Econometria1. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO2. Inferência para grandes amostras3. Teste de Wald e LM

Econometria1. Multicolinearidade2. Testes de hipóteses no modelo de regressão linearPropriedades assintóticas dos estimadores MQO

Propriedades assintóticasO número de resultados estatísticos exatos, tais

como o valor esperado ou a distribuição verdadeira, em muitos modelos é baixo.

Usualmente, utilizamos resultados aproximados com base no que se sabe do comportamento de determinadas estatísticas de grandes amostras.

ConvergênciaDefinições, tipos de convergência quando n

cresce:

1. Para uma constante; exemplo, a média amostral,

2. Para uma variável aleatória; exemplo, uma estatística t com n -1 graus de liberdade.

x

Convergência para uma constante

Convergência de uma variável aleatória

O que significa uma variável aleatória convergir para uma constante?

Convergência da variância para zero.

A variável aleatória converge para algo que não é aleatório.

Resultados de convergênciaConvergência de uma sequência de variáveis aleatórias para

uma constante

A média converge para uma constante e a variância converge para zero.

Teorema de convergência para momentos amostrais. Momentos amostrais convergem em probabilidade para seus análogos populacionais.

(1/n)Σig(zi) converge para E[g(zi)].

211 , [ ] , Var[ ]= / 0n

n i i n nnx x E x x n

Convergência em probabilidade

. positivoalor qualquer v para 0Prlimsss constante uma para

adeprobabilid em converge aleatória A variável

cxobcx

nn

n

A probabilidade que a diferença entre xn e c seja maior do que ε para qualquer ε vai para zero.

Ou seja, xn fica perto de c.

Convergência em probabilidadeConvergência em probabilidade significa que os valores das variáveis que não estão próximos de c ficam cada vez mais improváveis à medida que o n cresce.

Exemplo: Suponha uma variável aleatória xn que assume dois valores, zero e n, com probabilidades (1-1/n) e (1/n), respectivamente.Quando n aumenta , o segundo valor é menos provável.Xn converge em probabilidade para zero.

Toda a massa da distribuição de probabilidade fica concentrada em pontos próximos de c.cxp n lim

Convergência em Média QuadráticaSe xn tem média μn e variância σ2 tal que os limites ordinários de μn e σ2 são c e 0, respectivamente, xn converge em “média quadrática“ para c, e

cxp n lim

Convergência em Média Quadrática

Convergência em probabilidade não implica convergência em média quadrática!!!

Exemplo dado: calcular o valor esperado: o valor esperado é igual a 1 para qualquer n.

As condições para a convergência em média são mais fáceis de verificar do que a forma geral de convergência em probabilidade.

Utilizaremos quase sempre convergência em média.

Consistência de um estimador

Se a variável aleatória, xn é um estimador (por exemplo, a média), e se:

plim xn = θ

xn é um estimador consistente de θ.

Teorema de SlutskySe xn é uma variável aleatória tal que plim xn

= θ. Onde θ é uma constante.g(.) é uma função contínua. g(.) não é

função de n.Conclusão: plim[g(xn)] = g[plim(xn)] e

g[plim(xn)] existe. Limite de probabilidade não

necessariamente funciona para esperanças. n n n nE[x ]= ; plim(x ) , E[1/x ]=?; plim(1/x )=1/

Corolários Slutsky

n n

n n

n n

n n

n n

x and y are two sequences of random variables withprobability limits and . Plim (x y ) (sum)Plim (x y ) (product)Plim (x / y ) / (product, if 0)Plim[g(x ,y )] g( , ) assuming it exists and g(.) iscontinuous with continuous partials, etc.

Resultados de Slutsky para MatrizesFunções de matrizes são funções contínuas

de elementos das matrizes.

Se plimAn = A e plimBn = B (elemento a elemento),

Plim(An-1) = [plim An]-1 = A-1

e plim(AnBn) = plimAnplim Bn = AB

Distribuições limitesConvergência para um tipo de VA e não para

uma constantexn é uma sequência de VA com Fn(xn). Se plim xn = θ (constante), Fn(xn) será um

ponto. Mas, Fn pode convergir para uma variável aleatória específica.

A distribuição desta VA será a distribuição limite de xn.

dn n n nx x F (x ) F(x)

Teorema de Slutsky para Variáveis Aleatórias

Se , e se g(Xn) é uma função continua com

derivadas contínuas e que não depende de n, temos que :

Exemplo:

t-student converge para uma normal padrão.

Quadrado de uma t-student converge para uma qui-quadrada.

XX dn

)()( XgXg dn

Uma extensão do Teorema de Slutsky

Se (Xn tem uma distribuição limite) e θ é uma

constante tal que (gn tem uma distribuição limite

que é função de θ),

e temos que:

Ou seja, substituir o θ por um estimador consistente leva a

mesma distribuição limite.

xx dn

gxg dn ),(

nyp lim gyxg dnn ),(

Aplicação do Teorema de SlutskyComportamento da estatística F para testar restrições em grandes amostras:

2

2

22

****

1)(´

)´´(

)(´)´´(

Jd

p

Jd

JF

knee

JJeeee

knee

Jeeee

F

Teorema do Limite CentralDescreve o comportamento de uma variável

aleatória que envolve soma de variáveis “Tendência para a normalidade.”

A média de uma amostra aleatória de qualquer população (com variância finita), quando padronizada, tem uma distribuição normal padrão assintótica.

Teorema do Limite CentralTeorema Lindeberg-Levy (versão simples do TLC):

Se x1, x2, … , xn é uma amostra aleatória de uma

população cuja distribuição de probabilidade tem

média μ e variância finita igual a σ2 e

temos que:

n

iin x

nx

1

1

)1,0(

:lim

)1,0(

Ns

xn

spSe

Nxn

d

nn

n

dn

Teorema do Limite CentralTeorema Lindeberg-Feller :

Suponha que é uma sequência de variáveis

aleatórias independentes com média μi e variâncias

positivas finitas σ2i

nix i ,...,1,

),0(

...1...1

2

3212

321

Nxn

n

n

dnn

nn

nn

Lindberg-Levy vs. Lindeberg-FellerLindeberg-Levy assume amostra aleatória –

observações possuem as mesmas média e variância.

Lindeberg-Feller – a variância pode ser diferente entre as observações, apenas com hipóteses de como elas variam.Soma de variáveis aleatórias, independente da sua distribuição, tenderão a ser normalmente distribuídas. E, mais, Lindeberg-Feller não requere que as variáveis na soma venham da mesma distribuição de probabilidade.

Estimadores em econometria – uso da versão Lindeberg-Feller do TLC.

Distribuição assintótica Uma distribuição assintótica é uma distribuição usada para a

aproximar a verdadeira distribuição de amostra finita de uma variável aleatória.

Construída a partir da distribuição limite da função de uma variável aleatória.

Se

é assintoticamente normalmente distribuído com média μ e variância σ2/n.

),(~

)1,0(

2nNx

Nxn

n

dn

Eficiência assintótica Comparação de variâncias assintóticas Como comparamos estimadores consistentes? Se

convergem para constante, ambas variâncias vão para zero.

Eficiência assintótica: Um estimador é assintoticamente normal, este estimador é eficiente assintoticamente se a matriz de covariância de qq outro estimador consistente e assintoticamente normal exceder (1/n)V por uma matriz definida não negativa.

n̂

),0()ˆ( VNn dn

Eficiência assintóticaExemplo: Amostra aleatória de uma distribuição

normal,

A média amostral é assintoticamente normal com [μ,σ2/n]

Mediana é assintoticamente normal com [μ,(π/2)σ2/n]

Média é assintoticamente mais eficiente.

Propriedades assintóticas do EMQA hipótese de normalidade não é necessária

para derivarmos as propriedades assintóticas.

Hipóteses: Convergência de XX/n para uma matriz Q positiva definida.

Convergência de X’/n para 0. Suficiente para a consistência.

Hipóteses: Convergência de (1/n)X’ para um vetor com distribuição normal – normalidade assintótica.

EMQEMQ pode ser escrito da seguinte forma: (XX)-1Xy = (XX)-1ixiyi = + (XX)-1ixiεi Um vetor de constantes mais um vetor de

variáveis aleatórias. Os resultados para a amostra finita são

estabelecidos conforme regras estatísticas para esta soma.

Como esta soma de variáveis se comporta em grandes amostras?

1n

i ii 1

1n

i i i ii 1

We use 'convergence in mean square. Adequate for almost all problems, not adequate for some time series problems.

1 1n n

1 1 1( ' 'n n n

b X'X x

b- b- X'X x x

1ni 1

1 1n

i i j j2 i 1

1n

1 1 1 'n n nIn E[( '| ] in the double sum, terms with unequalsubscripts have expectation zero.

E[( '

nj=1

X'X

X'X x x X'X

b- b- X

b- b-

1 1

n 2i j i2 i 1

1 1 12 2

1 1 1| ] 'E[ | ]n n n1 1 1 1 n n n n n n

X X'X x x X X'X

X'X X'X X'X X'X

Limite de probabilidade

Convergência em média quadrática

E[b|X]=β para qualquer X.Var[b|X]0 para um X específicob converge para βb é consistente

Limite de probabilidade

1n

i ii 1

1 1n

i ii 1

1

1

1 1n n1 1 1 1n n n n

1 1Plim( ) plim n n

1 1 1 plim plim plimn n n

b X'X x

b- X'X x X'X X'

b- X'X X'

X'X X' X'X

1

1

1plim n1 plim assuming well behaved regressors.n

1What must be assumed to get plim ?n

X'

Q X'

X' 0

Este plim deverá ser zero

A inversa é uma função contínua da matriz original.

Limite de probabilidade

wpQbp

wwn

xnn

X

nXp

n

ii

n

iii

limlim

11'

'lim

111

Devemos encontrar o plim do último termo:

Para isto, devemos formular algumas hipóteses.

Hipótese crucial do modeloO que devemos assumir para que plim(1/nX’ε)=0?

1) xi = vetor aleatório com média e variâncias finitas e com distribuições idênticas.

2) εi = variável aleatória com uma distribuição constante com média e variância finitas e E(εi)=0

3) xi e εi são estatisticamente independentes. wi = xiεi = uma observação em uma amostra aleatória, com matriz de covariância constante e o vetor de média igual a zero.

converge para sua esperança.

iwn1

Limite de probabilidade

0)(1)(1)1()(

0)( exata aexpectativ a forma Desta

0

)(

111

i

ii

ii

i

iiix

iiixi

ixi

wEn

wEn

wn

EwE

wExExE

xxEEx

wEEwE

Pela hipótese de exogeneidade e pela lei das expectativas iteradas:

Limite de probabilidade

(2) '1|''1

|''1'1|'var

I |' usamos termo primeiro ocalcular ara

(1) 0varvarvar)var(

2

2

nXX

nnXXEX

n

XXn

Xn

EXwwEXw

XEPX

wEX

wEXwEw

Pela decomposição da variância:

Limite de probabilidade

0.lim

0' plim

:forma desta zero, para quadráticamédia em converge zero, para converge variânciasua e zero é média a Como

0.0)var(lim.suficiente

será Q para converge X/n)(X' plim que de hipótese A constante. matriz umaparaconvergir parênteses entre esperança a se zero para irá aA variânci

''var)var(

:(1) em (2) doSubstituin

1

22

Qbpn

X

wwn

Qw

nXXE

nnXX

nEX

wEw

EMQ é consistente!!

Distribuição assintótica

1

ni ii 1

1 1n n

The limiting behavior of is the same as that of the statistic that results when the moment matrix is replaced by its limit. Weexamine the behavior of the modified

b X'X x

b

n1i ii 1

sum1nQ x

O comportamento limite de b é o mesmo da estatística resultante da substituição da matriz de momentos pelo seu limite. Examinamos o comportamento da seguinte soma modificada:

Resultados Assintóticos

n1i ii 1

1n

What is the mean of this random vector?What is its variance?Do they 'converge' to something? We use this method to find the probability limit.What is the asymptotic distribu

Q x

tion?

Qual a média desta variável aleatória?

Qual sua variância?

Esta soma converge para algo? Podemos achar o limite de probabilidade.Qual a distribuição assintótica?

Distribuição assintótica b β em probabilidade. Como descrever

esta distribuição? Não tem uma distribuição limite

Variância b 0 Como estabilizar a variância? Var[n b] ~ σ2Q-1

Mas, E[n b]= n β que diverge n (b - β) é uma variável aleatória com

média e variância finitas (transformação que estabiliza)

b aproximadamente β +1/ n vezes a variável aleatória.

Distribuição limite n (b - β) = n (X’X)-1X’ε = (X’X/n)-1(X’ε/ n)No limite, isto é igual a (plim):

Q-1(X’ε/ n)Q é uma matriz positiva definida. Comportamento depende da variável

aleatória (X’ε/ n)

Distribuição no limite: Normal

iiiii

iii

QxxEx

xwnw

wEwnXn

22 )'()var(:a igual variânciae zero média têm vetoresEstes

:tesindependen aleatórios vetores de média a é acima. aleatória variávelda limite ãodistribuiç a

obter para TLC doFeller -Lindeberg versãoausar Podemos

)(')1(

Distribuição no limite: Normal

QQ

QQn

xn

xn

nwnwn

QxxExS

n

ni

iiii

iiiii

22

22

22

lim

)var(1)1var()var()var(

)'()var(e

Distribuição no limite: Normal

21

12111

2

2

,0)(

,0'1

,0'1. a igual variância

e zero média com osdistribuíd tesindependen vetoressão :)( vetor o para TLC o aplicarmos para elementos todos Temos

QNbn

QQQQNXn

Q

QNXn

Qx

wn

d

d

d

i

ii

Distribuição assintótica

TLC. do iaconsequênc com distúrbios dos enormalidad dadepende não EMQ do aassintótic enormalidad :importante Resultado

,~

:que temos finita variânciae zero média com osdistribuíd tementeindependen são Se

tesindependen sobservaçõe com b de aassintótic ãoDistribuiç :Teorema,0)(

21

2

21

nQNb

QNbn

i

d

Consistência de s2

2

2

1 1 n 1s n K n K n K nn 1n K

1 1 1plims plim plim ( )n n n1 1 1 1plim plim plim ( ) plimn n n n1plimn

What must be a

-1

-1

-1

e'e 'M 'M

'M ' 'X X'X X'

' 'X X'X X'

' 0'Q 0

2 21ssumed to claim plim = E[ ] ?n '

Consistência de s2

12

12

1212

)'(var

var

)'(lim

XXsbest

Qn

b

QnXXsp

Eficiência assintótica

Um estimador é assintoticamente eficiente se é consistente, assintoticamente normalmente distribuído, e tem uma matriz de covariância que não é maior que uma matriz de covariância de qualquer outro estimador consistente e com distribuição assintótica normal.

Econometria1. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO

(continuação)Inferência – grandes amostras

Estatísticas de testesComo estabelecemos a distribuição assintótica de

b, podemos construir estatísticas de testes. Baseamos os testes na estatística de Wald.

F[J,n-K] = (1/J)(Rb - q)’[R s2(XX)-1R]-1(Rb - q) Esta é a estatística de teste usual para testar

hipóteses lineares no modelo de regressão linear, seguindo uma distribuição F exata se os erros são normalmente distribuídos.

Qual o resultado mais geral? Quando não se assume normalidade.

Estatística de WaldAbordagem geral considerando uma distribuição univariada

Quadrado de uma variável normal padrão qui-quadrada com 1 grau de liberdade.

Suponha z ~ N[0,2] , desta forma (z/)2 é uma qui-quadrada com 1 gl.

Suponha z~N[,2].[(z - )/]2 é uma qui-quadrada com 1 gl. Esta é a distância

normalizada entre z e , onde a distância é medida em unidades de desvios padrão.

Suponha zn não é exatamente normalmente distribuída, mas (1) E[zn] = , (2) Var[zn] = 2, (3) a distribuição limite de zn é normal. (zn - )/ N[0,1], que é uma distribuição limite , não é uma distribuição exata em uma amostra finita.

ExtensõesLogo: n

2 = [(zn - )/]2 {N[0,1]}2, ou 2[1]. Novamente, uma distribuição limite, não é uma

distribuição exata.Suponha desconhecido, e substituímos por um estimador

consistente para , ou seja sn, tal que plim sn = . O que acontece com este “análogo empírico”? tn = [(zn - )/sn]?Como plim sn = , o comportamento desta estatística em uma

grande amostra será igual ao comportamento da estatística original usando ao invés de sn.

tn2 = [(zn - )/sn]2 converge para uma qui-quadrada[1].

tn e n convergem para a mesma variável aleatória.

Forma Quadrática

Se um vetor aleatório x (dimensão k) tem uma distribuição normal multivariada com vetor de média igual a e matriz covariância igual a , a variável aleatória W = (x - )-1(x - ) tem uma distribuição qui-quadrada com K graus de liberdade..

Prova1/2 é uma matriz tal que: 1/2 1/2 = . Logo, V = (1/2)-1 é a inversa da raiz

quadrada, tal que V V = -1/2 -1/2 = -1.Se z = (x - ). O z tem média 0, matriz covariância , e

distribuição normal. O vetor aleatório w = Vz tem média V0 = 0 e matriz

covariância VV = I. w tem uma distribuição normal com´média 0 e matriz

covariância I. ww = kwk

2 onde cada elemento é o quadrado de uma normal padrão, logo uma qui-quadrada(1). A soma de qui-quadradas é igual a uma qui-quadrada, logo:

ww = (x - ) -1(x - ).

Construindo a estatística de teste WaldSuponha que a hipótese de normalidade

permanece, mas ao invés de termos a matriz de parâmetros usamos a matriz Sn que é consistente (plim Sn = ).

O resultado exato da qui-quadrada não se aplica, mas a distribuição limite é a mesma se usarmos .

Estatística de WaldSuponha que a estatística é construída com um x

que não tem uma distribuição normal exata, mas com xn que tem distribuição normal limite.

(xn - ) Sn-1(xn - ) 2[K]

Nada depende da distribuição normal. Usamos a consistência de (Sn) e TLC para xn.

Resultado geral para a distância de Wald

Medida de distância de Wald: Se plim xn = , xn é assintoticamente normalmente distribuído com média e variância , e se Sn é um estimador consistente para , a estatística de Wald, que é uma medida de distância generalizada converge para uma qui-quadrada

(xn - ) Sn-1(xn - ) 2[K]

A estatística FH0: R - q = 0 F[J, n-K] = [(e*’e* - e’e)/J] / [e’e / (n-K)]F[J,n-K] = (1/J) (Rbn - q)[R s2(XX)-1 R’]-1 (Rbn -

q).Onde m = (Rbn - q). Sob Ho, plim m=0. n m N[0, R(2/n)Q-1R’]Var estimada : R(s2/n)(X’X/n)-1R’](n m )’ [Est.Var(n m)]-1 (n m )Se plim bn = , plim s2 = 2, JF[J,n-K] 2[J].

Distância de WaldTeste mais geral sobre um único parâmetro. Estimativa amostral: bkValor hipotético: βkO quão distante βk está de bk? Se muito

longe, a hipótese é inconsistente com a evidência amostral.

Medida de distância em unidades de desvios-padrão:t = (bk - βk)/estimativa de vk.

Se t is “grande” (maior que o valor crítico), rejeitamos a hipótese.

Estatística de WaldNa maioria dos testes são utilizadas medidas

de distâncias de Wald.W=(vetor aleatório-valor

hipotético)’(variância da diferença)-1(vetor aleatório-valor hipotético)

W= medida de distância normalizada

1) A distância deve ser normalmente distribuída

2) A matriz de covariância é a verdadeira e não a estimada.

20

100 ~][var' Jqqqqqq

Teste de Robustez O teste de Wald geralmente será (quando

devidamente construído)mais robusto que o teste t e F

Razão: Baseado nos estimadores robustos da variância e nos resultados assintóticos.

Teste de hipótese: caso geral H0: R - q = 0 (J restrições lineares)Duas abordagens(1) Rb - q está perto de 0? Defina: m = Rb - q. Usando o critério

de Wald: Critério de Wald: m(Var[m])-1m tem uma distribuição qui-quadrada com J graus de liberdade Mas, Var[m] = R[2(X’X)-1]R. Se usarmos a estimativa de 2, teremos uma F[J,n-K]. (ee/(n-K) é a estimativa de 2.)

(2) Quando impomos uma restrição, o ajuste do modelo é reduzido. R2 necessariamente irá diminuir. Será que diminui muito? (I.e., de forma significativa?).

R2 = modelo irrestrito, R*2 = modelo restrito. F = { (R2 - R*2)/J } / [(1 - R2)/(n-K)] = F[J,n-K].No modelo linear, estas duas abordagens são iguais.

Estatística do Multiplicador de Lagrange

Lembrando do MQO restrito, o multiplicador de lagrange é igual a:

= [R(XX)-1R]-1 (Rb – q)= = [R(XX)-1R]-1 m.

Suponha que queremos testar H0: = 0, usando o critério de Wald.

A estatística de teste será JF

Aplicação

LogG = 1 + 2logY + 3logPG + 4logPNC + 5logPUC + 6logPPT + 7logPN + 8logPD + 9logPS + Período = 1960 - 1995. Um evento importante ocorreu em 1973.

Queremos saber se o modelo de 1960 a 1973 é o mesmo de 1974 a 1995. Todos os coeficientes do modelo são elasticidades.

Modelo completo----------------------------------------------------------------------Ordinary least squares regression ............LHS=LG Mean = 5.39299 Standard deviation = .24878 Number of observs. = 36Model size Parameters = 9 Degrees of freedom = 27Residuals Sum of squares = .00855 <******* Standard error of e = .01780 <*******Fit R-squared = .99605 <******* Adjusted R-squared = .99488 <*******--------+-------------------------------------------------------------Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X--------+-------------------------------------------------------------Constant| -6.95326*** 1.29811 -5.356 .0000 LY| 1.35721*** .14562 9.320 .0000 9.11093 LPG| -.50579*** .06200 -8.158 .0000 .67409 LPNC| -.01654 .19957 -.083 .9346 .44320 LPUC| -.12354* .06568 -1.881 .0708 .66361 LPPT| .11571 .07859 1.472 .1525 .77208 LPN| 1.10125*** .26840 4.103 .0003 .60539 LPD| .92018*** .27018 3.406 .0021 .43343 LPS| -1.09213*** .30812 -3.544 .0015 .68105--------+-------------------------------------------------------------

Testando um parâmetro

O preço do transporte público é importante? H0 : 6 = 0.IC: b6 t(.95,27) erro padrão = .11571 2.052(.07859) = .11571 .16127 = (-.045557 ,.27698)

Contém 0, logo não rejeito a hipóteseMedida de distância: (b6 - 0) / sb6 = (.11571 - 0) / .07859 = 1.472 < 2.052.O ajuste cai se eliminamos? Sem LPPT, R-quadrado = .99573 Compare R2, .99605,F(1,27) = [(.99605 - .99573)/1]/[(1-.99605)/(36-9)] = 2.187 = 1.4722

Teste de hipóteses: Soma de coeficientes

Será que as elasticidades preço agregadas somam zero?H0 :β7 + β8 + β9 = 0R = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1], q = [0]

Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X--------+------------------------------------------------------------- LPN| 1.10125*** .26840 4.103 .0003 .60539 LPD| .92018*** .27018 3.406 .0021 .43343 LPS| -1.09213*** .30812 -3.544 .0015 .68105

Teste Wald

O valor crítico da qui-quadrada com 1 grau de liberdade é 3,84, logo a hipótese nula é rejeitada.

Impondo uma restrição----------------------------------------------------------------------Linearly restricted regressionLHS=LG Mean = 5.392989 Standard deviation = .2487794 Number of observs. = 36Model size Parameters = 8 <*** 9 – 1 restriction Degrees of freedom = 28Residuals Sum of squares = .0112599 <*** With the restrictionResiduals Sum of squares = .0085531 <*** Without the restrictionFit R-squared = .9948020Restrictns. F[ 1, 27] (prob) = 8.5(.01)Not using OLS or no constant.R2 & F may be < 0--------+-------------------------------------------------------------Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X--------+-------------------------------------------------------------Constant| -10.1507*** .78756 -12.889 .0000 LY| 1.71582*** .08839 19.412 .0000 9.11093 LPG| -.45826*** .06741 -6.798 .0000 .67409 LPNC| .46945*** .12439 3.774 .0008 .44320 LPUC| -.01566 .06122 -.256 .8000 .66361 LPPT| .24223*** .07391 3.277 .0029 .77208 LPN| 1.39620*** .28022 4.983 .0000 .60539 LPD| .23885 .15395 1.551 .1324 .43343 LPS| -1.63505*** .27700 -5.903 .0000 .68105--------+-------------------------------------------------------------F = [(.0112599 - .0085531)/1] / [.0085531/(36 – 9)] = 8.544691

Hipóteses conjuntasHipóteses conjuntas: elasticidade renda = +1, elasticidade preço = -1.A hipótese implica que logG = β1 + logY – logPg + β4 logPNC + ...Estratégia: regrida logG – logY + logPg nas outras variáveis e compare a soma quadrado dos resíduos.Com as duas restriçõesSQR = 0.0286877R-quadrado = 0.9979006IrrestritoSQR = 0.0085531R-quadrado = 0.9960515

F = ((.0286877 - .0085531)/2) / (.0085531/(36-9)) = 31.779951O valor crítico para a F com 95% com 2,27 gl é 3.354. A hipótese nula é rejeitada.

Os resultados são consistentes?? O R2 realmente aumenta com as restrições?

Baseando o teste no R2

F = ((.9960515 - .997096)/2)/((1-.9960515)/(36-9)) = -3.571166 (!)

O que está errado?