econometria cap12 heterocedasticidade - unicamp...teste de breusch-pagan passos para efetuar o teste...

HeterocedasticidadeEconometria

Alexandre Gori Maia

Bibliografia Básica:- Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Cap. 12.

Ementa:• Definição;• Identificação: Análise Gráfica, Goldfeld-Quandt, Breusch-Pagan, White;• Correção: MQP e MQGF;• Estimadores Robustos para a Variância;

Teorema de Gauss-Markov1) Relação linear entre os regressores x e Y: O modelo só é válido para relações lineares.

2) Os valores de x são fixos em repetidas amostras, não aleatórios:Quem varia é o regressando, o regressor é fixo, qualquer que seja a amostra. Em outras palavras, dados os valores controlados de x, Y variará aleatoriamente segundo uma distribuição de probabilidade, com valor esperado dado por E(Y|x).

3) Esperança condicional dos erros igual a zero, ou seja, E(e|x)=0: É a mesma coisa afirmar que E(Y|x)=xi´b.

4) A variabilidade dos erros é constante, ou seja, E(ei2)=s2

Os erros são homocedásticos, ou seja, sua variância é uma constante.

5) Os erros são não autocorrelacionados, ou seja, E(eiej)=0: Não há relação entre valores dos erros.

Definição Análise Gráfica

Goldfeld-Quandt

Breusch-Pagan White MQP MQGF Estimador

Robusto

Heterocedasticidade - Definição

Homocedasticidade

Homocedasticidade:A variância dos erros e, condicionada aos valores das variáveis explanatórias, será constante.

Heterocedasticidade:A variância dos erros será diferente para cada valor condicional de Xji.

221 ),...,,/( s=

iii ki XXXeVar

Heterocedasticidade

221 ),...,,/( iki iii

XXXeVar s=

Y

XjX1

E(Y1)

X2

E(Y2)Var(e2)=s2

Var(e1)=s2

Y

XjX1 X2

Var(e2)=s22E(Y1)

Var(e1)=s21

E(Y2)


Goldfeld-Quandt


Robusto

Heterocedasticidade - CausasPrincipais causas da heterocedasticidade:

- Natureza das variáveis: alguns relacionamentos apresentam tipicamente tendência à heterocedasticia. Por exemplo, renda e poupança.

- Valores extremos: a ocorrência de um valor extremo na amostra pode inflacionar a variabilidade em um determinado ponto do ajuste.

- Falhas na especificação do modelo: a heterocedasticidade pode também ser devida à omissão de importantes variáveis no modelo.

- Transformação dos dados: a transformação das variáveis (por exemplo, proporção ao invés de valores absolutos) ou da forma funcional (modelo log-duplo ao invés de linear) pode eliminar a heterocedasticidade.

2)( iieVar s=iii eXY ++= ba

iii eXY ++= ba iiii eXXY +++= 221 bba

iii eXY ++= ba iii eXY ++= )ln()ln( ba


Goldfeld-Quandt


Robusto

Consequências - IneficiênciaIneficiência dos Estimadores de MQONa presenção de heterocedasticidade nos erros, os estimadores de MQO continuam sendo não viesados e consistentes, mas deixam de ser eficientes (ou seja, não possuem mais variância mínima). Em outras palavras, seja b o estimador de MQO, então existe outro estimador b* tal que:

Homocedasticia

Y

X

Intervalo de Variação das

estimativas de MQO


estimativas de outro método

Heterocedasticia

Y

X


estimativas de MQO


estimativas de um método

mais eficiente

)ˆ(*)ˆ( bb VarVar <

^^


Goldfeld-Quandt


Robusto

Consequências – TendenciosidadeTendenciosidade da Variância dos Estimadores:Outra importante consequência da heterocedasticidade é o viés do estimador da variância de !", mesmo para amostras grandes (inconsistência). Como resultado, as estatísticas de teste t e F deixam de ser válidas, pois dependem da variância do estimador. Em outras palavras, na presença de heterocedasticidade teremos:

Seja o modelo: iii eXY ++= ba

Pelo MQO:åå

=

== ni

2i

n

i ii

x

yx

1

1b eå =

= n

i2ix

S1

22ˆ

sb

No caso de heterocedasticia:

No caso de homocedasticia:

não viesado na ausência de heterocedasticidade e

viesado na sua presença

)ˆ()( 2ˆ bb VarSE ¹

2)( s=ieVarå =

= n

i ixVar

12

2)ˆ( sb

2)( iieVar s=2

12

122

)()ˆ(åå

=

== ni i

n

i ii

x

xVar

sb


Goldfeld-Quandt


Robusto

IdentificaçãoPrincipais testes para se detectar a heterocedasticidade:

Análise gráfica: ê2 ´ Xj

Teste Goldfeld-QuandtIdentificação

Testes Estatísticos

Teste de Breusch-Pagan

Teste de White


Goldfeld-Quandt


Robusto

Análise Gráficaê2

Homocedasticidade

A dispersãodos resíduos é a mesma aolongo de X

X

ê2Heterocedasticidade

A dispersãodos resíduos é

uma funçãolinear de X

X


A dispersãodos resíduosé uma funçãoquadrática de

X

X


A dispersão dos resíduos cresce

de maneiraquadrática com os valores de X

constanteσ 2 = i22

i Xσσ =

2i2i1

2i XαX ασ +=

2i

22i Xσσ =

X


Goldfeld-Quandt


Robusto

Análise GráficaSejam os dados de 40 famílias para gastos com alimentação (Y) e renda (X):

A dispersão dos resíduos em função da variável X (renda) sugere que, à medida que a renda cresce, a dispersão dos resíduos também aumenta, indicando a presença de heterocedasticidade, em uma relação aparentemente linear.

iii eRendaAlimentGasto ˆ13,08,40 ++=i

22i Xσσ =


Goldfeld-Quandt


Robusto

Teste de Goldfeld-QuandtY

X

Sejam os valores da amostra:

ïî

ïíì

<

=22

211

22

210

σ: σH

σ: σH

Passos para efetuar o teste de Goldfeld-Quandt1- Ordenar as observações da amostra de acordo com os valores de X;2- Omitir c observações centrais para dar mais poder ao teste (c costuma ser igual a 4 para n=30 e c=10 para n=60) e separar observações em duas subamostras de (n-c)/2 observações; 3- Ajustar uma regressão para cada subamostra (cada regressão terá k variáveis independentes);4- Testar hipótese da igualdade dos erros quadráticos médios a partir da estatística F.

Regressão 1

Regressão 2

A omissão de c observações centrais objetiva acentuar a diferença entre o grupo com variância pequena (SQReg1) e com variância grande (SQReg2).

glSQResglSQResF//

1

2= )1(2

+--

= kcnglonde

glglF ,

Fp

Y1 Y2 ... YnX1 X2 ... Xn Onde: X1<X2<...<Xn

Para testar a hipótese nula da homocedasticia:


Goldfeld-Quandt


Robusto

Teste de Goldfeld-Quandt

99,47,5269,2629

ˆˆ21

22 ===

ssF

Regressão 1

Regressão 2

ïî

ïíì

<

=22

211

22

210

σ: σH

σ: σH

Amostra 1

iii eRendaAlimentGasto ˆ18,06,12 ++=

Das 40 observações originais, foram eliminadas 6 observações centrais para dar mais poder ao teste. Restaram dois subconjuntos com 17 observações cada.

Amostra 2

iii eRendaAlimentGasto ˆ09,01,75 ++=Fonte gl SQ QM F p

Regressão 1 5967,2 5967,2 11,33 0,0042Resíduos 15 7900,0 526,7Total 16 13867,2

Fonte gl SQ QM F pRegressão 1 2308,6 2308,6 0,88 0,3636Resíduos 15 39449,1 2629,9Total 16 41757,7

estatística de teste:

15,15F

99,40017,0

Rejeita-se H0, ou seja, pode-se afirmar que há diferença entre as variâncias

(heterocedasticidade) com uma probabilidade de erro de apenas 0,17%

E para calcular a probabilidade de erro do tipo I:

Sejam os gastos de 40 famílias com alimentação em função da renda:


Goldfeld-Quandt


Robusto

Teste de Breusch-Pagan

Passos para efetuar o teste de White1- Estimar os resíduos do ajuste de MQO para o modelo original de RLM;2- Ajustar um modelo auxiliar relacionando o quadrado dos resíduos às variáveis independentes do modelo original; 3- Calcular a estatística LM pelo produto do número de observações e o R2 do ajuste auxiliar;4- Calcular o valor p associado à estatística em uma distribuição c2 com gl dado pelo número de variáveis explanatórias;

2auxRnLM ´=

2kc

2auxRn´

p

ê2

Xj

iiii eXXY +++= 2211 bba

iiii uXXe +++= 221102ˆ ddd

Onde k é o número de variáveis explanatórias, R2aux o coeficiente de

determinação do ajuste auxiliar e n o número de

observaçõesîíì

¹==

0:0:

1

210

jHH

ddd

Seja o modelo de RLM com k=2:

Par verificarmos se os resíduos quadráticos têm relação com os regressores:



Goldfeld-Quandt


Robusto

Teste de Breusch-Pagan - ExemploDo ajuste original por MQO obtivemos:


A partir dos resíduos de MQO, ajustamos o seguinte modelo auxiliar:

iii uRendae ˆ21,55,279,2ˆ2 ++-=

O teste de hipóteses será dado por:

îíì

¹=0:0:

11

10

dd

HH 0,12301,0402 =´=´ auxRn

21c

0,12

0005,0

A probabilidade de erro ao rejeitar H0 é de apenas 0,05%. Em outras palavras, há fortíssimas evidências para afirmarmos que os

erros são heterocedásticos pois ao fazermos tal afirmação estaríamos sujeitos a uma chance de erro de apenas 0,05%.


301,02 =auxRiii uRendae ++= 102ˆ dd


Goldfeld-Quandt


Robusto

Teste de White

Passos para efetuar o teste de White1- Estimar os resíduos do ajuste de MQO para o modelo original de RLM;2- Ajustar um modelo auxiliar relacionando o quadrado dos resíduos às variáveis independentes do modelo original, seus quadrados e produtos cruzados; 3- Calcular a estatística LM pelo produto do número de observações e o R2 do ajuste auxiliar;4- Calcular o valor p associado à estatística em uma distribuição c2 com gl dado pelo número de variáveis explanatórias do ajuste auxiliar;

2auxRnLM ´=

2hc

2auxRn´

p

ê2

Xj

iiii eXXY +++= 2211 bba

iiiiiiii uXXXXXXe ++++++= 225

21421322110

2ˆ ddddddOnde h é o número de

variáveis explanatórias, R2aux o coeficiente de

determinação e n o número de observações, todos

referentes ao ajuste auxiliar

îíì

¹===

0:0...:

1

510

jHH

ddd

Seja o modelo de RLM com k=2:

Para verificar se os resíduos quadráticos têm relação com os regressores, seus quadrados e seus produtos cruzados:



Goldfeld-Quandt


Robusto

Teste de White - Exemplo

Do ajuste original por MQO obtivemos:


A partir dos resíduos de MQO, ajustamos o seguinte modelo auxiliar:

O teste de hipóteses será dado por:22c

58,14A probabilidade de erro ao rejeitar H0 é de apenas 0,07%. Em

outras palavras, há fortíssimas evidências para afirmar que os erros são heterocedásticos pois, ao fazermos tal afirmação, estaríamos

sujeitos a uma chance de erro de apenas 0,07%.


îíì

¹==

0:0:

1

210

jHH

ddd


Goldfeld-Quandt


Robusto

"#$ = 1921 − 7,413."/01# + 0,009."/01#$ + 45#

"#$ = 67 +68 ."/01# +6$ ."/01#$ + 5#.9:;$ = 0,365

/×.9:;$ = 40×0,365 = 14,6 0,0007

Correção HeterocedasticidadeDada a equação de RLM:

222

1

2

22

21

0000...00000000

0000...00000000

)()( ss

s

ss

Veee =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

==

nn

T

v

vv

EVar

eXβy +=A equivalente matricial:

Haverá heterocedasticidade quando:

A equação de RLM equivale à transformação:

A equação matricial equivale à trasnformação :

22)()( iii eEeVar s==Que pode ainda ser representado por:

ii veE 22 )( s=onde o fator vi indica

como varia a variância de e para cada observação i

A nova equação será homocedástica, pois:

Haverá heterocedasticidade quando:

ΛeΛXβΛy += onde

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

=

2

2

1

10000...0000100001

v

vv

Λ

A nova equação será homocedástica pois:

22)( ss IΛVΛΛΛee ==TE


Goldfeld-Quandt


Robusto

!" = $ + &'(') + ⋯+ &+(+) + ,"

!"∗ = $ + &'(')∗ + ⋯+ &+(+)∗ + ,"∗!"#"= % 1

#"+ ()

*)+#"+ ⋯+ (-

*-+#"+ ."

#"

. ,"/"

0= . ,"0

/"= 1/". ,"0 = 20

Mínimos Quadrados PonderadosPonderação da variáveis:Uma vez conhecida a matriz V de variâncias e covariâncias do erros de um modelo de RLM, podemos obter os MELNV transformando as variáveis originais. Em outras palavras, seja o modelo:

eXβy += em que

Então: ΛeΛXβΛy += em que

Apresentará erros homocedásticos, pois:

1-= VΛΛT

22)( ss IΛVΛΛΛee ==TE


Goldfeld-Quandt


Robusto

222

1

0000...00000000

)( ss Ve =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

nv

vv

Var

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

=

2

2

1

10000...0000100001

v

vv

Λ e

Mínimos Quadrados PonderadosEstimadores de MQP:Seja o modelo de RLM:

eXβy += com heterocedasticidade dada por

Alternativamente, eu posso obter os estimadores de MQP diretamente por:


Goldfeld-Quandt


Robusto

Caso a matriz ! seja conhecida, eu posso aplicar MQO às variáveis transformadas !" e !# para estimar os coeficientes $.

%&'()) = ,-.

Então ΛeΛXβΛy += será homocedástico, pois %&'(!)) = /-.

yVXXVXΛyΛXΛXΛXβ 1111 )()(ˆ ---- == TTTTTT

Esse método é denominado de Mínimos Quadrados Ponderados (MQP), um caso específico do método de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG). Os estimadores de MQP são não tendenciosos e os mais eficientes (MELNV) na presença de heterocedasticidade.

Raciocínio análogo é válido para obter os estimadores da variância:yVXβyVy 11 ˆSQRes -- -= TTT e 2112

ˆ ˆ)(S sb--= XVXT

MQP com V conhecida - Exemplo

2)( sii XeVar =

As estimativas de MQO são:

Supondo que:

Para obter as estimativas de MQP, aplicamos MQO ao modelo transformado:


22

40

1

...0.........0...

)( ss V=úúú

û

ù

êêê

ë

é=

X

XeVar



Goldfeld-Quandt


Robusto

!"#$%&'()%&*+(

= - 1)%&*+(

+ 0 )%&*+()%&*+(

+ %()%&*+(

ΛeΛXβΛy +=1-= VΛΛTem que

As estimativas de MQP seriam:

!"#$%&'( = 32.0 + 0.14)%&*+( + %(∗As estimativas de MQP são não tendenciosas e as mais eficientes. O estimador da variância também é não tendencioso. Mas a validade dessas estimativas depende de um pressuposto forte, que a variância dos erros seja de fato uma função linear da renda.

MQGF - V DesconhecidaMínimos Quadrados Generalizados Factíveis (MQGF):Seja o modelo de RLM:

eXβy += com heterocedasticidade dada por: 2)( sii veVar =

As estimativas de vi podem ser substituídas na matriz de ponderações V, agora denominada V, para obtermos os estimadores consistentes (embora possam ser viesados) de Mínimos Quadrados Generalizados Factíveis:

yVXXVXβ 111 ˆ)ˆ(ˆ ---= TT

Caso o fator vi seja desconhecido, podemos estimá-lo a partir da relação da dispersão dos resíduos de MQO com as variáveis X do modelo. Há várias especificações que podem ser assumidas. Uma estratégia simples é assumir que a dispersão seja uma função logarítmica de X:

*11

*0

2 ...)ˆln( ikki uXXeii++++= ddd

A transformação exponencial garante que todas as estimativas de !" sejam positivas (variância não assume valores negativos!).

ikki XXi ev ddd ˆ...ˆˆ 11

*0ˆ +++

=

^


Goldfeld-Quandt


Robusto

MQGF com V Desconhecida - Exemplo

As estimativas de MQO foram:

Supondo agora que:

O fator de correção vi pode então ser estimado por:


indaRe

i uee i102 dd +=


*1

*0

2)ln( iii undaRee ++= dd

iii undaRee ˆ004,0363,3)ˆln( 2 ++= indaRei ev 004,0363,3ˆ +=


Goldfeld-Quandt


Robusto

!" =

As variáveis transformadas seriam:$%&'()*"

+!"= , 1

+!"+ / 0()12"

+!"+ ("

+!"em que345 = 3456 + 347 34834 = 39:;

E as estimativas de MQGF seriam:$%&'()*" = 22,6 + 0.160()12" + ("∗

As estimativas de MQGF são válidas apenas para amostras grandes (consistentes). Nesse caso, asestimativas de MQGF seriam (assintoticamente) também mais eficientes que as de MQO. Mas, para amostras pequenas, podem ser tendenciosas.

Estimadores RobustosEstimadores da Variância Robustos à Heterocedasticidade - White:Seja o modelo de RLS:

iii eXY ++= ba

Embora os estimadores de MQO para b continuem não viesados, os estimadores de suas variâncias seriam viesados.Um estimador robusto da variância do estimador !", ou seja, igualmente válido na presença ou não de heterocedasticidade, pode ser dado por:

No caso de uma RLM teríamos:

Esse estimador robusto à heterocedasticidade, atribuído a White, é válido(não tendencioso) assintoticamente. Para amostras pequenas, as estatísticas t e Fbaseadas no estimador robusto não serão necessariamente válidas.

com heterocedasticidade dada por: 2)( sii veVar =

212

122

)()ˆ(åå

=

== ni i

ni ii

x

xVar

sb

212

122

2ˆ

)(

ˆ

åå

=

==* n

i i

n

i ii

x

exSb

ikj jji eXY

i++= å =1

ba 212

122

2ˆ

)ˆ(

ˆˆ

åå

=

==* ni j

ni ij

i

i

j u

euSb

Onde ûj é o resíduo do ajuste de Xj em função das demais variáveis independentes


Goldfeld-Quandt


Robusto

Estimador Robusto - Exemplo

As estimativas de MQO foram:

Caso os erros sejam homocedásticos, a estimativa de MQO para Var(b ) seria:

Finalmente, a estatística t para testar a significância de b seria:


iii eRendaAlimentGasto ++= ba^


2

12

22ˆ 031,000093,0

463.532.1429.1ˆ

====å =

n

i ixS

sb

Por sua vez, uma estimativa robusta à heterocedasticidade para Var(b) seria:^

222

12

122

2ˆ 038,00015,0

)463.532.1(919.453.421.3

)(

ˆ====

åå

=

=* n

i i

n

i ii

x

exSb

36,3038,013,0

==tEmbora haja evidências de heterocedasticidade no modelo, devemos ter cautela na interpretação desse teste t, já que o estimador robusto pode não ser válido para amostras pequenas (n=40).


Goldfeld-Quandt


Robusto

econometria cap12 heterocedasticidade - unicamp...teste de breusch-pagan passos para efetuar o teste...

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