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Aula 17
Transformada de Fourier: complementos
2018 Laboratório Numérico 1
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Transformada discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier
𝐹𝑘 =
𝑛=0
𝑁−1
𝑓𝑛𝑒−2𝜋𝑖𝑛𝑘/𝑁
transformada discreta inversa de Fourier
𝑓𝑛 =1
𝑁
𝑘=0
𝑁−1
𝐹𝑘𝑒2𝜋𝑖𝑛𝑘/𝑁
𝑓𝑛 e {𝐹𝑘} têm o mesmo número de termos (𝑁), e a mesma informação! (a menos do erro de arredondamento)
Laboratório Numérico 2
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A transformada discreta (com N termos)…
Quando a função é discretizada (amostrada a intervalo regular) existe um período mínimo (ou frequência máxima) que pode ser representado. Se ela tem um número finito de termos, também existe um período máximo (frequência mínima, para além de 0). Logo temos uma série discreta e finita (e com erro de arredondamento).
Na prática a análise numérica de dados reais refere-se sempre a esse tipo de série. Nesse caso tanto a representação da função (transformada inversa) como o cálculo dos coeficientes (transformada) envolve somatórios (não integrais) com um número finito de termos.
Laboratório Numérico 3
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Propriedades da Transfomada Discreta de Fourier
Linearidade
A transformada de uma combinação linear de funções é a mesma combinação linear de transformadas
𝐺 = ℱ 𝑔 ,𝐻 = ℱ ℎ ⟹ ℱ 𝑎𝑔 + 𝑏ℎ = 𝑎𝐺 + 𝑏𝐻𝑔 = 𝑔 𝑡 , ℎ = ℎ 𝑡 ; 𝐺 = 𝐺 𝑓 ,𝐻 = 𝐻 𝑓
𝑡 ≡ tempo, 𝑓 ≡ frequência
Translação
𝑆 𝑓 = ℱ 𝑠 𝑡 ⟹ ℱ 𝑠 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑖𝑓𝑎𝑆(𝑓)
Escalamento
𝑆 = ℱ(𝑠 𝑡 ) ⟹ ℱ 𝑠 𝑎𝑡 =1
𝑎𝑆
𝑓
𝑎
Laboratório Numérico 4
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Laboratório Numérico 5
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Transformada discreta de Fourier
𝑓𝑛 =1
𝑁
𝑘=0
𝑁−1
𝐹𝑘𝑒2𝜋𝑖𝑛𝑘/𝑁
𝑓𝑛 e {𝐹𝑘} têm o mesmo número de termos (𝑁)
𝐹0 é proporcional à média da série
𝐹𝑘 , 𝐹−𝑘 representam a harmónica 𝑘 (frequência 𝑓𝑁𝑦𝑞𝑘
𝑁
2
)
indicando que existe um número ímpar de termos em 𝐹𝑘. Mas só são calculados 𝑁 termos e 𝑁 pode ser par. Se for esse o caso não é calculado o termo correspondente a −𝑓𝑁𝑦𝑞.
Laboratório Numérico 6
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Em geral,
Tanto série 𝑓𝑛 com a sua transformada de Fourier {𝐹𝑘} são séries complexas.
Mesmo que 𝑓𝑛 seja real, {𝐹𝑘} é complexa.
Casos especiais, se 𝑓𝑛 for real e
Par 𝑓𝑛 = 𝑓−𝑛: {𝐹𝑘} é real e simétrica
Ímpar 𝑓𝑛 = −𝑓−𝑛 ∶ {𝐹𝑘} é imaginária e anti-simétrica
Laboratório Numérico 7
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Casos especiais
Laboratório Numérico 8
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
0
1f
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1
0
1x 10
-12 Real(F)
f (Hz)
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-100
0
100Imag(F)
f (Hz)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
0
1f
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-100
0
100Real(F)
f (Hz)
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1
0
1x 10
-12 Imag(F)
f (Hz)
sin 𝑥 = −sin(−𝑥) cos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(−𝑥)
Transformada imaginária, anti-simétrica(𝑐𝑘 = 𝑖𝑟𝑘 = −𝑖𝑟−𝑘)
Transformada real, simétrica(𝑐𝑘 = 𝑟𝑘 = 𝑟−𝑘)
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Transfomada do seno
A=1.;eps=1e-10; dt=1
for T in [10,20]:
for K in[2,2.1,2.5]:
…
t=np.arange(0,K*T,dt)
n=len(t)
f=A*np.sin(2*np.pi/T*t)
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(t,f); plt.scatter(t,f)
plt.title(r'$T=%3.1f, \Delta t=%3.1f T$’ /
% (T,(np.max(t)+dt)/T))
F=np.fft.fft(f)
plt.subplot(2,1,2)
fNyq=1/(2*dt)
df=fNyq/(n//2)
freq=np.arange(0,fNyq+eps,df)
plt.plot(freq,np.abs(F[0:n//2+1])/(n//2))
plt.scatter(freq,np.abs(F[0:n//2+1])/(n//2))
…
Laboratório Numérico 9
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N=20
Laboratório Numérico 10
𝑓 =1
𝑇
𝑨𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅𝒆f>0
𝑻
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Laboratório Numérico 11
𝑓 =1
𝑇
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒
𝑇
Ponto extra
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Laboratório Numérico 12
𝑓 =1
𝑇
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒
𝑇
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Conclusão
O resultado só é exato se os períodos presentes na série foremum submúltiplo do comprimento da série: isto é tem que existiruma harmónica fundamental igual ao comprimento da série. Issopode não ser possível para todos os períodos existentes numsérie real.
Laboratório Numérico 13
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Felizmente, o problema atenua se a série for longa: 8.5 T
Laboratório Numérico 14
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Felizmente, o problema atenua se a série for longa:100.5 T
Laboratório Numérico 15
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Mudando período
Laboratório Numérico 16
𝑓 =1
𝑇
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Mudando a amplitude (a FFT é linear)
Laboratório Numérico 17
f=1.5*np.sin(2*np.pi/T*t)
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Somando uma constante
plt.figure();kf=kf+1
t=np.arange(0,K*T,dt)
n=len(t)
f=np.sin(2*np.pi/T*t)+1
Laboratório Numérico 18
𝑓 =1
𝑇
2 × ҧ𝑓
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Mudando Δt
Laboratório Numérico 19