DualidadeDualidade

Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes

Outubro - 2009

O problema Dual

Certas vezes estamos interessados em encontrar uma estimativa da solução ótima em vez de encontrá-la, utilizando o método Simplex. Isto pode ser obtido através da procura de valores limites inferiores (para maximização) ou superiores (para minimização).

O problema Dual

Por exemplo:Por tentativa podemos estabelecer soluções viáveis para os problemas a seguir:

O problema DualMin Z = 5x1 - 2x2

Sujeito a: x1 ≤ 3 solução (2,2) Z* ≤ 6 x2 ≤ 4 solução (1,3) Z* ≤ -1 x1 + 2x2 ≤ 9 solução (3,2) Z* ≤ 11 x1≥ 0 e x2 ≥ 0

Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a: x1 ≤ 3 solução (2,2) Z* ≥ 14 x2 ≤ 4 solução (1,3) Z* ≥ 11 x1 + 2x2 ≤ 9 solução (3,2) Z* ≥ 19

x1≥ 0 e x2 ≥ 0

O problema Dual

No caso maximização, quando consideramos x1 = 2 e x2=2, o valor do limite inferior, Z = 14, fica automaticamente estabelecido, já que, como desejamos maximizar a função objetivo, podemos garantir que a função objetivo não ficará abaixo deste valor. Não podemos garantir se existe uma solução com um valor maior, porém menor não será.

O problema Dual

No caso da minimização, quando x1 = 2 e x2 = 2, o valor do limite superior, Z = 6, fica estabelecido.

Não podemos garantir que existe uma solução onde o valor de Z seja menor, porém maior não será.

O problema Dual

O ideal seria estabelecer um intervalo onde podéssemos garantir que o nosso valor ótimo estivesse.

Então vamos através do problema de maximização tentar estabelecer um limite superior para a nossa solução.

O problema Dual

Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a: x1 ≤ 3 x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≤ 9

x1≥ 0 e x2 ≥ 0

Se multiplicarmos por 5 todos os valores da 3ª restrição, não alteraríamos a sua identidade e teriamos:

5x1 + 10x2 ≤ 45Como os coeficiente da restrição acima são maiores que os coeficientes da função objetivo então

5x1 + 2x2 ≤ 5x1 + 10x2 ≤ 45

Logo a função objetivo não poderá alcançar nenhum valor superior a 45

O problema Dual

Conclusão 1: a multiplicação de uma restrição por um

valor positivo pode nos ajudar a obter um limite superior para o nosso problema

O problema Dual

Agora multiplicando a primeira restrição por 6 e a segunda por 3, e somando os resultados.

6x1 ≤ 18 + 3x2 ≤ 12 6x1 + 3x2 ≤ 30

Novamente os coeficiente da restrição acima são maiores que os coeficientes da função objetivo então

5x1 + 2x2 ≤ 6x1 + 3x2 ≤ 30

Logo a função objetivo não poderá alcançar nenhum valor superior a 30 (novo limite superior)

O problema Dual

Conclusão 2:

Multiplicar cada restrição por uma constante inteira positiva e somar as novas restrições pode nos ajudar a obter um limite superior para o nosso problema

O problema Dual

Generalizando temos:Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a: x1 ≤ 3 x (y1) y1x1≤ 3y1

x2 ≤ 4 x (y2) y2x2≤ 4y2

x1 + 2x2 ≤ 9 x (y3) y3x1 + 2y3x2 ≤ 9y3

x1≥ 0 e x2 ≥ 0Após multiplicarmos cada restrição por uma constante positiva, somamos as restrições:

O problema Dual

O problema Dualy1x1 +y2x2 + y3x1 + 2y3x2 ≤ 3y1 +4y2 + 9y3

(y1 + y3)x1 +(y2 + 2y3)x2 ≤ 3y1 +4y2 + 9y3

Como devemos garantir que os coeficientes da restrição acima são maiores que o coeficientes da função objetivo, então temos:

Z = 5x1 + 2x2

Logo: y1 + y3 ≥ 5

y2 + 2y3 ≥ 2

O problema Dual

Portanto, se encontrarmos um conjunto de valores {y1, y2, y3} (constantes não negativos) que satisfaçam o conjunto de inequações acima, poderíamos substituir estes valores no lado esquerdo da inequação e estabelecer um limite superior para o nosso problema.

O que desejamos na realidade é estabelecer o menor valor possível para o nosso limite superior. Isto matematicamente pode ser representado por:

O problema Dual

Min 3y1 +4y2 + 9y3

S.a: y1 + y3 ≥ 5

y2 + 2y3 ≥ 2

y1, y2 , y3 ≥ 0

O problema Dual

De modo geral, podemos dizer que a todo problema de maximização de programação linear na forma padrão corresponde um problema de minimização denominado Problema Dual

PRIMAL DUALMax Z = 5x1 + 2x2Sujeito a: x1 ≤ 3

x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≤ 9 x1≥ 0 e x2 ≥ 0

Min 3y1 +4y2 + 9y3 S.a: y1 + y3 ≥ 5

y2 + 2y3 ≥ 2y1, y2 , y3 ≥ 0

O problema Dual

De uma forma geral:

Primal Dual

),...,2,1(

),...,2,1(

0

:.1

1

nj

mi

x

bxaas

xc

j

n

jiiij

n

jjj

Max Min

),...,2,1(

),...,2,1(

0

:.1

1

nj

mi

y

cyaas

yb

i

m

ijiij

m

iii

Existe uma série de relações entre o Primal e o Dual, entre as quais podemos citar:

Os termos constantes da restrições do Dual são os coeficientes das variáveis da função objetivo do Primal;

Os coeficientes das variáveis da função objetivo do Dual são os termos constantes das restrições do Primal;

As restrições do Dual são do tipo maior ou igual, ao passo que as do Primal são do tipo menor ou igual (na forma padrão);

O número de variáveis do Dual é igual ao número de restrições do Primal;

O número de restrições do Dual é igual ao número de variáveis do Primal

A matriz dos coeficientes do Dual é a transposta da matriz dos coeficientes do Primal

O problema Dual

O problema Dual

Existem algumas razões parra o estudo dos problemas duais. A primeira e mais importante são as interpretações econômicas que podemos obter dos valores das varáveis do Dual na solução ótima, tais como variações marginais. A segunda está ligada ao número de restrições. Computacionalmente falando é, algumas vezes, mais eficiente resolver o problema Dual.

O problema Dual Teorema I

O dual do dual é o primal.

Teorema IISe a k-ésima restrição do primal é uma igualdade, então a k-ésima variável do dual (yk) é sem restrição de sinal, isto é, pode ter valor positivo, zero ou negativo.

Teorema IIISe a p-ésima variável do primal é sem restrição de sinal, então a p-ésima restrição do dual é uma igualdade.

O problema Dual Propriedade Fraca da Dualidade

Se o problema Primal e o Dual tiverem soluções compatíveis finitas, então Z ≤ D para qualquer solução compatível do Primal e qualquer solução compatível do Dual.

Matematicamente

DybxcZm

iii

n

jjj

11

O problema Dual Propriedade Forte da Dualidade

Se tanto o Primal quanto o Dual tiverem soluções compatíveis finitas, então existe uma solução ótima finita para cada um dos problemas, tal que Z* = D*

Matematicamente

****

11

DybxcZm

iii

n

jjj

O problema Dual

Dual

Primal

Tem Soluções Viáveis

Sem Soluções Viáveis

Ótima Ilimitada

Inviável

Tem Soluções Viáveis

Ótima Possível Impossível

Impossível

Ilimitada

Impossível

Impossível

Possível

Sem Soluções Viáveis

Inviável Impossível

Possível Possível

Teorema da Dualidade

Exercício

Dado o problema abaixo, ache o seu dual e resolva o dual através do método tablau-simplex (use o método da função objetivo artificial).

Max Z = 5x1 + 6x2 sa: x1 + 2x2 ≤ 14

x1 + x2 ≤ 9 7x1 + 4x2 ≤ 56

x1 e x2 ≥ 0

Referências

LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões: modelagem em Excel. São Paulo: Campus, 2006.