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UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAIBA
CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMATICA
MODELOS MATEMATICOS: DESPOLUICAO DE
LAGOAS E DIGESTAO DE RUMINANTES
PAULO MARIANO INACIO DA SILVA
CAMPINA GRANDE - PB
Dezembro de 2010
PAULO MARIANO INACIO DA SILVA
MODELOS MATEMATICOS: DESPOLUICAO DE
LAGOAS E DIGESTAO DE RUMINANTES
Trabalho Academico Orientado apresentado
no curso de Licenciatura em Matematica
da Universidade Estadual da Paraıba
em cumprimento as exigencias legais
para obtencao do tıtulo de licenciado em
Matematica.
Orientador: Dr. Aldo Trajano Louredo
CAMPINA GRANDE-PB
Dezembro de 2010
Dedicatoria
A memoria de meu pai,
Raimundo Mariano.
Agradecimentos
A Deus que esta ao meu lado mesmo quando nao mereco, nunca me permitindo
falhar ou fracassar.
Ao meus pais Raimundo Mariano Inacio e Maria Angelina da Conceicao, que me
guiaram no caminho certo, fazendo tudo que estivessem ao seus alcances para que eu
pudesse estudar, ao meus irmaos que sempre me incentivaram, apoiaram e confiaram
incondicionalmente em minha capacidade e desempenho durante todo o curso, assim
como na vida.
Ao meu orientador Prof. Aldo Trajano Louredo por ter tido comigo a paciencia
necessaria para me ajudar em todo o processo de construcao desse trabalho. Alem
disso sempre torceu pela turma incentivando-a e estando sempre disponıvel a ajudar e
tirar duvidas dentro e fora de sala de aula.
Aos professores Jean Paulo Spinelly da Silva e Joselma Soares dos Santos por suas
disposicoes em participar de minha banca examinadora e suas valiosas sugestoes sobre
esse trabalho.
A toda equipe de professores do Departamento Matematica da UEPB, pois sem
eles nada disso seria possıvel.
Epıgrafe
“Prefiro ser
Essa metamorfose ambulante.”
(“Metamorfose ambulante”, Raul Seixas)
Resumo
Nas ultimas decadas, com o grande processo de industrializacao, houve um con-
sideravel aumento na poluicao das aguas. Essa poluicao varia desde resıduos solidos
(como os provenientes das industrias de cimento) ate microorganismos patogenicos.
Mas o que fazer para limpar os lagos poluıdos? E difıcil encontrar uma solucao imediata
para o problema. No entanto, neste trabalho, apresentaremos um modelo matematico
que propoe algumas formas para acabar com a poluicao das lagoas. Analisaremos
dois casos: 1o considerando que a industria cessa totalmente a poluicao da lagoa; 2o
considerando que a industria continua a poluir a lagoa, para este, teremos tres possi-
bilidades: A industria deposita uma quantidade constante de poluentes, ou lanca os
poluentes de maneira decrescente, ou possui um sistema periodico de descargas. Outro
modelo matematico que iremos abordar nesse trabalho e a digestao dos animais rumi-
nantes. Tal modelo foi proposto por Blaxter, Graham e Wainman (1956). Porem, para
analisar esses problemas precisamos de base teorica. Para que possamos adquirir tal
conhecimento matematico, a primeira parte deste trabalho e desenvolvida a teoria das
equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem.
Palavras chave: Equacoes diferenciais ordinarias, poluicao das lagoas, digestao dos
animais ruminantes.
Lista de Figuras
3.1 A industria cessa totalmente a poluicao da lagoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 A industria deposita continuamente uma quantidade constante de poluentes . . 13
3.3 A industria continue poluindo a lagoa, mas numa forma decrescente . . . . . . . 14
3.4 A industria tem um sistema periodico de descargas de poluentes. . . . . . . . . . 15
3.5 Sistema digestivo dos animais ruminantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Digestao de animais ruminantes para os casos em que k1 6= k2 e k1 = k2. . . . . 20
Sumario
Introducao 1
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Introducao a Equacoes Diferencias. 2
1.1 Introducao Historica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Classificacao de Equacoes Diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Equacoes Diferenciais Ordinarias de Primeira Ordem. 5
2.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Equacoes Lineares de primeira Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Modelos Matematicos. 9
3.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Despoluicao de Lagoas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Digestao de Animais Ruminantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Consideracoes Finais 21
Apendice A 22
Referencias Bibliograficas 26
Introducao
Atualmente um dos grandes problemas de ordem mundial diz respeito a poluicao dos
recursos hıdricos, visto que nos ultimos anos temos nos preocupado bastante com a questao
de desperdıcio e degradacao desse recurso natural vital para os seres vivos. Visando cultivar
esse recurso e combater sua degradacao, abordaremos em nosso estudo modelos de despoluicao
de lagos ou lagoas, utilizando como ferramentas as Equacoes Diferenciais Ordinarias. No caso
de despoluicao de lagos ou lagoas o processo e lento, pois consiste em substituir a agua do
reservatorio gradualmente, observando que e necessario uma diminuicao no lancamento de
poluentes nessas aguas.
Outro modelo que iremos abordar no presente trabalho, sera a digestao dos animais ru-
minantes. Tais animais posuem um mecanismo complicado para realizar sua digestao. Simpli-
ficando, podemos dizer que eles engolem os alimentos sem mastigar.
No entanto, para que possamos analisar esses problemas matematicamente e preciso uma
nocao de equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem. Entao, reservamos a primeira
parte desse trabalho para expor a base teorica que sera de fundamental importancia a medida
que formos prosseguindo.
Objetivos
O objetivo principal deste trabalho e fazer um estudo das equacoes diferenciais ordinarias
de primeira ordem, aplicando esse conhecimento no modelo matematico para despoluicao de
lagoas e digestao de animais ruminantes.
1
Capıtulo 1
Introducao a Equacoes Diferencias.
1.1 Introducao Historica.
Nao ha duvida, de que a grande motivacao inical para o estudo das Equacoes Diferenciais
veio da Mecanica. Diversos problemas como o movimento dos planetas, a catenaria (formato
de uma corda pendente presa nas extremidades) e o estudo da oscilacao do pendulo , para citar
apenas algumas, ja haviam sido estudados empiricamente por homens do quilante de um J.
Kepler (1571-1630), L. da Vinci (1452-1519), G. Galileo (1564-1652) e C. Huygens (1629-1695).
Porem, faltava a eles a teoria matematica com que pudessem modelar o fenomeno. Com o
aparecimento do Calculo no final do seculo XVII por obra de I. Newton (1642-1727) e G.W.
Leibnitz (1646-1716), inumeros problemas mecanicos, incluindo estes tres, puderam ser entao
modelados matematicamente na forma de Equacoes Diferenciais.
Assim, a partir desta epoca surgia a questao da resolucao dos problemas matematicos
apresentados por estes modelos. Varios deles foram resolvidos explicitamente e de maneira ele-
gante por matematicos de extraordinaria habilidade operacional, como os da famılia Bernoulli:
Jacques (1566-1705), Jean (1667-1748), Nicholas (1695-1726), Daniel (1700-1782) e principal-
mente por um de seus alunos, L. Euler (1707-1783) cuja obra (incompleta) preenche 74 grandes
volumes.
Apesar disto, tornou-se claro com o tempo que nao seria possıvel obter metodos gerais
de resolucao explıcita (em termos de funcoes elementares e suas integrais) para as Equacoes
Diferenciais. O proprio L. Euler introduziu metodos que geravam uma solucao aproximada da
Equacao Diferencial.
2
CAPITULO 1. Introducao a Equacoes Diferencias. 3
A base rigorosa do Calculo ainda nao havia sido lancada no seculo XVIII, mas os resultados
surpreendentes ate entao obtidos nao deixavam duvidas de que esta teoria matematica era
essencialmente correta. Logo, usufruia-se ao maximo deste filao que parecia inesgotavel, ainda
que os fundamentos e a justificacao estivessem envolvidos em uma bruma misteriosa e mıstica,
mesmo para os grandes mestres da epoca, gerando assim, uma inquietacao que desafiava uma
boa parte dos matematicos no final do seculo XVIII. Esta inquietacao aumentava a medida
que alguns resultados contraditorios surgiam e as disputas escapavam invariavelmente para o
campo metafısico, onde os criterios matematicos perdem sua jurisdicao.
Era inevitavel, portanto, que uma parte do esforco matematico se dirigisse no sentido
de esclarecer os fundamentos teoricos do Calculo e procurar outros metodos de estudo das
Equacoes Diferenciais que nao a sua solucao explıcita. Para caracterizar este perıodo, o nome
representativo e certamente o de A. L. Cauchy (1789-1857), que demonstrou rigorosamente pela
primeira vez, e por tres metodos diferentes, a existencia de solucoes para uma vasta classe de
Equacoes Diferenciais que inclui essencialmente todos os modelos conhecidos.
Apos o inıcio do seculo XIX os metodos gerais de resolucao explıcita das Equacoes Dife-
renciais perderam a sua proeminencia e nenhum metodo de maior relevancia foi desenvolvido
ate o aparecimento de calculo operacional de O. Heaviside (1850-1925) e a transformada de
Laplace no final do seculo XIX. Iniciou-se assim a teoria qualitativa geometrica representada
por H. Poincare (1854-1912) e A.M. Liapounov (1857-1918), bem como a teoria de aproximacao
analıtica (expansao em series) e de aproximacao numerica.
1.2 Classificacao de Equacoes Diferenciais.
Com o objetivo de fornecer uma estrutura organizacional, as equacoes diferenciais sao
classificadas quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
Quanto ao tipo uma equacao diferencial pode ser ordinaria ou parcial. Ela e ordinaria
se as funcoes incognitas forem funcoes de somente uma variavel. Caso contrario ela e parcial.
Portanto, as derivadas que aparecem na equacao sao derivadas totais. As equacoes que podem
ser escritas na forma
F (t, y, y′, y′′) = 0,
em que y e funcao apenas de t, sao equacoes diferenciais ordinarias. Um exemplo de uma
CAPITULO 1. Introducao a Equacoes Diferencias. 4
equacao deferencial ordinaria e
Ld2Q(t)
dt2+R
dQ(t)
dt+
1
CQ(t) = E(t), (1.1)
em que Q(t) e a carga presente no capacitor em um circuito com capacitancia C, resistencia R
e indutancia L. Exemplos tıpicos de equacoes diferenciais parciais sao a equacao de calor
α2∂2u
∂x2(x, t) =
∂u
∂t(x, t) (1.2)
e a equacao da onda
a2∂2u
∂x2(x, t) =
∂2u
∂t2(x, t). (1.3)
Aqui, α2 e a2 sao certas constantes fısicas. A equacao de calor descreve a conducao de calor
em um corpo solido, e a equacao de onda aparece em uma variedade de problemas envolvendo
movimento ondulatorio em solidos ou fluidos.
Quanto a ordem uma equacao diferencial pode ser de 1a, 2a,...,de n-esima ordem de-
pendendo da derivada de maior ordem presente na equacao. Uma equacao diferencial ordinaria
de ordem n e uma equacao que pode ser escrita na forma
F (t, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0.
As equacoes (1.1), (1.2), (1.3) sao de 2a ordem.
Quanto a linearidade uma equacao diferencial pode ser linear ou nao linear. Ela e linear
se as incognitas e suas derivadas aparecem de forma linear na equacao, isto e, as incognitas e
suas derivadas aparecem em uma soma em que cada parcela e um produto de alguma derivada
das incognitas com uma funcao que nao depende das incognitas. Por exemplo, uma equacao
diferencial ordinaria linear de ordem n e uma equacao que pode ser escrita como
a0(t)y + a1(t)dy
dt+ a2(t)
d2y
dt2+ ...+ an(t)
dny
dtn= f(t). (1.4)
As equacoes diferenciais ordinarias que nao podem ser colocadas nessa forma sao nao lineares.
Capıtulo 2
Equacoes Diferenciais Ordinarias de
Primeira Ordem.
2.1 Introducao.
Este capıtulo trata de equacoes diferenciais de primeira ordem,
dy
dt= f(t, y), (2.1)
onde f e uma funcao de duas variaveis dada. Qualquer funcao diferenciavel y = φ(t) que
satisfaca essa equacao para todo t em algum intervalo e dita uma solucao, e nosso objetivo
e determinar se tais funcoes existem e, caso existam, desenvolver metodos para encontra-las.
Infelizmente, para uma funcao arbitraria f, nao existe metodo geral para resolver a equacao
em termos de funcoes elementares. Em vez disso, existem varios metodos, cada um dos quais
aplicavel a uma determinada subclasse de equacoes de primeira ordem. As mais importantes
dessas subclasses sao as equacoes lineares, as equacoes separaveis e as equacoes exatas.
Como os modelos matematicos, que iremos descultir no presente trabalho, exigirao apenas
conhecimento de equacoes lineares de primeira ordem, sera apenas essa subclasse de equacoes
que iremos discutir.
5
CAPITULO 2. Equacoes Diferenciais Ordinarias de Primeira Ordem. 6
2.2 Equacoes Lineares de primeira Ordem.
Se a funcao f na Equacao(2.1) depende linearmente da variavel y, entao a Eq. (2.1) e
chamada de uma equacao linear de primeira ordem. A equacao
dy
dt+ p(t)y = g(t) (2.2)
e chamada linear, porque a operacao efetuada sobre y(t)[d
dt+ p(t)
]y(t) (2.3)
e uma operacao linear, isto e,[d
dt+ p(t)
](αy1 + y2) = α
[d
dt+ p(t)
]y1 +
[d
dt+ p(t)
]y2.
Observe agora que a expressao dydt
+ p(t)y e “quase”a derivacao de um produto. Se assim
fosse, a solucao da equacao estaria reduzida a uma integracao.
Suponha que exista uma funcao µ(t) que multiplicada pela expressao (2.3) nos de:
µ(t)dy
dt+ µ(t)p(t)y =
d
dt(µ(t)y(t)) =
dµ(t)
dty + µ(t)
dy
dt,
neste caso deverıamos ter
dµ(t)
dt= µ(t)p(t)
dµdt
µ= p(t)
d ln |µ(t)|dt
= p(t).
Integrando a equacao
∫d ln |µ(t)| =
∫p(t)d(t),
como resultado temos µ(t) = Ce∫p(t)dt, chamado fator de integracao. Fazendo C = 1, temos
portanto,
µ(t) = e∫p(t)dt, (2.4)
multiplicando µ(t) em ambos os lados na Eq. (2.2), obtemos
CAPITULO 2. Equacoes Diferenciais Ordinarias de Primeira Ordem. 7
µ(t)dydt
+ µ(t)p(t)y = µ(t)g(t),
de onde tiramos
d
dt(ye
∫p(t)dt) = e
∫p(t)dtg(t).
Integrando a equacao, obtemos
ye∫p(t)dt =
∫e∫p(t)dtg(t)dt+ C, (2.5)
onde C e uma constante arbitraria. podemos calcular a integral na Eq.(2.5) e expressar a
solucao y em termos de funcoes elementares para muitas funcoes simples g(t). No entanto,
para funcoes mais complicadas, precisamos deixar a solucao na forma integral. Nesse caso
y(t) = e−∫p(t)dt
∫e∫p(s)dsg(s)ds+ Ce−
∫p(t)dt, (2.6)
que e a solucao geral da equacao.
Nao e difıcil verificar que todas as operacoes efetuadas sao validas se p(t) e g(t) forem
contınuas, e o problema dy
dt= −p(t)y + g(t)
y(t0) = y0
tem uma unica solucao dada por
y(t) = e−∫ ttop(t)dt
∫ t
to
e∫ ttop(s)dsg(s)ds+ y0e
−∫ ttop(t)dt (2.7)
A justificativa para tal afirmacao, vem do Teorema da Existencia e Unicidade para
equacoes lineares, que sera discutido a seguir.
Teorema 2.1. Se as funcoes p e g sao contınuas em um intervalo aberto I: α < t < β contendo
o ponto t = t0, entao existe uma unica funcao y = φ(t) que satisfaz a equacao diferencial
dy
dt+ p(t)y = g(t) (2.8)
para cada t em I e que tambem satisfaz a condicao inicial
y(t0) = y0, (2.9)
onde y0 e um valor inicial arbitrario prescrito.
CAPITULO 2. Equacoes Diferenciais Ordinarias de Primeira Ordem. 8
Prova: A demonstracao desse teorema esta parcialmente contido na discussao anterior, que
leva a formula Eq.(2.5). Entao seja
µ(t)y =
∫µ(t)g(t)dt+ C, onde µ(t) = e
∫p(t)dt (2.10)
A deducao que fizemos sobre equacao linear de primeira ordem mostra que, se a Eq. (2.8)
tem solucao, entao ela tem que ser dada pela Eq. (2.10). Analisando um pouco mais a fundo
essa deducao, podemos concluir, tambem, que a Eq.(2.8) tem que ter, de fato, solucao. Como
p e contınua para α < t < β, µ esta definida nesse intervalo e e uma funcao diferenciavel
nao-nula. Multiplicando a Eq.(2.8) por µ(t), temos
µ(t)dydt
+ p(t)µ(t)y = g(t)µ(t)
dµ(t)y
dt= µ(t)g(t) (2.11)
Como ambas as funcoes µ e g sao contınuas, a funcao µg e integravel e a Eq. (2.10) segue da
Eq. (2.11). Alem disso, a integral de µg e diferenciavel, de modo que y dado pela Eq. (2.10)
existe e e diferenciavel no intervalo α < t < β. Substituindo a formula para y dada pela Eq.
(2.10) na Eq. (2.11), temos.
ddt
[µ(t).∫µ(t)g(t)dt+C
µ(t)] = µ(t)g(t)
Daı, ficamos.
ddt
[∫µ(t)g(t)dt+ C] = µ(t)g(t)
Integrando em ambos os lodos no intervalo α < t < β, temos a igualdade satisfeita.
Comprovando que a Eq. (2.10) e realmente solucao da Eq.(2.8).
Finalmente, a condicao inicial (2.9) determina a constante C de maneira unica, de modo
que existe apenas uma solucao do problema de valor inicial, completando, entao, a demon-
stracao.
A demonstracao do teorema 2.1 foi relativamente simples. Porem, se consideramos as
equacoes diferenciais nao-lineares, precisamos substituir este por um teorema mais geral. A
deducao de tal teorema torna-se um pouco mais complexa, e sera demonstrada no Apendice A.
Capıtulo 3
Modelos Matematicos.
3.1 Introducao.
Uma equacao diferencial que descreve algum processo fısico e chamada, muitas vezes, de
modelo matematico do processo, tais modelos sao representacoes ou interpretacoes simplificada
da realidade ou uma interpretacao de um fragmento de um sistema, segundo uma estrutura de
conceitos mentais ou experimentais.
Um modelo apresenta apenas uma visao ou cenario de um fragmento do todo. Normal-
mente, para estudar um determinado fenomeno complexo, criam-se varios modelos. Os modelos
matematicos sao utilizados praticamente em todas as areas cientıficas: Biologia, quımica, fısica,
economia, engenharia e na propria matematica pura.
3.2 Despoluicao de Lagoas
As nacoes em desenvolvimento, por falta de recursos suficienntes ou mesmo por negligencia
na fiscalizacao do governo, estao sujeitas a constante poluicao do ar e da agua.
Nos restringiremos neste modelo as formas de despoluicaode lagos e lagoas, uma vez que
no caso dos rios, quando a poluicao ainda nao causou danos extremos, eles proprios podem se
auto-reparar, bastando para tanto que se tenha uma diminuicao no lancamento de poluentes
em suas aguas. ja no caso de lagoas (ou lagos) o processo de despoluicao e mais lento, podendo
ser efetivado caso ainda nao estejao “mortas”. Tal mecanismo de limpeza consiste em substituir
sua agua gradualmente.
9
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 10
Nos modelos propostos, encaramos o fluxo da agua na lagoa como um problema de diluicao
de substancias, nao levando em consideracao a sedimentacao dos poluentes, sua acao biologica
etc. Faremos agora as seguintes “hipoteses”simplificadoras.
1. Existe um fluxo de agua que entra na lagoa, proveniente de um riacho ou “minas”,
e uma vazao para outro riacho. As vazoes de entrada e saıda sao iguais e constantes, valendo
r(`/dia) (r litros por dia).
2. Quando a agua entra na lagoa, se mistura rapidamente e de maneira homogenea,
havendo uma distribuicao uniforme dos poluentes.
3. O volume da lagoa e constante (a quantidade de agua de chuva se equilibra com a que
se evapora) e igual a v litros.
4. Os poluentes sao retirados da lagoa somente atraves do fluxo de saıda.
5. A poluicao provem de uma industria instalada na margem de lagoa ou riacho que a
alimenta.
Se a quantidade de poluentes existente na lagoa e prejudicial ao desenvolvimento da vida
aquatica ou mesmo a recreacao, quais os mecanismos existentes para se efetuar sua limpeza?
1o¯ CASO: A industria cessa totalmente a poluicao da lagoa.
Seja P0 a quantidade de detritos quımicos existentes na lagoa no instante em que cessou
a poluicao, t = 0; P = P (t) e a quantidade de poluente dissolvido na agua no tempo t. Como
o volume da lagoa e constante e as vazoes do riachos tambem, entao e razoavel supor que a
variacao da quantidade de poluentes por unidade de tempo seja proporcional a quantidade total
existente na lagoa em cada instante, de modo que
dP
dt= −r
vP, (3.1)
onde r > 0 e a vazao de cada rio. Considerando Po = P (0) a solucao de (3.1), como ja
vimos, e
P (t) = Poe− rvt. (3.2)
Neste caso, (ver figura 3.1). A quantidade de poluentes diminui rapidamente no princıpio
e depois lentamente; de qualquer forma P −→ 0 quando t cresce. Assim, o problema pode ser
solucionado e um aumento na vazao dos dois riachos acelera a despoluicao.
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 11
Suponhamos que temos uma lagoa com as seguintes caracteristicas:
r = 1000000000;
v = 8000000000;
Po = 16000.
Onde,
r - Vazao de de entrada e saıda iguais e constantes r(`/dia);
v - Volume de agua total da lagoa em litros;
Po - (Coliformes fecais)/mililitro;
t - Tempo em dias.
Figura 3.1: A industria cessa totalmente a poluicao da lagoa.
.
2o¯ CASO: A industria continua poluindo.
Consideremos Q = Q(t) a quantidade total de poluentes acumulados na lagoa pela
industria desde o instante t = 0 ate o tempo t. Entao, Φi(t) = dQdt
e sua variacao por unidade
de tempo.
A Equacao (3.1) anterior deve ser modificada para
dP
dt= Φi(t)−
r
vP (t), com r > 0 e P (0) = Po. (3.3)
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 12
A Equacao (3.3) e uma equacao diferencial linear de primeira ordem, cuja solucao e dada
por
P (t) = Poe− rvt + e−
rvt∫ t
0ervsΦi(s)ds.
Observacao:
A primeira parcela de P (t), isto e, Poe− rvt e independente do termo proveniente da nova
poluicao Φi(t)e para t sufucientemente grande seu valor e desprezıvel, o que equivale a dizer
que a poluicao inicial nao afeta sensivelmente a quantidade total de poluentes.
Vamos analisar agora alguns casos particulares, dependendo da maneira como os poluentes
sao lancados nas aguas da lagoa.
a. Se a industria deposita continuamente uma quantidade constante de poluentes, entao Φi(t) =
Φio (constante). A Equacao (3.3) e dada por
dP
dt= Φio −
r
vP (t), (3.4)
que pode ser reescrita por dPdt
+ rvP = Φio (linear com coeficientes constantes). Sua solucao sera
P (t) = Poe− rvt +
v
rΦio(1− e−
tvt) = (Po −
v
rΦio)e
− rvt +
v
rΦio, (3.5)
e quando t cresce, P (t) tende a se estabilizar no ponto de equilıbrio vrΦio.
Se Po = vrΦio, a quantidade de poluentes no lago permanece inalterada.
Se Po <vrΦio, a quantidade P (t) cresce ate o valor limite v
rΦio.
Se Po >vrΦio, a quantidade P (t) diminui com o tempo, ainda tendendo a v
rΦio; neste caso
se a vida aquatica for compatıvel com o nıvel vrΦio, ela podera ser restaurada depois de algum
tempo, conforme esta ilustrado na figura 3.2.
Observacao:
Sabendo que a vazao de entrada e saıda (r), o volume total de agua na lagoa (v) e a
poluicao inicial (Po) sao as mesmas da analise anterior. Resta-nos determinar apenas Φio.
Entao, digamos que Φio = 2000, Φio = 2500, Φio = 1500 para Po = vrΦio, Po <
vrΦio, Po >
vrΦio
respectivamente.Onde Φio e dado em (Coliformes fecais)/mililitro por dia. ou seja, a cada dia
temos uma taxa constante de Φio depositado na lagoa.
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 13
Figura 3.2: A industria deposita continuamente uma quantidade constante de poluentes
Se utilizarmos a concentracao de poluentes, em vez da sua quantidade, isto e, C(t) = P (t)v
,
a solucao da Equacao (3.4) sera dada por
C(t) = (Co − Cio)e−rvt + Cio.
E uma forma mais pratica e mais utilizada.
b. Suponhamos agora que a industria continue poluindo a lagoa, mas numa forma decrescente,
isto e, lancando cada vez menos poluentes por unidade de tempo. Por exemplo, Φi(t) =
Φioe−bt (b > 0). Neste caso,
dP
dt= Φioe
−bt − r
vP (t). (3.6)
A solucao desta equacao linear e dada por
P (t) = (Po − Φiorv−b)e
− rvt + Φio
rv−be−bt se r
v6= b
ou
P (t) = Poe− rvt + Φioe
− rvt = (Po + Φio)e
− rvt se r
v= b.
Em ambos os casos, P (t) tende a zero quando t cresce e, portanto, a lagoa sera despoluıda
depois de algum tempo.(ver Firura 3.3.)
Observacao:
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 14
Consideramos os seguintes valores na construcao desse grafico:
b = 0.25;
Φio = 2000.
Os valores r, v e Po sao os mesmos das analises anteriores.
Figura 3.3: A industria continue poluindo a lagoa, mas numa forma decrescente
c. Se a industria tem um sistema periodico de descargas, intensificando-as em certas
ocasioes e reduzindo-as em outras, uma tentativa para Φi(t) pode ser
Φi(t) = Φio(1 + sinwt), w > 0.
Neste caso, colocando λ = rv, obtemos
dP
dt= Φio(1 + sinwt)− λP (t), (3.7)
cuja solucao e dada por
P (t) = (Po − Φioλ
+ Φiowλ2+w2 )e−λt + Φio√
λ2+w2 sin(wt− θ) + Φioλ,
onde θ e tal que cos θ = r√λ2+w2 .
Assim, quando t cresce (t→ +∞), P (t) e governado pela funcao
P (t) = Φioλ
+ Φio√λ2+w2 sin(wt− θ),
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 15
que oscila em torno do valor Φioλ
com a mesma frequencia da Φi(t). O valor mınimo desta
oscilacao ocorre quando sin(wt− θ) = −1, e neste instante ainda P (t) > 0 pois Φiλ> Φio√
λ2+w2 .
O valor maximo assumido por P (t) nao supera 2Φioλ
= 2ΦioVr
(ver figura 3.4). Com estas
informacoes, o valor de Φio pode ser ajustado para que ocorra uma despoluicao.
Observacao:
Sabendo que os valores r, v e Po sao os mesmos usado anteriormente. adotaremos outros
valores importantes para construcao desse grafico:
Φio = 2000;
w = 2× 1× π.
Sendo w(rad/dia).
Perceba que os Graficos 01 e 02 sao iguais. Sendo que o Grafico 01 esta representado em
um nıvel de detalhamento maior, ou seja, as subdivisoes da escala do tempo sao maiores.
Figura 3.4: A industria tem um sistema periodico de descargas de poluentes.
3.3 Digestao de Animais Ruminantes.
Os animais ruminantes, tais como carneiro, bode, veado, boi, etc, possuem um mecanismo
complicado para realizar sua disgestao. Simplificando, podemos dizer que eles engolem os
alimentos sem mastigar, indo para a primeira cavidade do estomago, chamada rume. Apos
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 16
serem ruminados, estes alimentos seguem para o abomaso (coagulador), a quarta cavidade do
estomago, onde sao digeridos. Seguem posteriormente para o duodeno, o primeiro segmento do
intestino, e em seguida, na forma de fezes sao eliminados de meneira intermitente.
Sabemos que o fluxo do rume para o abomaso e deste para o duodeno e aproximadamente
contınuo.
Num esquema simplificado temos
Figura 3.5: Sistema digestivo dos animais ruminantes
O modelo matematico, proposto por Blaxter, Graham e Wainman (1956), e o seguinte:
Seja
x = x(t) a quantidade de alimento no rume, no instante t;
y = y(t) a quantidade no coagulador, no instante t;
z = z(t) a quantidade que chegou no duodeno ate o instante t;
Se a quantidade de alimento engolida pelo animal no instante t = 0 e q (este alimento vai
diretamente para o rume), entao x(0) = q, e y(0) = z(0) = 0.
Tambem, em qualquer instante t, temos x(t) + y(t) + z(t) = q(constante).
As hipoteses formuladas para o fluxo do alimento consistem de duas propostas arbitrarias
e analogas:
Primeira, o alimento sai do rume numa razao proporcional a quantidade de alimento que
esta nesta cavidade, isto e, a taxa de decrescimento dxdt
e proporcional a x.
dx
dt= −k1x, (k1 > 0). (3.8)
Segunda, o alimento sai do coagulador numa taxa proporcional a quantidade que ai esta.
Assim, e bastante razoavel supor que
dy
dt= k1x− k2y, (k1 > 0 e k2 > 0), (3.9)
pois no mesmo instante entra k1x e sai k2y.
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 17
Resolvendo primeiramente a Equacao (3.8), temos x(t) = ke−k1t e como x(0) = q, vem
x(t) = qe−k1t.
Substituindo este valor na Equacao (3.9), temos
dy
dt= −k2y + k1qe
−k1t, (3.10)
cuja solucao ja conhecemos. Usaremos agora um outro metodo de resolucao das equacoes
lineares nao homogeneas: Metodo da variacao de parametros.
Supomos que y(t) = u(t)× v(t), onde uma destas funcoes pode ser arbitraria, enquanto a
outra sera determinada da Equacao (3.10)
Entao,
dy
dt= u
dv
dt+ v
du
dt.
Comparando com a Equacao (3.10), procuramos escolher u e v de modo que
udv
dt= k1qe
−k1t (3.11)
e
vdu
dt= −k2y = −k2uv =⇒ du
dt= −k2u. (3.12)
Logo,
u(t) = c1e−k2t,
sendo c1 e uma constante arbitraria.
Substituindo isto na Equancao (3.11), resulta
c1e−k2t dv
dt= k1qe
−k1t
ou
dvdt
= k1qc1e(k2−k1)t.
Se k1 6= k2, integrando temos
v(t) = k1qc1(k2−k1)
e(k2−k1)t + c2,
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 18
onde c2 e a constante de integracao.
Entao, y(t) = u(t)× v(t) = k1qk2−k1 e
−k1t + c1c2e−k2t.
Usando a condicao inicial y(0) = 0, temos c1c2 = − k1qk2−k1 . Assim,
y(t) =k1q
(k2 − k1)(e−k1t − e−k2t), (k1 6= k2). (3.13)
Sendo k1 = k2, obteremos
dv
dt=k1q
c1
⇒ v =k1q
c1
t+ c2,
e portanto
y(t) = u(t)× v(t) = k1qte−k1t + c2c1e
−k1t.
Como y(0) = 0, temos
y(t) = k1qte−k1t, (k1 = k2). (3.14)
Para calcular a quantidade de alimento que chega no duodeno ate o instante t, usamos
z(t) = q − [x(t) + y(t)] (3.15)
Se k1 6= k2, encontramos:
z(t) = q − qe−k1t − qk1k2−k1 (e−k1t − e−k2t),
isto e,
z(t) = q − q
k2 − k1
(k2e−k1t − k1e
−k2t). (3.16)
Se k1 = k2, temos
k1 = k2, z(t) = q − qe−k1t − qk1te−k1t,
ou seja,
z(t) = q[1− e−k1t(1 + k1t)]. (3.17)
Quando t→∞ , z → q, isto e, quando t for suficientemente grande, todo alimento chega
no intestino (ver Figura 3.6).
Aparentemente, este modelo e apenas curioso; no entanto, sua importancia consiste em se
poder estabelecer o valor nutricional de varios alimentos selecionados, assim como sua granu-
lacao adequada para serem melhor aproveitados na digestao.
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 19
O metodo consiste simplesmente em se medir a excrecao fecal, dando-a como funcao o
tempo depois que foi alimentado com uma quantidade constante q.
Sabemos que z(t) e o total de alimentos que chegou no duodeno ate o instante t, incluindo
os alimentos que ja foram excretados. Desde que a excrecao nao e um processo contınuo, nao
vamos aqui representar tal fenomeno por uma equacao diferencial.
Notamos que quando o alimento chega no intestino ele e excretado depois de um certo
tempo. Suponhamos que em media cada excrecao se de num intervalo de tempo igual a T ,
ou seja, a quantidade de fezes produzida no instante t > T e, em media, a quantidade de
alimentos que chegou no intestino ate o tempo t − T. Se indicamos por f(t) a quantidade de
fezes produzida ate o instante t, temos
f(t) ∼= z(t− T ) para todo t > T.
Se k1 6= k2,
f(t) ∼= q − qk2−k1 [k2e
−k1(t−T ) − k1e−k2(t−T )],
para todo t ≥ T.
Se k1 = k2,
f(t) ∼= q[1− e−k1(t−T )(1 + k1(t− T ))].,
para todo t ≥ T.
Logo abaixo temos o grafico que representa a digestao dos animais ruminantes
Suponha que estejamos analisando um animal de grande porte fısico, com as seguintes
caracteristicas:
q = 30;
k1 = 3;
k2 = 1.5;
T = 0.5.
Onde,
q - Quantidade de alimento inicial (kg/dia);
T - Perıoda em dias de cada excrecao.
CAPITULO 3. Modelos Matematicos 20
Figura 3.6: Digestao de animais ruminantes para os casos em que k1 6= k2 e k1 = k2.
Observacao:
A permanencia de um alimento no sistema digestivo e um dos fatores responsaveis pelo
melhor aproveitamento deste alimento. Assim, uma simples analise grafica da excrecao fecal
via modelo matematico pode fornecer um metodo eficiente na preparacao de alimentos.
Consideracoes Finais
A proposta deste trabalho foi de apresentar uma abordagem da teoria das equacoes diferen-
cias ordinarias que e essencial para o estudo dos modelos matematicos de despoluicao de lagoas
e digestao de animais ruminantes. Ao estudar os modelos percebemos o quanto as equacoes
diferencias sao importantes para analises de problemas do mundo real.
Vale ressaltar que os modelos matematicos geram apenas aproximacoes para problemas
reais. Eles serao mais proximos da realidade na medida em que o fenomeno estudado for mais
estavel, ou seja, quando os fatores adversos nao variarem muito em relacao as suposicoes inicias
consideradas para o modelo. Por exemplo, nos modelos propostos para despoluicao de lagoas,
encaramos o fluxo da agua na lagoa como um problema de diluicao de substancias, nao levando
em consideracao a sedimentacao dos poluentes, sua acao biologica etc. Obviamente, essas
variaveis que nao levamos em consideracao irao influenciar nos resultados de nossa analise.
Cabe a nos decidirmos se essa influencia e relevante ou insignificante para solucao do nosso
problema.
Por fim, espero que esse trabalho possa contribuir para todos aqueles que estejam estu-
dando modelos matematicos para despoluicao de lagoas ou para digestao de animais ruminantes.
21
Apendice A
Vamos discutir, neste apendice, a demonstracao do Teorema 3.1, o teorema fundamental
de Existencia e Unicidade para problemas de valor inicial de primeira ordem.
Teorema 3.1. Suponha que as funcoes f e ∂f∂y
sao contınuas em um retangulo α < t < β,
δ < t < γ contendo o ponto (t0, y0). Entao, em algum intervalo t0 − h < t < t0 + h contido em
α < t < β, existe uma unica soluao y = φ(t) do problema de valor inicial∣∣∣∣∣∣∣dy
dt= f(t, y)
y(0) = y0
Prova:
(a) Existencia:
Defina a sequencia de funcoes y0(t) por
y0(t) = 0, yn(t) = y0 +∫ tt0f(s, yn−1(s))ds, para n = 1, 2, ...
Como f(t, y) e contınua no retangulo R, existe uma constante positiva b tal que
|f(t, y)| ≤ b, para (t, y) ∈ R2.
Assim
|y1(t)− y0| ≤ b|t− t0|, para α < t < β.
Como ∂f∂y
e contınua no retangulo R, existe uma constante positiva a tal que
|f(t, y)− f(t, z)| ≤ a|y − z|, para α < t < β e δ < y, z < γ.
22
Apendice A. 23
Assim
|y2(t)− y1(t)| ≤∫ t
t0
|f(s, y1(s))− f(s, y0(s))|ds
≤ a
∫ t
t0
|y1(s)− y0|ds ≤ ab
∫ t
t0
|s− t0|ds = ab|t− t0|2
2
e
|y3(t)− y2(t)| ≤∫ t
t0
|f(s, y2(s))− f(s, y1(s))|ds
≤ a
∫ t
t0
|y2(s)− y1|ds
≤ a2b
∫ t
t0
|s− t0|2ds = a2b|t− t0|3
6.
Vamos supor, por inducao, que
|yn−1(t)− yn−2(t)| ≤ an−2b |t−t0|n−1
(n−1)!.
Entao
|yn(t)− yn−1(t)| ≤∫ t
t0
|f(s, yn−1(s))− f(s, yn−2(s))|ds
≤ a
∫ t
t0
|yn−1(s)− yn−2(s)|ds
≤ a
∫ t
t0
an−2b|s− t0|n−1
(n− 1)!ds = an−1b
|t− t0|n
n!(3.18)
Estas desigualdades sao validas para α ≤ α′ < t < β′ ≤ β em que α′ e β′ sao tais que
δ < yn(t) < γ sempre que α′ < t < β′.
Segue-se de (3.18) que
∞∑n=1
|yn(t)− yn−1(t)| ≤ b∞∑n=1
an−1(β − α)n
n!
que e convergente. Como
yn(t) = y0 +n∑k=1
(yk(t)− yk−1(t)),
entao e convergente. Seja
y(t) = limx→∞
yn(t).
Apendice A. 24
Como
|ym(t)− yn(t)| ≤m∑
k=n+1
|yk(t)− yk−1(t)| ≤ bm∑
k=n+1
ak−1(β − α)k
k!
entao passando ao limite quando m tende a infinito obtemos que
|y(t)− yn(t)| ≤ b
∞∑k=n+1
ak−1(β − α)k
k!(3.19)
Logo dado um ε > 0, para n suficientemente grande, |y(t)− yn(t)| < ε3, para α′ < t < β′.
Daı segue-se que y(t) e contınua, pois dado um ε > 0, para s suficientemente proximo de t, temos
que |yn(t)− yn(s)| < ε3
e para n suficientemente grande |y(t)− yn(t)| < ε3e |y(s)− yn(s)| < ε
3,
o que implica que
|y(t)− y(s)| ≤ |y(t)− yn(t)|+ |yn(t)− yn(s)|+ |yn(s)− y(s)| < ε.
Alem disso para α′ < t < β′, temos que
limx→∞
∫ t
t0
f(s, yn(s))ds =
∫ t
t0
f(s, limx→∞
yn(y))ds =
∫ t
t0
f(s, y(s))ds,
pois, por (3.19), temos que
|∫ t
t0
f(s, yn(s))ds−∫ t
t0
f(s, y(s))ds| ≤∫ t
t0
|f(s, yn(s))− f(s, y(s))|ds
≤ a
∫ t
t0
|yn(s)− y(s)|ds
≤ ab(t− t0)∞∑
k=n+1
ak−1(β − α)k
k!.
que tende a zero quando n tende a infinito. Portanto
y(t) = limx→∞
yn(t) = y0 + limx→∞
∫ t
t0
f(s, yn−1(s))ds =
= y0 +
∫ t
t0
f(s, limx→∞
yn−1(s))ds = y0 +
∫ t
t0
f(s, y(s))ds
Derivando em relacao a t esta equacao vemos que y(t) e solucao do problema de valor ini-
cial.
(b) Unicidade:
Vamos supor que y(t) e z(t) sejam solucoes do problema de valor inicial. Seja
Apendice A. 25
u(t) =∫ tt0|y(s)− z(s)|ds.
Assim, como
y(t) =∫ tt0y′(s)ds =
∫ tt0f(s, y(s))ds, z(t) =
∫ tt0z′(s)ds =
∫ tt0f(s, z(s))ds,
entao
u′(t) = |y(t)− z(t)|
≤∫ t
t0
|y′(s)− z′(s)|ds =
∫ t
t0
|f(s, y(s))− f(s, z(s))|ds
≤ a
∫ t
t0
|y(s)− z(s)|ds
ou seja,
u′(t) ≤ au(t).
Subtraindo-se au(t) e multiplicando-se por e−at obtemos
d(e−atu(t))dt
≤ 0, com u(t0) = 0.
Isto implica que e−atu(t) = 0 (lembre-se que u(t) ≥ 0 e portando que u(t) = 0, para todo
t. Assim y(t) = z(t), para todo t.
Referencias Bibliograficas
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Aplicacoes. Sao Paulo-SP. Editora Harbra-, 1988. 67p.
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lemas de valores de contorno. 8a Edicao. Rio de Janeiro-RJ. LTC, 2006. 60p.
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2000. V.1. 337p.
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J. Santos.- Belo Horizonte: Imprensa Universitaria da UFMG, 2010.
26