UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO-APRENDIZAGEM I
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. Triângulo Retângulo:
Seja o triângulo ABC, com ângulo reto em B̂ , chamamos de hipotenusa o lado oposto
ao ângulo reto. Neste, caso, hipotenusa = a. Os lados b e c são chamados catetos.
Considerando como referência o ângulo α :
Cateto oposto = b e cateto adjacente = c.
Considerando como referência o ângulo β:
Cateto oposto = c e cateto adjacente = b.
2. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Dados dois triângulos retângulos semelhantes, onde um dos ângulos α = 60º:
a) b)
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LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO-APRENDIZAGEM ICalcule em cada um deles as razões:
ajacentecat
opostocat
hipotenusa
adjacentecat
hipotenusa
opostocat
.
.,
.,
.
a) 875,08
7. ==hipotenusa
opostocat
5,08
4. ==hipotenusa
adjacentecat
75,14
7
.
. ==adjacentecat
opostocat
b) 87,076,5
5. ≅=hipotenusa
opostocat
5,076,5
86,2. ≅=hipotenusa
adjacentecat
75,186,2
5
.
. ≅=adjacentecat
opostocat
Apesar dos triângulos terem medidas diferentes, a razão entre suas medidas deve ser
constante, pois os triângulos são semelhantes. Por definição, chamamos cada uma
dessas razões de seno, cosseno e tangente. Portanto:
hip
ocsen
..=αhip
ac ..cos =α
..
..
ac
octg =α
3. Ângulos Notáveis:
É importante sabermos construir a tabela dos ângulos mais utilizados.
Passo 1: numerar de “0” a “4”, começando pelo ângulo de medida 0º.
0º 30º 45º 60º 90ºSeno 0 1 2 3 4
Passo 2: aplicar a raiz quadrada.
0º 30º 45º 60º 90ºSeno 0 1 2 3 4
Passo 3: dividir por dois.
0º 30º 45º 60º 90º
Seno2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
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LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO-APRENDIZAGEM IAntes de continuarmos a construção, extraímos as raízes exatas e simplificamos o
resultado.
0º 30º 45º 60º 90º
Seno 02
1
2
2
2
3 1
Passo 4: para a construção do cosseno, repetimos o procedimento, mas numerando de
“4” a “0”. Assim temos:
0º 30º 45º 60º 90º
Seno 02
1
2
2
2
3 1
Cosseno 12
3
2
22
10
Passo 5: Tangente
Já sabemos que hip
ocxsen
..)( = e
hip
acx
..)cos( = .
Logo, )(..
..
...
..
)cos(
)(..
..
)cos(
)(xtg
ac
oc
ac
hip
hip
oc
x
xsen
hip
achip
oc
x
xsen ===⇒= . Assim, )cos(
)()(
x
xsenxtg =
Portanto, para completarmos a tabela, calculamos a tangente de cada ângulo dividindo
o valor do seno pelo valor do cosseno.
0º 30º 45º 60º 90º
Seno 02
1
2
2
2
3 1
Cosseno 12
3
2
22
10
Tangente1
0
2
32
1
2
22
2
2
12
3
∃∃
mtgx 75,06
5,4 ==
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LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO-APRENDIZAGEM IAssim, obtemos a tabela completa:
0º 30º 45º 60º 90º
Seno 02
1
2
2
2
3 1
Cosseno 12
3
2
22
10
Tangente 03
3 1 3
4. Exemplos:
1) Determine a medida do lado AB dos seguintes triângulos retângulos
a) b) c)
a)2
º60x
tg =
23
x=
32=x
b)7
º45x
sen =
72
2 x=
272 =x
2
27=x
c)5
º30cosx=
52
3 x=
352 =x
2
35=x
2) Considerando o triângulo retângulo abaixo, sabendo que a = 7,5m e b =
4,5m, calcule o valor da tgx.
Pelo teorema de pitágoras:
a2 = b2 + c2
7,52 = 4,52 + c2
∃∃
x
x x
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LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO-APRENDIZAGEM I56,25 – 20,25 = c2
c2 = 36
c = 6m
3) Determine α e β no triângulo a seguir:
2
1
4
2cos ==α . Logo, α = 60º
2
1
4
2 ==βsen . Logo, β = 30º
