1
� Conceito
� Função de probabilidade e função de distribuição
� Valor esperado e variância
Variáveis aleatórias discretas
� Binomial
� Hipergeométrica
� Poisson
Distribuições de probabilidade
Profª Lisiane Selau
2
Experimento aleatório: Lançamento de uma moeda honestatrês vezes e observação das faces que ocorrem.
#S = 2 x 2 x 2 = 23 = 8
c
k
ckck
c
k
c
kckck
→ ccc→ cck→ ckc→ ckk→ kcc→ kck→ kkc→ kkk
Variáveis aleatórias
S = {ccc , cck , ckc , kcc , kkc , kck , ckk , kkk}
� Ferramental matemático se amplia consideravelmente seo espaço amostral for numérico
Diagrama em árvore
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3
Experimento aleatório: Lançamento de uma moeda honestatrês vezes e observação das faces que ocorrem.
X = número de caras ocorrido nos três lançamentos
X = {0, 1, 2, 3}
ccccckckckcckkckckckkkkk
0
1
2
3
X(ccc) = 0X(cck) = 1
Conjunto não numéricoConjunto numérico
X é a variável que
transforma um conjunto
não numérico num conjunto
numérico
X(kkc) = 2
X(ckk) = 2
X(ckc) = 1X(kcc) = 1
X(kck) = 2
X(kkk) = 3
Quais são os possíveis valores de X?
S = {ccc , cck , ckc , kcc , kkc , kck , ckk , kkk}
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4
SEspaço
amostral básico
SX
Espaço amostral da variável X
• s • X(s)
X é a função que transforma
Domínio Contradomínio
(espaço onde X assume valores)
Definição: É uma função (ou regra) que transforma um espaço amostral qualquer em um espaço amostral numérico, que será sempre um subconjunto do conjunto dos números reais.
Variável aleatória
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5
Variáveis aleatórias
Discretas
Contínuas
Variáveis aleatórias discretas
Definição: São discretas todas as variáveis cujo espaçoamostral SX é enumerável finito ou infinito.Se X é uma variável aleatória discreta, então SX é umsubconjunto dos inteiros.
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6
X(ck) = 1
Exemplo: Lançamento de uma moeda honesta até queocorra a face cara e observação das faces que ocorrem.
S = {k , ck , cck , ccck , cccck , ccccck, ...}
Y = número de lançamentos até que ocorra cara
SY = {1, 2 , 3 , 5, 4 , 6, ...}
XSXS →
Y(ck) = 2
Y(k) = 1
YSYS →
X = número de coroas até que ocorra cara
SX = {0 , 1 , 2, 3 , 4 , 5, ...} X(k) = 0
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7
1. Função de probabilidade
1. p(x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SX
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta e SX oseu espaço amostral. A função de probabilidade P(X=x),ou simplesmente p(x), será a função que associa a cadavalor de X a sua probabilidade de ocorrência, desde queatenda duas condições:
1p(x)XSx
=∑∈
2.
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8
Exemplo: Lançamento de uma moeda honesta três vezese observação das faces que ocorrem.
c
k
ckck
c
k
c
kckck
→ ccc→ cck→ ckc→ ckk→ kcc→ kck→ kkc→ kkk
Diagrama em árvore
p(0) =1/8p(1) =3/8p(2) =3/8p(3) =1/8
181
=+83
+81
83
+
1SX = {0, , 2, 3}
Primeira condição
Segunda condição
X = número de caras nos três lançamentosS = {ccc , cck , ckc , kcc , kkc , kck , ckk , kkk}
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9
Existem três formas de representar uma função:
���� Representação tabular: consiste em relacionar emuma tabela os valores da função de probabilidade.
���� Representação gráfica: consiste em representargraficamente a relação entre os valores da variávele suas probabilidades
���� Representação analítica: estabelece uma expressãogeral para representar o valor da função de probabilidadenum ponto genérico da variável
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10
S = {B1B2, P1B1, P1B2, P2B1, P2B2, P3B1, P3B2, P1P2, P1P3, P2P3}
SX = {0, 1, 2}
P(X = 0)
P(X = 1)
P(X = 2)
101
CCC25
22
03 ==
106
CCC25
12
13 ==
Exemplo: De uma urna com três bolas pretas e duas brancas, retiram-se duas bolas juntas. Se X é o número de bolas pretasretiradas, determine a função de probabilidade P(X=x).
103
CCC25
02
23 ==
# S = C52 = 10
duas bolas
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11
X=x 0 1 2 Σ
P(X=x) 101
106
103
1
���� Representação tabular
���� Representação gráfica
0 1 2
0,2
0,4
0,6
p(x)
xProfª Lisiane Selau
12
25
x22
x3
CCC
x) P(X−
== , para SX = {0, 1, 2}
P(X = 0) =
P(X = 1) =
P(X = 2) =
25
22
03
CCC
25
12
13
CCC
25
02
23
CCC
���� Representação analítica
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13
2. Função de distribuição ou probabilidade
acumulada
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta e SX o seuespaço amostral. A função de distribuição, denotada por F(x)ou P(X ≤≤≤≤ x), é a função que associa a cada valor de X aprobabilidade P(X ≤≤≤≤ x). Desta forma, temos
F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) = ∑ =≤xX
x)P(X
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14
F(0) = P(X ≤≤≤≤ 0) =
F(1) = P(X ≤≤≤≤ 1) =
F(2) = P(X ≤≤≤≤ 2) =
∑ =≤0x
x)P(X
∑ =≤1x
x)P(X
∑ =≤2x
x)P(X
= P(X = 0) =
= P(X = 0) + P(X = 1)
= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
No exemplo:
F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) = P(X x)X x≤
=∑
101
107
106
101
=+=
1103
106
101
=++=
X=x 0 1 2 Σ
P(X=x) 101
106
103
1
F(x) 101
107
1 -
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15
3. Medidas descritivas
S = {B1B2, P1B1, P1B2, P2B1, P2B2, P3B1, P3B2, P1P2, P1P3, P2P3}
Conjunto numérico
XSXS →
Conjuntonão
numérico
X
SX = {0, 1, 2}
No exemplo:
X = número de bolas pretasem duas retiradas
Possibilita o cálculo de medidas
descritivas: média, variância, etc.
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16
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta e SX o seuespaço amostral. O valor médio de X, denotado por E(X), ouµX, ou simplesmente µ, é a média dos valores de Xponderada pelas suas respectivas probabilidades deocorrência. Deste modo, tem-se
SX = {0, 1, 2}
∑
∑
∈
∈
X
X
Sx
Sx
p(x)
p(x)x
∑∈
=XSx
p(x)x1=
E(X) = µ =
���� Média ou valor esperado
X=x 0 1 2 Σ
P(X=x) 101
106
103
1
Profª Lisiane Selau
17
1,21012
103
2106
1101
0 ==×+×+×=
No exemplo:
E(X) = µ ∑∈
=XSx
p(x)x
bolas pretas
Significado do valor esperado: se o experimento fosserepetido um grande número de vezes, esperaríamos que onúmero médio de bolas pretas escolhidas fosse 1,2.
X=x 0 1 2 Σ
P(X=x) 101
106
103
1
Profª Lisiane Selau
18
� Não confundir µx com .x
Importante!!!
é a média de alguns valores de X (usualmente uma amostra de valores)
x
µx é a média de todos os valores de X (para os quais a probabilidade é conhecida)
Profª Lisiane Selau
19
Exercício:
O tempo (em minutos) para que um operário processe certa peça
é uma variável com distribuição dada na tabela abaixo.
(a) Calcule o tempo médio de processamento.
(b) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$
1,00, mas se processa a peça em menos de 6 minutos, ganha R$
0,50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a
peça em 5 minutos, recebe a quantia de R$ 0,50. Encontre a
média de G = quantia ganha por peça (fixo + comissão).
x 2 3 4 5 6 7
p(x) 0,10 0,10 0,30 0,20 0,20 0,10
(R: µµµµ = 4,60)
(R: µµµµ = 1,75)
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20
2μ)E(X−=V(X) = σ2
22 μ)E(X −=
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta e SX oseu espaço amostral. A variância de X, denotada por V(X),ou , ou simplesmente σ2, é o grau médio de dispersãodos valores de X em relação à sua média. Esta medida édefinida como a média ou valor esperado dos quadradosdos desvios em relação à média. Deste modo, temos
σσσσX
2
���� Variância
∑∈
−=XSx
2p(x)μ)(x
OU
∑∈
=XSx
22 p(x)x)E(X
onde:
[ ] [ ]222 p(x)x E(X)μ ∑==Profª Lisiane Selau
21
No exemplo:
V(X) = σ2
= − × + − × + − × =
2 2 212 1 12 6 12 3 36
0 1 210 10 10 10 10 10 100
E(X) = µ
V(X) = σ2 22 μ)E(X −=
= − = =
218 12 36
0,3610 10 100
∑= p(x)x)E(X 22
1018
103
2106
1101
0 222 =×+×+×=
1,21012
==2μ)E(X −=
∑∈
−=XSx
2p(x)μ)(x
bolas pretas 2
X=x 0 1 2 Σ
P(X=x) 101
106
103
1
Profª Lisiane Selau
22
V(X)σ =
Definição: Raiz quadrada positiva da variância.
���� Desvio padrão
No exemplo:
0,60,36V(X)σ ===
Significado do desvio padrão: se o experimento fosserepetido um grande número de vezes, a variação média donúmero de bolas pretas escolhidas em torno do valoresperado seria 0,6.
bolas pretas
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23
� Não confundir σ2 com s2.
Importante!!!
s2 é a variância de alguns valores de X (usualmente uma amostra de valores)
σ2 é a variância de todos os valores de X (para os quais a probabilidade é conhecida)
� Da mesma forma, não confundir σ com s.
Profª Lisiane Selau
24
Exercício:
Um vendedor recebe uma comissão de R$ 100,00 por umavenda. Baseado em suas experiências anteriores elecalculou a distribuição de probabilidades das vendassemanais:
(a) Qual é o valor esperado de comissão por semana?
(b) Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos R$ 300,00por semana?
(c) Qual o desvio padrão das vendas semanais?
x 0 1 2 3 4
p(x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10
R$ 200,00
0,30
1,10
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Distribuições de probabilidade
O que é uma distribuição de probabilidade?
Uma distribuição de probabilidade é essencialmente um modelo de descrição probabilística de uma população.
X=x 0 1 2 Σ P(X=x) 0,1 0,6 0,3 1
população
Distribuição de probabilidade
25
���� Parâmetros: caracterizações numéricas que permitem a individualização de um modelo (distribuição) em determinado contexto
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1. Distribuição de Bernoulli
2. Distribuição Binomial
3. Distribuição Hipergeométrica
4. Distribuição de Poisson
5. Distribuição Multinomial
6. Distribuição Geométrica
7. Distribuição Binomial Negativa
8. Distribuição Hipergeométrica Negativa
9. Distribuição Uniforme Discreta
Distribuições discretas
26Profª Lisiane Selau
27
1. Distribuição de Bernoulli
Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de um experimento de Bernoulli.
O experimento de Bernoulli é definido como o experimento aleatório que possui apenas dois resultados possíveis.
Exemplos: sexo no nascimento de um bebê, face no lançamento de uma moeda, produto perfeito ou defeituoso, satisfação ou insatisfação de um funcionário da empresa, etc.
Distribuições de probabilidade de
variáveis discretas
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Experimento: Um produto é avaliado quanto à qualidade
S = {perfeito, defeituoso}
Consideramos um dos resultados como sucesso:
sucesso = perfeito
fracasso = defeituoso
28
Se for conhecido a taxa de produtos sem defeito que éfabricada, por exemplo, 87%, concluímos que aprobabilidade de o produto ser perfeito é 0,87.
O evento {defeituoso} é complemento do evento{perfeito}, então sua probabilidade será 1– 0,87.
ππππ = 0,87 = probabilidade de sucesso
1-ππππ = 0,13 = probabilidade de fracasso
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29
���� É importante no contexto de amostragem com reposição
2. Distribuição binomial
Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulliindependentes entre si, ou seja, onde a probabilidade de sucesso é constante em todas as repetições do experimento.
n21 Y...YYX +++=onde:
Yi ~ Ber (π) e independentes;
então, a variável X tem distribuição binomial.
Se
Distribuição binomial ���� processo finito de Bernoulli
���� n experimentos de Bernoulli independentes, com probabilidade de sucesso ππππ constante para todos eles
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30
Experimento: As peças fabricadas por uma pequenaindústria podem ser consideradas perfeitas ou defeituosas.Imagine que a chance de uma peça não ter defeito algumé de 60%. Se uma peça desta fábrica é escolhida ao acasoe sua situação é registrada, temos um experimento deBernoulli.
S = {perfeita, defeituosa}
onde:
p(defeituosa) = 1 - 0,6 = 0,4 = 1 - π
p(perfeita) = 0,6 = π
Se três peças são escolhidas, uma a uma, e o resultado éregistrado, temos uma sequência de três experimentos deBernoulli independentes, pois, a cada escolha, aprobabilidade de sucesso permanecerá inalterada.
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31
S = {PPP, PPD, PDP, DPP, PDD, DPD, DDP, DDD}
#S = 23 = 8P = perfeitaD = defeituosa
A variável X é definida como o número de sucessos em nexperimentos de Bernoulli independentes, com probabilidade de sucesso igual a ππππ.
SX = {0, 1, 2, 3}
Sucesso = perfeita
n=3 e π=0,6
Qual é a função de probabilidade P(X=x) associada a variável X?
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32
P(X=0) = 0,43
SX = {0,1,2,3}
P(X=1) = 3 ×××× 0,61 ×××× 0,42
P(X=2) = 3 ×××× 0,62 ×××× 0,41
P(X=3) = 0,63
P(X=x) = ? X: nº peças perfeitas
= 1 ×××× π0 ×××× (1 – π)3 = 0,064
= 3 ×××× π1 ×××× (1 – π)2 = 0,288
= 3 ×××× π2 ×××× (1 – π)1 = 0,432
= 1 ×××× π3 ×××× (1 – π)0 = 0,216
Como podemos determinar de quantas maneiras diferentesteremos x sucessos e 3-x fracassos?
x)!(3x!3!
Cx3
−=
S = {PPP, PPD, PDP, DPP, PDD, DPD, DDP, DDD}
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33
x3xx3 0,6)(10,6Cx)P(X −−==
X = x 0 1 2 3 Σ
P(X = x) 0,064 0,288 0,432 0,216 1
Representação tabular
Representação analítica
, para SX = {0, 1, 2, 3}
Número de casos
Probabilidade de um caso
Função de probabilidade
De modo geral, se X é uma variável que tem distribuiçãobinomial, sua função de probabilidade será:
xnxxn )(1Cx)P(X −−== ππ , para SX = {0, 1, ..., n}
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34
Parâmetros
A distribuição binomial tem dois parâmetros:
n = número de repetições do experimento de Bernoulli
ππππ = probabilidade de sucesso
X ~ Bin (n,π)
X tem distribuição binomial com parâmetros n e ππππ
xnxxn )(1Cx)P(X −−== ππ
parâmetros
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35
Medidas descritivas
E(X) = µ = ∑∈ XSx
p(x)x
���� Média ou valor esperado
Teorema: E(X) = µµµµ = nππππ
V(X) = σ2 22 μ)E(X −=
���� Variância
Teorema: V(X) = σσσσ2 = n ππππ (1-ππππ)
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36
Descrição probabilística de uma sequência de experimentosde Bernoulli independentes, ou seja, a probabilidade desucesso é constante em todas as repetições do experimento.
RESUMO - Distribuição binomial
Função de probabilidade
xnxxn )(1Cx)P(X −−== ππ , para SX = {0, 1, ..., n}
n = número de repetições no experimentoParâmetros
V(X) = σ2 = n π (1-π)E(X) = µ = n π
Medidas descritivas
π = probabilidade de sucesso
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37
Exercício: Num determinado processo de fabricação a
chance de uma peça sair defeituosa é de 10%. As peças
são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.
(a) Qual a probabilidade de haver exatamente 1 peça
defeituosa numa caixa?
(b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças
defeituosas numa caixa?
(c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa
em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor
esperado da multa num total de 1000 caixas?
(32,81%)
(8,14%)
(R$ 4.100)
Profª Lisiane Selau
3. Distribuição hipergeométrica
���� A Distribuição hipergeométrica se difere da Distribuição binomial porque a probabilidade de sucesso muda de um experimento para o outro
���� Essa distribuição é extremamente importante no contexto de amostragem sem reposição
Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulli dependentes. Refere-se a experimentos que se caracterizam por retiradas sem reposição, onde a probabilidade de sucesso se altera a cada retirada.
38Profª Lisiane Selau
(sucesso)
n elementos(sem reposição)
(fracasso)X= número de sucessos em n retiradasN
N1 N2
=N1+N2
sub-populações
população
���� Do ponto de vista probabilístico não faz diferença considerarretiradas individuais sem reposição ou retirada conjunta degrupos
���� Como não há reposição, a probabilidade de sucesso (retirarelementos da sub-população de tamanho N1) se altera a cada retirada.
39Profª Lisiane Selau
Experimento: Uma caixa contém 10 bolas coloridas:sete são verdes e três laranjas. Três bolas são retiradasda caixa, uma após a outra e sem reposição. Se avariável aleatória X é definida como o número de bolasverdes retiradas, construa a distribuição deprobabilidade de X.
Verde
3 bolas
Laranja
X = número de bolas verdes
N =10
N1=7 N2 =3Bolas
(n=3)
40Profª Lisiane Selau
X = número de bolas verdes
SX = {0, 1, 2, 3}
0,008333120
1120
11C
CC310
33
07
==×
=
0,17512021
12037
C
CC310
23
17
==×
=
0,52512063
120321
C
CC310
13
27
==×
=
0,291712035
120135
C
CC310
03
37
==×
=
P(X =0) =
P(X =1) =
P(X =2) =
P(X =3) =
S = {L1L2L3, L1L2V1,L1L2V2, ..., V5V6V7}
# S = 310C = 120
V = verdeL = laranja
41Profª Lisiane Selau
X = x 0 1 2 3 Σ
P(X = x) 0,00833 0,175 0,525 0,2917 1
310
x-33
x7
C
CCx)P(X ==
Representação tabular
Representação analítica
, para SX = {0, 1, 2, 3}
Função de probabilidade
De modo geral, se X é uma variável que tem distribuiçãohipergeométrica, sua função de probabilidade será:
, para SX = {0, 1, ..., n}nN
x-nN
xN
C
CCx)P(X 2 1 ==
42Profª Lisiane Selau
Parâmetros
A distribuição hipergeométrica tem três parâmetros:
n = número de repetições do experimento
N = tamanho da população
N1 = tamanho da sub-população de interesse (sucesso)
X ~ Hip (n,N,N1)
X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros n, N e N1
nN
x-nN
xN
C
CCx)P(X 21== parâmetros
43Profª Lisiane Selau
Medidas descritivas
E(X) = µ = ∑∈ XSx
p(x)x
Teorema: NN
nμE(X) 1 ==
V(X) = σ2 22 μ)E(X −=
Teorema:
probabilidade de sucesso
���� Média ou valor esperado
���� Variância
probabilidade de fracasso
Fator de correção
==
1-Nn-N
NN
NN
nσV(X) 2 1 2
44
Binomial
µ = n πσ2 = n π (1-π)
Profª Lisiane Selau
Descrição probabilística de uma sequência de experimentosde Bernoulli dependentes. Importante no contexto deamostragem sem reposição.
RESUMO - Distribuição hipergeométrica
Função de probabilidade
, para SX = {0, 1, ..., n}
n = número de repetições do experimentoN = tamanho da populaçãoN1 = tamanho da sub-população de interesse
Parâmetros
Medidas descritivas
nN
x-nN
xN
C
CCx)P(X 2 1 ==
NN
nμE(X) 1 ==
==
1-Nn-N
NN
NN
nσV(X) 2 1 2
45Profª Lisiane Selau
Exercício: Pequenos motores são guardados em caixas de
50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa testando 5 motores. Se nenhum for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos 1 for defeituoso, todos 50 são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores desta caixa?
Tem-se N1 = 6 , N = 50 , n = 5, P(X ≥ 1) = ?
P(X = 0) = = = 0,51257
P(examinar tudo) = 1 - P(X = 0) =0,48743
550
544
06
CCC
21187601086008
46
R: 0,4874
Profª Lisiane Selau
47
4. Distribuição de Poisson
Definição: descreve probabilisticamente a sequência de um grande número de fenômenos independentes entre si, cada um com probabilidade de sucesso muito pequena.
���� Ocorre quando se deseja contar o número de um tipo particular de eventos que ocorrem por unidade de tempo, de superfície ou de volume (num espaço contínuo).
Distribuição de Poisson ���� processo infinito de Bernoulli
���� Pode ser considerada como uma binomial onde o númerode experimentos (n) é grande, ππππ é pequeno (sucesso raro)e nππππ (média de sucessos) é constante.
Profª Lisiane Selau
���� nº de peças defeituosas observadas em uma linha de produção em um dia;
���� nº de acidentes de trabalho ocorridos numa grande empresa em um ano;
���� nº de ciclones ocorridos em certa região em uma estação do ano;
���� nº de formigueiros por km2 em uma região;
���� nº de acidentes que acontecem em 300km de uma rodovia;
���� nº de carros que passam em um pedágio de uma rodovia em 30 minutos;
���� nº de ligações que chegam em uma central telefônica em uma manhã.
Exemplos:
���� A distribuição de Poisson tem inúmeras aplicações na simulação de sistemas modelando o número de eventos ocorridos num intervalo de tempo (exemplo: sistemas de filas).
48Profª Lisiane Selau
Função de probabilidade
De modo geral, se X é uma variável que tem distribuiçãode Poisson, sua função de probabilidade será:
, para SX = {0, 1, 2, ...}x!λ
ex)P(Xx
λ−==
onde:X: número de sucessose = 2,718 (base dos logaritmos neperianos)
λλλλ: número médio de sucessos (sempre maior que zero)
espaço amostral infinito
49Profª Lisiane Selau
x!ex)P(X
xλλ−==
Parâmetros
A distribuição de Poisson tem apenas um parâmetro:
λλλλ = número médio de sucessos
X ~ Poi (λ)
X tem distribuição de Poisson com parâmetro λλλλ
parâmetro
50Profª Lisiane Selau
Exercício: Em uma central telefônica de uma
pequena cidade do interior chegam ligações a uma
taxa de 1 a cada 30 minutos. Qual a probabilidade de
que no intervalo de 1 hora:
(a) Não chegue ligações?
(b) Chegue no máximo duas ligações?
(c) Chegue pelo menos duas ligações?
51
13,53%
59,40%
67,67%
Profª Lisiane Selau
Solução: Neste caso, tem-se:
λ = 2 (taxa de ligações por hora)
X = nº de ligações por hora
Então:
P(X = x) = , para x = 0, 1, 2, 3, ...
(a) P(X = 0) = = e-2 = 13,53%
(b) P(X ≤ 2) = + + = 5e-2 = 67,67%
(c) P(X≥2) = 1-P(X≤1) = 1- [ + ]=1- 3e-2 = 59,40%
−λ λex
x
!
0!2e 02−
0!2e 02−
52
1!2e 12−
2!2e 22−
0!2e 02−
1!2e 12−
Profª Lisiane Selau
Medidas descritivas
E(X) = µ = ∑∈ XSx
p(x)x���� Média ou valor esperado:
Teorema: E(X) = µµµµ = λλλλ
22 μ)E(X −=���� Variância:
Teorema: V(X) = σσσσ2 = λλλλ
Na Poisson média e variância são iguais!!
V(X) = σ2
53Profª Lisiane Selau
Descrição probabilística da sequência de um grande númerode fenômenos independentes, todos com probabilidade desucesso constante e muito pequena.
RESUMO - Distribuição de Poisson
Função de probabilidade
, para SX = {0, 1, 2, ...}
Parâmetro
Medidas descritivas
V(X) = σ2 = λE(X) = µ = λ
λ = número médio de sucessos
x!λ
ex)P(Xx
λ−==
54Profª Lisiane Selau
Exercício:
Um dado é formado por chapas de plástico de
10x10 cm. Em média aparecem 50 defeitos por metro
quadrado de plástico, segundo uma distribuição de
Poisson.
(a) Qual a probabilidade de uma determinada face
apresentar exatamente 2 defeitos?
(b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo
dois defeitos?
(c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam
perfeitas?
(7,58%)
(80,08%)
(24,36%)
55Profª Lisiane Selau
(a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 defeitos?
Em média aparecem 50 defeitos/m2 = (50/10000) defeitos/cm2
Como cada face tem 10cm x 10 cm = 100 cm2, tem-se então:
λ = (50/10000) defeitos/cm2 x 100 cm2 = 0,5 defeitos por face.
A probabilidade de uma face apresentar dois defeitos será:
P(X = 2) = = 7,58%−0 5 20 5
2
, ( , )!
e
56Profª Lisiane Selau
(b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo dois defeitos?
No dado inteiro, a área total será a = 6x100 cm2 = 600 cm2 e onúmero médio de defeitos será então:
λ = (50/10000) defeitos /cm2 x 600 cm2 = 3 defeitos
A probabilidade de o dado apresentar no mínimo 2 defeitos será:
P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + ... = 1 - P(X ≤ 1)
= 1 - [P(X = 0) + P(X =1)] =
= 1 - [ + ] =
= 1 - [0,0498 + 0,1494] = 80,08%
−3 030
e!
−3 131
e!
57Profª Lisiane Selau
(c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam perfeitas?
A probabilidade de uma face ser perfeita é a probabilidade de
ela não apresentar defeitos, isto é:
P (X = 0) = = 60,65%
Tem-se então uma binomial Y com n = 6 (número de faces do
dado) e p = 60,65%(probabilidade de uma face ser perfeita)
Então a probabilidade de pelo menos 5 perfeitas, será:
P(Y ≥ 5) = P(Y = 5) + P(Y = 6)
= + = 24,36%
−0 5 00 50
, ( , )!
e
(0,3935).(0,6065).5
6 15
6
60 6065 0 39356 0
.( , ) .( , )
58Profª Lisiane Selau