Vamos jogar sinuca?
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Discutir o ensino de múltiplos e divisores.
• Aplicar diferentes atividades para o ensino de múltiplos e divisores.
• Utilizar o método investigativo nas formulações das atividades.
Pré-requisitos
Para o bom acompanhamento desta aula, é necessário que você retome alguns conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental
e na disciplina Álgebra I. Como: múltiplos e divisores, números primos, regras de divisibilidade, algoritmo de Euclides e propriedades
relacionadas ao MDC e MMC.
objetivos
Meta da aula
Instrumentalizar o ensino de múltiplos e divisores.
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Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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No ensino tradicional, o trabalho com múltiplos e divisores é usualmente feito na
5ª série do Ensino Fundamental. O enfoque dado ao assunto segue geralmente
a seqüência: conceito de múltiplos e divisores, números primos, regras de
divisibilidade, Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC).
Encontramos nos livros didáticos esses tópicos, mais ou menos nessa ordem,
sempre com problemas ao fi m, cujo objetivo é a fi xação do que foi estudado.
Nessa perspectiva, o ensino de MDC e MMC se resume a técnicas, os conteúdos
não são apresentados de forma problematizada. Além disso, ao longo
do Ensino Fundamental e Médio, o MDC não é praticamente utilizado, e o MMC
se limita à aplicação da técnica para reduzir frações ao mesmo denominador.
Alguns professores questionam o ensino do MDC ou o justifi cam para que mais
tarde, na 7ª série, possam ensinar MDC com expressões algébricas.
INTRODUÇÃO
Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma. Lá, você encontrará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.
!
A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA é uma metodologia atual que vem sendo difundida em Portugal, na Universidade de Lisboa. Atividades de investigação são atividades nas quais a ênfase é dada a processos matemáticos como a busca de regularidades, formulação, teste, justifi cativa e demonstração de conjecturas. Algumas das características de uma situação investigativa são a motivação e o desafi o, o que vem provocando nos alunos grande entusiasmo pela Matemática.
Pense no assunto
E você, o que acha? Que signifi cado que o estudo de MDC, MMC e regras de divisibilidade tiveram em sua formação? Com o assunto trabalhado novamente na disciplina Álgebra I, que mudanças ocorreram na formação desses conceitos?
Nesta aula, vamos apresentar o estudo de múltiplos e divisores
com base na INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA.
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O MDC GEOMÉTRICO
Você deve conhecer alguns métodos para o cálculo do MDC.
Nosso objetivo aqui é oferecer uma outra maneira de ensinar o
MDC, com um enfoque geométrico.
Vamos descobrir o MDC entre 5 e 7 geometricamente. Para isso,
considere um retângulo de dimensões 5x7, formado por 35 quadrados
de área 1.
Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo?
É um quadrado cuja medida do lado é 5, observe:
Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 5x2.
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Repetimos a mesma pergunta, agora para o retângulo de dimensões
5x2.
Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo?
Agora, é um quadrado cuja medida do lado é 2.
Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 3x2.
O maior quadrado que podemos formar nesse novo retângulo é
novamente um quadrado de lado 2.
Enfi m, retirando mais uma vez o quadrado formado, encontramos
um retângulo de dimensões 1x2. O maior quadrado que podemos formar
nesse novo retângulo tem a medida do lado 1.
Quando retiramos esse último quadrado, temos na medida do
lado do menor quadrado, o MDC entre 5 e 7.
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Assim, como você sabe, o MDC entre 5 e 7 é 1.
Podemos representar esse MDC em um mesmo retângulo, onde
os quadrados “retirados” estão destacados. Veja:
A medida do lado do menor quadrado obtido no processo é o MDC entre 5 e 7.
Vamos ver outro exemplo, em que o MDC não é 1. Vamos
encontrar por esse processo o MDC entre 4 e 6, isto é, MDC (4, 6).
O maior quadrado formado no retângulo é um quadrado
de lado 4.
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Considerando agora o retângulo 4x2 que “sobrou” quando
“retiramos” o quadrado de lado 4, o maior quadrado que podemos
retirar agora tem lado de medida 2.
Agora, na medida do lado do quadrado que “sobrou”, temos
o MDC (4, 6).
A medida do lado do menor quadrado obtido é 2. Assim, o MDC (6, 4) = 2.
ATIVIDADES
1. Você sabe que o MDC (12, 18) = 6. Faça o processo geometricamente e confi ra:
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2. Faça geometricamente cada MDC indicado.
MDC (2,4) MDC (2,8) MDC (4,8)
MDC (2,6) MDC (3,6) MDC (5,15)
a. O que você observa na formação dos quadrados para o processo do MDC? Por que isso ocorre?
COMENTÁRIO
O cálculo do MDC nos casos apresentados é imediato, e você, com certeza,
o fará de cabeça. O objetivo da atividade é que você analise as formas
geométricas formadas no processo e relacione-as com o MDC.
Atividades como essas podem ser desenvolvidas com alunospara que percebam propri-edades do cálculo do MDC, como a propriedade:Sendo m, n dois números inteiros não-nulos, se m divide n, então, MDC (m, n) = n. Uma outra exploração de propriedade é com o cálculo do MDC (m, 1) no qual m é um número inteiro não-nulo.
!
O Algoritmo de Euclides, que você estudou na Aula 5 do curso de
Álgebra I, é um dos métodos de cálculo do MDC entre dois números inteiros
positivos. Caso você não se lembre, volte à aula e dê uma olhadinha.
No caso, no cálculo do MDC entre 5 e 7, temos, pelo Algoritmo
de Euclides:
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7 = 1 x 5 + 2
5 = 2 x 2 + 1
2 = 2 x 1 + 0
O Algoritmo de Euclides possui um dispositivo prático conhecido
como jogo da velha, em que efetuamos diretamente as divisões sucessivas.
quocientes 1 2 2
7 5 2 1
restos 2 1 0
Muitos autores utilizam a disposição dos restos colocando-os a partir do primeiro número a ser dividido, no nosso exemplo, o 7. O processo é o mesmo, apenas o tipo de visualização dos “novos” divisores é modifi cado.
1 2 2
7 5 2 1
2 1 0
!
Será que há alguma relação entre o Algoritmo de Euclides e o
MDC geométrico? Observe:
7= 1 x 5 + 2
Retângulo de dimensão 7x5
Retângulo de dimensão 5x2
5= 2 x 2+ 1
2= 2 x 2+ 0
Retângulo de dimensão 2x1
Do lado de medida 7, retiramos 5 unidades e sobraram 2 unidades.
Do lado de medida 5, retiramos 2 unidades 2 vezes e sobrou 1 unidade.
Do lado de medida 2, retiramos 2 vezes 1 unidade e não sobrou nada.
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O MMC GEOMÉTRICO
Da mesma maneira que fi zemos com o MDC, faremos com o MMC.
Nosso objetivo, nesta aula, não é discutir os métodos que você conhece,
mas apresentar uma outra maneira de apresentar esse conteúdo.
Para encontrar geometricamente o MMC entre dois números
positivos, vamos considerar novamente o retângulo cujas dimensões
são os números em questão.
Vamos calcular o MMC entre 4 e 6. Para isso, considere um
retângulo 4x6 subdividido em quadrados cuja medida do lado é 1.
D C
A B
Pense nesse retângulo como uma mesa de sinuca, não como
uma qualquer, mas como uma sinuca matemática, claro. Nessa
sinuca matemática, os vértices (A, B, C e D) são as quatro caçapas
da mesa. A “bola” se move sempre da mesma forma. Ela sai de uma
das caçapas e se “movimenta” pela diagonal dos quadradinhos indicados
no retângulo. Veja:
A B
D C
Saída da bola
A B
D C
Percursoda bola
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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Quando essa bola chega a um dos lados dessa sinuca matemática,
ela faz uma rotação “perfeita”, dá um giro de 900 no sentido anti-horário
e continua seu caminho com a mesma regra.
O fato de a rotação ser no sentido anti-horário depende do vértice de onde sai a bola, mas a idéia é que a rotação seja feita de forma que a bola sempre continue no retângulo (na sinuca).
!
Então, a bolinha roda 90º no sentido anti-horário, continua seu
caminho e ops! Esbarra em outro lado da mesa de sinuca.
D C
A B
Novamente, a bola roda 90º no sentido anti-horário e continua.
Esbarra mais uma vez no lado da sinuca, faz uma rotação de 90º no
sentido anti-horário e...
D C
A B
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Encontra a caçapa indicada pelo vértice D. Fim de jogo!
Quantos quadradinhos a bolinha percorreu saindo da caçapa
indicada pelo vértice A até chegar à caçapa indicada pelo vértice D?
– Até encontrar a parte superior da mesa, ela percorreu 4
quadradinhos.
– Andou por mais 2 quadradinhos e encontrou a lateral direita
da mesa.
– Mais 2 quadradinhos e encontrou a parte inferior da mesa.
– Mais 4 quadradinhos e encontrou a caçapa indicada pelo vértice D.
Percorreu, então, um total de 4 + 2 + 2 + 4 = 12, que é o MMC
entre 4 e 6.
O resultado do MMC geométrico independe do vértice escolhido para a “saída da bola”.
!
Quer outro exemplo? Então vamos fazer o MMC entre 5 e 7.
Para isso, partiremos de um retângulo de dimensões 5x7.
A bola sai da caçapa indicada pelo vértice A.
D C
A B
Bate na parte superior, na lateral direita, na parte inferior e na
lateral esquerda, mas ainda não encontra a caçapa.
D C
A B
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Bate na parte superior, depois na inferior, na lateral direita,
na parte superior, novamente na lateral esquerda, mas ainda não encontra
a caçapa.D C
A B
Por fi m, bate na parte inferior e cai na caçapa indicada pelo
vértice C.
D C
A B
O MMC entre 5 e 7 será o número de quadradinhos que a bola
passou. Mas, observe que a bola passou por todos os quadradinhos do
retângulo. Assim, o MMC será a área desse retângulo, ou seja, 5x7 = 35.
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ATIVIDADES
3. Você sabe que o MMC (12, 18) = 36. Faça o processo geometricamente e confi ra:
D C
A B
a. Partindo do vértice A, em qual caçapa a bola cai?
4. Faça geometricamente cada MMC indicado.
a. Em cada caso, em qual caçapa a bola cairá? Observe relações entre números envolvidos no MMC e caçapa na qual a bola caiu. Registre suas conclusões.
A B
D C
MMC (2,4)
A B
D C
MMC (3,9) A B
D C
MMC (4,8)
A B
D C
MMC (2,6)
A B
D C
MMC (3,6)A B
D C
MMC (5,15)
A B
D C
MMC (2,8)
A B
D C
MMC (1,8)
A B
D C
MMC (1,7)
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COMENTÁRIO
O objetivo da atividade não é o cálculo do MMC. Busque observar as formas
geométricas criadas e relacioná-las com o MMC.
A exploração do MMC geométrico possibilita explorar a álgebra e a geometria em conjunto através das noções de área, diagonal, rotação e simetrias. Além da conjectura lançada no boxe explicativo, você pode formular outras, por exemplo, será que quando os números são primos entre si, como no exemplo do 5 e do 7, a caçapa sempre cai na caçapa correspondente ao vértice D?Use seus conhecimentos do curso de Álgebra I para demonstrações formais de suas conjecturas.
!
Você reparou que tanto no exemplo feito no cálculo do MMC geométrico entre 4 e 6 quanto naquele entre 12 e 18 a bola caiu na caçapa D? Por que isso ocorreu?
A SINUCA DE SNOOKER E A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
A sinuca de SNOOKER traduz a idéia de interpretar o retângulo como
uma mesa de sinuca. Além da exploração do MMC, outra observação
interessante é o número de batidas da bola nas laterais da mesa até
entrar na caçapa.
No retângulo de dimensão 4x6, se incluirmos os vértices A
(a caçapa de onde sai a bola) e D (a caçapa onde entra a bola), quantas
batidas a bola dará no total? Observe:
Visite a página da Confederação Brasileira de Bilhar e Sinuca (CBBS) na internet e conheça as regras da Sinuca SNOOKER.http://www.sinuca.com.br/sinuca/cbbs/conteudo/Regras_Ofi cial.aspNa página ilustrada a seguir http://www.sinuca.com.br/sinuca/cbbs/conteudo/ você poderá conhecer as
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D C
A B
São 3 batidas nas laterais, mais 2 nas caçapas, totalizando 5 batidas.
E no retângulo 5x7, quantas batidas são?
Por fi m, a bola bate na parte inferior e cai na caçapa indicada
pelo vértice B.
D C
A B
São 10 batidas nas laterais mais 2 nas caçapas, totalizando 12 batidas.
Você conseguiu perceber a relação existente entre 4 e 6 e o
total de batidas 5? E entre 5 e 7 e o total de batidas 12? Qual a regra?
Essa generalização não é imediata.
Agora pare um pouco a leitura da aula e investigue.
Para ajudá-lo, sugerimos que você acesse o site http://illuminations.
nctm.org/tools/tool_detail.aspx?id=28. Lá você encontra possibilidade
de modificar as dimensões do tabuleiro de sinuca. Nesse recurso, a conta-
gem do número de batidas é dado por Hits, o que acelerará sua investigação.
Na tela inicial aparecerá um retângulo de dimensão 3x5.
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Com o mouse na bolina de sinuca, você dispara a bola.
Na sinuca fi ca indicado Hit para cada batida e toda vez que a
bola cai na caçapa. Na parte inferior da tela, há a contagem Hits: 8,
isso signifi ca que o número de batidas é 8.
Figura 12.1: Tela inicial do jogo de sinuca.
Figura 12.2: Tela inicial do jogo de sinuca.
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Para modifi car as dimensões da mesa, movimente os traços verticais Length e Width. Assim, você pode investigar todas as dimensões de mesa que quiser, até o máximo de 21x21, com facilidade.
Observe que, analisando o percurso da bola, essa mesa permite explorar o MMC geométrico também.
!
Agora, jogue sinuca, formule sua conjectura, procure validar o
que pensou, ou seja, investigue!
Já fez suas descobertas? Fez anotações? Então, vamos
continuar!
Qual a diferença entre o que está sendo proposto a você
agora e um problema mais “usual”? A maioria das atividades
realizadas nas aulas de Matemática é focada em procedimentos
e se apresenta de forma estruturada. Estas são necessárias,
mas com uma metodologia concentrada apenas nesse tipo de
atividade, não proporcionamos ao aluno desenvolver algumas
atitudes importantes em relação à Matemática.
As atividades investigativas se contrapõem às tarefas
procedimentais e estruturadas, sendo, portanto, mais “abertas”,
favorecendo processos de descoberta e redescoberta, numa atmosfera
de motivação e desafi o. Quanto mais experiência o aluno tem com
atividades de investigação, mais aberta deve ser a proposta. Por exemplo,
no problema do número de batidas da sinuca, poderíamos ter dado as
regras e perguntar: o que você observa?
Para o desenvolvimento de uma atividade de investigação, devem estar aliadas as crenças do professor acerca da matemática e da educação. Essas idéias infl uenciam diretamente no processo de aprendizado do aluno e em suas concepções. É necessário que o ensino não seja embasado apenas em trabalhos estruturados e que o aluno tenha oportunidade de formular e validar questões.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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No desenvolvimento de uma atividade de investigação com alunos,
é necessário que o professor redimensione seu papel, provocando outras
questões. Tais intervenções são essenciais para a continuidade da tarefa.
Love (1998) afi rma que, nesse tipo de atividade, o aluno tem
oportunidade de:
• identifi car e iniciar os seus próprios problemas;
• expressar as suas próprias idéias e desenvolvê-las ao resolver
problemas;
• testar as suas idéias e hipóteses de acordo com experiências
relevantes;
• defender racionalmente as suas idéias e conclusões e submeter as
idéias dos outros à crítica ponderada.
Voltando ao problema proposto a você, vamos analisar o número
de batidas de alguns casos nos quais os números são primos entre si, ou
seja, quando o MDC entre os números é 1.
Dimensões da mesa Número de batidas
5x7 12
3x7 10
2x9 11
7x11 18
15x16 31
::
::
Analisando este caso, podemos CONJECTURAR que, quando os números
são primos entre si, o número de batidas é a soma desses números.
Será que essa primeira sensação é verdadeira? Vamos analisar
casos em que o MDC entre os números não seja 1.
CONJECTURAR
Emitir uma opinião sem fundamentos precisos.
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Dimensões da mesa Número de batidas
4x6 5
10x20 3
9x12 7
14x21 5
15x18 11
::
::
Não, o número de batidas não é a soma dos números envolvidos.
Mas existe uma relação com a soma.
Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das dimensões da mesa
4x6 5 10
10x20 3 30
9x12 7 21
14x21 5 35
15x18 11 33
::
::
::
Os números da segunda coluna estão relacionados com os números
da terceira coluna através de uma divisão.
Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das dimensões da mesa
4x65 =
10
2
10
10x203 =
30
10
30
9x127 =
21
3
21
14x215 =
35
7
35
15x1811 =
33
3
33
::
::
::
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E o divisor em questão é o MDC entre os números das dimensões
da mesa.
Dessa forma, podemos expressar o número de batidas por: m + n
mdc (m,n).
No livro Investigações matemáticas na sala de aula, dos autores João Pedro da Ponte, Joana Brocado e Hélia Oliveira, da Editora Autêntica, você encontrará vários registros de alunos a respeito desse problema.
!
MÚLTIPLOS, DIVISORES, MMC E MDC
Vimos dois processos, um para o cálculo de MDC e outro para
MMC. Estes dão possibilidades de várias explorações e conexões com
a Matemática. Entretanto, é importante que o professor tenha em mente
que o trabalho com múltiplos e divisores e posteriormente com MDC e
MMC não pode estar restrito à repetição de procedimentos. Para isso,
é necessário que os conceitos sejam trabalhados.
Estas são algumas crenças de alunos a respeito de múltiplos e
divisores no Ensino Fundamental e Médio:
I. 2 ÷ 0 = 2.
II. 0 ÷ 5 = 5.
III. 0 ÷ 0 = 1.
IV. –6 não é múltiplo de 3 porque é negativo.
V. –5 não é divisível por 1 porque é negativo.
VI. O MMC é sempre positivo.
VII. O MDC é sempre positivo.
VIII. 1 é primo.
Essas crenças estão todas erradas?
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O conceito de divisibilidade envolve dois números inteiros.
Como você viu na Aula 5, da disciplina Álgebra I:
Dados dois inteiros m e n, dizemos que m divide n se existe um
inteiro q tal que n = qm. Nesse caso, dizemos que m é divisor de n ou
“n é múltiplo de m”.
Assim, o conceito de divisor de um número é válido para números
positivos e negativos. Acontece que os números positivos são trabalhados
primeiro, e quando os alunos trabalham com números negativos, esses
conceitos não são retomados. Isso faz com que o aluno pense como nos
itens IV e V, uma vez que nada foi falado a ele a esse respeito.
No caso das divisões, qual o resultado de 2 ÷ 0?
De acordo com a defi nição dada, se 0 fosse divisor de 2, existiria
um número inteiro q tal que 2 = 0.q. Como todo número inteiro
multiplicado por 0 é 0, 2 ÷ 0 não existe. Assim, a crença que 2 ÷ 0 = 2
(I) está errada.
A propriedade 0.q = 0 para qualquer número inteiro q é uma propriedade de anéis. Preste atenção nesse fato no estudo da estrutura de anéis.
!
O caso em que 0 ÷ 5 = 5 (II) também não se justifi ca. De acordo
com o que foi visto, se 5 divide 0, existe q tal que 0 = 5.q. O único número
inteiro que satisfaz a igualdade é q = 0, assim, o resultado de 0 ÷ 5 = 0.
Vamos analisar agora a crença (III): 0 ÷ 0 = 1. Você observou que,
de acordo com a defi nição feita na disciplina Álgebra I, não há restrição
inicial ao fato de o divisor ser 0?
Se o divisor é 0, ou seja n = 0, m também deverá ser 0. Nesse caso,
o valor de q na expressão 0 = q.0 não será único. Como uma operação
matemática tem resultado único, costuma-se excluir o caso em que o
divisor é 0. Assim, assumimos que o divisor é n (n ≠ 0). Por isso, dizemos
que 0 ÷ 0 não existe (III).
O trabalho de MDC e MMC com alunos de Ensino Fundamental
é muito focado nas técnicas. Cabe lembrar que o MDC e o MMC são
sempre positivos. Revise essas defi nições nas Aulas 5 e 6 da disciplina
Álgebra I. Assim, as crenças (VI) e (VII) estão corretas.
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Para relembrar, o conjunto dos divisores positivos de um número
é um conjunto finito. Quando falamos de MDC entre dois
números, estamos nos remetendo ao MAIOR número que divide os dois
números ao mesmo tempo.
Por exemplo, o MDC (6, 8) é o maior número positivo que divide
6 e 8 ao mesmo tempo. Os divisores positivos do 6 são 1, 2, 3 e 6,
e os divisores do 8 são 1, 2, 4, e 8. O maior número positivo que é divisor
de 6 e 8 ao mesmo tempo é o 2. Assim, MDC (6, 8) = 2.
Como falamos antes, muitos professores são contra o estudo do MDC, pois afi rmam que o assunto não tem utilização nem no Ensino Fundamental, nem no Médio. Dizem, ainda, que os problemas que envolvem o MDC são artifi ciais, o que, na maioria dos casos, é verdade. Outros defendem que o MDC é importante no estudo das relações entre números e que o Algoritmo de Euclides deve ser estudado. As duas idéias devem ser respeitadas e questionadas por você, futuro professor de matemática.
!
No estudo do MDC, as idéias de encontrar divisores comuns e
de que o MDC deve ser o maior deles não devem ser descartadas, e o
ensino do tema não pode ser restrito ao procedimento, seja por fatoração,
pelo Algoritmo de Euclides ou pelo método geométrico.
O mesmo deve ocorrer com o estudo do MMC. O conjunto dos
múltiplos de um número inteiro é um conjunto infi nito. Quando falamos
do MMC entre dois números inteiros positivos, nos remetemos à idéia do
MENOR número possível que ao mesmo tempo é múltiplo desses dois
números envolvidos.
Por exemplo, o MMC (6, 8).
M6 = {0,. ± 6, ± 12, ± 18, ± 24, ± 30, ± 36, ± 42, ± 48, ± 54, ...}
M8 = {0, ± 8, ± 16, ± 24, ± 32, ± 40, ± 48, ± 56, ...}
Os múltiplos comuns a 6 e a 8 são 0,
M6 ∩ M8 = = {0, ± 24, ± 48, ...}.
Assim, o MMC (6, 8) é o menor número positivo desse conjunto,
ou seja, 24.
Agora, só falta analisar a afi rmação VIII. Para isso, vamos recordar
o que é um número primo. Um número é dito primo quando tem
exatamente dois divisores diferentes. Caso tenha mais de dois divisores
diferentes, é chamado composto. De acordo com o que foi dito, o número
1 não é primo, tampouco composto.
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ATIVIDADES
5. Observe a situação-problema:
A Confederação Internacional dos Jogadores de Bolinhas de Gude realiza um torneio a cada cinco anos. O primeiro ocorreu em 1987, o segundo, em 1992 e assim por diante.
a. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5?
b. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5 somados com 3?
c. Se o campeonato continuar a ser realizado a cada cinco anos, haverá torneiro em 2068?
d. Além dos múltiplos de 5, o que está sendo abordado no problema?
6. Considere o problema a seguir.
a. Se um número inteiro é múltiplo de 3, o mesmo acontece com o seu quadrado? E com a sua décima potência?
b. Escreva uma forma de explorar esse problema com alunos de 5ª ou 6ª série.
c. Escreva agora uma forma de explorar o problema, com alunos de 7ª ou 8ª série.
COMENTÁRIO
Um modo de você pensar na diferença da exploração possível em cada
item é ter em mente que, com alunos de 5ª ou 6ª série, devemos buscar
generalizações, mas a manipulação dos símbolos algébricos ainda não é o
foco principal, ao passo que, com alunos de 7ª ou 8ª série, o professor deve ter
dentre seus objetivos exatamente a manipulação de símbolos algébricos.
O trabalho com múltiplos não deve ficar restrito à exploração imediata do con-ceito e às regras de divisi-bilidade. Algumas situ-ações-problema que explo-ram seqüências de múltiplos somados com um número, ou seja, seqüências de números que deixam o mesmo resto na divisão por um número inteiro não-nulo, no caso 3, devem ser trabalhadas com alunos.
!
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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7. Considere os problemas a seguir.
Em uma estrada de 360km, de um lado há postes de 12 em 12 quilômetros a partir do quilômetro zero e do outro há árvores de 18 em 18 quilômetros, também a partir do quilômetro zero.
a. De quantos em quantos quilômetros haverá um poste na mesma direção de uma árvore?
Tenho 18 livros de Matemática e 12 livros de Português. Quero arrumar esses livros em prateleiras só com livros de Matemática ou só com livros de Português, de maneira que, em cada prateleira, eu tenha o maior número possível de livros.
b. Quantos livros colocarei em cada prateleira?
c. Quantas prateleiras usarei?
d. Esses problemas são usualmente apresentados em livros como problemas envolvendo MDC e problemas envolvendo MDC. Você acha necessário o estudo do MDC e do MMC para resolver esses problemas? Você acha interessante trabalhar esses problemas com alunos? Registre suas observações e discuta com seu tutor.
Ser professor exige um olhar atento sobre o que é trabalhado e a maneira como esse trabalho é feito. Procure sempre refl etir sobre o que você está ensinando!
!
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COMPREENDENDO REGRAS DE DIVISIBILIDADE
O que são regras de divisibilidade? O número 12.345.678 é
divisível por 2? O número 789.567 é divisível por 5? E o número
345.687.390 é divisível por 10? Você rapidamente deve ter respondido
que 12.345.678 é divisível por 2, que 789.567 não é divisível por 5
e que 345.687.390 é divisível por 10 sem ter feito nenhum cálculo.
Você provavelmente pensou que 2.345.678 é par, que 789.567 não termina
em 0, nem em 5, e que 345.687.390 termina em 0. Por meio das chamadas
regras de divisibilidade, podemos saber se um número é divisível ou não
por outro sem efetuar a divisão entre respectivos números.
As regras de divisibilidade são geralmente dadas aos alunos sem
que haja uma exploração dos porquês. As regras de divisibilidade mais
úteis aos alunos são as de 2, 3, 5, 6, 9 e 10.
As regras de divisibilidade dos números 2, 5 e 10 são facilmente
percebidas pelos alunos por meio da análise dos padrões formados pelos
respectivos múltiplos, representados em uma tabela.
A regra do 6, após o aluno saber as regras de divisibilidade por 2
e por 3, pode ser facilmente percebida também, pois 6 = 3x2, e a regra
de divisibilidade por 6 envolve uma conjunção, ou simultaneidade,
já que o número pode ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
As regras de divisibilidade por 3 e por 9 são mais artifi ciais se
forem apenas dadas sem justifi cativa. Vale lembrar que:
Se um número é divisível por 3, então a soma de seus algarismos
é divisível por 3, e, se um número é divisível por 9, então a soma dos
seus algarismos é divisível por 9.
A difi culdade de justifi car algebricamente essa regra está na
generalização da escrita do número na base 10, pois, nesse caso, teríamos de
supor um número de n algarismos, e a escrita fi ca difícil para alunos
de 5ª ou 6ª séries.
Podemos, então, justifi car essas regras aos alunos supondo um
número de três ou quatro algarismos. Por exemplo, para saber qual a
condição necessária para que um número seja divisível por 3, supondo
um número de quatro dígitos (ABCD), vamos recorrer à sua escrita no
sistema de numeração decimal.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?
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A escrita de (ABCD) entre parênteses foi utilizada para reforçar que A, B, C e D são algarismos e diferenciá-la da escrita de multiplicação de quatro números.
(ABCD) = 1000A + 100B + 10 C + D
Mas,
1000A = 999A + A
100B = 99B + B
10C = 9C + C
Assim, (ABCD) = 999A + A + 99B + B + 9C + C + D.
Reorganizando as parcelas, temos:
(ABCD) = 999A + 99B + 9C + A + B + C + D.
Como 999A + 99B + 9C é divisível por 3, se A + B + C + D também for, o número (ABCD) também será. A regra da divisibilidade por 9 pode ser justifi cada da mesma maneira.
Se houver difi culdade dos alunos em relação à regra com “letras”,
o professor pode trabalhar o raciocínio com exemplos, explorando o que
ocorre de diferente com a soma dos algarismos, os números, no caso de
serem ou não divisíveis por 3 ou por 9.
ATIVIDADE
8. Um número natural formado por três algarismos iguais é sempre múltiplo de 37? Por quê?
COMENTÁRIO
Você pode realizar divisões por números ou pensar dedutivamente,
orientando-se pelo boxe explicativo anterior.
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ATIVIDADE FINAL
Crivo de Eratóstenes
Na tabela, risque o número 2 e todos os seus múltiplos com lápis de uma
determinada cor.
Depois, risque o 3 e todos os seus múltiplos com lápis de outra cor.
E assim, sucessivamente, para o 4, o 5, o 6, o 7 até o 99.
a. Que números têm apenas um risco? O que eles têm em comum?
b. Observe a cor com que você riscou o número 6 e seus múltiplos e a que você
utilizou para riscar o número 8 e seus múltiplos. Que números têm riscos nestas duas
cores ao mesmo tempo? Com base em sua resposta, qual é o MMC entre 6 e 8?
c. Observe os riscos que você fez nos múltiplos de 2 e nos múltiplos de 4. Existem
números que têm o risco da cor do 2 e não têm da cor do 4? Existem números que
têm riscos na cor do 4 e não têm na cor do 2? O que você pode concluir?
d. O número 1 não foi pintado. O que isso signifi ca?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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COMENTÁRIO
Esta atividade é um exemplo para ser aplicado com alunos no trabalho com
múltiplos e divisores e com números primos. Não deve haver difi culdades
em fazê-la, o importante é que você refl ita sobre o que lhe está sendo pedido
nos itens e em como a atividade favorece a concretização de algumas
propriedades. A mesma atividade pode ser utilizada para reconhecer os
divisores de um número.
CONCLUSÃO
Quando falamos das atividades investigativas, vale destacar um
importante aspecto do ensino da Matemática: aliar uma metodologia
consistente ao conhecimento do professor.
A divisão por zero, por exemplo, deve ser analisada pelo professor
por meio de suas próprias difi culdades e da maneira como as esclareceu.
Isso pode gerar excelentes contextos para o trabalho de sala de aula.
Além das atividades de investigação, para o trabalho com
múltiplos e divisores, o professor dispõe de excelentes problemas
e jogos. Muitos estão presentes nos livros didáticos e outros podem ser
criados pelo próprio professor.
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A exploração do MDC e do MMC geométricos são exemplos de processos para
o cálculo dos mesmos que podem ser usados em sala de aula. Os dois consideram
inicialmente um retângulo onde os quadrados de 1 unidade de área estão
destacados, formando uma malha.
No processo do MDC, a idéia é a retirada dos maiores quadrados formados.
Nesse processo, a medida do lado do menor quadrado é o MDC entre os números
que são as medidas dos lados do retângulo inicial. No MMC, trabalhamos com
a idéia de mesa de sinuca. A “bola” parte de um dos vértices e faz “tabelas” até
chegar a outro vértice. O número de quadradinhos que percorreu é o MMC entre
os números que compõem as dimensões do retângulo.
Na sinuca de Snooker, além de manipular novamente o MMC geométrico usando
a internet, exploramos o “número de batidas”. Encontramos uma relação entre os
números da medida dos lados do retângulo e o MDC.
Algumas questões sobre o ensino de múltiplos e divisores foram enfatizadas,
como a divisão por zero e as restrições dadas aos cálculos do MDC e do MMC.
Os critérios de divisibilidade foram resgatados onde exploramos, em particular,
as justifi cativas dos critérios da divisibilidade por 3, em que a soma dos algarismos
do número deve ser divisível por 3 e por 9, e em que a soma dos algarismos do
número deve ser divisível por 9.
AUTO-AVALIAÇÃO
Os MDC e MMC geométricos foram duas maneiras apresentadas para abordar os
processos de cálculo dos mesmos, em que exploramos algumas regularidades
também. Verifique se você atingiu essa perspectiva nas Atividades 2 e 4.
Na sinuca de Snooker, você utilizou a tecnologia no ensino da matemática,
não como uma atividade à parte, mas inserida em um processo de investigação
que foi exposto a você no decorrer do tópico. Questionamos, também, aspectos
do ensino de múltiplos e divisores, regras de divisibilidade focalizando
as dificuldades encontradas por alunos nesse estudo. Na Atividade Final,
além de identifi car esses aspectos, uma boa avaliação é pensar em outras questões
que esse contexto permite explorar.
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RESPOSTAS
Atividade 1
Menor quadrado formado tem
medida do lado 6
Atividade 2
Faça geometricamente cada MDC indicado.
MDC (2,4)=2 MDC (2,8)=2 MDC (4,8)=4
MDC (2,6)=2 MDC (3,6)=3 MDC (5,15)=5
a. Em cada um dos casos do processo do MDC geométrico, todos os quadrados (tanto
os “retirados” quanto o último) são congruentes. Isso ocorre porque os números
envolvidos no MDC são múltiplos. Quando pensamos no maior quadrado possível,
a medida do lado desse quadrado será o menor número envolvido no processo.
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Atividade 3
A B
D C
a. A bola cai na caçapa D, percorrendo um total de 36 quadradinhos.
Atividade 4
A B
D C
MMC (2,4)=4A B
D C
MMC (3,9)=9 A B
D C
MMC (4,8)=8
A B
D C
MMC (1,8)=8
A B
D C
MMC (3,6)=6 A B
D C
MMC (5,15)=15
A B
D C
MMC (2,6)=6
A B
D C
MMC (2,8)=8
A B
D C
MMC (1,7)=7
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a. Observe que, em alguns casos, a bola cai na caçapa C e, em outros, na B,
mas em todos os casos os números envolvidos são múltiplos. No MMC entre 3 e 9, 2 e 6, 5
e 15 e 1 e 7, a bola caiu na caçapa indicada pelo vértice C. Já no MMC entre 2 e 4, 4 e
8, 3 e 6, 2 e 8 e 1 e 8, a bola cai na caçapa indicada pelo vértice B. Uma possibilidade
de generalização é a seguinte:
Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m divide n. Se m ÷ n é ímpar,
então a bola cai na caçapa indicada pelo vértice C, entretanto, se m ÷ n é par, a bola
cai na caçapa indicada pelo vértice B.
Busque justifi car seu argumento.
Atividade 5
A resposta encontra-se no boxe de atenção.
Atividade 6
a. Esta questão não tem resposta fechada. Muitas questões devem ser levadas em
consideração pelo professor quando aborda uma situação-problema com alunos.
Veja, a seguir, uma forma de abordá-la, mas procure pensar em outras e discuta
com seu tutor.
b. Uma possibilidade de manipulação é usar uma tabela, onde exploramos as
potências dos números múltiplos de 3, em alguns casos concretos, trabalhando com
a escrita de múltiplos de 3 em forma de produto e com a propriedade de potenciação
(a.b)n = an.bn. Através da investigação, o aluno pode buscar uma argumentação.
Número divisível por 3 Elevado à 2ª potência Elevado à 3ª potência ... Elevado à 10ª potência
0=0x3 (0x3)2 = 02.32 (0x3)3 = 03.33 ... (0x3)10 = 010.310
3=1x3 (1x3)2 = 12.32 (1x3)3 = 13.33 ... (1x3)10 = 110.310
6=2x3 (2x3)2 = 22.32 (2x3)3 = 23.33 ... (2x3)10 = 210.310
9=3x3 (3x3)2 = 32.32 (3x3)3 = 33.33 ... (3x3)10 = 310.310
12=4x3 (4x3)2 = 42.32 (4x3)3 = 43.33 ... (4x3)10 = 410.310
15=5x3 (5x3)2 = 52.32 (5x3)3 = 53.33 ... (5x3)10 = 510.310
18=6x3 (6x3)2 = 62.32 (6x3)3 = 63.33 ... (6x3)10 = 610.310
::
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::
::
33=11x3 (11x3)2 = 112.32 (11x3)3 = 113.33 ... (11x3)10 = 1110.310
::
::
::
::
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A partir da análise da tabela, o aluno pode concluir que sempre haverá pelo
menos um fator 3 na escrita do número em forma de potência, logo, nos dois
casos, elevando-se um número ao quadrado ou à décima potência, o número será
divisível por 3.
c. A partir da 7ª série, o professor pode desenvolver com seus alunos raciocínios como
o apresentado na tabela, a diferença pode ser apenas no tipo de argumentação
dos alunos. Pode-se buscar argumentações que considerem a escrita algébrica.
Por exemplo: se um número n é divisível por 3, podemos escrevê-lo como n =
3m. Neste caso, n2 = 32m2 apresenta um fator 3 na expressão (precisamente dois
fatores 3), sendo assim, divisível por 3. A décima potência também apresenta um
fator 3 na expressão (precisamente dez fatores 3), sendo também divisível por 3.
Observe: n10 = 310m10.
Atividade 8
Sim, todos os números naturais de três algarismos iguais são múltiplos de 37.
Para justifi car, você pode efetuar a divisão por 37 dos números 111, 222, 333, 444,
555, 666, 777, 888 e 999, ou pode optar por um raciocínio dedutivo.
Nesse caso, podemos escrever um número da forma AAA como 100A + 10A + A,
mas 100A = 37A + 37A + 26A, assim, o número (AAA) = 37A + 37A + 26A + 10A
+A = 37A + 37A + 37A = 3x37A. Logo, o número (AAA) é divisível por 37.
Atividade Final
a. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 93, 97. Todos possuem apenas dois divisores, 1 e ele mesmo, ou seja, são
números primos.
b. 24, 48, 72 e 96. É o 24.
c. Sim, o 6 por exemplo. Não. Todo múltiplo de 4 é múltiplo de 2, mas nem todo
múltiplo de 2 é múltiplo de 4.
d. Ele não é primo nem composto.