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MÉTODOS QUANTITATIVOS submódulo 2 - ESTATÍSTICA GRADUAÇÃO Pós Gestão inovadora da empresa gráfica

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  • MTODOS QUANTITATIVOS submdulo 2 - ESTATSTICAGRADUAOPsGesto inovadora da empresa grfica

  • ProgramaAula 1 26 de agosto recordao de probabilidade e estatstica bsica conceitos gerais de amostragemAula 2 2 de setembro amostragem aleatria simples (AAS) e amostragem estratificada (AE)Aula 3 16 de setembro Estimadores do tipo razo e do tipo regressoAula 4 interpretao da norma NBR5426 planos de amostragem e procedimentos na inspeo por atributosAula 5 exerccios prticos com aplicao da NBR5426 na empresa grfica

    CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA GRFICA PS GRADUAO GESTO INOVADORA DA EMPRESA GRFICASENAI - SP

  • Exerccios de probabilidade1. Jogando-se trs dados, calcular a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja superior a 14.

  • SoluoNmero de resultados do espao amostral S: n = 6 3 = 216Cada um dos 216 resultados de S tem a mesma probabilidade 1/216.Resultados favorveis ao evento E (m): m=20P(E) = m/n = 20/216=0,0926

  • Exerccios de probabilidade2. Seja um baralho comum de 52 cartas.Qual a probabilidade de uma carta ser de ouros ou de copas?

  • SoluoE = sair carta de ourosF = sair carta de copasP(E F) = P(E) + P(F) = + =1/2

  • Exerccios de probabilidade3. Seja um baralho comum de 52 cartas.Qual a probabilidade da primeira carta ser de ouros e a segunda ser de copas, com reposio?

  • SoluoE = sair primeira carta de ourosF = sair segunda carta de copasP(E F) = P(E) P(F) = =1/16

  • Exerccios de probabilidade4. Seja um baralho comum de 52 cartas.Qual a probabilidade da primeira carta ser de ouros e a segunda ser de copas, sem reposio?

  • SoluoE = sair primeira carta de ourosF = sair segunda carta de copasP(E F) = P(E) P(FE) = 13/51 =13/204

  • Exerccios de probabilidade5. Seja um baralho comum de 52 cartas.Qual a probabilidade da primeira carta ser de ouros ou a segunda ser de copas, com reposio?

  • SoluoE = sair primeira carta de ourosF = sair segunda carta de copasP(E F) = P(E) + P(F) P(E F) = 7/16

    Soluo alternativa pelo evento complementar P(E F) = 1 P(~E ~F) = 1 9/16

  • Exerccios de probabilidade6. Seja uma urna com 7 bolas com as letras A A A C C R R. Extraindo-se as bolas uma por uma, calcular a probabilidade de obter a palavra CARCAR.

  • SoluoEvento desejado: F, interseco dos 7 eventos:E1 = primeira bola com CE2 = segunda bola com AE3 = terceira bola com RE4 = quarta bola com CE5 = quinta bola com AE6 = sexta bola com RE7 = stima bola com A

  • P(F) = P(E1) P(E2|E1) P(E3|E1E2) ... = = 2/7 3/6 2/5 2/3 1 = 1/210

  • Exerccios de probabilidade7. Seja uma urna com 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Extri-se simultaneamente 3 bolas. Calcular a probabilidade de a) pelo menos duas sejam brancas.

    E = sarem 3 bolas brancasF = sarem 2 bolas brancas e uma preta.

    P(EUF) = P(E) + P(F)P(E) = 3/7 . 2/6 . 1/5 = 1/35P(F) = 3 (1 1/7 . 2/6 . 4/5) = 12/35P(EUF) = 1/35 + 12/35 = 13/35

  • Exerccios de probabilidade7. Seja uma urna com 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Extri-se simultaneamente 3 bolas. Calcular a probabilidade de b) pelo menos uma seja preta.

    G = pelo menos uma ser preta.~G = nenhuma ser preta = sarem 3 bolas brancas = E

    P(G) = 1 - P(~G) = 1 1/35 = 34/35

  • Exerccios de probabilidade8. Seja um baralho de 32 cartas de 7 a s. Qual a probabilidade de tirar no poquer uma quadra de mo?

  • Exerccios de probabilidade9. Seja um baralho de 32 cartas de 7 a s. Qual a probabilidade de tirar no poquer um flush (todas do mesmo naipe) de mo?

  • Exerccios de probabilidade10. Seja um baralho de 32 cartas de 7 a s. Qual a probabilidade de tirar no poquer um par de mo?

  • Aula 2 - AMOSTRAGEMNoes BsicasProcedimentos amostraisObjetivo: obter informaes sobre o todo, baseando-se no resultado de uma amostraPerigo: vis de interpretao do resultadoAdequaes e inadequaes de alguns protocolos de obteno de amostrasInferncia estatstica: obter resultados para o todo, baseando-se em resultados da amostra

  • Vocabulrio TcnicoVer apndice A (Bolfarine)Amostra subconjunto de uma populaoAmostragem por quotas processo de amostragem em que a seleo das unidades amostrais feita em campo, at o nmero especificado em projeto para ser coletado em cada estrato.Caracterstica de interesse (varivel) propriedade dos elementos da populao que se pretende conhecer.

  • Vocabulrio TcnicoCenso resultado do levantamento estatstico que visa a conhecer a totalidade das caractersticas individuais de uma populao.Populao ou universo conjunto de elementos, cujas propriedades e investigam por meio de subconjuntos que lhes pertencem.Vis ou vcio (de um estimador de um parmetro) a diferena entre o seu valor esperado e o valor do parmetro.Sistema de referncia lista ou descrio das unidades amostrais da populao, por meio da qual possvel selecionar a amostra.

  • Tpicos para um levantamento amostralApndice BIdentificao dos objetivos e populaesColeta das informaesPlanejamento e seleo da amostraProcesso de coleta dos dados (em campo)Processamento dos dadosAnlise dos resultados (modelos estatsticos)Apresentao dos resultadosDisponibilizao dos dados

  • O que uma boa amostra? aquela que permite a generalizao de seus resultados dentro dos limites aceitveis de dvidas. aquela que possui um custo mnimo de planejamento e execuo e ainda atenda ao objetivo no. 1

  • O tamanho da amostra e o erro do estimadorO erro padro do estimador decresce medida que aumenta o tamanho da amostra.Exemplo: seja um levantamento amostral cujo objetivo prever qual dentre os dois nicos possveis partidos ter maior porcentagem de votos vlidos. Um dos partidos obteve 56% dos votos.Caso tenha sido usada uma amostra de 100 eleitores: intervalo de 95% de confiana indicaria um nmero entre 46% e 66% (inconclusivo).

  • O tamanho da amostra e o erro do estimadorUm dos partidos obteve 56% dos votos.Caso tenha sido usada uma amostra de 400 eleitores: intervalo de 95% de confiana indicaria um nmero entre 51% e 61% (conclusivo e suficiente).Caso tenha sido usada uma amostra de 1600 eleitores: intervalo de 95% de confiana indicaria um nmero entre 53,5% e 58,5% (conclusivo e exagerado).

  • Vis e desvio padroSeja uma populao ou universo: o conjuntou = {1,2,...,N} de todas as unidades elementares de interesse. N o tamanho fixo da populao, s vezes desconhecido.

    Elemento populacional qualquer elementoi pertencente a u, do qual se deseja conhecer Yi

  • Parmetro populacional o vetor de todos os valores de uma varivel de interesse que se denota por D = ( Y1,...,YN)

  • Funo paramtrica populacional uma caracterstica numrica qualquer da populao, que condensa funcionalmente os Yi. Tal funo ser denotada por (D)

  • Exemplo 2.1 (pag. 38)

  • Funes paramtricas populacionaisIdade mdia (Y) = (20+30+40)/3 = 30

    Renda mdia do trabalhador (D) = (12+30+18)/(1+3+2) = 10

  • Funes paramtricas populacionais mais usadasMdia populacional (Y) = = (Y1+ Y2+...+YN)/N

    Varincia populacional (Y) = 2 = (Yi )2/NDesvio padro

  • ExerccioDeterminar a mdia e o desvio padro das idades dos habitantes de um determinado bairro. Os valores esto apresentados direita:

  • AmostrasUma seqncia qualquer de n unidade de u denominada uma amostra ordenada de u.Exemplo:u = {1,2,3}s1 = (1,2)s2 = (2,1)s3 = (1,1,3)

  • Planejamento amostralSe cada amostra tem associada a si uma probabilidade de ser sorteada e a soma de todas as probabilidades for igual a 1, ento tem-se um planejamento amostral ordenado.Exemplo: u = {1,2,3}Plano A: P(11) = P(12) = P(13) = 1/9P(21) = P(22) = P(23) = 1/9P(31) = P(32) = P(33) = 1/9P(s) = 0, para as demais s pertencentes ao conjunto de todas as amostras possveis S.

  • Planejamento amostralPlano B: P(12) = P(13) = P(21) = P(23) = P(31) = P(32) = 1/6 P(s) = 0, para as demais s pertencentes ao conjunto de todas as amostras possveis S.

    Diferena entre o plano A e o plano B:Plano A: com reposioPlano B: sem reposio

  • Planejamento amostralPlano C:P(2) = 1/3P(12) = P(32) = 1/9P(112) = P(132) = P(332) = P(312) = 1/27P(111) = P(113) = P(131) = P(311) = 1/27P(133) = P(313) = P(331) = P(333) = 1/27P(s) = 0, para as demais s pertencentes ao conjunto de todas as amostras possveis S.

  • Descrio textual do Plano CPlano C:Sorteie uma unidade aps a outra, repondo a unidade sorteada antes de sortear a seguinte, at o surgimento da unidade 2 (i=2) ou at que 3 unidades tenham sido sorteadas.

  • Planos equiprobabilsticosSo os planos em que todas as amostras tm a mesma probabilidade de ser escolhida.

  • Amostragem Aleatria Simples (AAS)Seleciona-se seqencialmente cada unidade amostral com igual probabilidade, de tal forma que cada amostra tenha a mesma chance de ser escolhida. A seleo pode ser feita com ou sem reposio.

  • EstimadoresO objetivo principal da amostragem produzir estimadores para parmetros populacionais desconhecidos.Quando se associa uma estatstica com a expresso que ir estimar o parmetro populacional, ele recebe o nome de estimador. O valor numrico do estimador, para cada amostra, chama-se estimativa.

  • Vis ou vcio do estimadorBA[e] = EA[e ]

    B de bias (vis em ingls)

  • Varincia de uma estatstica HVar A[H] = {h(ds) EA[H]}2 PA(s) para todas as amostras do plano A.

  • Distribuio binomialSeja p a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa nica (probabilidade de sucesso)q = 1 p a probabilidade insucessoA probabilidade do evento ocorrer X vezes, em N tentativas, p(X) = NCXpXqN-X = N!/[X!(N-X)!] pXqN-XExemplo: Qual a probabilidade de obter exatamente 2 caras em 6 lances de uma moeda no-viciada?

  • Distribuio binomialEsta distribuio discreta de probabilidade denominada distribuio binomial, visto que a X= 0, 1, 2, ..., N correspondem os termos sucessivos da frmula binomial ou do desenvolvimento binomial

    (p+q)n = qN + NC1qN-1p1 + NC2qN-2p2 +...+pNem que 1, NC1, NC2,... so os coeficientes binomiais

  • Propriedades da distribuio binomial

  • Distribuio de Poissonp(X) = X e-/X!em que e = 2,71828...e uma constante dadaMdia: = Varincia:2 =

  • Relao entre as distribuies binomial e de PoissonSe N for grande e p for pequeno, o evento raro. Na prtica:N50 e Np
  • ExerccioDez por cento das revistas produzidas por um certo processo revelaram-se defeituosos. Determinar a probabilidade de em uma amostra de 10 ferramentas escolhidas ao acaso, exatamente duas serem defeituosas, mediante o emprego:da distribuio binomialda aproximao de Poisson para essa distribuio

  • Exerccio - resoluoProbabilidade de uma revista ser defeituosa:p = 0,1Pr{2 revistas defeituosas em 10} = 10C2p2q8 = 10!/(2!8!) (0,1)2 (0,9)8 = 0,1937 = Np = 10 (0,1) = 1 Pr{2 revistas defeituosas em 10} = 2e- /2! = 0,1839

  • Distribuio normal (ou de Gauss)na qual a mdia, o desvio padro,=3,14159..., e= 2,712828...

  • Distribuio normal (ou de Gauss)Usando a unidade reduzida z = (X )/:

  • Distribuio normal (ou de Gauss)68,27%99,73%95,45% (-2 a +2)

  • Relao entre as distribuies binomial e normalSe N for grande e nem p nem q forem prximos de zero, a distribuio binomial muito aproximada da de uma normal. Quanto maior o N, melhor ser a aproximao.

  • ExerccioDeterminar a probabilidade de, em 120 lances de uma moeda honesta, ocorrerem caras:entre 40 e 60%;em 5/8 ou mais desses lances.

  • Soluocaras entre 40% e 60% 40% de 120 = 48 60% de 120 = 72 probabilidade do evento cara p = probabilidade do evento coroa q = 1 p = Nmero de caras uma varivel discreta Em uma distribuio normal, verifica-se a probabibilidade do nmero de caras estar situado entre 47,5 e 72,5

  • Soluo (cont.) = nmero esperado de caras = Np = 60 2 = 120 (1/2) (1/2) = 30 = 5,48 47,5 em unidades reduzidas=(47,5-60)/5,48 z1 = -2,28 72,5 em unidades reduzidas=(72,5-60)/5,48 z2 = +2,28 Probabilidade = rea (sob a curva normal entre z1= -2,28 e z2=+2,28) = 0,9774

  • Soluo (cont.)5/8 ou mais dos lances serem caras nmero de caras > 120 x 5/8 = 75 caras nmero de caras entre 74,5 e 120 74,5 em unidades reduzidas: z1 = (74,5 60)/5,48 = 2,65 120 em unidades reduzidas: z2 = (120 60)/5,48 = 10,95 Prob = 0,50 0,4960 = 0,004

  • ExerccioCada pessoa de um grupo de 500, lana uma moeda honesta 120 vezes. Quantas pessoas seria de esperar que relatassem ter obtido caras:entre 40 e 60% dos seus lances;em 5/8 ou mais desses lances. Resposta a) 489 pessoas b) 2 pessoas.

  • ExerccioVerificou-se que 2% das revistas produzidas por uma certa impressora so defeituosas. Qual a probabilidade de, em uma remessa de 400 dessas revistas, revelarem-se defeituosas: (a) 3% ou mais; (b) 2% ou menos?

  • Soluoa) 3% ou mais (3% de 400) = 12 revistas defeituosas. Baseado na continuidade, 12 ou mais revistas significam 11,5 ou mais. X = (2% de 400) = 8 2 = N p q = (400) x (0,02) x (0,98) = 7,84 = 2,8 11,5 em unidades reduzidas: z = (11,5 8)/2,8 z = 1,25 Prob = 0,5 0,3944 = 0,1056 = 10,56%

  • Soluo (cont.)b) 2% ou menos (2% de 400) = 8 revistas 8 revistas ou menos significa 8,5 ou menos 8,5 em unidades reduzidas: z = (8,5 8)/2,8 = 0,18 Prob = (0,5 + 0,0714) = 0,5714 = 57,14%

  • ExerccioUma pesquisa amostral foi conduzida com o objetivo de se estudar o ndice de ausncia ao trabalho em um determinado tipo de indstria. Uma AAS sem reposio de mil operrios de um total de 36 mil observada com relao ao nmero de faltas no justificadas em um perodo de 6 meses. Os resultados obtidos foram:Faltas012345678Operrios45116218711249215112Qual a estimativa de dada por essa amostra?Qual o erro aceitvel dentro de um intervalo de confiana de 95%?

  • Distribuio amostral das mdiasTodas as amostras possveis de tamanho N so retiradas, sem reposio, de uma populao finita de tamanho Np > N. Se a media e o desvio padro da distribuio amostral das mdias foram designados por e e os valores correspondentes da populao o forem por e , ento:

  • Para ter 95% de certeza: intervalo entre -1,96X e +1,96X isto , (1,20;1,39)

  • ExerccioEm uma populao de 60 milhes de eleitores, foi feita uma pesquisa com 2500 eleitores de acordo com um plano de amostragem aletoria simples, sem reposio. Um determinado candidato obteve 51% dos votos.

    Qual a estimativa de nmero total de votos desse candidato na populao total, a partir da estatstica amostral?Qual o erro aceitvel dentro de um intervalo de confiana de 95%?

  • Distribuio amostral das propores

  • ExerccioEm uma tiragem de 3000 livros, foi analisada uma amostra de 100 livros de acordo com um plano de amostragem aletoria simples, sem reposio. Foram encontrados um certo nmero de livros defeituosos.

    Qual a estimativa de nmero total de livros defeituosos na tiragem?Qual o erro aceitvel dentro de um intervalo de confiana de 95%?

  • Intervalos de confiana

  • NBR 5426Planos de amostragem e procedimentos na inspeo por atributos