AUTOR:
Luiz Henrique M. da Silva
Graduado em Matemática e
habilitado em Física pelo UNIFEB.
Especialista em Educação
Matemática pela Faculdade São
Luís.
Mestre em Matemática pela
Unesp (S.J.R.P.) – IBILCE –
PROFMAT (SBM) /CAPES.
Programa de Matemática em
rede Nacional -
Fevereiro 2016
UNIFEB Barretos/ SP
Ementa
1. Funções
Definição; Função polinomial; Racional e Algébricas; Função composta; Funções crescentes e decrescentes, pares e ímpares; Pontos de máximo e mínimo de uma função;
2. Limites Noções intuitivas; Conceito teórico; Técnicas de indeterminação; Limites que envolvem infinito; Continuidade de função.
3. Derivadas Definição; Reta tangente e taxa de variação; Interpretação geométrica; Técnicas de diferenciação; Regra da cadeia; Derivada de ordem superior;
Aplicações de derivada. 4. Limites fundamentais:
Definição; Limites exponenciais e logaritmos; O número e, o Logaritmo natural; Regra de L´Hôpital; Limites trigonométrico fundamental e limites trigonométricos
elementares. 5. Derivadas:
Derivadas das funções elementares, exponenciais e logarítmicas; Derivadas das funções trigonométricas diretas. Derivadas das funções trigonométricas inversas.
6. Integrais: Definição: Integral indefinida, Primitiva de uma função de uma
variável; Regra da potência para Integral (anti - derivada) Métodos de integração: método de substituição ou mudança de
variável de integração; Integrais de funções elementares; Integrais trigonométricas diretas; Integrais Trigonométricas inversas; Integrais por partes; Integral definida; soma de Riemann e o Teorema Fundamental do
Cálculo; Aplicações de integral; Cálculo de áreas por integrais.
Bibliografias (Sugestão de Estudo) - Básicas:
Swokowski - Cálculo com Geometria Analíticvol.1 – 2ª. ed.
Flemming, Diva e Gonçalves; Mirian - Cálculo A – Pearson – 2012
Iessi, Gelson- Fundamentos de matemática elementar – volume 8 - 2000
Prof. Me. Luiz Henrique Morais da Silva
1
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO ........................................................... 4
1.1 FUNÇÃO DE A EM B (APLICAÇÃO DE A EM B). ................................................... 4
1.2 NOTAÇÃO ALGÉBRICA DE UMA FUNÇÃO. .......................................................... 4
ATIVIDADE 1 ............................................................................................................ 5
1.3 GRAFICOS .......................................................................................................... 6
ATIVIDADE 2 ............................................................................................................ 6
ATIVIDADE 3 ............................................................................................................ 7
1.4 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO. .................................................................... 8
1.5 CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO. ..................................................................... 8
1.6 PARIDADE DE UMA FUNÇÃO. ............................................................................ 9
1.7 FUNÇÕES PERIÓDICAS. .................................................................................. 10
1.8 FUNÇÃO SOBREJETORA, INJETORA E BIJETORA. ........................................... 10
1.9 FUNÇÃO INVERSA. ........................................................................................... 11
1.10 FUNÇÃO COMPOSTA – COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES. ..................................... 11
ATIVIDADE 4 .......................................................................................................... 13
1.11 FUNÇÃO POLINOMIAL .................................................................................... 14
1.11.1 FUNÇÕES POLINOMIAIS BÁSICAS. .............................................................. 14
1.12 FUNÇÃO RACIONAL ........................................................................................ 15
1.13 FUNÇÕES ALGÉBRICA ................................................................................... 15
ATIVIDADE 5 .......................................................................................................... 16
2. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE LIMITE ............................................................ 18
2.1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS LIMITES ......................................................... 18
2.2 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE .......................................................................... 19
2.3 DEFINIÇÃO TEÓRICA DE LIMITE ...................................................................... 19
2.4 LIMITE DE UMA FUNÇÃO ................................................................................. 20
2.4.1 PROPOSIÇÕES - PROPRIEDADES DOS LIMITES ............................................ 21
2.4.2 TEOREMAS.................................................................................................... 21
2.4.3 CONSEQUÊNCIAS IMEDIATAS ....................................................................... 21
ATIVIDADE 6 .......................................................................................................... 22
2.4.4 INDETERMINAÇÕES DO TIPO 0
0- ATIVIDADE 7 ............................................ 22
2.5 LIMITES LATERAIS ............................................................................................. 1
2.5.1 LIMITE LATERAL ESQUERDO ............................................................................ 1
2.5.2LIMITE LATERAL DIREITO ................................................................................ 1
2.5.2LIMITES INFINITOS .......................................................................................... 1
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2
2.5.3LIMITES NO INFINITO ....................................................................................... 1
2.5.4LIMITES INFINITOS AO INFINITO ...................................................................... 1
2.5.6 EXPRESSÕES INDETERMINADAS: ................................................................... 2
ATIVIDADE 8 ............................................................................................................ 4
2.6 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES. .......................................................................... 5
2.6.1 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO. ......................................... 5
2.6.2 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO . ................................................................ 5
2.6.3 CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO. ....................................... 5
2.6.4. PROPRIEDADE DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS. .................................................. 7
2.6.5. PROPOSIÇÕES ............................................................................................... 7
2.6.6. FUNÇÕES CONTINUAS E LIMITES LATERAIS – DEFINIÇÕES: ......................... 7
2.6.7. TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO. ......................................................... 8
ATIVIDADE 9 ............................................................................................................ 8
3. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA ........................................................ 9
3.1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA DERIVADA: INTRODUÇÃO HISTÓRICA. .............. 9
3.2 A DERIVADA – DEFINIÇÃO. ................................................................................ 9
3.3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA. ................................................ 9
3.4 PROPOSIÇÕES ................................................................................................. 10
ATIVIDADE 10 ........................................................................................................ 12
3.5 TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA: A DERIVADA ............................................ 12
3.6 DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR (DERIVADAS SUCESSIVAS): ....................... 13
3.7 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA – REGRA DA CADEIA. .............................. 14
ATIVIDADE 11 ........................................................................................................ 15
3.8 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO .......................................................... 16
ATIVIDADE 12 ........................................................................................................ 23
3.9TRAÇADO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ........................................................ 23
ATIVIDADE 13 ........................................................................................................ 23
3.10 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ........................................................................ 24
ATIVIDADE 14 ........................................................................................................ 25
4. LIMITES E DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTAES ....................................... 26
4.1 LIMITES DAS FUNÇÕES ELEMENTARES .......................................................... 26
4.2 DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES .................................................... 26
4.2.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................ 26
4.2.2 FUNÇÃO LOGARITMO .................................................................................... 26
ATIVIDADE 15 ........................................................................................................ 26
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5. REGRA DE L’HÔPITAL – LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL – DERIVADAS
DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DIRETAS E INVERAS. .................................... 27
5.1 A REGRA DE L’HÔPITAL. .................................................................................. 27
ATIVIDADE 16 ........................................................................................................ 27
5.2 O LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL. ................................................. 28
5.2.1 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS ......................................... 28
ATIVIDADE 17 ........................................................................................................ 28
5.3 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DIRETAS. ............................. 29
ATIVIDADE 18 ........................................................................................................ 29
5.4 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. ........................... 30
5.4.1 FUNÇÃO ARCO SENO .................................................................................... 30
5.4.2 FUNÇÃO ARCO COSSENO ............................................................................. 30
5.4.3 FUNÇÃO ARCO TANGENTE ............................................................................ 30
5.4.4 FUNÇÃO ARCO COTANGENTE ....................................................................... 31
5.4.5 FUNÇÃO ARCO SECANTE .............................................................................. 31
5.4.6 FUNÇÃO ARCO COSSECANTE ....................................................................... 31
5.5 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. ........................... 31
ATIVIDADE 19 ........................................................................................................ 32
6. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE INTEGRAL ...................................................... 33
6.1 INTEGRAL INDEFINIDA – FUNÇÃO PRIMITIVA (ANTI-DERIVADA) ..................... 33
ATIVIDADE 20 ........................................................................................................ 33
6.2 REGRAS PRÁTICAS: .......................................................................................... 34
ATIVIDADE 21 ........................................................................................................ 34
6.3 INTEGRAL E A REGRA DA CADEIA – MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA
DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO. ........................................................................ 35
ATIVIDADE 22 ........................................................................................................ 37
6.4 INTEGRAL DEFINIDA ....................................................................................... 38
6.5 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL ................................................ 39
ATIVIDADE 23 ........................................................................................................ 40
BIBLIOGRAFIAS ..................................................................................................... 41
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4
1. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO
1.1 Função de A em B (Aplicação de A em B).
Definição 1 - Sejam A e B subconjuntos de IR, uma função de A em B (
BAf : ) é uma lei que associa a todo elemento de A um único elemento
em B.
O diagrama abaixo representa a situação descrita.
O conjunto A = {x1, x2, x3, x4, x5} é chamado conjunto de partida da
função f, ou domínio de f (D(f)).
O conjunto B = {y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7} é chamado conjunto de chegada
da função f, ou contradomínio de f (CD(f)).
O conjunto Im(f) = {y1, y2, y3, y4, y5}, que é o conjunto formado pelos
elementos do contradomínio que estão associados aos elementos do
domínio pela função f, é chamado de conjunto imagem de f.
1.2 Notação algébrica de uma função.
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5
Atividade 1
Verifique qual(is) das relações abaixo é (são) função (ões).
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6
1.3 Graficos
Definição 2 - Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os
pontos (x, f(x)) do plano IR2 (Plano cartesiano),onde:
)( fDx e )Im()( fxf .
Atividade 2
Verifique qual(is) das relações abaixo é(são) função(ões).
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7
Atividade 3
1) Verifique o domínio de validade das funções abaixo:
a) 82)( xxf b) 5
3)(
xxg c)
5
3)(
xxh d)
1)(
x
xxl
2) Construa o gráfico e verifique se é uma função IRIRf : .
2,4
22,2
2,2
)(
xse
xse
xse
xf
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1.4 Continuidade de uma função.
Uma função f em um intervalo [a.b], pode ser contínua ou descontínua
neste intervalo.
1.5 Crescimento de uma função.
Definição 3 - Uma função f é crescente sobre um certo intervalo aberto I,
se :
2121 )( xfxfxx ou 0)(0 1212 xfxfxx
)Im(),()(, 2121 fxfxfefDxx
Definição 4 - Uma função f é decrescente sobre um certo intervalo aberto
I, se :
2121 )( xfxfxx ou 0)(0 1212 xfxfxx
)Im(),()(, 2121 fxfxfefDxx
Definição 5 - Uma função f é constante sobre um certo intervalo aberto I,
se :
2121 )( xfxfxx ou 0)(0 1212 xfxfxx
)Im(),()(, 2121 fxfxfefDxx
Exemplo
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9
] a, b [ - f é decrescente.
] b, c [ - f é crescente.
] c, d [ - f é constante.
1.6 Paridade de uma função.
Definição 6 - Dizemos que uma função f(x) é par se, para todo )( fDx ,
temos:
)()( xfxf
Exemplo : )()()()( 222 xfxxxfxxf
Definição 7 - Dizemos que uma função f(x) é impar se, para todo )( fDx
, temos:
)()( xfxf
Exemplo: )()()()( 333 xfxxxfxxf
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1.7 Funções periódicas.
Definição 8 - Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe um número
real 0T , tal que )()( xfTxf para todo )( fDx .
Onde T é chamado de período da função f(x). O gráfico de uma função
periódica se repete a cada intervalo de comprimento | T |.
Período | T |= 2
1.8 Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora.
Definição 9 - Uma função BAf : é dita Sobrejetora se, e somente se,
para todo By , existe um elemento Ax , tal que )(xfy , ou seja, se, e
somente se, Bf )Im( .
Definição 10 - Uma função BAf : é dita injetora se, e somente se, dois
elementos distintos de A têm imagens distintas em B, ou seja,
)()(;, 212121 xfxfxxAxx .
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Definição 11 - Uma função BAf : é dita bijetora se, e somente se, é
Sobrejetora e injetora.
1.9 Função Inversa.
Definição 12 - Seja )(xfy uma função BAf : . Se, para cada By ,
existir exatamente um valor Ax tal que )(xfy , então podemos definir a
função ABg : tal que )(ygx . A função g definida desta maneira é
chamada função inversa de f e denotada por f--1.
Observação 1 - Uma função BAf : admite inversa se, e somente se,
esta função f é bijetora.
Exemplo : A função IRIRf : dada por 3)( xxf tem inversa IRIRg :
dada por 3)( xxg .
Prova: 31333)( xyyxxyxxf
1.10 Função composta – Composição de funções.
Definição 13 - Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f,
denotada gof, é definida por:
))(())(( xfgxfgo
O domínio de gof, é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais
que f(x) esta no domínio de g.
Simbolicamente, temos: )()(/)()( gxffDxfgD o
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O diagrama abaixo ilustra esta situação.
De maneira análoga, define-se:
i) ))(())(( xgfxgfo
ii) ))(())(( xffxffo
iii) ))(())(( xggxggo
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Atividade 4
Sejam as funções: IRf ),0[: xxf )( e IRIRf : 32)( xxg .
1) Encontre gof, fog, fof e gog.
2) Encontre a inversa da função g(x).
3) Obtenha o gráfico de f(x), g(x) e g-1(x).
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1.11 Função polinomial
Definição 14 - Uma função IRIRf : é dita polinomial se é representada
por nn
nn axaxaxaxf
1
1
10 ...)( , onde )0(,,...,, 0110 aaaaa nn , são
números reais chamados de coeficientes e Zn , determina o grau da
função.
1.11.1 Funções polinomiais básicas.
i) Função Constante: É uma função polinomial de grau zero, ou seja,
kxf )( .
ii) Função polinomial do primeiro grau - É uma função do tipo:
)0()( abaxxf
Observação 2 - Uma função polinomial do primeiro grau do tipo
)0()( abaxxf é chamada de função Afim.
Uma função polinomial do primeiro grau do tipo )0()( aaxxf é
chamada de função linear.
Uma função polinomial do primeiro grau do tipo )0()( axxf é
chamada de função identidade.
iii) Função Polinomial do segundo grau (Função Quadrática)- É uma
função do tipo: )0()( 2 acbxaxxf
iv) Função polinomial do terceiro grau (Função Cúbica) - É uma função
do tipo : )0()( 23 adcxbxaxxf
v) Função polinomial de grau quatro - É uma função do tipo:
)0()( 234 aedxcxbxaxxf
vi) Função polinomial de grau cinco – É uma função do tipo:
)0()( 2345 afexdxcxbxaxxf
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1.12 Função Racional
Definição 15 - É uma função definida como o quociente de duas funções
polinomiais, isto é, )0()(
)()( xq
xq
xpxf , onde p(x) e q(x) são polinômios.
1.13 Funções Algébrica
Definição 16 - Uma função é dita algébrica se pode ser escrita por meio
de um número finito de somas(ou diferenças), produtos (ou quocientes)
ou radicais envolvendo potencias do tipo xn.
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16
Atividade 5
1) Dada a função 7
13)(
x
xxf , obtenha o valor de
7
)5(.3)0(2)1(5 fff .
2) Um grupo de amigos trabalham no período de férias vendendo
salgadinhos nas praias. O aluguel do trailer e todos os equipamentos
necessários para a produção são alugados pelo valor de R$ 1.300,00 por
mês. O custo do material de cada salgadinho é R$ 1,20.
a) Expressar o custo total como uma função do número de salgadinhos
fabricados.
b) Construir um gráfico desta função obtida no item anterior, e fazer toda
a análise matemática desta função.
c) Sabendo que cada salgadinho é vendido no valor de R$ 2,50, expresse
a função matemática que representa o lucro deste grupo de amigos. (L(x)
= V(x) – C(x))
d) Esboçar o gráfico que representa a função L(X) do item anterior.
e) Qual a quantidade mínima de salgados a serem vendidos para que os
amigos não levem prejuízos?
f) Qual será o lucro obtido em uma venda mensal de 5.000 salgadinhos?
3) Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo
total dada por 70020)( 2 uuxC , se u o número de unidades produzidas.
A função receita total é dada por uxR 200)( . Determine:
a) A função lucro desta empresa (L(x) = R(x) – C(x)).
b) O gráfico da função L(x) obtida no exercício anterior, fazer toda a
análise matemática da função.
c) o lucro para a venda de 100 unidades.
d) Qual o lucro máximo desta empresa?
e) Quantas unidades u devem ser vendidas para que o lucro seja máximo?
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4) Estudar os gráficos das funções Reais ( IRIRf : ) polinomiais abaixo,
esboçar os gráficos, verificar a paridade, o crescimento e decrescimento,
dar o conjunto imagem:
a) f(x) = 4 b) y = 3x + 1 c) f(t) = -2t
d) f(v) = v2 e) f(v) = v2 + 3 f) f(v) = v2 – 2
g) f(x) = (x +1)2 h) y = (x + 1)2 -2 i) f(x) = (x + 1)2 + 2
j) f(x) = - x2 k) f(x) = - x2 + 1 l) f(m) = m3
m) f(m) = m3 + 1 n) f(m) = m3 -2 o) f(n) = (m +1)3
5) Esboçar detalhadamente os gráficos a seguir:
a) xxf )( b) 2)( xxf
c) 1)( xxf d) n
nf1
)(
e) n
nf1
1)( f) 21
)( n
nf
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18
2. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE LIMITE
2.1 Introdução ao estudo dos limites
O conceito de limite é o mais fundamental do Cálculo Diferencial e
Integral, pois é nele que se baseiam na Matemática atual as definições de
convergência, divergência, continuidade, derivada e integral.
A falta de compreensão da noção de limite, no passado, levou a
vários paradoxos, sendo os mais antigos que se tem notícia devida a
Zenão de Eléia, datando de aproximadamente 2.450 anos. Um dos
problemas propostos por Zenão era equivalente ao seguinte:
Imagine que um atleta deva correr, em linha reta, de um ponto a
outro distando 1km. Quando o atleta chegar à metade do caminho, ainda
faltará 0,5 km para chegar ao seu destino. Quando ele percorrer a metade
dessa metade do caminho, ainda faltarão 0,25 km e quando percorrer a
metade dessa distância ainda faltará 0, 125 km e assim, sucessivamente.
Repetindo esse raciocínio indefinidamente, argumentava Zenão, o atleta
nunca chegaria ao destino, pois não importando a distância percorrida,
sempre restaria alguma distância a ser percorrida.
Note que a distância que separa o atleta da sua meta se tornará tão
próxima de zero quanto ele quiser, bastando para isso que ele repita os
deslocamentos acima descritos um número suficientemente grande de
vezes.
O paradoxo de Zenão só se sustentava, pois não levava em conta o
fator tempo, subjacente a qualquer movimento, e o fato de que, ao somar
sucessivamente as distâncias percorridas, 1/2 +1/4 + 1/8 + ...o
resultado é limitado por 1 e dele se aproxima o quanto quisermos.
São essas ideias intuitivas de estar tão próximo quanto se quiser
que encerra o conceito de limite.
Embora fundamental esse conceito demorou mais de dois milênios
para finalmente ser rigorosamente definido pelos matemáticos do século
XIX.
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2.2 Noção Intuitiva de limite
Consideremos inicialmente um valor x0 = 1,5 e um valor x (qualquer). “Vamos verificar de forma ampliada a tendência de x ao se aproximar
de x0 pela direita e pela esquerda”
0xx
0xx
“Ao aproximarmos de
0x podemos obter valores bem próximos a
0x por falta, e ao aproximarmos de
0x podemos obter valores bem
próximos de 0x por excesso.
Tabela
0xx 0xx
1,3 1,7
1,35 1,65
1,4 1,6
1,49 1,51
1,499 1,501
1,499999 1,50001
2.3 Definição teórica de Limite
Um valo x tende a um valor x0 0xx se do um valor 0 , por
menor que seja, podemos marcar x tão próximo de x0, tal que
00 xx .
0xx , se 0 : 00 xx
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20
2.4 Limite de uma função
Seja f(x) definida em um intervalo aberto I, contendo um ponto a
(exceto possivelmente o próprio a). Diz –se que o limite de f(x) quando x
tende (aproxima-se) de a é L:
Lxfax
)(lim
Graficamente temos:
Lxfxfaxax
)(lim)(lim
Formalmente, dizemos que:
Se para todo 0 , existe um 0 tal que Lxf )(0 sempre
que ax0 .
Exemplo
Construa o gráfico e analise intuitivamente os limites da função
IRIRf 0: , definida por x
xf1
)( .
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21
2.4.1 Proposições - propriedades dos limites
Se o Lxfax
)(lim e Kxgax
)(lim existem onde IRKL , , então:
P1. KLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)]()([lim
P2. Lcxfcxfcaxax
.)(.lim.)](.[lim
, onde IRc
P3. KLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)]()([lim
P4. K
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
)(lim
)(lim
)(
)(lim , para 0)( xg
P5. nn
ax
n
axLxfxf
)(lim)]([lim
P6. n
nax
n
axLxfxf
)(lim)(lim
2.4.2 Teoremas
T1. Teorema do confronto (teorema do sanduiche)
Suponha que )()()( xhxfxg para todo x em um intervalo aberto
contendo o ponto a, exceto possivelmente, no próprio x = a. Suponha
também que Lxhxgaxax
)(lim)](lim .Então, Lxfax
)(lim
T2. Teorema da unicidade do limite
Dada uma função f(x) se existe o limite de f(x) em um intervalo
aberto contendo a, exceto possivelmente o próprio a, então este limite é
único.
2.4.3 Consequências imediatas
C1. Se IRc , então: ccax
lim
C2. Se IRnm , , então: namnmxax
).()(lim
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22
Atividade 6
1. Aplicando as propriedades dos limites calcule:
a) 13lim1
xx
b) 34lim 23
1
xx
x c)
5
1lim
2
24
0
x
xx
x d) 34lim 2
2
x
x
2. Uma vez que 2
1)(4
122 x
xux
para qualquer 0x . Determine
)(lim0
xux
, por mais complicado que seja u.
2.4.4 Indeterminações do tipo 0
0- Atividade 7
Resolva os limites
indeterminados abaixo:
1
1lim)1
2
1 x
x
x
2
8lim)2
3
2 x
x
x
1
1lim)3
2
3
1 x
x
x
2
23lim)4
2
2 x
xx
x
2
4lim)5
2
2 x
x
x
6132
32583lim)6
23
234
3 xxx
xxxx
x
43
56lim)7
2
2
1
xx
xx
t
36254
20173lim)8
2
2
4
xx
xx
t
h
h
h
162lim)9
4
0
t
t
t
164lim)10
2
0
1
1lim)111 h
h
h
x
x
x
11lim)12
0
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1
3
3lim)13
3 x
x
x
t
t
t
5325lim)14
0
1
1lim)15
4
3
1 x
x
t
2.5 Limites Laterais
2.5.1 Limite Lateral Esquerdo
- Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ).,( ca
Dizemos que o limite lateral à esquerda da função f é L quando x tende
para a .
Lxfax
)(lim
2.5.2Limite Lateral Direito
- Seja f uma função definida em um intervalo aberto ),( ad . Dizemos
que o limite lateral direto da função f e L quando x tende para .a
Lxfax
)(lim
Teorema 1
)(lim)(lim)(lim xfxfLxfaxaxax
Exemplos:
Seja f definida em IR – {0} Por:
.01
.01)(
xse
xsexf
:);(lim)(lim),(lim000
masxfxfpoisxfxxx
1)(lim0
xfx
e 1)(lim0
xfx
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1
2.5.2Limites Infinitos
Seja )(xf uma função definida num intervalo aberto contendo a ,
exceto, possivelmente, em .ax ax
xf
)(lim.
)(lim xfax
)(lim xfax
2.5.3Limites no Infinito
Definições: Seja f uma função definida em um intervalo aberto
),( a , temos:
Lxfx
)(lim
Da mesma forma se ),( a
Lxfx
)(lim
Sendo que L satisfaz as seguintes condições:
.)(
0,0
xquesempreLxf
Proposições:
P1.
01
lim nx x
P2. 01
lim nx x
P3.
nx x
1lim
0 P4 n
x x
1lim
0.
ímprn
parn
,
,
2.5.4Limites Infinitos ao infinito
São limites da forma:
)(lim xfx
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2
2.5.6 Expressões indeterminadas:
)1,,0,,,0,0
0 00
x
Proposições:P5.
1,
,10,0lim
ase
asean
n
P6. 1lim
n
nn
P7. 1lim
n
na
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3
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4
Atividade 8
1.
2
3
0
1lim
xxx
xR: 2. 143lim 35
0
xx
x R:
3. 2
3lim
2
x
x
x R: 4.
2
3lim
2
x
x
x R:
5. 6
13lim
2
2
2
xx
xx
x R: 6.
6
13lim
2
2
2
xx
xx
x R:
7. 24
1232lim
4
24
R
x
xxx
x
8. 02
13lim
3
2
R
x
xx
x
9.
0:1
1lim
2R
t
t
t
10. 2
1:
352
32lim
2
2
Rtt
tt
t
11.
1:
1
1lim
2
R
t
t
t 12.
1:
1
1lim
2
Rt
t
t
13.
2:3
72lim
2
R
v
v
v 14.
2:
3
72lim
2
Rv
v
v
15. 2
1:
45
3lim
2R
y
y
t
16. 2
1:
45
3lim
2
R
y
y
t
17.
:4
lim2
2R
t
t
t 18.
:
4lim
22
Rt
t
t
19.
:82
3lim
24
Rtt
t
t 20.
:82
3lim
24
Rtt
t
t
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5
2.6 Continuidade de funções.
2.6.1 Continuidade de uma função em um ponto.
Definição 1: Seja IRDf : uma função com IRD e seja Da um
ponto tal que todo intervalo aberto contendo a intercepta D/{a}. Dizemos
que a função f é contínua em a se:
)()(lim afxfax
2.6.2 Continuidade de uma função .
Definição 2: Seja IRDf : uma função com IRD e seja Da um
ponto tal que todo intervalo aberto contendo a intercepta D/{a}. Dizemos
que a função f é contínua se f for contínua em todos os elementos de D.
2.6.3 Condições de continuidade de uma função.
I. f está definida no ponto a. (a esta no domínio de f)
II. )(lim xfax
. ( f possui limite quando x tende a a)
III. )()(lim afxfax
( o limite é igual ao valor da função)
Exemplos:
1)
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6
2)
3)
1,
1,2)(
2
xsexk
xsexxxf
a) Qual o valor de k para que f seja contínua?
b) Qual o valor de k para que f não seja contínua?
Resolução:
a)
I. f(1) = 12 + 2.1 = 3, logo f está definida em x = 1.
II. 32lim 2
1
xx
x e xk
x
1lim , para que o limite exista
)(lim)(lim11
xfxfxx
III. Para f ser contínua )1()(lim1
fxfx
43)1(3lim1
kkxkx
Gráfico:
b) 4k
Gráfico para k = 6
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7
2.6.4. Propriedade das funções contínuas.
Sejam f e g funções contínuas em x = a, então as combinações a
seguir são continuas em x = a.
i. f + g ;
ii. f - g ;
iii. f.g ;
iv. f/g )0( g
v. fn é continua, sendo n um inteiro positivo.
vi. n f , desde que seja definida em um intervalo aberto que contenha a ,
onde n é um inteiro positivo.
2.6.5. Proposições
P1. Uma função polinomial é contínua para todo número real;
P2 . Uma função racional é contínua em todos os de seu domínio;
P3. f(x) = sen x e f(x) = cos x são contínuas para todo número real x;
P4. A função exponencial f(x) = ex é contínua para todo número real x.
P5. Sejam f e g funções tais que bxfax
)(lim , sendo g contínua em b.
Então )()(lim bgxgofax
, ou seja, )](lim[)]([lim xfgxfgaxax
P6. Se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então a composta gof é
contínua no ponto a.
P7. Seja f é uma função definida e contínua em um intervalo I. Se f admite
inversa f-1, então f-1é contínua em todos os pontos D = Im (f).
2.6.6. Funções continuas e limites laterais – Definições:
Seja f uma função definida num intervalo fechado [a,b], então:
i. Se )()(lim afxfax
, dizemos que f é contínua à direita do ponto a.
i. Se )()(lim bfxfbx
, dizemos que f é contínua à esquerda do ponto b.
iii. Se f é continua em todo ponto do intervalo aberto (a,b) , f é contínua a
direita em a e contínua à esquerda em b, dizemos que f é contínua no
intervalo fechado [a,b].
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8
2.6.7. Teorema do valor intermediário.
Seja f uma função continua no intervalo fechado [a,b] e L um número
tal que )()( bfLaf ou )()( afLbf , então existe pelo menos um
],[ bax tal que f(x) = L.
Atividade 9
1. Verifique a continuidade das funções nos pontos indicados.
a) 1
73)(
2
2
x
xxxf em x = 2
b) 2,
2,0
2
4
)(
2
x
x
x
x
xf em x = 2
c) 2,
2,3
4
8
)( 2
3
x
x
x
x
xf em x = 2
2. Calcule p de que a função abaixo sejam contínuas.
a) 3,3,3
2)(
2
x
x
pxxxf b)
1,
1,2)(
2 xp
xpxxf
3. mostre pelo teorema do valor intermediário que a equação x3 – x – 1 =
0 possui uma raiz entre 1 e 2.
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9
3. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA
3.1 Introdução ao estudo da Derivada: Introdução histórica.
O final do século XVII viu o surgimento de uma conquista
matemática formidável: O Cálculo Diferencial. Descoberto
independentemente pelos contemporâneos Sir. Isaac Newton (1642 –
1727) e Gottfried Leibniz (1642 - 1716, tornou-se base para o
desenvolvimento de várias áreas da Matemática, além de possuir
aplicações em praticamente todas as áreas do conhecimento científico.
3.2 A Derivada – Definição.
Definição 16 – Derivada: A derivada de uma função )(xfy , definida em
um intervalo aberto I em um ponto Ix 0 é dada por
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
,
caso o limite exista.
Existindo o limite acima, a função f é dita derivável em 0x .
Definição 17 – Função derivada: Seja f uma função definida em um
intervalo aberto I. Se f é derivável para todo ponto de seu domínio, dizemos
que a função IRIf : , que associa a cada Ix o valor )(xf é uma
função derivada de f.
Notação:
i) )(xfy (notação de Newton) ;
ii) dx
dy(notação de Leibniz);
Ambas representam a derivada da função f em relação a x.
3.3 Interpretação geométrica da Derivada.
Dada a função f, definida em um intervalo aberto I, sendo f
derivável para todo ponto de seu domínio. Dado ainda um ponto xo e sua
imagem )( 0xf , se realizarmos um acréscimo muito pequeno em Ix 0 ,
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10
por exemplo Ihx )( 0 , obtemos a imagem )( 0 hxf , o gráfico abaixo
ilustra esta situação.
Pela definição de tangente, temos
)()()(
lim 00
0o
hxf
h
xfhxftg
.
Exemplo: Utilizando a definição de derivada, calcule a derivada da função
2)(,: xxfIRIRf , no ponto (3,0).
Resolução:
h
xhxxf
h
xfhxfxf
hh
22
00
)(lim)(
)()(lim)(
xhxh
xh
h
xhxhx
hhh22lim
)42.(lim
2lim
00
222
0
63.2)3(2)( fxxf
3.4 Proposições
Proposição 1 - Derivada da função constante.
Seja kxfIRIRf )(,: , uma função constante, a sua derivada
)(xf é nula, ou seja, 0)( xf .
Prova: Seja a função kxf )( , então pela definição de derivada, segue:
h
kkxf
h
xfhxfxf
hh 00lim)(
)()(lim)(
00lim0
lim00
hh h
Proposição 2 – Derivada da função afim.
Seja 0)(,: abaxxfIRIRf uma função afim, então
axf )(
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11
Prova: Seja a função baxxf )( , então pela definição de derivada,
segue:
h
baxbhxaxf
h
xfhxfxf
hh
)(]).([lim)(
)()(lim)(
00
aah
ah
h
baxbahxa
hohh
00limlim
.lim
Proposição 3 – Derivada da função potência.
Seja )()(,: IRnxxfIRIRf n , uma função potência, então
1.)( nxnxf .
Prova: Seja a função nxxf )( , então pela definição de derivada, segue:
h
xhxxf
h
xfhxfxf
nn
hh
)(lim)(
)()(lim)(
00
Expandindo Seja nhx )( ,pelo binômio de Newton, temos:
h
xhnxhhxnn
hxnx
xf
nnnnnn
h
).....!2
)!1(..(
lim)(
1221
0
h
hnxhhxnn
xnh nnnn
h
).....!2
)!1(.(
lim
1221
0
11221
0.......
!2
)!1(lim
nnnnn
hxnhhnxhx
nnnx
Proposição 4 – Derivada da soma.
Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e s(x) uma função definida
por )()()( xgxfxs então, a derivada da função s(x) é
)()()( xgxfxs .
Proposição 5 – Derivada do produto.
Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e p(x) uma função definida
por )().()( xgxfxp então, a derivada da função d P(x) é
)().()().()( xfxgxgxfxp .
Proposição 6 – Derivada do quociente.
Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e q(x) uma função definida
por )(
)()(
xf
xfxq então, a derivada da função d q(x) é
2)(
)().()().()(
xg
xgxfxgxfxq
.
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12
Observação : As provas das proposições 4,5 e 6 foram omitidas, mas no
livro cálculo A (6ª. Edição), nas páginas 135 e 136, as mesmas são
apresentadas.
Atividade 10
Calcule as derivadas das seguintes funções:
1. 43)( xxf 2. 1352)( 23 ttttf 3. 4
5
)(
rrf
4. xy 5. )1).(3()( 2 uxuf 6. 2
2)(
n
nnf
7. 3 2xy 8. 54)( xxf 9. xxf 5)( 10.
x
xy
3.5 Taxa de variação instantânea: A derivada
Definição 18 – Taxa de variação média: seja f(x) uma função, a taxa
de variação média para esta função é definida por
x
yTVM
Exemplos.
1. Suponhamos que um automóvel popular custe R$ 25.000, 00 no final
de dezembro, agora, no final de junho, está custando R$ 28.000,00. Qual
a taxa de variação média deste automóvel?
5006
000.3
06
000.25000.28
)()(
)()(
dezembrotjunhot
dezembrovalorjunhovalorTVM Ou seja, a TVM
é de 500 reais/mês.
Assim, a função 000.25500)( ttfC represente o custo mensal a cada
mês deste automóvel.
Definição 19 – Taxa de variação instantânea (A Derivada): Define-se a
taxa de variação instantânea como sendo o limite da TVM quando 0x
, ou seja
x
xfxxf
x
yTVI
xx
)()(limlim
00
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13
Exemplo: Consideremos como exemplo a função y = x2, x = 1, 2,0x e
faremos 0x pela sequência 0,2; 0,1; 0,05; 0;025;0,001; etc
f(x) = x2, x = 1
x x + x 2)()( xxxxf 1)( 2 xxy
x
y
0,2 1,2 1,44 0,44 2,2
0,1 1, 1,21 0,21 2,1
0,05 1,05 1,1025 0,1025 2,05
0,025 1,025 1,050625 0,050625 2,025
0,00
1
1,001 1,002001 0,002001 2,001
0,000
1
1,000
1
1,00020001 0,00020001 2,0001
Podemos notar que, a medida que 0x , a razão incremental 2
x
y,
isto quer dizer que a taxa de variação instantânea (ou a derivada) da
função y = x2, quando x = 1 é 2.
3.6 Derivada de Ordem Superior (derivadas sucessivas):
Quando se deriva função y = f(x), que escrevemos
x
xfxxfxf
dx
dy
x
)()(lim)('
0
”caso ela exista, ou seja, existindo o limite” esta
também é uma função de x.
Se a função derivada primeira for derivável mais uma vez, ou seja,
existindo o limite, x
xfxxfxf
dx
yd
x
)(')('lim)("
0
2
, então teremos a
derivada segunda.
E assim sucessivamente, existindo o limite, teremos :
)('"3
xfdx
yd - derivada terceira
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14
)(4
xfdx
yd IV - derivada quarta
)(5
xfdx
yd V - derivada quinta-feira
)(xfdx
yd nn
- derivada enésima
10) Ache a derivada de ordem superior que se pede:
a) y = x3, achar até a 10ª. Derivada.
b)2
1
xy , achar até a 3ª derivada.
c) 3
5)(
x
xxf , achar até a segunda derivada.
3.7 Derivada da Função Composta – Regra da Cadeia.
Consideremos inicialmente duas funções deriváveis f e g onde y =
g(u) e u = f (x). Para todo x tal que f(x) esta no domínio da g, podemos
escrever y = g(u) = g[f(x)], isto é, podemos considerar a função composta
(gof)(x).
Teorema 1: Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas dy/dx e du/dx existam,
então a função composta y = g[f(x)] tem derivada que é dada por
dx
du
du
dy
dx
dy. ou ).().()( xfugxy
Observação : A prova deste teorema será omitida aqui, mas pode ser
encontrada no livro Cálculo A (6ª.edição) pag139 a 140.
Exemplo: Calcular a derivada da função 723 352)( tttf .
Resolução: )352.(]352[)( 23723 tttttf
)02.53.2.(]352.7)( 12131723 tttttf
6232 352).106.(7)( tttttf
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15
Atividade 11
1) Encontre as derivas da funções abaixo:
a) 23 2)( xxxf b) 3.5)( 2 ttf
c) 3
38 1)42(
xxxy d)
3 2 276)( xxxf
2) A demanda D de um certo produto está relacionada com seu peço p
pela relação 1
5
pD . Determine a taxa instantânea, a qual a
demanda está variando em relação ao preço, quando p = R$ 3,50.
3) Dada a curva de equação 22 43 xxy .
a) Obtenha a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa x =
1.
(Equação da reta normal à uma curva é dada por ).( 0
'
0 xxyyy .
b) Encontrar a equação da reta normal à curva no ponto de abscissa
x = 2. (Equação da reta normal à uma curva é dada por
).(1
0,0 xxy
yy .
4) Uma cidade X é atingida por uma epidemia. Os setores de saúde
calculam que o número de pessoas atingidas pela epidemia depois de um
tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é
aproximadamente, dado por:
364)(
3tttf
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?
c) quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?
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16
3.8 Máximos e Mínimos de uma Função
O valor máximo (mínimo) de uma função em todo seu domínio é
chamado máximo (respectivamente, mínimo) absoluto.
Definição 1: Um função f : D → R tem máximo absoluto em c se f(x) ≤ f(c)
para todo x no domínio D de f. Neste caso, o valor f(c) é chamado valor
máximo de f em D.
Definição 2: Um função f : D → R tem mínimo absoluto em c se f(x) ≥ f(c)
para todo x no domínio D de f. Neste caso, o valor f(c) é chamado valor
mínimo de f em D.
Obs: Os valores de máximo e mínimo absoluto de uma função são
chamados valores extremos da função.
Exemplos:
i. A função f : [−1,2] → R dada por f(x) = (x − 1)2 possui máximo absoluto
em x = −1 e mínimo absoluto em x = 1.
ii. A função f : R → R dada por f(x) = (x − 1)2 possui mínimo absoluto em
x = 1 e não possui máximo absoluto.
iii. A função f : R → R dada por f(x) = |x| possui mínimo absoluto em x =
0 e não possui máximo absoluto.
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17
Definição 3: Uma função tem máximo local (ou máximo relativo) em um
ponto c de seu domínio, se existe intervalo aberto I, tal que c ∈ I e f(x) ≤ f(c)
para todo x ∈ I. Neste caso, dizemos que f(c) é valor máximo local de f.
Definição 4: Uma função tem mínimo local (ou mínimo relativo) em um
ponto c de seu domínio, se existe intervalo aberto I, tal que c ∈ I e f(x) ≥ f(c)
para todo x ∈ I. Neste caso, dizemos que f(c) é valor mínimo local de f.
Obs: Pontos de máximo local e pontos de mínimo local são chamados
extremos locais (ou extremos relativos).
Exemplo:
Claramente, o gráfico abaixo não possui máximo ou mínimo
absoluto. No entanto, f(a) é maior que todos os valores f(x) para x próximo
de a, ou seja, f(a) é um valor máximo em um certo intervalo aberto
contendo a. Nesta situação, dizemos que f(a) é valor máximo local de f.
Da mesma forma, f(b) é menor que todos os valores f(x) para x próximo
de b. Dizemos que f(b) é valor mínimo local de f
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18
Veremos que para funções deriváveis, os extremos locais são
pontos de derivada nula, embora nem todo ponto de derivada nula seja
extremo local. Portanto, encontrando os pontos onde a derivada se anula,
teremos os candidatos a extremos locais.
Teorema 1: Seja f : I → R uma função f contínua definida em um
intervalo aberto I. Se f tem máximo ou mínimo local em x = c, c ∈ I e f é
derivável em c então f’(c) = 0.
Obs: A demonstração deste teorema será omitida!
Importante: A recíproca deste teorema não é verdadeira, ou seja se f’(c)
= 0 não necessariamente tem-se um máximo ou mínimo local.
Definição 5: Um ponto c no domínio de uma função f é chamado ponto
crítico se ocorre um dos dois seguintes casos:
(a) f não é derivável em x = c.
(b) f é derivável em c e f’(c) = 0.
Para determinar o máximo e mínimo absoluto de uma função contínua f
: [a, b] → R deve-se proceder da seguinte maneira:
1. Determine os pontos críticos de f no intervalo aberto (a, b).
2. Determine f(a) e f(b).
3. Compare os valores assumidos por f nos pontos críticos com f(a) e f(b).
O maior dentre eles será o máximo absoluto de f em [a, b] e o menor entre
eles será o mínimo absoluto de f em [a, b].
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19
Exemplo de aplicação 1:
Seja a função f : [−4,2] → R definida por f(x) = x3 + 2x2 − 4x – 2.
a) Encontre os pontos críticos desta função.
b) Quais os valores máximos e mínimo desta função?
O Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio
Teorema 2: ( Teorema de Rolle):
Se f : [a, b] → R é contínua em [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b) e
f(a) = f(b) então existe pelo menos um número c ∈ (a, b) tal que f’(c) = 0
Obs: A demonstração deste teorema será omitida!
Teorema 3: Teorema do Valor Médio
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo
aberto (a, b). Então existe pelo menos um número c ∈ (a, b) tal que
ab
afbfcf
)()()(' .
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20
Obs: A demonstração deste teorema será omitida!
Crescimento e decrescimento de uma função e a derivada
Proposição 1:
Seja f : [a,b] → R contínua e derivável em (a, b) então:
(i) f é não decrescente em [a, b] se, e somente se, f’(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a,
b). Além disso, se f’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) então f é crescente em [a, b].
(ii) f é não crescente em [a, b] se, e somente se, f’(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b).
Além disso, se f’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) então f é decrescente em [a, b].
Obs: A demonstração desta proposição será omitida!
Exemplo de aplicação 2:
Seja f(x) = x2 − 2x − 3. Determine os intervalos de crescimento e
decrescimento da função e esboce um gráfico.
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21
Teste da derivada primeira e da derivada segunda
Proposição 2: Teste da derivada primeira
Seja a função f : [a, b] → R contínua e derivável em (a, b) e seja c um
ponto crítico de f.
(i) Se f’ passa de positiva para negativa em c então f tem máximo local em
c.
(ii) Se f’ passa de negativa para positiva em c então f tem mínimo local em
c.
(iii) Se f’ não muda de sinal em c então não tem máximo nem mínimo local
em c
Obs: A demonstração desta proposição será omitida!
Proposição 3: Teste da derivada segunda.
Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I e seja c ∈ I tal que
f’(c) = 0. Se f”(c) existe então:
(i) Se f”(c) < 0 então f possui um máximo local em c.
(ii) Se f”(c) > 0 então f possui um mínimo local em c.
O teste é inconclusivo caso f”(c) = 0.
Exemplo de aplicação 3:
Encontre os valores de máximo e mínimo local da função f(x) = x3 – x2.
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22
Concavidade do gráfico de uma função
Definição 6: Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I. Se o
gráfico de f se situa sempre acima das retas tangentes no intervalo I,
dizemos que o gráfico tem concavidade para cima em I. Se o gráfico de f se
situa sempre abaixo das retas tangentes no intervalo I, dizemos que tem
concavidade para baixo em I.
Proposição 4 : Teste da concavidade
Seja f uma função duas vezes derivável no intervalo aberto I.
(i) Se f”(x) > 0 para todo x ∈ I então o gráfico de f tem concavidade para
cima em I.
(ii) Se f”(x) < 0 para todo x ∈ I então o gráfico de f tem concavidade para
baixo em I
Obs: A demonstração desta proposição será omitida.
Exemplo de aplicação 4:
Seja a função f : R \ {0} → R \ {0} dada por f(x) = 1/x. Verifique seus
intervalos de crescimento e concavidade.
Definição 7: Um ponto P no gráfico de uma função f(x) é chamado ponto
de inflexão se f é contínua em P e há uma mudança de concavidade do
gráfico de f no ponto P.
Exemplo de aplicação 5:
Esboce um gráfico possível para uma função f : R → R tal que:
(a) f é contínua em R e duas vezes derivável em R\ {−1,4}.
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23
(b) f’(x) > 0 para x ∈ (−∞,2) ∪ (6,∞) e f’(x) < 0 para x ∈ (2,6).
(c) f”(x) > 0 para x ∈ (−∞,−1) ∪ (4,∞) e f”(x) < 0 para x ∈ (−1,4).
(d) 2)(lim
xfx
e
)(lim xfx
Atividade 12
1) Seja a função xx
xf 3
)(3
. Determine os intervalos em que f é
crescente e aqueles em que f é decrescente.
2) Seja a função f(x) = 3x4 + 4x3 − 36x2 + 29. Determine os intervalos em
que f é crescente e aqueles em que f é decrescente.
3) Encontre os mínimos e máximos locais da função 1
)(2
x
xxf .
3.9Traçado do gráfico de uma função
O seguinte roteiro reúne o que se deve conhecer de cada função
para a qual queremos traçar o gráfico:
(i) domínio e continuidade da função;
(ii) assíntotas verticais e horizontais;
(iii) derivabilidade e intervalos de crescimento e decrescimento;
(iv) valores de máximo e mínimo locais;
(v) concavidade e pontos de inflexão;
(vi) esboço do gráfico.
Atividade 13
Esboçar os gráficos:
a) f(x) = x3 – x2
b) 1
)(2
x
xxf
c)1
)(2
x
xxf
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24
3.10 Problemas de otimização
Uma das aplicações mais comuns do Cálculo são os problemas
de otimização. Tratam-se de problemas que são modelados por uma
função e buscamos obter os valores de máximo ou mínimo da função.
Veremos alguns exemplos de problemas de otimização, em várias áreas
do conhecimento, mostrando como o Cálculo pode ser aplicado nos mais
diversos campos do conhecimento humano. Para resolver um problema
de otimização, usamos em geral os seguinte roteiro aproximado:
(i) Identificamos as variáveis do problema, isto é, quais grandezas
representam a situação descrita no problema. O desenho de gráficos e
diagramas pode ser útil para isso.
(ii) Identificamos os intervalos de valores possíveis para as variáveis. São
os valores para os quais o problema tem sentido físico.
(iii) Descrevemos as relações entres estas variáveis por meio de uma ou
mais equações. Em geral, uma destas equações dará a grandeza que
queremos otimizar, isto é encontrar seu máximo ou mínimo. Se há mais
de uma variável no problema, substituindo uma ou mais equações
naquela principal permitirá descrever a grandeza que queremos otimizar
em função de uma só variável.
(iv) Usando a primeira e segunda derivada da função que queremos
otimizar, encontramos seus pontos críticos e determinamos aquele(s) que
resolve(m) o problema. Neste ponto é importante estar atento para o fato
de que alguns dos pontos críticos da função podem estar fora do intervalo
de valores possíveis para a variável (item ii) e devem ser desprezados.
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25
Atividade 14
1) Uma caixa retangular aberta deve ser fabricada com uma folha de
papelão de 15 × 30 cm, recortando quadrados nos quatro cantos e depois
dobrando a folha nas linhas determinadas pelos cortes. Existe alguma
medida do corte que produza uma caixa com volume máximo?
2) Um reservatório de água tem o formato de um cilindro sem a tampa
superior e tem uma superfície total de 36π m2. Encontre os valores da
altura h e raio da base r que maximizam a capacidade do reservatório
3) Uma fazenda produz laranjas e ocupa uma certa área com 50
laranjeiras. Cada laranjeira produz 600 laranjas por ano. Verificou-se
que para cada nova laranjeira plantada nesta área a produção por árvore
diminui de 10 laranjas. Quantas laranjas devem ser plantadas no pomar
de forma a maximizar a produção?
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26
4. LIMITES E DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTAES
4.1 Limites das Funções elementares
Definição 20: O número e.
Define-se o número irracional ...71,2e pelo seguinte limite: ex
x
x
11lim
Definição 21: O logaritmo natural.
Define-se o logaritmo de base e (logaritmo natural) a
ea logln pelo seguinte
limite: .ln1
lim0
ax
a x
x
Interpretação gráfica: 1ln eA
4.2 Derivadas das Funções elementares
4.2.1 Função exponencial
Proposição 7: '.ln.)'()( uaaufauf uu
Proposição 8: '.)'()( ueufeuf uu
4.2.2 Função logaritmo
Proposição 9: eu
uufuuf
aaloglog .
')'()(
Proposição 10: u
uufuuf
')'(ln)(
Obs: As demonstração das proposições serão ocultadas!
Atividade 15
Resolver as derivadas das funções elementares abaixo:
xey 2.1 xexf 3)(.2
763 2
.2)(.3 ttetf xxy 52 3
2.4
xxvf 42 3
3)(.5 )43ln()(.6 xtf
x
xy
1
1ln.7 23 )52ln()(.8 xxxf
)42()(.9 log2
ttf )835()(.10 24
3log xxxf 23 ln..11 xey x t
t
e
atf
3
)(.12
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27
5. REGRA DE L’HôPITAL – LIMITE TRIGONOMÉTRICO
FUNDAMENTAL – DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
DIRETAS E INVERAS.
5.1 A Regra de L’Hôpital.
Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis em um intervalo aberto I;
e se houver as seguintes indeterminações
)(
)(lim
0
0
)(
)(lim
xg
xfou
xg
xf
xax,
então a seguinte proposição é válida:
Proposição 11:
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
axax
Atividade 16
Aplicando a regra de L’Hôpital, calcule os limites a seguir:
1
1lim.1
2
1
x
x
x
32
2lim.2
2
2
1
tt
tt
x
9
3lim.3
9
v
v
x
223
132lim.4
2
2
xx
xx
x
26
34lim5
t
t
x
3
72lim.6
2
V
v
x
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28
5.2 O limite trigonométrico fundamental.
Proposição 12:
1)(
lim0
x
xsen
x
5.2.1 Relações trigonométricas fundamentais
1)(cos)(.1 22 xxsen x
senxxtg
cos)(.2
)(
)cos(
)(
1)(.3
xsen
x
xtgxCotg
)cos(
1)sec(.4
xx
)(
1)sec(cos.5
xsenx )(1)(sec.6 22 xtgx
)(cot1)(seccos.7 22 xgx
Atividade 17
1.Calcule os limites a seguir:
x
xsena
x
)(2lim)
0
x
xsenb
x 4
3lim)
0
x
tgxc
x 0lim)
2. Prove que 0cos1
lim0
x
x
x
3. Prove as seguintes derivadas:
)cos()(')()() xxfxsenxfa
)()(')cos()() xsenxfxxfb
4. Encontre a derivadas das seguintes funções trigonométricas:
)()() xtgxfa )(cot)() xgxfb
)sec()() xxfc )sec(cos)() xxfc
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29
5.3 Derivadas das funções trigonométricas diretas.
Proposição 13: ').cos()]'([ uuusen
Proposição 14: ').()]'[cos( uusenu
Proposição 15: ').(sec)]'([ 2 uuuf
Proposição 16: ').(seccos)]'([cot 2 uuug
Proposição 17: ').().sec()]'[sec( uutguu
Proposição 18: ').(cot).sec(cos)]'sec([cos uuguu
Atividade 18
1. Calcule a derivada das funções trigonométrica diretas abaixo:
)2() xsenya )cos()() 2xtfb
vtgvfc
1)()
)(cot)() wgwfd )12sec() 3 xye
1
1seccos)()
x
xxff
)2cos).3()() 2 vvsenvfg )3(cot)(3)() xgxtgtfh
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30
5.4 Derivadas das funções trigonométricas inversas.
5.4.1 Função arco seno
Seja
2,
2[1;1:]
f , onde
21
1)(')()(
xxfxarcsenxf
Prova 1:
senyxxarcsenyI )(.
ysenyxarcsenyII
cos
1
)'(
1)]'(['.
ysenyyysenIII 222 1cos1cos.
Substituindo I na III:
21cos. xyIV
Substituindo IV na II:
21
1
cos
1
)'(
1)]'(['
xysenyxarcseny
21
1)]'([
xxarcsen
5.4.2 Função arco cosseno
Seja ,0[1;1:] f , onde 21
1)(')arccos()(
xxfxxf
Prova 2: Análoga a anterior
5.4.3 Função arco tangente
Seja
2,
2:
IRf , onde
21
1)(')()(
xxfxarctgxf
Prova 3:
tgyxxarctgyI )(.
ytgyxarctgyII
2sec
1
)'(
1)]'(['.
ytgyIII 22 1sec.
Substituindo I na III:
22 1sec. xyIV
Substituindo IV na II:
22 1
1
sec
1
)'(
1)]'(['
xytgyxarctgy
21
1)]'([
xxarctg
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31
5.4.4 Função arco cotangente
Seja ,0: IRf , onde 21
1)(')(cot)(
xxfxgarcxf
Prova 4: Análoga a anterior!
5.4.5 Função arco secante
Seja ,0,11,: f , onde 1;1.
1)(')sec()(
2
x
xxxfxarcxf
5.4.6 Função arco cossecante
Seja ,0,11,: f , onde
1;1.
1)(')sec(arccos)(
2
x
xxxfxxf
5.5 Derivadas das funções trigonométricas inversas.
Expandindo pela derivada da função composta “regra da cadeia”,
temos as seguintes proposições:
Proposição 14: .1
')]'([
2u
uuarcsen
Proposição 15: 21
')]'[arccos(
u
uu
Proposição 16: 21
')]'([
u
uuarctg
Proposição 17: 21
')]'(cot[
u
uugarc
Proposição 18: 1.;1.
')]'sec([
2
u
uu
uuarc
Proposição 19: 1.;1.
')]'sec([arccos
2
u
uu
uu
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32
Atividade 19
1. Calcule a primeira derivada das funções trigonométricas inversas
abaixo:
)1() xarcsenya
3
2arccos)()
ttfb
2
2
1
1)
x
xarctgyc
varcvfd
1cot)() tarctfe sec)() )1sec(arccos) xyf
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33
6. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE INTEGRAL
6.1 Integral Indefinida – Função Primitiva (anti-derivada)
Introdução:
O processo conhecido como integração, pode ser entendido como a
operação inversa da derivação, ou seja o cálculo de uma integral é um
processo de anti-derivada.
Definição 20 (Primitiva de uma função): Seja uma função contínua,
definida no intervalo aberto I, então, existe uma função, chamada de
primitiva de f. Isto é, existe uma função derivável tal que, se,
)()(' xfxF
Proposição 7: Seja F(x) uma primitiva de f(x) . Então, se c é uma constante
qualquer, a função G(X) = F(x) + c também é primitiva de f(x).
Prova: Como F(x) é primitiva de f(x), pela definição temos que F’(x) = f(x),
Assim:
G’(x)=(F(x)+c)’ = F’(x)+c’=F’(x) + 0 = F’(x),
O que prova que G(x) é primitiva de f(x).
Exemplos:
1) A primitiva de x2 é 3
3x, pois
223
3
3'
3x
xx
.
2) A primitiva de 3 2x é
3 5
5
3x , pois: 3 23
21
3
5
3 5
3
5.
5
3'
5
3xxxx
Atividade 20
1) Encontre uma primitiva para as funções:
a) f(x) = 4x3 b) f(x)= 3
2x c) f(t) =
5 3t
Definição 21(Integral indefinida): Se F(x) é uma primitiva de f(x), a
expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é
denotada por
).()(')()( xfxFcxFdxxf
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34
Nota: O símbolo dxxf )( , representa uma família de funções, ou seja, a
família de todas as primitivas da função integrando.
Proposição 8: Sejam IRIf : e k uma constante real, então:
dxxfkdxxkf )()(
Proposição 9: Sejam IRIgf :, , então:
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
As provas das proposições 8 e 9 foram omitidas, mas no livro
cálculo A (6ª. Edição), na página 242, as mesmas são apresentadas.
6.2 Regras Práticas:
Integral indefinida da função potência: )1(1
1
ncn
uduu
nn
Integral de du: cudu
Atividade 21
1) Encontre a família de primitivas das seguintes funções:
a) dueu b) u
du c) duusen )(
d) duu)cos( e) duu)(sec2 f) duu)(seccos 2
g) duutgu )().sec( h) duugu )(cot).sec(cos
2) calcule as integrais indefinidas a seguir:
a) dxx3 b) dttt )1172( 5
c) duu4 3 d)
dyy
yyy 23 3
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35
3) Derivar as respostas das integrais indefinidas anteriores para conferir
os resultados.
6.3 Integral e a regra da cadeia – Método de substituição ou mudança
de variável para integração.
Definição 22: Se IRIf : , definida no intervalo aberto I, é derivável,
definimos a diferencial de f como
dxxfdydf )('
Observação : A noção de diferencial é adequada para o processo de
integração. Isto é, dada uma diferencial dxxfdy )( , queremos encontrar
as funções primitivas de )(xFy que realizam essa equação como
diferencial
.)(' dxxFdy
Teorema 2: Sejam u = g(x) uma função diferenciável definida em um
intervalo aberto IRJ e IRIRIf : uma função contínua tais que
).()Im( fDomg Então:
cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()()).((
Onde IRIRIF : é uma primitiva de f.
Demonstração:
Basta calcular a derivada de H(x) = F(g(x)). Realmente,
).()).(()()).(()( xgxgfxgxgFxH
Isto mostra que H’(x) = F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g’(x).
Em outras palavras, sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F´(x) =
f(x). Suponhamos uma outra função também derivável g(x), tal que a
imagem de g esteja contida no domínio da F. Podemos considerar então,
a função composta Fog = F(g(x)); pela regra da cadeia temos:
)()).(()()).(())(( xgxgfxgxgFxgF
I.
Isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) .g’(x), dai temos que
cxgFdxxgxgf ))(()()).(( II.
Fazendo u = g(x) , du = g’(x)dx e substituindo em II, vem
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36
cuFduufdxxgxgf )()()()).((
Exemplos:
Resolva as integrais:
1) dxxx 52 )1.( 2) dxxx 1.
Resolução:
1) Fazendo xdxduxdx
duxu 20212
Voltando na integral original: xdxxI 2)1(2
1 52
Pela regra da Cadeia, temos:
cu
cu
cu
duuI
126.
2
1
152
1
2
1 66155
Voltando em 12 xu
cx
I
12
)1( 62
2) fazendo 11 uxux , dai:
dxdudx
du 01
Voltando na integral original:
duuudxxxI )1(1.
Portanto:
duuuduuuduuuI )(.)1()1( 2
1
2
3
2
1
cuu
cuu
duuduuI
2
3
2
51
2
11
2
3
2
3
2
51
2
11
2
3
2
1
2
3
cuuI 35
3
2
5
2
Voltando em ux 1
cxxI 35 )1(3
2)1(
5
2
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37
Atividade 22
1) Resolva as integrais abaixo aplicando o método de substituição ou
mudança de variável para integração:
a) dxxx11
3 7. b) dtt
t 21
2 c) 8)53( x
dx
d) dtt
t
1
2 e) dvvv 42 2
2) Aplicação da integral indefinida: A DeWitt Company descobriu que a
taxa de variação de seu custo médio para um produto é 2
' 100
4
1)(
xxC
, onde x é o número de unidades e o custo esta em dólares. O custo
médio para produzir 20 unidades é $ 40,00.
a) Encontre a função custo médio para o produto.
b) Encontre o custo médio de 100 unidades do produto.
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38
6.4 Integral Definida
Definição 23: Seja f: [a, b] → R uma função definida no intervalo fechado
e limitado [a, b] e seja uma partição de [a, b]. Para cada i = 1,2,...,n,
escolhemos um ponto ci ∈ [xi−1, xi]. Definimos a Soma de Riemann de f,
relativa à partição P e à escolha dos pontos ci por
n
i
ii xcffS1
).(),(
Definição 24: A integral definida da função f : [a, b] → R é o limite das
suas Somas de Riemann quando as normas das partições tendem à zero:
),(lim)(0
fSdxxf
b
a
Definição 25: Seja f: [a, b] → R uma função contínua. São válidas as
seguintes afirmações:
i. Seja bac , .Então 0)( dxxfc
c
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39
ii. a
b
b
adxxfdxxf )()(
Teorema 3: Se f é uma função contínua sobre o intervalo fechado ba, ,
então f é continua em ba, .
Observação: A demonstração deste teorema será ocultada, devido a não
necessidade ao curso.
Proposição 10: Seja f: I → R uma função contínua definida em intervalo I.
Se a, b e c ∈ I, então: dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a )()()(
Observação 4:A prova desta proposição pode ser encontrada no livro
Cálculo A (Diva Marília Flemming) , 6ª. Edição pagina 262.
Proposição 11: Sejam f,g: [a, b] → R funções contínuas, k ∈ R e uma
constante. Então
i. dxxgdxxfdxxgfb
a
b
a
b
a )()())((
ii. b
a
b
adxxfkdxxfk )(.)(.
Observação : A prova desta proposição pode ser encontrada no livro
Cálculo A (Diva Marília Flemming) , 6ª. Edição pagina 261.
6.5 Interpretação geométrica da integral
I. Se f: [a, b] → R é uma função contínua tal que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a,
b], então o limite dxxfb
a )( é a área da região determinada pelo gráfico de
f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.
II. De maneira geral, se f : [a, b] −→ R é uma função contínua, então
dxxfb
a )( é a soma das áreas orientadas das regiões determinadas pelo
eixo Ox e pelo gráfico de f, entre as retas verticais x = a e x = b. Isto é, as
regiões que ficam abaixo do eixo Ox contribuem com os valores negativos
de suas áreas enquanto que as regiões que ficam acima do eixo contribuem
com os valores positivos de suas áreas. Veja um exemplo gráfico.
Prof. Me. Luiz Henrique Morais da Silva
40
Teorema 4 (Teorema Fundamental do Cálculo): Seja f: I → R é uma
função contínua definida no intervalo aberto I e seja F: I → R uma primitiva
de f. Então, se [a, b] ⊂ I,
)()()( aFbFdxxfb
a
Observação: A prova desta proposição pode ser encontrada no livro
Cálculo A (Diva Marília Flemming) , 6ª. Edição pagina 265 a 267.
Atividade 23
1) Calcule as integrais definidas a seguir:
a) 3
1dx b)
2
0
2dxx c) 1
0
23 14 dttt
d) 5
112 dvv e)
1
1 3
2
9dx
x
x
2) Encontre a área limitada pela curva y = 4 – x2 e o eixo ox.
3) Obtenha a área limitada pela função F(t) = t2 e f(t) = x + 2.
Prof. Me. Luiz Henrique Morais da Silva
41
BIBLIOGRAFIAS
[ 1 ]Cálculo A – Diva Flemming e Mirian Gonçalves – Ed. Person.
[ 2 ]Fundamentos de Matemática Elementar - Gelsom Iessi – Volume
1.
[ 3 ] Hefez, Abramo, Elementos de Aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2ª. Ed., 2011.
[ 4 ] Pinho, Antônio A., Introdução à Lógica Matemática (Apostila). Rio
de Janeiro, Julho de 1999.