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MAT 475 – Tópicos em Matemática Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])Aula 11a15: SageMath e Python

Linguagem de Programação

Computadores e outros dispositivos eletrônicos programáveis

executam instruções ativando (ou desativando) determinadas partes

em seus componentes. As instruções são comunidadas ao dispositivo

por uma sequência de zeros e uns (código binário).

Uma linguagem de programação é uma ponte entre a linguagem

humana e a de máquina, mesclando conceitos de ambas.

As linguagens de programação são classificadas em vários ńıveis de

acordo com sua proximidade com a linguagem humana.

Linguagens de baixo ńıvel são mais próximas da linguagem da

máquina enquanto as de alto ńıvel se aproximam da linguagem

natural humana.


Python

Uma linguagem de programação pode ser compilada (traduzida para

uma linguagem de máquina) ou interpretada.

Uma linguagem interpretada não precisa ser compilada. Ela é lida

por um programa que faz a tradução para a linguagem de máquina.

Python é uma linguagem de alt́ıssimo ńıvel (VHLL – very high level

language), interpretada, de código fonte aberto e dispońıvel para

vários sistemas operacionais.

O interpretador do Python já vem instalado no Linux. Para

windows ele está dispońıvel para download em

http://www.python.org

O SageMath é implementado principalmente em Python .

http://www.python.org


Python

Python é uma linguagem dinamicamente tipada. Isto quer dizer que

não é preciso declarar as variáveis ou ou tipo delas. A forma como a

variável é usada no código identifica como ela será armazenada.

A = 3 É identificada como inteira (tipo int)

A = 3.0 É identificada como inteira (tipo float)

A = "três" É identificada como string

type(A) Para saber o tipo definido para a variável


Python. comentário

Tudo que estiver após o śımbolo # em uma linha de comando do

Python é assumido como comentário.

Para comentar um bloco de comandos, coloque-o entre três aspas

simples.

#Comentários em python

a=2 # a recebe 2

b=5

’’’inı́cio bloco de comentários

a=3

a=33

b=24

c=15

fim do bloco de comentários’’’

a+b


Python

Operações aritméticas:

8+3 adição

8*3 multiplicação

8/3 divisão de inteiros

8./3 divisão de reais

8**3 potenciação

8**(1/3) radiciação

8%3 resto de divisão

3*("na"+"da") 3 x a concatenação de ’na’ com ’da’

Operações booleanas:

a==b verifica se são iquais

a!=b ou ab verifica se são diferentes


Python. Listas

Uma lista é uma sequência de variáveis delimitada por colchetes. Pode

conter tipos diferentes e pode ser alterada (pois é mutável).

list=[4,"nada", 3.0] define a lista list com 3 elementos.

list[0] exibe o primeiro elemento da lista.

list[-2] exibe o penúltimo elemento da lista.

len(list) informa o tamanho da lista.

list+[3,5] concatena list com a lista [3,5].

list[1]=7 insere o valor 7 na posição 1 da lista.

del list[1] remove o elemento da posição 2 de list.

list.index(4) indica a posição que o valor ”4”está na lista.

Se tiver mais de uma posição com mesmo valor,

indica a primeira ocorrência.


Python. Listas: pseudo-matriz


Python. Tupla

Uma tupla é uma sequência de variáveis delimitada por parênteses.

Assim como em uma lista, pode conter tipos diferentes. No entanto,

uma tupla não pode ser alterada depois de criada (pois é imutável).

Os comandos de acesso e manipulação de tuplas são analógas aos

usados para listas.

tup=(4,"nada", 3.0) define a tupla tup com 3 elementos.

tup[1] acessa o segundo elemento da tupla tup.

matriz=((1,2),(3,4)) cria uma pseudo-matriz 2x2

matriz[0][1] exibe o elemento da posição 1x2 de matriz


Python. set

Conjuntos são definidos com a sintaxe set([elementos]).

X = set([1,19,’a’])

Y = set([1,1,1, 2/3])

Z=X.intersection(Y)

print ’X =’,X

print ’Y =’,Y

print Z

print X == set([’a’, 1, 1, 19])

print ’a’ in X

print ’a’ in Y

Resultado:

X = set([’a’, 1, 19])

Y = set([1, 2/3])

set([1])

True

True

False


Python. Set

SageMath tem sua própria função conjunto (Set) que além de incorporar

as propriedades da Teoria de conjuntos, tem algumas funções adicionais.

X =set([1,19,’a’])

Y = Set([1,1,1, 2/3])

print ’X =’,X

print ’Y =’,Y

print latex(X)

print latex(Y)

Resultado:

X = set([’a’, 1, 19])

Y = {1, 2/3}

\text{\texttt{set([’a’,{ }1,{ }19])}}

\left\{1, \frac{2}{3}\right\}


Python. Range

A função range(a, b) gera uma lista de uma sequência de números

inteiros no intervalo [a,b)

range(2,7) lista com os inteiros de 2 a 6.

range(7) lista com os inteiros de 0 a 6.

range(1,17,4) lista com os inteiros de 1 a 16, com razão 4.


Python. For

Na maioria das linguagens de programação, o comando for realiza

uma iteração percorrendo uma sequência de números inteiros de

uma progressão aritmética.

Em Python a iteração é feita percorrendo os itens de uma sequência

que pode ser de diversos tipos (lista, string etc.). Por exemplo:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

for i in range(1,4):

print i,

print ""

for i in range(3)+range(5,7):

print i,

print "\n"

lista=[’fada’,’casa’,’nada’]

for i in lista: print i

Resultado:

1 2 3

0 1 2 5 6

fada

casa

nada


Python

Não é necessário utilizar { } para delimitar um bloco de comandosou end para finalizar uma estrutura.

Não existe um delimitador espećıfico para blocos de código. A

delimitação é feita pela indentação ( tecla tab ou 4 espaços).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


print i

print "f_",i

print "g_",i

Resultado:

1

f_ 1

2

f_ 2

g_ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Observe que a linha de comando {print "g_",i} está alinhado com ocomando for (e, portanto, o valor de i neste caso não é iterado

percorrendo a sequência de inteiros em range(1,3)). Como o último

valor para i é 2, foi impresso g_2.


Python. Exemplo:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

matriz = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))

for i in range(len(matriz)):

for j in range(len(matriz)):

print matriz[i][j],

print ""

Resultado:

1 0 0

0 1 0

0 0 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Python

Exemplos de formatação de strings:

a,b,c=3.1415,5,’número’ atribui, respectivamente, valores para

as variáveis a,b e c.

print "a=%f" %a imprime: a={valor da float(f) a}print "b=%d" %b imprime: b={valor do inteiro(d) b}print "c=%s" %s imprime: c={valor da string(s) c}print ’%f é %s’ %(a,c) imprime: 3.1416 é um número

print ’%.2f’ %a imprime o float com 2 casas decimais

print ’%6.2f’ %a imprime usando 6 espaços no total

(insere espaço em branco se preciso).

\n pula uma linha

\t acrescenta espaço de tabulação


Python


Python. if–elif–else

A estrutura geral de uma condicional if tem a seguinte sintaxe:

if condiç~ao:

# comandos

...

elif condiç~ao:

# comandos

...

else:

# comandos

...

#Exemplo

var = [-2, 4, 5, 6, 0, -3, 4, 8, 3]

for i in var:

if i < 0:

print "Valor negativo: %d" % i

elif i == 0:

print "zero na posiç~ao", var.index(0)

else:

print "Valor positivo: %d" % i


Python. Módulo:

Existem módulos que podem ser inseridos no código.

Para importar um módulo basta colocar no ińıcio do código:

import nome_do_módulo

Exemplos:

import datetime # para marcar tempo

import random # para gerar números aleatórios

Para conhecer as funções de um módulo basta digitar:

help(nome_do_modulo).


Python. Exemplo

Procedimento para gerar uma pseudo-matriz (lista de listas) aleatória:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

import random

def cria_matriz(lin,col):

A=[]

for i in range(lin):

linha=[]

for j in range(col):

linha = linha + [random.randint(1,10)]

A= A + [linha]

return A

cria_matriz(2,3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


SageMath

O SageMath é um software livre e de código aberto de matemática

que engloba softwares de várias áreas, tais como, álgebra, geometria,

teoria dos números, análise numérica, criptografia, computação

simbólica e numérica.

Criado em 2005 com o objetivo de ser uma alternativa gratuita a

softwares comerciais como Maple, Mathematica e matlab.

O SageMath utiliza a linguagem de programação Python . No

entanto, não é preciso saber Python para usar a maioria dos

recursos do programa.

O conhecimento necessário de Python para resolver um PPL ou

PPLI no SageMath é proporcional à complexidade do problema.


Como usar o SageMath

Endereço: http://www.sagemath.org

Para usar o SageMath é preciso um navegador de internet como

ambiente de trabalho.

Para usar no windows é preciso instalar uma máquina virtual.

Online:

https://cloud.sagemath.com

http://sagecell.sagemath.org

http://www.sagemath.orghttps://cloud.sagemath.comhttp://sagecell.sagemath.org


Como usar o SageMath




Programação linear no SageMath

Suponha que se queira resolver o seguinte PPL:

max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ≥ 0




max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ≥ 0

Crie um MixedIntegerLinearProgram

(por padrão, o problema é de maximização)




max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ≥ 0

crie um vetor de variáveis x:

(não é preciso definir o tamanho do vetor)




max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ≥ 0

adicione a função objetivo do PPL:




max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ≥ 0

adicione as restrições do PPL:




max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ≥ 0

resolva o PPL:




max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ≥ 0

z = 14.8




max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ≥ 0

z = 14.8

x1 = 0.0

x2 = 2.5

x3 = 1.6

Exibir solução:




max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ≥ 0


Programação linear inteira (mista) no SageMath

Suponha que se queira resolver o seguinte PI:

max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ∈ Z+



Suponha que se queira resolver o seguinte PI:

max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ∈ Z+

z = 11

x1 = 0

x2 = 2

x3 = 1

O que muda é a declaração das variáveis x.



Suponha que se queira resolver o seguinte PB:

max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ∈ N



Suponha que se queira resolver o seguinte PB:

max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ∈ N

z = 7

x1 = 0

x2 = 1

x3 = 1

O que muda é a declaração das variáveis x.


Programação linear (inteira mista) no SageMath

Escrevendo o problema na forma matricial

max x1 + 4x2 + 3x3

s.a. x1 + 2x2 ≤ 55x1 + 5x3 ≤ 8x1, x2, x3 ≥ 0


Programação linear (inteira mista) no SageMath

Escrevendo um PPL de minimização na forma matricial

min 2x1 + 4x2 + 3x3

s.a.

x1 + 2x2 ≥ 55x1 + x2 + 3x3 ≥ 8x1 + 3x2 ≥ 3x1, x2, x3 ≥ 0


Programação linear inteira (mista) no SageMath. Alguns comandos úteis

O conjunto solução pode ser salvo em um vetor:

x_sol=p.get_values(x)

Especificar o número de casas decimais:

round(p.solve(),2)

round(p.get_values(x),2)

Selecionar o solver para resolver o MIP:

MixedIntegerLinearProgram(solver=’nomesolver’)

Exemplos de solver: GLPK, Coin, CPLEX, Gurobi

(Alguns comandos são espećıficos do solver)

MixedIntegerLinearProgram(solver=’GLPK’)

Para resolver um MIP de minimização:

MixedIntegerLinearProgram(maximization=False)


Programação linear inteira (mista) no SageMath. Alguns comandos úteis

Seja o MIP:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p = MixedIntegerLinearProgram()

v = p.new_variable(nonnegative=True). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p.get_min(v) retorna o valor ḿınimo das variáveis do vetor v

p.get_min(v[1]) retorna o valor ḿınimo da variável v[1]

p.set_min(v[1],None) permite v[1] assumir qq valor real negativo

p.set_max(v[1],6) fixa o valor 6 como limitante superior para v[1]

p.set_binary(v[3]) fixe v[3] como binária

(p.polyhedron()).show() para exibir o poliedro(até 3D naturalmente)

dir(p) Construtor de uma determinada função.



Dado o MIP:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p = MixedIntegerLinearProgram()


Inserir a restrição:∑5

i=0 vi ≤ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .soma = p.sum(v[i] for i in xrange(5))

p.add_constraint(soma, max=4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inserir restrição:∑3

i=1 vi = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .soma = p.sum(v[i] for i in xrange(1,4))

p.add_constraint(soma, min=3,max=3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Informações sobre as restrições:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p.constraints() # lista de restriç~oes

p.constraints(0) # primeira restriç~ao

p.number_of_constraints() # número de restriç~oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Programação linear inteira (mista) no SageMath. Exemplo:

min x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4

s.a.

x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 10x3 + x4 = 4

xi ∈ {1, 2, 3, 4},i = 1, . . . , 4.

Defina um vetor a com os coeficientes da

função objetivo. Seja n o número de

coordenadas de a.

Defina p um PPI e x um vetor de variáveis

inteiras.

Faça soma=∑n

i=1 aixi e insira a restrição

soma≥ 10.

Faça soma=∑n−1

i=2 xi e insira a restrição

soma= 4.

Para todo i, fixe o limitante superior

(upper bound) da variável xi em 3.

Seja x̂i, i = 1, ..., n, o conjunto solução do

PPI. Imprima [x̂i, i = 1, ..., n].


Programação linear inteira (mista) no SageMath. Exemplo:

min x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4

s.a.

x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 10x3 + x4 = 4

xi ∈ {1, 2, 3, 4},i = 1, . . . , 4.


Programação linear inteira (mista) no SageMathExemplo:

Defina os seguintes elementos:

a = [1, 2,−3, 4], b = ((1, 2, 3, 0), (4, 3, 0, 6)), c = (10, 4).

Defina um PI de minimização e um vetor de variáveis inteiras w.

Defina a função objetivo∑n

i=1 aiwi, em que n = |a|.Defina as restrições:∑n

i=1 b1iwi = c1∑ni=1 b2iwi ≤ c2

Resolva o PPI

Imprima o valor ótimo e os valores das variáveis não nulas.



Escrevendo um PLI de forma mais genérica:



Problema (tutoria): Considere 5 turmas de 3 disciplinas (MAT0, MAT1 e

MAT2) distribúıdas em um dos posśıveis 5 horários (0-4). Um conjunto de 3

tutores (João, Maria, José) com os seguintes horários livres e disciplinas que

podem ministrar. As tabelas exibem os dados dos tutores (horários livres e

disciplinas que podem ministrar) e das turmas (horário e disciplina).

Tutor Disponibilidade MAT

João 0, 1, 3 0, 1, 2

Maria 0, 2, 3 1, 2

José 1, 2 0, 1

Turma 1 2 3 4 5

Disciplina 0 0 1 1 2

Horário 0 1 2 0 3

Escreva um trecho de código para gerar uma lista tutorTurma em que

cada elemento i é o conjunto de tutores que podem ministrar a turma i.

Imprima em cada linha cada elemento de tutorTurma.


Programação linear inteira (mista) no SageMath. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tutor=(’Jo~ao’,’Maria’,’José’)

discipTutor=(set([0,1,2]), set([1,2]),set([0,1])) #disciplina_tutor

disponiTutor=((0,1,3),(0,2,3),(1,2)) #horarios disponı́veis

dadosTurma=((0,0),(0,1),(1,2),(1,0),(2,3)) #turma=disciplina,horário

ntutor,nturma=len(Tutor), len(dadosTurma)

ndisc,nhora=3,4

tutorTurma=[]

for j in range(nturma):

linha=set([])

for i in range(ntutor):

if dadosTurma[j][0] in discipTutor[i] and dadosTurma[j][1] in disponiTutor[i]:

linha = linha.union([i])

tutorTurma= tutorTurma + [linha]

print "Tutores que podem ministrar as turmas:\n"

for i in range(nturma):

print "Turma_",i,":",

for j in tutorTurma[i]:

print Tutor[j],

print ""

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Programação linear inteira (mista) no SageMath. Bibliotecas de um espećıfico solver

Seja o MIP:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p = MixedIntegerLinearProgram(solver = "GLPK")


p.solver_parameter("timelimit", 60) # tempo máximo: 60s

p.get_relative_objective_gap() # gap


Programação linear inteira (mista) no SageMathimport datetime

p = MixedIntegerLinearProgram(solver=’GLPK’)

v = p.new_variable(integer=True, nonnegative=True)

coeff,coefb=(1,5,3),(6,8,19)

A=([1,2,-3],[3,-1,1],[2,2,3])

soma=0

for i in range(1,4): soma+=coeff[i-1]*v[i]

p.set_objective(soma)


soma=0

for j in range(1,4):

soma+=A[i-1][j-1]*v[j]

p.add_constraint(soma, max=coefb[i-1])

p.solver_parameter("timelimit", 60)

timeini = datetime.datetime.now()

p.solve()

timefim = datetime.datetime.now()

v = p.get_values(v)

for i in range(1,4): print "v_"+str(i),"=", round(v[i],2)

print "zbest=", p.get_objective_value()

print "gap = ", round(100* p.get_relative_objective_gap(),2)

print "bestbound = ", p.best_known_objective_bound()

print "time = ",timefim-timeini

Sáıda:

v_1 = 0.0

v_2 = 6.0

v_3 = 2.0

zbest= 36.0

gap = 2.78

bestbound = 37.0

time = 0:00:00.000138

e python linguagem de programa˘c~ao 475/2016-i/textos... · softwares comerciais como maple,...

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