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Números Complexos
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Ao final dessa aula você saberá:
O que é um número complexo e sua representação algébrica
O que é um número imaginário puro e igualdade dos complexos
O que é conjugado As potências de i A representação trigonométrica de um número
complexo As operações matemática na forma algébrica e
na forma trigonométrica
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O que é um O que é um número número complexocomplexo??
É todo número É todo número zz escrito na forma escrito na forma a + a + bibi, sendo , sendo “a”“a” a parte a parte realreal e e “bi”“bi” a parte a parte imagináriaimaginária. Também é chamado de número . Também é chamado de número imaginário.imaginário.
Exemplos:Exemplos:
z = 3 + 5iz = 3 + 5i z = 7iz = 7i z = ½ + 4iz = ½ + 4i
Formalmente, escrevemos a parte
real assim: Re(z) = a.E a parte imaginária
assim: Im(z) = b
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O que é o “O que é o “ii”?”?
É a É a unidade imagináriaunidade imaginária, sendo , sendo ii22 = - 1 = - 1..
Dessa forma podemos Dessa forma podemos calcular calcular o valor dao valor da
raiz de números negativosraiz de números negativos com com índice paríndice par..
Exemplo:Exemplo:
ii 636)36)(1(36 2
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O que é um número O que é um número imaginário puroimaginário puro??
É um número complexo z = a + bi, cujaÉ um número complexo z = a + bi, cuja
parte real é igual a zeroparte real é igual a zero, ou seja, a = 0., ou seja, a = 0.
Exemplos:Exemplos: z = 3iz = 3i z = iz = i z = -10iz = -10i
Repare que um número real é um número
complexo, com a parte imaginária igual a zero.
Exemplo: 2+0i = 2
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Logo, temos que o conjuntos dos
Números Reais é um subconjunto dos Números Complexos.
NZ
QR
I
C
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Como sabemos se dois Como sabemos se dois números números complexoscomplexos são são
iguaisiguais??
Sendo dois números complexos:Sendo dois números complexos:
zz1 1 = a + bi e z= a + bi e z2 2 = c + di, = c + di, se a = c e b = d, se a = c e b = d, então zentão z1 1 = z= z22. Ou seja, dois complexos são . Ou seja, dois complexos são iguais se as partes reais e imaginárias são iguais se as partes reais e imaginárias são iguais. iguais.
Exemplo:Exemplo:Calcular o valor de x e y na equação:Calcular o valor de x e y na equação:3x + 7yi = 12 – 21i3x + 7yi = 12 – 21i
3x = 12 3x = 12 x = 4 x = 47y = -21 7y = -21 y = -3 y = -3
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Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
Determine m e n reais de modo que Determine m e n reais de modo que m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i
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SoluçãoSolução
m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i
m = 0m = 0 e n – 1 = 3 e n – 1 = 3 n = 4n = 4
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Como representamos o conjugado de um número
complexo?
Sendo o número complexo z = a + bi, seu
conjugado é representado por:
Exemplos:
z = 5 + 3i
z = - 8i
iz 35
iz 8
biaz
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Como calculamos as potências de i?
Usando as regras de potência já conhecidas.
i0 = 1 i1 = i i2 = - 1 i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1 i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i
Note que a partir do expoente 4, os
resultados começam a repetir.
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Exemplo:
(PUC-MG) O número complexo (1 + i)10 é
igual a:
a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i)
[(1 + i)2]5 = [1 + 2i + i2]5 = [1 + 2i - 1]5 =
[2i]5 = 32.i5 = 32i letra C
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Tente fazer sozinho!
(Vunesp) Se a, b, c são números inteiros
positivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, em
que i2 = -1, o valor de c é:
a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7
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Solução
c = (a + bi)2 – 14i
c = a2 + 2abi + b2i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14i
c + 0i = (a2 – b2) + (2ab – 14)i
2ab – 14 = 0 ab = 7
Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7
Como c é positivo, temos que:
c = 72 – 12 = 49 – 1 = 48
Resposta: letra A.
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Como Como somamossomamos ouou subtraímossubtraímos números números
complexoscomplexos??Basta Basta somarsomar (ou subtrair)as (ou subtrair)as partes reaispartes reais ee as as
partes imagináriaspartes imaginárias..
Exemplos:Exemplos:
(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i
(7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i(7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i
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Como multiplicamos números complexos?
Basta aplicar a propriedade distributiva.
Exemplo:
(5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i
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Como dividimos números complexos?
Basta multiplicar o numerador e o denominador
pelo conjugado do denominador.
Exemplo:
ii
ii
ii
ii
i
i
29
19
29
4
29
194
425
615410
2525
2532
25
32
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Tente fazer sozinho!
(Cefet-MG) O valor da expressão quando
x = i (unidade imaginária) é :
a) (i + 1) b) – (i – 1) c)
d) e)
1
13
2
x
x
2
1i
2
1i 2
1 i
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Solução
i
ii
ii
i
iiii
i
x
x
12
12
11
22
11
12
1
2
1
2
1
11
1
1
1
13
2
3
2
Logo, a resposta é B, pois – (i - 1) = -i +1 = 1-i
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Como representamos um número complexo no
gráfico?
Basta representar a parte real no eixo x
e a parte imaginária no eixo y.
Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i
P2
x
y
P1
3
2
1
-1
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O que é o módulo de um número complexo?
É a distância entre a origem e o ponto que
corresponde a esse número.
Sendo z = a + bi, temos:
x
y
b
a
P (a,b)
z
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Como calculamos o módulo de um número
complexo?Usando a fórmula .
Exemplo:
22 baz
243131
31
22
z
iz
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Tente fazer sozinho!
(UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor
de é:
a) b) c)
d) e)
b
a
3 2 5
22 21
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Solução
210
20
10
20
91
164
31
4222
22
b
a
b
a
Resposta: letra B.
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O que é argumento de um número complexo?
É o ângulo que o módulo do número
faz com o eixo x.
x
y
b
a
P (a,b)
a
bsen
cos
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Tente fazer sozinho!
(URRN) Se z = , então o argumento de z é:
a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º
i
i
1
1 2
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Solução
i
ii
ii
ii
i
i
i
i
i
iz
12
22
11
22
1)1(
12
1
2
1
121
1
1 2
a
eb
sen cos
21111 22
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2
2
2
2
2
1cos
2
2
2
2
2
1
sen
sen
cos
45º135º
Logo, o argumento é 135º.
Resposta: letra E.
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Como escrevemos a forma trigonométrica de um número
complexo?
seniz cos
iz 232 Exemplo:
º30
2
1
4
2
2
3
4
32cos
416412232 2222
bsen
a
ba
Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)
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Tente fazer sozinho!(Cefet-PR) A forma algébrica do complexo
ize
izd
izc
izb
iza
éisenz
2
3
2
33)
2
3
2
33)
2
3
2
33)
2
33
2
3)
2
33
2
3)
:6
7
6
7cos3
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Solução
2
1º30º210
2
3º30cosº210cos
º2106
7,3cos
6
7
6
7cos3
sensen
isenz
isenz
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2
33
32
3
cos
a
a
a
2
332
1
b
b
bsen
i2
3
2
33Logo, a forma algébrica é
Resposta: letra C.
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Como multiplicamos complexos na forma
trigonométrica?
22cos3
33cos2 21
isenzeisenz
21212121 cos... isenzz
Exemplo:
6
5
6
5cos6.
2323cos3.2.
21
21
isenzz
isenzz
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Como dividimos complexos na forma
trigonométrica?
33cos3
22cos6 21
isenzeisenz
21212
1
2
1 cos
isenz
z
Exemplo:
66cos2
3232cos
3
6
2
1
2
1
isenz
z
isenz
z
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Como calculamos uma potência complexos na forma trigonométrica?
33cos2
isenz
nisennz nn cos.Exemplo:
3
2
3
2cos4
3.2
3.2cos2
2
22
isenz
isenz
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Tente fazer sozinho!
(UPF-RS) Quanto ao número complexo ,
a alternativa incorreta é:
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
b) O módulo de z é 6.
c) O argumento de z é rad.
d) Escrito na forma trigonométrica tem-se:
e) z2 é um número real.
i
iz
1
66
2
seniz cos6
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Solução
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
b) O módulo de z é 6.
i
iii
ii
ii
i
iz 6
2
12
11
6666
11
166
1
66
6660 222 z
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c) O argumento de z é rad.2
2º90
16
6
06
0cos
bsen
a
i
iz
1
66
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d) Escrito na forma trigonométrica tem-se:
e) z2 é um número real.
Resposta: letra D.
seniz cos6
º90º90cos6cos isenisenz
360.136
º180º180cos36
º90.2º90.2cos6
cos
2
2
22
iz
isenz
isenz
nisennz nn