio que se considere as sobrepresses durante o carregamento, descarregamento, ou ainda, o mais importante, durante o carregamento e descarregamento simultneos. Simbologia G f f '' f' b D a a' b' A U R h h1 H Ph Phmax Pv Pvmax Qmax Ac e = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = peso do produto ensilado (kg/m3); ngulo de atrito interno do produto; ngulo de atrito interno mnimo do produto; ngulo de atrito sobre as paredes do silo; ngulo do talude natural, em repouso; dimetro interno da seo reta de um silo cilndrico; lado interno da seo reta de um silo quadrado; lado interno menor da seo reta de um silo retangular; lado interno maior da seo reta de um silo retangular; rea da seo reta; permetro desta seo; A/U = raio hidrulico mdio; profundidade de uma seo reta, a partir de cima; altura do cone superior de gros; altura do silo; presso horizontal sobre a parede, devido aos gros, a profundidade h; presso horizontal mxima; presso vertical, devido aos gros, a profundidade h; presso vertical mxima; carga vertical total mxima; abscissa caracterstica correspondente ao silo; ngulo diedro do prisma de ruptura; relao de esbeltez, e = H/a ou e = H/1,12 D; 24

Frmulas gerais para o clculo de presses estticas.

Presso lateral mxima em um silo indefinido: Ph max = Altura do cone superior:h1 = D tg (b) 2

GD 4 . tg (f ' )

h1

DFigura 2 - Representao do Cone Superior.

Abscissa caracterstica: Silos cilndricos: h D Ac = f '' 3 2 4 tg (f ' ) . tg 45 2 Silos Poligonais: h U Ac = f '' 3 2 4 tg (f ' ) . tg 45 2 Silos quadrados: h a Ac = f '' 3 2 tg (f ' ) . tg 45 2

25

Presso horizontal unitria sobre as paredes a profundidade h:2 h Ph = Ph mx 1 + 1 Ac

Presso vertical unitria sobre uma seo reta a profundidade h: h 1 h1 Pv = G h + + 1 3 Ac Sobrepresses devido a descarga de silos verticais.

As sobrepresses provocadas pela descarga dos silos, e que so em geral superiores as presses estticas, fogem a possibilidade de um clculo analtico. As sobrepresses devidas a descarga simples, devidas a carga e descarga simultneas dos silos so funes da disposio e nmero dos orifcios de descarga, da esbeltez dos silos e da natureza dos produtos ensilados, onde e= H 1,12D ou e= H a

De acordo com os tipos de instalaes mais correntes, existem 14 casos principais de descarga, como se pode observar na figura a seguir:

Figura 3 - Tipos de casos de orifcios de descarga

Experincias recentes tm permitido confeccionar tabelas de coeficientes de sobrepresses a aplicar sobre os valores das presses estticas, nas diversas profundidades, tendo como base a esbeltez dos silos e segundo os diversos casos de orifcios de descarga. A seguir apresenta-se um exemplo de aplicao das tabelas dos coeficientes kd devidos a descarga e dos coeficientes de kb multiplicadores de kd para o caso de carga e descarga simultneas, para o caso do orifcio de descarga central (1 caso da figura 3).

26

QUADRO 4 Coeficientes de sobrepresses para o caso de somente descarga (kd) e carga-descarga simultneos (kb - multiplicador de kd), para descarga central. h\e 1 1,20 1,44 1,49 1,30 1,07 2 1,33 1,58 1,72 1,42 1,18 kd 3 1,43 1,70 1,91 1,51 1,17 4 1,51 1,79 2,06 1,57 1,20 5 1,59 1,86 2,21 1,63 1,22 1 1,14 1,18 1,14 1,15 1,15 2 1,25 1,26 1,22 1,28 1,30 kb 3 1,32 1,33 1,27 1,38 1,43 4 1,39 1,38 1,32 1,45 1,56 5 1,44 1,42 1,34 1,51 1,67

0,2H 0,4H 0,6H 0,8H 0,9H

h1

0,8 H

0,6 H

D H0,4 H

0,2 H 0,1 H

Figura 4 - Representao das alturas relativas.

Aplicao:

Para um silo de seo quadrada, de 5,00 x 5,00 m, com 15,00 m de altura, descontando o cone superior de gros, com orifcio de descarga central e que contenha areia, de densidade G = 1380 kg/m3 e ngulo de atrito interno mnimo e atrito sobre as paredes f''=f'=33 40' (caso particular de silos de paredes onduladas) tem-se: Altura do cone superior da massa ensilada: h1 = 5,00 tg (33 40' ) = 1,665 m 2

27

Abscissa caracterstica:

1,665 5,00 Ac = = 7,78 m 33 40' 3 2 tg (33 40' ) . tg 45 2 Esbeltez em silo:

e=

15,00 = 3,00 5

Presso lateral esttica mxima: Ph max = 1380 . 5,00 = 2590 Kg / m 2 4 . tg(33 40' )

Presso lateral unitria a profundidade h:2 h Ph = Ph mx 1 + 1 Ac

Os coeficientes respectivos kd e kb para uma esbeltez de silo igual a 3 so os seguintes:Nveis h Kd Kb 0,2 H 3,00 1,43 1,32 0,4 H 6,00 1,70 1,33 0,6 H 9,00 1,91 1,27 0,8 H 12,00 1,51 1,38 0,9 H 13,50 1,17 1,43

Clculo das presses estticas:h 3,00 6,00 9,00 12,00 13,50 Ph 1,241 1,764 2,033 2,189 2,244 Ph.kd 1,775 2,999 3,883 3,305 2,625 Ph.kd.kb 2,341 3,988 4,931 4,561 3,754

Tendo sido determinadas as presses estticas Ph, as presses dinmicas devidas somente a descarga so iguais: Ph.kd, e as sobrepresses devidas a carga e descarga simultneas so iguais a Ph.kb.kd para cada nvel considerado. possvel, ento, traar as curvas de presses e sobrepresses como se pode observar na figura a seguir.

28

h

3,00

6,00 Ph

9,00 Ph . K d

12,00 Ph . K d . K b 13,50 15,00 P

Figura 5 - Curvas de presso e sobrepresso em funo da altura.

Quando for o caso de um silo com tipo de descarga diferente da central, emprega-se os coeficientes constantes na tabela a seguir, que so resultantes da combinao das piores situaes de todos os casos apresentados na Figura 3.QUADRO 5 Coeficientes de sobrepresses para o caso de somente descarga (kd) e carga-descarga simultneos (kb - multiplicador de kd), para qualquer tipo de descarga. h\e 1 1,40 1,51 1,52 1,53 1,42 2 1,56 1,74 1,77 1,79 1,63 kd 3 1,69 1,93 1,99 2,00 1,81 4 1,80 2,09 2,16 2,17 1,95 5 1,89 2,04 2,32 2,36 2,09 1 1,14 1,18 1,22 1,20 1,19 2 1,27 1,26 1,22 1,30 1,35 kb 3 1,40 1,33 1,27 1,40 1,50 4 1,50 1,38 1,32 1,50 1,63 5 1,57 1,42 1,34 1,58 1,78

0,2H 0,4H 0,6H 0,8H 0,9H

Coeficientes de sobrecarga relativos a natureza dos produtos armazenados.

Os coeficientes dos Quadros 4 e 5 foram estabelecidos de acordo com experincias tomando a areia fina como material de base de estudo. No entanto, estes coeficientes variam de acordo com a natureza dos materiais armazenados. O Quadro 6 apresenta os valores mdios dos coeficientes relativos ao milho, ao trigo e a levedura qumica e designados Ka1 para o caso de descarga simples e Ka2 para o caso de carga e descarga simultnea. Estes coeficientes so multiplicadores dos coeficientes relativos a areia, de acordo com a esbeltez dos silos e do dispositivo de descarga dos mesmos.

29

QUADRO 6 Coeficiente para correo da sobrepresso em funo do tipo de material. Material Coeficiente 0,2 H 1,00 1,00 1,35 1,35 0,90 0,90 1,80 1,80 0,4 H 1,00 1,00 1,35 1,43 0,95 1,00 1,65 1,70 Alturas 0,6 H 1,00 1,00 1,50 1,65 0,95 1,00 1,45 1,50 0,8 H 1,00 1,00 1,30 1,70 0,95 1,05 1,20 1,30 0,9 H 1,00 1,00 1,15 1,80 1,05 1,15 1,10 1,15

Areia Milho Trigo Levedura qumica

Ka1 Ka2 Ka1 Ka2 Ka1 Ka2 Ka1 Ka2

Aplicao: 1 caso - Somente carga ou descarga

Calcular, para diferentes alturas, as presses laterais dinmicas que atuam em um silo quadrado de paredes rugosas, de 4,00 m de lado, que contenha trigo, com ngulo de atrito interno mnimo 25o e densidade 750 kg/m3 sobre uma altura de 20 m de coluna de gros, sendo a descarga central. Para a aplicao direta dos elementos tcnicos anteriormente estabelecidos, os clculos seguiro os seguintes nveis sucessivos, a partir da parte superior da massa ensilada: h1 = 0,2H = 4,00 m, h2 = 0,4H = 8,00 m, h3 = 0,6H = 12,00 m, h4 = 0,8H = 16,00 m, h5 = 0,9H = 18,00 m.Clculo das presses laterais sobre as paredes:

tg f'' = tg 25 = 0,466 f ' ' tg 2 45 = 0,406 2 Presso lateral mxima:

Ph max =

750 . 4,00 = 1610 Kg / m 2 4,00 . 0,466

30

Abscissa caracterstica com f' = f'': 4,00 . 0,466 4,00 = 6,42 m Ac = . 0,466 . 0,406 2 .3

A presso lateral, numa profundidade h dada por:2 h + 1 Ph = Ph mx 1 Ac

onde: P/ a altura de trigo h (m) 4,00 8,00 12,00 16,00 18,00 Ph (kg/m) 998 1292 1415 1478 1500

As presses laterais mximas Phdin nas alturas consideradas, devido a descarga, tem por valores as presses Ph, calculadas anteriormente, multiplicadas pelos coeficientes dinmicos kd e Ka1, relativos a descarga central e trigo, para uma esbeltez do silo igual a 20m/4m = 5: Phdin = Ph . kd . Ka1 P4din = 998 . 1,59 . 0,90 = 1428 kg/m P8din = 1292 . 1,86 . 0,95 = 2283 kg/m; P12din = 1415 . 2,21 . 0,95 = 2970 kg/m; P16din = 1478 . 1,63 . 0,95 = 2289 kg/m; P18din = 1500 . 1,22 . 1,05 = 1921 kg/m2. caso Carga e descarga simultneas

Calcular, segundo exemplo precedente, as presses laterais mximas sobre as paredes, nos mesmos nveis considerados, no caso de carga e descarga simultneas do silo.As presses laterais devidas a carga e descarga simultneas so dados por:

Phdin = Ph . kd . kb . Ka2 P4din = 998 . 1,59 . 1,44 . 0,90 = 2057 kg/m; P8din = 1292 . 1,86 . 1,42 . 1,00 = 3412 kg/m; P12din = 1415 . 2,21 . 1,34 . 1,00 = 4190 kg/m; P16din = 1478 . 1,63 . 1,51 . 1,05 = 3820 kg/m; P18din = 1500 . 1,22 . 1,67 . 1,15 = 3515 kg/mObs.: os dois exemplos anteriores mostram a importante economia que pode ocorrer quando os silos so equipados com tubos antidinmicos.

31

4.2 - Silos horizontais ou silos baixos

Recomenda-se usar as frmulas e os coeficientes para silos verticais para carga e descarga simultneas.Generalidades

Os silos horizontais de grande capacidade so geralmente constitudos por compartimentos paraleleppedicos, de grandes dimenses horizontais, e desta forma as frmulas de determinao dos valores das presses sobre essas paredes ou muros so diferentes daquelas que afetam as paredes dos silos verticais estudados anteriormente.Clculo de foras que atuam sobre as paredes dos silos horizontais.

Sabemos que no caso de uma massa ensilada de superfcie livre horizontal e de densidade "G" retida por uma parede vertical de altura "H", o valor da componente horizontal que atua a 1/3 da altura a partir da base, por unidade de comprimento dada por: G . H 2 180 2f ' ' 2 P= 2 180 +2f ' ' O plano de deslizamento do prisma de empuxo forma com a vertical um ngulo b = ( 45 - f''/3), que permite definir se o silo dever ser calculado com o horizontal ou vertical. Para tanto, tem-se que considerar dois casos, com a superfcie livre da massa ensilada horizontal ou superfcie inclinada segundo o talude natural.1 caso - Superfcie livre da massa ensilada horizontal

Consideremos a massa ensilada da figura 1, retida por dois muros verticais AB e DE, separados de d. Os primas de empuxo relativos a cada um dos muros AB e DE definem entre si uma zona (4) que no tem influncia sobre cada muro. Estes valores de empuxos so, portanto, calculados seguindo as frmulas para silos horizontais, e para este caso: f '' d 2H . tg 45 3 A C F DA45

F

C

D

F"3

H

(4)

Bd

E

B

E

Figura 6 - Silo com superfcie da massa ensilada plana.

32

Se pelo contrrio, a distncia d menor, tem-se uma interao dos prismas ABC e DEF e o silo dever ser calculado como vertical.2 caso - A superfcie livre da massa ensilada inclinada segundo o ngulo do talude natural.

O problema o mesmo anterior, no entanto a zona (3), corresponde ao prisma de empuxo, se estende a uma distncia d da parede AB, maior que no caso da superfcie livre horizontal. Assim a distncia "d" igual a (considerando b aproximadamente f''): f '' sen 45 3 . cos f ' ' d H. 2f ' ' sen 45 3

C

A (3)45

d/2 (2)

F"3

h

B

(1)

Figura 7 - Silo com massa ensilada em talude natural.

Neste caso, o valor da componente horizontal, aplicada a 1/3 da altura, por metro linear de comprimento dado por: G . H 2 180 2f ' ' 2 2f ' ' P= 1 + 2 180 +2f ' ' 180

4.3 - Solicitaes sobre os fundos ou tremonhas dos silos Distribuio das presses sobre o fundo plano de um silo

No caso de silos de fundo plano a presso vertical mdia que atua sobre este est dada pelas frmulas mencionadas anteriormente. Contudo, estudos experimentais tem mostrado que esta presso no est uniformemente repartida sobre o fundo em razo do atrito dos gros sobre as paredes. 33

m = 0,45R

Pressao mxima (aprox 1,2 Pv)

Pressao mdia Pv

Raio do silo: RFigura 8 - Distribuio da presso sobre o fundo do silo.

A presso vertical mxima a 0,45R da extremidade, atingindo 1,20 da presso mdia, e mnima prxima parede. No momento da descarga, a distribuio das presses se modifica profundamente, contudo no causa variaes maiores que 2% sobre as presses mximas sobre o fundo.Presses exercidas por um monte de areia, cnico, sobre um plano horizontal.

Neste caso, de um monte cnico de areia, no existe a influncia do atrito groparede, e as presses medidas permitem traar a curva C representativa de sua repartio sobre o plano horizontal, como na figura a seguir.

Pressao mxima (aprox. 0,58 G.h)

C

h

Figura 9 - Distribuio das presses sobre um fundo plano devido a um monte cnico de areia.

Verifica-se que, contrariamente ao que geralmente se admitia, a presso mxima no est no centro, onde a altura de areia maior.

34

TREMONHAS DE SILOS1 - Descrio das cargas

As clulas dos silos terminam em sua parte inferior em tremonhas, cuja forma geralmente tronco-cnica, no caso de clulas cilndricas, ou piramidais, no caso de clulas quadradas, ou retangulares, para permitir a descarga total da matria ensilada pela abertura de descarga situada no ponto mais baixo. Para os clculos das paredes das tremonhas so consideradas as seguintes cargas: 1 - A presso exercida pela massa ensilada na borda inferior das paredes verticais; 2 - O peso da matria ensilada contida na tremonha; 3 - O peso prprio das paredes das tremonhas; e 4 - O peso dos equipamentos fixados tremonha.

1.1 - Presses devidas matria ensilada

Seja uma tremonha ABCD cuja seo vertical se inscreve no tringulo ABE, de altura h", formado pelo plano horizontal, ao nvel inferior das paredes verticais da clula do silo, e pelas paredes inclinadas da tremonha, conforme figura a seguir.

h h'

Ah"/3

BG0h''

D E

C

Figura 10 - Presses devidas massa ensilada.

Seja "G" o centro de gravidade do tringulo e h' a altura a partir deste ponto: h' ' h' = h + 3 Calculam-se as presses horizontais, Ph, e vertical, Pv, devido a massa ensilada como se a parede fosse vertical at Go.

35

Considerando "i" a inclinao da parede da tremonha, tem-se as seguintes presses por unidade de superfcie:

P' h ' = Ph ' sen (i) P' v' = Pv' cos(i)Faz-se a composio das presses P'h' e P'v' e se obtm a resultante Rz', que se decompe em seqncia segundo as direes da tremonha e de sua normal, resultando nas componentes RT e RN.I

Pv'P' h'

CRz'P' v'

Ph'

RN RT

1.2 - Peso do material contido dentro da tremonha, da tremonha, e dos equipamentos.

Seja P1 o peso da massa ensilada dentro da tremonha e P2 o peso prprio de suas paredes e dos equipamentos fixados nela.

Figura 12 - Determinao do peso resultante da tremonha, do material contido nela e dos equipamentos.

Considerando S' a superfcie das paredes; para simplificar, a presso vertical que resulta por unidade de rea de parede : P + P2 P= 1 S Em seguida decompe-se esta presso vertical unitria em PT, segundo a direo da parede da tremonha, e PN, de acordo com a normal da referida parede. 36

1,0 0

Figura 11 - Composio e decomposio das presses.

PN

PT

P

2- Clculo dos elementos 2.1 - Tremonha tronco-cnica

Conhecendo os esforos normais (RN + PN) e tangenciais (RT + PT) na direo da tremonha, determina-se a resultante R destes esforos e, em seguida, procede-se a decomposio desta segundo a horizontal e a direo da parede, o que d a resultante horizontal RH para o clculo das armaduras meridianas.

RT+

PT

R

N

+

PNR

RM

RHFigura 13 - Composio e decomposio dos esforos.

Ferragens anelares

Consideremos dois anis separados de uma distncia x e seja r' o raio interior da tremonha na altura destas ferragens. O esforo de trao produzido por RH T = R H . x . r '

Este esforo de trao deve ser equilibrado por uma ferragem de seo w', cuja tenso admissvel trao a, de forma que: w ' . a = R H . x . r ' de onde se deduz que a separao entre os ferros dever serx = w '. a r'. R H

T

2r'

RH

r'X

X

T

Figura 14 - Representao das ferragens anelares

37

Ferragens radiais.

As ferragens radiais so colocadas para equilibrar o esforo de trao RM. Observa-se que, na juno da tremonha com a parede do silo, as ferragens verticais da parede do silo tero continuidade para a suspenso da tremonha.r'

i

Figura 15 - Representao do esforo radial da tremonha.

Para toda seo horizontal de raio r' da tremonha, toma-se a superfcie de parede situada abaixo desta seco, ligeiramente por excesso, como igual a: r'2 cos(i) Portanto, o esforo de trao sobre a seo R M . r'2 cos(i) e o esforo de trao, por metro de permetro da seco considerada, R M . r'2 R . r' = M 2 r ' cos(i) 2 cos(i)

Logo, se w' a seco da ferragem radial da tremonha, a separao destes ao longo da seco circular horizontal de raio r' :w ' . a . 2 cos(i) R M . r ' 2 x = w' a = x = cos(i) 2r ' R M . r'X

RM

frao =

x 2r '

38

Espessura da laje da tremonha

Supondo, como para as paredes verticais, que o concreto pode suportar, sem trincas, um esforo de trao de 25 kg/cm, para equilibrar o esforo de trao RH . r', o mesmo dever ter uma espessura, em cm,e R H . r' 100 . 25 . sen (i)

Anel de unio entre a parede cilndrica e a tremonha

Toma-se a carga total que atua sobre a tremonha, ligeiramente por excesso, considerando a presso vertical no ponto G, igual aPv' . S + P1 + P2

ou seja, por metro linear do anel,Pv' . S + P1 + P2 2r

A componente horizontal desta carga unitria Pv'.S + P1 + P2 cot g(i) 2r e o esforo de compresso do anel de unio da parede cilndrica com a tremonha, em kgf, (Pv' .S) + P1 + P2 N = cot g (i) 2r 2.2 - Tremonha piramidal regular

Os esforos normais (RN + PN), tangenciais (RM) e horizontais (RH) so os mesmos indicados anteriormente, e as paredes planas das tremonhas devem ser calculadas flexo composta, levando em conta os esforos normais (RN + PN), para os momentos fletores, e os esforos de trao correspondentes. Desconhece-se o clculo exato de placas trapezoidais como as paredes das tremonhas dos silos, contudo, tem-se obtido resultados satisfatrios com as regras prticas a seguir: "os momentos fletores positivos mximos em uma placa triangular regular so aproximadamente iguais aqueles em uma placa circular com mesma superfcie, e os momentos negativos mximos nos apoios so considerados iguais a 2/3 dos momentos positivos." Seja uma parede de tremonha, ABCD, em forma de trapzio, inscrita no tringulo eqiltero ABE de superfcie S. O raio do crculo equivalente ao tringulo r = S / e o momento positivo mximo devido a uma carga p, no caso de apoios livres, :

39

Mo =

3p r2 3pS = = 0,06 p S 16 16

onde p = RN+PN4,25A B

4, 25

3 2C D

E

Figura 16 - Equivalncias de sees.

No caso de uma parede engastada em seus apoios, toma-se com aproximao suficiente:

Momento do centro : M' = 0,06 pS . 0,8 = 0,048 p S2 Momentos em apoios : M ' ' = 0,06 pS . 0,8 = 0,032 p S 3Exemplo:

Seja a placa da figura anterior, submetida a uma carga de 3.000 kg/m, considerada uniformemente distribuda.- Superfcie da placa, segundo o tringulo eqiltero circunscrito:

S = 4,25 2 .

3 7,80 m 2 4

- Momento fletor no centro da placa:

M = 0,048 . 3000 . 7,80 = 1123 kgm- Momento fletor no apoio:

M ' = 0,032 . 3000 . 7,80 = 749 kgm 40

2.3 - Tremonhas assimtricas ou excntricas

Calcular separadamente os esforos para cada parede da tremonha levando em conta o respectivo ngulo de inclinao.Esforos verticais de trao nas paredes da tremonha

Aos clculos anteriores temos que acrescentar as ferragens necessrias para a suspenso das tremonhas at as paredes das clulas, que trabalham como vigas laminares. As cargas so as seguintes:1 - Ao nvel inferior das paredes verticais da clula, AB, a carga vertical devida a massa ensilada: h h 2 Q H = G . S h + 3 (h + A )

2 - Peso da massa ensilada que carrega a tremonha, que ligeiramente por excesso, igual a:

P1 = G .S .

h' ' 3

3 - Peso prprio das paredes da tremonha e peso dos equipamentos fixados a elas, ou seja P2.

Considerando o permetro igual a "c", o esforo de trao nas paredes verticais, no metro linear de parede , portanto:T= Q H + P1 + P2 c

Chamado de w' a seo de ferragem escolhida para barras de suspenso, a separao entre estas barras ser:x = w '. a . c Q H + P1 + P2

No caso de tremonhas assimtricas, a carga total dever ser repartida proporcionalmente em funo da superfcie de cada parede adjacente da tremonha.

Figura 17 - Tremonha piramidal.

41

Compresso das vigas superiores da tremonha.

O esforo total de trao para uma parede de tremonha de superfcie S'' RM . S''. Do mesmo modo o esforo de trao para a parede oposta de S''', RM . S'''. Tais esforos produzem nas vigas de contorno uma compresso mdia horizontal de RM . cos(i) . (S' '+S' ' ') 2Presses e sobrepresses sobre as paredes das tremonhas

As sobrepresses nas tremonhas podem ser calculadas tendo como base os pontos 1, 2 e 3 ao longo da parede da tremonha, conforme figura a seguir:

D

2

'

31

'0,

Figura 18 - Determinao das sobrepresses em tremonhas.

Tomando como base a inclinao de 45 para a tremonha, os coeficientes de majorao das presses nos pontos 1, 2 e 3 so fornecidos no quadro a seguir:

QUADRO 7 Coeficientes de sobrepresses, Kt45, no ponto 1, para as tremonhas. Material ensilado Areia fina Milho Trigo Levedura 1 1,70 2,55 2,60 3,00 Descarga 2 1,35 1,77 1,80 2,00 3 1,00 1,00 1,00 1,00 1 1,95 2,80 2,90 3,40 Carga-descarga 2 1,47 1,90 1,95 2,20 3 1,00 1,00 1,00 1,00

42

l

l

l

l

0, 2

l

1

Verifica-se, portanto, que no ponto 3, nas cercanias do orifcio de descarga, no se manifesta nenhum fenmeno de sobrepresso. O coeficiente Kt pode ser corrigido em funo da inclinao das paredes das tremonhas empregando-se as equaes e figura a seguir:* para 0 < A1 45 A K tA1 = 1,02 + (K t 45 1,02) . 1 45

* para 0 < A 2 45descarga simplesA K tA 2 = K d . K a1 + (K t 45 K d . K a 2 ) . 2 45

carga e descarga simultneos,A K tA 2 = K d . K a 2 . K b + (K t 45 K d . K a 2 . K b ) . 2 45

FUNDO HORIZONTALA1 45 A2

Figura 19 - Representao das inclinaes das tremonhas.

43

ANLISE ESTRUTURAL1 - Domnio de estudo da anlise estrutural

A anlise estrutural a parte da mecnica que estuda as estruturas, com o objetivo determinar os esforos e as deformaes a que elas ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variaes trmicas, movimentos de seus apoios, etc.). As estruturas se compem de uma ou mais peas, ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estvel, isto , um conjunto capaz de receber solicitaes externas, absorv-las internamente e transmiti-las at seus apoios, onde estas solicitaes externas encontraro seu sistema esttico equilibrante. As peas que compem as estruturas possuem, evidentemente, trs dimenses. Trs casos podem ocorrer: a) duas dimenses so pequenas em relao terceira; b) uma dimenso pequena em relao s outras duas; c) as trs dimenses so considerveis. No 1 caso, que corresponde ao da maioria das estruturas da prtica, a dimenso maior o comprimento da pea, estando as duas outras dimenses situadas no plano a ele perpendicular (plano da seo transversal da pea). Neste caso, o estudo esttico da pea, que ser denominada barra, pode ser feito considerando-a unidimensional, isto , considerando-a representada pelo seu eixo (lugar geomtrico dos centros de gravidade de suas sees transversais). Uma barra ser dita reta ou curva, conforme seu eixo seja reto ou curvo. Conforme os eixos das diversas barras que compem a estrutura estejam ou no contidos no mesmo plano, a estrutura ser chamada estrutura plana ou espacial. O 2 e o 3 casos so aqueles, respectivamente, das placas e cascas e dos blocos (caso das barragens) e no sero abordados neste trabalho.2 - Condies de equilbrio

Para um corpo, submetido a um sistema de foras, estar em equilbrio, necessrio que elas no provoquem nenhuma tendncia de translao nem rotao a este corpo. Como a tendncia de translao dada pela resultante R das foras e a tendncia de rotao, em torno de qualquer ponto, dada pelo momento resultante m destas foras em relao a este ponto, basta que estes dois vetores R e m sejam nulos para que o corpo esteja em equilbrio. A condio necessria e suficiente para que um corpo esteja em equilbrio, submetido a um sistema de foras, que estas foras satisfaam s equaes vetoriais:R =0m=0

I.5

em que R a resultante das foras e m seu momento resultante em relao a qualquer ponto do espao.

44

Levando-se em conta que:

r r r R = (X) i + (Y) j + (Z) k

r r r m = (Mx) i + (My) j + (Mz) k As 2 equaes vetoriais de equilbrio (I.5) podem ser substitudas, cada uma delas por trs equaes escalares de equilbrio, obtendo-se o grupo das seis equaes (I.6), que so as seis equaes universais da esttica, regendo o equilbrio de um sistema de foras, o mais geral, no espao. X=0 MX = 0 Y = 0 MY = 0 Z = 0 MZ = 0 I.6

3 - Graus de liberdade, apoios, estaticidade e estabilidade 3.1 - Graus de liberdade

J sabemos que a ao esttica de um sistema de foras no espao, em relao a um dado ponto, igual de sua resultante e de seu momento resultante em relao quele ponto, provocando, a primeira, uma tendncia de translao e, o segundo, uma tendncia de rotao. Como, no espao, uma translao pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos tri ortogonais e, uma rotao, como a resultante de trs rotaes, cada uma em torno de um desses eixos, dizemos que uma estrutura no espao possui um total de 6 graus de liberdade (3 translaes e 3 rotaes, segundo 3 eixos tri ortogonais). evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda tendncia de movimento da estrutura, a fim de ser possvel seu equilbrio. Esta restrio dada por apoios, que devem impedir as diversas tendncias possveis de movimento, atravs do aparecimento de reaes destes apoios sobre a estrutura, nas direes dos movimentos que eles impedem, isto , dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reaes de apoio se oporo s cargas aplicadas estrutura, formando este conjunto de cargas e reaes um sistema de foras em equilbrio, e regidas, portanto, pelos grupos de equaes deduzidos no item anterior, para os diversos tipos de sistemas de foras que podem ocorrer na prtica.3.2 - Apoios

A funo dos apoios, conforme vimos em 3.1, a de restringir graus de liberdade das estruturas, despertando com isto reaes nas direes dos movimentos impedidos. Eles sero classificados em funo do nmero de graus de liberdade permitidos (ou do nmero de movimento impedidos), podendo ser, ento, de 6 tipos diferentes (isto , podendo permitir 5, 4, 3, 2, 1 ou nenhum grau de liberdade). Os exemplos seguintes esclarecero. a) Seja o apoio representando na Figura I-21, em que temos a estrutura apoiada sobre uma esfera perfeitamente lubrificada. O nico movimento que ela ser capaz de impedir a translao na direo vertical Oz, aparecendo com isto uma reao Rz agindo sobre a estrutura, conforme indica a Figura I-21. O apoio ser dito, ento, um apoio com 5 graus de liberdade (ou com 1 movimento impedido).45

z

B

y

x

RZFigura I-21

b) Seja, agora, o apoio da Figura I-22, constitudo por trs esferas ligadas entre si por trs hastes, de modo a ficar formado um conjunto rgido. Ficam impedidas, no caso, alm da translao na direo z, as rotaes em torno dos eixos x e y. O apoio ser dito, ento, um apoio com 3 graus de liberdade (que so, no caso, a rotao em torno do eixo Oz e as translaes nas direes dos eixos Ox e Oy) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecero, agindo sobre a estrutura, as reaes Mx, My e Rz indicadas na figura. c) O esquema das Figura I-23 representa a ligao rgida entre a estrutura e seu apoio, de dimenses to maiores que as da estrutura, que podem ser consideradas infinitas em presena daquelas. Neste caso, o apoio impedir todos os movimentos possveis, sendo dito um apoio sem grau de liberdade (ou com todos os movimentos impedidos). Correspondendo a cada um dos movimentos impedidos, aparecem, agindo sobre a estrutura, as reaes Rx, Ry, Rz, Mx, My e Mz indicadas na figura. Tal apoio chamado engaste.z

y

x

Mx

My

RZ

Figura I-22

Estrutura

zApoio

y

x

Rx Mx Rz Mz

Ry

My

Figura I-23

46

3.2.1 - Estruturas planas carregadas no prprio plano.

Para o caso das estruturas planas carregadas no prprio plano, que o mais freqente nas anlises estruturais, existem 3 graus de liberdade a combater, seno vejamos. Supondo a estrutura situada no plano xy, conforme indica a Figura I-24, os graus de liberdade a combater so as translaes nas direes Ox e Oy e a rotao em torno de um eixo perpendicular ao plano (no caso, Oz), pois estas so as nicas tendncias de movimento capazes de serem produzidas pelo sistema de foras indicado.z

F1

F2

F3

F4

yFigura I-24

So os seguintes os apoios utilizveis para impedir estes movimentos:a) Apoio do 1 gnero do charrioty

Rx

PINO ROLOS

I-25.3 I-25.2

I-25.1

Figura I-25

O apoio do 1 gnero pode ser obtido por uma das duas formas representadas nas Figuras I-25.1 e I-25.2. Na primeira, temos a estrutura apoiada sobre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamento na direo y, permitindo livre rotao em torno dele, assim como livre deslocamento na direo x; na segunda, a rotao assegurada por um pino sem atrito e a translao, na direo x, pelos rolos diretamente em contato com o plano que serve de apoio, continuando impedido o deslocamento na direo y. Representa-se, esquematicamente, o apoio do 1 gnero pela forma indicada na Figura I-25.3. Na direo do nico movimento impedido aparece uma reao de apoio R.b) Apoio do 2 gnero, articulao ou rtulay

Hx

H V V

PINO

I-26.1

Figura I-26

I-26.2

I-26.3

47

Se, no apoio da Figura I-25.2, substituirmos os rolos por uma chapa presa completamente ao plano-suporte, conforme indica I-26.1, estaremos impedindo todas as translaes possveis, permanecendo livre apenas a rotao, assegurada pelo pino lubrificado indicado na figura. A este apoio, capaz de restringir todas as translaes possveis no plano, chamamos de apoio do 2 gnero. Ele representado, esquematicamente, por uma das 2 formas indicadas em I-26.2 e I-26.3. Na direo das translaes impedidas, aparecero as reaes H e V indicadas na figura.c) Apoio do 3 gnero ou engaste.

Se ancorarmos a estrutura num bloco de dimenses que possam ser consideradas infinitas em presena das dimenses da estrutura, conforme indica a Figura I27.1, na seo de contato entre ambos o bloco estar impedindo, por sua enorme rigidez, todos os movimentos possveis da estrutura e dizemos ento que ele engasta a estrutura. Um engaste ser representado, esquematicamente, da forma indicada em I-27.2, aparecendo, na direo de cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translaes e 1 rotao), as reaes de apoio H, V e M indicadas.yESTRUTURA

xH M

ENGASTE

V

Figura I-27

3.2.2 - Clculo das reaes de apoio

Definidos os apoios, o clculo de suas reaes imediato, pois elas so foras (ou momentos) de ponto de aplicao e direo conhecidas e tais que equilibrem as cargas aplicadas na estrutura. Sero calculadas, ento, a partir das equaes de equilbrio institudas no item 3 deste captulo. Os exemplos seguintes esclarecem.Exemplo: Calcular as reaes de apoio para a estrutura da Figura I-28.B8 mt 6t4t

C3m

D3m

A4m 4m

Figura I28

48

Considerando apoio do 2 gnero em A e do 1 gnero em D, suas reaes, nas direes que j conhecemos, e arbitrando para elas um sentido, conforme indica a Figura I29, teremos, a partir das equaes de equilbrio I-10, que regem o equilbrio de um sistema de foras coplanares:8 mt 6t4t

V HA

D

V

A

Figura I29

MA = 0 => 8VD + 8 - 6 . 4 - 4 . 6 = 0 VD = 5t Y = 0 => VA + VD = 6 VA = 1t X = 0 => HA = 4t Os sinais positivos encontrados confirmam os sentidos arbitrados para as foras. Caso tivssemos encontrado algum sinal negativo, isto quereria dizer que o mdulo da reao seria encontrado, e o sentido correto inverso do arbitrado, no sendo necessrio refazer qualquer clculo.Exemplo: Calcular as reaes de apoio no engaste A da estrutura espacial da Figura I-30, cujas barras formam, em todos os ns, ngulos de 90.5t 3t

4t 2t

D

2m

B1t

C

4m

A3m

Figura I30

49

Como um engaste impede todos os movimentos possveis, nele aparecero as reaes de apoio indicadas na Figura I-31, que sero calculadas a partir do grupo de equaes I.6 que regem o equilbrio de um sistema de foras no espao. Teremos:5t 3t MOMENTOS

+ + +

Z

+2t 1t

4t

FORAS

+ +

AXA(MX)A

YA

(MY)A

Y

+

ZA(MZ)A

+

+X

Figura I31

X = 0 => XA = 1 t

Y = 0 => YA = -1 t

Z = 0 => ZA = -1 t

Mx = 0 => (Mx)A + 2 . 4 - 4 . 3 - 3 . 4 + 5 . 3 = 0 (Mx)A = 1 mt My = 0 => (My)A - 1 . 4 + 5 . 2 = 0 (My)A = -6 mt Mz = 0 => (Mz)A + 1 . 3 - 3 . 2 = 0 (Mz)A = 3 mt As reaes de apoio no engaste A so, ento, as indicadas na Figura I-32.

A1t 1 mt 1t 3 mtFigura I32

1t

6 mt

50

3.3 - Estaticidade e estabilidade

Acabamos de ver que a funo dos apoios limitar os graus de liberdade de uma estrutura. Trs casos podem ento ocorrer: a) Os apoios so em nmero estritamente necessrio para impedir todos os movimentos possveis da estrutura. Neste caso, o nmero de reaes de apoio a determinar igual ao nmero de equaes de equilbrio disponveis (isto : nmero de incgnitas = nmero de equaes), chegando-se a um sistema de equaes determinado que resolver o problema. (Foi o caso dos exemplos I.2 e I.3 anteriores.) Diremos, ento, que a estrutura isosttica, ocorrendo uma situao de equilbrio estvel. b) Os apoios so em nmero inferior ao necessrio para impedir todos os movimentos possveis da estrutura. Neste caso, evidentemente, teremos mais equaes que incgnitas, chegando-se a um sistema de equaes impossvel, nos casos gerais. A estrutura ser dita hiposttica e ser, ento, instvel. As estruturas hipostticas so, ento, inadmissveis para as construes. c) Os apoios so em nmero superior ao necessrio para impedir todos os movimentos possveis da estrutura. Neste caso, teremos menor nmero de equaes que de incgnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equaes universais da esttica no sero, ento, suficientes para a determinao das reaes de apoio, sendo necessrias equaes adicionais de compatibilidade de deformaes. A estrutura ser dita hiperesttica, continuando o equilbrio a ser estvel (alis, poderamos dizer, um pouco impropriamente, que o equilbrio mais que estvel).4 - Estruturas planas carregadas no prprio plano

Seja a estrutura representada na Figura I-50.1, que admite um plano P de simetria, estando todas as cargas aplicadas nesse plano.

P

S S

I-50.1

I-50.2

Figura I50

51

Destacando o trao da estrutura neste plano de simetria P, que contm o eixo da estrutura, obtemos o esquema representado na Figura I-50.2, em que a linha tracejada representa o eixo da estrutura. Trata-se, ento, de um sistema de foras coplanares, caso particular de um sistema de foras no espao. Na estrutura plana, carregada no prprio plano, o momento Mz se confunde com o momento resultante M das foras situadas de um dos lados da seo em relao ao seu centro de gravidade e prefervel represent-lo por uma curva que indica seu sentido de rotao, conforme mostra a Figura I-51, ao invs de um vetor de dupla seta, pois a curva pertence ao plano das cargas, ao passo que o vetor de dupla seta seria a ele perpendicular, o que nos obrigaria a representar uma terceira dimenso perpendicular ao plano. O momento fletor ser definido, como sempre, pelas fibras que est tracionando.E

MS

S

S

MS

F

NS QS

NS QS

Figura I51

O esforo cortante Qy se confunde, tambm, com o esforo cortante resultante na seo (pois Qz = 0) e represent-lo-emos, ento, por Q. Sua conveno de sinais a mesma do caso do espao, mas, apenas para evitar o grau de liberdade na escolha da orientao dos eixos, orientamos o eixo y para cima (a direo x sempre a do eixo da barra em estudo). Podemos, ento, dizer que o esforo cortante positivo quando, calculado pelas foras da esquerda, for voltado para cima, ou, quando calculado pelas foras da direita, for voltado para baixo. Na Figura I-51, representamos os esforos simples, M, N, Q, que podem atuar numa seo S de uma estrutura plana. Notar que os esforos indicados como atuando na parte da direita (Figura I-51.2) foram calculados com as foras existentes na parte da esquerda e vice-versa. Resumindo, podemos definir:Esforo normal: a soma algbrica das projees das foras atuantes de um dos lados da seo na direo do eixo da estrutura (direo normal seo); Esforo cortante: a soma algbrica das projees das foras atuantes de um dos lados da seo na direo perpendicular ao eixo da estrutura; Momento fletor: a soma algbrica dos momentos das foras atuantes de um dos lados da seo em relao a seu centro de gravidade.

As convenes de sinais para esforo normal e esforo cortante j foram explicadas anteriormente e o momento fletor deve ser acrescido da informao de que fibras da seo ele traciona.Exemplo: Obter os esforos simples atuantes nas sees S1 e S2 da estrutura da Figura I-55, submetida ao carregamento indicado.

52

9t

B

S2

C2m

S12m

9t

DVD2m

AVA

HA3m 3m 3m

Figura I55

Para obtermos os esforos simples, necessitamos inicialmente calcular as reaes de apoio, indicadas na Figura I-55. A partir das equaes de equilbrio, temos: MA = 0 => 9 . 2 + 9 . 6 - 9 VD = 0 VD = 8 t Y = 0 => VA + VD = 9 VA = 1 t X = 0 => HA = 9 t (Os sinais positivos encontrados indicam que os sentidos arbitrados para as reaes na Figura I-55 esto corretos). Temos ento:a) Seo S1

Calculando pelas foras esquerda, temos o esquema indicado na Figura I56.1, a partir do qual, obtemos: NS1 = -1 t (compresso) QS1= 0 MS1 = +18 mt {o sinal (+) indica que as fibras tracionadas so as do lado pontilhado, conforme a Fig. I-56.2}.BD

D

S1S1 1t 9-9=0

(9x4) - (9x2) = 18 mt

I-56.1

I-56.2

Figura I56

Observao: Os esforos poderiam tambm ser calculados pelas foras da direita, obtendose os mesmos valores, evidentemente, conforme indica a Figura I-57. 53

9-8=1t 0 (8x9) - (9x6) = 18 mtES1E

Figura I57

b) Seo S2

Calculando pelas foras esquerda temos, conforme o esquema da Figura I-58: NS2 = 0 QS2 = 1 t MS2 = 21 mt9-9=0 S2DS2

D

1t

Figura I58

Exemplo: Calcular os esforos simples atuantes na seo S da estrutura da

Figura I-59.4mS45

4m2t 2t

10 mFigura I59

Estando a estrutura submetida a um carregamento auto-equilibrado, as reaes de apoio so nulas (pois no necessria fora adicional alguma para equilibrar o carregamento atuante) e os esforos simples na seo S, calculados pelas foras esquerda da seo valem, a partir do esquema da Figura I-60:

54

D DSNS MS = 2 . 4 = 8 mt

QS

2t

2 = 2t 2 2 = 2t Q S = 2 2 M S = 8 mt N S = 2

Figura I60

Observao: Os sentidos dos esforos indicados na Figura I-60 esto corretos; os sinais so negativos em obedincia s nossas convenes de sinais.

5 - Cargas

At agora, s lidamos com cargas concentradas em nossos exemplos. Faamos, ento, um estudo das diferentes leis de distribuio de cargas que podem ocorrer na anlise estrutural.5.1 - Cargas concentradas

Suponhamos uma roda de um caminho descarregando uma reao P sobre uma ponte, conforme simboliza a Fig. I-61. Esta reao P ser descarregada ao longo da rea de contato da roda com a ponte, que a bastante pequena (caracterizada por a), mas no nula. No haver, ento, a aplicao, rigorosamente falando, de uma carga concentrada P na estrutura; haver, sim, a aplicao de uma carga distribuda, mas segundo uma rea to pequena que podemos consider-la nula em presena de dimenses da estrutura. As cargas concentradas so, ento, uma forma aproximada de tratar cargas distribudas segundo reas to pequenas (em presena das dimenses da estrutura), que podem ser consideradas nulas. Neste caso, o erro cometido, por esta razo, absolutamente desprovido de significado e, portanto, inteiramente tolervel, tendo em vista a simplificao de trabalho de clculo que ele possibilita.

P

aFigura I61

55

5.2 - Cargas distribudas

Suponhamos que a estrutura E, indicada na Fig. I-62, suporte o corpo C indicado, cujo peso especfico . Este peso introduzir, evidentemente, um carregamento na estrutura E, carregamento este distribudo e contnuo, cuja taxa de distribuio vamos calcular.

S

C

dP

dS

E

Figura I62

O volume do corpo que carrega um trecho de comprimento "ds" da estrutura Sds, sendo S a rea da seo determinada em "C" por um plano perpendicular ao eixo da estrutura. O peso deste volume ser: dP = Sds e a taxa de distribuio de carregamento q(s) ao longo do eixo da estrutura vale: dP = S dS conforme indica a Fig. I-63, variando ento proporcionalmente com a variao do valor da rea "S". q(s) =q=S

EIXO DA ESTRUTURA

Figura I63

Os tipos mais usuais de cargas distribudas que ocorrem na prtica so as cargas uniformemente distribudas (S = constante) e as cargas triangulares (casos de empuxos de terra e de gua, principalmente), indicadas na Fig. I-64.

q

P

I-64.1 Carga uniformemente distribuda

I-64.2 Carga triangular

Figura I64

56

Exemplo: Obter as reaes de apoio para a estrutura da Fig. I-66.

2 t/m 1 t/m2mS A B

1t2m

6m

Figura I66

Para obter as reaes de apoio devemos, inicialmente, substituir as cargas distribudas por suas resultantes (que produzem os mesmos efeitos estticos que elas). Assim, temos, levando em conta as concluses obtidas para carregamento distribudo neste item, a partir do esquema da Fig. I-67, as seguintes reaes de apoio: MA = 0 => 6VB + 1 . 2 - 4 . 2 - 6 . 4 = 0 VB = 5 t Y = 0 => VA = 6 - VB = 1 t X = 0 => HA = 4 - 1 = 3 t (Os sinais positivos confirmam os sentidos arbitrados na Figura I-67).

2m1 2 x (2x6) = 6 t

1x4 = 4 t

1tHA VAFigura I67

2m

VB

57

Exemplo: Obter esforos simples atuantes na seo "S" da Fig. I-66. Entrando, por exemplo, com as foras atuantes esquerda da seo e que se encontram indicadas na Fig. I-68, obtemos, substituindo o carregamento distribudo atuante nesse trecho por sua resultante (que vale 2 t, na posio indicada):

NS = -1 t; QS = 3 - 2 = 1 t; MS = 3 . 2 - 2 . 1 = 4 mt.S

S MS2t1m 1m

A1tFigura I68

B3t

Vale ressaltar que, para fins de determinao dos esforos simples atuantes numa seo, devemos substituir por sua resultante, apenas, as cargas distribudas atuantes de um dos lados da seo.5.3 - Cargas-momento

Uma estrutura pode, alm de estar solicitada por cargas-fora (concentradas e ou distribudas), estar solicitada por cargas-momento. As cargas-momento, cujo tratamento esttico no apresenta dificuldade adicional alguma, ocorrem mais raramente como carregamento realmente atuante na estrutura, mas tem importncia fundamental como ferramenta de resoluo das estruturas hiperestticas. Uma carga-momento , evidentemente, caracterizada pelo seu mdulo, direo, sentido e ponto de aplicao, conforme exemplifica o caso da fig. I-69.

MAFigura I69

58

Exemplo: Obter as reaes de apoio para a estrutura da Fig. I-70.3 mt 8 mt 7 mt

A

B

1,5 m

3m

2m

1,5 m

Figura I70

3 mt

8 mt

7 mt

VA8mFigura I71

VB

Tem-se duas formas de encarar este problema. A primeira consiste na utilizao pura e simples das equaes da Esttica, conduzindo, a partir do esquema da Figura I-71 aos seguintes resultados: MA = 0 => 8VB + 7 3 8 = 0 Y = 0 => VA = VB = 0,5 t X = 0 => HA = 0 A outra forma - muito mais elegante - de encarar o problema verificar que existe uma carga-momento resultante de (3 + 8 7) = 4 mt, que s pode ser equilibrada por um binrio de sentido oposto, formado pelas reaes verticais, cujos sentidos devem ser, ento, os indicados na Figura I-71 e cujos mdulos valem: VA = VB = 4 = 0,5 t 8

59

ESTUDO DAS VIGAS ISOSTTICAS1 - As equaes fundamentais da esttica

Seja a viga biapoiada da Figura II-1, submetida ao carregamento indicado:xxoq dx q = q(x)

A

S

B

VASFigura II1

VB

Os esforos simples em S so dados por:M S = VA S s

xo

s

q(s x )dx = VA S S

xo

s

q dx +

xo

s

qx dx

Q S = VA

xo

q dx

Derivando as expresses acima em relao abscissa s que define a seo, obtemos, levando em conta que: s s s s d d q dx + q dx = sq (s) + q dx S q dx = s ds ds xo xo xo xo

s

d = ds

xo

s

qx dx = sq (s)

d = ds

xo

q dx = q(s)

60

Os valores: dM S = VA sq (s) dsdQ S = q (s) ds

xo

s

q dx + sq (s) = QS

Em resumo temos:dM S = QS ds dQ S = q (s) ds

II.1 II.2

Demonstramos, ento que a derivada do momento fletor atuante numa seo S de uma viga reta, submetida a um carregamento a ela perpendicular, em relao abscissa que define esta seo igual ao esforo cortante nela atuante e que a derivada deste em relao a esta abscissa igual ao valor da taxa de carga aplicada na seo S com sinal trocado. As igualdades (II.1) e (II.2) so as equaes fundamentais da Esttica, pois nos permitem obter os esforos solicitantes nas diversas sees da viga em funo do carregamento q(x) atuante. A partir de q(x) obteremos, ento, as funes MS e QS perpendicularmente ao eixo da viga, teremos seus assim chamados diagramas de momentos fletores e de esforos cortantes atuantes, que iremos agora estudar para os diversos tipos de carregamentos que ocorrem na prtica.Observaes:

1 - A partir de II.1, temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seo S igual ao esforo cortante nela atuante. 2 - A partir de II.2, temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforos cortantes numa seo S igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seo com o sinal trocado. 3 - Adotando-se como positivo o carregamento distribudo de cima para baixo (o que usual), por integrao das equaes (II.1) e (II.2) obtemos que um esforo cortante positivo quando, calculado pelas foras da esquerda, der para cima (ou, quando calculado pelas foras da direita, der para baixo) e que um momento fletor positivo quando tracionar as fibras inferiores da viga. Tais so as convenes de sinais que adotaremos, embora dispensemos a colocao do sinal no diagrama de momentos fletores, como pleonstico, pois que o desenharemos sempre do lado das fibras por ele tracionadas. 4 - Uma observao importante, sob o ponto de vista conceitual, que, aps carregada a viga, ela se deformar e os esforos esto sendo calculados para sua posio indeformada primitiva. Nosso estudo se baseia, ento, nesta simplificao (de preciso excelente, pois as deformaes das peas usuais so muito pequenas em presena de suas dimenses, e a esttica que estamos desenvolvendo , pois, a esttica das pequenas deformaes). 61

2. Vigas biapoiadas 2.1 - Carga concentrada

Seja a viga biapoiada da Fig. II.2, submetida a uma carga concentrada P, atuante na seo S.PAP VA = bla b

BP VB = al

lM

Pabl

Pbl

Q Pal

Figura II2

Das equaes de equilbrio da esttica (MA = 0 e MB = 0, por exemplo), obtemos as equaes de apoio indicadas em II.2. Passemos ao traado dos diagramas solicitantes. Por fora de (II.1) e (II.2), sabemos que, num trecho descarregado (q = 0), o diagrama de esforos cortantes ser uma reta horizontal (pois dQ/ds = -q) e o diagrama de momentos fletores uma reta (pois dM/ds=-q). Assim no trecho AS, bem como no trecho BS, o diagrama de momentos fletores ser retilneo. Como sabemos que em A e em B os momentos so nulos, bastar conhecer seu valor em S para termos definido o diagrama M. Imediatamente, obtemos: MS = Pab l

Quanto ao diagrama de esforos cortantes, ser dado no trecho AS por Q = + VA = Pb/ l e, no trecho SB, por Q = -VB = - Pa/ l . Na Seo S, ele sofrer uma descontinuidade igual a (Pa/ l + Pb/ l ) = P, valor da carga concentrada nela aplicada.

62

Observaes:

a) O diagrama M possui um ponto anguloso em S, o que era de se esperar, pois, a partir de (II.1), temos (dM/ds)Sesq = QSesq e (dM/ds)Sdir = QSdir e, assim, QSesq = QSdir. Na seo S, no se define esforo cortante; ele definido esquerda e direita da seo sofrendo nela uma descontinuidade igual a P. Podemos afirmar ento que, sob uma carga concentrada, o diagrama de momentos fletores apresenta um ponto anguloso e o diagrama de esforos cortantes apresenta uma descontinuidade igual ao valor desta carga. b) calculemos as integrais:S B

A

Q ds e

A

Q ds

Temos:

A B

S

Q ds =

Pb a = MS ; l

A

Q ds =

Pb Pa a b = 0 = M B , o que evidente em face de II.1. l l

Os valores acima ilustram a obteno do diagrama de momentos fletores a partir do diagrama de esforos cortantes. A condio

A

S

Q ds = 0 , permite a verificao do equilbrio da viga.

c) Calculemos os valores de tg e tg tg = tg = Pb = Q trecho AS l Pa = Q trecho SB l

Os valores acima ilustram a obteno do diagrama de esforos cortantes a partir do diagrama de momentos fletores. d) O caso de mais de uma carga concentrada ser resolvido de maneira inteiramente anloga ao caso de uma s carga concentrada, conforme esclarecer o exemplo a seguir.63

Exemplo: Obter os diagramas solicitantes para a viga da Figura. II-3.5t 3t 9t

AVA = 6 t4m

C

D

E

BVB = 11 t

4m 13 m

3m

2m

M24 mt 22 mt 28 mt

+6t

1tQ

-2t

- 11 tFigura II3

Das equaes da Esttica, obtemos as reaes de apoio:MB = 0

VA =

1 (5 . 9 + 3. 5 + 9 . 2) VA = 6 t 13

Y = 0VB = (5 + 3 + 9 ) 6 = 11 t

As ordenadas necessrias determinao do diagrama M so: MC = 6 . 4 = 24 mt MD = 6 . 8 - 5 . 4 = 28 mt ME = 11 . 2 = 22 mt

64

Os esforos cortantes valem: QA -C = +6t QC -D = 6 - 5 = + 1 t QD -E = 6 - 5 - 3 = -2 t QE -B = 6 - 5 - 3 - 9 = -11 t.2.2 - Carga uniformemente distribuda

Seja a viga biapoiada da Fig. II-4, submetida a uma carga uniformemente distribuda q. Sendo as reaes de apoio as indicadas na figura, teremos os seguintes esforos simples numa seo genrica S: MS = QS = qlx qx 2 ql 2 x x 2 = 2 2 2 l l2 ql qx 2qx qS

Aq VA = l 2

Bq VB = l 2

xl l /4 l /4 l /4 l /4M

3 M MX 4

q 2 M MX = l 8

3 M MX 4

ql 2

Q

ql 2

Figura II4

65

O diagrama de esforos cortantes ser uma linha reta, que fica determinada pelos seus valores extremos, correspondentes: ax = 0 e ax = 1, que so Q A = ql ql e QB = 2 2

(Estes valores poderiam ser obtidos diretamente a partir das reaes de apoio). O diagrama de momentos fletores ser dado por uma parbola do 2 grau, passando por zero em A e B e passando por um mximo em x = l/2 (seo onde Q = dM /dx = 0), de valor: M mx = ql 2 1 1 ql 2 = 2 2 4 8

Para obteno dos valores de M numa seo genrica, empregaremos a equao ql 2 2 x x 2 ql 2 = R l l2 2

M= Sendo:

R = 2Onde:

=Observaes:

x l

a) Temos

A

B

Q dx = 0 , o que verifica o equilbrio da viga.

b) Sendo a taxa de carregamento constante (grau zero), o diagrama de esforos cortantes retilneo (grau um) e o de momentos fletores parablico (grau 2), conforme j sabamos por (II.1) e (II.2). Podemos afirmar, ento, que, sob carga uniformemente distribuda, o diagrama de momentos fletores parablico do 2 grau e o diagrama de esforos cortantes retilneo. c) Apresentamos, na Fig. II-5, uma construo geomtrica que nos d excelente preciso no traado do diagrama de momentos fletores. Sendo MM1 = ql/8, marcamos M1M2 = MM1. Dividimos os segmentos AM2 e BM2 em 4 partes iguais; obtemos os pontos I, II, III, I', II', e III', que, ligados alternadamente, nos do tangentes externas parbola que ento facilmente obtida. Se quisermos aumentar nossa preciso, dividimos AM2 e BM2 em 8, 16, ... partes ao invs de 4, repetindo o mesmo tipo de traado.

66

A I II III M2Figura II5

B I' M1 II ' III '

d) Um valor notvel no diagrama de momentos fletores o valor para as sees com = 0,25 e = 0,75, que : M= ql 2 22 3 1 1 3 ql = = M mx 4 4 16 4 8

e) usual, no caso de traado de diagramas de momentos fletores com cargas uniformemente distribudas, cotar apenas o valorql 2 8

f) Calculemos a inclinao do diagrama de esforos cortantes. Temos

Temos, tg =

ql ql 2 2 = q, conforme II.2 . l

67

ESTUDO DOS QUADROS ISOSTTICOS PLANOS1 - Quadros simples

Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostticos planos, aos quais chamamos quadros simples, quando ocorrem isoladamente e que, associados entre si, da mesma forma com que associamos vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os assim chamados quadros compostos. So os seguintes os tipos estticos de quadros simples isostticos:1.1 - Quadro biapoiado

Seja o quadro da Fig. III-1. Para obtermos as reaes de apoio HA, VA e VB dispomos das trs equaes universais da esttica no plano. Trata-se, pois, de estrutura isosttica. Conhecidas as reaes de apoio, passemos obteno dos diagramas solicitantes.P2 B P1 D HA A VAFigura III1

P3 C P4

VB

Estamos diante de um problema novo, que faremos recair em problema j conhecido (resoluo de vigas biapoiadas), da maneira seguinte. Rompendo o quadro em seus ns intermedirios B e C, podemos destacar, uma das outras, as barras que o constituem, desde que apliquemos nesses ns, em cada uma das barras, os esforos simples neles atuantes, que mantero o equilbrio de cada barra AB, BC e CD, conforme indica a Fig. III-2.1. Analisemos cada uma dessas barras. Seja, por exemplo, a barra BC, indicada na Fig. III-2.1, submetida ao carregamento em equilbrio constitudo por HB, VB, MB, P2, P3, HC. VC. MC. Como estas cargas esto em equilbrio, podemos encarar, por exemplo, HB, VB e VC como sendo as foras que equilibram as demais cargas atuantes, e a barra BC pode ento ser considerada como uma viga biapoiada. Esta viga submetida ao carregamento que lhe est diretamente aplicado, acrescido de cargas-momento em suas extremidades, iguais aos momentos fletores atuantes nestas sees, e de uma carga horizontal no apoio do 1 gnero, igual ao esforo normal atuante nesta seo. A igual concluso chegaramos para as demais barras e o estudo do quadro recai, ento, no estudo das trs vigas biapoiadas AB, BC e CD com os carregamentos indicados na Fig. III-2.2.

68

HB

B

MB

P2

P3

MC

CVC

HC

B

MB

P2

P3

MC

C

HC

VB VB

VB

BMB

HB

HC

VC

BMB

CMC

CMC

P4

P1

P4

P1

DVD

HA

AVA

DVD

AIII.2.2

III-2.1

Figura III2

As concluses tiradas para este caso podem ser extrapoladas para todos os demais. E podemos, ento, afirmar que, para se traar o diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta marcarmos os momentos fletores atuantes em seus ns, lig-los por uma linha reta tracejada, a partir da qual penduramos os diagramas de viga biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada uma das barras que constituem o quadro em anlise. Os diagramas so marcados, como no caso das vigas, perpendicularmente ao eixo de cada barra. A obteno dos diagramas de esforos cortantes e esforos normais imediata, a partir do conhecimento das reaes de apoio. O exemplo a seguir esclarece.Exemplo: Obter os diagramas solicitantes para o quadro da Figura III-3.

Substituindo o carregamento distribudo por sua resultante, indicada em pontilhado na Fig. III-3, passemos obteno das reaes de apoio: Y = 0, temos: VA = 20 t. MB = 0, temos: 20 . 5 + 2 . 2 - 20 . 8 + 16 + 4HA = 0 HA = 10 t. X = 0, temos: HB = 12 t.

69

2 t/m

3m

R = 20 t

F 16 mt2m

C

D

E2m

2t2m

4t

BHB =12 t

4m

HA =10 t

A

VA = 20 t2m 8m

Figura III3

Conhecidas as reaes de apoio, estamos em condies de traar os diagramas solicitantes, que comearemos pelo diagrama de momentos fletores. Os momentos fletores atuantes nos ns intermedirios valem:a) N D

esquerda.

- Para a barra AD: MDbarra AD = 10 . 8 + 4 . 4 = 96 mt, tracionando as fibras da - Para a barra CD: MDbarra CD = 2 . 22/2 = 4 mt, tracionando as fibras superiores. - Para a barra DE:

Para a barra DE, podemos obter o momento fletor atuante em D a partir de sua definio, isto , entrando com as foras atuantes num dos lados da seo (por exemplo, entrando com as foras atuantes esquerda), obtemos:M D barra DE = 10 . 8 + 4. 4 + 2 .2 2 = 100 mt 2

(tracionando as fibras superiores) ou podemos, o que muito mais prtico, no caso, obter seu valor a partir do equilbrio do n D, conforme se segue. Rompendo todas as barras que concorrem no n D e aplicando os momentos fletores nelas atuantes, eles tm que estar em equilbrio, pois a estrutura o est. Temos ento, o esquema da Fig. III-4, a partir do qual obtemos: MDbarra DE = 100 mt (tracionando as fibras superiores).

70

4 mt

D

barra DE M D =100 mt

96 mtFigura III4

b) N E

- Para a barra EF: MEbarra EF = 16 mt, tracionando as fibras da direita. direita. - Para a barra BE: MEbarra BE = 12 . 4 + 2 . 2 = 52 mt, tracionando as fibras da

- Para a barra DE, temos, a partir do equilbrio do n E, conforme indica a Figura III-5: MEbarra DE = 36 mt, tracionando as fibras superiores.16 mt

barra DE ME = 36 mt

E

52 mt

Figura III5

Marcando os valores obtidos para os ns, temos definidas as linhas de fechamento, a partir das quais penduramos os diagramas de viga biapoiada, obtendo ento, o diagrama final indicado na Figura III-6.1. A obteno dos diagramas de esforos cortantes e de esforos normais imediata, a partir do carregamento e das reaes de apoio indicadas na Figura III-3, chegando-se aos valores indicados nas Figuras III-6.2 e III-6.3, respectivamente.

71

100 16 36 4 16 52 2 8

96

M (em mt)

III-6.1

+16

-4 -14

+14 +12-20

-14

Q (em t)-10

N (em mt)

III-6.2

III.6.3

Figura III6

Observaes:

a) Os diagramas de momentos fletores nas barras verticais poderiam, tambm, ser obtidos calculando seus valores nas sees de aplicao das cargas concentradas (4 t para a barra AD e 2 t para a barra BE), ligando-os a zero nos apoios e aos valores obtidos nos ns (96 mt para o n D e 52 mt para o n E). b) Para o traado do diagrama de esforos cortantes, obedecemos s mesmas convenes de sinais adotados no caso das vigas . c) A rea do diagrama de esforos cortantes vale: SQ = - 10 . 4 - 14 . 4 + 16 . 4 + 14 . 2 + 12 . 2 = + 16 mt, valor da carga-momento aplicada (sentido anti-horrio). d) No traado do diagrama de esforos normais, indiferente o lado para o qual marcamos os valores, interessando apenas o sinal (positivo se o esforo de trao e negativo no caso de compresso).

72

e) A fim de evitar confuso com as linhas que definem o eixo do quadro e com linhas auxiliares usadas para o traado dos diagramas, pode-se hachurar, se julgado til para maior clareza, a rea compreendida entre o diagrama final e o eixo do quadro. f) Notar, no diagrama de momentos fletores, os pontos angulosos nos pontos de aplicao e nos sentidos das cargas concentradas aplicadas (inclusive as reaes de apoio).1.2 - Quadro engastado e livre

Seja o quadro da Fig. III-7. Suas trs reaes de apoio HA, VA, MA so imediatamente obtidas empregando-se as trs equaes universais da esttica e, a partir da, chegamos, sem maiores problemas, a seus diagramas solicitantes, conforme ilustra o exemplo a seguir.P1D

P2E

P3

q B C

MA A VAFigura III7

HA

Exemplo: Obter os diagramas solicitantes para o quadro da Fig. III-8. As reaes de apoio valem:

X = 0 =>