GEOMETRIAGEOMETRIA

POLÍGONOSPOLÍGONOS

Polígono é uma figura Polígono é uma figura

geométrica cuja geométrica cuja palavra é proveniente palavra é proveniente do grego que quer do grego que quer dizer: poli(muitos) + dizer: poli(muitos) + gonos (ângulos). Um gonos (ângulos). Um polígono é uma linha polígono é uma linha poligonal fechada poligonal fechada formada por formada por segmentos segmentos consecutivos, não consecutivos, não colineares que se colineares que se fecham.fecham.

A região interna a um polígono é a região A região interna a um polígono é a região

plana delimitada por um polígonoplana delimitada por um polígono Muitas vezes encontramos Muitas vezes encontramos

na literatura sobre na literatura sobre Geometria a palavra Geometria a palavra polígono identificada com polígono identificada com a região localizada dentro a região localizada dentro da linha poligonal fechada da linha poligonal fechada mas é bom deixar claro mas é bom deixar claro que polígono representa que polígono representa apenas a linha. Quando apenas a linha. Quando não há perigo na não há perigo na informação sobre o que se informação sobre o que se pretende obter, pode-se pretende obter, pode-se usar a palavra num ou no usar a palavra num ou no outro sentido.outro sentido.

Considerando a figura anexada, Considerando a figura anexada, observamos que:observamos que:

Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são os lados do polígono e da são os lados do polígono e da região poligonal.região poligonal.

Os pontos A, B, C, D, E são os Os pontos A, B, C, D, E são os vértices da região poligonal e do vértices da região poligonal e do polígono.polígono.

Os ângulos da linha poligonal, da Os ângulos da linha poligonal, da região poligonal fechada e do região poligonal fechada e do polígono são: A, B, C, D e E polígono são: A, B, C, D e E

Regiões poligonais quanto Regiões poligonais quanto à convexidadeà convexidade

Região poligonal Região poligonal convexa:convexa: É uma É uma região poligonal que região poligonal que não apresenta não apresenta reentrâncias no reentrâncias no corpo da mesma. Isto corpo da mesma. Isto significa que todo significa que todo segmento de reta segmento de reta cujas extremidades cujas extremidades estão nesta região estão nesta região estará totalmente estará totalmente contido na região contido na região poligonal.poligonal.

Região poligonal não convexa:Região poligonal não convexa: É É uma região poligonal que apresenta uma região poligonal que apresenta reentrâncias no corpo da mesma, o reentrâncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta que ela possui segmentos de reta cujas extremidades estão na região cujas extremidades estão na região poligonal mas que não estão poligonal mas que não estão totalmente contidos na região totalmente contidos na região poligonal.poligonal.

Nomes dos polígonosNomes dos polígonos Dependendo do número de lados, um polígono Dependendo do número de lados, um polígono

recebe os seguintes nomes de acordo com a recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela:tabela:

Polígono Regular:Polígono Regular:

É o polígono que É o polígono que possui todos os lados possui todos os lados congruentes e todos congruentes e todos os ângulos internos os ângulos internos congruentes. No congruentes. No desenho animado ao desenho animado ao lado podemos lado podemos observar os observar os polígonos: triângulo, polígonos: triângulo, quadrado, quadrado, pentágono, hexágono pentágono, hexágono e heptágono.e heptágono.

Triângulos e a sua classificaçãoTriângulos e a sua classificação

Triângulo é um polígono de três Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.medianas e bissetrizes.

Apresentaremos agora alguns objetos Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.com detalhes sobre os mesmos.

Vértices: A,B,C.Vértices: A,B,C.

Lados: AB,BC e Lados: AB,BC e AC.AC.

Ângulos internos: Ângulos internos: a, b e c.a, b e c.

Altura:Altura: É um segmento de reta traçado a É um segmento de reta traçado a partir de um vértice de forma a encontrar partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.

Mediana:Mediana: É o segmento que une um vértice É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM é uma ao ponto médio do lado oposto. BM é uma mediana.mediana.

Bissetriz:Bissetriz: É a semi-reta que divide um É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B ângulo em duas partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.

Ângulo Interno:Ângulo Interno: É formado por dois É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui lados do triângulo. Todo triângulo possui três ângulos internos.três ângulos internos.

Ângulo Externo: É formado por um dos lados do Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente(ao triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente(ao

lado).lado).

Medidas dos ângulos de um Medidas dos ângulos de um triângulotriângulo

Ângulos Internos:Ângulos Internos: Consideremos o Consideremos o triângulo ABC. triângulo ABC. Poderemos identificar Poderemos identificar com as letras com as letras aa, , bb e e cc as medidas dos as medidas dos ângulos internos ângulos internos desse triângulo. Em desse triângulo. Em alguns locais alguns locais escrevemos as letras escrevemos as letras maiúsculas A, B e C maiúsculas A, B e C para representar os para representar os ângulos.ângulos.

A soma dos ângulos A soma dos ângulos internos de internos de qualquer triângulo é qualquer triângulo é sempre igual a 180 sempre igual a 180 graus, isto é:graus, isto é:

a + b + c = 180ºa + b + c = 180º

Exemplo:Exemplo: Considerando o Considerando o triângulo abaixo, triângulo abaixo, podemos escrever podemos escrever que: que: 70º+60º+x=180º e 70º+60º+x=180º e dessa forma, dessa forma, obtemos x=180º-obtemos x=180º-70º-60º=50º.70º-60º=50º.

Ângulos Externos: Consideremos o triângulo Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os internos e as respectivas letras maiúsculas os

ângulos externos.ângulos externos.

Todo ângulo externo de um triângulo Todo ângulo externo de um triângulo

é igual à soma dos dois ângulos é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim:ângulo externo. Assim:

A = b+c,   B = a+c,   C = a+bA = b+c,   B = a+c,   C = a+b

Exemplo:Exemplo: No triângulo desenhado No triângulo desenhado ao lado: x=50º+80º=130º.ao lado: x=50º+80º=130º.

Congruência de TriângulosCongruência de Triângulos

A idéia de congruênciaA idéia de congruência: Duas : Duas figuras planas são congruentes figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho.tamanho.

Para escrever que dois triângulos Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, ABC e DEF são congruentes,

usaremos a notação:usaremos a notação:ABC ~ DEFABC ~ DEF

Para os triângulos das figuras Para os triângulos das figuras abaixo:abaixo:

existe a congruência entre os lados, existe a congruência entre os lados, tal que:tal que:

AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ TRAB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ TR

e entre os ângulos:e entre os ângulos:

A ~ R , B ~ S , C ~ TA ~ R , B ~ S , C ~ T Se o triângulo ABC é congruente ao Se o triângulo ABC é congruente ao

triângulo RST, escrevemos:triângulo RST, escrevemos:

ABC ~ RSTABC ~ RST

Dois triângulos são congruentes, se os seus Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamenterespectivamente as mesmas medidas. as mesmas medidas.

Para verificar se um triângulo é congruente a Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer três todos os seis elementos, basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos congruentes marcados com símbolos gráficos iguais.iguais.

Casos de Congruência de Casos de Congruência de TriângulosTriângulos

LLL (Lado, Lado, Lado):LLL (Lado, Lado, Lado): Os três Os três lados são conhecidos.lados são conhecidos.

Dois triângulos são congruentes Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os quando têm, respectivamente, os três lados congruentes. Observe três lados congruentes. Observe que os elementos congruentes têm que os elementos congruentes têm a mesma marca.a mesma marca.

LAL (Lado, Ângulo, Lado):LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados Dados

dois lados e um ângulodois lados e um ângulo

Dois triângulos são congruentes Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes quando têm dois lados congruentes e os ângulos formados por eles e os ângulos formados por eles também são congruentes.também são congruentes.

ALA (Ângulo, Lado, Ângulo):ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um ladoDados dois ângulos e um lado

Dois triângulos são congruentes Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos quando têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes. respectivamente, congruentes.

LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo

oposto):oposto): Conhecido um lado, um Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado.ângulo e um ângulo oposto ao lado.

Dois triângulos são congruentes Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, quando têm um lado, um ângulo, um ângulo adjacente e um ângulo um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente oposto a esse lado respectivamente congruentes.congruentes.

GEOGEBRAGEOGEBRA

Exercícios para resolver com o Exercícios para resolver com o geogebra, orientação passo geogebra, orientação passo

a passo.a passo.

1-) Soma dos ângulos internos de um triângulo:1-) Soma dos ângulos internos de um triângulo: 1. Esconda o sistema de eixos 1. Esconda o sistema de eixos Fig. 1Fig. 1;; 2. Defina um triângulo traçando três segmentos 2. Defina um triângulo traçando três segmentos

de reta de reta Fig. 2Fig. 2;; 3. Peça as medidas dos ângulos internos do 3. Peça as medidas dos ângulos internos do

triângulo triângulo Fig. 3Fig. 3. O Geogebra atribui . O Geogebra atribui automaticamente uma letra grega a cada um automaticamente uma letra grega a cada um dos ângulos.dos ângulos.

4. Calcule a soma dos três ângulos 4. Calcule a soma dos três ângulos Fig. 4Fig. 4. Pode . Pode ver agora a variável soma na barra de álgebra ver agora a variável soma na barra de álgebra Fig. 5Fig. 5..

5. Represente no ecrã, junto ao triângulo a 5. Represente no ecrã, junto ao triângulo a soma dos ângulos internos soma dos ângulos internos Fig. 6Fig. 6..

6. Arraste os pontos, alterando o triângulo. 6. Arraste os pontos, alterando o triângulo. Verifique que a soma dos ângulos internos se Verifique que a soma dos ângulos internos se mantém.mantém.

Figura 1: Figura 1: Esconder Eixos de Esconder Eixos de coordenadas – desative a opção coordenadas – desative a opção

realçada na figura. Neste menu pode realçada na figura. Neste menu pode ainda definir se pretende ver ou um ainda definir se pretende ver ou um

fundo quadriculado, a janela de fundo quadriculado, a janela de álgebra.álgebra.

Figura 2: Figura 2: Para traçar um segmento de Para traçar um segmento de

reta escolha a ferramenta evidenciada e reta escolha a ferramenta evidenciada e faça clique no ecrã para definir um ponto, faça clique no ecrã para definir um ponto, arraste e faça um segundo cliquearraste e faça um segundo clique “Tecnologias na aprendizagem da “Tecnologias na aprendizagem da Matemática”Matemática”

Figura 3: Figura 3: Selecione a ferramenta Selecione a ferramenta

em destaque e aponte para os 3 em destaque e aponte para os 3 pontos que definem o ângulopontos que definem o ângulo

Figura 4: Figura 4: Para definir uma variável Para definir uma variável

(soma) que escreva na linha de (soma) que escreva na linha de entrada soma=α entrada soma=α + + β β + + γ. Para obter γ. Para obter as letras gregas utilize a caixa as letras gregas utilize a caixa assinalada na figura.assinalada na figura.

Figura 5: Figura 5: Em destaque a o Em destaque a o

resultado da somaresultado da soma

Figura 6: Figura 6: Utilize a ferramenta em destaque para Utilize a ferramenta em destaque para

inserir texto na janela do Geogebra. Pode juntar inserir texto na janela do Geogebra. Pode juntar várias cadeias de texto separando-as pelo sinal várias cadeias de texto separando-as pelo sinal de “+”. Neste caso “Soma=α de “+”. Neste caso “Soma=α + + ββ+ + γ γ ==” será ” será textotexto enquanto que a segunda vez que aparece a enquanto que a segunda vez que aparece a palavra soma será substituída pelo valor da palavra soma será substituída pelo valor da variável definida anteriormente, uma vez que não variável definida anteriormente, uma vez que não se encontra entre ” .se encontra entre ” .

Figura 7: Figura 7: Para arrastar os pontos Para arrastar os pontos deve selecionar a ferramenta em deve selecionar a ferramenta em destaque (seta). Caso contrário, destaque (seta). Caso contrário, continuará a utilizar a última continuará a utilizar a última ferramenta que tinha utilizadoferramenta que tinha utilizado

Resolução do exercício 1.Resolução do exercício 1.

2-)2-) Construção de um quadrado utilizando retas paralelas Construção de um quadrado utilizando retas paralelas e perpendicularese perpendiculares

1. Esconda os de eixos 1. Esconda os de eixos Fig. 1Fig. 1;; 2. defina um segmento de reta AB 2. defina um segmento de reta AB Fig. 2Fig. 2 3. trace uma reta perpendicular ao segmento de reta que 3. trace uma reta perpendicular ao segmento de reta que

passe pelo ponta A passe pelo ponta A Fig. 8Fig. 8;; 4. construa uma circunferência, de centro A, que passe pelo 4. construa uma circunferência, de centro A, que passe pelo

ponto B ponto B Fig. 9Fig. 9; 5. marque um dos pontos (C) de ; 5. marque um dos pontos (C) de intersecção da circunferência com a reta intersecção da circunferência com a reta Fig. 10Fig. 10;;

6. trace uma reta paralela a AB que passe por C e uma 6. trace uma reta paralela a AB que passe por C e uma perpendicular a AB que passe por B;perpendicular a AB que passe por B;

7. marque o ponto de intersecção das retas traçadas no 7. marque o ponto de intersecção das retas traçadas no ponto anterior e defina os segmentos BC, CD e DA ponto anterior e defina os segmentos BC, CD e DA Fig. 10Fig. 10;;

8. esconda a circunferência e as retas auxiliares de que já 8. esconda a circunferência e as retas auxiliares de que já não precisa não precisa Fig. 12Fig. 12;;

9. Meça os comprimentos dos lados e as amplitudes dos 9. Meça os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos do quadradoângulos do quadrado

Fig. 13Fig. 13 10. verifique que a figura obtida tem a propriedades de um 10. verifique que a figura obtida tem a propriedades de um

quadrado e que estas se mantêm quando arrasta um dos quadrado e que estas se mantêm quando arrasta um dos pontos azuis (A ou B) pontos azuis (A ou B) Fig. 7Fig. 7..

Figura 8: Figura 8: Traçar uma reta que Traçar uma reta que

passa por um ponto dado e é passa por um ponto dado e é perpendicular a um segmento. perpendicular a um segmento. Selecione a ferramenta em evidência Selecione a ferramenta em evidência na figura, depois, faça clique no na figura, depois, faça clique no segmento e no ponto.segmento e no ponto.

Figura 9: Figura 9: Traçar uma Traçar uma circunferência definida pelo centro e circunferência definida pelo centro e um ponto. Selecione a ferramenta um ponto. Selecione a ferramenta em destaque, depois faça clique no em destaque, depois faça clique no Centro, arraste e faça clique no Centro, arraste e faça clique no ponto que pertence à circunferência.ponto que pertence à circunferência.

Figura 10: Figura 10: Marcar um ponto de Marcar um ponto de intersecção. Selecione a ferramenta intersecção. Selecione a ferramenta destacada, aponte para o ponto de destacada, aponte para o ponto de intersecção dos objetos e faça clique intersecção dos objetos e faça clique quando estiverem ambos quando estiverem ambos selecionados (ficam ligeiramente selecionados (ficam ligeiramente mais escuros)mais escuros)

Figura 11: Figura 11: Definir uma reta Definir uma reta paralela ao segmento AB que passa paralela ao segmento AB que passa pelo ponto C. Com a ferramenta em pelo ponto C. Com a ferramenta em destaque, faça clique sobre o destaque, faça clique sobre o segmento AB e depois sobre o ponto segmento AB e depois sobre o ponto CC

Figura 12: Figura 12: Esconder objetos. Para Esconder objetos. Para

esconder um objeto faça clique,com esconder um objeto faça clique,com o botão do lado direito, sobre o o botão do lado direito, sobre o objeto e escolha a opção “Exibir objeto e escolha a opção “Exibir objeto” de modo a desativar a sua objeto” de modo a desativar a sua visibilidadevisibilidade

Figura 13: Figura 13: Ferramentas para obter Ferramentas para obter

comprimentos, distâncias e amplitudes de comprimentos, distâncias e amplitudes de ângulos. Para medir comprimentos basta ângulos. Para medir comprimentos basta selecionar a ferramenta e fazer clique sobre um selecionar a ferramenta e fazer clique sobre um segmento ou circunferência. Pode também obter segmento ou circunferência. Pode também obter a distância entre dois pontos fazendo clique num a distância entre dois pontos fazendo clique num e depois no outro. Para as amplitudes dose depois no outro. Para as amplitudes dos ângulos, selecione a ferramenta destacada e, de ângulos, selecione a ferramenta destacada e, de seguida, três pontos de modo a que o vértice seja seguida, três pontos de modo a que o vértice seja

o segundo ponto a ser apontado.o segundo ponto a ser apontado.

Resolução do exercício 2.Resolução do exercício 2.

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

http://pessoal.sercomtel.com.br/http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-matematica/fundam/geometria/geo-ang.htmang.htm

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