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Page 1: Transformacao de tensoes

1

RESISTÊNCIA DOS

MATERIAISCAPITULO

Notas de Aula:

Prof. Gilfran Milfont

As anotações, ábacos, tabelas, fotos e

gráficos contidas neste texto, foram

retiradas dos seguintes livros:

-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-

Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw

Hill-4ª edição-2006

- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.

C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-

2004

-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James

M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003

-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel

C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009

-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,

Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003

7 Transformação das

Tensões e das

Deformações.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Introdução

1 - 2

• O estado mais geral de tensões em um ponto

pode ser representado por 6 componente:

),,:(Note que

tensão tangencial,,

tensão normal,,

xzzxzyyzyxxy

zxyzxy

zyx

tttttt

ttt

sss

===

• O mesmo estado de tensão é representado por

um cunjunto diferente de componentes, se os

eixos são rotacionados.

• Nosso objetivo aqui é verificar as transformações

de tensão no elemento, a partir de uma rotação

nos eixos coordenados e em seguida, fazer a

mesma análise para a transformação das

deformações.

Page 2: Transformacao de tensoes

2

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Estado Plano de Tensões

1 - 3

• Estado Plano de Tensões – é a situação onde duas

das faces do cubo elementar estão isentas de

tensões. Cosideremos o eixo z como perpendicular

a estas faces, temos:

em consequência:

.0=== zyzxz tts

,, xyyx tss

• Existem vários exemplos de estado plano de

tensões. Ocorre, por exemplo, na superfície livre

de um elemento estrutural ou elemento de

máquina, como mostrado na figura.

.0== yzxz tt

restam então as tensões:

Por conveniência, este estado de tensão é

representado pelo elemento bi-dimensional da

figura ao lado.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Transformações do Estado Plano de Tensões

cos22

2

2cos1

2

2cos1cos

:

2

2

sensen

sen

queLembrar

=

=

=

1 - 4

ts

tst

ts

tss

sinsincossin

coscossincos0

cossinsinsin

sincoscoscos0

AA

AAAF

AA

AAAF

xyy

xyxyxy

xyy

xyxxx

==

==

• Considere as condições de equilíbrio do

elemento prismático da figura, com as faces

perpendiculares aos eixos x, y, e x’ .

)(22cos22

´ Isenxy

yxyx

x tssss

s

=

)(2cos22

´´ IIsen xy

yx

yx tss

t

=

• As equações podem ser escritas em função do ângulo duplo e nos dão a

tensão normal e de cisalhamento sobre qualquer plano, cuja normal para fora,

forma um ângulo com o eixo x.

Page 3: Transformacao de tensoes

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Transformações do Estado Plano de Tensões

)(22cos22

´ IIIsenxy

yxyx

y tssss

s

=

)(´´ IVyxyx ssss =

1 - 5

Para encontrarmos σy´, vamos substituir na exp. para σx´ o ângulo por θ+90.

Como cos (2θ+180)= -cos2θ e sen(2θ+180)= -sen2θ, encontramos:

Somando membro a membro as expressões (I) e (III), encontramos:

O que nos mostra que a soma das tensões normais em um elemento em estado

plano de tensões, independe da orientação deste elemento.

As tensões aqui, devem ser tratadas de forma algébrica, ou seja, tensão de

tração é positiva e de compressão negativa. Para a tensão de cisalhamento, se

convencionou que serão positivas as tensões em cujas faces do elemento se

está estudando e que tendem a girá-lo no sentido anti-horário.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Tensões Principais

)(2)(

2

2cos

202cos22)(0´ Vtg

sensen

d

dp

yx

xy

xyyxx

ss

t

tss

s=

===

)(22

)(22

2

2

min

2

2

VII

VI

xy

yxyx

xy

yxyx

máx

tssss

s

tssss

s

=

=

yxmáx ssss = min

1 - 6

Os valores máximos e mínimos de σx´ ocorrerão para valores de θ nos quais:

Verifica-se que a tensão tangencial é nula sobre planos que experimentam

valores máximos e mínimos de tensão normal. Estes planos são conhecidos

como Planos Principais e as tensões normais nesses planos são conhecidas

como Tensões Principais e são dadas pela seguinte expressão:

Observe que se somarmos membro a membro as expressões (VI) e (VII), vamos

encontrar:

Page 4: Transformacao de tensoes

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Tensão de Cisalhamento Máxima

)(22

)(

2cos

20222cos)(0

´´VIIItg

sensen

d

ds

xy

yx

xyyx

yx

t

ss

tss

t=

===

)(2

min XImáxmáx

sst

=

1 - 7

A tesão de cisalhamento máxima se dá onde:

:

Observa-se que tg2θs é a inversa negativa de tg2θp.

Portanto, estes dois ângulos diferem de 90º. Logo,

θp e θs estão afastados de 45º. Isto significa que os

planos onde ocorrem as tensões tangenciais

máximas estão a 45º dos planos principais.

Nos planos onde ocorrem a tensão de cisalhamento máxima, a tensão normal é

dada por:

22

2

max xyyx t

sst

= (IX)

2

yxmed

ssss

== (X)

Uma relação usual é dada por:

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.1

1 - 8

Para o estado plano de tensões

mostrado, determine:

(a) Os planos principais,

(b) As tensões principais,

(c) A tensão máxima de

cisalhamento e a tensão normal

correspondente nestes planos.

Page 5: Transformacao de tensoes

5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.1

1 - 9

SOLUÇÃO:

• a) Determine os planos principais:

=

=

=

=

1.233,1.532

333.11050

40222tan

p

yx

xyp

ss

t

= 6.116,6.26p

• b) Determine as tensões principais:

22

22

minmax,

403020

22

=

= xy

yxyxt

sssss

MPa30

MPa70

min

max

=

=

s

s

MPa10

MPa40MPa50

=

==

x

xyx

s

ts

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.1

1 - 10

MPa10

MPa40MPa50

=

==

x

xyx

s

ts

2

1050

2

=

== yx

med

ssss

• A correspondente tensão normal

nestes planos é:

MPa20=s

• c) Calcule a tensão de cisalhamento máxima

e os planos onde ocorrem:

22

22

max

4030

2

=

= xy

yxt

sst

MPa50max =t

45= ps = 6.71,4.18s=>

Page 6: Transformacao de tensoes

6

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Problema 7.1

1 - 11

Uma força horizontal P de 670N é

aplicada na extremidade D da

alavanca ABD. Determine:

(a) As tensões normal e de

cisalhamento em um elemento

localizado no ponto H de lados

paralelos aos eixos x e y,

(b) Os planos principais e as

tensões principais no ponto H.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Problema 7.1

1 - 12

SOLUÇÃO:

• Determine um sistema de força-

momento equivalentes, no centro da

seção transversal que passa por H.

mNmNM

mNmNT

NP

x .5,16725,0670

.2,30846,0670

670

==

==

=

• a) Calcule a tensão normal e de

cisalhamento no ponto H.

4

21

4

41

015,0

015,0.2,308

015,0

015,0.5,167

m

mmN

J

Tc

m

mmN

I

Mc

xy

y

t

s

==

==

MpaMPa xyyx 1,582,630 === tss

Page 7: Transformacao de tensoes

7

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Problema 7.1

1 - 13

• b) Determine os planos e as tensões

principais para o ponto.

=

=

=

=

5.612

84.12,630

1,58222tan

p

yx

xy

p

ss

t

== 5.597.30 pp e

22

2

2

min,

1,582

2,630

2

2,620

22

=

= xy

yxyx

máx tssss

s

MPa

MPamáx

5,34

7,97

min =

=

s

s

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões

1 - 14

• Passos para a construção do círculo de Mohr:

1. Retire um elemento do ponto que se deseja estudar, no qual as tensões

normais e de cisalhamento são conhecidas, indicando o sentido correto

dessas tensões;

2. Num sistema de eixos coordenados marque os pontos X(σx;-τxy ) e Y(σy;τxy )

e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (σmed;τmax ). Com

centro em C e raio CX, trace o círculo, encontrando os pontos A, B, D e E.

3. Os pontos A de coordenadas (σmax, 0) e B (σmin ; 0) representam as tensões

principais. O ângulo CAX é o ângulo 2 p.

• As equações anteriores podem ser combinadas encontrando-se a equação de um

círculo, chamado de cículo de Mohr para as tensões.

222yxmedx Rtss =

Page 8: Transformacao de tensoes

8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões

1 - 15

• Após desenhado o círculo, os demais valores

são encontrados geometricamente ou

calculados.

• As tensões principais são encontradas em A e B.

A direção de rotação de Ox para Oa é a mesma

que de CX para CA.

2

yxmed

sss

=OC=

22

2xy

yxR t

ss

=CX=

• Os planos principais são dados por:t2

yx

xy

ss =p2tan

XF

CF=

med Rs =s min =OB=OC-CX

med Rs =s max =OA=OC+CX

RCD ==maxt

D

F

E

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões

1 - 16

• Com o círculo de Mohr definido, o estado de

tensão para qualquer outra orientação pode ser

encontrado.

• Para um estado de tensão a um ângulo em

relação aos eixos xy, construa um novo

diâmetro X’Y’ com um ângulo 2 relativo ao

diâmetro XY.

• As tensões normal e a tensão de

cisalhamento para esta nova orientação, são

conseguidas pelas coordenadas de X’Y’.

Page 9: Transformacao de tensoes

9

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Círculo de Mohr Para Tensões Planas

1 - 17

• Círculo de Mohr para carga axial centrada:

0, === xyyxA

Ptss

A

Pxyyx

2=== tss

• Círculo de Mohr para torção pura:

J

Tcxyyx === tss 0 0=== xyyx

J

Tctss

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.02

1 - 18

Para o estado plano de tensões mostrado, (a) construa

o círculo de Mohr’s, determine (b) as tensões

principais, (c) os planos principais, (d) a tensão de

cisalhamento máxima e a correspondente tensão

normal.

SOLUÇÃO:

• a) Construção do círculo de Mohr:

MPa504030

MPa40MPa302050

MPa202

1050

2

22 ===

===

=

=

=

CXR

FXCF

yxmed

sss

Page 10: Transformacao de tensoes

10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.02

1 - 19

• b) Tensões principais

5020max === CAOCOAs

=

==

1.532

30

402tan

p

pCP

FX

= 6.26p

c) Planos principais

MPa70max =s

5020min === BCOCOBs

MPa30min =s

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.02

1 - 20

• d) Tensão de cisalhamento máxima e tensão normal neste plano:

= 45ps

= 6.71s

R=maxt

MPa 50max =t

medss =

MPa 20 =s

Page 11: Transformacao de tensoes

11

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.2

1 - 21

Para o estado de tensão mostrado, determine (a) as

tensões e os planos principais, (b) as componentes de

tensão para um elemento girado de 30º no sentido anti-

horário.

SOLUÇÃO:

• Construa o círculo de Mohr:

MPa524820

MPa802

60100

2

2222 ===

=

=

=

FXCFR

yxmed

sss

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.2

1 - 22

• a) Planos e tensões principais:

=

===

4.672

4.220

482tan

p

pCF

XF

oráriop h7.33 =

5280

max

=

== CAOCOAs

5280

max

=

== BCOCOAs

MPa132max =s MPa28min =s

Page 12: Transformacao de tensoes

12

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 7.2

1 - 23

==

===

===

==

6.52sin52

6.52cos5280

6.52cos5280

6.524.6760180

XK

CLOCOL

KCOCOK

yx

y

x

t

s

s

• b) Componentes de tensão para o

elemento girado de 30o

Os pontos X’ e Y’ correspondem as

componetes de tensão para o elemento

girado. = 602

MPa3.41

MPa6.111

MPa4.48

=

=

=

yx

y

x

t

s

s

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Estado Geral de Tensões

1 - 24

• O estado de tensão em Q é definido por:

zxyzxyzyx tttsss ,,,,,

• Considere o etado geral de tensões em um ponto Q,

representado pelo elemento tridimensional

• Considere o tetrahedro com face perpendicular à

linha QN e cossenos diretores: zyx ,,

• A exigência que: leva a, = 0nF

xzzxzyyzyxxy

zzyyxxn

ttt

ssss

222

222

=

• A forma da equação garante que pode ser encontrado

um elemento cuja orientação é:

222ccbbaan ssss =

Estes são os eixos principais que define os planos

principais e, a tensão normal, é uma tensão

principal.

Page 13: Transformacao de tensoes

13

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Aplicação do Círculo de Mohr à Análise

Tridimensional de Tensões

1 - 25

• As transformações de tensão para um

elemento girado em torno de um eixo

principal pode ser representado pelo

círculo de Mohr.

• Os três círculos representam as

tensões normais e de cisalhamento

para rotação do elemento em torno

de cada um dos eixos principais.

• Os pontos A, B, e C representam as

tensões principais nos planos principais

(tensão tangencial é nula) minmaxmax2

1sst =

• O raio do círculo maior é a tensão de

cisalhamento máxima no elemento.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Aplicação do Círculo de Mohr à Análise

Tridimensional de Tensões

1 - 26

• No caso de estado plano de tensões, o eixo

perpendicular às faces isentas de tensões, é

um eixo principal.

b) a tensão máxima de cisalhamento no

elemento é a tensão máxima de

cisalhamento no plano das tensões

a) as correspondentes tensões principais

para o elemento são a tensão máxima

e minima

• Se os pontos A e B (representando as

tensões principais) estão em lados opostos

da origem, então:

c) Os planos de tensão de cisalhamento

máxima estão a 45o dos planos

principais.

Page 14: Transformacao de tensoes

14

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

1 - 27

Aplicação do Círculo de Mohr à Análise

Tridimensional de Tensões

• Se A e B estão do mesmo lado, (isto é,

têm o mesmo sinal), então:

c) os planos de cisalhamento máximo,

formam 45º com os planos das tensões.

b) a máxima tensão de cisalhamento é

igual a metade da tensão normal

máxima

a) o cículo que define as tensõs no

elemento smax, smin, etmax não

correspondem as transformação no

plano das tensões

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis

1 - 28

• A falha de um componente de máquina

sujeito a uma carga axial pode ser

prevista por um simples ensaio de tração

• A falha de um componente de máquina

sujeito a um estado plano de tensões não

pode ser prevista diretamente de um

ensaio de tração do material.

• È conveniente determinar as tensões

principais e utilizar um critério de falha

para o tipo de material.

• Os critérios de falha são determinados a

partir dos mecanismos de falha de cada

tipo de material.

Page 15: Transformacao de tensoes

15

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis

1 - 29

Critèrio da Máxima Tensão de Cisalhamento:

Também chamado de Critério de Tresca, por este critério, é dito que um

componente estrutural estará seguro enquanto a tensão de cisalhamento

máxima no elemento for menor que a tensão de cisalhamento no escoamento de

um corpo de provas do material, isto é:

2max

YY

stt =

Para sa esb com o mesmo sinal,

222oumax

Yba ssst =

Para sa e sb com sinais opostos,

22max

Yba ssst

=

Hexágono de Tresca

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis

1 - 30

Critério da Máxima Energia de Distorção:

Também chamado de Critério de Von Mises, por

este critério, é considerado seguro um componente

estrutural cuja energia de distorção por unidade de

volume é menor que a energia por unidade de

volume de um corpo de provas submetido ao

ensaio de tração que inicia seu escoamento.

222

2222 006

1

6

1

Ybbaa

YYbbaa

Yd

GG

uu

sssss

ssssss

Comparação entre os dois critérios:

Observamos que o critério de Tresca é mais

conservador que o critério de Von Mises.

Page 16: Transformacao de tensoes

16

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Critérios de Ruptura Para Materiais Frágeis

1 - 31

Critério da Máxima Tensão Normal:

Um componente estrutural é considerado seguro

enquanto as tensões normais máximas não

ultrapassarem a tensão última atingida em um ensaio

de tração de um corpo de provas do material, isto é:Ub

Ua

ss

ss

Materiais frágeis falham repentinamente em ensaios de

tração. As condições de falha são caracterizadas pela

tensão última sU.

O critério de Coulomb apresenta uma séria deficiência, que é considerar

a resistência do material a tração a mesma que a compressão, o que não

é verdade, em função das imperfeições do material.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Critérios de Ruptura Para Materiais Frágeis

UCaUCaba

UTbUTaba

eNegativase

ePositivase

ssssss

ssssss

1 - 32

Critério de Mohr: É feito o ensaio do material a tração e a

compressão, encontrando-se σUT e σUC, respectivamente.

Faz-se um ensaio de torção, encontrando-se τU. Com estes

dados, traça-se o círculo de Mohr para cada uma destas

condições. Por este critério, o material estará seguro se:

Para σa e σb com sinais contrários, o elemento estará

seguro para qualquer estado de tensão contido no círculo

de Mohr determinado para torção, ou atenda a condição:

Quando não é feito o ensaio de torção, e só se conhece

σUT e σUC, o esquema gráfico pode ser simplificado,

conforme ao lado.

1UC

b

UT

a

s

s

s

s

Page 17: Transformacao de tensoes

17

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Vasos de Pressão de Paredes Finas-Cilindricos

1 - 33

• Vasos Cilindricos:

s1 = σc = tensão circunferencial

s2 = σ= tensão longitudinal

t

pr

xrpxtFz

=

==

1

1 220

s

s

• Tensão Circunferencial:

21

2

22

2

2

20

ss

s

s

=

=

==

t

pr

rprtFx

• Tensão Longitudinal:

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Vasos de Pressão de Paredes Finas-Cilindricos

1 - 34

• Os pontos A e B correspondem a tensão

circunferencial, s1, e a tensão longitudinal, s2,

respectivamente.

• Tensão de cisalhamento máxima no plano:

pr1

t422)planonomax(== st

• A tensão de cisalhamento máxima no vaso

encontra-se em um plano que forma 45o com

o plano das tensões, sendo seu valor:

t

pr

22max ==st

Page 18: Transformacao de tensoes

18

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Vasos de Pressão de Paredes Finas-Esféricos

1 - 35

• Vasos Esféricos:

• O círculo de Mohr para o plano das

tensões se degenera em um ponto.

• Tensão de cisalhamento máxima no

vaso (fora do plano das tensões):

t

pr

412

1max == st

t

pr

221 ==ss =σ

0

constante

plano)-max(no

21

=

===

t

sss

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Projeto de Vasos de Pressão de Paredes Finas - Projeto

3

2

3

4

6,02:

6,12,16,0

:

rVpEf

rptEsférico

DHDHrVpEf

rptCilindrico

adm

adm

s

s

=

=

=

=

1 - 36

O projeto de vasos de pressão baseia-se em normas técnicas tal como a ABNT

NR-13. Uma das mais conceituadas é a ASME, Sec. VIII – Div. 1 e 2. Segundo

a ASME:

Para o projeto de vasos de pressão, são

necessárias as seguintes informações:

1. Fluido;

2. Volume;

3. Pressão de Trabalho;

4. Temperatura de Trabalho.

Pressão de Projeto:

PP=1,1PT

Teste hidrostático e de

estanqueidade.

Atenção: cuidado com

os vasos sob pressão

externa.

Page 19: Transformacao de tensoes

19

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Estado Plano de Deformações

1 - 37

• Estados Planos de Deformação – situações

nas quais as deformações dos materiais

ocorrem em planos paralelos, e são as

mesmas em cada um desses planos.

• Exemplo: Considere uma barra longa,

submetida a um carregamento transversal

uniformemente distribuído. Existe um

estado plano de deformação em qualquer

seção transversal, localizada não muito

peróximo das extremidades da barra.

• Supondo que o eixo “z” é perpendicular aos

planos onde ocorrem as deformações,

temos:

E as únicas componentes de deformação que

Restam são:

0=== zyzxz gge

x xyy gee

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Estado Plano de Deformações

1 - 38

• O estado de deformação em um ponto Q

varia com relação aos eixos

coordenados: xy e x’y’ .

yxOBxy

xyyxOB

xyyx

eeeg

geeee

geee

=

==

=

2

45

cossinsincos

21

22

g

eeg

g

eeee

e

g

eeee

e

2cos2

2sin22

2sin2

2cos22

2sin2

2cos22

xyyxyx

xyyxyxy

xyyxyxx

=

=

=

• Aplicando as relações trigonométricas

usadas para o estado plano de tensões,

Page 20: Transformacao de tensoes

20

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Deformação

1 - 39

• Da mesma forma que construimos o círculo

para as tensões, usamos o mesmo método

para as deformações:

• Centro C e raio R ,

22

222

=

==

xyyxyx

med ROCgeeee

e

• Planos principais e deformações principais,

RR medmed

yx

xy

p

==

=

eeee

ee

g

minmax

2tan

22max 2 xyyxR geeg ==

• Deformação de cisalhamento máxima, no

plano:

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Análise Tridimensional de Deformação

1 - 40

• Vimos que, no caso mais geral de tensão,

podemos determinar três eixos de

coordenadas: a, b e c, chamados de eixos

principais, onde a tensão é nula.

• Estes eixos principais de tensão, também

são eixos principais de deformação

específica, ou seja, nos planos

perpendiculares a estes eixos, as

deformações de cisalhamento também são

nulas.

• Podemos então, representar este estado de

deformação através do Círculo de Mohr,

para uma rotação do elemento em torno

dos seus eixos principais.

Page 21: Transformacao de tensoes

21

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Análise Tridimensional das Deformações

1 - 41

• Para o caso de deformação plana, onde os

eixos x e y estão no estado plano de

deformações,

- O eixo z também é um eixo principal,

cujo ponto é representado por: Z = 0, na

origem “O”.

• Se os pontos A e B estiverem em lados

opostos da origem, a deformação de

cisalhamento máxima absoluta é igual a

deformação de cisahamento máxima no

plano, representada pelos pontos: D e E.

• Se os pontos A e B estiverem do mesmo lado

da origem, a deformação de cisalhamento

máxima absoluta é representada pelo

diâmetro do círculo “OA”, ou seja, pontos:

D’ e E’.

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Análise Tridimensional das Deformações

1 - 42

• Considere o caso de tensões planas:

0=== zbyax sssss

• Correspondendo as deformações:

babac

bab

baa

E

EE

EE

ee

ss

e

sse

sse

==

=

=

1

• Se o ponto B está localizado entre A e C no

circulo de Mohr, a deformação de

cisalhamento máxima é igual ao diâmetro

do cículo: CA.

• Observe que a deformação no eixo

perpendicular ao plano de tensão nula, não

é zero.

Page 22: Transformacao de tensoes

22

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Medidas das Deformações

1 - 43

• As deformações específicas normais podem

ser determinadas em qualquer direção, na

superfície de um elemento estrutural. Um

método para sua obtenção, é a utilização de

sensores de medição, também chamados de

extensômetros elétricos.

yxOBxy eeeg = 2

• Com uma roseta 45o, ex e ey são medidas

diretamente. A deformação de

cisalhamento, gxy, é obitida por:

• O arranjo de sensores, usados na medição

de três deformações específicas normais, é

chamado de roseta de deformação. Os

tipos mais comuns de arranjos, são as

rosetas 45º e 60º.

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Medidas das Deformações

1 - 44

3332

32

3

2222

22

2

1112

12

1

cossinsincos

cossinsincos

cossinsincos

geee

geee

geee

xyyx

xyyx

xyyx

=

=

=

• Deve-se observar que as componentes de deformação ex, ey e gxy em um

dado ponto, poderiam ser obtidas a partir das medidas de deformação

normal feitas ao longo de quaisquer três linhas traçadas através daquele

ponto e usando as equações abaixo:


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