2º Ano (Ensino Médio)

Trigonometria

Professor: Rangel Carvalho de Freitas

Trigonometria no Triângulo Retângulo

(Aula 1)

.

hipotenusa

cateto

cateto

A B

C

O Triângulo Retângulo

Cateto adjacente a B

Cateto oposto a B

A B

C

O Triângulo Retângulo

.

Cateto oposto a C

Cateto adjac. a C

A B

C

O Triângulo Retângulo

.

Hipotenusa

Cateto oposto a B

O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo

A B

C

.

seno de B =a

bsen B =

ab

c

Hipotenusa

Cateto oposto a Cseno de C =

a

csen C =

Hipotenusa

Cateto adjac. a B

O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo

cosseno de B =a

ccos B =

A B

C

.

ab

c

Hipotenusa

Cateto adjac. a Ccosseno de C =

a

bcos C =

O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo

Cateto adjac. a B

Cateto oposto a Btangente de B =

c

btg B =

A B

C

.

ab

c

Cateto adjac. a C

Cateto oposto a Ctangente de C =

b

ctg C =

O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo

10

6sen B =

A B

C

.

106

8 8

6tg B =

Exemplo: Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo:

10

8cos B =

: 2

: 2

5

3=

: 2

: 2

5

4=

: 2

: 2

4

3=

Exercício: Faça o mesmo para o ângulo C.

Observações preliminares:

5 cm

3 cmsen B =

A B

C

.

5 cm3 cm

4 cm

1. As razões seno, cosseno e tangente são razões entre grandezas da mesma espécie e, portanto, constituem um número puro;

5

3=

O mesmo ocorre com as outras razões trigonométricas.

Exemplo:

Observações preliminares:

A B

C

.

2. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo somam 90º, isto é, são complementares.

Conclusão: Os ângulos B e C são complementares.

Exemplo:

A + B + C = 180º

90º + B + C = 180º

B + C = 180º – 90º

B + C = 90º

Proposições

5 cm

3 cmsen B =

A B

C

.

5 cm3 cm

4 cm

Proposição 1.

5

3=

Exemplo:

Em todo triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do seu complemento.

5 cm

3 cmcos C =

5

3=

sen B = cos C

Proposições

4 cm

3 cmtg B =

A B

C

.

5 cm3 cm

4 cm

Proposição 2.

4

3=

Exemplo:

Em todo triângulo retângulo a tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso da tangente do seu complemento.

3 cm

4 cmtg C =

3

4=

tg B =tg C

1

Proposições

tg B =

Proposição 3.

5

3=

Exemplo:

A tangente de um ângulo (agudo, neste caso) é igual à razão entre o seno e o cosseno do mesmo ângulo.

Matematicamente:

tg B =cos B

sen Btg C =

cos C

sen Ce

sen B =5

3

cos B =5

4tg B =

cos B

sen B5 cm

3 cm

4 cmA B

C

.

5

3

5

4x

4

5=

4

3

Proposições

Proposição 4 (Relação Fundamental).

No triângulo ABC, valem as seguintes relações:

sen B2

+ cos B2

= 1 e sen C2

+ cos C2

= 1

A B

C

.

ab

c

Proposições

Proposição 4 (Relação Fundamental).

Prova (para o ângulo B):

A B

C

.

ab

c

sen Ba

b=

cos Ba

c=

Então:

sen B2

+ cos B2

=a

b2

+a

c2

=a

b2

+a

c2

2 2 =

=b

2+

a

c2

2 =a

a2

2 = 1

a2

= b2

+ c2

(Teorema de Pitágoras)

Valores das razões seno, cosseno e tangente de 45º, 30º e 60º

30o 45o 60o

seno

cosseno

tangente

2

1

2

3

3

3

2

2

2

2

2

3

2

1

31

.85º

28,6 m

Resolução de Exercícios

1. A torre Eiffel, a maior antes da era da televisão, foi concluída em 31 de março de 1889. Veja a figura e determine a altura dessa torre.

h

tg 85º =28,6

h

11,4 =28,6

h

11,4= 28,6h .

326,04 m≈h

cateto oposto

cateto adjacente

Resolução de Exercícios

2. A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo α, como nos mostra a figura. Determine a altura h da torre se:

tg 20º =40

h

0,36 =40

h

40= 0,36h .

14,4 m≈h

cateto oposto

cateto adjacente

h

.

40 m

α

a) α = 20º

b) α = 40º

20º =

Resolução de Exercícios

2. A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo α, como nos mostra a figura. Determine a altura h da torre se:

tg 40º =40

h

0,83 =40

h

40= 0,83h .

33,2 m≈h

cateto oposto

cateto adjacente

h

.

40 m

α

b) α = 40º

40º =

Resolução de Exercícios

3. Uma escada rolante liga dois andares de um shopping e tem uma inclinação de 30º. Sabendo-se que a escada rolante tem 12 metros de comprimento, calcule a altura de um andar para o outro.

sen 30º =12

h

=12

h

12=2h

6 m=h

cateto oposto

hipotenusa

h

12 m

30º .

2

1

=h2

12

.

Resolução de Exercícios

4. Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20º em relação ao plano horizontal. Sabendo que, até a laje do teto a casa tem 3 m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen 20º = 0,34 , cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,36 e ).

sen 20º =4

x

=4

x

4=x

1,36 m

cateto opostohipotenusa

0,34

0,34.

=x

20º4

3h

x?

h = 3 + x

h = 3 + 1,36

h = 4,36 m

Resolução de Exercícios

5. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com o solo. O comprimento do fio é de 80 m. Determine a altura da pipa em relação do chão.

sen 45º =80

x

=80

x

80=2x

hipotenusacateto oposto

.

=x

.

x80 m

45º2

2

2

80 2

2

40

40=x 2 m

Resolução de Exercícios

6. A 100 m da base, um observador avista a extremidade de uma torre sob um ângulo de 60º com a horizontal. Qual a altura dessa torre?

tg 60º =100

h

=100

h

100=h .

3

3

100=h 3 m

.

100 m

60º

h

cateto adjacente

cateto oposto

Resolução de Exercícios

7. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos mede 6 cm. A medida do outro cateto é:

a) 2 cm6

b) 3 cm6

c) 2 cm8

d) 3 cm8

6 cm12 cm

.x

(12)2

= 62

+ x2

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

144 = 36 + x2

144 – 36 = x2

108 = x2 x = 108 x = 3 cm6

Resolução de Exercícios

8. Os dois maiores lados de um triângulo retângulo medem 12 m e 13 m. O perímetro desse triângulo é:

a) 30 cm

b) 32 cm

c) 35 cm

d) 36 cm

12 cm

13 cm

.

x

(13)2

= (12)2

+ x2

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

169 = 144 + x2

169 – 144 = x2

25 = x2 x = 25 x = 5 cm

p = x + 13 + 12

p = 5 + 13 + 12

p = 30 cm