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Universidade Federal de UberlândiaFaculdade de Engenharia Mecânica
Simulação de Grandes Escalas da Turbulência,
com Modelagem Sub-Malha Dinâmica
por Aristeu da Silveira Neto
Uberlândia, abril de 2001
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
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Características mais importantes da Turbulência:
• Difusão;
• Dissipação;
• Vorticidade;
• Tridimensionalidade;
• Continuidade;
• Impredisbilidade;
• Altos números de Reynolds;
• Largo Espectro de Energia;
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Log [E(k)]
Log(k)kI
Efeitos viscosospredominantes
Zona inercial doespectro
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I
Escoamento sobre uma cavidade, ilustrando o processo de transmissão de injeção de energia do escoamento médio para os turbilhões da camada cizalhante e para o interior da cavidade.
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Modelagem Sub-Malha da Turbulência
• Modelagem Sub-Malha de Smagorinsky
•Modelagem Função Estrutura de Velocidade
•Modelagem Dinâmica
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•Simulação Numérica Direta - SND
•Simulação Numérica Clássica
•Simulação de Grandes Escalas
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•Simulação de Grandes Escalas é uma metodologia intermediária à Simulação Direta e à simulação via equações médias de Reynolds;
•Em SGE, as estruturas turbulentas transportadoras de energia são resolvidas diretamente da solução das equações filtradas e, apenas as menores estruturas são modeladas;
•Considerando-se que as menores estruturas tendem a ser mais homogêneas e isotrópicas e menos afetadas pelas condições de contorno, espera-se que os modelos advindos sejam mais universais e independentes dos diferentes tipos de escoamentos, quando comparados com a metodologia média clássica;
•As metodologias de SND e SGE são semelhantes no sentido que ambas permitem a obtenção de resultados tridimensionais e transientes das equações de Navier-Stokes.
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•Equações filtradas: revisão
ijijij
j
i
jioji
j
i LCx
u
xx
puu
xt
u
1
0i
i
x
u
jjj
jjj
j
LCx
T
xTu
xt
T
•Sendo assim, SGE continua a exigir malhas refinadas. No entanto, torna-se possível resolver escoamentos a altos números de Reynolds
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.
Re
LeonarddeturbulentoFluxoTuTuL
cruzadoturbulentoFluxoTuTuC
malhasubturbulentoFluxoTu
LeonarddeTensoruuuuL
cruzadoTensoruuuuC
malhasubynoldsdeTensoruu
jjj
jjj
jj
jijiij
jijiij
jiij
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iji
j
j
itij k
x
u
x
u
3
2
k
j
k
ikijij x
u
x
uCL
12
•Testes de importância relativa
.
RD ijijL CLD . ijM SD 2.
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Modelo sub-malha de Smagorinsky
•Este modelo foi proposto por Smagorinsky (1963), baseando-se na hipótese do equilíbrio local para as pequenas escalas, ou seja, que a produção de tensões turbulentas sub-malha seja igual à dissipação:
ijijtijji SSSuu 2 /2/3
1 jiuuc
Na expressão para ,
2/1
jiuu e l, são as escalas de velocidade e de comprimento respectivamente.
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•Como a viscosidade turbulenta é proporcional à escala de velocidade e de comprimento, tem-se que:
jit uuc 1
•Com estas três equações, chega-se a uma expressão para a viscosidade turbulenta:
ijijSt SSC 2
•A constante de Smagorinsky, CS =0,18, foi determinada analiticamente por Lilly (1967), para turbulência homogênea e isotrópica.
•Aplicações para escoamentos não homogêneos e não isotrópicos?
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Modelo sub-malha Função Estrutura de Velocidade
•Chollet e Lesieur (1982) apresentaram o formalismo para o cálculo de (viscosidade turbulenta) e (difusibidade turbulenta) no espaço de Fourier
•Eles chegaram à seguinte expressão para a viscosidade turbulenta no espaço de Fourier:
c
ctct k
tkEtk
,,
•A constante t+ é determinada fazendo-se um balanço de energia
como segue:
ck
t tdktkEk0
2 ,2
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Considerando-se 3/53/2, kCtkE K
2/33/2 Kt CObtém-se
Observa-se que o cálculo da viscosidade turbulenta no espaço de Fourier exige determinar o nível de energia cinética turbulenta na freqüência de corte.
Buscando-se aplicar este modelo no espaço físico, Métais e Lesieur (1990) mostraram que é possível fazer esta passagem, utilizando-se do conceito de Função Estrutura de Velocidade de Ordem 2:
2
2 ,,,, txutrxutrxF
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•Batchelor (1953), mostra que existe um dualismo entre a função estrutura (definida no espaço físico) e o espectro de energia (definido no espaço de Fourier), válido para turbulência homogênea e isotrópica.
•Com este dualismo e com um espectro de energia de Kolmogorov, chega-se ao seguinte resultado:
txFtkxE c ,,03,0,,
Logo,
Com
r
txutrxutrxF 2
2 ,,,,
txFCtx Kt ,,104,0,, 22/3
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•Estes dois modelos são mais apropriados para escoamentos turbulentos plenamente desenvolvidos e fora de regiões parietais. Para escoamentos em transição e escoamentos parietais, um modelo alternativo foi proposto por Germano (1993)
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Modelagem dinâmica sub-malha
•A modelagem sub-malha convencional envolve uma constante de proporcionalidade imposta de forma ad-hoc. Apesar das limitações advindas deste fato, conseguiu-se, nos últimos anos, avanços extremamente importantes na área de simulação numérica dos escoamentos turbulentos.
•Os resultados que podem ser obtidos em turbulência completamente desenvolvida e fora das regiões parietais colocam a SGE hoje como uma ferramenta paralela à experimentação em laboratórios (Bradshaw et al., 1996, e Gharib, 1996).
•Uma das principais limitações diz respeito a análise de escoamentos em transição e nas proximidades de paredes, em conseqüência da imposição de uma constante de proporcionalidade
•A determinação dinâmica de uma função de proporcionalidade no cálculo da viscosidade turbulenta pode representar avanços importantes.
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•A base desta modelagem é o uso de dois filtros com comprimentos característicos diferentes
•No primeiro, utiliza-se as dimensões da malha para calcular o seu comprimento característico. Ele é denominado filtro a nível da malha;
•No segundo utiliza-se um múltiplo das dimensões das malhas para calcular o comprimento característico. Ele é denominado filtro teste;
•Com base no uso dos dois níveis de escalas (acima da malha), conclui-se que, na modelagem dinâmica, utiliza-se informações do nível de energia contido nas menores escalas resolvidas, situadas entre as escalas dos dois filtros
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f(t)
t
Função original
Função filtrada uma vez
Função filtrada duas vezes
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UFU LTCM
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•A base matemática dos modelos dinâmicos são as equação de Navier-Stokes:
j
i
jiji
j
i
x
u
xx
puu
xt
u
1
j
i
jiii
j
i
x
u
xx
puu
xt
u
1
Primeiro processo de filtragem
jijiij uuuu Tensor de Reynolds sub-malha
generalizado
UFU LTCM
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ij
j
i
jiji
j
i
x
u
xx
puu
xt
u
1
Chega-se a:
Aplica-se agora um novo filtro G, de comprimento característico superior ao comprimento do primeiro filtro, sobre a equação seguinte:
j
i
jiii
j
i
x
u
xx
puu
xt
u
1
j
i
jiji
j
i
x
u
xx
puu
xt
u
ˆˆ1ˆ
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
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•Onde a seguinte relação entre os comprimentos característicos dos dois filtros é utilizada
2ˆ
•Define-se o tensor das tensões relativas ao segundo filtro, também chamadas de sub-teste, como sendo:
jiij uuju
iuT ˆˆ
Logo, tem-se que:
ij
j
i
jiji
j
i Tx
u
xx
puu
xt
u
ˆˆ1ˆˆ
ˆ
UFU LTCM
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Filtrando-se a seguinte equação:
ij
j
i
jiji
j
i
x
u
xx
puu
xt
u
1
ij
j
i
jiji
j
i
x
u
xx
puu
xt
u
ˆˆˆ1ˆ
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
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Subtraindo-se uma equação da outra, entre as duas abaixo:
ij
j
i
jiji
j
i Tx
u
xx
puu
xt
u
ˆˆ1ˆˆ
ˆ
ij
j
i
jiji
j
i
x
u
xx
puu
xt
u
ˆˆˆ1ˆ
Tem-se, ijijj
jij
Tx
uuju
iu
x
ˆˆˆ
Define-se, daí, o tensor global de Leonard:
ijijjiji Tuuju
iuL ̂ˆ
UFU LTCM
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•A parte anisotrópica do tensor de Reynolds global sub-malha pode ser modelada com a hipótese de Bousinesq
ijijtijij
ij SStxcS 2,223
•Modelando-se as tensões sub-teste de Reynolds de forma análoga, tem-se:
ijijij
ij SStxcTT ˆˆˆ,23
2
•Filtrando-se a primeira destas duas equações, tem-se:
ijSij
StxcSijtijij
ij
2,2ˆ2ˆ
3ˆ
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
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Utilizando-se estas três equações, mais a identidade de Germano, isola-se a função de proporcionalidade procurada:
jiji
jiji
MM
MLtxc
2
1,
jijiji SSSSM 22 ˆˆˆ
Com Mi j e Li j dados por:
jiji uuj
ui
uL ˆ
UFU LTCM
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Resultados Ilustrativos
1. Simulação de Grandes Escalas de escoamentos sobre uma cavidade retangular
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UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
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0 4 8 12 16 20 24 28 32 36-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0Fl
utua
ção
do C
oef.
de
Pres
são
( cp
' )
Tempo ( t )
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,00,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
St = 0,66
Den
sida
de E
spec
tral
( c
p'cp
' )
Número de Strouhal ( f h c / u inf )
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
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2. Cavidade Simétrica com Efeitos Térmicos
UFU LTCM
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(a) t=4.1 h/U
(b) t=20.7 h/U
(c ) t=41.5 h/U
(d) t=62.2 h/U
(e) t=124.7 h/U
(f) t=207.3 h/U
UFU LTCM
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UFU LTCM
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Simulação de Grandes Escalas da convecção mista sobre um cilindro rotativo aquecido
T0.08900.08310.07720.07120.06530.05940.05340.04750.04160.03560.02970.02370.01780.01190.00590.0059
T0.06340.05920.05490.05070.04650.04230.03800.03380.02960.02540.02110.01690.01270.00850.00420.0042
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
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UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
103 104 105 106 107 108 109 1010
0
10
20
30
40
50
60
70 Churchill e Chu (1975) Qureshi e Ahmad (1987) Present Work - Smagorinsky Model Present Work - Dynamic Model
Mea
n N
u
Ra*
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0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
D
D
DD
DDD
DD D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D
D D
0 graus30 graus60 graus90 graus
270 grausD
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 39: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/39.jpg)
0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
D D D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
DDD
D
DDDDD
DD
DD D D D D D D D D D D D D D
DD
D
D
D0 graus30 graus60 graus90 graus
270 grausD
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 40: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/40.jpg)
0 100 200 300
Coordenada Tangencial [graus]
5
10
15
20
25
30
35N
ulo
cal
Ra* = 1e06 - Mod. SmagorinskyRa* = 1e08 - Mod, SmagorinskyRa* = 1e06 - Mod. DinamicoRa* = 1e08 - Mod. Dinamico
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
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T0.12290.11470.10650.09830.09010.08190.07370.06550.05730.04910.04090.03270.02450.01630.00830.0081
T0.08030.07490.06960.06420.05890.05350.04820.04280.03750.03210.02680.02140.01610.01070.00540.0053
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
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0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-5
0
5
10
15
20
25
Ra* = 6e07 Ball (experimental) Smagorinsky Dinâmico
Nu m
édio
Inverso do Número de Froude []
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
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3,8 s
T0.06040.05640.05240.04830.04430.04030.03630.03220.02820.02420.02010.01610.01210.00810.00400.0040
3,9 s
T0.06040.05640.05240.04830.04430.04030.03630.03220.02820.02420.02010.01610.01210.00810.00410.0040
4,0 s
T0.06040.05640.05240.04830.04430.04030.03630.03220.02820.02420.02010.01610.01210.00810.00400.0040
0 1 2 3 4
0
500
1000
1500
Dynamic Model (Ra* = 1e09) u* [16][30] v* [16][30] u* [1][30] v* [1][30]u*
= u
/( /D
)
time [s]
0 1 2 3 4
30
40
50
60
70
80Dynamic Model Ra* = 1e09
Mea
n N
u
time [s]
SGE - Modelagem Dinamica Ra*=109.
![Page 44: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/44.jpg)
2,5 s
T0.07780.07250.06730.06200.05680.05150.04630.04100.03570.03050.02520.02000.01470.00950.00420.0042
2,6 s
T0.08080.07530.06990.06440.05900.05350.04810.04270.03720.03180.02630.02090.01540.01000.00460.0046
2,8 s
T0.07950.07410.06880.06340.05800.05260.04720.04180.03650.03110.02570.02030.01490.00950.00420.0042
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000 Dynamic Model (Ra* = 1e10) u* [16][30] u* [1][30] v* [16][30] v* [1][30]
u* =
u/( /D
)
tempo [s]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
30
40
50
60
70
80Dynamic Model Ra* = 1e10
Mea
n N
u
time [s]
SGE - Modelagem Dinamica - Ra*=1010
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Simulação Numérica de Grandes Escalas de um sistema de Jatos Tridimensionais
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 46: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/46.jpg)
Simulação de Grandes Escalas - Aplicação Industrial
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 47: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/47.jpg)
Simulação de Grandes Escalas com Modelagem Dinâmica- Aplicação Industrial
Modelagem e Simulação de Hidrociclones
0 1 2 3 4 5 6 7 8r
0
5
10
15
20
25
30
35
z
100 cm/s
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 48: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/48.jpg)
0 1 2 3 4r (cm )
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
z(cm)
v2 8 9 .8 2 82 7 0 .5 0 62 5 1 .1 8 42 3 1 .8 6 22 1 2 .5 4 11 9 3 .2 1 91 7 3 .8 9 71 5 4 .5 7 51 3 5 .2 5 31 1 5 .9 3 19 6 .6 0 9 37 7 .2 8 7 55 7 .9 6 5 63 8 .6 4 3 71 9 .3 2 1 9
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040r (m )
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
v (m
/s)
experim enta l
SG E (C s=0.24)
Contornos da velocidade tangencial (cm/s) ao longo do hidrociclone
(Re=26600)
![Page 49: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/49.jpg)
Porque SGE com Modelagem Dinâmica?
Presença de interface líquido/gás -> Método de Captura de interface;
• Fortes efeitos de rotação -> Anisotropias
•k-eps?
•K-eps RNG?
•SGE convencional?
•Escoamento tipicamente em transição;
•SGE com modelagem dinâmica?
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 50: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/50.jpg)
Simulação de Grandes Escalas com Modelagem Dinâmica
de Escoamentos Bifásicos
Aplicação: Estudo da absorção de gases residuais por gotas em movimento:
Torres Spray: Dessulforização de Gases de chaminé (FGD): SO2 e outros componentes ácidos HCl e HF são absorvidos por gotas contendo CaCO3.
Objetivo: estudar a transição de escoamentos no interior e exterior de bolhas e gotas
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 51: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/51.jpg)
Esquema de uma Torre Spray
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 52: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/52.jpg)
Modelo Matemático considerando recirculações
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 53: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/53.jpg)
Fator de aumento global versus número de Pe
D
uPe
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 54: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/54.jpg)
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 55: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/55.jpg)
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 56: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/56.jpg)
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 57: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/57.jpg)
Do modelo utilizado, apenas reações instantâneas foram consideradas. O modelo pode ser modificado para explicar reações a taxas finitas.
Estudos mais completos são necessários para obtenção de uma
estimativa mais precisa do grau de circulação dentro da gota
com sólidos suspensos, e as alterações na circulação em função
do tempo em que a gota viaja ao longo o lavador.
Para elevados números de Pe (Pe>3000) há um pequeno benefício no aumento da área específica ou da solubilidade. A elevados números de Pe, a convecção do gás solúvel próximo à interface é o fator dominante na absorção.
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 58: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/58.jpg)
Simulação Numérica de Grandes Escalas de Escoamentos Tridimensionais
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 59: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/59.jpg)
Simulação de Grandes Escalas - Aplicação Industrial
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 60: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/60.jpg)
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos
![Page 61: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Simulação de Grandes Escalas da Turbulência, com Modelagem Sub-Malha Dinâmica por Aristeu](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062418/552fc10c497959413d8c3490/html5/thumbnails/61.jpg)
Considerações Finais
• SGE se apresenta como uma importante ferramenta de análise numérica de problemas de engenharia, assim como ferramenta de análise física;
• SGE com modelagem sub-malha de Smagorinsky não se
a análise de escoamentos em transição e a análise de escoamentos próximo de paredes;
• SGE com modelagem sub-malha de Dinâmica sinaliza para a possibilidade de modelar o processo de transição bem como modelar escoamentos parietais;
UFU LTCM
Turbulência nos Fluidos