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Supervisor
Relações métricas no triângulo retângulo
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Ângulo central
Comprimento de um arcoCircunferência orientada
Circunferência trigonométrica
MSGLINE
Funções trigonométricas
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Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 41--9153.5097 Matemática
Carlos Nadaline – [email protected]
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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Estudo da TrigonometriaEstudo da TrigonometriaMatemática Carlos Nadaline 41--9153.5097
Carlos Nadaline – [email protected]
Elementos de um triângulo retânguloA
B
CH
a
m
n
c
bh
A + B + C = 180º
A = 90ºEncerrar
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Estudo da trigonometriaMatemática Carlos Nadaline 41--9153.5097
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Elementos de um triângulo retângulo
A
BC
H
am
n
cb
h
BC hipotenusa(Oposto ao ângulo reto )
AC e AB são os catetos (opostos aos ângulos agudos)
AH é a altura relativa a hipotenusa
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Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
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Elementos de um triângulo retângulo A
B
CHa
m
n
c
bh
BH e HC são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa
BC = a AB = c BH = n
AC = bAH = h HC = m
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A
B
CH
a
m
n
c
bh
Relações métricas nos triângulos retângulos
h2= mn
b2=am
c2= an
ha = bc a2 =b2+c2Encerrar
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A
B
CH
a
m
n
c = 8
b = 6h
Exercícios resolvidosNum triângulo retângulo os catetos c e b ,medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
a) hipotenusa
a2 = b2 + c2
a2 = 62 + 82a2 = 36 + 64
a = 100 a = 10 Encerrar
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A
B
CH
m
n
c = 8
b = 6h
Exercícios resolvidosNum triângulo retângulo os catetos c e b ,medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
b) A altura relativa a hipotenusa
ha = bc
a = 10 cm
h . 10 = 6 . 8
h = 4810
h = 4,8 cm Encerrar
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A
B
CH
m
c = 8
b = 6
Exercícios resolvidosNum triângulo retângulo os catetos c e b ,medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
c) Cálculo de m
c2 = an
a = 10 cm
82 = 10 . n
h = 4,8 cm
n = 10
64n = 6,4 cm
n
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A
B
CH
c = 8
b = 6
Exercícios resolvidosNum triângulo retângulo os catetos c e b ,
medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
c) Cálculo de m
m + n = a
a = 10 cm
m + 6,4 = 10
h = 4,8 cm
n = 6,4 cm
m = 3,6 cm
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A
B
CH
c = 8
b = 6
Exercícios resolvidosNum triângulo retângulo os catetos c e b ,medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
d) Cálculo do perímetro
p = a + b + c
a = 10 cm
p = 10 + 6 + 8 = 24
h = 4,8 cm
n = 6,4 cm
m = 3,6 cm
p = 24 cm Encerrar
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A
B
CH
c = 8
b = 6
Exercícios resolvidosNum triângulo retângulo os catetos c e b ,medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
e) Cálculo da área
S= base . altura
a = 10 cm
h = 4,8 cm
n = 6,4 cm
m = 3,6 cm
2S = b . c
2S = 6 . 8
2
S = 24 cm2
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Exercícios
1) Calcule a diagonal de um retângulo de lados iguais a 4 m e 3 m
2) As diagonais de um losango medem 24 m e 10 m.Calcule a medida do lado desse losango.
3) Um triângulo retângulo e isósceles tem catetos que medem 6 m. Calcule a medida da hipotenusa.
4) Calcule o perímetro de um retângulo, sabendo que sua diagonal mede 18 cm e um dos lados mede 10cm.
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Razões trigonométricas no triângulo retângulo
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Seno Cosseno Tangente
30º
45º
60º
2___ 2
2___ 2
1
1/2
1/2
3
33
3/3/2
/2
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A
C
B
a
c
b
Razões trigonométricas
Sen B = b
a
Sen C =c
aSeno
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A
C
B
a
c
b
Razões trigonométricas
Cos B = c
a
Cos C =b
aCosseno
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A
C
B
a
c
b
Razões trigonométricas
Tg B = b
c
Tg C =c
bTangente
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Exercício resolvido
Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cme b = 8 cm
A B
C
a = 10
b = 8
c
a2 = b2 + c2 102 = 82 + c2c2 = 100 - 64
c = 6 cm
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Exercício resolvido
Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cme b = 8 cm
A B
C
a = 10
b = 8
c = 6 cm
Sen B = b
a
Sen B = 8
10
Sen B = 4
5
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Exercício resolvido
Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cme b = 8 cm
A B
C
a = 10
b = 8
c = 6 cm
Cos B = c
a
Cos B = 6
10
Cos B = 3
5
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Exercício resolvido
Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cme b = 8 cm
A B
C
a = 10
b = 8
c = 6 cm
Tg B = bc
Tg B = 8
6
Tg B = 4
3
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Arcos e ângulos
Matemática do 2º grau
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Arcos e Ângulos•Arcos de circunferência
Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.
A e B pontos quaisquer da circunferência , dividem em duas Partes.
O .. A = B
B A o
Arco nulo
Arco de circunferência AB
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Medida de um arco
GrauGrau é o arco unitário equivalente a da circunferência que o contém.
1
360
.O
A
B
m(AB) = 1º
.
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Medida de um arco
RadianoRadiano é o arco cujo comprimento é igual ao Comprimento do raio da circunferência que oContém.
.O
A
B
m(AB) = 1 rad
.
A B
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Medida de um arco
Em relação à circunferência, temos:
.O
A = B
m(AB) =2 rad
.
A B
2 r
r
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360º corresponde a 2 rad
180º corresponde a rad
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Exemplo resolvido
Determine em radianos, a medida do arco 60º
180º
60º x
x= 60º.
180º
x =3
Resposta
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Exemplo
Calcule, em graus, a medida do arco
x =3
4Resolução
x = 3. 180º4
Resposta x = 135º
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Arcos e Ângulos
Ângulo central
A
B
O
Ângulo central
Ângulo central de uma circunferênciaé o ângulo que tem o vértice no centrodessa circunferência.
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Comprimento de um arco
Ângulo central
A
B
AB arco da circunferência Determinado por dois pontos,Medido em radianos.
l
Comprimento da AB ( l = comp. AB)
r
r
r: raio da circunferência
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Comprimento de um arco
Sendo a medida em radianos
A
B
l
r
r
= l
r
l = r
Considerando r=1
l = m(ab) = M()
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Circunferência orientada
.O
+
-Sentido horário
Sentido anti-horário
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. A
B
.
.
m(AB) = 120º
O
m(BA)=240º
Sentido anti-horário
Sentido horário
m(AB)=-240º
m(BA)=-120
+
-
240º
120º
Circunferência OrientadaEncerrar Anterior
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Circunferência orientada
Calcule o comprimento de uma pista circular de 30m de raio que descreve um arco de meia volta ( rad).
Dado: = 3,14
Resolução:
=
rad
l = r
l = 3,14 . 30
l = 94,20 m
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Circunferência orientada
Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de umde um relógio que marca 9h 25min.
Resolução:
Cada divisão = 30º
= 4 . 30º + x
x
A
B
x é arco que o ponteiro menor descreveuquando o ponteiro maior se deslocou da posição A para a posição B
Minutos Graus60
25
30º
xx = 12º 30´
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MSGLINE
CIRCUNFERÊNCIATRIGONOMÉTRICA
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MSGLINE
Circunferência trigonométrica
•Uma circunferência orientada de raio unitário (r = 1)
•Um ponto A é a origem de medida de todos os arcos nela contida
A
r=1
y
x
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MSGLINE
o
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
y
x0º ou 0 rad
A360º ou 2 rad
90º ou rad / 2
180º ou rad
270º ou 3 / 2 rad
Quadrantes
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o
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
y
xA
Orientação +
- Encerrar
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MSGLINE
o
y
x
Aplicações resolvidas
Localizar na circunferência trigonométrica os seguintes valores.
/ 6
180º / 6= 30º
II/6 = 30º
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MSGLINEArcos trigonométricos Arcos trigonométricos
y
x
O
Arcos com mesma origem e mesma extremidades podem ser:
• Positivos, quando marcados no sentido anti-horário;• Negativos quando marcados no sentido horário;• Maiores que 360º ou 2 rad quando têm mais de uma volta;
A
F .
Medida de AF m(AF) = 40º
Como AF > 360º ...-680º = -320º = 40º = 400º = 760º... Medidas em graus esses arcos podem ser representados por:
X = x0 + 360º . K (K pertencente a Z)x0 a 1º determinação positiva do arco trigonométrico 0 <= x0< 360º e K número de voltas
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MSGLINEArcos trigonométricos Arcos trigonométricos
y
x
O
Arcos com mesma origem e mesma extremidades podem ser:
• Positivos, quando marcados no sentido anti-horário;• Negativos quando marcados no sentido horário;• Maiores que 360º ou 2 rad quando têm mais de uma volta;
A
F .
Medida de AF m(AF) = 40º
Como AF > 360º ...-680º = -320º = 40º = 400º = 760º...
Medidas em radianos esses arcos podem ser representados por:
X = x0 + 2K (K pertencente a Z)
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MSGLINE
ARCOS CÔNGRUOSARCOS CÔNGRUOS
Dois arcos são côngruos quando a diferença entre eles é ummúltiplo de 360º ou 2k rad
Exemplos:30 º e 1110º são côngruos 1110º - 30º = 1080º = 3 . 360º
14 / 3 e 2 / 3 são côngruos 14 / 3 - 2 / 3 = 4 = 2.2
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Matemática do 2º grau
Seno
Cosseno
Tang
ente
Cossecante
Cotangente Secante
MSGLINE
Funções circulares
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MSGLINE
FUNÇÃO SENOFUNÇÃO SENO
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Ciclo trigonométrico
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
x
y
Matemática do 2º grau
O
Plano cartesianoQuadrantes
+
+
-
-Sinais
MSGLINE
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A FUNÇÃO SENO Eixo das ordenadas
Eixo das abscissas
Sistema Cartesiano Ortogonal de origem O
.O Ciclo Trigonométrico
. A- Origem dos arcos
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Função Seno Eixo dos Senos
O
AA1
B
B1
Variaçãodo seno
Raio=1
+1
-1
x
M(a,b)
a
b
Eixo das abscissas
x
O arco AM mede x, e o ângulo AOM mede x^
a abscissa do ponto M
b ordenada de M
M(a,b)
Seno de x
Sen x = Ob
ORDENADA
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A
Variação do Seno no primeiro quadrante
Estudo da função seno
x
y
.MSeno do arco AM.
O
.
+
+1
click
Matemática 2º grau
Ciclo trigonométrico e sistema cartesiano
Sinal do seno no 1º quadrante
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A = M
AM =0
Variação do Seno no primeiro quadrante
Estudo da função seno
Seno 0º = 0
x
y
.
MSGLINE
1ºQ
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A
AM =90º
Variação do Seno no primeiro quadrante
Estudo da função seno
Seno 90º = 1
x
y
.M
1
O seno no primeiro quadrante é uma função crescente
0º a 90º
+
Matemática 2º grau MSGLINE
1º Q
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A
AM =180º
Variação do Seno no segundo quadrante
Estudo da função seno
Seno 180º = 0
x
y
.
M
O seno no segundo quadrante é uma função decrescente
90º a 180º
+
Matemática 2º grau MSGLINE
2ºQ
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A
AM =270º
Variação do Seno no terceiro quadrante
Estudo da função seno
Seno 270º = -1
x
y
.
M
O seno no terceiro quadrante é uma função decrescente
180º a 270º
-
Matemática 2º grau MSGLINE
3ºQ
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A
AM =360º
Variação do Seno no quarto quadrante
Estudo da função seno
Seno 360º = 0
x
y
.
M
O seno no quarto quadrante é uma função crescente
270º a 360º
-
Matemática 2º grau MSGLINE
4ºQ
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A
Variação do Seno no primeiro quadrante
Estudo da função seno
x
y
.M
1
O seno no primeiro quadrante é uma função crescente
0º a 90º
+
MSGLINE Matemática 2º grau
O
0º 90º 180º 270º 360º
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A
AM =180º
Variação do Seno no 2º quadrante
Estudo da função seno Seno 0º = 0Seno 90º = 1 Seno 180º = 0
x
y
.
M 1
O seno no segundo quadrante é uma função decrescente
90º a 180º
+
Matemática 2º grau
O
MSGLINE
+ Sinal ++
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A
AM =270º
Variação do Seno no 3º quadrante
Estudo da função senoSeno 0º = 0Seno 90º = 1 Seno 180º = 0Seno 270º = -1
x
y
.
M
1
180º a 270º
+
Matemática 2º grau
O
MSGLINE
O seno no terceiro quadrante é uma função decrescente
+
-
+ +
-
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A
AM =360º
Variação do Seno no 4º quadrante
Estudo da função seno
Seno 0º = 0Seno 90º = 1 Seno 180º = 0Seno 270º = -1Seno 360º = 0
x
y
.
M
1
270º a 360º
+
Matemática 2º grau
O
MSGLINE
O seno no quarto quadrante é uma função crescente
+
- - Sinal -
+ +
- -
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A
AM =360ºEstudo da função seno
x
y
.
M
1+
Matemática 2º grau
O
MSGLINE
+
-
senóide
-
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A
AM =360ºEstudo da função seno
x
y.
M
1+
Matemática 2º grau
O
MSGLINE
+
- -
• O domínio da função sen x é o conjunto dos números reais D = R
• A imagem da função sen x é o intervalo [ -1, +1] isto é –1 >= senx x >= 1
•A partir de 2 a função seno repete seus valores ( função periódica)
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Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
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A
Estudo da função seno
x
y.
M
1+
Matemática 2º grau
O
MSGLINE
+
- - 3 /2/2 2
Quadrante
0 /2Arco
Sinal
Variação
+
0+1
I II
/2
+
+10
3 /2
-
III
0-1
IV
3 /2 2
-
-1 0
crescente decrescente crescentedecrescente
O gráfico continua à direita de 2 e a esquerda de 0 (zero)
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Função Seno Eixo dos Senos
O
AA1
B
B1
Variaçãodo seno
+1
-1
x
M
a
b A partir de 2 a função senorepete seus valores, portantoé uma função periódica.
A partir de um determinadovalor de x ( /2), cada vez que somamos 2 , a funçãoseno assume sempre o mesmoValor (+1).O período da função seno éP = 2 .
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Função Seno Eixo dos Senos
O
AA1
B
B1
Variaçãodo seno
+1
-1
x
M
a
b
sen x = Ob
sen( x + 2 ) = Ob
sen(x + 4 ) = Ob
sen(x +2k ) =Ob
k pertencente a Z
sen x = sen( x + 2k )
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Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
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Função Seno Eixo dos Senos
O
AA1
B
B1
Variaçãodo seno
+1
-1
x
M
a
bA função seno é impar
-xsen(-x)
sen x = - sen x
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Matemática do 2º grauMSGLINE
Função Cosseno
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Função cosseno
Eixo dos cossenos
O
AA1
B
B1
Variaçãodo cosseno
Raio=1
+1-1
x
M(a,b)
a
b
Eixo das abscissas
x
O arco AM mede x, e o ângulo AOM mede x^
a abscissa do ponto M
b ordenada de M
M(a,b)
Cosseno x
Cosseno x = Oa
Abscissa
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A
Variação do cosseno no primeiro quadrante
Estudo da função cosseno
x
y
.MOM´ Cosseno do arco AM.
O
.+
click
Matemática 2º grau
Ciclo trigonométrico e sistema cartesiano
Sinal do cosseno no 1º quadrante
+1
MSGLINE
M´
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A = M
AM =0
Variação do cosseno no primeiro quadrante
Estudo da função cosseno
cos 0º = 1
x
y
.
MSGLINE
Raio = 1
O
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A
AM =90º
Variação do cosseno no primeiro quadrante
Estudo da função cosseno
cos 90º = 0
x
y
.M
O cosseno no primeiro quadrante é uma função decrescente
0º a 90º
+
Matemática 2º grau MSGLINE
1ºQ
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A
AM =180º
Variação do cos no segundo quadrante
Estudo da função cosseno
Cos 180º = -1
x
y
.
M
O cos no segundo quadrante é uma função decrescente
90º a 180º
-
Matemática 2º grau MSGLINE
2ºQ
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A
AM =270º
Variação do cos no terceiro quadrante
Estudo da função cosseno
cos 270º = 0
x
y
.
M
O cos no terceiro quadrante é uma função crescente
180º a 270º
-
Matemática 2º grau MSGLINE
3ºQ
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A
AM =360º
Variação do cos no quarto quadrante
Estudo da função cosseno
cos 360º = 1
x
y
.
M
O cos no quarto quadrante é uma função crescente
270º a 360º
+
Matemática 2º grau MSGLINE
4ºQ
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A
Variação do cos no primeiro quadrante
Estudo da função cossenox
y
.M
1
O cos no primeiro quadrante é uma função crescente
0º a 90º
+
MSGLINE Matemática 2º grau
O
0º 90º 180º 270º 360º
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A
Variação do cos no segundo quadrante
Estudo da função cosseno
x
y
.M
O cos no segundo quadrante é uma função crescente
90º a 180º
+
MSGLINE Matemática 2º grau
O
0º 90º 180º 270º 360º
-
+-
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Variação do cos no terceiro quadrante
Estudo da função cosseno
x
y
.M
O cos no terceiro quadrante é uma função crescente
180º a 270º
+
MSGLINE
Matemática 2º grau
O
0º 90º 180º 270º 360º
- -
- +
-
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A
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A
Variação do cos no quarto quadrante
Estudo da função cosseno
x
y
.M
O cos no quarto quadrante é uma função crescente
270º a 360º
+
MSGLINE Matemática 2º grau
O
0º 90º 180º 270º 360º
+-
-+ - -
+
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A
AM =360º
Estudo da função cosseno
x
y.
M
1+
Matemática 2º grau
O
MSGLINE
+
- -
• O domínio da função cos x é o conjunto dos números reais D = R
• A imagem da função cos x é o intervalo [ -1, +1] isto é –1 <= cos x <= 1
•A partir de 2 a função cosseno repete seus valores ( função periódica)
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A
Estudo da função cosseno
x
y
.M
+
MSGLINE Matemática 2º grau
O
0º 90º 180º 270º 360º
+-
- + - -
+
Co-senóide
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A
Estudo da função cosseno
x
y.
M
1+
Matemática 2º grau
O
MSGLINE
-
- + 3 /2/2 2
Quadrante
0 /2Arco
Sinal
Variação
+
+10
I II
/2
-
0-1
3 /2
-
III
-1 0
IV
3 /2 2
+
0 +1
decrescente decrescente crescentecrescente
O gráfico continua à direita de 2 e a esquerda de 0 (zero)
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Função cosseno Eixo dos cossenos
O
AA1
B
B1
Variaçãodo cos
+1-1
x
M
a
bcos x = Oa
k pertencente a Z
cos x = cos( x + 2k )
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Eixo dos Cossenos
O
AA1
B
B1
Variaçãodo Cosseno
+1-1
x
M A função cos é par
-xcos x = cos(-x)
MSGLINE
cos x
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Matemática do 2º grauMSGLINE
Função Tangente
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MSGLINE
Função tangente
y
x
tg
M
M´
M´´
X
O A
T
Eixo das tangentes
Definição Definimos como tangente (do arco AM ou do ângulo x) a medida algébrica do segmento AT
tg x = AT
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MSGLINE
Função tangente
y
x
tg
M
M´
M´´
X
O A
T
Eixo das tangentes
tg x = AT
OM´M é semelhante ao
OAT
OM´ = M´M
OA AT
cos x = sen x1 AT
cos xAT =
sen xtg x=
sen x
cos xcos x 0
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MSGLINE
Função tangente
Valores notáveis da tangente:
x = 0
tg 0 =0
O A=M
tg
O O O O
x = 90º
A
M
..
..
.
x = 180º x = 270º x = 360º
M
M M
A AA
tgtg
tg
tg tg
tg 90º tg 180º =0 tg 270º tg 360º = 0
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MSGLINE
Função tangente
y
x
tg
M
X
O A
Eixo das tangentes
Gráfico da função tangente
+
+-
+ --
+
-
90º 180º 270º 360º
tangentóide
0
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Variação da função tangente
MSGLINE
Quadrante
Arco
Sinal Sinal
Variação
1º Q 2º Q
0º a 90º 90º a 180º
3º Q
180º a 270º
4º Q
270º a 360º
+ - + -
0
-0
0+
-0
crescente crescente crescente crescente
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MSGLINE
Domínio da função tangente
Y = tg x D ={ x pertencente a R / x }
2+ k
K pertencente Z
y = tg x é o intervalo ] - , + [ Imagem da função tangente
> tg x < + -
Período da função tangente
Y = tg x é p = tg x = ( x + k )
k pertencente a Z
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MSGLINE
A função y = tg x é imparimpar
tg x = - tg(-x)tg
A
T1
T2
x
-x
y
xo
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MSGLINE
Função Cotangente
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MSGLINE
Função cotangente
Definição
y
xO
cotg
M´
M´´
A
B
x
C
Cotangente do arco AMou do ângulo x é a medidaalgébrica do segmento BC e indicamos:cotg x = BC
M
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MSGLINE
Função cotangentey
xO
cotg
M´
M´´
A
B
x
C
Os triângulos OM´M e OBC
OM´ = MM´
BC OB
OM´´ = M´M
OM´ = OM´´
BC OB =
cos x
BC
sen x
1 BC = cos x
sen x
Cotg = cos x
sen x
M
sen x 0
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MSGLINE
Função cotangente
y
x
tg
M
X
O A
Eixo das cotangentes Gráfico da função cotangente
+
+-
+ --
+
-
90º 180º 270º 360º
cotangentóide
0
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Variação da função cotangente
MSGLINE
Quadrante
Arco
Sinal Sinal
Variação
1º Q 2º Q
0º a 90º 90º a 180º
3º Q
180º a 270º
4º Q
270º a 360º
+ - + -
0
-0 0
+-
0
decrescente decrescente decrescente decrescente
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MSGLINE
Domínio da função cotangente
Y = cotg x D ={ x pertencente a R / x } kK pertencente Z
y = tg x é o intervalo ] - , + [ Imagem da função cotangente
> cotg x < + -
Período da função cotangente
Y = cotg x é p = cotg x = ( x + k )
k pertencente a Z
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A função y = cotg x é imparimpar
cotg x = - cotg(-x)
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MSGLINE
Valores notáveis da função cotangente
x cotg x
0º
90º 0
180º 270º 0
360º
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Estudo da trigonometria
MSGLINE
Função: Secante e Cossecante
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O
sen x
cos xA
M.M´´
M´
x S
D
MSGLINE
A reta tangente à circunferênciano ponto M, intercepta o eixodas abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.
sec x = OS cossec x = OD
OS = = sec x1
COSX
OD = = cossecx1
sen x
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MSGLINE
Domínio da função secante
y = sec x D ={ x pertencente a R / x }
2+ k
K pertencente Z
y = sec x é o intervalo sec x<= -1 ou sec x >= 1
Imagem da função secante
Domínio da função cossecante
y = cossec x
X k , k pertencete a Z
Imagem da função cossecante
cossec x <= -1 ou cossec x>= 1
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MSGLINE INFORMÁTICA LTDAMSGLINE INFORMÁTICA LTDA
FIMFIM
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Se querer é poder, querer é vencer. Rui Barbosa
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