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TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA
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ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS
GRAUS RADIANOS
MULTIPLIQUE POR180º
TROQUE POR 180º
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12º
Exercícios sobre Transformações
pág. 07
∙
GRAUS
∙
180º
180º
RADIANOS
180º=
15
Resp. : d
![Page 4: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/4.jpg)
Exercícios sobre Transformações
pág. 07
GRAUS
∙
180º
180º
RADIANOS
Resp. : b
2
5
2∙180º
52∙36º 72º
3
4
3∙180º
43∙45º 135º
8
180º
822,5º
1 rad 57º
rad 180º
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Além de GRAUS e RADIANOS há
também os GRADOS
0º180º
90º
270º
360º
GRAUS
0
/2
3 /2
2
RADIANOS
300gr
0200gr
100gr
400gr
GRADOS
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Ângulo formado pelos ponteiros de um
relógio
12
6
9 3
1
2
4
5
11
10
8
7
30º30º
30º30º
30º30º
30º30º
30º30º
30º30º
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Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
1
12
6
9 3
2
4
5
11
10
8
7
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
3:00 4:00
30º
30º
30º
90º
30º
30º
30º
30º
120º
depois de 60
minutos o
ponteiro menor
se moveu 30º
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Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
3:00 3:30
depois de 30
minutos o
ponteiro menor
se moveu 15º
15º
15º
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Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
3:00 3:20
10º
depois de 20
minutos o
ponteiro menor
se moveu 10º
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Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
3:00 3:10
5º
depois de 10
minutos o
ponteiro menor
se moveu 5º
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Logo, o valor numérico do ângulo (em graus) de
deslocamento do ponteiro menor é sempre a metade do
valor numérico do tempo decorrido (em minutos)
tempo
(minutos)
ângulo
(graus)
60 30º
40 20º
30 15º
20 10º
15 7,5º
10 5º
2 1º
1 0,5º
![Page 12: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/12.jpg)
Exercícios sobre ângulos entre ponteiros
pág. 07
Resp. : b
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
30º
30º
30º
30º
30º
30º + 30º + 30º + 30º + 30º
150º
![Page 13: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/13.jpg)
Exercícios sobre ângulos entre ponteiros
pág. 08
Resp. : c
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
22º30’
30º
30º
30º + 30º + 22º30’
82º30’
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Exercícios sobre ângulos entre ponteiros
pág. 08
Resp. : a
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
20º
30º + 30º + 30º + 30º + 30º + 20º
170º
30º
30º
30º
30º30º
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+1-1
-1
+1
CICLO TRIGONOMÉTRICO
180º
90º
270º
0º
150º
135º
120º
30º
225º
60º
330º
300º
210º
240º
45º
315º
360º 2
/2
3 /2
/32 /3
4 /3 5 /3
/65 /6
7 /6 11 /6
/43 /4
5 /4 7 /4
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-300º
ÂNGULOS PODEM SER POSITIVOS OU NEGATIVOS
0º
60º +
--60º
180º
90º
270º
-90º
-270º
-180º
-150º 210º
300º
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ÂRCOS CÔNGRUOS
50º
0º180º
90º
270º
-310º
410º 770º 1130º ...
-670º -1030º -1390º ...
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ÂRCOS CÔNGRUOS
0º180º
90º
270º
50º
-310º
410º 770º 1130º ...
-670º -1030º -1390º ...
50º
410º
770º
1130º
-310º
-670º
-1030º
-1390º
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
( 0 )
( -1 )
( -2 )
( -3 )
( -4 )
( 3 )
( 2 )
( 1 )
1ª det. positiva
2ª det. positiva
3ª det. positiva
4ª det. positiva
4ª det. negativa
3ª det. negativa
2ª det. negativa
1ª det. negativa
x = 50º + 360 ∙ k
1ª det. positiva
número
inteiro
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COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA
DE UM ÂNGULO, EM GRAUS.
EXEMPLO:
ENCONTRAR A
MENOR
DETERMINAÇÃO
POSITIVA DO ÂNGULO
DE 1850º
1850º 360º
51800º
50º
VOLTAS
COMPLETAS1ª DETERMINAÇÃO
POSITIVA
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COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA
DE UM ÂNGULO, EM RADIANOS.
EXEMPLO: ENCONTRAR A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA DO
ÂNGULO DE 28
3
28
3=
6
3+
6
3+
6
3+
6
3+
4
3
VOLTAS
COMPLETAS
1ª DETERMINAÇÃO
POSITIVA
![Page 21: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/21.jpg)
SENO E CO-SENO DE
UM ÂNGULO
NO CICLO
TRIGONOMÉTRICO
![Page 22: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/22.jpg)
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
sen 0º = 0
![Page 23: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/23.jpg)
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
![Page 25: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/25.jpg)
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
![Page 26: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/26.jpg)
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
sen 90º = 1
positivo
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
segundo
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
segundo
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
segundo
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
segundo
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
sen 180º = 0
positivopositivo
![Page 33: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/33.jpg)
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo
terceiro
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo
terceiro
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo
terceiro
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo
terceiro
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
sen 270º = -1
positivopositivo
negativo
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo negativo
quarto
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo negativo
quarto
quadrante
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo negativo
quarto
quadrante
![Page 41: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/41.jpg)
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo negativo
quarto
quadrante
![Page 42: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/42.jpg)
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
sen 360º = 0
360º
positivopositivo
negativo negativo
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SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
360º
quarto
quadrante
terceiro
quadrante
segundo
quadrante
primeiro
quadrante
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CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
cos 0º = 1
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CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
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CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
![Page 47: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/47.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
![Page 48: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/48.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
![Page 49: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/49.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
cos 90º = 0
positivo
![Page 50: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/50.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
segundo
quadrante
negativo
![Page 51: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/51.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
segundo
quadrante
negativo positivo
![Page 52: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/52.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
segundo
quadrante
negativo
![Page 53: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/53.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
segundo
quadrante
negativo
![Page 54: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/54.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
cos 180º = -1
positivonegativo
![Page 55: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/55.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivonegativo
negativo
terceiro
quadrante
![Page 56: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/56.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivonegativo
negativo
terceiro
quadrante
![Page 57: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/57.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
negativo positivo
negativo
terceiro
quadrante
![Page 58: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/58.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivonegativo
negativo
terceiro
quadrante
![Page 59: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/59.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
cos 270º = 0
positivo
negativo
negativo
![Page 60: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/60.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
negativo
negativo
positivo
quarto
quadrante
![Page 61: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/61.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
negativo
negativo
positivo
quarto
quadrante
![Page 62: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/62.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
negativo
negativo
positivo
quarto
quadrante
![Page 63: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/63.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
negativo
negativo
positivo
quarto
quadrante
![Page 64: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/64.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
cos 360º = 1
360º
positivo
negativo
negativo
positivo
![Page 65: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/65.jpg)
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
360º
quarto
quadrante
terceiro
quadrante
segundo
quadrante
primeiro
quadrante
![Page 66: TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª det. positiva 2ª det. positiva ... Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062504/5a73962f7f8b9a4b538b5c0d/html5/thumbnails/66.jpg)
Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 21
Resp. : c
450º
1
360º
360º
90º
sen 450º = sen 90º
sen 450º = 1
900º
2
360º
720º
180º
cos 900º = cos 180º
cos 900º = -1
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-1
+1
Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 21
Resp. : c
-1 sen x 1
-1 12m - 1
3
-3 32m - 1
+ 1 - 3 3 + 12m
- 2 42m
- 2 4m
2 2
- 1 2m
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Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 21
Resp. : c
sinal do
seno
sinal do
co-seno
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a
Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 22
Resp. : e
0º
90º
270º
180º
b