Download - UC: Análise Matemática II Caderno 1 : Integrais Duplos e ...home.iscte-iul.pt/~deam/html/intmult_linha.pdf · ETI / EI, 1oAno UC: Análise Matemática II Caderno 1 : Integrais Duplos

ETI / EI, 1o Ano

UC: Análise Matemática II

Caderno 1 : Integrais Duplos e Integrais de Linha(Duplos, Volumes, Mudança de Coordenadas, Integrais de Linha)

Elaborado de: Diana Aldea Mendes e Rosário Laureano

Departamento de Métodos Quantitativos

Fevereiro de 2011

Capítulo 1

Integrais Duplos

1.1 Integrais duplos - definição e interpretação

A definição de integral duplo (multiplo) é uma generalização da de integral a uma só

variável. Em particular, o Teorema de Fubini, permite relacionar um integral definido

em Rn (integral multiplo) com o integral em R. Nomeadamente, um integral multiplo

pode ser calculado por integrações sucessivas numa variável considerando as restantes

fixas (constantes). O integral duplo (multiplo) quando explicitado por intermédio de dois

(vários) integrais simples designa-se por integral iterado.

Seja f uma função de duas variáveis, z = f(x, y), que seja contínua numa certa região

limitada e fechada D do xOy-plano. Tem-se D ⊂ Df ⊂ R2. Na prática, para calcular um

integral duploRR

D f(x, y)dxdy, temos que seguir os seguintes passos:

1. Representar graficamente o domínio de integração D

2. Estudar a regularidade do domínio de integração D e determinar a ordem de inte-

gração (dxdy ou dydx)

3. Explicitar os limites de integração e escrever o integral duplo na forma iterada

4. Calcular o integral duplo respeitando a ordem de integração

A principal dificuldade nos integrais duplos, consiste em, dado um domínio de inte-

graçãoD, determinar os limites de integração em cada um dos integrais simples envolvidos.

1

2 Integrais Duplos

Definição 1.1.1 O domínio D ⊂ R2 diz-se regular segundo o eixo dos yy (no sentido do

eixo dos yy) se

1. Qualquer vertical que passe por um ponto interior de D intersecta a sua fronteira

em apenas dois pontos

2. D é limitado pelas curvas y = g1(x) e y = g2 (x) e pelas rectas x = a e x = b, sendo

g1(x) ≤ g2 (x) e a ≤ b.

Se o domínio de integração D é regular no sentido do eixo dos yy (ou segundo o eixo

dos yy), então a ordem de integração é dydx e o integral duplo explicita-se (calcula-se)

por ZZDf(x, y)dxdy =

Z b

a

ÃZ g2(x)

g1(x)f(x, y)dy

!dx =

Z b

adx

Z g2(x)

g1(x)f (x, y) dy.

Graficamente, temos um domínio de integração regular no sentido do eixo dos yy, em cada

uma das seguintes situações:

x x

y y

a b

y=g1(x)

y=g2(x)

D

D

a b

y=g1(x)

y=g2(x)

x x

y y

a b

y=g1(x)=d

y=g2(x)=c

a b

y=g1(x)

y=g2(x)

D D

Deve ficar claro que o cálculo de um integral duplo requer o cálculo de 2 integrais

simples pela ordem indicada: primeiro o integral de f(x, y) em relação à variável y (con-

1.1. INTEGRAIS DUPLOS - DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO 3

siderando x como constante) desde y = g1(x) (a fronteira inferior do domínio de integração

D) até y = g2(x) (a fronteira superior de D); depois o integral da expressão obtida em

relação à variável x no intervalo [a, b] ,isto é, do extremo esquerdo do domínio de integração

D até ao extremo direito de D.

Definição 1.1.2 O domínio D ⊂ R2 diz-se regular segundo o eixo dos xx (no sentido do

eixo dos xx) se

1. Qualquer horizontal que passe por um ponto interior de D intersecta a sua fronteira

em apenas dois pontos

2. D é limitado pelas curvas x = h1(y) e x = h2 (y) e pelas rectas y = c e y = d, sendo

h1(y) ≤ h2 (y) e c ≤ d.

Se o domínio de integração D é regular no sentido do eixo dos xx (ou segundo o eixo

dos xx), então a ordem de integração é dxdy e o integral duplo explicita-se (calcula-se)

por ZZDf(x, y)dxdy =

Z d

c

ÃZ h2(y)

h1(y)f(x, y)dx

!dy =

Z d

cdy

Z h2(y)

h1(y)f (x, y) dx.

Graficamente, temos um domínio de integração regular no sentido do eixo dos xx, em

cada uma das seguintes situações:

x x

y y

a b

x=h1(y) x=h2(y)

y=c

y=d

c

d

c

d y=d

y=c

x=h1(y)

x=h2(y)

DD

4 Integrais Duplos

x x

y y

a b

x=h1(y)=a x=h2(y)=b

D Dy=c

y=d

c

d

c

d y=d

y=c

x=h1(y)

x=h2(y)

Neste caso, calcula-se primeiro o integral de f(x, y) em relação à variável x (con-

siderando y como constante) desde x = h1(y) (a fronteira esquerda do domínio de inte-

graçãoD) até x = h2(y) (a fronteira direita deD); depois o integral da expressão obtida em

relação à variável y no intervalo [c, d] ,isto é, do extremo inferior do domínio de integração

D até ao extremo superior de D.

Tem-se sempre queZ b

a

ÃZ g2(x)

g1(x)f(x, y)dy

!dx =

ZZDf(x, y)dxdy =

Z d

c

ÃZ h2(y)

h1(y)f(x, y)dx

!dy,

ou seja, indiferente da ordem de integração utilizada, o valor do integral duplo é o mesmo.

Propriedades

Caso existam os integrais duplos são válidas as seguintes propriedades operacionais:ZZD[f(x, y)± g(x, y)] dxdy =

ZZDf(x, y)dxdy ±

ZZDg(x, y)dxdy;

ZZDcf(x, y)dxdy = c

ZZDf(x, y)dxdy, para c ∈ R;

ZZDh(x)f(x, y)dxdy =

Z b

ah(x)

Z g2(x)

g1(x)f(x, y)dydx;

ZZDg(y)f(x, y)dxdy =

Z d

cg(y)

Z h2(x)

h1(x)f(x, y)dxdy.

Uma outra propriedade de grande utilidade em domínios de integração não regulares é a

seguinte: ZZDf(x, y)dxdy =

ZZD1

f(x, y)dxdy +

ZZD2

f(x, y)dxdy,

1.2. EXEMPLOS 5

se D = D1 ∪D2, int(D1) ∩ int(D2) = ∅, e D1 e D2 são regulares no mesmo sentido.

O integral duplo sobre o domínio de integração D da função constante f (x, y) = 1

define a área de D, isto é Z ZD1 dxdy = A (D) .

A passagem duma ordem de integração para outra num integral duplo, caso é possível,

designa-se por inversão da ordem de integração do integral duplo. Se o domínio

for regular no sentido do eixo dos yy ou seja

1.2 Exemplos

Exemplo 1. Calcule o valor dos seguintes integrais duplos

a).R 21 dx

R 10 (x− cos y) dy =

R 21 (xy − sin y)|

10 dx =

R 21 (x− sin 1) dx =

³x2

2 − x sin 1´¯21=

32 − sin 1

b).R 50 dy

R y0 (2xy) dx =

R 50

¡yx2

¯y0

¢dy =

R 50

¡y3¢dy = y4

4

¯50= 625

4

Exemplo 2. Determine o valor do integral duploZZD(x+ 2y) dxdy

onde o domínio de integração é limitado pelas parábolas de equação y = 2x2 e y = 1+x2.

x

y

y

D

y=1+x2

y=2x2

x=-1 x=1

-1 10

6 Integrais Duplos

Os pontos de intersecção das duas parábolas obtem-se iqualando as equações corespon-

dentes, isto é

2x2 = 1 + x2 ⇒ x = ±1

sendo x = ±1 as equações das rectas verticais que limitam o domínio de integração.

Conclui-se que D é regular no sentido do eixo dos yy, logo pode ser escrito como

D =©−1 ≤ x ≤ 1, 2x2 ≤ y ≤ 1 + x2

ªdeduzindo (também do gráfico) que y = g1 (x) = 2x2 é a função inferior e y = g2 (x) =

1 + x2 é a função superior que limitam o domínio de integração.

Da regularidade de D segundo o eixo dos yy obtem-se a ordem de integração dydx,

logo o integral duplo escreve-se como

ZZD(x+ 2y) dxdy =

Z 1

−1dx

Z 1+x2

2x2(x+ 2y) dy =

Z 1

−1

¡xy + y2

¢¯1+x22x2

dx =

=

Z 1

−1

³x¡1 + x2

¢+¡1 + x2

¢2 − x¡2x2¢−¡2x2¢2´

dx =

=

Z 1

−1

¡−3x4 − x3 + 2x2 + x+ 1

¢dx =

=

µ−3x

5

5− x4

4+ 2

x3

3+

x2

2+ x

¶¯1−1=32

15.

Portanto o valor do integral duplo é 32/15.

Exemplo 3. Calcule do integral duplo da função f(x, y) = x + y no domínio de

integração D definido por

D ≡©y = 2x, y = x2, 0 ≤ x ≤ 2

ª.

A representação gráfica do domínio de integração é ilustrada na Figura abaixo.

1.2. EXEMPLOS 7

x

y

2

4

0

y=2x

y=x2

Domínio de integração D

x

y

2

4

0

x= 0 x= 2

y= 2x

y= x 2

D regular segundo yy

y

2

4

0

y=4

y=0

x=y/2

x=y1/2

D regular segundo xxComo D é regular no sentido do eixo dos yy, ou seja pode ser limitado por: x = a = 0,

x = b = 2, y = g1(x) = x2 e y = g2(x) = 2x, com 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 2x, o integral

duplo escreve-se comoZ ZD(x+ y) dxdy =

Z 2

0

µZ 2x

x2(x+ y)dy

¶dx =

Z 2

0

µxy +

y2

2

¶¯2xx2dx =

=

Z 2

0

µ4x2 − x3 − x4

2

¶dx =

µ4x3

3− x4

4− x5

10

¶¯20

=52

15

O mesmo integral duplo pode ser calculado pelo outro integral iterado (obtido invertendo

a ordem de integração), ou seja porZ ZD(x+ y) dxdy =

Z 4

0

ÃZ √y

y/2(x+ y)dx

!dy =

52

15.

Tem-se c = 0, d = 4, x = h1(y) =y2 e x = h2(y) =

√y, segundo a notação indicada no

desenvolvimento.

Exemplo 4. Considere-se agora o mesmo integral duplo, mas com o domínio de

integração dado por

D ≡©y = 2x, y = x2, 0 ≤ x ≤ 1

ª.

Então o domínio D é regular no sentido do eixo dos yy e portanto o integral duplo é:

Z ZD(x+ y) dxdy =

Z 1

0

µZ 2x

x2(x+ y)dy

¶dx =

Z 1

0

µxy +

y2

2

¶¯2xx2dx =

=

Z 1

0

µ4x2 − x3 − x4

2

¶dx =

µ4x3

3− x4

4− x5

10

¶¯10

=118

120

8 Integrais Duplos

Se optarmos pela outra ordem de integração o mesmo integral duplo terá de ser calculado

como segue:

x

y

0

y=2x

y=x2

1

2

x=0 x=1x

y

0 1

2

y=0

y=1

y=2x=y/2

x=y1/21

Z ZD(x+ y) dxdy =

Z 1

0

ÃZ √y

y/2(x+ y)dx

!dy +

Z 2

1

ÃZ 1

y/2(x+ y)dx

!dy

dado que é necessário considerar 2 sub-regiões D1 e D2 separadas pela recta y = 1 tais

que D1 ∪D2 = D. De facto, atendendo a que a recta vertical x = 1 intersecta a parábola

y = x2 quando y toma o valor 1 e intersecta a recta y = 2x quando y toma o valor 2

(atenda à figura anterior e complete-a) estas duas sub-regiões serão as seguintes

D1 ≡©y = 2x, y = x2, 0 ≤ x ≤ 1, y ≤ 1

ªD2 ≡

©y = 2x, y = x2, 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2

ª.

Por vezes é forçoso inverter a ordem de integração face à função f(x, y) a primitivar.

Exemplo 5. Calcule o seguinte integral duploZ 1

0dy

Z 3

3yex

2dx.

Este integral duplo não pode ser calculado de forma fácil directamente pela ordem de inte-

gração estabelecida (dxdy), visto que a primitivaRex

2dx não é uma primitiva elementar.

O domínio de integração deste integral duplo é limitado pelas rectas x = 3y, x = 3, y = 0

e y = 1. Para estabelecer o outra ordem de integração (dydx) — isto é, para efectuar in-

versão da ordem de integração do integral duplo — é útil representar graficamente

este domínio de integração

1.2. EXEMPLOS 9

x

y

0

1

3y=0

y=1

x=3

x=3y ou y=x/3

x=0

e, a partir dessa representação, escrever o novo integral iterado

Z 1

0dy

Z 3

3yex

2dx =

Z 3

0dx

Z x3

0ex

2dy =

Z 3

0

³ex

2y´¯x30

dx =

=

Z 3

0ex

2 x

3dx =

1

6

³ex

2´¯30

=1

6

¡e9 − 1

¢.

Exemplo 6. Pretende-se calcular o integral duploRR

D f(x, y)dxdy para f(x, y) = x2

e D definido por

D ≡ xy = 16, y = x, y = 0, x = 8 .

Para tal represente-se graficamente este domínio

xy=16y=x

x

y

4

x=8

y=44

y=2

x=4

e estabeleça-se as 2 ordens de integração:ZZDx2dxdy =

Z 2

0dy

Z 8

yx2 dx+

Z 4

2dy

Z 16/y

yx2 dx

10 Integrais Duplos

ZZDx2dxdy =

Z 4

0dx

Z x

0x2 dy +

Z 8

4dx

Z 16/x

0x2 dy

Verifica-se através da figura que, qualquer que seja a ordem de integração escolhida, é

necessário separar o domínio de integração em 2 sub-regiões, a saber: D1 e D2 separadas

pela recta y = 2 quando a opção éR ¡R

f(x, y)dx¢dy, D0

1 e D02 separadas pela recta x = 4

quando a opção éR ¡R

f(x, y)dy¢dx. O cálculo de qualquer um destes integrais iterados

conduz ao valor 448 para o integral duplo.

Exemplo 7. Determine o valor do integral duploRR

D (xy) dxdy onde o domínio de

integração D é limitado pelas curvas de equação y = x− 1 e y2 = 2x+ 6.

A parábola de equação y2 = 2x+6 tem a forma equivalente y = ±√2x+ 6 vista como

função y de variável x e tem a forma x = y2

2 − 3 vista como função x de variável y. Os

pontos de intersecção entre a parábola e a recta calculam-se de 2x+ 6 = (x− 1)2 , o que

implica x2 − 4x− 5 = 0, de onde x = −1 e x = 5.

x

y

y=4

-3 1

0

-1

0

Dx=y+1

(-1,-2)

(5,4)

-1

y=-2

x=(y2/2)-3

Consideramos a regularidade segundo o eixo dos xx (sendo mais fácil neste caso).

Então o domínio de integração D é limitado pelas rectas horizontais de equação y = −2

e y = 4 (calculados como as imagens dos pontos de intersecção x = −1 e x = 5), e pelas

curvas: á esquerda x = h1 (y) =y2

2 − 3 e á direita x = h2 (y) = y + 1, logo, a ordem de

1.2. EXEMPLOS 11

integração dxdy determina o seguinte integral iterado

ZZD(xy) dxdy =

Z 4

−2dy

Z y+1

y2

2−3

xydx =

Z 4

−2

µx2

2y

¶¯y+1y2

2−3

dy

=1

2

Z 4

−2y

Ã(y + 1)2 −

µ1

2y2 − 3

¶2!dy =

=1

2

Z 4

−2

µ−y

5

4+ 4y3 + 2y2 − 8y

¶dy

=1

2

µ−y

6

24+ y4 + 2

y3

3− 4y2

¶¯4−2= 36.

Estudando a regularidade deD segundo o eixo dos yy, ou seja, fazendo uma inversão da

ordem de integração de dxdy para dydx, obtem-se uma divisão de D em dois sub-domínios

de integração separados pela recta vertical de equação x = −1.

x

y

y=(2x+6)1/2

y2=2x+6

x=5

-3 1

0

-1

0

D

y= -(2x+6)1/2

y=x-1

(-1,-2)

(5,4)

-1

x=-3 x=-1

Tem-se então o sub-domínio de integração D1 (regular no sentido do eixo dos yy)

limitado pelas rectas verticais de equação x = −3 e x = −1 e pelas curvas horizontais

y = g1 (x) = −√2x+ 6 (curva inferior) e y = g2 (x) =

√2x+ 6 (curva superior) e o sub-

domínio D2 (regular o sentido do eixo dos yy) limitado pelas rectas verticais x = −1 e

x = 5 e pelas curvas horizontais y = g3 (x) = x−1 (curva inferior) e y = g4 (x) =√2x+ 6

(curva superior).

12 Integrais Duplos

Então a ordem de integração é dydx e o integral iterado á calcular é dado porZZD(xy) dxdy =

ZZD1

(xy) dxdy +

ZZD2

(xy) dxdy

=

Z −1

−3dx

Z √2x+6

−√2x+6

xydy +

Z 5

−1dx

Z √2x+6

x−1xydy = 36.

Exemplo 9. Explicita o integral duploRR

D (xy) dxdy, sendo D definido como na

figura seguinte:

x

y

D

0

y=-1

y=1+x2

x=y2

x=1x=-1

y=2

Regularidade segundo o eixo dos yy =⇒ ordem de integração dydxZZD(xy) dxdy =

ZZD1

(xy) dxdy +

ZZD2

(xy) dxdy +

ZZD3

(xy) dxdy =

=

Z 0

−1dx

Z 1+x2

−1f (x, y) dy +

Z 1

0dx

Z 1+x2

√x

f (x, y) dy +

Z 1

0dx

Z −√x

−1f (x, y) dy.

Regularidade segundo o eixo dos xx =⇒ ordem de integração dxdyZZD(xy) dxdy =

ZZD1

(xy) dxdy +

ZZD2

(xy) dxdy +

ZZD3

(xy) dxdy =

=

Z 1

−1dy

Z y2

−1f (x, y) dx+

Z 2

1dy

Z −√y−1

−1f (x, y) dx+

Z 2

1dy

Z 1

√y−1

f (x, y) dx.

1.3 Mudança de variável: coordenadas polares

Quando se utilizam coordenadas rectangulares (x, y) o sistema de referência é dado por

um par de rectas perpendiculares (os bem conhecidos eixos dos xx e dos yy). Para definir

1.3. MUDANÇA DE VARIÁVEL: COORDENADAS POLARES 13

as coordenadas polares é utilizado um sistema de referência que consta de um ponto O

chamado pólo e de um raio que se inicia no ponto O designado por eixo polar.

θ

θ +π

O Eixo polar

Raio θ

Raio θ +π

Concretamente, um ponto P é dado pelas coordenadas polares (r, θ) se está posicionado

a uma distância r do pólo O tal que semi-recta OP determina um ângulo de amplitude θ

radianos (medido no sentido positivo) com o semi-eixo positivo dos xx.

Contrariamente ao que acontece com as coordenadas rectângulares, as coordenadas

polares não estão univocamente determinadas. De facto, geometricamente não existe

distinção entre os pontos cujos ângulos diferam por um múltiplo de 2π, isto é (r, θ) =

(r, θ + 2nπ) , n ∈ Z+. É, no entanto, usual considerar θ a amplitude do menor dos ângulos.

Tem-se então r ∈ R+0 e θ ∈ [0, 2π[.

A relação entre as coordenadas polares (r, θ) e as coordenadas rectangulares (x, y) é

dada por

½x = r cos θy = r sin θ

14 Integrais Duplos

visto que cos θ =x

re sin θ =

y

r(ver figura abaixo),

h

θ

(x ,y )

O x

yr

o que implica que ⎧⎨⎩ tan θ =y

x, ou seja θ = arctan

y

x

r2 = x2 + y2.

1.3.1 Exemplos

1. Determine as coordenadas rectangulares do ponto P dado pelas seguintes coordenadas

polares (r, θ) = (2, π/3) .

Atendendo as relações x = r cos θ e y = r sin θ obtem-se x = 2cos (π/3) = 212 = 1

e y = 2 sin (π/3) = 2√32 =

√3. Portanto o ponto P tem as coordenadas rectangulares¡

1,√3¢.

2. Encontre as coordenadas polares para o ponto P definido pelas seguintes coorde-

nadas rectangulares (x, y) =¡−2, 2

√3¢.

Trata-se de um ponto do segundo quadrante. Sabemos que r cos θ = −2 e r sin θ = 2√3.

Encontra-se o seginte valor para o raio r fazendo r2 = x2 + y2 = (r cos θ)2 + (r sin θ)2 =

(−2)2 +¡2√3¢2= 16. Logo r = 4. Considerando r = 4 obtem-se

x = r cos θ = 4 cos θ = −2 =⇒ cos θ = −12y = r sin θ = 4 sin θ = 2

√3 =⇒ sin θ =

√32

.

Tem-se então θ = arcsin√32 = arccos

¡−12¢= 2

3π. Então as coordenadas polares de P são¡4, 23π

¢.


3. Em coordenadas rectangulares (x, y) a circunferência de centro C (0, 0) e raio a tem

por equação x2 + y2 = a2. A mesma circunferência, em coordenadas polares (r, θ), tem

por equação r = a. O interior da circunferência é definido por 0 < r < a e o exterior por

r > a.

4. Em coordenadas rectangulares (x, y) a recta que passa pela origem e faz um ângulo

α com o eixo dos xx tem por equação y = mx onde m = tanα. Em coordenadas polares

(r, θ), a mesma recta, tem por equação θ = α.

A recta vertical x = a tem por equação polar r cos θ = a e a recta horizontal y = b tem

por equação polar r sin θ = b.Mais geral, uma recta de equação cartesiana Ax+By+C = 0

pode ser escrita em coordenadas polares (atendendo as relações x = r cos θ e r = sin θ)

como

Ar cos θ +B sin θ + C = r (A cos θ +B sin θ) + C = 0.

5. Encontre uma equação em coordenadas polares para a hipérbole de equação x2 −

y2 = a2.

Substituindo x = r cos θ e r = sin θ na equação da hipérbole obtem-se

x2 − y2 = r2 cos2 θ − r2 sin2 θ = r2¡cos2 θ − sin2 θ

¢=

= r2 cos (2θ) = a2

Portanto a equação r2 cos (2θ) = a2 representa, em coordenadas polares, a hipérbole dada.

Dado o integral duplo Z ZDf(x, y)dxdy,

sempre que o domínio de integração D é dado por uma região circular ou quando a função

integranda f(x, y) contém uma expressão de tipo x2+y2, pode ser útil o uso de coordenadas

polares para calcular o valor do integral duplo.

Relembramos que as coordenadas polares (r, θ) de um ponto P estão relacionadas com

as coordenadas rectangulares (x, y) por meio das seguintes equações

½x = r cos θy = r sin θ

e

(r2 = x2 + y2

θ = arctan³yx

´

16 Integrais Duplos

Apresenta-se em seguida a metodologia de cálculo dos integrais duplosZ ZDf (x, y) dxdy

utilizando as coordenadas polares (r, θ) .O primeiro passo consta em transformar o domínio

de integração D (dado em coordenadas cartesianas) no domínio equivalente, Ω, em coor-

denadas polares (r, θ) .

Admitindo que a função f (x, y) é contínua em D, a função composta

F (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)

também vai ser contínua em todos os pontos do seu domínio Ω. Considerando a mudança

de variáveis para coordenadas polares, tem-se então queZ ZDf (x, y) dxdy =

Z ZΩf (r cos θ, r sin θ) r drdθ =

Z ZΩF (r, θ) r drdθ

visto que r é o valor do determinante da matriz jacobiana∂ (x, y)

∂(r, θ)e r ≥ 0.

Se o conjunto Ω é definido por

Ω = (r, θ) | α ≤ θ ≤ β, g1 (θ) ≤ r ≤ g2 (θ)

para 0 ≤ β − α ≤ 2π, então a ordem de integração em coordenadas polares será drdθ (o

domínio Ω sendo regular segundo r) e então o integral duplo escreve-se comoZ ZDf (x, y) dxdy =

Z ZΩF (r, θ) r drdθ =

Z β

αdθ

Z g2(θ)

g1(θ)F (r, θ) r dr

y

xO E ixo po lar

D θ = α

θ = β

r = g 1(θ )

r = g 2(θ )


Este caso obtem-se quando o domínio D provém da intersecção de duas rectas que

passam pela origem e de declive α e β e mais outras duas curvas quisquer (veja figura

acima).

Se o conjunto Ω tem a forma

Ω = (r, θ) | a ≤ r ≤ b, h1 (r) ≤ θ ≤ h2 (r) ,

então a ordem de integração em coordenadas polares será dθdr (o domínio Ω sendo regular

segundo θ) e então o integral duplo escreve-se comoZ ZDf (x, y) dxdy =

Z ZΩF (r, θ) r drdθ =

Z b

adr

Z h2(r)

h1(r)F (r, θ) r dθ.

Este caso resulte quando o domínio D provém da intersecção de duas circunferências com

centro na origem e de raio a e b e mais outras duas curvas.

Caso em qual o domínio D é o resultado da intersecção de duas circunferências com

centro na origem e duas rectas que passam pela origem, então o domínio em coordenadas

polares, Ω, sera regular nos dois sentidos permitidos e a ordem de integração é aleatória.

Como caso particular pode afirmar-se que a área do domínio de integração D pode ser

calculada em termos de coordenadas polares utilizando a seguinte fórmula

Área de D =

Z β

αdθ

Z g2(θ)

g1(θ)r dr =

1

2

Z β

α

¡g22 (θ)− g21 (θ)

¢dθ

considerando f(x, y) = 1.

Exemplo 1. Utilize coordenadas polares para calcular o valor do integral duploZ ZDxy dxdy

onde D é definido por©x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0

ª.

Representação gráfica do domínio de integração D em coordenadas rectangulares:

Cálculo do novo domínio de integração Ω e sua representação gráfica:

0 ≤ x2 + y2 = r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = r2¡cos2 θ + sin2 θ

¢= r2 ≤ 1

de onde 0 < r2 ≤ 1 implica 0 < r ≤ 1 ou seja g1 (θ) = 0 e g2 (θ) = 1. (Ou ainda, atendendo

um dos exemplos da secção anterior, sabe-se que x2+ y2 = 1 tem por equação polar r = 1

e o seu interior é dado por 0 < r < 1).

18 Integrais Duplos

x

y

10

D

r

θ

0

r = 1

θ = π/2

Ω

Figura 1.1:

A equação x = 0 tem a forma polar r cos θ = 0 ⇒ cos θ = 0. A equação y = 0 tem a

forma polar r sin θ = 0 ⇒ sin θ = 0. A equação sin θ = 0 ⇒ θ = 0 representa o limite

inferior de θ e o limte superior de θ é dado pelo valor π/2 visto que cos θ = 0. Tem-se

então

Ω =n(r, θ) : 0 < θ <

π

2e 0 < r < 1

o.

O domínio Ω é regular nos dois sentidos (o seu gráfico é um rectângulo), logo são permitidas

as duas ordens de integração.

A função f (x, y) = xy em coordenadas polares vem

f (r cos θ, r sin θ) = F (r, θ) = (r cos θ) (r sin θ) = r2 sin θ cos θ.

Então, escolhendo a ordem de integração drdθ, tem-se queZ ZDxy dxdy =

Z ZΩr2 sin θ cos θ r drdθ =

Z π/2

0dθ

Z 1

0r3 sin θ cos θ dr =

=

Z π/2

0

µr4

4sin θ cos θ

¶¯10

dθ =

Z π/2

0

µ1

4sin θ cos θ

¶dθ =

=1

8

Z π/2

0(sin 2θ) dθ =

µ− 116cos 2θ

¶¯π/20

=1

8.

Exemplo 2. Calcule Z ZD

y

x+px2 + y2

dxdy,

sendo D limitado pelas rectas y = ±x e pelas circunfêrencias (x− 1)2+y2 = 1 e (x− 2)2+

y2 = 4.


y

x

r4

2

0 0 θ

r = 4 cos θ

r = 2 cos θ

Ω

D

1 2 4

y = x

y = - x

Figura 1.2:

O transformado de D (veja a sua representação gráfica) em coordenadas polares, o

conjunto Ω, é dado pelas relações

(x− 1)2 + y2 ≥ 1 ⇒ r ≥ 2 cos θ e (x− 2)2 + y2 ≤ 4 ⇒ r ≤ 4 cos θ

−x ≤ y ≤ x ⇒ −r cos θ ≤ r sin θ ≤ r cos θ

⇒ −1 ≤ tan θ ≤ 1 ⇒ −π4≤ θ ≤ π

4

ou seja

Ω =n(r, θ) : −π

4≤ θ ≤ π

4, 2 cos θ ≤ r ≤ 4 cos θ

o.

Nota-se que a ordem de integração permitida é drdθ (o domínio Ω é regular no sentido do

eixo dos rr) e o integral duplo escreve-se em coordenadas polares como sendoZZD

y

x+px2 + y2

dxdy =

ZZΩ

sin θ

cos θ + 1r drdθ =

Z π/4

−π/4dθ

Z 4 cos θ

2 cos θ

sin θ

cos θ + 1r dr

=

Z π/4

−π/4

sin θ

cos θ + 1

µr2

2

¶¯4 cos θ2 cos θ

dθ = 6

Z π/4

−π/4

sin θ

cos θ + 1cos2 θ dθ

= 0

(o valor do itegral é nulo porque a função integranda é impar e os limites de integração

simétricos, logo A = A1 −A1 = 0).

20 Integrais Duplos

1.4 Integrais duplos - Exercícios propostos

1. Determine as expressões gerais das primitivas para as funções:

(a) f(x, y) = x3 + 6y2 − 5xy2 − 10x2y3

(b) f(x, y) =¡x2 + y

¢4x

(c) f(x, y) =y

x+ y2

(d) f(x, y) =10y

x2 − 9

(e) f(x, y) =x3 + y2

x2 + y2

(f) f(x, y) =1q

4− (x+ y)2

(g) f(x, y) =10

3x+ y2

(h) f(x, y) = 20¡x2 − y2

¢−1(i) f(x, y) = lnx+ y

(j) f(x, y) = ln³2x+

y

3

´(k) f(x, y) =

10

x2 − y2

(l) f(x, y) =x

(x2 + y)4

(m) f(x, y) =2y

x2 − 16(n) f(x, y) =

p4x− y2

(o) f(x, y) = arctan (x+ y)

(p) f(x, y) = sin2 (3x+ y)

2. Mostre que Z 2

1

ÃZ 2x2

x(x3 + 2y)dy

!dx =

559

15.

1.4. INTEGRAIS DUPLOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21

3. Calcule o valor do integral duploZ ZD(x3 + 2y)dxdy

sendo D a região do plano limitada pelas curvas x = 1, x = 2, y = 2x2 e y −

x = 0 e para cada uma das possíveis ordens de integração,R ¡R

f(x, y)dx¢dy eR ¡R

f(x, y)dy¢dx.

4. DetermineR R

D f(x, y)dxdy considerando f(x, y) = xy2 e

D =©(x, y) ∈ R2 : x 6 0, y > 0, x2 + y2 6 1

ªAverígue se pode retirar algumas conclusões acerca do valor e sinal do mesmo integral

para outros domínios de integração como sejam

D1 =©(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y > 0, x2 + y2 6 1

ªD2 =

©(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, x2 + y2 6 1

ªD3 =

©(x, y) ∈ R2 : x ≥ y, y ≥ −x, x2 + y2 6 1

ª5. Mostre que Z Z

Dxy2dxdy =

212

3

sendo D o paralelogramo limitado pelas rectas x = 3, x = 5, 3x + 2y − 4 = 0 e

2y + 3x = 1.

6. Determine o valor do integral duploZ ZDey

2dxdy

sendo D =n(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ x

2≤ y ≤ 3

o.

7. Calcule e nos casos possíveis inverte a ordem de integração para os seguintes integrais

duplos

(a)

1Z0

1Z√x

sin

µy3 + 1

2

¶dydx

22 Integrais Duplos

(b)

0Z−1

√y+1Z

−√y+1

x2dxdy

(c)

1Z0

1Zx2

Ãx3p

x4 + y2

!dydx

(d)

2Z1

log xZ0

e−xdxdy

(e)

1Z0

1Zy

ey/xdxdy

(f)

1Z0

1Zx

x2ey4dxdy

8. Considere o integral duplo Z 1

0dx

Z 1−x

−√1−x2

f(x, y) dy.

Estabeleça a outra ordem de integração e calcule o valor do integral para f(x, y) =√2x.

9. Inverta a ordem de integração no seguinte integral duploZ 1

0dy

Z √y

0f(x, y)dx+

Z 2

1dy

Z 2−y

0f(x, y)dx.

10. Considere o integral duplo Z 1

0dy

Z − ln y

−1+√yf(x, y)dx.

Inverta a ordem de integração e mostre que tem o valor10

63para o caso de f(x, y) = y2.

11. Determine o valor do integral duploZ 14

0dy

Z 12+ 1−4y

4

12− 1−4y

4

f(x, y) dx

para f(x, y) = eyx+x.

1.4. INTEGRAIS DUPLOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 23

12. Verifique que o valor do integral duploZ ∞

1dx

Z 1x4

0xex

2√ydy = 1.

13. Mostre, usando cada uma das possíveis ordens de integração, que 2/5 é o valor do

integral duplo Z ZDxy2dxdy

para D =©(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x ∧ xy ≤ 1

ª.

14. Considere o integral duploZ 0

−1dy

Z 2

1+√−y

f(x, y) dx+

Z 1

0dy

Z 2

2−√1−y2

f(x, y) dx.

(a) Inverta a ordem de integração.

(b) Calcule o valor do integral para f(x, y) = y.

15. Verifique que Z ZD

¡2x3y + xy2

¢dxdy = 4

para D definido pelas condições y = x2 + 1, y = x2, xy = 3 e xy = 1.

16. Passar às coordenadas polares (r, θ) , no integral duploR R

D f (x, y) dxdy e encontrar

os limites de integração onde

(a) D =©x2 + y2 ≤ 4

ª(b) D =

©x2 + y2 ≤ 9x

ª(c) D =

©x2 + y2 = 4x, x2 + y2 = 8x, y = x, y = 2x

ª(d) D =

©1 ≤ x2 + y2 ≤ 9

ª17. Utilizando dois metodos diferentes calcule as áreas dos domínios de integração que

se indicam

(a) D = x = 0, y = 0, x+ y = 1

24 Integrais Duplos

(b) D = y = x, y = 5x, x = 1

(c) D = y = √x, y = 2√x, x = 4

18. Passando aos coordenadas polares calcule os seguintes integrais duplos

(a)

1Z−1

√1−y2Z0

px2 + y2dxdy

(b)

2Z0

√4−x2Z0

px2 + y2dydx

(c)

1Z0

√1−x2Z0

ex2+y2dydx

(d)

1Z1/2

√1−x2Z0

¡x2 + y2

¢3/2dydx

(e)

1/2Z0

√1−x2Z0

xypx2 + y2dydx

(f)

1Z−1

√1−y2Z

−√1−y2

e−(x2+y2)dxdy

(g)

2Z0

√4−y2Z

−√4−y2

x2y2dxdy

19. Utilizando as coordenadas polares, calcule os seguintes integrais duplos:

(a)R R

D

¡3x+ 4y2

¢dxdy, onde D =

©x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0

ª(b)

R RD xdxdy, onde D =

©x2 + y2 ≤ 25

ª(c)

R RD ydxdy, onde D é a região do plano real limitada por x2 + y2 = 9, y = 0

e y = x.

1.5. CÁLCULO DE VOLUMES 25

(d)R R

D xydxdy, onde D é a região do 1o quadrante do plano real limitada por

x2 + y2 = 4. e x2 + y2 = 25.

(e)R R

D e−x2−y2dxdy, onde D é a região do plano real limitada por x =

p4− y2

e x = 0.

20. Calcule o integral duplo Z ZD

1

(1 + x2 + y2)3/2dxdy

onde D é o triangulo de vertices (0, 0) , (1, 0) e (1, 1) .

21. Calcule o integral duplo Z ZD

px2 + y2dxdy

onde D é o triangulo de vertices (0, 0) , (1, 0) e¡1,√3¢.

22. Calcule Z ZD

ln¡1 + x2 + y2

¢px2 + y2

dxdy

sabendo que o domínio de integração D é

D =©1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y ≤ 2x

ª.

23. CalculeR R

D

¡x2 + y2

¢dxdy sendo D limitado pelas curvas de equação y = x, y = x2

e y = 2x2.

1.5 Cálculo de Volumes

• Os integrais duplos podem ser utilizados no cálculo:

— de áreas, sendo

A (D) =

Z ZD1 dxdy

26 Integrais Duplos

— de volumes, sendo

V (S) =

Z ZD(q (x, y)− p (x, y)) dxdy

o volume do sólido S compreendido entre os gráficos das funções q (x, y) (limita

o sólido superiormente) e p (x, y) (limita o sólido inferiormente), no domínio

D ⊂ R2.

D

R

y

z

0

z = q (x, y)

z = p (x, y)

x

x = b

x = a

y = h (x)

y = g (x)

Exemplo 1. Calcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies z+x2+

y2 = b2, z = 0, |x| = a e |y| = a (0 < a < b).

A superfície z+x2+y2 = b2 corresponde a um parabolóide que se desenvolve ao longo

do z-eixo com vértice (0, 0, b2).

A condição |x| = a caracteriza os planos paralelos ao yz-plano de equações x = a e

x = −a.

A condição |y| = a caracteriza os planos paralelos ao xz-plano de equações y = a e

y = −a.

A condição z = 0 define o xy-plano.

Uma maior secção plana D desta região do espaço R é o quadrado no xy-plano de

vértices (a, a), (−a, a), (a,−a) e (−a,−a), isto é,

D =©(x, y) ∈ R2 : −a ≤ x ≤ a ∧−a ≤ y ≤ a

ª


R =©(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ b2 − x2 − y2

ª.

O volume pedido pode ser calculado por:

V =

ZZD

¡b2 − x2 − y2

¢dxdy

=

Z a

−a

µZ a

−a

¡b2 − x2 − y2

¢dy

¶dx =

Z a

−ab2y − x2y − y3

3

¯y=ay=−a dx

=

Z a

−a2b2a− 2ax2 − 2a

3

3dx = 2b2ax− 2ax

3

3− 2a

3

3x¯x=ax=−a

= 4b2a2 − 8a4

3.

Exemplo 2. Calcule o volume da região do espaço situada no 1o octante limitado

pelas superfícies x = 1, z = x+ y e x =√4− y.

As superfícies x = 1 e z = x+ y são planos.

A superfície x =√4− y é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eixo

dado que temos a equivalência

x =p4− y ⇔ x2 = 4− y ∧ x ≥ 0.

Uma maior secção plana D desta região do espaço R é, no xy-plano,isto é, temos

D =©(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 4− x2

ªR =

©(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ x+ y

ª.


V =

ZZD(x+ y)dxdy ==

Z 1

0

ÃZ 4−x2

0(x+ y) dy

!dx

=

Z 1

0

∙xy +

y2

2

¸y=4−x2y=0

dx =

Z 1

0x¡4− x2

¢+

¡4− x2

¢22

dx

=

Z 1

04x− x3 +

16 + x4 − 8x22

dx

=1

2

Z 1

0

¡8x− 2x3 + 16 + x4 − 8x2

¢dx

=1

2

∙4x2 − x4

2+ 16x+

x5

5− 8x

3

3

¸x=1x=0

dx

=1

2

∙4− 1

2+ 16 +

1

5− 83

¸.

28 Integrais Duplos

Exemplo 3. Calcule o volume da região do espaço limitada pelas superfíciesx2

a2+y2

b2=

1, z + y = 2a e z = 0 (0 < b < 2a).

A superfíciex2

a2+y2

b2= 1 corresponde a um cilindro elíptico que se desenvolve ao longo

do z-eixo.

A superfície z + y = 2a é um plano paralelo ao x-eixo.

A superfície z = 0 é o xy-plano.

Uma maior secção plana D desta região do espaço R é a elipse no xy-plano de equaçãox2

a2+

y2

b2= 1. Temos

D =

½(x, y) ∈ R2 | x

2

a2+

y2

b2= 1

¾R =

©(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ 2a− y

ª.


V =

ZZD(2a− y)dxdy

e, aplicando a mudança de variáveis

⎧⎨⎩x

a= X

y

b= Y

a que corresponde o jacobiano

¯∂ (x, y)

∂(X,Y )

¯=

ab, temos

V =

ZZD0(2a− bY )ab dXdY.

Aplicando coordenadas polares, temos

V =

Z 2π

0

µZ 1

0(2a− br sin θ) abr dr

¶dθ = ab

Z 2π

0

∙2a

r2

2− b

r3

3sin θ

¸r=1r=0

dθ

= ab

Z 2π

0

µa− b

1

3sin θ

¶dθ = ab

∙aθ + b

1

3cos θ

¸θ=2πθ=0

= ab

µa2π + b

1

3− b

1

3

¶= 2πa2b.

Exemplo 4. Calcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies z =

x2 + y2, y = x2, xy = 1, x = 2, y = 0 e z = 0.

A superfície z = x2 + y2 corresponde a um parabolóide que se desenvolve ao longo do

z-eixo de vértice (0, 0, 0) com todos os pontos de cota positiva.


A superfície y = x2 é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eixo.

A superfície xy = 1 corresponde a um cilindro hiperbólico que se desenvolve ao longo

do z-eixo.

A superfície x = 2 é um plano paralelo ao yz-plano.

As superfícies y = 0 e z = 0 são, respectivamente, o xz-plano e o xy-plano.

Uma maior secção plana D desta região do espaço R é, no xy-plano, isto é, temos

D =©(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2

ª∪½(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 1

x

¾R =

©(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ x2 + y2

ª.


V =

ZZD(x2 + y2)dxdy

=

Z 1

0

ÃZ x2

0(x2 + y2)dy

!dx+

Z 2

1

ÃZ 1x

0(x2 + y2)dy

!dx

=

Z 1

0

∙x2y +

y3

3

¸y=x2y=0

dx+

Z 2

1

∙x2y +

y3

3

¸y= 1x

y=0

dx

=

Z 1

0

µx4 +

x6

3

¶dx+

Z 2

1

µx+

1

3x3

¶dx =

=

∙x5

5+

x7

21

¸x=1x=0

+

∙x2

2− 1

6x2

¸x=2x=1

=1573

840.

Exemplo 5. Calcule o volume limitado pelas superfícies x2 + y2 = 4, x+ y + z = 2 e

z = 0.

A superfície x2+ y2 = 4 corresponde a um cilindro circular que se desenvolve ao longo

do z-eixo.

A superfície x+ y + z = 2 é um plano que intersecta os eixos coordenados em x = 2,

y = 2 e z = 2.

A superfície z = 0 é o xy-plano.

O volume pedido pode ser calculado por

V =

ZZD(2− x− y)dxdy.

30 Integrais Duplos

Pode aplicar-se coordenadas polares a uma parte do domínio D:

V =

Z 2π

π2

µZ 2

0(2− r cos θ − r sin θ)r dr

¶dθ +

Z 2

0

µZ 2−x

0(2− x− y)dy

¶dx

=

Z 2π

π2

∙r2 − r3

3cos θ − r3

3sin θ

¸r=2r=0

dθ +

Z 2

0

∙2y − xy − y2

2

¸y=2−xy=0

dx

=

Z 2π

π2

(4− 83cos θ − 8

3sin θ)dθ +

Z 2

0(4− 2x− 2x+ x2 − 4− 4x+ x2

2)dx

=

Z 2π

π2

(4− 83cos θ − 8

3sin θ)dθ +

Z 2

0(4− 6x+ 3

2x2)dx

=

∙4θ − 8

3sin θ +

8

3cos θ

¸θ=2πθ=π

2

+

∙4x− 3x2 + 1

2x3¸x=2x=0

= 8π +8

3− 2π + 8

3+ 8− 12 + 4 = 6π + 16

3.

1.6 Cálculo de volumes - Exercícios Propostos

1. Calcule o volume limitado pelas superfícies x2 + y2 + z − 8 = 0 e x2 + 3y2 − z = 0.

2. Calcule o volume limitado pelas superfícies x2 + y = 4, x2 − y + 2 = 0, z = 2 e

z = −1.

3. Calcule o volume limitado pelas superfícies x2+y2−1 = 0, y = −1 e x2−y2+z2 = 0.

4. Calcule o volume da região do espaço definida pelas condições x2 + y2 + z2 ≤ 4 e

z ≤p3x2 + 3y2.

5. Utilizando os integrais duplos calcule os volumes dos sólidos limitados pelas seguintes

superfícies

(a)½

x2 = 4y2y − x− 4 = 0

(b)

⎧⎨⎩x2 + y2 = 1z = 0x+ z = 1

1.6. CÁLCULO DE VOLUMES - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 31

(c)

⎧⎨⎩z = 1− y2

2x+ 3y + z + 10 = 0x2 + y2 = z

(d)½

z = 4− x2 − y2

z = 2 + y2

(e)½

z = 2− x2 − y2

z = x2 + y2

(f)

⎧⎨⎩x = 4y = 4z = x2 + y2 + 1

(g)½

x+ y = 1z = x2 + y2

(h)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y2 = xy2 = 4xz = 0x+ z = 6

(i)

⎧⎪⎨⎪⎩z = 02y2 = xx

4+

y

2+

z

4= 1

(j)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z = 1z = 12− 3x− 4yx2

4+ y2 = 1

(k)

⎧⎨⎩x = 3z = 0z = x2 − y2

(l)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z = 0y = 1y = x2

z = x2 + y2

(m)

⎧⎨⎩z = 0z = x+ y + 10x2 + y2 = 4

(n)

⎧⎨⎩2x− z = 04x− z = 0x2 + y2 = 2x

6. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pela superfície de equação z =

x+ y e limitado inferiormente do triângulo de vertices (0, 0, 0) , (0, 1, 0) , (1, 0, 0) .

32 Integrais Duplos

7. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = y+b, inferiormente

pelo plano xy e lateral pelo cilindro circular x2 + y2 = b2, sendo b um número real.

8. Encontra o volume do elipsóido de equação

x2

4+

y2

4+

z2

3= 1.

9. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = 2x e limitado

inferiormente pelo círculo (x− 1)2 + y2 ≤ 1.

10. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pelo parabolóide z = x2 + y2 e

limitado inferiormente pela região D que está dentro da curva x2 + y2 = 2ax.

11. Encontra o volume do sólido situado dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 16 e fora do

cilindro x2 + y2 = 4.

12. Calcule o volume do sólido limitado pelo parabolóido z = 10−3x2−3y2 e pelo plano

z = 4.

13. Calcule o volume do sólido limitado pelos parabolóidos z = 3x2+3y2 e z = 4−x2−y2.

14. Calcule o volume do sólido situado no interior do cilindro x2+ y2 = 4 e do elipsóido

4x2 + 4y2 + z2 = 64.

Capítulo 2

Integrais de Linha

2.1 Exercícios propostos

1. Calcule o valor do integral de linhaZC− y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy

ao longo da curva plana C definida pela equação x2+y2 = a2 e percorrida no sentido

positivo.

2. Verifique que é igual a zero o valor do integral curvilíneo do campo de vectores

−→F (x, y) = x−→e1 + xy−→e2

ao longo de qualquer circunferência de centro (0, 0), mas que−→F não é um campo

gradiente ou conservativo (ou com potencial).

3. Calcule o valor do integral de linhaZCxzdx+ xdy − yzdz

sendo C a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro

O (0, 0, 0) que une o ponto A (0, 0, 1) ao ponto B (1, 0, 0) seguido de um segmento de

recta que une B (1, 0, 0) ao ponto D (0, 1, 0) e de outro segmento de recta que une

D (0, 1, 0) ao ponto E (0, 1, 1) .

33

34 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA

4. Dada a curva no espaço definida parametricamente por

−→r ≡

⎧⎨⎩x = xy = x2

z = 0

compreendida entre os pontos A (−1, 1, 0) e B (2, 4, 0) , e sendo f(x, y, z) = xyz +

x2 − y3, mostre que ZCf(x, y, z)dx = −108

7.

5. Sendo C o arco de circunferência x2 + y2 = 1 compreendido entre A (0, 1, 0) e

B(1, 0, 0), verifique a igualdade ZC

¡x2y

¢dy = −1

4.

6. Mostre que 4ab2/3 é o valor do integral de linhaZCy2dx+ x2dy

sendo C a porção da elipse entre os vértices (a, 0) e (−a, 0) passando pelo vértice

(0, b) , com orientação positiva (a, b > 0).

7. Mostre que πa4/2 é o valor do trabalho do campo de vectores

−→F (x, y) =

¡−x2y, xy2

¢ao longo da circunferência x2 + y2 = a2, percorrida no sentido positivo.

8. Utilize os processos indicados em cada uma das alíneas para calcular o trabalho de

campo de vectores−→F (x, y) =

³2¡x2 + y2

¢, (x+ y)2

´ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1),

B(2, 2) e C(1, 3) percorrido no sentido positivo.

(a) directamente pelas parametrizações;

(b) usando o teorema de Green.

2.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 35

9. Determine, usando integrais de linha, a área do círculo.

10. Prove, utilizando integrais de linha, que πab é a área delimitada pela elipse de

equaçãox2

a2+

y2

b2= 1.

11. Utilize o teorema de Green para mostrar que o trabalho realizado pelo campo de

vectores−→F (x, y) = (y + 3x)−→e1 + (2y − x)−→e2 ,

quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da

elipse de equação 4x2 + y2 = 4, é de −4π.

12. Calcule o valor do integral de linhaIC(2x− y + 4) dx+ (5x+ 3y − 6) dy

sendo C cada uma das seguintes curvas planas:

(a) o contorno do triângulo de vértices O(0, 0), A(3, 0) e B(3, 2);

(b) a circunferência de centro (0, 0) e raio 4.

13. Mostre que é 3πa2/8 o valor da área da hipocicloide de equação x23 + y

23 = a

23 cuja

parametrização é

−→r ≡

⎧⎨⎩x = a cos3 θ

y = a sin3 θ,para 0 ≤ θ < 2π.

14. Verifique que o campo de vectores

−→F (x, y) = (y + 2x exp y)−→e1 +

¡x− 2y + x2 exp y

¢−→e2é conservativo ou gradiente (ou com potencial) e determine a respectiva função po-

tencial associada. Calcule ainda o valor do trabalho do campo de vectores−→F no

deslocamento de uma partícula entre os pontos (1, 1) e (2, 4) da parábola de equação

y = x2.


15. Considere o integral de linha ZCx2ydx+

x3

3dy.

(a) Calcule o valor do integral de linha sendo C a curva plana definida por y = x2

com 0 ≤ x ≤ 1;

(b) Prove que existe uma função f(x, y) tal que

df = x2ydx+x3

3dy;

(c) Determine a função f tal que

−−−→gradf =

µx2y,

x3

3

¶;

(d) Calcule o valor do integral de linha anterior usando a alínea b.

16. Calcule o valor do integral de linhaZC

¡2xy − y4 + 3

¢dx+

¡x2 − 4xy3

¢dy

ao longo da curva plana C definida parametricamente por

−→r (θ) = (sin θ, arcsin θ)

entre A(1, 0) e B(0, 1).

17. Calcule o comprimento da curva plana definida por x2 + y2 = a2.

18. Mostre que πa (2b+ a) é o valor do integral de linhaZCzdx+ xdy + ydz

ao longo da espira de hélice de equações paramétricas x(t) = a cos t, y(t) = a sin t,

z(t) = bt, para t ∈ [0, 2π] .

19. Mostre que Z (P2)

(P1)(z + y) dx+ (x+ z) dy + (x+ y) dz = 280

ao longo da curva C no espaço parametrizada por −→r (t) =¡t2, t3, t− 2

¢sabendo que

P1 (1, 1,−1) e P2 (9, 27, 1) .

2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 37

20. Mostre a igualdade IABCA

xdx+ zdy + ydz = 0

sendo A (1, 0, 0) , B(0, 1, 0) e C(0, 0, 1).

21. Use a fórmula

R (P1)(P0)

f(x, y, z)d−→r =R t1t0f (x(t), y(t), z(t)) · k(x0(t), y0(t), z0(t))k dt

para provar que

(a) com −→r (t) =¡t, t2, t3

¢, P0(1, 1, 1), P1(2, 4, 8), e f(x, y, z) = xyz2 se temZ (P1)

(P0)f(x, y, z)d−→r =

Z 2

1t9p1 + 4t2 + 9t4dt;

(b) com −→r (θ) = (4 cos θ, 4 sin θ, 2θ) , P0(4, 0, 0), P1(4, 0, 4π), e f(x, y, z) = z2 se temZ (P1)

(P0)f(x, y, z)d−→r = 64

√5

3π3.

22. Calcule o trabalho do campo de vectores

−→F (x, y, z) = (xy2, 1, z)

ao longo da curva C no espaço definida por

(a) y = 2 ∧ z = −2t+ 5 entre os pontos (1, 2, 3) e (2, 2, 1);

(b)x2

16+

y2

9= 1 ∧ x ≤ 0 ∧ z = 0.

2.2 Integrais de linha - Propostas de resolução

Exercise 1 Mostre que πa4/2 é o valor do trabalho do campo de vectores

−→F (x, y) =

¡−x2y, xy2

¢ao longo da circunferência x2 + y2 = a2, percorrida no sentido positivo.


O trabalho pedido pode ser calculado por

W =

IC

−→F |d−→r =

IC

¡−x2y, xy2

¢|d−→r

=

Z 2π

0

¡−a2 cos2 θa sin θ, a cos θa2 sin2 θ

¢|(−a sin θ, a cos θ) dθ

considerando a curva C parametrizada por

−→r (θ) ≡½

x(θ) = a cos θy(θ) = a sin θ

para θ ∈ [0, 2π[.

Notemos que a expressão geral do vector tangente éd−→rdθ

= (−a sin θ, a cos θ). Temos então

W =

Z 2π

0

¡a4 cos2 θ sin2 θ + a4 cos2 θ sin2 θ

¢dθ = 2a4

Z 2π

0cos2 θ sin2 θ dθ

= 2a4Z 2π

0

1 + cos(2θ)

2.1− cos(2θ)

2dθ =

2a4

4

Z 2π

0(1− cos2 (2θ))dθ

=a4

2

Z 2π

0(1− 1 + cos(4θ)

2)dθ =

a4

2

∙θ − θ

2+sin(4θ)

8

¸θ=2πθ=0

=a4π

2.

Exercise 2 Calcule o trabalho do campo de vectores

−→F (x, y) =

³2¡x2 + y2

¢, (x+ y)2

´ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2)

e C(1, 3) percorrido no sentido positivo.

A curva C é seccionalmente regular (represente a curva) sendo união de três arcos

regulares C1, C2 e C3 que são, respectivamente, os segmentos de recta [AB], [BC] e [CA].


W =

IC

−→F |d−→r =

IC1

−→F |d−→r +

IC2

−→F |d−→r +

IC3

−→F |d−→r .

Uma parametrização do arco C1, contido na recta y = x, é

−→r (t) ≡½

x(t) = ty(t) = t

para t ∈ [1, 2]

a que corresponde a expressão geral do vector tangented−→rdt

= (1, 1). Uma parametrização

do arco C2, contido na recta y = −x+ 4, é

−→r (t) ≡½

x(t) = 4− ty(t) = t

para t ∈ [2, 3].



= (−1, 1). Uma parametriza-

ção do arco C3, contido na recta x = 1, é

−→r (t) ≡½

x(t) = 1y(t) = −t para t ∈ [−3,−2]


= (0,−1). Temos então

W =

IC1

(2¡x2 + y2

¢, (x+ y)2) |d−→r +

IC2

(2¡x2 + y2

¢, (x+ y)2) |d−→r

+

IC3

(2¡x2 + y2

¢, (x+ y)2) |d−→r

=

Z 2

1(4t2, 4t2) |(1, 1) +

Z 3

2(2((4− t)2 + t2), 16) |(−1, 1)

+

Z −2

−3(2(1 + t2), (1− t)2) |(0,−1)

=

Z 2

18t2dt+

Z 3

2(−16 + 16t− t2)dt+

Z −2

−3(−1 + 2t− t2)dt

= 8

∙t3

3

¸21

+

∙−16t+ 8t2 − t3

3

¸32

+

∙−t+ t2 − t3

3

¸−2−3= −4

3.

Exercise 3 Calcule o trabalho do campo de vectores

−→F (x, y, z) = (xy2, 1, z)

ao longo da curva C no espaço definida por (a) y = 2 ∧ z = −2t + 5 entre os pontos

(1, 2, 3) e (2, 2, 1); (b)x2

16+

y2

9= 1 ∧ x ≤ 0 ∧ z = 0.

(a) O trabalho pedido pode ser calculado por

W =

IC

−→F |d−→r =

IC(xy2, 1, z) |d−→r

Uma parametrização de C é

−→r (t) ≡

⎧⎨⎩x(t) = ty(t) = 2z(t) = −2t+ 5

para t ∈ [1, 2]


= (1, 0,−2). Temos então

W =

IC(xy2, 1, z) |d−→r =

Z 2

1(4t, 1,−2t+ 5) |(1, 0,−2) =

Z 2

1(4t+ 4t− 10)dt

=£4t2 − 10t

¤21= 16− 20− 4 + 10 = 2.


(b) O trabalho pedido pode ser calculado por

W =

IC

−→F |d−→r =

IC(xy2, 1, z) |d−→r


−→r (θ) ≡

⎧⎨⎩x(t) = 4 cos θy(t) = 3 sin θz(t) = 0

para θ ∈ [π2,3π

2]

a que corresponde a expressão geral do vector tangented−→rdθ

= (−4 sin θ, 3 cos θ, 0). Temos

então

W =

IC(xy2, 1, z) |d−→r =

Z 2

1(36 cos θ sin2 θ, 1, 0) |(−4 sin θ, 3 cos θ, 0)

=

Z 3π2

π2

(−144 cos θ sin3 θ + 3 cos θ)dθ =∙−144sin

4 θ

4+ 3 sin θ

¸ 3π2

π2

= −6.

Exercise 4 Mostre que 4ab2/3 é o valor do integral de linhaZCy2dx+ x2dy

sendo C a porção da elipse entre os vértices (a, 0) e (−a, 0) passando pelo vértice (0, b) ,

para a, b > 0, com orientação positiva.


−→r (θ) ≡½

x(θ) = a cos θy(θ) = b sin θ

para θ ∈ [0, π]


= (−a sin θ, b cos θ). Temos

entãoZCy2dx+ x2dy =

Z π

0b2 sin2 θ (−a sin θ) dθ + a2 cos2 θ (b cos θ) dθ

= .

Z π

0(−ab2 sin3 θ + a2b cos3 θ)dθ

=

Z π

0(−ab2 sin θ

¡1− cos2 θ

¢+ a2b cos θ(1− sin2 θ))dθ

=

Z π

0(−ab2 sin θ + ab2 sin θ cos2 θ + a2b cos θ − a2b cos θ sin2 θ)dθ

=

∙ab2 cos θ − ab2

cos3 θ

3+ a2b sin θ − a2b

sin3 θ

3

¸π0

= −43ab2.


Exercise 5 Calcule o valor do integral de linha

ZCxzdx+ xdy − yzdz

sendo C a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro O (0, 0, 0)

que une o ponto A (0, 0, 1) ao ponto B (1, 0, 0) , seguido de um segmento de recta que une

B (1, 0, 0) ao ponto D (0, 1, 0) e de outro segmento de recta que une D (0, 1, 0) ao ponto

E (0, 1, 1) .

A curva C é seccionalmente regular (represente a curva) sendo união de três arcos

regulares C1, C2 e C3 que são, respectivamente, os arcos [AB], [BD] e [DE]. O trabalho

pedido pode ser calculado por

W =

IC

−→F |d−→r =

IC1

−→F |d−→r +

IC2

−→F |d−→r +

IC3

−→F |d−→r .

Uma parametrização do arco C1, contido na circunferência de equação x2 + y2 = 1, é

−→r (θ) ≡

⎧⎨⎩x(θ) = sin θy(θ) = 0z(θ) = cos θ

para θ ∈ [0, π2]


= (cos θ, 0,− sin θ). Uma

parametrização do arco C2, contido na recta y = −x+ 1 ∧ z = 0, é

−→r (t) ≡

⎧⎨⎩x(t) = 1− ty(t) = tz(t) = 0

para t ∈ [0, 1].


= (−1, 1, 0). Uma parame-

trização do arco C3, contido na resta x = 0 ∧ y = 1, é

−→r (t) ≡

⎧⎨⎩x(t) = 0y(t) = 1z(t) = t

para t ∈ [0, 1]



= (0, 0, 1). Temos então

W =

IC1

(xz, x,−yz) |d−→r +IC2

(xz, x,−yz) |d−→r +IC3

(xz, x,−yz) |d−→r

=

Z π2

0(sin θ cos θ, sin θ, 0) |(cos θ, 0,− sin θ) dθ

+

Z 1

0(0, 1− t, 0) |(−1, 1, 0) dt+

Z 1

0(0, 0,−t) |(0, 0, 1) dt

=

Z π2

0sin θ cos2 θdθ +

Z 1

0(1− t)dt+

Z 1

0−t dt

=

∙−cos

3 θ

3

¸π2

0

+

∙t− t2

2

¸10

−∙t2

2

¸10

=1

3.

Exercise 6 Mostre que πa (2b+ a) é o valor do integral de linhaZCzdx+ xdy + ydz

ao longo da espira de hélice de equações paramétricas x(t) = a cos t, y(t) = a sin t, z(t) =

bt, para t ∈ [0, 2π] .


−→r (t) ≡

⎧⎨⎩x(t) = a cos ty(t) = a sin tz(t) = bt

para t ∈ [0, 2π]


= (−a sin t, a cos t, b). Temos

então ZCzdx+ xdy + ydz =

Z 2π

0bt (−a sin t) dt+ a cos t (a cos t) dt+ a sin t · bdt

=

Z 2π

0−abt sin tdt+ a2 cos2 tdt+ ab sin tdt

= [abt cos t]2π0 − ab

Z 2π

0cos tdt+ a2

Z 2π

0

1 + cos (2t)

2dt

+ab

Z 2π

0sin tdt

= [abt cos t]2π0 − ab [sin t]2π0 + a2∙t

2+1

4sin(2t)

¸2π0

+ab [− cos t]2π0 = aπ (2b+ a) .


Exercise 7 Verifique que

−→F (x, y) = (y + 2x exp y)−→e1 +


¢−→e2é um campo conservativo ou gradiente (ou com potencial) e determine a respectiva função

potencial associada. Calcule ainda o valor do trabalho do campo de vectores−→F no deslo-

camento de uma partícula entre os pontos (1, 1) e (2, 4) da parábola de equação y = x2.

Trata-se de verificar se existe uma função f(x, y) tal que

∂f

dxdx+

∂f

dydy = (y + 2x exp y) dx+


¢dy.

Para que tal aconteça, a função terá de verificar o teorema de Schwarz, ou seja, terá de se

verificar∂ (y + 2x exp y)

∂y=

∂¡x− 2y + x2 exp y

¢∂x

.

De facto ambas as derivadas têm por expressão 1 + 2x exp y. Podemos assim concluir que

o campo de vectores−→F é um campo conservativo. Quanto à determinação da função

potencial f atenda-se a que ela verifica as igualdades

∂f

dx= y + 2x exp y

∂f

dy= x− 2y + x2 exp y.

Como tal,

f(x, y) =

Z(y + 2x exp y) dx = yx+ x2 exp y + C(y).

Dada a igualdade∂f

dy= x− 2y + x2 exp y, sabemos ainda que

∂¡yx+ x2 exp y + C(y)

¢dy

= x− 2y + x2 exp y

⇔ x+ x2 exp y + C 0(y) = x− 2y + x2 exp y

⇒ C 0(y) = 2y ⇒ C(y) = y2 + C

Podemos então concluir que

f(x, y) = yx+ x2 exp y + y2.



W =

IC

−→F |d−→r =

IC(y + 2x exp y, x− 2y + x2 exp y) |(dx, dy)

=

IC(y + 2x exp y) dx+


¢dy

=

ICdf = [f(x, y)]

(2,4)(1,1) = f(2, 4)− f(1, 1)

= 6 + 4e4 + 16− (1 + e+ 1) = 20 + 4e4 − e.

2.3 Com o Teorema de Green - Exercícios propostos

Exercise 8 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho de campo de vectores

−→F (x, y) = (2

¡x2 + y2

¢, (x+ y)2)

ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2)

e C(1, 3), percorrido no sentido positivo.

Exercise 9 Calcule o valor do integral de linhaIC

¡1 + 10xy + y2

¢dx+

¡6xy + 5x2

¢dy

ao longo do contorno de um quadrado de lado a orientado positivamente.


¡2xy3 − y2 cosx

¢dx+

¡1− 2y sinx+ 3x2y2

¢dy

ao longo do contorno do paralelogramo de vértices (0, 0), (3, 0), (5, 2) e (2, 2).

Exercise 11 Use o teorema de Green para calcular a área da elipse de equação

x2

a2+

y2

b2= 1.


−→F (x, y) = (y + 3x)−→e1 + (2y − x)−→e2

quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse

C de equação 4x2 + y2 = 4.

2.3. COM O TEOREMA DE GREEN - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 45

2.3.1 Propostas de resolução


−→F (x, y) = (2

¡x2 + y2

¢, (x+ y)2)

ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2)

e C(1, 3) percorrido no sentido positivo.


W =

IC

−→F |d−→r =

IC(2¡x2 + y2

¢, (x+ y)2) |(dx, dy)

=

IC2¡x2 + y2

¢dx+ (x+ y)2 dy

T.Green=

ZZD

Ã∂ (x+ y)2

∂x−

∂2¡x2 + y2

¢∂y

!dxdy

=

ZZD(2(x+ y)− 4y) dxdy =

ZZD(2x− 2y) dxdy

sendo D o triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2) e C(1, 3) (faça o esboço da curva) e dado

que C é uma curva fechada seccionalmente regular com orientação positiva. Temos então

W = 2

ZZD(x− y) dxdy = 2

Z 2

1

µZ 4−x

x(x− y) dy

¶dx

= 2

Z 2

1

∙xy − y2

2

¸y=4−xy=x

dx = 2

Z 2

1

Ãx (4− x)− (4− x)2

2− x2 +

x2

2

!dx

= 2

Z 2

1

¡8x− 2x2 − 8

¢dx = 4

∙2x2 − x3

3− 4x

¸21

= −43.


¡1 + 10xy + y2

¢dx+

¡6xy + 5x2

¢dy

ao longo do contorno de um quadrado de lado a orientado positivamente.

Consideremos o contorno do quadrado de vértices (0, 0), (a, 0), (a, a) e (0, a). Trata-se

de uma curva fechada seccionalmente regular orientada positivamente. Pelo teorema de


Green, temos IC

¡1 + 10xy + y2

¢dx+

¡6xy + 5x2

¢dy

=

ZZD

Ã∂¡6xy + 5x2

¢∂x

−∂¡1 + 10xy + y2

¢∂y

!dxdy

=

ZZD(6y + 10x− 10x− 2y) dxdy =

ZZD4y dxdy

sendo D o quadrado de vértices (0, 0), (a, 0), (a, a) e (0, a). Temos entãoIC

¡1 + 10xy + y2

¢dx+

¡6xy + 5x2

¢dy

=

Z a

0

µZ a

04y dy

¶dx = 4

Z a

0

∙y2

2

¸y=ay=0

dx = 4

Z a

0

a2

2dx = 4

a2

2[x]a0 = 2a

3.


¡2xy3 − y2 cosx

¢dx+

¡1− 2y sinx+ 3x2y2

¢dy

ao longo do contorno do paralelogramo de vértices (0, 0), (3, 0), (5, 2) e (2, 2).

Trata-se de uma curva fechada seccionalmente regular com orientação positiva. Pelo

teorema de Green, temosIC

¡2xy3 − y2 cosx

¢dx+

¡1− 2y sinx+ 3x2y2

¢dy

=

ZZD

Ã∂¡1− 2y sinx+ 3x2y2

¢∂x

−∂¡2xy3 − y2 cosx

¢∂y

!dxdy

=

ZZD

¡−2y cosx+ 6xy2 − 6xy2 + 2y cosx

¢dxdy =

ZZD0 dxdy = 0

sendo D o paralelogramo de vértices (0, 0), (3, 0), (5, 2) e (2, 2).

Exercise 16 Use o teorema de Green para calcular a área da elipse de equação

x2

a2+

y2

b2= 1.

Considerando a elipse com orientação positiva, podemos aplicar a fórmula

área =1

2

ICxdy − ydx

2.3. COM O TEOREMA DE GREEN - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 47

obtida por aplicação do teorema de Green. Temos então

área =1

2

ICxdy − ydx =

1

2

Z 2π

0a cos t(b cos t)dt− b sin t(−a sin t)dt

=1

2

Z 2π

0ab dt =

1

2ab [t]2π0 = πab

considerando a elipse parametrizada por

−→r (t) ≡½

x(t) = a cos ty(t) = b sin t

para t ∈ [0, 2π].


−→F (x, y) = (y + 3x)−→e1 + (2y − x)−→e2

quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse

C de equação 4x2 + y2 = 4.


W =

IC

−→F |d−→r =

IC(y + 3x, 2y − x) |(dx, dy)

=

IC(y + 3x) dx+ (2y − x) dy

T.Green=

ZZD

µ∂ (2y − x)

∂x− ∂ (y + 3x)

∂y

¶dxdy

=

ZZD(−1− 1) dxdy = −2

ZZDdxdy

sendo D a elipse de equação 4x2 + y2 = 4 unida com o seu interior e atendendo a que

esta é uma curva fechada regular. Atendendo à fórmula conhecida para a área da elipse,

e dado que nesta o semi-eixo maior mede 4 e o semi-eixo menor mede 2, temos

W = −2ZZ

Ddxdy = −2 · área de D = −2 · π · 2 · 1 = −4π.

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