ECONOMETRIA

Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Cap. 11 – Heterocedasticidade: o que

acontece se a variância do erro não é

constante?

Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição.

Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006

1. Qual é a natureza da heterocedasticidade?

2. A multicolinearidade é realmente um problema?

3. Quais são as suas consequências?

4. Como é possível detectá-las?

5. Quais são as medidas corretivas?

A natureza da Heterocedasticidade

• Homo = igual; cedasticidade = espalhamento

• 𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎2, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜

• 𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎𝑖

2, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜

• Exemplo: poupança como função da renda – pessoas

com mais renda poupam mais, mas, com maior

variabilidade

Razões para ocorrência

1. Modelos de aprendizagem pelo erro: no. de defeitos,

no. de erros em faturas

2. Exemplo da renda e política de dividendos: pessoas

com maior renda e empresas com maior lucro terão

maior discricionariedade na definição de poupança e

política de dividendos

3. Problemas na especificação do modelo (violação da

premissa 9) como omissão de variáveis podem parecer

heterocedasticidade. Ex.: na função demanda não

incluir o preço dos produtos concorrentes – os

resíduos podem dar a impressão de que a variância

não é constante

Razões para ocorrência

4. Dados discrepantes ou outliers:

Razões para ocorrência

5. Assimetria na distribuição dos regressores. Ex.: renda,

riqueza, escolaridade

Mais comum em dados em corte transversal.

Variedade de tamanhos de empresas por exemplo podem

causar heterocedasticidade.

Analisar exemplo da tabela 11.1

Estimação dos MQO na presença de

heterocedasticidade

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =𝜎2

𝑥𝑖2 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜

𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥𝑖

2 𝜎𝑖2

𝑥𝑖2 2 ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜

Estimação dos MQO na presença de

heterocedasticidade

• 𝛽2

– é ainda um estimador linear;

– é não tendencioso;

– é consistente ( 𝛽2 converge para 𝛽2 à medida que o tamanho

da amostra aumenta);

– NÃO é eficiente (não é o estimador com variância mínima na

classe dos estimadores não tendenciosos);

– A variância mínima é diferente de 𝑥𝑖

2𝜎𝑖2

𝑥𝑖2 2

O método dos mínimos quadrados

generalizados (MQG)

• Observar na tabela 11.1 como σ aumenta com o

aumento do no. de empregados.

• A questão é: como dar maior peso às observações com

menor variação?

• É o que faz o MQG

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

Para simplificar escreveremos:

𝑌𝑖 = 𝛽1𝑋0𝑖 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

Onde 𝑋0𝑖 = 1

Supondo 𝜎𝑖2 conhecidas:

O método dos mínimos quadrados

generalizados (MQG)

Supondo 𝜎𝑖2 conhecidas:

𝑌𝑖

𝜎𝑖= 𝛽1

𝑋0𝑖

𝜎𝑖+ 𝛽1

𝑋𝑖

𝜎𝑖+ 𝛽1

𝑢𝑖

𝜎𝑖

𝑌𝑖∗ = 𝛽1

∗𝑋0𝑖∗ + 𝛽2

∗𝑋𝑖∗ + 𝑢𝑖

∗

𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑖∗ = 𝐸 𝑢𝑖

∗ 2 = 𝐸𝑢𝑖

𝜎𝑖

2

=1

𝜎𝑖2 𝐸(𝑢𝑖

2) já que 𝜎𝑖2 é conhecido

=1

𝜎𝑖2 (𝜎𝑖

2) já que 𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎𝑖

2

= 1 que é uma constante, logo, homocedástico

O método dos mínimos quadrados

generalizados (MQG)

• MQO sobre o modelo transformado gera 𝛽1∗ e 𝛽2

∗ que

são BLUE.

• MQG = MQO sobre variáveis transformadas de modo a

satisfazer as premissas dos mínimos quadrados padrão.

• Definindo 𝑤𝑖 =1

𝜎𝑖2

• 𝑣𝑎𝑟 𝛽2∗ =

𝑤𝑖

𝑤𝑖 𝑤𝑖𝑋𝑖2 − 𝑤𝑖𝑋𝑖

2

O método dos mínimos quadrados

generalizados (MQG)

• A diferença entre MQO e MQG

• MQO => 𝑢𝑖2 = 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖

2

• MQG => 𝑢𝑖

𝜎𝑖

2=

𝑌𝑖

𝜎𝑖− 𝛽1

∗ 𝑋0𝑖

𝜎𝑖− 𝛽2

∗ 𝑋𝑖

𝜎𝑖

2

𝑤𝑖 𝑢𝑖2 = 𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 𝛽1

∗𝑋0𝑖 − 𝛽2∗𝑋𝑖

2

O peso atribuído a cada observação é inversamente

a seu 𝜎𝑖. Estaremos dando maior peso às observações

que se concentram em torno de sua média.

Como esse SQR é uma ponderação por 𝜎𝑖, e esse SQR será minimizado para obter 𝛽1∗ e

𝛽2∗, esse método é um caso especial do MQG que é conhecido como MQP = Mínimos

Quadrados Ponderados

Consequências do uso de MQO na presença de

heterocedasticidade

• Se ignorarmos a heterocedasticidade e estimarmos 𝛽2

usando MQO e 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =𝜎2

𝑥𝑖2 essa variância poderá

estar super ou subestimada porque quando há

heterocedasticidade 𝑢𝑖

2

𝑛−2não é mais um estimador não

tendencioso de 𝜎2.

• 𝛽2 não é mais eficiente, ou seja, não tem variância

mínima, logo, os intervalos de confiança serão mais

amplos, facilitando a não rejeição de H0.

• Os testes t e F não serão mais confiáveis.

• Solução: usar MQGVer quadro na pag. 322 com os erros-padrão das 3 abordagens.

Detecção da heterocedasticidade

• Em ciências sociais há pouco controle sobre

experimentos

• Em geral temos um Yi para um Xi

• Não é possível obter a variância do erro em Xi se só há

uma observação para aquele Xi

• Como detectar?

• Métodos informais:

– Natureza do problema: (i) exemplo da poupança e renda, (ii)

em dados de corte transversal se as unidades são muito

heterogêneas

– Método gráfico: (i) 𝑢𝑖2 x 𝑌𝑖; (ii) 𝑢𝑖

2 x Xi

Métodos formais de detecção

• Teste de Park

𝜎𝑖2 = 𝜎2𝑋1

𝛽𝑒𝑣𝑖

𝑙𝑛𝜎𝑖2 = 𝑙𝑛𝜎2 + 𝛽𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑣𝑖

𝑙𝑛 𝑢𝑖2 = 𝛼 + 𝛽𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑣𝑖

– Se 𝛽 for significativo há heterocedasticidade

– O teste é um procedimento em duas etapas: (i) estima-se a

regressão por MQO sem levar em conta a heterocedasticidade

e obtemos os 𝑢𝑖2, e em (ii) estima-se a regressão do teste.

– Crítica: o termo de erro 𝑣𝑖 pode não atender aos pressupostos

de MQO e ser ele próprio heterocedástico. O método pode ser

estritamente exploratório.

Ver arquivo Tabela11-1_Parker e Glejser.txt

Métodos formais de detecção

• Teste de Glejser

– Sugere fazer regressão dos valores absolutos de 𝑢𝑖 contra a

variável X.

– Sugere vários modelos.

– Vamos testar: 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑣𝑖

– É um teste que deve ser aplicado a grandes amostras.

Ver arquivo Tabela11-1_Parker e Glejser.txt

Métodos formais de detecção

• Teste de Breusch – Pagan – Godfrey

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑢𝑖

Suponha que a variância do erro seja descrita como:

𝜎𝑖2 = 𝑓(𝛼1 + 𝛼2𝑍2𝑖 + ⋯ + 𝛼𝑚𝑍𝑚𝑖)

Os Xs podem servir como Zs.

O teste BPG testa se 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑚 = 0

Se isso ocorre 𝜎𝑖2 = 𝛼1 e portanto homocedástico

É um teste para grandes amostras

Sensível à premissa de normalidade de 𝑢𝑖 se a amostra é

pequenaVer arquivo testeheteroc2_BPG.txt

Métodos formais de detecção

• Teste de White

– Não depende da premissa de normalidade

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

1. Estimar a regressão e obter os resíduos

2. 𝑢𝑖2 = 𝛼1 + 𝛼2𝑋2𝑖 + 𝛼3𝑋3𝑖 + 𝛼4𝑋2𝑖

2 + 𝛼5𝑋3𝑖2 + 𝛼6𝑋2𝑖𝑋3𝑖 +

𝑣𝑖

Usar em 2 sempre os Xs, os mesmos ao quadrado e os produtos cruzados

3. Obter o R2 dessa regressão

4. Sob H0: homocedasticidade

𝑛. 𝑅2~ χ𝑔.𝑙.2

(assintoticamente)

g.l. = no. de regressores (sem a constante)

Ver arquivo testesheteroc3_white.txt

Métodos formais de detecção

• Teste de White

5. Se 𝑛. 𝑅2 > χ𝑐𝑟𝑖𝑡,𝛼2 conclui-se que há heterocedasticidade

– Se o modelo tem muitos regressores a inclusão dos mesmos,

seus termos ao quadrado e os cruzados podem consumir

muitos g.l.

Ver arquivo testesheteroc3_white.txt

Providências corretivas

• Quando 𝜎𝑖2 é conhecido: usar o método dos mínimos

quadrados ponderados

• Quando 𝜎𝑖2 não é conhecido: estimar os modelos com

erros robustos a heterocedasticidade de White

Obs.: ver premissas plausíveis sobre o padrão da heterocedasticidade nas

páginas 337 a 341