Instituto Politecnico de Bragança
Escola Superior de Tecnologia e de Gestão Engenharia Mecânica
Trabalho elaborado por: • Cláudio Veloso e Silva nº 10078
• Paulino Pereira Lourenço nº 9547
2º Ano, Engenharia Mecânica
Data: 06/06/2003
Trabalho de Mecânica dos Materiais II
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Índice: Objectivos………………………………………………………………………….Pág2 Introdução………………………………………………………………………….Pág.3 Análise numérica da estrutura através do programa (Ansys)………………………Pág.4 Estudo analítico da estrutura……………………………………………………….Pág.7 i)- Cálculo das reacções…………………………………………………………………….Pág.7
ii) Diagrama de esforços internos…………………………………………………………..Pág.8
iii) Determinação da intensidade do máximo momento flector da viga, e a máxima tensão normal………………………………………………………………………………Pág.9
iv) Determinação da localização e da intensidade do máximo esforço transverso na viga e máxima tensão de corte………………………………………………………….Pág.9 v) Calculo da flecha e a rotação para o ponto solicitado, (B) através da Equação da Linha Elástica……………………………………………………...Pág.10
vi) Ponto da viga correspondente ao deslocamento e rotação máximo…………………….Pág.12 vii) Calculo da flecha e rotação para o ponto solicitado, utilizando o Método da sobreposição………………………………………………………Pág.13
Comparação de resultados…………………………………………………………Pág.18 Análise critica……………………………………………………………………...Pág.18 Bibliografia………………………………………………………………………...Pág.19 Anexos……………………………………………………………………………..Pág.20
Análise de uma de uma viga sujeita a um carregamento estático 2
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Objectivos:
Para a realização deste trabalho, vamos ter como base os seguintes objectivos: ٠ Análise numérica da estrutura pelo método dos elementos finitos , (programa Ansys), e apresentação dos respectivos resultados. ٠ Estudo analítico da estrutura, com as respectivas formulações , no que respeita a:
i) – Cálculo das reacções; ii) – desenhar o diagrama de esforços internos, identificando as respectivas secções e as
respectivos cálculos;
iii) – determinar a localização e a intensidade do máximo momento flector na viga e calcular a máxima tensão normal;
iv) – determinar a localização e a intensidade do máximo esforço transverso na viga e
calcular a máxima tensão de corte;
v) – calcular a flecha e a rotação para o ponto solicitado , através da Equação da Linha Elástica;
vi) – identificar o ponto da viga, correspondente ao deslocamento e rotação máximos;
vii) – calcular a flecha e a rotação para o ponto solicitado, através do Método da
Sobreposição.
٠ Comparação dos resultados obtidos em ambos os métodos.
Análise de uma de uma viga sujeita a um carregamento estático 3
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Introdução:
A acção de forças aplicadas em vigas, provocam a flexão das mesmas em relação à sua posição inicial. Esta flexão deve, na fase de projecto ser limitada a valores admissíveis, quer por razões de funcionamento quer estéticas. Neste trabalho pretende-se efectuar o estudo de uma viga sujeita a carregamentos estáticos, através de dois métodos, (estudo analítico e estudo numérico, programa Ansys) para uma posterior comparação. Para a realização deste trabalho serão seguidas todas as normas e procedimentos necessários para a obtenção de resultados mais fiáveis. Pedimos desde já as nossas sinceras desculpas por qualquer erro cometido.
Análise de uma de uma viga sujeita a um carregamento estático 4
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Análise numérica da estrutura através do programa (Ansys):
Diagrama de esforços transversos (fig.1)
Diagrama de momentos flectores (fig.2)
Análise de uma de uma viga sujeita a um carregamento estático 5
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Tensões normais máximas (fig.3)
Tensões normais mínimas (fig.4)
Análise de uma de uma viga sujeita a um carregamento estático 6
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(fig.6)
(fig.7)
Análise de uma de uma viga sujeita a um carregamento estático 7
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Através das figuras que foram obtidas através do programa Ansys, podemos verificar o comportamento de uma viga quando sujeita a um carregamento estático de forças e de momentos. Com os resultados obtidos através do programa, vamos proceder a uma comparação de valores.
Estudo analítico da estrutura: Para a seguinte estrutura:
E=210GPa ν=0,3 IPE 160
i)- Cálculo das reacções;
Análise de uma de uma viga sujeita a um carregamento estático 8
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⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
∑∑∑
0
0
0
MA
Fy
Fx
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−−=−+
=
06.3.4.20.
0
RCYLqMCMALqRCYRAY
RAX
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=
=⇔
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
++−=
=+=
35.6635.29
0
35.6635.66396
0
6.34.2*396327318
3960
ERCYERAY
RAX
ERCYEERAY
RAX
EEERCY
ERCYRAYRAX
ii) Diagrama de esforços internos;
#Secção 1 0≤X≤1.2 V=29.5 Mf=29.5E3*X-18E3
#Secção2 1.2≤X≤3.6 V=29.5*X-18-40*(X-1.2)
Mf=2
)2.1(*)2.1(40185.29 −−−−
XXX
Cálculos auxiliares:
mXX
XXX
9375.105.7740
02
)2.1(*)2.1(40185.29'
=⇔=+−
⇔=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−−
# Obtém-se um máximo para X=1.9375 metros, o que significa que o momento flector é máximo para este ponto. # Como a segunda derivada é negativa verifica-se que a concavidade é voltada para baixo.
Análise de uma de uma viga sujeita a um carregamento estático 9
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iii) Determinação da intensidade do máximo momento flector da viga, e a máxima tensão normal; Mfmaximo: X=1.9375 28.2783KN
MPaE
EadmWMfadm
admMfW 1499.260
67.1083278.28
minmaxmaxmin ⇔
−=⇔=⇔= σσ
σ
iv)Determinação da localização e da intensidade do máximo esforço transverso na viga e máxima tensão de corte;
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#A zona critica é a zona a Vmax=66.5KN AreaAlma=606.8E-6 2m 382*34.7 −−= EEAreaAlma
MPaEE
AreaAlmaV 59.109
6.8.60635.66maxmaxmax ⇔=⇔= ττ
v)Calculo da flecha e a rotação para o ponto solicitado, (B) através da Equação da Linha Elástica;
MfS1=29.5X-18 MfS2= 8.465.7720 2 −+− XX #Secção1 Equações para a rotação:
11825.29
)185.29(
185.29
2
2
2
CXXXYEI
dXXXYEI
XXYEI
+−=∂∂
⇔
−=∂∂
⇔
−=∂∂
∫
Equações para a Flecha:
212
1865.29
11825.29
23
2
CXCXXEIY
dXCXXEIY
++−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= ∫
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#Secção2 Equações para a rotação:
( )
38.4625.77
320
)8.465.7720
8.465.7720
23
2
22
2
CXXXXYEI
dXXXXYEI
XXXYEI
+−+−=∂∂
⇔
−+−=∂∂
⇔
−+−=∂∂
∫
Equações para a Flecha:
4328.46
65.77
1220
38.4625.77
320
234
23
CXCXXXEIY
dXCXXXEIY
++−+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−= ∫
# Condições fronteira:
1. 00X =⇒= Y 2. 03.6X =⇒= Y
Para X=1.2 temos
3. 21/1/ SYSY =
4. 21 SXYS
XY
∂∂
=∂∂
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++−
++−+−=
++−=
38.4625.77
6201118
25.291
4328.46
65.77
1220121
218
65.291
4328.46
65.77
1220
212
1865.29
232
23423
234
23
CXXXEI
CXXEI
CXCXXXEI
CXCXXEI
CXCXXXEIY
CXCXXEIY
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−=−−+
=++=
052.11310432.112.1368.10
0436.344.1902
CCCCC
CCC
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
52.11368.1044.19
0
4321
*
010112.102.1
16.3000010
CCCC
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⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−=
=−=
456.5444.43
0296.151
CCCC
Substituindo em
212
1865.29 23
CXCXXEIY ++−=
11825.29 2
CXXXYEI +−=∂∂
Para x=1.2 temos:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−=
−−=∂∂
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++−=−
+−=∂∂
−
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++−=
+−=∂∂
146331293318729.0
28628921139101.0
22.1*12
2.1*186
2.1*5.29*83.869*9210
12.1*182
2.1*5.29*83.869*9210
212
1865.29
11825.29
23
2
23
2
EY
EXY
CCYEE
CXYEE
CXCXXEIY
CXXXYEI
vi)Ponto da viga correspondente ao deslocamento e rotação máximo:
mXX
XXEXE
9375.105.7740
02
)2.1(*)2.1(4031835.29'
=⇔=+−
⇔=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−−
# Temos um máximo para X=1.9375 metros, o que significa que o momento flector é máximo neste ponto, e a rotação também é máxima
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vii)Calculo da flecha e rotação para o ponto solicitado, utilizando o Método da sobreposição; Caso1 Calculo das reacções:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
−−⇔
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−=−−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=−+
=
KNRCYKNRAY
RCY
RAYRCY
RCYRAYRAX
6432
6.34.2*96
64960*6.34.2*96
0960
#Secção1 # Equação das rotações:
12
32
32
32
2
2
2
CXdxdyEI
dXXdxdyEI
Xdx
ydEI
+=
⇔=
=
∫
Equação da flecha:
216
32
12
32
3
2
CXCXEIy
dXCXEIy
++=
+= ∫
#Secção2 #Equação das rotações:
38.282
803
202
)2.1(*)2.1(*4032
2)2.1(*)2.1(*4032
23
2
2
CXXXdxdyEI
dXXXXdxdyEI
XXXdx
ydEI
+−+−
=
⇔−
−+=
−−+=
∫
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#Equação da flecha:
4328.28
680
1220
38.282
803
20
234
23
CXCXXXEIy
dXCXXXEIy
++−+−
=
⇔+−+−
= ∫
# Condições fronteira:
1. 00X =⇒= Y 2. 03.6X =⇒= Y
Para X=1.2
3. 21/1/ SYSY =
4. 21 SXYS
XY
∂∂
=∂∂
# Calcular as constantes de integração: 1 Para X=1.2
02216
32 3
=⇒⎩⎨⎧
++−
= CCXCXEIy Eq. 1
2 Para X=3.6
52.15543
4328.28
680
1220 234
−=+⇔
⇔++−+−
=
CXC
CXCXXXEIy Eq. 2
3 Para X=1.2 21 SYSY =
368.1043143152.11216.9
4328.28
680
1220121
6321 2343
−=−−⇔++−=+⇔
⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−+
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
CXCXCCXCXC
CXCXXXEIy
CXCXEIy
Eq. 3
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4 Para X=1.2
⇔∂∂
=∂∂ 21 S
XyS
Xy
52.1131352.1114.23
38.282
803
2012
32 232
−=−⇔+=+⇔
⇔+−+−=+⇔
CCCC
CXXXCX Eq. 4
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−==−=
⇔
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
456.3424.423
0276.531
52.11368.1052.155
0
4321
010112.102.1
16.3000010
CC
CC
CCCC
Substituindo em: 83.869*6210 −= EEEI Para X=1.2
030290381.0
216
32 3
−=
⇔++=
Y
CXCXEIY
01682799.0
12
32 2
−=∂∂
⇔+=∂∂
XY
CXXYEI
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Caso2
Para X=2.4
00788812.0
)4.2*6.34.2(6.3*53.1825*6
18
)(6
23
23
=⇔
⇔−−=⇔
⇔−−=
Y
Y
XLXEILMY
( )
001972.0)6.34.2*3(6.3*53.1825*6
18
)3(6
6
22
22
'23
−=∂∂
⇔−−=∂∂
⇔
⇔−−=∂∂
⇔
⇔−−=∂∂
XY
XY
LXEILM
XY
XLXEILM
XY
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Caso 3
Para X=1.2
0094657.0
)2.1*6.32.1(6.3*53.1825*6
27
)(6
23
23
=⇔
⇔−−=⇔
⇔−−=
Y
Y
XLXEILMY
( )
00591609.0)6.32.1*3(6.3*53.1825*6
27
)3(6
6
22
22
'23
=∂∂
⇔−−=∂∂
⇔
⇔−−=∂∂
⇔
⇔−−=∂∂
XY
XY
LXEILM
XY
XLXEILM
XY
01293656.0321
−=⇔⇔++=
YTotalYcasoYcasoYcasoYTotal
0128839.0
321
−=∂∂
⇔
⇔∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
TotalXY
casoXYcaso
XYcaso
XYTotal
XY
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Comparação de resultados:
Estudo analítico Estudo numérico Momento flector máximo 28.2783KN 28.272KN
Esforço transverso máximo 66.5KN 66.5KN Rotação máxima em B -0.8921139E-2 -0.89399E-02 Flecha máxima em B -0.1293318E-1 -0.12937E-01
Rotação máxima em x=1.9375 -0.1429621E-1 0.13298E-01 Flecha máxima em x=1.9375 -0.1384356E-1 -0.16143E-01
RAy 29.5KN 29.5KN RCy 66.5KN 66.5KN
Análise critica:
Através da anterior tabela, verifica-se que os resultados obtidos em ambos os métodos são muito próximos, o que significa que qualquer discrepância entre os valores se deve apenas a arredondamentos de cálculo, não sendo este, um valor significativo.
Após a realização deste trabalho, verifica-se que ambos os métodos utilizados se mostram bastante fiáveis para este tipo de estudo, no entanto o método numérico, (Programa Ansys) mostra-se mais eficiente, rápido, com uma margem de erro mais reduzida.
Por fim, damos por concluído o trabalho, pedindo mais uma vez desculpa por qualquer erro ou lapso não detectados.
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Bibliografia:
Método de elementos finitos, introdução ao Ansys , Engº. Luís Manuel Ribeiro de Mesquita, ESTIG, IPB, 02 de Maio de 2002, Bragança. Apontamentos de Mecânica dos Materiais II, Engº. Luís Manuel Ribeiro de Mesquita, ESTIG, IPB, 04de Fevereiro de 2003, Bragança. Catalogo comercial da Profil Arbed, Março de 2001.Luxemburgo.
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Anexos:
Análise de uma de uma viga sujeita a um carregamento estático 21