Dualidade Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Outubro - 2009.

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Slide 1 Dualidade Prof. M.Sc. Fbio Francisco da Costa Fontes Outubro - 2009 Slide 2 O problema Dual Certas vezes estamos interessados em encontrar uma estimativa da soluo tima em vez de encontr-la, utilizando o mtodo Simplex. Isto pode ser obtido atravs da procura de valores limites inferiores (para maximizao) ou superiores (para minimizao). Slide 3 O problema Dual Por exemplo: Por tentativa podemos estabelecer solues viveis para os problemas a seguir: Slide 4 O problema Dual Min Z = 5x 1 - 2x 2 Sujeito a: x 1 3soluo (2,2) Z* 6 x 2 4soluo (1,3) Z* -1 x 1 + 2x 2 9 soluo (3,2) Z* 11 x 1 0 e x 2 0 Max Z = 5x 1 + 2x 2 Sujeito a: x 1 3 soluo (2,2) Z* 14 x 2 4 soluo (1,3) Z* 11 x 1 + 2x 2 9 soluo (3,2) Z* 19 x 1 0 e x 2 0 Slide 5 O problema Dual N o caso maximizao, quando consideramos x 1 = 2 e x 2 =2, o valor do limite inferior, Z = 14, fica automaticamente estabelecido, j que, como desejamos maximizar a funo objetivo, podemos garantir que a funo objetivo no ficar abaixo deste valor. No podemos garantir se existe uma soluo com um valor maior, porm menor no ser. Slide 6 O problema Dual No caso da minimizao, quando x 1 = 2 e x 2 = 2, o valor do limite superior, Z = 6, fica estabelecido. No podemos garantir que existe uma soluo onde o valor de Z seja menor, porm maior no ser. Slide 7 O problema Dual O ideal seria estabelecer um intervalo onde podssemos garantir que o nosso valor timo estivesse. Ento vamos atravs do problema de maximizao tentar estabelecer um limite superior para a nossa soluo. Slide 8 O problema Dual Max Z = 5x 1 + 2x 2 Sujeito a: x 1 3 x 2 4 x 1 + 2x 2 9 x 1 0 e x 2 0 Se multiplicarmos por 5 todos os valores da 3 restrio, no alteraramos a sua identidade e teriamos: Slide 9 5x 1 + 10x 2 45 Como os coeficiente da restrio acima so maiores que os coeficientes da funo objetivo ento 5x 1 + 2x 2 5x 1 + 10x 2 45 Logo a funo objetivo no poder alcanar nenhum valor superior a 45 O problema Dual Slide 10 Concluso 1: a multiplicao de uma restrio por um valor positivo pode nos ajudar a obter um limite superior para o nosso problema O problema Dual Slide 11 Agora multiplicando a primeira restrio por 6 e a segunda por 3, e somando os resultados. 6x 1 18 + 3x 2 12 6x 1 + 3x 2 30 Novamente os coeficiente da restrio acima so maiores que os coeficientes da funo objetivo ento 5x 1 + 2x 2 6x 1 + 3x 2 30 Logo a funo objetivo no poder alcanar nenhum valor superior a 30 (novo limite superior) O problema Dual Slide 12 Concluso 2: Multiplicar cada restrio por uma constante inteira positiva e somar as novas restries pode nos ajudar a obter um limite superior para o nosso problema O problema Dual Slide 13 Generalizando temos: Max Z = 5x 1 + 2x 2 Sujeito a: x 1 3 x (y 1 ) y 1 x 1 3y 1 x 2 4 x (y 2 ) y 2 x 2 4y 2 x 1 + 2x 2 9 x (y 3 ) y 3 x 1 + 2y 3 x 2 9y 3 x 1 0 e x 2 0 Aps multiplicarmos cada restrio por uma constante positiva, somamos as restries: O problema Dual Slide 14 y 1 x 1 +y 2 x 2 + y 3 x 1 + 2y 3 x 2 3y 1 +4y 2 + 9y 3 (y 1 + y 3 )x 1 +(y 2 + 2y 3 )x 2 3y 1 +4y 2 + 9y 3 Como devemos garantir que os coeficientes da restrio acima so maiores que o coeficientes da funo objetivo, ento temos: Z = 5x 1 + 2x 2 Logo: y 1 + y 3 5 y 2 + 2y 3 2 Slide 15 O problema Dual Portanto, se encontrarmos um conjunto de valores {y1, y2, y3} (constantes no negativos) que satisfaam o conjunto de inequaes acima, poderamos substituir estes valores no lado esquerdo da inequao e estabelecer um limite superior para o nosso problema. O que desejamos na realidade estabelecer o menor valor possvel para o nosso limite superior. Isto matematicamente pode ser representado por: Slide 16 O problema Dual Min 3y 1 +4y 2 + 9y 3 S.a: y 1 + y 3 5 y 2 + 2y 3 2 y 1, y 2, y 3 0 Slide 17 O problema Dual De modo geral, podemos dizer que a todo problema de maximizao de programao linear na forma padro corresponde um problema de minimizao denominado Problema Dual PRIMALDUAL Max Z = 5x1 + 2x2 Sujeito a: x1 3 x2 4 x1 + 2x2 9 x1 0 e x2 0 Min 3y1 +4y2 + 9y3 S.a: y1 + y3 5 y2 + 2y3 2 y1, y2, y3 0 Slide 18 O problema Dual De uma forma geral: PrimalDual Max Min Slide 19 Existe uma srie de relaes entre o Primal e o Dual, entre as quais podemos citar: Os termos constantes da restries do Dual so os coeficientes das variveis da funo objetivo do Primal; Os coeficientes das variveis da funo objetivo do Dual so os termos constantes das restries do Primal; As restries do Dual so do tipo maior ou igual, ao passo que as do Primal so do tipo menor ou igual (na forma padro); O nmero de variveis do Dual igual ao nmero de restries do Primal; O nmero de restries do Dual igual ao nmero de variveis do Primal A matriz dos coeficientes do Dual a transposta da matriz dos coeficientes do Primal O problema Dual Slide 20 Existem algumas razes parra o estudo dos problemas duais. A primeira e mais importante so as interpretaes econmicas que podemos obter dos valores das varveis do Dual na soluo tima, tais como variaes marginais. A segunda est ligada ao nmero de restries. Computacionalmente falando , algumas vezes, mais eficiente resolver o problema Dual. Slide 21 O problema Dual Teorema I O dual do dual o primal. Teorema II Se a k-sima restrio do primal uma igualdade, ento a k-sima varivel do dual (y k ) sem restrio de sinal, isto , pode ter valor positivo, zero ou negativo. Teorema III Se a p-sima varivel do primal sem restrio de sinal, ento a p-sima restrio do dual uma igualdade. Slide 22 O problema Dual Propriedade Fraca da Dualidade Se o problema Primal e o Dual tiverem solues compatveis finitas, ento Z D para qualquer soluo compatvel do Primal e qualquer soluo compatvel do Dual. Matematicamente Slide 23 O problema Dual Propriedade Forte da Dualidade Se tanto o Primal quanto o Dual tiverem solues compatveis finitas, ento existe uma soluo tima finita para cada um dos problemas, tal que Z* = D* Matematicamente Slide 24 O problema Dual Dual Primal Tem Solues ViveisSem Solues Viveis timaIlimitadaInvivel Tem Solues Viveis timaPossvelImpossvel IlimitadaImpossvel Possvel Sem Solues Viveis InvivelImpossvelPossvel Teorema da Dualidade Slide 25 Exerccio Dado o problema abaixo, ache o seu dual e resolva o dual atravs do mtodo tablau- simplex (use o mtodo da funo objetivo artificial). Max Z = 5x1 + 6x2 sa: x 1 + 2x 2 14 x 1 + x 2 9 7x 1 + 4x 2 56 x 1 e x 2 0 Slide 26 Referncias LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decises: modelagem em Excel. So Paulo: Campus, 2006.

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