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Troncos de Cone e de Pirâmide
1. (Uerj 2015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de
31 cm s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base
mede 3 cm.
Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no
recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica
aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido.
Admitindo 3,π a equação que relaciona a altura h, em
centímetros, e o tempo t , em segundos, é representada por:
a) 3h 4 t
b) 3h 2 t
c) h 2 t
d) h 4 t 2. (Unesp 2014) A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da taça é, aproximadamente,
de um cilindro de altura e raio medindo R e de um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. A forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone de altura 3R e raios das bases medindo R e 2r.
Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios
das bases B e b é 2 21h (B B b b )
3π e dado que 65 8,
determine o raio aproximado da base do copo, em função de R,
para que a capacidade da taça seja 2
3 da capacidade do copo.
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3. (Uel 2014) Uma empresa que produz embalagens plásticas está elaborando um recipiente
de formato cônico com uma determinada capacidade, conforme o modelo a seguir. Sabendo que o raio desse recipiente mede 36 cm e que sua altura é de 48 cm, a que distância do vértice deve ser feita uma marca na superfície lateral do recipiente para indicar a metade de sua capacidade? Despreze a espessura do material do qual é feito o recipiente. Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão.
4. (Ita 2014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles
ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista 0, 25 cm do vértice A e 0, 75 cm da
base BC. Se o lado AB mede 2 1
cm,2
π
π
o volume desse sólido, em cm
3, é igual a
a) 9
.16
b) 13
.96
c) 7
.24
d) 9
.24
e) 11
.96
5. (Mackenzie 2014) Para construir um funil a partir de um disco de alumيnio de centro O e raio
R 16 cm, retira-se do disco um setor circular de ângulo central 225 .θ
Em seguida, remove-se um outro setor circular, de raio r 1cm. Para finalizar, soldam-se as bordas AC
e BD. O processo de construç.oxiaba sarugif san odatneserper لtse linuf od oم
A medida da altura do funil é
a) 2 39 cm
b) 15 39
cm8
c) 55
cm8
d) 2 55 cm
e) 15 55
cm8
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6. (Espm 2014) Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus clientes com a forma
exata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 20% das originais. Se em cada garrafinha brinde cabem 7 ml de bebida, podemos concluir que a capacidade da garrafa original é de: a) 875 ml b) 938 ml c) 742 ml d) 693 ml e) 567 ml 7. (Uem 2014) A superfície de uma piscina tem o formato de um círculo de raio 4 metros. A profundidade abaixo de cada ponto na superfície da piscina é descrita pela função
x 3p(x)
3
3
se 0 x 3
se 3 x 4
em que x é a distância, em metros, do ponto na superfície da piscina até a borda da piscina. Assinale o que for correto. 01) A profundidade da piscina em um ponto que está a 2 metros da borda é de 2,5 metros. 02) Uma pessoa que não deseje ir a uma parte da piscina que tenha profundidade acima de
1,5 metro pode afastar-se, no máximo, 1,5 metro da borda. 04) Se dois pontos estão a distâncias distintas da borda da piscina, então as profundidades
abaixo deles também são distintas. 08) O sólido que descreve a piscina é a união de dois cilindros com um tronco de cone.
16) O volume de água que cabe dentro da piscina é 324 m .π 8. (Ufg 2013) Uma fábrica de embalagens resolveu produzir um copo no formato de tronco de
cone circular reto, com diâmetros superior e inferior de 6 cm e 4 cm, respectivamente. A parte central do fundo do copo é côncava, em formato de semiesfera, com 1,5 cm de raio, como indica a figura a seguir.
Considerando-se o exposto, desenvolva a expressão que fornece o volume do tronco de cone em função da altura e dos raios das bases e calcule a altura aproximada desse copo para que ele tenha capacidade de 157 mL.
Dados: 3,14,π 2
coneR H
V ,3
π
3
esfera4 r
V .3
π
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9. (Esc. Naval 2013) A Marinha do Brasil comprou um reservatório para armazenar
combustível com o formato de um tronco de cone conforme figura abaixo. Qual é a capacidade em litros desse reservatório?
a) 24010
3π
b) 51910
2π
c) 49
103
π
d) 44910
3π
e) 31910
3π
10. (Espcex (Aman) 2013) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e
altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será
a) 3 7
h2
b) 3 7
h3
c) 3 12
h2
d) 3 23
h2
e) 3 23
h3
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11. (Ufg 2013) Em um período de festas, pretende-se decorar um poste de uma praça com fios
de luzes pisca-piscas. A estrutura da decoração possui o formato de tronco de cone circular reto com 2,4 m de altura e diâmetros de 2 m na base e 0,6 m no topo. Os fios de luzes serão esticados, do aro superior ao inferior, ao longo de geratrizes do tronco de cone e, para distribuí-los de maneira uniforme, marcam-se na circunferência da base pontos igualmente espaçados, de modo que o comprimento do arco entre dois pontos consecutivos seja no máximo 10 cm. De acordo com os dados apresentados, determine o número mínimo de fios de luzes necessário para cobrir a superfície lateral do tronco de cone e a soma total de seus comprimentos.
Dado: 3,14.π
12. (Fgv 2013) Um cilindro circular reto de base contida em um plano α foi seccionado por um
plano ,β formando 30° com ,α gerando um tronco de cilindro. Sabe-se que BD e CE são,
respectivamente, eixo maior da elipse de centro P contida em ,β e raio da circunferência de
centro Q contida em .α Os pontos A, B, P e D são colineares e estão em ,β e os pontos A, C,
Q e E são colineares e estão em .α
Sendo BC = 1 m e CQ 3m, o menor caminho pela superfície lateral do tronco ligando os
pontos C e D mede, em metros,
a) 23 1 3π
b) 3 3π
c) 23 1 π
d) 29 3π
e) 29 π 13. (Enem 2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:
Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são a) um tronco de cone e um cilindro. b) um cone e um cilindro. c) um tronco de pirâmide e um cilindro. d) dois troncos de cone. e) dois cilindros.
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14. (Fgv 2013) No poliedro ABCDEFGH, as arestas AE , BF , CG e DH são perpendiculares
ao plano que contém a face retangular ABCD, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que
AE 1, AB DH 4 e 2AD 2BF CG 6.
a) Calcule a distância entre os pontos A e G.
b) Calcule o volume do poliedro ABCDEFGH.
15. (Udesc 2013) Se a geratriz, a altura e o raio menor de um tronco de cone reto são,
respectivamente, 13 cm, 3 cm e 3 cm, então o volume do cone original é:
a) 398 cmπ
b) 349 cmπ
c) 313,5 cmπ
d) 362,5 cmπ
e) 376 cmπ
16. (Ufmg 2012) Um funil é formado por um tronco de cone e um cilindro circular retos, como
representado na figura abaixo
Sabe-se que g = 8 cm, R = 5 cm, r = 1 cm e h 4 3 cm .
Considerando essas informações, a) Calcule o volume do tronco de cone, ou seja, do corpo do
funil. b) Calcule o volume total do funil. c) Suponha que o funil, inicialmente vazio, começa a receber
água a 127 ml/s. Sabendo que a vazão do funil é de 42 ml/s, calcule quantos segundos são necessários para que o funil fique cheio.
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17. (Uem 2012) Um determinado funil de plástico tem a forma de um tronco de cone cujas
circunferências dos furos que o delimitam possuem raios 2 cm e 0,5 cm, e a altura do funil é de 6 cm. Considerando essas informações, e desprezando a espessura do funil, assinale o que for correto. 01) O volume (capacidade) do funil é maior do que 30 cm
3.
02) A área lateral do funil é superior a 60 cm2.
04) Se o funil estiver em posição vertical, com o furo menor voltado para baixo e tampado, para encher o funil até metade da altura com água, serão necessários menos de 10 cm
3 de
água. 08) Se o funil foi obtido de um cone, removendo-se sua ponta, a altura do cone original era de
10cm. 16) A razão entre as áreas respectivas do círculo maior e menor que formam os furos do funil é
igual a 8. 18. (Ufg 2012) Pretende-se instalar, em uma via de tráfego intenso, um redutor de velocidade formado por 14 blocos idênticos em forma de tronco de pirâmide. Cada tronco de pirâmide é obtido a partir de uma pirâmide de base retangular após seccioná-la por um plano paralelo à
base e distante do vértice 2 3 da altura da pirâmide. Ao término da instalação, a face superior
(base menor) de cada tronco de pirâmide será pintada com tinta amarela. Cada litro de tinta
custa R$10,00, sendo suficiente para pintar 210 m .
Sabendo-se que a área da base maior de cada tronco de pirâmide utilizado na construção do
redutor é de 2630 cm , calcule o custo da tinta amarela utilizada.
19. (Enem PPL 2012) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:
- copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4cm e 1,8cm e altura
igual a 3,6cm;
- copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6cm e 2,4cm e altura
igual a 8,0cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura
igual a 6cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas
tanto para beber café como para beber água. Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
2 2troncodecone
hV (R r Rr)
3
π
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y
2 seja, no mínimo, igual a
a) 2,664 cm. b) 7,412 cm. c) 12,160 cm. d) 14,824 cm. e) 19,840cm.
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20. (Udesc 2012) Um recipiente de uso culinário com 16 cm de altura possui o formato de um
tronco de cone reto (conforme ilustra a figura) e está com água até a metade da sua altura.
Sabendo que a geratriz desse recipiente é igual a 20 cm e que o diâmetro de sua base é igual a 4 cm, classifique as proposições abaixo e assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa. ( ) O volume de água no recipiente corresponde à quarta parte da quantidade necessária
para enchê-lo totalmente. ( ) Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de 28 cm
3 por segundo, então o
tempo necessário para esvaziá-lo será superior a 20 segundos. ( ) Para aumentar 4 cm do nível de água no recipiente, é necessário acrescentar mais 364 π
cm3 de água.
A alternativa correta, de cima para baixo, é: a) V – F – F b) F – V – F c) F – V – V d) F – F – V e) V – V – F 21. (Udesc 2012) Uma caixa de um perfume tem o formato de um tronco de pirâmide
quadrangular regular fechado. Para embrulhá-la, Pedro tirou as seguintes medidas: aresta
lateral 5 cm e arestas das bases 8 cm e 2 cm. A quantidade total de papel para embrulhar
esta caixa, supondo que não haja desperdício e nem sobreposição de material, foi:
a) 288 cm
b) 2168 cm
c) 280 cm
d) 268 cm
e) 2148 cm
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22. (Ufu 2012) Considere um balde para colocação de gelo no formato de um tronco de cone
circular reto apresentando as medidas indicadas na figura a seguir.
Considerando que esse balde esteja com 25% de sua capacidade ocupada com gelo derretido
(água) e, consequentemente, com um volume de água igual a 0,097π litros, qual é o valor (em
cm) do raio da base maior R? a) 8,5 b) 9 c) 8 d) 7,5
23. (Ita 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz 2 3
3 é interceptado por um plano
paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha
o mesmo volume de um cubo de aresta
1 3
243
π
cm, é necessário que a distância do plano à
base do cone original seja, em cm, igual a
a) 1
4
b) 1
3
c) 1
2
d) 2
3
e) 3
4
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Gabarito: Resposta da questão 1: [A]
Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da base do cone semelhante ao cone de altura
24cm e altura 3cm. Logo, temos
r 3 hr .
h 24 8
O volume desse cone é dado por
2 331 h h
V h cm .3 8 64
π
Por outro lado, como a vazão da torneira é igual a 31cm s, segue-se que
3V 1 t tcm ,
com t em segundos.
Em consequência, encontramos
33h
t h 4 t cm.64
Resposta da questão 2:
Utilizando a fórmula dada temos:
Capacidade da Taça: 3 2 2
T4 R R r R r
V3
π π π
Capacidade do copo: 3 2 2cV R 2 R r 4 R rπ π π
Fazendo VT = 2/3(VC), temos:
2 2 37R r 3 R R 2 R 0
Resolvendo a equação na incógnita r, temos:
2 43 R 65 R 5 Rr
14 R 14
ou
2 43 R 65 R 11 Rr (não convém)
14 R 14
Portanto, o raio do copo será: 2 5 R 5 R
.14 7
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Resposta da questão 3:
Seja G a geratriz da embalagem. Como 36 3 12 e 48 4 12, segue-se que
G 5 12 60cm. Portanto, se g é o resultado pedido, então
3
3
3
g 1 60g
60 2 2
g 30 4 cm.
Resposta da questão 4:
[C]
No triângulo AMC, temos:
22 2
2 1 1 1 1x x e h
2 2 2
π
π π π
Volume do cilindro:
23
C3 1 9
V cm4 16
ππ
Volume de cada tronco de cone: 2 3
3T
1 1 1 1 3 3 13V cm
3 2 4 4 4 4 96π
π
Portanto, o volume pedido será dado por:
T3
C9 13 14 7
2 cm16 96 48 24
V V – 2 V
Resposta da questão 5:
[E] Tem-se que
3AOB 360 360 225 135 rad.
4
πθ
Logo,
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3AB AOB AO 16 12 cm
4
ππ
e
3 3CD AOB OC 1 cm.
4 4
π π
Daí, se R é o raio maior do funil e r é o raio menor do funil, então
2 R 12 R 6cmπ π
e
3 32 r r cm.
4 8
ππ
Portanto, sendo h a altura do funil e AC OA OC 15cm a sua geratriz, pelo Teorema de
Pitágoras, vem
22 2 23 2025
h 15 6 h 2258 64
22375h
64
15 55h cm.
8
Resposta da questão 6:
[A] Seja c a capacidade da garrafa original, em mililitros.
Como os sólidos são semelhantes, tem-se que
3c 1
c 875mL.7 0,2
Resposta da questão 7:
02 + 08 + 16 = 26.
[01] Falsa, pois 2 3) / 3 5 / 3 2,p ( .(2) 5
[02] Verdadeira, pois p(1,5) (1, 3) / .5 3 1,5m
[04] Falsa, pois f(3) f( m4) 3 .
[08] Verdadeira, de acordo com o texto a figura abaixo representa tal piscina.
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[16] Verdadeira, pois
Volume do cilindro maior: 2 31V 4 1 16 mπ π
Volume do tronco de cone: 2 32
1V 1 4 4 1 1 7 m
3π π
Volume do cone menor: 2 33V 1 1 mπ π
Volume total: 23
1 3V V V V 16 7 24 mπ π π π
Resposta da questão 8:
Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases R e r é dado por
2 2h(R Rr r ),
3
segue que o volume do copo é dado pela expressão
2 2 3e
h 2(R Rr r ) r ,
3 3
com er sendo o raio da esfera.
Portanto, considerando a aproximação fornecida, a altura pedida é tal que
2 2 33,14 h 2 3,14(3 3 2 2 ) (1,5) 157
3 3
3,14(19h 6,75) 157
3
156,75h
19
h 8,25cm.
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Resposta da questão 9:
[D]
x 3ADE ~ ABC x 15
x 10 5Δ Δ
O volume V pedido (em m
3) é a diferença entre os volumes dos cones de raios 5m e 3m,
respectivamente.
2 3 3 41 1 490 49V 5 25 3 15 m 10 L.
3 3 3 3
ππ π π
Resposta da questão 10: [A] Como a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone,
segue que a razão entre o volume de água e a capacidade V do recipiente é tal que
2
2
3H 0
H 0
v 1 Vv .
V 2 8
Desse modo, o volume de óleo é dado por
2H OV 7V
V v V .8 8
Portanto, quando toda a água e nenhum óleo escoar, a altura x atingida pelo óleo é tal que
3
3
3
7V
x x 78
V h h 8
7x h.
2
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Resposta da questão 11:
Comprimento da base maior:
C 2 3,14 1 6,28m 628cm
Número de fios:
628 :10 62,8 63 fios
Tamanho de cada fio:
2 2 2x 2,4 0,7 x 2,5m
Logo, a soma dos comprimentos será dada por:
63 2,5 157,5m
Resposta da questão 12:
[D] Planificando a metade da superfície lateral do tronco, obtemos a figura abaixo.
O resultado procurado é a hipotenusa do triângulo CDE.
O cateto EC é o semiperímetro da base do tronco. Logo, EC 3 m.π
Dado que CQ é raio da circunferência de centro Q, temos EQ 3 m.
Sabendo que BC 1m, do triângulo retângulo ABC, vem
BCtg30 AC 3 m.
AC
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Da semelhança dos triângulos ADE e ABC, obtemos
DE AE DE 3 3
1 3BC AC
DE 3 m.
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE, encontramos
2 2 2 2 2 2
2
CD DE EC CD 3 ( 3 )
CD 9 3 m.
π
π
Resposta da questão 13:
[D] É fácil ver que o sólido da figura é constituído por dois troncos de cone. Resposta da questão 14:
a) Como ABCD é retângulo, AB 4 e AD 3, é imediato que AC 5. Logo, aplicando o
Teorema de Pitágoras no triângulo ACG, obtemos
2 2 2 2 2 2AG AC CG AG 5 6
AG 61.
b) Decompondo o poliedro ABCDEFGH em dois troncos de prisma triangular, ADCGEH e
ABCGEF, temos
[ABCDEFGH] [ADCGEH] [ABCGEF]
AD CD AE DH CG AB BC AE BF CG
2 3 2 3
3 4 1 4 6 1 3 6
2 3 3
2 (11 10)
42 u.v.
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Resposta da questão 15:
[D]
Sabendo que g 13 cm, h 3cm e r 3cm, e sendo R o raio maior do tronco de cone,
pelo Teorema de Pitágoras, vem 2 2 2 2 2 2
2
g h (R r) ( 13) 3 (R 3)
(R 3) 4
R 5cm.
Seja H a altura do cone original. Logo,
H R H 5
H h r H 3 3
15H cm
2
e, portanto, segue-se que o volume do cone original é igual a
2 31 155 62,5 cm .
3 2π π
Resposta da questão 16:
a)
2 2 2(8) (4) H H 4 3 cm
2 2Tronco
HV R r Rr
3π π π
2 2Tronco
4 3V (5) (1) (5)(1)
3π π π
3Tronco
124 3V cm
3
π
b) Funil tronco cilindroV V V
2 2 2Funil
4 3V (5) (1) (5)(1) (1) 4 3
3π π π π
3Funil
124 3 136 3V 4 3 cm
3 3
π ππ
c) Se o funil recebe 127 ml/s de água e a sua vazão é de 42 ml/s, então: 127 - 42 = 85 ml/s
ficam em acumulo por segundo. Para encher o funil, temos:
Tempo para encher o funil Funil
136 3V 3 2,9s
85 85
π
.
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Resposta da questão 17:
01 + 04 = 05. Dados Iniciais
(01) Verdadeiro.
2 2
2 2
3 3
hV r R rR
3
6V (0,5) (2) (0,5)(2)
3
V 10,5 cm 30cm
π π π
π π π
π
(02) Falso.
l t
l
l
2 2l
S r R a
S (0,5) (2) ( 38,25)
S 2,5 ( 38,25)
S 48,6cm 60cm
π π
π π
π
(04) Verdadeiro.
0,5 2x 1,25 cm
2
Portanto,
2 2
2 2
3
hV r R rR
3
3V (0,5) (1,25) (0,5)(1,25)
3
V 1 (0,25) (1,5625) (0,5)(1,25)
V 2,4375 10cm
π π π
π π π
π π π
π
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(08) Falso.
x x 6x 2cm
0,5 2
Logo, a altura do cone original era de x 6 2 6 8cm .
(16) Falso.
2 2M M
2 2m m
S SR (2)16
S Sr (0,5)
π π
π π
Resposta da questão 18:
Seja A a área da base menor de cada tronco de pirâmide.
Sabendo que a área base maior de cada tronco de pirâmide mede 2630cm , e que a distância
do vértice da pirâmide à base menor do tronco é 2
H,3
com H sendo a altura da pirâmide,
temos
2
2
2H
A 3 A 280cm .630 H
Portanto, como 21m de área pintada custa R$1,00, o resultado é dado por
2801 14 R$ 0,39.
10000
Resposta da questão 19: [C] Supondo que o raio da base das canecas deve ser tal que a capacidade de uma caneca seja maior do que ou igual à capacidade de um copo grande, temos
2 2 2 2 2
2
2 2
8 4y 6 (2,4 3,6 2,4 3,6) y 1,2 (4 9 6)
3 9
y 0,64 19
y 12,16cm .
ππ
Observação: Se o raio das canecas estiver expresso em centímetros, então 2y será expresso
em centímetros quadrados.
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Resposta da questão 20:
[C] Considere a figura.
Sabendo que AD 16cm e que o recipiente está com água até a metade da sua altura, segue
que AE ED 8cm. Além disso, como AC 20cm e EB é base média do triângulo ACD,
vem AB BC 10cm. Desse modo, BE 6cm e CD 12cm.
Sabendo ainda que AO DF 2cm, temos que o volume do recipiente é dado por
2 2 2 2
3
AD 16(BG BG AO AO ) (14 14 2 2 )
3 3
1216 cm .
π π
π
Por outro lado, o volume de água no recipiente é
2 2 2 2
3
AE 8(BG BG AO AO ) (8 8 2 2 )
3 3
224 cm .
π π
π
Assim, a quantidade necessária de água para encher totalmente o recipiente é
31216 224 992 cm .π π π
Portanto,
224 7 1.
992 31 4
π
π
Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de 328cm por segundo, então o tempo
necessário para esvaziá-lo será
224 224 324 20 s.
28 28
π
Para aumentar 4cm o nível de água no recipiente, é necessário acrescentar mais
2 2 34(11 11 8 8 ) 364 cm
3
ππ
de água.
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Resposta da questão 21:
[E] Considere a figura.
Sendo M o ponto médio de AD, e M’ o ponto médio de BC, segue que A'B 4 1 3 cm.
Logo, como AB 5cm, vem AA' 4cm.
Portanto, a quantidade total de papel utilizada para embrulhar a caixa, supondo que não haja desperdício e nem sobreposição de material, é igual a
2 2 2 2
2
AD BC 2 8AD BC 4 AA ' 2 8 4 4
2 2
148cm .
Resposta da questão 22: [C]
Como 0,097π litros correspondem a 1
25%4
da capacidade do balde, temos que a
capacidade do balde é igual a 34 0,097 L 0,388 L 388 cm .π π π
Portanto, sabendo que a altura do balde mede 12cm e o raio da base menor mede 3cm, vem
2 2 212
388 (R 3R 3 ) R 3R 88 03
R 8cm.
ππ
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Resposta da questão 23:
[D] Seja v o volume do cone determinado pelo plano.
Sabendo que o volume desse cone é igual ao volume do cubo de aresta 1 3
cm,243
π
obtemos
31 3
3v cm .243 243
π π
Considere a figura abaixo.
Como AO 1cm e 2 3
AB cm,3
do Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo AOB segue
que
32 22 3 4 1
OB 1 1 .3 3 3
O volume do cone maior é dado por
2 31 1 1V OB AO 1 cm .
3 3 3 9
ππ π
Daí, como os cones são semelhantes, vem
3 3v AO' AO' 1243 AO' cm.V AO 1 3
9
π
π
Portanto, o resultado pedido é
1 2O'O AO AO' 1 cm.
3 3