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Validade de aproximação de Segunda Ordem
• Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três (ou mais) pólos pode ser aproximado por um Sistema de Segunda Ordem se os pólos adicionais estiverem a esquerda dos pólos dominantes, pelo menos cinco vezes mais distantes.
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EXEMPLO•
• -2.0000 + 4.5323i• -2.0000 - 4.5323i
3542,244
626,73
10542,244
42,245
542,244
542,24
23
22
21
sssssC
sssssC
ssssC
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Respostas ao degrau dos
sistemas T1(s), T2(s) e T3(s)
Tempo (s)
Res
post
a no
rmal
izad
a
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
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Resposta de sistema com Zeros
• Influenciam no valor das constantes na expansão em frações parciais;
• Se comporta como um fator de ganho;• Quanto mais a esquerda do eixo imaginário
menor sua influência na forma da resposta;
saCssCassC
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Efeito de adicionar um
zero a um sistema com
dois pólos
Tempo (s)
c (t
) no
rmal
izad
a
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
zero em
zero emzero em
sem zeros
2,0 4,0 6,0
828,21: jemPólos
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Resposta ao degrau de um
sistema de fase não-mínima
(Zero do lado direito do plano “s”)
Tempo (s)
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
0,5
1,0
1,5
–0,5
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Cancelamento de Pólos e Zeros
01,4
033,0
6
4,4
5
3,587,0
5,3
1
6
5,3
5
5,31
01,465
425,26
5,365
425,26
2
1
2
1
sssssC
sssssC
ssss
ssC
ssss
ssC
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Exercícios
• Capítulo 4:– Exercícios de avaliação números: 4.1, 4.3, 4.4, 4.5,
4.6– Exemplos: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 e 4.8– Problemas: 2, 4, 8, 18, 19, 20, 23, 24, 28, 29 e 30
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ERROS DE ESTADO ESTACIONÁRIO
• Projeto de Sistemas de Controle:– Estabilidade;– Características da Resposta Transitória;– Características da Resposta de Estado
Estacionário.
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ERROS DE ESTADO ESTACIONÁRIO
• É a diferença entre a entrada e a saída de um sistema para uma entrada de teste a ele aplicada quando “t” tende a infinito.
• A análise de Erros de Estado Estacionário só tem sentido para sistemas estáveis.
• Consideraremos erros devido a natureza do sistema e o tipo de sinal de teste aplicado na entrada do sistema.
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Formas de onda dos
sinais de teste para o cálculo dos erros de
estado estacionário em sistemas
de controle de posição
Forma de onda NomeInterpretação
físicaFunção
do tempoTransformada
de Laplace
Degrau Posição constante
Rampa
Parábola
Velocidade constante
Aceleração constante
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As entradas de teste para análise e projeto
de erro de estado estacionário variam com o tipo de alvo
Sistema de rastreamento
Fogueteacelerador
Satélite orbitando comvelocidade constante
Satélite em órbita geoestacionária
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Erro de estado estacionário:a. entrada em
degrau;b. entrada em
rampa
Entrada
Saída 1
Saída 2
Tempo
Tempo
Saída 2
Saída 1
Entrada
Saída 3
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Erro de sistema de controle a malha fechada:a. representação geral;
b. representação para sistemas com retroação unitária
sTssRes
1lim0
sGssR
es
1
lim0
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Exemplo:
• Encontre o erro de estado estacionário para um sistema com Função de Transferência dada pela T(s) mostrada abaixo quando o mesmo é submetido a uma entrada degrau unitário
107
52
ss
sT
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Exemplo:
5,010
51
107
51
1lim
1lim
20
0
e
sssse
sTssRe
s
s
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Sistemas com:a. erro de estado estacionário finito para uma
entrada em degrau;b. erro de estado estacionário nulo para uma
entrada em degrau
sGssR
es
1
lim0
![Page 18: Validade de aproximação de Segunda Ordem Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062404/552fc134497959413d8d8330/html5/thumbnails/18.jpg)
0
1
1lim
1
1
lim1
lim
1
1
1
1
lim1
lim
000
00
sK
sKss
sG
ssRe
KKss
sG
ssRe
sss
ss
Primeiro Caso
Segundo Caso
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Sistema de controle com retroação para definição do tipo de sistema
sGssR
es
1
lim0
![Page 20: Validade de aproximação de Segunda Ordem Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062404/552fc134497959413d8d8330/html5/thumbnails/20.jpg)
Erros para os vários tipos de entrada padrão
• Degrau:
• Rampa:
• Parábola:
sGes 0lim1
1
ssGe
s 0lim
1
sGses
2
0lim
1
![Page 21: Validade de aproximação de Segunda Ordem Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062404/552fc134497959413d8d8330/html5/thumbnails/21.jpg)
Exemplo
• Calcule os erros de estado estacionário para um sistema com realimentação negativa unitária cuja Função de Transferência de malha aberta é dada pela G(s) abaixo para entradas
• onde é o degrau de amplitude unitária
tutttututr 25,5,5 tu
43
62100
sss
sssG
![Page 22: Validade de aproximação de Segunda Ordem Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062404/552fc134497959413d8d8330/html5/thumbnails/22.jpg)
Constantes de Erro para sistemas com realimentação negativa unitária
sGsKaceleraçãodeerrodeteCons
ssGKvelocidadedeerrodeteCons
sGKposiçãodeerrodeteCons
sa
sv
sp
2
0
0
0
limtan
limtan
limtan
![Page 23: Validade de aproximação de Segunda Ordem Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062404/552fc134497959413d8d8330/html5/thumbnails/23.jpg)
Relações entre entrada, tipo de sistema,constante de erro estático e erro de estado
estacionário
![Page 24: Validade de aproximação de Segunda Ordem Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062404/552fc134497959413d8d8330/html5/thumbnails/24.jpg)
Exemplo: Para cada um dos
sistemas ao lado encontre as
constantes de erro de posição,
velocidade e aceleração.
![Page 25: Validade de aproximação de Segunda Ordem Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062404/552fc134497959413d8d8330/html5/thumbnails/25.jpg)
Informações a partir do erro
• Que informações podem ser extraídas da especificação ?– Como a constante de erro de posição é finita o
sistema é do tipo zero;– O sinal de teste é um degrau;
– O erro vale:
1000pk
000999,010001
1
![Page 26: Validade de aproximação de Segunda Ordem Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062404/552fc134497959413d8d8330/html5/thumbnails/26.jpg)
Exemplo: encontre k de modo que o erro de
estado estacionário seja de 10%