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VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE

COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

TÓPICOS EM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Rio de Janeiro / 2009

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

ConteudistaConteudistaJosé Carlos Morais de Araújo

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UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB

Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB.

Universidade Castelo Branco - UCBAvenida Santa Cruz, 1.631Rio de Janeiro - RJ21710-250 Tel. (21) 3216-7700 Fax (21) 2401-9696www.castelobranco.br

Un3t Universidade Castelo Branco

Tópicos em Resolução de Problemas / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: UCB, 2009. - 36 p.: il.

ISBN 978-85-7880-050-5

1. Ensino a Distância. 2. Título.

CDD – 371.39

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Apresentação

Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu-

ação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profi ssional. Nossos funcionários e nosso corpo docente es-peram retribuir a sua escolha, reafi rmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.

Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe-cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.

Seja bem-vindo(a)!Paulo Alcantara Gomes

Reitor

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Orientações para o Autoestudo

O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos defi nidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito.

Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com-plementares.

As Unidades 1 e 2 corresponde aos conteúdos que serão avaliados em A1.

Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades.

Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas.

A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.

Bons Estudos!

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Dicas para o Autoestudo

1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.

2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções.

3 - Não deixe para estudar na última hora.

4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.

5 - Não pule etapas.

6 - Faça todas as tarefas propostas.

7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina.

8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação.

9 - Não hesite em começar de novo.

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SUMÁRIO

Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 09

Contextualização da disciplina ................................................................................................................... 11

UNIDADE I

O QUE É UM PROBLEMA? ..................................................................................................................... 13

UNIDADE II

A MATEMÁTICA NOSSA DE TODO DIA ............................................................................................... 19

UNIDADE III

DEFININDO PROBLEMA ......................................................................................................................... 21

Glossário ..................................................................................................................................................... 28

Gabarito ....................................................................................................................................................... 29

Referências bibliográfi cas ........................................................................................................................... 33

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9Quadro-síntese do conteúdo programático

UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS

I – O QUE É UM PROBLEMA?

II – A MATEMÁTICA NOSSA DE TODO DIA

III – DEFININDO PROBLEMA

• Discutir o papel que a resolução de problemas pode desempenhar no ensino (em todos os níveis).

• Compreender o processo de generalização que está a reboque da proposta de resolução de problemas. Compreender a razão da utilização de determinadas técnicas e não somente fazer porque foi adestrado.

• Através da resolução de problemas analisar proble-mas em livros didáticos: complementando-os e enten-dendo-os e reformulando problemas adequadamente.

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11Contextualização da Disciplina

Uma das preocupações no currículo dos cursos de Matemática tem sido a metodologia na resolução de pro-blemas. A partir da década de 80, quando nos EUA o National Council of Teachers of Matematics declarou que a resolução de problemas “devia ser o foco da escola de Matemática”, essa questão tem lugar na formação de professores.

Entendemos que a solução de problemas caracteriza um efi ciente meio para o ensino de Matemática, favore-

cendo a contextualização do ensino do componente curricular, a aprendizagem signifi cativa e a formação de atitudes positivas em relação à Matemática. É com essa perspectiva que você deve iniciar seus estudos nessa disciplina.

A contribuição e a importância da resolução de problemas na aprendizagem de Matemática podem ser per-

cebidas desde os tempos dos antigos gregos. Durante boa parte da história da Matemática, fi lósofos e mate-máticos estiveram debruçados sobre problemas da Matemática, que mesmo quando se mostraram impossíveis – por conta das condições que lhes eram impostas – funcionaram como mola propulsora no desenvolvimento da Matemática. Três desses problemas se tornaram clássicos: a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo. É importante que você inclua parte dessa história na sua formação.

A compreensão de alguns textos nessa disciplina pode fi car comprometida pelo conhecimento que você te-nha de alguns assuntos de Matemática, portanto, recomendamos que você concomitantemente aproveite para pesquisar e ampliar esse conhecimento. Não está descartada, portanto, a hipótese de você precisar buscar em outras fontes material para seus estudos. A pesquisa é uma característica forte na EAD e, sobretudos nessa disciplina. Contamos com a sua dedicação.

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13UNIDADE I

O QUE É UM PROBLEMA? O QUE É UM PROBLEMA?

A seguir reproduzimos um artigo publicado na Re-vista do Professor 07, da Sociedade Brasileira de Ma-temática que pode servir de base para compreensão do que entendemos por “Resolução de problemas”.

Sua leitura deve ter como foco refl exões sobre:• O que é um problema?• Quais as etapas para resolver um problema?

Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la apenas por meio de imitação e prática. (...) Se quer aprender a nadar você tem de ir à água, e se você quer se tornar um bom ‘resolvedor de problemas’, tem que resolver problemas.

POLYA: Mathematical Discovery

O ensino por meio de problemasGeorge Polya (1887-1985)

No que segue, tenho em mente essencialmente o ensino de Matemática, nas escolas secundárias dos Estados Unidos (high schools); porém, para que este artigo possa contribuir para uma discussão interna-cional, vou dar destaque a pontos comuns a todas as escolas de nível secundário, isto é, escolas para alunos de 12 a 18 anos, em qualquer país, como por exemplo os liceus e ginásios europeus.

Certas restrições na aplicação deste artigo, ineren-tes a cada realidade, serão apontadas no momento oportuno.

. . . não existe método de ensino que seja indiscuti-velmente o melhor, como não existe a melhor inter-pretação de uma sonata de Beethoven.

1. Uma arte, não uma ciênciaEvidentemente o ensino não é uma ciência exata

com uma terminologia precisa e amplamente aceita. Por isso, os objetivos e métodos de ensino não podem ser discutidos de modo adequado sem que sejam dados exemplos concretos, descritos extensamente e com cuidado. Como, porém o espaço reservado para este artigo não permite exemplos detalhados, devo encaminhar o leitor para os meus livros, disponíveis em várias línguas, onde encontrará explicações mais amplas e ilustrações apropriadas.

Ensinar é uma ação complexa que depende em grande parte das personalidades envolvidas e das condições locais. Não existe, hoje, uma ciência do ensino pro-

priamente dita e não haverá nenhuma em um futuro-previsível. Em particular, não existe método de ensino que seja indiscutivelmente o melhor, como não existe a melhor interpretação de uma sonata de Beethoven. Há tantos bons ensinos quanto bons professores: o ensino é mais uma arte do que uma ciência. (Isso não exclui, é claro, que o ensino possa benefi ciar-se de uma atenção judiciosa aplicada às experiências e teorias psicológicas).

De qualquer modo, o que segue é uma apresentação não dogmática das minhas convicções pessoais. Ficarei feliz se algum diretor ou professor de mente aberta encontrar nestas páginas algo que convenha às suas condições de ensino ou ao seu gosto pessoal.

2. Os objetivosOs objetivos do ensino, os assuntos a serem ensinados

e os métodos a serem utilizados dependem das condi-ções que prevalecem neste ou naquele lugar, neste ou naquele momento: devem satisfazer às necessidades da comunidade e são limitados pelas possibilidades referentes a pessoal docente e dinheiro disponível. (Dependem, na verdade, da avaliação mais ou me-nos esclarecida destas condições pelas autoridades locais.)

No entanto, uma discussão sobre o ensino só pode ter sentido se, previamente, for defi nido o objetivo a ser atingido. Minha convicção pessoal é que a principal tarefa do ensino da Matemática, em nível secundário, é a de ensinar os jovens a PENSAR. Tudo o que direi em seguida decorre desta convicção fundamental. Mesmo que o leitor não compartilhe completamente da minha opinião, espero que possa fazê-lo parcialmente, considerando como objetivo importante, ainda que secundário, o que, para mim é o objetivo principal. Deste modo poderá encontrar sugestões úteis no que virá a seguir.

A Matemática não é um esporte para espectadores...

Naturalmente não esqueço os outros objetivos essen-ciais – penso simplesmente que eles são compatíveis com o que considero o objetivo principal. Deve-se: pre-parar os alunos para o curso de Física, se um tal curso fi zer parte do programa da escola; preparar os futuros engenheiros e alunos das Faculdades de Ciências. No que se refere aos futuros matemáticos, um ponto é muito importante: eles não devem ser desencantados por um ensino mal dirigido. No entanto, é supérfl uo introduzir assuntos que só têm interesse para futuros

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14matemáticos, além de ser um procedimento pouco correto em relação à grande maioria dos alunos.

3. PensarEu disse que o objetivo principal de um programa de

Matemática, em nível secundário, é ensinar os alunos a pensar. Este enunciado requer explicações mais amplas, o que exigiria repetir aqui uma boa parte dos exemplos tratados nos meus livros; uma tal repetição está fora de questão, mas o que segue poderá ajudar.

Em diversos lugares, têm sido propostos objetivos os mais variados, tais como: experiência de pensamento independente, fl exibilidade do espírito, melhores hábi-tos de trabalho, atitudes mentais desejáveis, ampliação dos pontos de vista, maturidade intelectual, introdução ao método científi co. Parece-me que estes objetivos, interpretados de modo concreto e razoável, a nível se-cundário, apresentam muitas superposições e, tomadas em conjunto, cobrem o objetivo que recomendo.

• Abordando este assunto sob outro aspecto, obtém-se uma imagem melhor defi nida. Nosso ensino deveria englobar os aspectos principais do pensamento ma-temático, na medida em que isso é possível a nível secundário. As atividades mais marcantes do mate-mático são: a descoberta de demonstrações rigorosas e a construção de sistemas axiomáticos. Existem, no entanto, outras atividades que, por deixarem menos sinais na obra acabada do matemático são, por isso, menos aparentes mas não menos importantes tais como: reconhecer e extrair um conceito matemático de uma situação concreta; em seguida fazer várias formas de adivinhações, ou seja, prever o resultado, prever as grandes linhas de uma demonstração antes de realizá-la em detalhe. “Adivinhar”, assim compreendido, pode também englobar generalizações a partir de casos ob-servados, um raciocínio indutivo, uma argumentação por analogia etc.

O ensino da Matemática dará somente uma idéia unilateral, diminuída, do pensamento do matemático se suprimir atividades “não formais” como adivinhar e extrair conceitos matemáticos do mundo visível que nos rodeia; ele desprezará o que pode ser a parte mais interessante para muitos alunos, a mais instrutiva para o futuro usuário da Matemática e a mais fecunda e rica para o futuro matemático..

4. A aprendizagem ativa“Para aprender efi cazmente, o aluno deve descobrir,

por si só, uma parte tão grande da matéria ensinada quanto possível, dadas as circunstâncias”. Prefi ro esta formulação do “princípio da aprendizagem ativa” que é o princípio educativo mais antigo (pode ser encontrado em Sócrates) e o menos controverso. A Matemática não é um esporte para espectadores: não pode ser aprecia-da e aprendida sem participação ativa, de modo que

o princípio da aprendizagem ativa é particularmente importante para nós, matemáticos professores, tanto mais se tivermos como objetivo principal, ou como um dos ob-jetivos mais importantes, ensinar as crianças a pensar.

Se quisermos desenvolver a inteligência do aluno, devemos fi car atentos para que as coisas primeiras apareçam em primeiro lugar. Certas atividades são mais fáceis e naturais do que outras: adivinhar é mais fácil do que demonstrar, resolver problemas concretos é mais natural do que construir estruturas conceituais. Em geral, o concreto vem antes do abstrato, a ação e a percepção antes das palavras e dos conceitos, os conceitos antes dos símbolos etc.

Já que o aluno deve aprender não receptivamente mas por seu próprio esforço, comecemos no lugar onde o esforço é menor e o resultado mais compreensível do ponto de vista do aluno: ele deve se familiarizar inicialmente com o concreto, posteriormente com o abstrato; inicialmente com a variedade de experiências e posteriormente com a unifi cação dos conceitos etc.

Isto conduz à resolução de problemas matemáticos, que é, na minha opinião, a atividade matemática mais próxima do centro do pensamento do dia-a-dia. Temos um problema sempre que procuramos os meios para atingir um objetivo. Quando temos um desejo que não podemos satisfazer imediatamente, pensamos nos meios de satisfazê-lo e assim se põe um problema. A maior parte da nossa atividade pensante, que não seja simplesmente sonhar acordado, se ocupa daquilo que desejamos e dos meios para obtê-lo, isto é, de problemas.

Muitas vezes, os problemas cotidianos conduzem a problemas matemáticos simples e o professor, com um pouco de habilidade, pode tornar fácil e natural para o aluno o passo de abstração entre o problema cotidiano e o problema matemático. E como os problemas de todos os dias são o centro do nosso pensamento cotidiano, pode-se esperar que os problemas matemáticos estejam no centro do ensino da Matemática.

A resolução de problemas tem sido a espinha dorsal do ensino de Matemática desde a época do papirus Rhind. A obra de Euclides pode ser considerada como uma proeza pedagógica: dissecar o grande tema da Geometria em problemas manejáveis. A resolução de problemas ainda é, na minha opinião, a espinha dorsal do ensino a nível secundário e me constrange que algo tão evidente precise ser ressaltado.

Certamente outras coisas devem ser apresentadas no nível secundário: demonstrações matemáticas, a idéia de um sistema axiomático, talvez mesmo uma olhada na fi losofi a subjacente às demonstrações e às estruturas matemáticas. No entanto, estes assuntos estão mais distantes do pensamento habitual e não podem ser

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15apreciados ou mesmo compreendidos sem um prévio cabedal de experiências matemáticas, que o aluno adquire, principalmente, resolvendo problemas.

5. Classifi cação dos problemasHá problemas e problemas e toda uma sorte de

diferenças entre problemas. Porém a diferença mais importante para o professor é a que existe entre os problemas de rotina e aqueles que não o são. O pro-blema que não se resolve por rotina exige um certo grau de criação e originalidade por parte do aluno, enquanto o problema de rotina não exige nada disso. O problema a ser resolvido sem rotina tem alguma possibilidade de contribuir para o desenvolvimento intelectual do aluno, enquanto o problema de rotina não tem nenhuma. A linha de demarcação entre esses dois tipos de problemas pode não ser precisa, porém os casos extremos são claramente reconhecíveis. A brevidade deste artigo permite apenas uma descrição curta de dois tipos de problemas rotineiros: o problema que exige tão somente a aplicação de uma regra bem conhecida e o problema que não é senão uma simples questão de vocabulário.

Um problema pode ser resolvido aplicando direta e mecanicamente uma regra que o aluno não tem nenhu-ma difi culdade para encontrar: ela é impingida debaixo do seu nariz pelo professor ou pelo manual. Não há nenhuma invenção, nenhum desafi o à sua inteligência; o que ele pode tirar de um tal problema é apenas uma certa prática na aplicação desta regra única, um peda-cinho isolado de conhecimento mecânico.

Uma questão pode ser formulada para verifi car se o aluno sabe utilizar corretamente um termo ou um símbolo do vocabulário matemático recém-introduzi-do; o aluno pode responder imediatamente à questão, desde que tenha compreendido a explicação do termo ou do símbolo; não há uma centelha de invenção, nenhum apelo à inteligência – é apenas uma questão de vocabulário.

Os problemas rotineiros, mesmo dos dois tipos que acabamos de descrever, podem ser úteis, mesmo ne-cessários, se forem administrados no momento certo e numa dose justa. Eu protesto contra o abuso de pro-blemas rotineiros, cujo único resultado é desencantar alunos inteligentes com a matéria que lhes é apresen-tada sob o rótulo de “Matemática”.

Os manuais “tradicionais” são duramente criticados em nossos dias, mas a maioria dos críticos parece não notar o que, na minha opinião, é o seu maior defeito: quase todos os seus problemas são problemas rotineiros do primeiro tipo acima.

Quanto aos manuais “modernos”, estes contêm, fre-quentemente, capítulos inteiros repletos de termos e

símbolos novos, sem nenhuma relação com a experiên-cia e o conhecimento matemático do aluno e dos quais, por conseguinte, ele não pode fazer nenhum uso sério; como consequência, os problemas no fi nal do capítulo são problemas rotineiros, particularmente chatos, a maior parte deles simples questões de vocabulário.

Parece-me que o desserviço prestado ao aluno é da mesma natureza nos dois casos. Não há muito o que escolher entre “tradicional” e “moderno” se a escolha fi car entre uma rigidez estreita e um excesso de pala-vras sem ligação com fatos.

Não explicarei o que é um problema matemático não rotineiro: se o leitor nunca resolveu algo, se nunca expe-rimentou a tensão e o triunfo da descoberta e se, depois de alguns anos de ensino, nunca observou tal tensão e um tal triunfo em algum de seus alunos, então é melhor procurar outra profi ssão e deixar de ensinar Matemática.

6. A escolha dos problemasA resolução de um problema não rotineiro pode exigir

do aluno um verdadeiro esforço; porém ele não o fará se não tiver razões para isso; ora, a melhor motivação é o interesse pelo problema. Assim, devemos tomar o maior cuidado na escolha de problemas interessantes e em torná-los atraentes.

Para começar, o problema deve ter sentido e ter um propósito, do ponto de vista do aluno. Deve estar relacionado de modo natural com coisas familiares e deve servir a um fi m compreensível para o aluno. Se para ele o problema parece não ter relação com o que lhe é habitual, a afi rmação do professor de que o problema será útil mais tarde não é senão uma pobre compensação. Um professor que assistia a uma de minhas conferências relatou a seguinte observação de um de seus alunos de 15 anos: “Até agora sei resolver todos os problemas, mas não vejo nenhuma razão no mundo para fazê-lo”.

Não somente a escolha mas também a apresentação do problema merece nossa atenção. Uma boa apresen-tação evidencia relações com coisas familiares e toma compreensível o objetivo. O princípio do ensino ativo nos sugere um pequeno truque, muito útil: o professor deveria começar não pelo enunciado completo do problema, mas por sugestões apropriadas e deixar aos alunos o cuidado de uma formulação defi nitiva.

Vez ou outra, deve se oferecer à classe um problema mais importante, rico em conteúdo e que possa servir de abertura para um capítulo inteiro de Matemática. E a classe deveria trabalhar com um tal problema de pesquisa, sem pressa e de modo que, segundo o prin-cípio do ensino ativo, os alunos possam descobrir (ou sejam levados a descobrir) a solução e possam explorar sozinhos algumas conseqüências da solução.

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167. Conduzir à descobertaA idéia deve nascer na mente do aluno e o professor

deve agir como parteiro; a metáfora é antiga (ela se deve a Sócrates) mas não obsoleta. Se encararmos o desenvolvimento da inteligência do aluno como o objetivo principal (ou um dos mais importantes) do ensino a nível secundário e o trabalho do aluno para resolver problemas como o meio principal (ou um dos mais importantes) para atingir este fi m, então a prin-cipal (ou uma importante) preocupação do professor deverá ser a de conduzir o aluno a descobrir a solução por si mesmo.

E a primeiríssima coisa, quando se trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais: ele deve fazer o máximo possível por si só.

O professor deve evitar uma interferência excessiva no nascimento natural de uma idéia.

Sem metáforas: ao ajudar o aluno, o professor deve dar apenas uma ajuda interior, isto é, sugestões que poderiam ter nascido na mente do próprio aluno, e evitar uma ajuda exterior, isto é, evitar dar pedaços de solução que não tenham relação com o que se passa na mente do aluno.

Digo que é importante dar uma ajuda interior mas não digo que seja fácil. Fazê-lo efi cazmente exige da parte do professor um bom conhecimento tanto do problema quanto do aluno; além disso ele deve ter experiência e familiaridade com as etapas que se apresentam natural-mente e com frequência na resolução de problemas.

E a primeiríssima coisa, quando se trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais.

8. A HeurísticaA Heurística é o estudo dos caminhos e meios da

descoberta e invenção; estuda, especialmente na resolução de problemas, essas etapas que se apresen-tam naturalmente, com freqüência e que têm alguma probabilidade de nos conduzir à solução. Não é um gênero de estudo muito usual; se bem que Descartes e Leibniz tenham meditado sobre ele (Leibniz chamava Heurística a “arte da invenção”), o assunto estava praticamente morto quando meu primeiro artigo a esse respeito apareceu em 1919.

As idéias mais simples da Heurística são as mais importantes para o professor, que poderia, aliás, extraí-Ias de sua própria experiência, pois que elas decorrem do simples bom senso. (Mas bom senso é tão pouco comum, como observou Descartes.)

Eis alguns conselhos sobre os problemas do dia-a-dia que talvez lhe pareçam absolutamente triviais.

Enfrente seu problema se quiser resolvê-lo e pergun-te-se: o que é que eu quero? Quando souber a resposta e o seu objetivo estiver claro, examine tudo o que se encontra à sua disposição e que você poderia utilizar para atingir o objetivo e pergunte-se: o que é que eu tenho? Tendo examinado durante algum tempo tudo o que tiver possibilidade de ser usado, você poderá voltar à primeira questão e ampliá-la: o que eu quero? Como posso obtê-lo? Onde posso obtê-lo? E, interro-gando-se assim, você poderá se aproximar da solução do problema.

É menos trivial observar que os problemas do dia a dia apresentam certas analogias com os problemas matemáticos. O professor que tenta dar uma ajuda “do interior” a um aluno debruçado sobre um problema matemático, pode, com proveito, utilizar as perguntas precedentes, ou perguntas paralelas, expressas em termos matemáticos.

O professor pergunta: o que você quer? Qual é a in-cógnita? Se o objetivo da pesquisa, a incógnita, estiver sufi cientemente clara para o aluno, o professor poderá continuar: o que você tem, quais são os dados, qual é a condição? Se o aluno der respostas sufi cientemente claras também a estas questões, o professor poderá voltar à sua questão inicial e desenvolvê-la: o que você quer obter? Qual é a incógnita? Como você pode obter esta incógnita? Com que dados você pode determinar este tipo de incógnita? E estas perguntas têm bastante possibilidade de mobilizar na mente do aluno os co-nhecimentos apropriados e conduzi-lo à solução.

Estas perguntas são exemplos de uma Heurística prática e de bom senso. O professor deve utilizá-las, de início, nos casos onde elas facilmente sugerem a idéia correta ao aluno. Depois ele poderá utilizá-las cada vez mais, tão freqüentemente quanto o discernimento e o tato o permitirem. Com o tempo o aluno poderá compreender o método e usar, ele mesmo, estas pergun-tas: aprenderá, assim, a dirigir sua atenção aos pontos essenciais, quando se encontrar perante um problema. Terá adquirido, deste modo, o hábito do pensamento metódico que é o maior benefício a ser tirado das aulas de Matemática por grande parte dos alunos que nunca utilizará a Matemática em sua profi ssão.

Exemplo da Aplicação da Estratégia de George Polya

A seguir apresentamos a estratégia de resolução de problemas proposta por Polya em seu livro How To Solve It através de um exemplo.

PROBLEMA: Um gato está sobre um muro de 4m de altura quando avista um rato a uma distância de 8m da base do muro. Quando o rato dirige-se a sua casa

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17(em linha reta até o muro) é comido pelo gato, que pula diagonalmente, andando o mesmo comprimento que o rato tinha andado até então. Qual a distância que cada um percorreu?

1ª etapa: compreensão do problemaPara entendermos um problema devemos estar em

condições de identifi car as partes principais do pro-blema, ou seja, a incógnita, os dados, a condicionante. Caso haja uma fi gura relacionada ao problema, é im-portante desenhá-la e adotar uma notação adequada.

• QUAL É A INCÓGNITA? A distância que cada um percorreu; denotaremos a

mesma por d.

• QUAIS SÃO OS DADOS? Altura do muro: 4m.Distância do rato à base do muro: 8m.A trajetória percorrida pelo gato é uma linha reta

diagonal.O muro é perpendicular ao chão.

• TRAÇANDO UMA FIGURA PARA ESQUEMA-TIZAR O PROBLEMA:

2ª etapa: estabelecimento de um plano“Consideramos que temos um plano quando, ao me-

nos em linhas gerais, sabemos quais são os cálculos, construções etc., que devemos efetuar para encontrar a solução do problema considerado” (G. Polya, A arte de resolver problemas).

Vamos encontrar a conexão entre os dados e a incóg-nita do problema, reduzindo-a a fi guras geométricas com propriedades conhecidas. Neste caso, visualiza-mos três triângulos (BGE, BGR e EGR), sendo os dois primeiros retângulos e o último isósceles.

O plano é resolvê-lo através do triângulo retângulo menor (BGE, retângulo em (GBE)) aplicando o Teo-rema de Pitágoras, pois conhecemos a distância BG = 4m e as distâncias BE e GE em função de d, isto é, BE = 8 – d e a distância GE = d.

3ª etapa: execução do planoNesta etapa devemos observar se é possível executar

o plano. Observemos a fi gura construída novamente:Temos d2 = (8 - d)2 + 42 – d2 = 64 – 16d + d2 + 16– 16d = 80– d = 5.

Deste modo chegamos à resposta: a distância percor-rida tanto pelo gato quanto pelo rato é de 5m.

4ª etapa: revisão da soluçãoNesta etapa, examinamos a solução• É possível verifi car o argumento? O argumento uti-

lizado foi o Teorema de Pitágoras, cujo uso era válido pelo fato do triângulo DBGE ser retângulo em B.

• É possível utilizar o resultado ou o método em algum outro problema? Notamos que todo triângulo retângulo de catetos 3 e 4 possui hipotenusa 5 (o famoso triângulo retângulo 3, 4 e 5, o único de lados sendo inteiros con-secutivos). Teorema de Pitágoras é extremamente útil e empregado na resolução de muitos problemas.

• É possível chegar ao resultado por caminho diferen-te? Uma idéia poderia ser olhar para o triângulo isósce-les DEGR e utilizar a lei dos co-senos. Não garantimos que, de fato, haja uma solução por este caminho, mas ao menos parece ser um caminho interessante!

Exercícios

Procure responder aos problemas seguintes, apresentando, para cada um deles, argumentos convincentes. Nem sempre haverá uma equação ou cálculos algébricos para suas respostas, vale seu raciocínio expresso em palavras, em contas, desenhos e esquemas, que mostrem a lógica de sua resolução.

PROBLEMA 01. Num conjunto de 4 bolas de aço, uma delas tem o peso maior do que das outras 3, que pos-

suem pesos iguais. Como podemos identifi car qual bola tem o peso maior usando uma balança duas vezes?

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18PROBLEMA 02. Dentre um conjunto de 6 bolas de aço, uma delas tem o peso maior do que das outras 5. Se

todas as outras 5 possuem o mesmo peso, como podemos identifi car a bola mais pesada usando uma balança duas vezes?

PROBLEMA 03. Dispomos de um conjunto de 6 bolas de aço, onde uma única bola tem o peso diferente das outras 5. Como podemos identifi car a bola que possui peso diferente podendo usar uma balança até três vezes?

PROBLEMA 04. Suponha 10 sacos contendo, cada um deles, 10 barras de ouro. Sabe-se que todas as barras contidas em um dos sacos, e em apenas um deles, pesam cada uma 900g, enquanto todas as outras barras de todos os outros sacos pesem cada uma delas 1kg. Como podemos identifi car qual dos sacos contém as barras de 900g usando uma balança uma única vez?

PROBLEMA 05. Um tijolo pesa um quilograma mais meio tijolo. Qual é o peso de um tijolo e meio?

PROBLEMA 06. Um árabe deixou 17 camelos como herança a seus 3 fi lhos especifi cando que o mais velho deveria receber metade da herança, o do meio, 1/3 e o mais novo, 1/9. Os rapazes fi caram desesperados por não saberem como seguir essas instruções. Para sorte deles, nosso herói apareceu e resolveu o problema da seguinte maneira: ele juntou um de seus próprios camelos à herança. A divisão então pode ser feita, cabendo a cada um dos fi lhos 9, 6 e 2 camelos respectivamente. Como 9+6+2 = 17, o Homem que Calculava pegou seu camelo de volta e todos fi caram satisfeitos. Como foi possível dividir o indivisível?

PROBLEMA 07. Um aluno encontra-se com seu professor depois de alguns anos. Depois de relembrar sua época de sala de aula, o aluno propõe a esse professor que “adivinhe” as idades de seus três fi lhos e, para isso, fornece algumas dicas. Segundo este aluno, “o produto das idades dava 36”. Argumentando não ser possível respondê-lo com apenas essa dica, o professor pediu mais uma. Olhando uma casa que estava próxima, o aluno fornece a segunda dica: “a soma das três idades é o número daquela casa”. O professor olhou o número da casa, pensou mais um pouco e disse que precisava de pelo menos mais uma dica. “Meu fi lho mais velho toca piano”, disse o aluno.

Pergunta-se: quais eram essas idades?

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19UNIDADE II

A MATEMÁTICA NOSSA DE TODO DIAA MATEMÁTICA NOSSA DE TODO DIA

Franca Cohen Gottlieb

Matemática é uma palavra mágica que desperta sempre reações contraditórias. Experimente o leitor, se alguém que lhe perguntar qual sua área de interes-se e responder que é professor de Matemática, verá surgir uma reação apaixonada. Apaixonada porque o interlocutor jamais fi ca indiferente a esta resposta. Ou confessa que “detesta” esta matéria ou se diz “encan-tado” com ela. Será que é porque a Matemática nos rodeia em todas nossas ações, em todas situações de ordem prática que somos obrigados a enfrentar? Será que é porque os pequenos truques que encontramos em publicações de cunho popular espicaçam nossa imaginação, nos empurram ao desejo de “desvendar o mistério” que é uma das características da mente humana? E aqueles que “detestam” Matemática são por acaso os que não veem o aspecto lúdico da ma-téria e só experimentam o lado estressante de superar difi culdades todos os dias?

Verdade é que muitas vezes o que parece “bruxaria”

tem justifi cativa simples e que encanta aqueles que gostam de desafi os. O meu trabalho é com estudantes de licenciatura em Matemática e algumas vezes apre-sento aos futuros professores questões que encontro em livros de divulgação, em almanaques, em revistas de jogos, na mídia. Nestes momentos peço que jus-tifi quem o aparente “truque”. Eles gostam deste tipo de desafi o que em geral não passa de uma pequena generalização algébrica.

Utilizar problemas para aguçar a curiosidade dos alu-

nos é uma maneira muito interessante e recomendada hoje em dia, como metodologia, para mostrar a beleza da Matemática e descentralizar o ensino de Matemática de apenas técnicas operatórias. Na realidade a solução de alguns problemas de Matemática necessitam das téc-nicas como recurso para a sua solução.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais citam, como

um recurso para a melhoria do ensino de Matemática, a resolução de problemas.

Ao utilizar a resolução de problemas como metodo-

logia, os PCNs do Ensino Fundamental defendem uma proposta que pode se resumir nos seguintes princípios:

• O ponto de partida da atividade matemática não é a defi nição, mas o problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos mate-máticos devem ser abordados mediante a exploração

de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;

• O problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fór-mula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da ques-tão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;

• Aproximações sucessivas ao conceito são constru-ídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retifi ca-ções, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da Matemática;

• O aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problema. Um conceito matemático se constrói articulado com ou-tros conceitos, por meio de uma série de retifi cações e generalizações;

• A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendiza-gem, pois proporciona o contexto em que se pode apre-ender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.

Veja três exemplos que apresentei a meus alunos ul-

timamente:

1° PROBLEMA: Para calcular o produto de dois números naturais

ímpares consecutivos, basta encontrar o antecedente do quadrado do número par que está entre eles.

Por que isto acontece? E se os dois números naturais fossem pares consecutivos, como fi caria a situação?

2° PROBLEMA: Para achar o quadrado de um número natural N

compreendido entre 50 e 59:1) Soma-se ao quadrado de 5 o algarismo das unida-

des do número N;2) Coloca-se à direita da soma encontrada no item

anterior o quadrado com dois dígitos do algarismo das unidades de N;

3) O número de quatro algarismos assim encontrado é N2.

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20 Como você explica esta regra prática?

3° PROBLEMA: Escreva o número dos sapatos que você calça; co-

loque dois zeros à direita daquele número natural; subtraia o número que representa o ano em que você nasceu; some àquela diferença o número que repre-senta o ano em curso.

Você encontra o número de seus sapatos seguido da

idade que você completa no ano em curso.

Pergunta-se:a) Por que este cálculo dá certo?b) E se em vez do número dos seus sapatos você

considerasse o número natural que representa os qui-los que você pesa, o que aconteceria?

A idéia na proposta de resolução desses problemas é poder generalizar a justifi cativa, todos esses proble-mas perguntam “por que?” o que signifi ca compreen-der a razão da utilização de determinadas técnicas e não somente fazer porque foi adestrado.

BOLETIM GEPEM / N.° 45 - JUL./DEZ. 2004/63-66

Obs: A solução desses problemas está na página 30.

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21UNIDADE III

DEFININDO PROBLEMADEFININDO PROBLEMA

Definindo Problema...

No ensino de Matemática a solução de problemas tradicionalmente tem sido uma atividade desenvolvida após o ensino de um conceito, como forma de aplicação do conteúdo desenvolvido. Essa prática, denominada solução de “problemas-tipo” (Krutetskii, 1976), na realidade, constitui uma resolução de exercícios. A distinção entre um problema e um exercício é feita do ponto de vista de quem executa a tarefa. A partir do mo-mento que o sujeito dispõe das estratégias de solução e apenas aplica-as às diferentes situações propostas, ele resolve um exercício (Pozo, 1998).

Segundo Mayer (1992), existem diferentes defi nições

para problema, sendo que na maioria delas consiste de uma situação, verbal ou não, apresentada em um estado inicial determinado e, que se deseja estar em outro estado distinto, não há uma estratégia direta e óbvia para deslocar-se de um estado ao outro.

Díaz e Poblete (1995) defi niram problema como uma

tarefa que requer solução sob condições específi cas, onde o sujeito compreende a tarefa, mas não dispõe de estratégia imediata para a solução e é então motivado a procurar a solução. Uma característica dessa tarefa é que ela requer do sujeito a capacidade de transfor-mar os elementos do enunciado verbal em expressões matemáticas.

Henderson e Pingry (1953) diferenciaram duas

conceituações para problema: a primeira, e mais comum, é aquela segundo a qual um problema é uma questão proposta que pede uma resposta ou solução; o segundo conceito, apesar de admitir a necessidade de uma questão a ser solucionada, requer ainda que esta situação seja inédita para o sujeito, ou seja, sua solução não esteja imediatamente disponível, enfatizando que o que pode ser um problema para um indivíduo em particular, pode não ser um problema para ele amanhã. E para que um sujeito aprenda a resolver problemas existe um único modo: resolvendo-o e estudando o procedimento.

Diferentemente desses autores, Gagné (1974) considera a

solução de problemas o tipo mais elevado de aprendizagem, onde um sujeito, a partir da combinação de conceitos e prin-cípios já aprendidos, elabora novos conceitos e princípios, visando solucionar as situações propostas, propiciando a aquisição de uma maior reserva de habilidades.

Polya (1986), por sua vez, enfatizou a heurística da solução de problemas. Com o objetivo de aperfeiçoar o desempenho dos estudantes nessas atividades, o autor elaborou uma lista de indagações e sugestões, visando orientar a sequência correta de operações para solucionar um problema. Nessa lista, o autor dividiu o processo de solução em quatro fases distintas, a sa-ber: primeiro, a compreensão do problema a partir de questões acerca dos fatos que são conhecidos, dos que são desconhecidos e sob que condições apresentam-se; a segunda fase caracteriza-se pela necessidade de se estabelecer um plano para a solução, buscando na me-mória o que existe de soluções de problemas correlatos; na terceira fase o plano é executado, sendo que cada passo da execução deve ser passível de verifi cação; e fi nalmente, a solução obtida deve ser examinada, pro-curando se utilizar do resultado ou método na solução de outros problemas.

Caracterizando um Problema

Resnick apontou várias características dos problemas as quais procuramos resumir abaixo:

1. Sem algoritmização: o caminho da resolução é desconhecido, ao menos em boa parte.

2. Complexos: precisam de vários pontos de vista.

3. Exigentes: a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil.

4. Necessitam de lucidez e paciência: um problema começa com uma aparente desordem de idéias e é preciso adotar padrões que permitirão construir o caminho até a solução.

5. Nebulosos: nem sempre todas as informações necessárias estão aparentes; por outro lado, pode existir confl ito entre as condições estabelecidas pelo problema.

6. Não há resposta única: normalmente ocorre de existirem várias maneiras de se resolver um dado problema; no entanto, pode acontecer de não existir uma melhor solução ou até de não haver solução – ou seja, resolver um problema não é o mesmo que achar a resposta.

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22Exercícios

Procure caracterizar cada um dos problemas seguintes antes de resolvê-los.

PROBLEMA 01. “O meu neto tem aproximadamente tantos dias de idade quanto o meu fi lho tem em semanas, e meu neto tem tantos meses quanto eu em anos. Meu neto, meu fi lho e eu juntos temos 120 anos. Você consegue descobrir a minha idade em anos?”

PROBLEMA 02. Uma pizza de 24cm de diâmetro custa R$ 5.99 na minha pizzaria favorita. A pizzaria diz que a pizza grande, de 30cm de diâmetro, está em promoção pelo preço especial de R$ 8.42. Qual o desconto percentual que a pizzaria está oferecendo?

PROBLEMA 03. Uma planta trepadeira está subindo ao redor de um tronco de árvore cilíndrico de maneira helicoidal. A altura do tronco de árvore é 540 polegadas e a circunferência é 48 polegadas.

Se a trepadeira cobrir uma distância vertical de 90 polegadas em uma volta completa ao redor do tronco, que comprimento terá a trepadeira?

PROBLEMA 04. Um grande tanque de água possui dois canos de entrada (um grande e um pequeno) e um cano de saída. São necessárias 2 horas para encher o tanque através do cano grande. Por outro lado, são necessárias 6 horas para encher o tanque através do cano pequeno. O cano de saída permite que o tanque seja esvaziado em 8 horas.

Que fração do tanque (inicialmente vazio) será cheia em 1.35 horas se todos os três canos estiverem operando? Use duas casas decimais na resposta (ex., 0.25, 0.5, ou 0.75).

PROBLEMA 05. Um cilindro com 105cm de altura tem uma circunferência de 20cm. Um barbante dá exa-tamente 7 voltas completas em torno do cilindro enquanto suas duas extremidades tocam o topo e a base do cilindro. Qual o comprimento do barbante em cm?

PROBLEMA 06. Na fi gura ao lado, o retângulo no canto mede 3cm x 6cm. Qual o raio do círculo em cm?

PROBLEMA 07. Uma senhora, mãe de três fi lhos, vai visitá-los com ovos frescos que traz em uma cesta. Ao mais velho, ela dá a metade do que possui e mais meio ovo. O fi lho do meio recebe metade do que restou e mais meio ovo. O fi lho mais novo ganha metade do que restou e mais meio ovo e a mãe fi ca sem nada.

Quantos ovos havia na cesta e quantos a mãe deu a cada um?

PROBLEMA 08. Em um dos seus estudos mais complexos, o biólogo Astrogildo foi ao interior de Catolé do Rocha para pesquisar o sono dos animais. Ele pôde concluir que o lobo dorme quando a coruja está acordada e está acor-dado quando a coruja dorme. O lobo dorme tanto numa semana quanto a coruja dorme num dia. De acordo com tais informações, quantas horas por dia dorme cada um desses animais?

PROBLEMA 09. A fi gura representa o traçado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C e D são usados para par-tidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na fi gura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela fl echa.

Por exemplo, uma corrida de 17km pode ser realizada com partida em D e chegada em A.a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilômetros?b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos?

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23PROBLEMA 10. Sueli resolveu dar cinco voltas em torno de uma praça quadrada. Ela partiu do vértice P, no sentido

indicado pela fl echa. Faltando 2/7 do percurso total para completar as cinco voltas, ela caiu e teve que interromper o passeio. Qual ponto indica o lugar em que Sueli caiu?

PROBLEMA 11. João chega todo dia a Petrópolis às 17:00 horas e sua mulher, que dirige com velocidade constante, chega todo dia às 17:00 horas para apanhá-lo e levá-lo para casa. Num determinado dia, João chega às 16:00 horas e resolve ir andando para casa; encontra sua mulher no caminho e volta de carro com ela, chegando em casa 10 minutos mais cedo. Quantos minutos João andou a pé?

PROBLEMA 12. Num determinado momento na fi nal de futsal dos jogos escolares da Cidade de Tribobó do Norte, Fabinho percebeu que o número de meninos presentes no Ginásio era três vezes mais que o número de meninas. Após a chegada de um ônibus com 72 meninas e 88 meninos, a porcentagem de meninas no Ginásio passou a ser 30%. Quantos meninos e quantas meninas passaram a estar no ginásio após da chegada desse ônibus?

PROBLEMA 13. Um formiguinha quer sair do ponto A e ir até o ponto B da fi gura I, andando apenas pelos lados dos quadradinhos na horizontal ou na vertical para baixo, sem passar duas vezes pelo mesmo lado. A fi gura II ilustra um possível trajeto da formiguinha.

De quantas maneiras ela pode ir de A até B?(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 480 (E) 720

PROBLEMA 14. Turmalinas são pedras semipreciosas cujo valor varia de acordo com o peso; se uma turmalina pesa o dobro de outra, então seu valor é cinco vezes o dessa outra. Zita, sem saber disso, mandou cortar uma turmalina que valia R$1.000,00 em quatro pedras iguais. Quanto ela irá receber se vender os quatro pedaços?

PROBLEMA 15. Regina, Paulo e Iracema tentam adivinhar quantas bolas estão dentro de uma caixa fechada. Eles já sabem que este número é maior que 100 e menor que 140. Eles fazem as seguintes afi rmações:

• Regina: Na caixa há mais de 100 bolas e menos de 120 bolas.• Paulo: Na caixa há mais de 105 bolas e menos de 130 bolas.• Iracema: Na caixa há mais de 120 bolas e menos de 140 bolas.Sabe-se que apenas uma dessas afi rmações é correta. Quantos são os possíveis valores para o número de bolas

dentro da caixa?(A) 1 (B) 5 (C) 11 (D) 13 (E) 16

PROBLEMA 16. Um fazendeiro tinha ração sufi ciente para alimentar suas 20 vacas por 30 dias. Depois de algum tempo ele vendeu algumas vacas e, com isso, a ração durou alguns dias a mais. O gráfi co mostra a quantidade diária de ração disponível durante esse período, expressa como percentual da quantidade inicial. Quantas vacas o fazendeiro vendeu?

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24QUESTÃO 17. No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com frequências diferentes.

A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?

QUESTÃO 18. João vendeu 2 rádios por preços iguais. Um deles foi vendido com lucro de 20% e o outro com prejuízo de 20% sobre o preço de custo. No total, em relação ao capital investido, João perdeu ou lucrou? Quanto?

QUESTÃO 19. As promoções do tipo “leve 4 e pague 3”, comuns no comércio, acenam com que desconto sobre cada unidade vendida?

QUESTÃO 20. Se x + y = 5 e xy = 3, então qual é o valor da expressão x2 + y2 ?

QUESTÃO 21. Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a seguinte decisão: dividiria sua fortuna entre sua fi lha, que estava grávida, e a prole resultante dessa gravidez, dando a cada criança que fosse nascer o dobro da-quilo que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino, e o triplo daquilo que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino. Nasceram trigêmeos, sendo um menino e duas meninas. Como veio a ser dividida a herança legada?

QUESTÃO 22. Um copo cheio de água pesa 400g e, cheio até a metade, pesa 250g. Qual é o peso do copo vazio?

QUESTÃO 23. Calcule o volume do tronco de cilindro reto com diâmetro da base igual a 10cm que tem alturas entre 8cm e 12cm, como indicado na fi gura.

QUESTÃO 24. Considere as matrizes

Calcule o elemento da matriz produto P = A.B que ocupa a primeira linha e segunda coluna, isto é, o elemento p12.

QUESTÃO 25. Calcule o número de retas determinadas por 100 pontos, diferentes um do outro, situados sobre uma circunferência.

QUESTÃO 26. Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fl uxo constante de pessoas aumentou.

Os pontos que defi nem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfi co abaixo.

Que horas estava marcando o relógio quando o número de torcedores atingiu 45.000?

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25QUESTÃO 27. Calcule os lados de um triângulo retângulo sabendo que são representados por números inteiros consecutivos.

QUESTÃO 28. Uma bola é atirada ao chão de uma altura de 200m. Ao atingir o solo pela primeira vez, ela sobe até uma altura de 100m, cai e atinge o solo pela segunda vez, subindo até uma altura de 50m, e assim por diante até perder energia e cessar o movimento. Quantos metros a bola percorre ao todo?

QUESTÃO 29. Determine a solução da equação do 2º grau x2 + 5x -14 = 0.

QUESTÃO 30. Deseja-se construir um curral retangular aproveitando-se para um dos lados uma parede de tijolos já construída. Para os outros lados estão reservados 800m de tela de arame. Determine quais devem ser as dimensões do retângulo para que o curral tenha área máxima?

Enfim, o que é um Problema?

Podemos dar uma defi nição intuitiva de problema: “um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado”. Ainda, segundo Newell & Simon (1972), “um problema é uma situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho das ações necessárias para concretizar a sua ação” ou segundo Chi e Glaser (1983) “o problema é uma situação na qual um indivíduo atua com o propósito de alcançar uma meta utilizando para tal alguma estratégia em particular”

A partir das concepções de problemas acima, entendemos que existe um problema quando há um objetivo a ser alcançado e não sabemos como atingir esse objetivo. Em matematiquês, existe um problema quando há um resultado – conhecido ou não – a ser demonstrado utilizando a teoria matemática.

Um problema é mais valioso à medida que o resolvedor – ou seja, quem está se propondo a encontrar uma solução ao problema – tenha de inventar estratégias e criar idéias. Quem resolve pode até saber o objetivo a ser atingido, mas ainda estará enfrentando um problema se ele ainda não dispõe dos meios para atingir tal objetivo.

Fonte: Seminários de Resolução de Problemas. PEREIRA, Antônio Luiz. Disponível em 19 de março de 2008 no site: http://www.ime.usp.br/~trodrigo/documentos/mat450

Problemas

QUESTÃO 31. Dois viajantes iam por uma estrada quando pararam para lanchar. Um deles possuía 5 pães e o outro 3. Quando os dois iam comer, apareceu um terceiro viajante faminto, resolveram repartir os pães igualmente entre os três. O viajante agradecido recompensou com 8 moedas de ouro. Como repartir as moedas entre os dois de forma justa?

QUESTÃO 32. Uma pista de corrida a pé de seis raias tem a forma de um retângulo cujo comprimento é de uma vez e meia a largura, com um semicírculo em cada extremidade. Cada raia tem um metro de largura. Qual deve ser o comprimento e largura do retângulo para que a pista de dentro tenha 1500m de comprimento? Para uma corrida de 1500m, o corredor de dentro sai da linha de chegada. De onde devem sair os corredores das outras cinco raias?

QUESTÃO 33. Um urso parte do ponto P e percorre um quilômetro no sentido sul. Em seguida muda de rumo e percorre um quilômetro no sentido leste. Finalmente, muda outra vez de rumo, percorre um quilômetro no sentido norte e chega exatamente no ponto de partida. Qual é a cor do urso?

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26 QUESTÃO 34. Paradoxo das Áreas: Tome um quadrado de lado 8 e corte-o segundo a ilustração ao lado, formando

dois triângulos retângulos e dois trapézios.

Observe que:Área de cada triângulo:

Área de cada trapézio: Então, obviamente, a área do quadrado = 2.(área do triângulo) + 2.(área do trapézio) = 2 . 12 + 2 . 20 = 82= 64Agora vamos reordenar nossas peças para obter a seguinte fi gura:Mas observe que a área desse retângulo é 13. 5 = 65. Como pode uma simples reordenação de peças resultar em

uma fi gura de área diferente da original?

QUESTÃO 35. Suponha que um candidato está em um programa de televisão e deve escolher entre três portas, uma das quais esconde um automóvel e as outras duas, dois bodes. O candidato escolhe uma das portas. Em seguida, o apresentador, que sabe o que as portas escondem, escolhe uma das duas restantes mostrando um bode. Ele então pergunta ao candidato: você quer trocar de porta? O problema é: é vantajoso para o candidato fazê-lo?

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Page 27: Topicos em resolucao_de_problemas

27

Se você:

1) concluiu o estudo deste guia;2) participou dos encontros;3) fez contato com seu tutor;4) realizou as atividades previstas;

Então, você está preparado para as avaliações.

Parabéns!

TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMA27 27TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMA27 27 21/1/2009 15:07:5121/1/2009 15:07:51

Page 28: Topicos em resolucao_de_problemas

28Glossário

Axiomática - conjunto das proposições não demonstradas que servem de base a uma construção hipotético-dedutiva.Consecutivo - 1. Que segue em série; um imediatamente após outro, com pequenos intervalos; sucessivo. 2. Que se segue imediatamente após; imediato.Estratégia - 1. Arte de conceber operações de guerra em planos de conjunto. 2. Ardil, manha, estratagema. 3. Arte de dirigir coisas complexas. Var: método. Incógnita - Quantidade desconhecida cujo valor se procura descobrir para a solução de um problema. Aquilo que é desconhecido e que se procura saber.Heurística - Método de ensino que consiste em que o educando chegue à verdade por seus próprios meios. PCNs - Parâmetros Curriculares Nacionais. Os PCNs foram elaborados para difundir os princípios da reforma curricular e orientar os professores na busca de novas abordagens e metodologias.Triângulo isósceles - Triângulo que possui dois de seus lados iguais.

TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMA28 28TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMA28 28 21/1/2009 15:07:5121/1/2009 15:07:51

Page 29: Topicos em resolucao_de_problemas

29Gabarito

Unidade I

PROBLEMA 01. Comparamos os pesos dividindo-as em dois grupos. Após identifi carmos o grupo mais pesado, colocamos uma dessas bolas em cada prato da balança e, assim, identifi camos a mais pesada.

PROBLEMA 02. Para a primeira pesagem, dividimos em dois grupos de três. Assim, identifi camos o grupo mais pesado e, desse grupo, podemos colocar uma delas em cada prato da balança e a terceira fi ca fora. Agora, ou identifi camos uma das bolas nos pratos como a mais pesada ou, caso seus pesos sejam iguais, a que fi cou fora é a mais pesada.

PROBLEMA 03. Podemos lançar mão de um esquema: dividimos em três grupos de duas. Consideraremos duas hipóteses: 1) elas têm pesos diferentes ou 2) elas têm pesos iguais.

1 – Se elas têm o mesmo peso, a bola estará no terceiro grupo. Levaremos uma para cada prato e os pesos se mostrarão diferentes. Escrevamos L e P nas bolas que são, supostamente, a mais leve e mais pesada. Se com-pararmos, na terceira pesagem, uma destas com uma considerada normal (uma das quatro iniciais) saberemos se P é realmente a mais pesada ou se é a L a mais leve.

2 – Se a balança mostrar que os pesos são diferentes, não saberemos se a desigualdade se dá pela presença de uma mais leve ou se, há uma mais pesada que as outras. Portanto, nesse caso, escreveremos L nas bolas “supostamente” mais leves e P, para as “supostamente” mais pesadas.

Nosso problema agora é composto por duas bolas L e duas bolas P, mas ainda temos duas pesagens. Repetindo o registro de L e P para os dois grupos, troquemos então uma L e uma P pelas bolas eliminadas na primeira pe-sagem e consideradas normais (N). Haverá num dos pratos uma P e uma N e, no outro, uma L e uma N. Desta vez, ou elas continuam acusando pesos desiguais ou elas acusam pesos iguais.

Se os pesos são desiguais, ou a P é a mais pesada, ou a L é a mais leve. Agora, basta colocar uma N no lugar de uma delas e a resposta aparecerá nessa terceira pesagem. Se, no entanto, os pesos se mostrarem iguais, nosso problema reduz-se a identifi car qual dentre as que sobraram (uma P e uma L) é a bola em questão. Nesse caso, basta comparar uma delas com uma das bolas já abandonadas e consideradas normais, como descrevemos anteriormente. Recomendamos que você faça um desenho para representar os argumentos descritos para essas questões. Também é aconselhável que você tente elaborar sua solução.

PROBLEMA 04. Aqui não conseguiremos resolver o problema com uma balança de dois pratos, usaremos uma balança que registre numericamente a massa de um determinado objeto.

Retiremos uma única barra do saco 1, duas do saco 2, 3 do saco três e assim sucessivamente. Teremos ao todos (1+2+3+...+10 = 55 barras). Se cada uma pesasse 1000g teríamos 55kg. No entanto, ao colocarmos essas 55 barras na balança, ela vai acusar um peso menor do que 55kg, pois algumas barras apresentam peso menor que 1000g.

Para cada barra colocada com peso menor (900g) faltarão 100g. Portanto, a quantidade que falta para as 55000g denuncia de qual saco foram retiradas as barras com peso menor. Lembremos que todas as barras de um dos sacos tinham peso menor.

PROBLEMA 05. Admitindo que um tijolo pese tanto quanto outro tijolo, ao colocarmos um tijolo num dos pratos de uma balança, no outro deveremos colocar algo com peso equivalente. Coloquemos então, no outro prato, um peso de 1kg mais a metade de um tijolo, conforme descreve o problema.

Ora, isso equivale a outro tijolo, então o que é esse 1 kg se não a outra metade do tijolo? Claro, meio tijolo então pesa 1kg. Portanto, o tijolo inteiro pesa 2kg e a resposta do problema é: um tijolo e meio pesam 3kg.

Obs.: Não é necessário que sua solução tenha uma equação, para ser aceita como solução de um problema de matemática. Usamos matemática no texto que apresentamos para resolver o problema. No entanto, se você preferir, a equação x = 1 + pode nos levar ao valor de x, aqui representando o peso de um tijolo. Experi-mente resolvê-la.

PROBLEMA 06. Observe a soma das frações + + = . Ou seja, o testamento distribui ape-

nas da herança, sobrando, portanto, 1/18 de 17 camelos, o que equivale a quase um camelo. Esta “sobra”

é redistribuída entre os herdeiros pois, embora a sobra seja ainda de da herança, ela agora é formada de 18 camelos ( de 18 = 1 camelo).

x2

12

13

19

1718 17

18

118

118

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30PROBLEMA 07. O que impede que o professor saiba a resposta das idades de imediato é que há mais de uma

resposta possível. A tabela abaixo mostra todas as possíveis idades dos três e suas respectivas somas. Lembre-se de que o professor viu o número da casa e, portanto, caso a soma fosse 38, 21, 16, 14, 11 ou 10, ele já teria a resposta, pois para cada uma das somas só há uma possibilidade. No entanto, há dúvida ainda, o que justifi ca ser 13 a soma das idades. Ele agora fi ca entre as idades 1, 6, 6 ou 2, 2 e 9. O fato de haver um fi lho mais velho lhe aponta a resposta: 2, 2 e 9.

Unidade II

OBS: Soluções dos problemas das páginas 19 e 20.

1° PROBLEMA: Os número naturais ímpares podem ser representados por 2n – 1 e 2n + 1. Então, (2n+1)(2n-1) = 4n2 – 1 que é o antecessor do quadrado de 2n que é o par compreendido entre os ímpares 2n – 1 e 2n + 1.

Analogamente mostramos que o produto de dois pares consecutivos é o antecessor do quadrado do ímpar compreendido entre eles. Basta representá-los por 2n e 2n+2.

2° PROBLEMA: Seja N = 50+n esse número. Então, N2 = (50+n)2 = 2500+100n+n2.Para achar o quadrado de um número natural N compreendido entre 50 e 59 Estamos somando, portanto:1) Somam-se as 25 centenas, as n centenas do produto 100n;2) Ao resultado (25 + n) centenas, soma-se o quadrado de n, que tem dois dígitos, o que equivale a colocar à

direita dessa soma (25+n) a dezena obtida pelo quadrado de n;

3° PROBLEMA: Seja N o ano do nascimento e C o ano em curso. Colocar dois zeros ao lado do número (P) do calçado equivale a multiplicá-lo por 100.

Então teremos (100P – N) + C = 100P – N + C = 100P + C – N.Mas, C – N é exatamente como se calcula a idade de uma pessoa. Portanto, essa dezena aparecerá ao lado da

centena 100P.Se usássemos o peso, desde que tivesse dois dígitos, o esquema seria o mesmo.

Unidade III

PROBLEMA 01. Meu neto: x dias (ou x/30 meses)Meu fi lho: x semanas (ou 7x dias)Eu: x/30 anos (ou, multiplicando por 360, 12x dias)Resolva a equação: x + 7x + 12x = 120.(360) , isto é, 20x = 43200 ⇒ x = 2160Resposta: Minha idade é 72 anos.

PROBLEMA 02. A razão entre áreas de fi guras semelhantes é sempre o quadrado da razão de semelhança, portanto a pizza de 30cm de diâmetro deveria custar R$9,36. Logo, o desconto oferecido é de aproximadamente 10%.

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31PROBLEMA 03. A fi gura a seguir representa a superfície lateral do cilindro e o segmento AP é o caminho

da trepadeira. Portanto:AP2 = 482 + 902 ⇒AP = 102 polegadas

PROBLEMA 04. As vazões dos canos são: Grande: ½ tanque por hora; Pequeno: 1/6 do tanque por hora e a saída é de: 1/8 do

tanque por hora.Portanto, o somatório é: + - = por hora. Então t = .1,35 ⇒t = 0,73 horas, ou seja, apro-

ximadamente 43,87 minutos. (estamos admitindo 1,35 horas e não, 1h e 35 minutos)

PROBLEMA 05. Na fi gura, AP é o barbante. Como AP2 = 1402 + 1052, AP = 175cm.

PROBLEMA 06. Admitindo a hipotenusa do triângulo retângulo na fi gura como R, seus catetos são (R-3) e (R-6). Resolvendo R2 = (R-3)2 + (R-6)2 temos R = 15cm.

PROBLEMA 07. Havia 7 ovos na cesta e a mãe deu 4, 2 e 1 ovo para cada um, respectivamente.

PROBLEMA 08. O lobo dorme 3 horas, enquanto a coruja dorme 21 horas por dia.

PROBLEMA 09. (a) Partida em A e chegada em B.(b) Serão 7 voltas e mais 9km; então, ele partirá de A e a chegada é em D.

PROBLEMA 10. Ela percorreu 14 lados e mais dois sétimos de um lado, portanto, Sueli caiu no ponto D.

PROBLEMA 11. Se ela chega 10 minutos antes, então economizou 5 minutos no tempo que leva para ir en-contrar o marido. Ao encontrá-lo 5 minutos antes, encontrando-o às 6:55h, portanto ele andou 55 minutos.

PROBLEMA 12. (No enunciado leia-se: ... o número de meninos presentes no Ginásio era três vezes mais...)Após a chegada do ônibus serão 192 meninas e 448 meninos.

PROBLEMA 13. Ele poderá ir de A até B de n = 4.3.5.3.4, isto é, n = 720 maneiras.

PROBLEMA 14. Irá receber apenas R$160,00.

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32PROBLEMA 15. (E) 16. (são eles: 101, 102, 103, 104, 105, 120, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138 e 139.

PROBLEMA 16. O fazendeiro vendeu 8 vacas.

QUESTÃO 17. Após 12 segundos.

QUESTÃO 18. João teve um prejuízo de 4% em relação ao preço que pagara nos rádios.

QUESTÃO 19. Um desconto de 25%.

QUESTÃO 20. x2 + y2 = 19

QUESTÃO 21. A mãe fi ca com da herança, o menino recebe e cada menina, .

QUESTÃO 22. O copo pesa 150g.

QUESTÃO 23. V = 250 π cm2 (Equivale ao volume de um cilindro de altura 10cm).

QUESTÃO 24. O elemento p12 será a soma dos produtos dos elementos da linha 1 da matriz A, respectivamente, pelos elementos da coluna 2 da matriz B: p12 = -2.

QUESTÃO 25. 4950 retas.

QUESTÃO 26. 15h30min.

QUESTÃO 27. 3, 4 e 5.

QUESTÃO 28. A bola percorre 600m.

QUESTÃO 29. As raízes são -7 e 2 (para muitos, a proposta não passa de um exercício de fi xação).

QUESTÃO 30. 400m x200m.

QUESTÃO 31. O primeiro fi ca com 7 moedas e o segundo, com uma moeda.

QUESTÃO 32. 256 por 384 metros. Cada corredor das outras raias devem sair de uma distância de dois metros em relação ao corredor da raia imediatamente de dentro. (usamos π =3).

QUESTÃO 33. Branco. Esse trajeto somente é possível se ele estiver no pólo norte. QUESTÃO 34. Observe que os triângulos DCE e ACB não possuem ângulos respectivamente iguais, isso

denuncia que os pontos B, E e C não colineares. Há uma área vazia no interior do retângulo que equivale à diferença entre os dois cálculos da área.

QUESTÃO 35. É vantagem trocar de porta. Ele tinha 1/3 de probabilidade de ganhar. Com a troca, passa a ter 2/3 de probabilidade.

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33Referências Bibliográficas

KRULIK & REYS. A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1998.LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas. Coleção do Professor de Matemática; Rio de Janeiro: SBM, 2001.POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978._____________. How To Solve It. Princeton: Princeton University Press, 1957.RESNIK, L. & COLLINS, Allan. Cognición y Aprendizaje. En Anuario Psicología. Nº 69, pp 189-197.Barcelona, Grafi ques 92, S.A, 1996.

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