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1
Tópicos Extras 2ª parte
Análise de Correlação e Regressão
![Page 2: Tópicos Extras 2ª partemarcelo.menezes.reis/Aula12CPGCC2019.pdf · 2019. 3. 8. · Tópicos Extras 2ª parte Análise de Correlação e Regressão . 2 Definições básicas](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062605/5fce7a9e90224355b56248c1/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Definições básicas
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO
Mensurar a “força” da associação entre as variáveis (geralmente através do cálculo de algum coeficiente).
ANÁLISE DE REGRESSÃO
Modelo matemático (modelo de regressão): uma equação que mostre o relacionamento entre as variáveis.
Previsões.
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3
Pressupostos básicos
Observações emparelhadas.
Há apenas UMA variável dependente (de resposta).
Y (Quantitativa) = f(X1, X2, ..., Xp) quantitativas/
qualitativas (dummies)
Amostra aleatória.
Quantidade suficiente de dados.
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4
Classificação dos modelos
Análise de
Correlação
Análise de
Regressão
Regressão Linear
Simples
Regressão Linear
Múltipla
Regressão Não
Linear
Exponencial Logística
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5
Diagrama de Dispersão
Apenas DUAS variáveis.
Diagrama cartesiano de pares (X-Y) de valores.
Identificar padrões:
Há evidência de correlação entre as variáveis?
Qual é a sua força e direção?
Possível ajustar um modelo de regressão?
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6
Diagrama de Dispersão
Correlação Linear
Positiva
Correlação
Linear Negativa SEM correlação
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7
Diagrama de Dispersão
0.000
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
140.000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Peso (kg)
Te
mp
o d
e e
ntr
eg
a (
h)
Correlação NÃO LINEAR
![Page 8: Tópicos Extras 2ª partemarcelo.menezes.reis/Aula12CPGCC2019.pdf · 2019. 3. 8. · Tópicos Extras 2ª parte Análise de Correlação e Regressão . 2 Definições básicas](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062605/5fce7a9e90224355b56248c1/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Análise de Correlação
Apenas duas variáveis: correlação simples.
Coeficiente de correlação linear de Pearson: r
Mais de duas variáveis: correlação múltipla.
Análise da matriz de correlação entre as
variáveis.
Coeficiente de correlação múltipla: r múltiplo
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9
Correlação linear simples
Diagrama de dispersão: correlação linear.
Coeficiente de correlação linear de Pearson (, r): medir a força e a direção do relacionamento LINEAR entre as duas variáveis:
𝑟 =𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑠𝑋 × 𝑠𝑌=
𝑥𝑖 − 𝑥 × 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑛𝑖=1
𝑛 − 1𝑠𝑋 × 𝑠𝑌
𝑟𝑖𝑗 =𝑠𝑖𝑗
𝑠𝑖𝑖 × 𝑠𝑗𝑗
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10
Coeficiente de Correlação Linear de Pearson
r
-1 0 +1
Correlação
Linear
Negativa
Perfeita
Sem
Correlação
Linear
Correlação
Linear
Positiva
Perfeita
forte entoRelacionam 7,0r
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11
Correlação linear simples
![Page 12: Tópicos Extras 2ª partemarcelo.menezes.reis/Aula12CPGCC2019.pdf · 2019. 3. 8. · Tópicos Extras 2ª parte Análise de Correlação e Regressão . 2 Definições básicas](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062605/5fce7a9e90224355b56248c1/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Teste de hipóteses sobre
Hipótese nula: = 0
Hipótese alternativa: > 0, < 0, 0
Estatística de teste:
22nr1
2nrt
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Modelo de regressão
Y = β0 + β1 × X1 + β2 × X2 + ... + βp × Xp + ε
13
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Pressupostos do modelo de regressão
14
Pressupostos Violações
1 Y é função linear de X1, ..., Xp e do erro Regressores inadequados, não linearidade
2 E(ε) = 0 Estimadores viesados
3 Erro tem distribuição normal, sem autocorrelação e sem correlação com X1, ..., Xp
Heterocedasticidade, autocorrelação dos resíduos
4 Observações das variáveis X1, ..., Xp
supostas sem erro. Erros de levantamento ou medida das variáveis
5 Variáveis X1, ..., Xp não têm relação linear entre si, n > p
Multicolinearidade
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Etapas da Análise de Regressão
15
Identificar variáveis
independentes e a
dependente
Definir a forma da
linha de regressão
Encontrar
parâmetros da linha
de regressão com
base nos dados
Testes estatísticos:
há regressão? Quais
variáveis
independentes?
Análise de resíduos
do modelo Resíduos
OK?
SIM Previsões
NÃO
Revisar modelo Transformações
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16
Regressão Linear Simples
Há apenas uma variável independente X.
Linear não significa apenas que a equação de regressão seja uma reta:
As variáveis podem sofrer transformação (logaritmos, inversão), de maneira a possibilitar um melhor ajuste ou satisfazer os pressupostos.
Transformação apenas de X, apenas de Y, ou de ambas.
O modelo é linear nos PARÂMETROS, que não podem sofrer transformação alguma.
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17
Forma da linha de regressão
preta
y = b1x +b0
vermelha
y = b1Ln(x) +b0
azul
y = b2x2 + b1x + b0
verde
y = b1xb2
laranja
y = b1eb2x
-400.000
-200.000
0.000
200.000
400.000
600.000
800.000
1000.000
1200.000
1400.000
0 500 1000 1500 2000
Peso
Te
mp
o
![Page 18: Tópicos Extras 2ª partemarcelo.menezes.reis/Aula12CPGCC2019.pdf · 2019. 3. 8. · Tópicos Extras 2ª parte Análise de Correlação e Regressão . 2 Definições básicas](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062605/5fce7a9e90224355b56248c1/html5/thumbnails/18.jpg)
Estimação dos coeficientes da reta
Método dos mínimos quadrados:
18
n
i
ii YY que tal bb1
2
01ˆmin,
2
11
2
1111
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
XXn
YXYXn
bn
XbY
b
n
i
i
n
i
i
110
![Page 19: Tópicos Extras 2ª partemarcelo.menezes.reis/Aula12CPGCC2019.pdf · 2019. 3. 8. · Tópicos Extras 2ª parte Análise de Correlação e Regressão . 2 Definições básicas](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062605/5fce7a9e90224355b56248c1/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Erro padrão da estimativa
Erro padrão da estimativa: “desvio padrão da linha de regressão”.
2n
YY
s
n
1i
2
ii
YX
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20
Soma dos quadrados
Necessário avaliar se o modelo é adequado:
n
i
YYSQT1
2)( Variabilidade total em torno da média de Y
n
i
REG YYSQ1
2)ˆ( Parcela da variabilidade em torno da média
de Y “explicada” pela regressão.
n
i
YYSQR1
2)ˆ( Parcela da variabilidade em torno da média de Y
“não explicada” pela regressão:variação residual.
n
1i
2n
1i
2n
1i
2 )YY()YY()YY(
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21
Soma dos quadrados
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22
Coeficiente de determinação (r2)
n
i
i
n
i
i
REG
YY
YY
SQT
SQr
1
2
1
2
2
)(
ˆ
r2descreve a proporção da variabilidade em torno da média de Y que é explicada pela variação de X através do modelo de regressão.
0 r2 1
)2n(
)1n(r11r 2
ajustado2
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23
Tendência e r2 no Excel y = 0.4077x - 191.15
R2 = 0.63
y = 276.45Ln(x) - 1692.6
R2 = 0.4746
y = 0.0006x2 - 0.6035x + 225.25
R2 = 0.7791
y = 0.0002x1.9746
R2 = 0.415
y = 11.582e0.0027x
R2 = 0.4631
-600.000
-400.000
-200.000
0.000
200.000
400.000
600.000
800.000
1000.000
1200.000
1400.000
0 500 1000 1500 2000
Peso
Te
mp
o
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Análise dos resíduos
24
iii YYResíduo ˆ
Padronização:
𝑅𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟𝑜𝑛𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 = 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑖
𝑠𝑅
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Diagrama de Dispersão dos Resíduos
Sem padrão, variância constante, distribuição normal.
25
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26
Análise dos Resíduos - Independência e Homocedasticidade
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Re
síd
uo
s p
ad
ron
iza
do
s
Peso (kg)
Resíduos padronizados: reta
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000R
esí
du
os
pa
dro
niz
ad
os
Peso (kg)
Resíduos padronizados: exponencial
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27
Análise de Resíduos - Normalidade
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Pro
ba
bil
ida
de
ob
serv
ad
a
Probabilidade observada
Gráfico de probabilidade normal:resíduos padronizados reta
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Pro
ba
bil
ida
de
esp
era
da
Probabilidade observada
Gráfico de probabilidade normal: resíduos padronizados exponencial
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28
ANOVA para regressão
Fonte gl Soma quadrados Quadradomédio
F
Regressão P
n
1i
2
i YYgReSQQMReg =SQReg/P QMR
gReQMF
Resíduo n-P-1
n
1i
2
ii YYSQRQMR =
SQR/(n-P-1)
Total n-1
n
1i
2
i YYSQT
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29
Inferências sobre 1
Teste de hipóteses:
H0: 1 = 0 H1: 1 0
1b
12n
s
bt 2
n
1i
2
i
YXb
xnx
ss
1
Intervalo de confiança:
1b2n1 stb
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30
Regressão Linear Múltipla
Método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes da equação.
Utilização de programas computacionais.
PP3322110 Xb...XbXbXbbY
2n
YY
s
n
1i
2
ii
YX
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31
Coeficiente de determinação múltiplo
Coeficiente de determinação múltiplo, r2Y.12P, é uma das
formas de avaliar a adequação do modelo de regressão aos dados:
𝑟2𝑌.12...𝑃 =
𝑆𝑄 Re 𝑔
𝑆𝑄𝑇=
𝑌 𝑖 − 𝑌 2𝑛
𝑖=1
(𝑌𝑖 − 𝑌 )2𝑛𝑖=1
r2Y.12...P
descreve a proporção da variabilidade média de Y que é explicada pela variação média das variáveis explicativas (1 a P) através do modelo de regressão (QUALQUER modelo).
0 r2Y.12...P 1
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32
Coeficiente de determinação múltiplo
É preciso ajustar o coeficiente de determinação múltiplo, para refletir o tamanho da amostra e o número de variáveis explicativas:
)1Pn(
)1n(r11r P...12.Y
2ajustado
2
Planilhas eletrônicas e pacotes estatísticos calculam o coeficiente de determinação múltiplo e o ajustado.
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Análise de Resíduos na Regressão Múltipla
É ainda mais importante do que na regressão simples: pois muitas vezes não é possível representar graficamente o relacionamento entre as variáveis.
Mesmas definições da regressão simples: previsão dos valores de Y com base nos valores de X1, X2, ..., XP através do modelo de regressão.
Cálculo dos resíduos (diferença entre Y e Y predito), e obtenção dos resíduos padronizados.
Diagramas de dispersão: em relação à cada variável explicativa, em relação aos valores preditos.
Análise semelhante ao caso de regressão simples.
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ANOVA para regressão múltipla
ANOVA: Análise de Variância.
Hipótese nula: não há regressão.
1 = 2 = 3 = ...= P = 0
Hipótese alternativa: há regressão.
Pelo menos um dos k 0
A variância total do modelo é decomposta em duas partes: uma devida à regressão (as P variáveis), e outra devida aos erros aleatórios (resíduos), e faz-se o quociente de ambas.
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ANOVA para regressão múltipla
Fonte gl Soma quadrados Quadradomédio
F
Regressão P
n
1i
2
i YYgReSQQMReg =SQReg/P QMR
gReQMF
Resíduo n-P-1
n
1i
2
ii YYSQRQMR =
SQR/(n-P-1)
Total n-1
n
1i
2
i YYSQT
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Testes e Intervalos de Confiança para os coeficientes na regressão múltipla
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Testes de Hipóteses Intervalos de confiança
H0: k = 0 Xk sem efeito em Y H1: k 0 Xk com efeito em Y
Para o coeficiente k: se NÃO incluir zero, variável Xk contribui
para a regressão
𝑡𝑛−𝑃−1 =𝑏𝑘
𝑠𝑏𝑘
𝑏𝑘 ± 𝑡𝑛−𝑃−1 × 𝑠𝑏𝑘
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Variáveis simbólicas (“dummy”)
QUALITATIVAS incorporadas ao modelo de regressão.
Usualmente podem assumir apenas 2 valores: sim e não, tem e não tem.
Tais valores são transformados em 1 e 0.
Se elas puderem assumir mais de 2 valores: devem ser criadas g-1 variáveis simbólicas (onde g é o número de valores que a variável qualitativa original pode assumir).
Consideradas exatamente iguais às outras variáveis independentes.
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Exemplo 1
Estamos querendo avaliar o relacionamento entre o consumo mensal de óleo para calefação (em galões) em casas e três outras variáveis:
quantidade de isolamento térmico no sótão das casas (em polegadas);
temperatura atmosférica média diária (em graus Fahrenheit).
Estilo da casa (colonial ou não)
Obtenha o modelo de regressão linear múltipla.
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Exemplo 2
Há interesse em prever os lucros de empresas em função das variáveis (dados de 1999):
Ativos (em US$ bilhões).
Vendas anuais (em US$ bilhões).
Lucros anuais (em US$ bilhões).
Obtenha o modelo de regressão linear múltipla.
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