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  • VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAO E CORPO DISCENTE

    COORDENAO DE EDUCAO A DISTNCIA

    TPICOS EM RESOLUO DE PROBLEMAS

    Rio de Janeiro / 2009

    TODOS OS DIREITOS RESERVADOS

    UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

    ConteudistaConteudistaJos Carlos Morais de Arajo

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  • UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

    Todos os direitos reservados Universidade Castelo Branco - UCB

    Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrnico, mecnico, fotocpia ou gravao, sem autorizao da Universidade Castelo Branco - UCB.

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    Un3t Universidade Castelo Branco

    Tpicos em Resoluo de Problemas / Universidade Castelo Branco. Rio de Janeiro: UCB, 2009. - 36 p.: il.

    ISBN 978-85-7880-050-5

    1. Ensino a Distncia. 2. Ttulo.

    CDD 371.39

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  • Apresentao

    Prezado(a) Aluno(a): com grande satisfao que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu-

    ao, na certeza de estarmos contribuindo para sua formao acadmica e, consequentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profi ssional. Nossos funcionrios e nosso corpo docente es-peram retribuir a sua escolha, reafi rmando o compromisso desta Instituio com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princpios de melhoria contnua.

    Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe-cimento terico e para o aperfeioamento da sua prtica pedaggica.

    Seja bem-vindo(a)!Paulo Alcantara Gomes

    Reitor

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  • Orientaes para o Autoestudo

    O presente instrucional est dividido em trs unidades programticas, cada uma com objetivos defi nidos e contedos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com xito.

    Os contedos programticos das unidades so apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com-plementares.

    As Unidades 1 e 2 corresponde aos contedos que sero avaliados em A1.

    Na A2 podero ser objeto de avaliao os contedos das trs unidades.

    Havendo a necessidade de uma avaliao extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente ser composta por todo o contedo de todas as Unidades Programticas.

    A carga horria do material instrucional para o autoestudo que voc est recebendo agora, juntamente com os horrios destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que voc administrar de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliaes do seu curso.

    Bons Estudos!

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  • Dicas para o Autoestudo

    1 - Voc ter total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porm, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horrios para o estudo.

    2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessrio. Evite interrupes.

    3 - No deixe para estudar na ltima hora.

    4 - No acumule dvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.

    5 - No pule etapas.

    6 - Faa todas as tarefas propostas.

    7 - No falte aos encontros presenciais. Eles so importantes para o melhor aproveitamento da disciplina.

    8 - No relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliao.

    9 - No hesite em comear de novo.

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  • SUMRIO

    Quadro-sntese do contedo programtico ................................................................................................. 09

    Contextualizao da disciplina ................................................................................................................... 11

    UNIDADE I

    O QUE UM PROBLEMA? ..................................................................................................................... 13

    UNIDADE II

    A MATEMTICA NOSSA DE TODO DIA ............................................................................................... 19

    UNIDADE III

    DEFININDO PROBLEMA ......................................................................................................................... 21

    Glossrio ..................................................................................................................................................... 28

    Gabarito ....................................................................................................................................................... 29

    Referncias bibliogrfi cas ........................................................................................................................... 33

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  • 9Quadro-sntese do contedo programtico

    UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS

    I O QUE UM PROBLEMA?

    II A MATEMTICA NOSSA DE TODO DIA

    III DEFININDO PROBLEMA

    Discutir o papel que a resoluo de problemas pode desempenhar no ensino (em todos os nveis).

    Compreender o processo de generalizao que est a reboque da proposta de resoluo de problemas. Compreender a razo da utilizao de determinadas tcnicas e no somente fazer porque foi adestrado.

    Atravs da resoluo de problemas analisar proble-mas em livros didticos: complementando-os e enten-dendo-os e reformulando problemas adequadamente.

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  • 11Contextualizao da Disciplina

    Uma das preocupaes no currculo dos cursos de Matemtica tem sido a metodologia na resoluo de pro-blemas. A partir da dcada de 80, quando nos EUA o National Council of Teachers of Matematics declarou que a resoluo de problemas devia ser o foco da escola de Matemtica, essa questo tem lugar na formao de professores.

    Entendemos que a soluo de problemas caracteriza um efi ciente meio para o ensino de Matemtica, favore-

    cendo a contextualizao do ensino do componente curricular, a aprendizagem signifi cativa e a formao de atitudes positivas em relao Matemtica. com essa perspectiva que voc deve iniciar seus estudos nessa disciplina.

    A contribuio e a importncia da resoluo de problemas na aprendizagem de Matemtica podem ser per-

    cebidas desde os tempos dos antigos gregos. Durante boa parte da histria da Matemtica, fi lsofos e mate-mticos estiveram debruados sobre problemas da Matemtica, que mesmo quando se mostraram impossveis por conta das condies que lhes eram impostas funcionaram como mola propulsora no desenvolvimento da Matemtica. Trs desses problemas se tornaram clssicos: a quadratura do crculo, a duplicao do cubo e a trisseco do ngulo. importante que voc inclua parte dessa histria na sua formao.

    A compreenso de alguns textos nessa disciplina pode fi car comprometida pelo conhecimento que voc te-nha de alguns assuntos de Matemtica, portanto, recomendamos que voc concomitantemente aproveite para pesquisar e ampliar esse conhecimento. No est descartada, portanto, a hiptese de voc precisar buscar em outras fontes material para seus estudos. A pesquisa uma caracterstica forte na EAD e, sobretudos nessa disciplina. Contamos com a sua dedicao.

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  • 13UNIDADE I

    O QUE UM PROBLEMA? O QUE UM PROBLEMA?

    A seguir reproduzimos um artigo publicado na Re-vista do Professor 07, da Sociedade Brasileira de Ma-temtica que pode servir de base para compreenso do que entendemos por Resoluo de problemas.

    Sua leitura deve ter como foco refl exes sobre: O que um problema? Quais as etapas para resolver um problema?

    Resolver problemas uma habilidade prtica, como nadar, esquiar ou tocar piano: voc pode aprend-la apenas por meio de imitao e prtica. (...) Se quer aprender a nadar voc tem de ir gua, e se voc quer se tornar um bom resolvedor de problemas, tem que resolver problemas.

    POLYA: Mathematical Discovery

    O ensino por meio de problemasGeorge Polya (1887-1985)

    No que segue, tenho em mente essencialmente o ensino de Matemtica, nas escolas secundrias dos Estados Unidos (high schools); porm, para que este artigo possa contribuir para uma discusso interna-cional, vou dar destaque a pontos comuns a todas as escolas de nvel secundrio, isto , escolas para alunos de 12 a 18 anos, em qualquer pas, como por exemplo os liceus e ginsios europeus.

    Certas restries na aplicao deste artigo, ineren-tes a cada realidade, sero apontadas no momento oportuno.

    . . . no existe mtodo de ensino que seja indiscuti-velmente o melhor, como no existe a melhor inter-pretao de uma sonata de Beethoven.

    1. Uma arte, no uma cinciaEvidentemente o ensino no uma cincia exata

    com uma terminologia precisa e amplamente aceita. Por isso, os objetivos e mtodos de ensino no podem ser discutidos de modo adequado sem que sejam dados exemplos concretos, descritos extensamente e com cuidado. Como, porm o espao reservado para este artigo no permite exemplos detalhados, devo encaminhar o leitor para os meus livros, disponveis em vrias lnguas, onde encontrar explicaes mais amplas e ilustraes apropriadas.

    Ensinar uma ao complexa que depende em grande parte das personalidades envolvidas e das condies locais. No existe, hoje, uma cincia do ensino pro-

    priamente dita e no haver nenhuma em um futuro-previsvel. Em particular, no existe mtodo de ensino que seja indiscutivelmente o melhor, como no existe a melhor interpretao de uma sonata de Beethoven. H tantos bons ensinos quanto bons professores: o ensino mais uma arte do que uma cincia. (Isso no exclui, claro, que o ensino possa benefi ciar-se de uma ateno judiciosa aplicada s experincias e teorias psicolgicas).

    De qualquer modo, o que segue uma apresentao no dogmtica das minhas convices pessoais. Ficarei feliz se algum diretor ou professor de mente aberta encontrar nestas pginas algo que convenha s suas condies de ensino ou ao seu gosto pessoal.

    2. Os objetivosOs objetivos do ensino, os assuntos a serem ensinados

    e os mtodos a serem utilizados dependem das condi-es que prevalecem neste ou naquele lugar, neste ou naquele momento: devem satisfazer s necessidades da comunidade e so limitados pelas possibilidades referentes a pessoal docente e dinheiro disponvel. (Dependem, na verdade, da avaliao mais ou me-nos esclarecida destas condies pelas autoridades locais.)

    No entanto, uma discusso sobre o ensino s pode ter sentido se, previamente, for defi nido o objetivo a ser atingido. Minha convico pessoal que a principal tarefa do ensino da Matemtica, em nvel secundrio, a de ensinar os jovens a PENSAR. Tudo o que direi em seguida decorre desta convico fundamental. Mesmo que o leitor no compartilhe completamente da minha opinio, espero que possa faz-lo parcialmente, considerando como objetivo importante, ainda que secundrio, o que, para mim o objetivo principal. Deste modo poder encontrar sugestes teis no que vir a seguir.

    A Matemtica no um esporte para espectadores...

    Naturalmente no esqueo os outros objetivos essen-ciais penso simplesmente que eles so compatveis com o que considero o objetivo principal. Deve-se: pre-parar os alunos para o curso de Fsica, se um tal curso fi zer parte do programa da escola; preparar os futuros engenheiros e alunos das Faculdades de Cincias. No que se refere aos futuros matemticos, um ponto muito importante: eles no devem ser desencantados por um ensino mal dirigido. No entanto, suprfl uo introduzir assuntos que s tm interesse para futuros

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  • 14matemticos, alm de ser um procedimento pouco correto em relao grande maioria dos alunos.

    3. PensarEu disse que o objetivo principal de um programa de

    Matemtica, em nvel secundrio, ensinar os alunos a pensar. Este enunciado requer explicaes mais amplas, o que exigiria repetir aqui uma boa parte dos exemplos tratados nos meus livros; uma tal repetio est fora de questo, mas o que segue poder ajudar.

    Em diversos lugares, tm sido propostos objetivos os mais variados, tais como: experincia de pensamento independente, fl exibilidade do esprito, melhores hbi-tos de trabalho, atitudes mentais desejveis, ampliao dos pontos de vista, maturidade intelectual, introduo ao mtodo cientfi co. Parece-me que estes objetivos, interpretados de modo concreto e razovel, a nvel se-cundrio, apresentam muitas superposies e, tomadas em conjunto, cobrem o objetivo que recomendo.

    Abordando este assunto sob outro aspecto, obtm-se uma imagem melhor defi nida. Nosso ensino deveria englobar os aspectos principais do pensamento ma-temtico, na medida em que isso possvel a nvel secundrio. As atividades mais marcantes do mate-mtico so: a descoberta de demonstraes rigorosas e a construo de sistemas axiomticos. Existem, no entanto, outras atividades que, por deixarem menos sinais na obra acabada do matemtico so, por isso, menos aparentes mas no menos importantes tais como: reconhecer e extrair um conceito matemtico de uma situao concreta; em seguida fazer vrias formas de adivinhaes, ou seja, prever o resultado, prever as grandes linhas de uma demonstrao antes de realiz-la em detalhe. Adivinhar, assim compreendido, pode tambm englobar generalizaes a partir de casos ob-servados, um raciocnio indutivo, uma argumentao por analogia etc.

    O ensino da Matemtica dar somente uma idia unilateral, diminuda, do pensamento do matemtico se suprimir atividades no formais como adivinhar e extrair conceitos matemticos do mundo visvel que nos rodeia; ele desprezar o que pode ser a parte mais interessante para muitos alunos, a mais instrutiva para o futuro usurio da Matemtica e a mais fecunda e rica para o futuro matemtico..

    4. A aprendizagem ativaPara aprender efi cazmente, o aluno deve descobrir,

    por si s, uma parte to grande da matria ensinada quanto possvel, dadas as circunstncias. Prefi ro esta formulao do princpio da aprendizagem ativa que o princpio educativo mais antigo (pode ser encontrado em Scrates) e o menos controverso. A Matemtica no um esporte para espectadores: no pode ser aprecia-da e aprendida sem participao ativa, de modo que

    o princpio da aprendizagem ativa particularmente importante para ns, matemticos professores, tanto mais se tivermos como objetivo principal, ou como um dos ob-jetivos mais importantes, ensinar as crianas a pensar.

    Se quisermos desenvolver a inteligncia do aluno, devemos fi car atentos para que as coisas primeiras apaream em primeiro lugar. Certas atividades so mais fceis e naturais do que outras: adivinhar mais fcil do que demonstrar, resolver problemas concretos mais natural do que construir estruturas conceituais. Em geral, o concreto vem antes do abstrato, a ao e a percepo antes das palavras e dos conceitos, os conceitos antes dos smbolos etc.

    J que o aluno deve aprender no receptivamente mas por seu prprio esforo, comecemos no lugar onde o esforo menor e o resultado mais compreensvel do ponto de vista do aluno: ele deve se familiarizar inicialmente com o concreto, posteriormente com o abstrato; inicialmente com a variedade de experincias e posteriormente com a unifi cao dos conceitos etc.

    Isto conduz resoluo de problemas matemticos, que , na minha opinio, a atividade matemtica mais prxima do centro do pensamento do dia-a-dia. Temos um problema sempre que procuramos os meios para atingir um objetivo. Quando temos um desejo que no podemos satisfazer imediatamente, pensamos nos meios de satisfaz-lo e assim se pe um problema. A maior parte da nossa atividade pensante, que no seja simplesmente sonhar acordado, se ocupa daquilo que desejamos e dos meios para obt-lo, isto , de problemas.

    Muitas vezes, os problemas cotidianos conduzem a problemas matemticos simples e o professor, com um pouco de habilidade, pode tornar fcil e natural para o aluno o passo de abstrao entre o problema cotidiano e o problema matemtico. E como os problemas de todos os dias so o centro do nosso pensamento cotidiano, pode-se esperar que os problemas matemticos estejam no centro do ensino da Matemtica.

    A resoluo de problemas tem sido a espinha dorsal do ensino de Matemtica desde a poca do papirus Rhind. A obra de Euclides pode ser considerada como uma proeza pedaggica: dissecar o grande tema da Geometria em problemas manejveis. A resoluo de problemas ainda , na minha opinio, a espinha dorsal do ensino a nvel secundrio e me constrange que algo to evidente precise ser ressaltado.

    Certamente outras coisas devem ser apresentadas no nvel secundrio: demonstraes matemticas, a idia de um sistema axiomtico, talvez mesmo uma olhada na fi losofi a subjacente s demonstraes e s estruturas matemticas. No entanto, estes assuntos esto mais distantes do pensamento habitual e no podem ser

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  • 15apreciados ou mesmo compreendidos sem um prvio cabedal de experincias matemticas, que o aluno adquire, principalmente, resolvendo problemas.

    5. Classifi cao dos problemasH problemas e problemas e toda uma sorte de

    diferenas entre problemas. Porm a diferena mais importante para o professor a que existe entre os problemas de rotina e aqueles que no o so. O pro-blema que no se resolve por rotina exige um certo grau de criao e originalidade por parte do aluno, enquanto o problema de rotina no exige nada disso. O problema a ser resolvido sem rotina tem alguma possibilidade de contribuir para o desenvolvimento intelectual do aluno, enquanto o problema de rotina no tem nenhuma. A linha de demarcao entre esses dois tipos de problemas pode no ser precisa, porm os casos extremos so claramente reconhecveis. A brevidade deste artigo permite apenas uma descrio curta de dois tipos de problemas rotineiros: o problema que exige to somente a aplicao de uma regra bem conhecida e o problema que no seno uma simples questo de vocabulrio.

    Um problema pode ser resolvido aplicando direta e mecanicamente uma regra que o aluno no tem nenhu-ma difi culdade para encontrar: ela impingida debaixo do seu nariz pelo professor ou pelo manual. No h nenhuma inveno, nenhum desafi o sua inteligncia; o que ele pode tirar de um tal problema apenas uma certa prtica na aplicao desta regra nica, um peda-cinho isolado de conhecimento mecnico.

    Uma questo pode ser formulada para verifi car se o aluno sabe utilizar corretamente um termo ou um smbolo do vocabulrio matemtico recm-introduzi-do; o aluno pode responder imediatamente questo, desde que tenha compreendido a explicao do termo ou do smbolo; no h uma centelha de inveno, nenhum apelo inteligncia apenas uma questo de vocabulrio.

    Os problemas rotineiros, mesmo dos dois tipos que acabamos de descrever, podem ser teis, mesmo ne-cessrios, se forem administrados no momento certo e numa dose justa. Eu protesto contra o abuso de pro-blemas rotineiros, cujo nico resultado desencantar alunos inteligentes com a matria que lhes apresen-tada sob o rtulo de Matemtica.

    Os manuais tradicionais so duramente criticados em nossos dias, mas a maioria dos crticos parece no notar o que, na minha opinio, o seu maior defeito: quase todos os seus problemas so problemas rotineiros do primeiro tipo acima.

    Quanto aos manuais modernos, estes contm, fre-quentemente, captulos inteiros repletos de termos e

    smbolos novos, sem nenhuma relao com a experin-cia e o conhecimento matemtico do aluno e dos quais, por conseguinte, ele no pode fazer nenhum uso srio; como consequncia, os problemas no fi nal do captulo so problemas rotineiros, particularmente chatos, a maior parte deles simples questes de vocabulrio.

    Parece-me que o desservio prestado ao aluno da mesma natureza nos dois casos. No h muito o que escolher entre tradicional e moderno se a escolha fi car entre uma rigidez estreita e um excesso de pala-vras sem ligao com fatos.

    No explicarei o que um problema matemtico no rotineiro: se o leitor nunca resolveu algo, se nunca expe-rimentou a tenso e o triunfo da descoberta e se, depois de alguns anos de ensino, nunca observou tal tenso e um tal triunfo em algum de seus alunos, ento melhor procurar outra profi sso e deixar de ensinar Matemtica.

    6. A escolha dos problemasA resoluo de um problema no rotineiro pode exigir

    do aluno um verdadeiro esforo; porm ele no o far se no tiver razes para isso; ora, a melhor motivao o interesse pelo problema. Assim, devemos tomar o maior cuidado na escolha de problemas interessantes e em torn-los atraentes.

    Para comear, o problema deve ter sentido e ter um propsito, do ponto de vista do aluno. Deve estar relacionado de modo natural com coisas familiares e deve servir a um fi m compreensvel para o aluno. Se para ele o problema parece no ter relao com o que lhe habitual, a afi rmao do professor de que o problema ser til mais tarde no seno uma pobre compensao. Um professor que assistia a uma de minhas conferncias relatou a seguinte observao de um de seus alunos de 15 anos: At agora sei resolver todos os problemas, mas no vejo nenhuma razo no mundo para faz-lo.

    No somente a escolha mas tambm a apresentao do problema merece nossa ateno. Uma boa apresen-tao evidencia relaes com coisas familiares e toma compreensvel o objetivo. O princpio do ensino ativo nos sugere um pequeno truque, muito til: o professor deveria comear no pelo enunciado completo do problema, mas por sugestes apropriadas e deixar aos alunos o cuidado de uma formulao defi nitiva.

    Vez ou outra, deve se oferecer classe um problema mais importante, rico em contedo e que possa servir de abertura para um captulo inteiro de Matemtica. E a classe deveria trabalhar com um tal problema de pesquisa, sem pressa e de modo que, segundo o prin-cpio do ensino ativo, os alunos possam descobrir (ou sejam levados a descobrir) a soluo e possam explorar sozinhos algumas conseqncias da soluo.

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  • 167. Conduzir descobertaA idia deve nascer na mente do aluno e o professor

    deve agir como parteiro; a metfora antiga (ela se deve a Scrates) mas no obsoleta. Se encararmos o desenvolvimento da inteligncia do aluno como o objetivo principal (ou um dos mais importantes) do ensino a nvel secundrio e o trabalho do aluno para resolver problemas como o meio principal (ou um dos mais importantes) para atingir este fi m, ento a prin-cipal (ou uma importante) preocupao do professor dever ser a de conduzir o aluno a descobrir a soluo por si mesmo.

    E a primeirssima coisa, quando se trata de ajudar o aluno, no ajud-lo demais: ele deve fazer o mximo possvel por si s.

    O professor deve evitar uma interferncia excessiva no nascimento natural de uma idia.

    Sem metforas: ao ajudar o aluno, o professor deve dar apenas uma ajuda interior, isto , sugestes que poderiam ter nascido na mente do prprio aluno, e evitar uma ajuda exterior, isto , evitar dar pedaos de soluo que no tenham relao com o que se passa na mente do aluno.

    Digo que importante dar uma ajuda interior mas no digo que seja fcil. Faz-lo efi cazmente exige da parte do professor um bom conhecimento tanto do problema quanto do aluno; alm disso ele deve ter experincia e familiaridade com as etapas que se apresentam natural-mente e com frequncia na resoluo de problemas.

    E a primeirssima coisa, quando se trata de ajudar o aluno, no ajud-lo demais.

    8. A HeursticaA Heurstica o estudo dos caminhos e meios da

    descoberta e inveno; estuda, especialmente na resoluo de problemas, essas etapas que se apresen-tam naturalmente, com freqncia e que tm alguma probabilidade de nos conduzir soluo. No um gnero de estudo muito usual; se bem que Descartes e Leibniz tenham meditado sobre ele (Leibniz chamava Heurstica a arte da inveno), o assunto estava praticamente morto quando meu primeiro artigo a esse respeito apareceu em 1919.

    As idias mais simples da Heurstica so as mais importantes para o professor, que poderia, alis, extra-Ias de sua prpria experincia, pois que elas decorrem do simples bom senso. (Mas bom senso to pouco comum, como observou Descartes.)

    Eis alguns conselhos sobre os problemas do dia-a-dia que talvez lhe paream absolutamente triviais.

    Enfrente seu problema se quiser resolv-lo e pergun-te-se: o que que eu quero? Quando souber a resposta e o seu objetivo estiver claro, examine tudo o que se encontra sua disposio e que voc poderia utilizar para atingir o objetivo e pergunte-se: o que que eu tenho? Tendo examinado durante algum tempo tudo o que tiver possibilidade de ser usado, voc poder voltar primeira questo e ampli-la: o que eu quero? Como posso obt-lo? Onde posso obt-lo? E, interro-gando-se assim, voc poder se aproximar da soluo do problema.

    menos trivial observar que os problemas do dia a dia apresentam certas analogias com os problemas matemticos. O professor que tenta dar uma ajuda do interior a um aluno debruado sobre um problema matemtico, pode, com proveito, utilizar as perguntas precedentes, ou perguntas paralelas, expressas em termos matemticos.

    O professor pergunta: o que voc quer? Qual a in-cgnita? Se o objetivo da pesquisa, a incgnita, estiver sufi cientemente clara para o aluno, o professor poder continuar: o que voc tem, quais so os dados, qual a condio? Se o aluno der respostas sufi cientemente claras tambm a estas questes, o professor poder voltar sua questo inicial e desenvolv-la: o que voc quer obter? Qual a incgnita? Como voc pode obter esta incgnita? Com que dados voc pode determinar este tipo de incgnita? E estas perguntas tm bastante possibilidade de mobilizar na mente do aluno os co-nhecimentos apropriados e conduzi-lo soluo.

    Estas perguntas so exemplos de uma Heurstica prtica e de bom senso. O professor deve utiliz-las, de incio, nos casos onde elas facilmente sugerem a idia correta ao aluno. Depois ele poder utiliz-las cada vez mais, to freqentemente quanto o discernimento e o tato o permitirem. Com o tempo o aluno poder compreender o mtodo e usar, ele mesmo, estas pergun-tas: aprender, assim, a dirigir sua ateno aos pontos essenciais, quando se encontrar perante um problema. Ter adquirido, deste modo, o hbito do pensamento metdico que o maior benefcio a ser tirado das aulas de Matemtica por grande parte dos alunos que nunca utilizar a Matemtica em sua profi sso.

    Exemplo da Aplicao da Estratgia de George Polya

    A seguir apresentamos a estratgia de resoluo de problemas proposta por Polya em seu livro How To Solve It atravs de um exemplo.

    PROBLEMA: Um gato est sobre um muro de 4m de altura quando avista um rato a uma distncia de 8m da base do muro. Quando o rato dirige-se a sua casa

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  • 17(em linha reta at o muro) comido pelo gato, que pula diagonalmente, andando o mesmo comprimento que o rato tinha andado at ento. Qual a distncia que cada um percorreu?

    1 etapa: compreenso do problemaPara entendermos um problema devemos estar em

    condies de identifi car as partes principais do pro-blema, ou seja, a incgnita, os dados, a condicionante. Caso haja uma fi gura relacionada ao problema, im-portante desenh-la e adotar uma notao adequada.

    QUAL A INCGNITA? A distncia que cada um percorreu; denotaremos a

    mesma por d.

    QUAIS SO OS DADOS? Altura do muro: 4m.Distncia do rato base do muro: 8m.A trajetria percorrida pelo gato uma linha reta

    diagonal.O muro perpendicular ao cho.

    TRAANDO UMA FIGURA PARA ESQUEMA-TIZAR O PROBLEMA:

    2 etapa: estabelecimento de um planoConsideramos que temos um plano quando, ao me-

    nos em linhas gerais, sabemos quais so os clculos, construes etc., que devemos efetuar para encontrar a soluo do problema considerado (G. Polya, A arte de resolver problemas).

    Vamos encontrar a conexo entre os dados e a incg-nita do problema, reduzindo-a a fi guras geomtricas com propriedades conhecidas. Neste caso, visualiza-mos trs tringulos (BGE, BGR e EGR), sendo os dois primeiros retngulos e o ltimo issceles.

    O plano resolv-lo atravs do tringulo retngulo menor (BGE, retngulo em (GBE)) aplicando o Teo-rema de Pitgoras, pois conhecemos a distncia BG = 4m e as distncias BE e GE em funo de d, isto , BE = 8 d e a distncia GE = d.

    3 etapa: execuo do planoNesta etapa devemos observar se possvel executar

    o plano. Observemos a fi gura construda novamente:Temos d2 = (8 - d)2 + 42 d2 = 64 16d + d2 + 16 16d = 80 d = 5.

    Deste modo chegamos resposta: a distncia percor-rida tanto pelo gato quanto pelo rato de 5m.

    4 etapa: reviso da soluoNesta etapa, examinamos a soluo possvel verifi car o argumento? O argumento uti-

    lizado foi o Teorema de Pitgoras, cujo uso era vlido pelo fato do tringulo DBGE ser retngulo em B.

    possvel utilizar o resultado ou o mtodo em algum outro problema? Notamos que todo tringulo retngulo de catetos 3 e 4 possui hipotenusa 5 (o famoso tringulo retngulo 3, 4 e 5, o nico de lados sendo inteiros con-secutivos). Teorema de Pitgoras extremamente til e empregado na resoluo de muitos problemas.

    possvel chegar ao resultado por caminho diferen-te? Uma idia poderia ser olhar para o tringulo issce-les DEGR e utilizar a lei dos co-senos. No garantimos que, de fato, haja uma soluo por este caminho, mas ao menos parece ser um caminho interessante!

    Exerccios

    Procure responder aos problemas seguintes, apresentando, para cada um deles, argumentos convincentes. Nem sempre haver uma equao ou clculos algbricos para suas respostas, vale seu raciocnio expresso em palavras, em contas, desenhos e esquemas, que mostrem a lgica de sua resoluo.

    PROBLEMA 01. Num conjunto de 4 bolas de ao, uma delas tem o peso maior do que das outras 3, que pos-

    suem pesos iguais. Como podemos identifi car qual bola tem o peso maior usando uma balana duas vezes?

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA17 17TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA17 17 21/1/2009 15:07:5021/1/2009 15:07:50

  • 18PROBLEMA 02. Dentre um conjunto de 6 bolas de ao, uma delas tem o peso maior do que das outras 5. Se

    todas as outras 5 possuem o mesmo peso, como podemos identifi car a bola mais pesada usando uma balana duas vezes?

    PROBLEMA 03. Dispomos de um conjunto de 6 bolas de ao, onde uma nica bola tem o peso diferente das outras 5. Como podemos identifi car a bola que possui peso diferente podendo usar uma balana at trs vezes?

    PROBLEMA 04. Suponha 10 sacos contendo, cada um deles, 10 barras de ouro. Sabe-se que todas as barras contidas em um dos sacos, e em apenas um deles, pesam cada uma 900g, enquanto todas as outras barras de todos os outros sacos pesem cada uma delas 1kg. Como podemos identifi car qual dos sacos contm as barras de 900g usando uma balana uma nica vez?

    PROBLEMA 05. Um tijolo pesa um quilograma mais meio tijolo. Qual o peso de um tijolo e meio?

    PROBLEMA 06. Um rabe deixou 17 camelos como herana a seus 3 fi lhos especifi cando que o mais velho deveria receber metade da herana, o do meio, 1/3 e o mais novo, 1/9. Os rapazes fi caram desesperados por no saberem como seguir essas instrues. Para sorte deles, nosso heri apareceu e resolveu o problema da seguinte maneira: ele juntou um de seus prprios camelos herana. A diviso ento pode ser feita, cabendo a cada um dos fi lhos 9, 6 e 2 camelos respectivamente. Como 9+6+2 = 17, o Homem que Calculava pegou seu camelo de volta e todos fi caram satisfeitos. Como foi possvel dividir o indivisvel?

    PROBLEMA 07. Um aluno encontra-se com seu professor depois de alguns anos. Depois de relembrar sua poca de sala de aula, o aluno prope a esse professor que adivinhe as idades de seus trs fi lhos e, para isso, fornece algumas dicas. Segundo este aluno, o produto das idades dava 36. Argumentando no ser possvel respond-lo com apenas essa dica, o professor pediu mais uma. Olhando uma casa que estava prxima, o aluno fornece a segunda dica: a soma das trs idades o nmero daquela casa. O professor olhou o nmero da casa, pensou mais um pouco e disse que precisava de pelo menos mais uma dica. Meu fi lho mais velho toca piano, disse o aluno.

    Pergunta-se: quais eram essas idades?

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA18 18TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA18 18 21/1/2009 15:07:5021/1/2009 15:07:50

  • 19UNIDADE II

    A MATEMTICA NOSSA DE TODO DIAA MATEMTICA NOSSA DE TODO DIA

    Franca Cohen Gottlieb

    Matemtica uma palavra mgica que desperta sempre reaes contraditrias. Experimente o leitor, se algum que lhe perguntar qual sua rea de interes-se e responder que professor de Matemtica, ver surgir uma reao apaixonada. Apaixonada porque o interlocutor jamais fi ca indiferente a esta resposta. Ou confessa que detesta esta matria ou se diz encan-tado com ela. Ser que porque a Matemtica nos rodeia em todas nossas aes, em todas situaes de ordem prtica que somos obrigados a enfrentar? Ser que porque os pequenos truques que encontramos em publicaes de cunho popular espicaam nossa imaginao, nos empurram ao desejo de desvendar o mistrio que uma das caractersticas da mente humana? E aqueles que detestam Matemtica so por acaso os que no veem o aspecto ldico da ma-tria e s experimentam o lado estressante de superar difi culdades todos os dias?

    Verdade que muitas vezes o que parece bruxaria

    tem justifi cativa simples e que encanta aqueles que gostam de desafi os. O meu trabalho com estudantes de licenciatura em Matemtica e algumas vezes apre-sento aos futuros professores questes que encontro em livros de divulgao, em almanaques, em revistas de jogos, na mdia. Nestes momentos peo que jus-tifi quem o aparente truque. Eles gostam deste tipo de desafi o que em geral no passa de uma pequena generalizao algbrica.

    Utilizar problemas para aguar a curiosidade dos alu-

    nos uma maneira muito interessante e recomendada hoje em dia, como metodologia, para mostrar a beleza da Matemtica e descentralizar o ensino de Matemtica de apenas tcnicas operatrias. Na realidade a soluo de alguns problemas de Matemtica necessitam das tc-nicas como recurso para a sua soluo.

    Os Parmetros Curriculares Nacionais citam, como

    um recurso para a melhoria do ensino de Matemtica, a resoluo de problemas.

    Ao utilizar a resoluo de problemas como metodo-

    logia, os PCNs do Ensino Fundamental defendem uma proposta que pode se resumir nos seguintes princpios:

    O ponto de partida da atividade matemtica no a defi nio, mas o problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idias e mtodos mate-mticos devem ser abordados mediante a explorao

    de problemas, ou seja, de situaes em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratgia para resolv-las;

    O problema certamente no um exerccio em que o aluno aplica, de forma quase mecnica, uma fr-mula ou um processo operatrio. S h problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da ques-to que lhe posta e a estruturar a situao que lhe apresentada;

    Aproximaes sucessivas ao conceito so constru-das para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferncias, retifi ca-es, rupturas, segundo um processo anlogo ao que se pode observar na histria da Matemtica;

    O aluno no constri um conceito em resposta a um problema, mas constri um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problema. Um conceito matemtico se constri articulado com ou-tros conceitos, por meio de uma srie de retifi caes e generalizaes;

    A resoluo de problemas no uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicao da aprendizagem, mas uma orientao para a aprendiza-gem, pois proporciona o contexto em que se pode apre-ender conceitos, procedimentos e atitudes matemticas.

    Veja trs exemplos que apresentei a meus alunos ul-

    timamente:

    1 PROBLEMA: Para calcular o produto de dois nmeros naturais

    mpares consecutivos, basta encontrar o antecedente do quadrado do nmero par que est entre eles.

    Por que isto acontece? E se os dois nmeros naturais fossem pares consecutivos, como fi caria a situao?

    2 PROBLEMA: Para achar o quadrado de um nmero natural N

    compreendido entre 50 e 59:1) Soma-se ao quadrado de 5 o algarismo das unida-

    des do nmero N;2) Coloca-se direita da soma encontrada no item

    anterior o quadrado com dois dgitos do algarismo das unidades de N;

    3) O nmero de quatro algarismos assim encontrado N2.

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA19 19TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA19 19 21/1/2009 15:07:5021/1/2009 15:07:50

  • 20 Como voc explica esta regra prtica?

    3 PROBLEMA: Escreva o nmero dos sapatos que voc cala; co-

    loque dois zeros direita daquele nmero natural; subtraia o nmero que representa o ano em que voc nasceu; some quela diferena o nmero que repre-senta o ano em curso.

    Voc encontra o nmero de seus sapatos seguido da

    idade que voc completa no ano em curso.

    Pergunta-se:a) Por que este clculo d certo?b) E se em vez do nmero dos seus sapatos voc

    considerasse o nmero natural que representa os qui-los que voc pesa, o que aconteceria?

    A idia na proposta de resoluo desses problemas poder generalizar a justifi cativa, todos esses proble-mas perguntam por que? o que signifi ca compreen-der a razo da utilizao de determinadas tcnicas e no somente fazer porque foi adestrado.

    BOLETIM GEPEM / N. 45 - JUL./DEZ. 2004/63-66

    Obs: A soluo desses problemas est na pgina 30.

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA20 20TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA20 20 21/1/2009 15:07:5021/1/2009 15:07:50

  • 21UNIDADE III

    DEFININDO PROBLEMADEFININDO PROBLEMA

    Definindo Problema...

    No ensino de Matemtica a soluo de problemas tradicionalmente tem sido uma atividade desenvolvida aps o ensino de um conceito, como forma de aplicao do contedo desenvolvido. Essa prtica, denominada soluo de problemas-tipo (Krutetskii, 1976), na realidade, constitui uma resoluo de exerccios. A distino entre um problema e um exerccio feita do ponto de vista de quem executa a tarefa. A partir do mo-mento que o sujeito dispe das estratgias de soluo e apenas aplica-as s diferentes situaes propostas, ele resolve um exerccio (Pozo, 1998).

    Segundo Mayer (1992), existem diferentes defi nies

    para problema, sendo que na maioria delas consiste de uma situao, verbal ou no, apresentada em um estado inicial determinado e, que se deseja estar em outro estado distinto, no h uma estratgia direta e bvia para deslocar-se de um estado ao outro.

    Daz e Poblete (1995) defi niram problema como uma

    tarefa que requer soluo sob condies especfi cas, onde o sujeito compreende a tarefa, mas no dispe de estratgia imediata para a soluo e ento motivado a procurar a soluo. Uma caracterstica dessa tarefa que ela requer do sujeito a capacidade de transfor-mar os elementos do enunciado verbal em expresses matemticas.

    Henderson e Pingry (1953) diferenciaram duas

    conceituaes para problema: a primeira, e mais comum, aquela segundo a qual um problema uma questo proposta que pede uma resposta ou soluo; o segundo conceito, apesar de admitir a necessidade de uma questo a ser solucionada, requer ainda que esta situao seja indita para o sujeito, ou seja, sua soluo no esteja imediatamente disponvel, enfatizando que o que pode ser um problema para um indivduo em particular, pode no ser um problema para ele amanh. E para que um sujeito aprenda a resolver problemas existe um nico modo: resolvendo-o e estudando o procedimento.

    Diferentemente desses autores, Gagn (1974) considera a

    soluo de problemas o tipo mais elevado de aprendizagem, onde um sujeito, a partir da combinao de conceitos e prin-cpios j aprendidos, elabora novos conceitos e princpios, visando solucionar as situaes propostas, propiciando a aquisio de uma maior reserva de habilidades.

    Polya (1986), por sua vez, enfatizou a heurstica da soluo de problemas. Com o objetivo de aperfeioar o desempenho dos estudantes nessas atividades, o autor elaborou uma lista de indagaes e sugestes, visando orientar a sequncia correta de operaes para solucionar um problema. Nessa lista, o autor dividiu o processo de soluo em quatro fases distintas, a sa-ber: primeiro, a compreenso do problema a partir de questes acerca dos fatos que so conhecidos, dos que so desconhecidos e sob que condies apresentam-se; a segunda fase caracteriza-se pela necessidade de se estabelecer um plano para a soluo, buscando na me-mria o que existe de solues de problemas correlatos; na terceira fase o plano executado, sendo que cada passo da execuo deve ser passvel de verifi cao; e fi nalmente, a soluo obtida deve ser examinada, pro-curando se utilizar do resultado ou mtodo na soluo de outros problemas.

    Caracterizando um Problema

    Resnick apontou vrias caractersticas dos problemas as quais procuramos resumir abaixo:

    1. Sem algoritmizao: o caminho da resoluo desconhecido, ao menos em boa parte.

    2. Complexos: precisam de vrios pontos de vista.

    3. Exigentes: a soluo s atingida aps intenso trabalho mental; embora o caminho possa ser curto, ele tende a ser difcil.

    4. Necessitam de lucidez e pacincia: um problema comea com uma aparente desordem de idias e preciso adotar padres que permitiro construir o caminho at a soluo.

    5. Nebulosos: nem sempre todas as informaes necessrias esto aparentes; por outro lado, pode existir confl ito entre as condies estabelecidas pelo problema.

    6. No h resposta nica: normalmente ocorre de existirem vrias maneiras de se resolver um dado problema; no entanto, pode acontecer de no existir uma melhor soluo ou at de no haver soluo ou seja, resolver um problema no o mesmo que achar a resposta.

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA21 21TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA21 21 21/1/2009 15:07:5021/1/2009 15:07:50

  • 22Exerccios

    Procure caracterizar cada um dos problemas seguintes antes de resolv-los.

    PROBLEMA 01. O meu neto tem aproximadamente tantos dias de idade quanto o meu fi lho tem em semanas, e meu neto tem tantos meses quanto eu em anos. Meu neto, meu fi lho e eu juntos temos 120 anos. Voc consegue descobrir a minha idade em anos?

    PROBLEMA 02. Uma pizza de 24cm de dimetro custa R$ 5.99 na minha pizzaria favorita. A pizzaria diz que a pizza grande, de 30cm de dimetro, est em promoo pelo preo especial de R$ 8.42. Qual o desconto percentual que a pizzaria est oferecendo?

    PROBLEMA 03. Uma planta trepadeira est subindo ao redor de um tronco de rvore cilndrico de maneira helicoidal. A altura do tronco de rvore 540 polegadas e a circunferncia 48 polegadas.

    Se a trepadeira cobrir uma distncia vertical de 90 polegadas em uma volta completa ao redor do tronco, que comprimento ter a trepadeira?

    PROBLEMA 04. Um grande tanque de gua possui dois canos de entrada (um grande e um pequeno) e um cano de sada. So necessrias 2 horas para encher o tanque atravs do cano grande. Por outro lado, so necessrias 6 horas para encher o tanque atravs do cano pequeno. O cano de sada permite que o tanque seja esvaziado em 8 horas.

    Que frao do tanque (inicialmente vazio) ser cheia em 1.35 horas se todos os trs canos estiverem operando? Use duas casas decimais na resposta (ex., 0.25, 0.5, ou 0.75).

    PROBLEMA 05. Um cilindro com 105cm de altura tem uma circunferncia de 20cm. Um barbante d exa-tamente 7 voltas completas em torno do cilindro enquanto suas duas extremidades tocam o topo e a base do cilindro. Qual o comprimento do barbante em cm?

    PROBLEMA 06. Na fi gura ao lado, o retngulo no canto mede 3cm x 6cm. Qual o raio do crculo em cm?

    PROBLEMA 07. Uma senhora, me de trs fi lhos, vai visit-los com ovos frescos que traz em uma cesta. Ao mais velho, ela d a metade do que possui e mais meio ovo. O fi lho do meio recebe metade do que restou e mais meio ovo. O fi lho mais novo ganha metade do que restou e mais meio ovo e a me fi ca sem nada.

    Quantos ovos havia na cesta e quantos a me deu a cada um?

    PROBLEMA 08. Em um dos seus estudos mais complexos, o bilogo Astrogildo foi ao interior de Catol do Rocha para pesquisar o sono dos animais. Ele pde concluir que o lobo dorme quando a coruja est acordada e est acor-dado quando a coruja dorme. O lobo dorme tanto numa semana quanto a coruja dorme num dia. De acordo com tais informaes, quantas horas por dia dorme cada um desses animais?

    PROBLEMA 09. A fi gura representa o traado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C e D so usados para par-tidas e chegadas de todas as corridas. As distncias entre postos vizinhos, em quilmetros, esto indicadas na fi gura e as corridas so realizadas no sentido indicado pela fl echa.

    Por exemplo, uma corrida de 17km pode ser realizada com partida em D e chegada em A.a) Quais so os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilmetros?b) E para uma corrida de 100 quilmetros, quais so esses postos?

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA22 22TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA22 22 21/1/2009 15:07:5021/1/2009 15:07:50

  • 23PROBLEMA 10. Sueli resolveu dar cinco voltas em torno de uma praa quadrada. Ela partiu do vrtice P, no sentido

    indicado pela fl echa. Faltando 2/7 do percurso total para completar as cinco voltas, ela caiu e teve que interromper o passeio. Qual ponto indica o lugar em que Sueli caiu?

    PROBLEMA 11. Joo chega todo dia a Petrpolis s 17:00 horas e sua mulher, que dirige com velocidade constante, chega todo dia s 17:00 horas para apanh-lo e lev-lo para casa. Num determinado dia, Joo chega s 16:00 horas e resolve ir andando para casa; encontra sua mulher no caminho e volta de carro com ela, chegando em casa 10 minutos mais cedo. Quantos minutos Joo andou a p?

    PROBLEMA 12. Num determinado momento na fi nal de futsal dos jogos escolares da Cidade de Tribob do Norte, Fabinho percebeu que o nmero de meninos presentes no Ginsio era trs vezes mais que o nmero de meninas. Aps a chegada de um nibus com 72 meninas e 88 meninos, a porcentagem de meninas no Ginsio passou a ser 30%. Quantos meninos e quantas meninas passaram a estar no ginsio aps da chegada desse nibus?

    PROBLEMA 13. Um formiguinha quer sair do ponto A e ir at o ponto B da fi gura I, andando apenas pelos lados dos quadradinhos na horizontal ou na vertical para baixo, sem passar duas vezes pelo mesmo lado. A fi gura II ilustra um possvel trajeto da formiguinha.

    De quantas maneiras ela pode ir de A at B?(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 480 (E) 720

    PROBLEMA 14. Turmalinas so pedras semipreciosas cujo valor varia de acordo com o peso; se uma turmalina pesa o dobro de outra, ento seu valor cinco vezes o dessa outra. Zita, sem saber disso, mandou cortar uma turmalina que valia R$1.000,00 em quatro pedras iguais. Quanto ela ir receber se vender os quatro pedaos?

    PROBLEMA 15. Regina, Paulo e Iracema tentam adivinhar quantas bolas esto dentro de uma caixa fechada. Eles j sabem que este nmero maior que 100 e menor que 140. Eles fazem as seguintes afi rmaes:

    Regina: Na caixa h mais de 100 bolas e menos de 120 bolas. Paulo: Na caixa h mais de 105 bolas e menos de 130 bolas. Iracema: Na caixa h mais de 120 bolas e menos de 140 bolas.Sabe-se que apenas uma dessas afi rmaes correta. Quantos so os possveis valores para o nmero de bolas

    dentro da caixa?(A) 1 (B) 5 (C) 11 (D) 13 (E) 16

    PROBLEMA 16. Um fazendeiro tinha rao sufi ciente para alimentar suas 20 vacas por 30 dias. Depois de algum tempo ele vendeu algumas vacas e, com isso, a rao durou alguns dias a mais. O grfi co mostra a quantidade diria de rao disponvel durante esse perodo, expressa como percentual da quantidade inicial. Quantas vacas o fazendeiro vendeu?

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA23 23TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA23 23 21/1/2009 15:07:5021/1/2009 15:07:50

  • 24QUESTO 17. No alto de uma torre de uma emissora de televiso duas luzes piscam com frequncias diferentes.

    A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, aps quantos segundos elas voltaro a piscar simultaneamente?

    QUESTO 18. Joo vendeu 2 rdios por preos iguais. Um deles foi vendido com lucro de 20% e o outro com prejuzo de 20% sobre o preo de custo. No total, em relao ao capital investido, Joo perdeu ou lucrou? Quanto?

    QUESTO 19. As promoes do tipo leve 4 e pague 3, comuns no comrcio, acenam com que desconto sobre cada unidade vendida?

    QUESTO 20. Se x + y = 5 e xy = 3, ento qual o valor da expresso x2 + y2 ?

    QUESTO 21. Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a seguinte deciso: dividiria sua fortuna entre sua fi lha, que estava grvida, e a prole resultante dessa gravidez, dando a cada criana que fosse nascer o dobro da-quilo que caberia me, se fosse do sexo masculino, e o triplo daquilo que caberia me, se fosse do sexo feminino. Nasceram trigmeos, sendo um menino e duas meninas. Como veio a ser dividida a herana legada?

    QUESTO 22. Um copo cheio de gua pesa 400g e, cheio at a metade, pesa 250g. Qual o peso do copo vazio?

    QUESTO 23. Calcule o volume do tronco de cilindro reto com dimetro da base igual a 10cm que tem alturas entre 8cm e 12cm, como indicado na fi gura.

    QUESTO 24. Considere as matrizes

    Calcule o elemento da matriz produto P = A.B que ocupa a primeira linha e segunda coluna, isto , o elemento p12.

    QUESTO 25. Calcule o nmero de retas determinadas por 100 pontos, diferentes um do outro, situados sobre uma circunferncia.

    QUESTO 26. Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracan 90.000 torcedores. Trs portes foram abertos s 12 horas e at as 15 horas entrou um nmero constante de pessoas por minuto. A partir desse horrio, abriram-se mais 3 portes e o fl uxo constante de pessoas aumentou.

    Os pontos que defi nem o nmero de pessoas dentro do estdio em funo do horrio de entrada esto contidos no grfi co abaixo.

    Que horas estava marcando o relgio quando o nmero de torcedores atingiu 45.000?

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA24 24TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA24 24 21/1/2009 15:07:5021/1/2009 15:07:50

  • 25QUESTO 27. Calcule os lados de um tringulo retngulo sabendo que so representados por nmeros inteiros consecutivos.

    QUESTO 28. Uma bola atirada ao cho de uma altura de 200m. Ao atingir o solo pela primeira vez, ela sobe at uma altura de 100m, cai e atinge o solo pela segunda vez, subindo at uma altura de 50m, e assim por diante at perder energia e cessar o movimento. Quantos metros a bola percorre ao todo?

    QUESTO 29. Determine a soluo da equao do 2 grau x2 + 5x -14 = 0.

    QUESTO 30. Deseja-se construir um curral retangular aproveitando-se para um dos lados uma parede de tijolos j construda. Para os outros lados esto reservados 800m de tela de arame. Determine quais devem ser as dimenses do retngulo para que o curral tenha rea mxima?

    Enfim, o que um Problema?

    Podemos dar uma defi nio intuitiva de problema: um problema matemtico toda situao requerendo a descoberta de informaes matemticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolv-lo e/ou a inveno de uma demonstrao de um resultado matemtico dado. Ainda, segundo Newell & Simon (1972), um problema uma situao na qual um indivduo deseja fazer algo, porm desconhece o caminho das aes necessrias para concretizar a sua ao ou segundo Chi e Glaser (1983) o problema uma situao na qual um indivduo atua com o propsito de alcanar uma meta utilizando para tal alguma estratgia em particular

    A partir das concepes de problemas acima, entendemos que existe um problema quando h um objetivo a ser alcanado e no sabemos como atingir esse objetivo. Em matematiqus, existe um problema quando h um resultado conhecido ou no a ser demonstrado utilizando a teoria matemtica.

    Um problema mais valioso medida que o resolvedor ou seja, quem est se propondo a encontrar uma soluo ao problema tenha de inventar estratgias e criar idias. Quem resolve pode at saber o objetivo a ser atingido, mas ainda estar enfrentando um problema se ele ainda no dispe dos meios para atingir tal objetivo.

    Fonte: Seminrios de Resoluo de Problemas. PEREIRA, Antnio Luiz. Disponvel em 19 de maro de 2008 no site: http://www.ime.usp.br/~trodrigo/documentos/mat450

    Problemas

    QUESTO 31. Dois viajantes iam por uma estrada quando pararam para lanchar. Um deles possua 5 pes e o outro 3. Quando os dois iam comer, apareceu um terceiro viajante faminto, resolveram repartir os pes igualmente entre os trs. O viajante agradecido recompensou com 8 moedas de ouro. Como repartir as moedas entre os dois de forma justa?

    QUESTO 32. Uma pista de corrida a p de seis raias tem a forma de um retngulo cujo comprimento de uma vez e meia a largura, com um semicrculo em cada extremidade. Cada raia tem um metro de largura. Qual deve ser o comprimento e largura do retngulo para que a pista de dentro tenha 1500m de comprimento? Para uma corrida de 1500m, o corredor de dentro sai da linha de chegada. De onde devem sair os corredores das outras cinco raias?

    QUESTO 33. Um urso parte do ponto P e percorre um quilmetro no sentido sul. Em seguida muda de rumo e percorre um quilmetro no sentido leste. Finalmente, muda outra vez de rumo, percorre um quilmetro no sentido norte e chega exatamente no ponto de partida. Qual a cor do urso?

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA25 25TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA25 25 21/1/2009 15:07:5121/1/2009 15:07:51

  • 26 QUESTO 34. Paradoxo das reas: Tome um quadrado de lado 8 e corte-o segundo a ilustrao ao lado, formando

    dois tringulos retngulos e dois trapzios.

    Observe que:rea de cada tringulo:

    rea de cada trapzio: Ento, obviamente, a rea do quadrado = 2.(rea do tringulo) + 2.(rea do trapzio) = 2 . 12 + 2 . 20 = 82= 64Agora vamos reordenar nossas peas para obter a seguinte fi gura:Mas observe que a rea desse retngulo 13. 5 = 65. Como pode uma simples reordenao de peas resultar em

    uma fi gura de rea diferente da original?

    QUESTO 35. Suponha que um candidato est em um programa de televiso e deve escolher entre trs portas, uma das quais esconde um automvel e as outras duas, dois bodes. O candidato escolhe uma das portas. Em seguida, o apresentador, que sabe o que as portas escondem, escolhe uma das duas restantes mostrando um bode. Ele ento pergunta ao candidato: voc quer trocar de porta? O problema : vantajoso para o candidato faz-lo?

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA26 26TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA26 26 21/1/2009 15:07:5121/1/2009 15:07:51

  • 27

    Se voc:

    1) concluiu o estudo deste guia;2) participou dos encontros;3) fez contato com seu tutor;4) realizou as atividades previstas;

    Ento, voc est preparado para as avaliaes.

    Parabns!

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  • 28Glossrio

    Axiomtica - conjunto das proposies no demonstradas que servem de base a uma construo hipottico-dedutiva.Consecutivo - 1. Que segue em srie; um imediatamente aps outro, com pequenos intervalos; sucessivo. 2. Que se segue imediatamente aps; imediato.Estratgia - 1. Arte de conceber operaes de guerra em planos de conjunto. 2. Ardil, manha, estratagema. 3. Arte de dirigir coisas complexas. Var: mtodo. Incgnita - Quantidade desconhecida cujo valor se procura descobrir para a soluo de um problema. Aquilo que desconhecido e que se procura saber.Heurstica - Mtodo de ensino que consiste em que o educando chegue verdade por seus prprios meios. PCNs - Parmetros Curriculares Nacionais. Os PCNs foram elaborados para difundir os princpios da reforma curricular e orientar os professores na busca de novas abordagens e metodologias.Tringulo issceles - Tringulo que possui dois de seus lados iguais.

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA28 28TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA28 28 21/1/2009 15:07:5121/1/2009 15:07:51

  • 29Gabarito

    Unidade I

    PROBLEMA 01. Comparamos os pesos dividindo-as em dois grupos. Aps identifi carmos o grupo mais pesado, colocamos uma dessas bolas em cada prato da balana e, assim, identifi camos a mais pesada.

    PROBLEMA 02. Para a primeira pesagem, dividimos em dois grupos de trs. Assim, identifi camos o grupo mais pesado e, desse grupo, podemos colocar uma delas em cada prato da balana e a terceira fi ca fora. Agora, ou identifi camos uma das bolas nos pratos como a mais pesada ou, caso seus pesos sejam iguais, a que fi cou fora a mais pesada.

    PROBLEMA 03. Podemos lanar mo de um esquema: dividimos em trs grupos de duas. Consideraremos duas hipteses: 1) elas tm pesos diferentes ou 2) elas tm pesos iguais.

    1 Se elas tm o mesmo peso, a bola estar no terceiro grupo. Levaremos uma para cada prato e os pesos se mostraro diferentes. Escrevamos L e P nas bolas que so, supostamente, a mais leve e mais pesada. Se com-pararmos, na terceira pesagem, uma destas com uma considerada normal (uma das quatro iniciais) saberemos se P realmente a mais pesada ou se a L a mais leve.

    2 Se a balana mostrar que os pesos so diferentes, no saberemos se a desigualdade se d pela presena de uma mais leve ou se, h uma mais pesada que as outras. Portanto, nesse caso, escreveremos L nas bolas supostamente mais leves e P, para as supostamente mais pesadas.

    Nosso problema agora composto por duas bolas L e duas bolas P, mas ainda temos duas pesagens. Repetindo o registro de L e P para os dois grupos, troquemos ento uma L e uma P pelas bolas eliminadas na primeira pe-sagem e consideradas normais (N). Haver num dos pratos uma P e uma N e, no outro, uma L e uma N. Desta vez, ou elas continuam acusando pesos desiguais ou elas acusam pesos iguais.

    Se os pesos so desiguais, ou a P a mais pesada, ou a L a mais leve. Agora, basta colocar uma N no lugar de uma delas e a resposta aparecer nessa terceira pesagem. Se, no entanto, os pesos se mostrarem iguais, nosso problema reduz-se a identifi car qual dentre as que sobraram (uma P e uma L) a bola em questo. Nesse caso, basta comparar uma delas com uma das bolas j abandonadas e consideradas normais, como descrevemos anteriormente. Recomendamos que voc faa um desenho para representar os argumentos descritos para essas questes. Tambm aconselhvel que voc tente elaborar sua soluo.

    PROBLEMA 04. Aqui no conseguiremos resolver o problema com uma balana de dois pratos, usaremos uma balana que registre numericamente a massa de um determinado objeto.

    Retiremos uma nica barra do saco 1, duas do saco 2, 3 do saco trs e assim sucessivamente. Teremos ao todos (1+2+3+...+10 = 55 barras). Se cada uma pesasse 1000g teramos 55kg. No entanto, ao colocarmos essas 55 barras na balana, ela vai acusar um peso menor do que 55kg, pois algumas barras apresentam peso menor que 1000g.

    Para cada barra colocada com peso menor (900g) faltaro 100g. Portanto, a quantidade que falta para as 55000g denuncia de qual saco foram retiradas as barras com peso menor. Lembremos que todas as barras de um dos sacos tinham peso menor.

    PROBLEMA 05. Admitindo que um tijolo pese tanto quanto outro tijolo, ao colocarmos um tijolo num dos pratos de uma balana, no outro deveremos colocar algo com peso equivalente. Coloquemos ento, no outro prato, um peso de 1kg mais a metade de um tijolo, conforme descreve o problema.

    Ora, isso equivale a outro tijolo, ento o que esse 1 kg se no a outra metade do tijolo? Claro, meio tijolo ento pesa 1kg. Portanto, o tijolo inteiro pesa 2kg e a resposta do problema : um tijolo e meio pesam 3kg.

    Obs.: No necessrio que sua soluo tenha uma equao, para ser aceita como soluo de um problema de matemtica. Usamos matemtica no texto que apresentamos para resolver o problema. No entanto, se voc preferir, a equao x = 1 + pode nos levar ao valor de x, aqui representando o peso de um tijolo. Experi-mente resolv-la.

    PROBLEMA 06. Observe a soma das fraes + + = . Ou seja, o testamento distribui ape-

    nas da herana, sobrando, portanto, 1/18 de 17 camelos, o que equivale a quase um camelo. Esta sobra

    redistribuda entre os herdeiros pois, embora a sobra seja ainda de da herana, ela agora formada de 18 camelos ( de 18 = 1 camelo).

    x2

    12

    13

    19

    1718 17

    18

    118

    118

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  • 30PROBLEMA 07. O que impede que o professor saiba a resposta das idades de imediato que h mais de uma

    resposta possvel. A tabela abaixo mostra todas as possveis idades dos trs e suas respectivas somas. Lembre-se de que o professor viu o nmero da casa e, portanto, caso a soma fosse 38, 21, 16, 14, 11 ou 10, ele j teria a resposta, pois para cada uma das somas s h uma possibilidade. No entanto, h dvida ainda, o que justifi ca ser 13 a soma das idades. Ele agora fi ca entre as idades 1, 6, 6 ou 2, 2 e 9. O fato de haver um fi lho mais velho lhe aponta a resposta: 2, 2 e 9.

    Unidade II

    OBS: Solues dos problemas das pginas 19 e 20.

    1 PROBLEMA: Os nmero naturais mpares podem ser representados por 2n 1 e 2n + 1. Ento, (2n+1)(2n-1) = 4n2 1 que o antecessor do quadrado de 2n que o par compreendido entre os mpares 2n 1 e 2n + 1.

    Analogamente mostramos que o produto de dois pares consecutivos o antecessor do quadrado do mpar compreendido entre eles. Basta represent-los por 2n e 2n+2.

    2 PROBLEMA: Seja N = 50+n esse nmero. Ento, N2 = (50+n)2 = 2500+100n+n2.Para achar o quadrado de um nmero natural N compreendido entre 50 e 59 Estamos somando, portanto:1) Somam-se as 25 centenas, as n centenas do produto 100n;2) Ao resultado (25 + n) centenas, soma-se o quadrado de n, que tem dois dgitos, o que equivale a colocar

    direita dessa soma (25+n) a dezena obtida pelo quadrado de n;

    3 PROBLEMA: Seja N o ano do nascimento e C o ano em curso. Colocar dois zeros ao lado do nmero (P) do calado equivale a multiplic-lo por 100.

    Ento teremos (100P N) + C = 100P N + C = 100P + C N.Mas, C N exatamente como se calcula a idade de uma pessoa. Portanto, essa dezena aparecer ao lado da

    centena 100P.Se usssemos o peso, desde que tivesse dois dgitos, o esquema seria o mesmo.

    Unidade III

    PROBLEMA 01. Meu neto: x dias (ou x/30 meses)Meu fi lho: x semanas (ou 7x dias)Eu: x/30 anos (ou, multiplicando por 360, 12x dias)Resolva a equao: x + 7x + 12x = 120.(360) , isto , 20x = 43200 x = 2160Resposta: Minha idade 72 anos.

    PROBLEMA 02. A razo entre reas de fi guras semelhantes sempre o quadrado da razo de semelhana, portanto a pizza de 30cm de dimetro deveria custar R$9,36. Logo, o desconto oferecido de aproximadamente 10%.

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  • 31PROBLEMA 03. A fi gura a seguir representa a superfcie lateral do cilindro e o segmento AP o caminho

    da trepadeira. Portanto:AP2 = 482 + 902 AP = 102 polegadas

    PROBLEMA 04. As vazes dos canos so: Grande: tanque por hora; Pequeno: 1/6 do tanque por hora e a sada de: 1/8 do

    tanque por hora.Portanto, o somatrio : + - = por hora. Ento t = .1,35 t = 0,73 horas, ou seja, apro-

    ximadamente 43,87 minutos. (estamos admitindo 1,35 horas e no, 1h e 35 minutos)

    PROBLEMA 05. Na fi gura, AP o barbante. Como AP2 = 1402 + 1052, AP = 175cm.

    PROBLEMA 06. Admitindo a hipotenusa do tringulo retngulo na fi gura como R, seus catetos so (R-3) e (R-6). Resolvendo R2 = (R-3)2 + (R-6)2 temos R = 15cm.

    PROBLEMA 07. Havia 7 ovos na cesta e a me deu 4, 2 e 1 ovo para cada um, respectivamente.

    PROBLEMA 08. O lobo dorme 3 horas, enquanto a coruja dorme 21 horas por dia.

    PROBLEMA 09. (a) Partida em A e chegada em B.(b) Sero 7 voltas e mais 9km; ento, ele partir de A e a chegada em D.

    PROBLEMA 10. Ela percorreu 14 lados e mais dois stimos de um lado, portanto, Sueli caiu no ponto D.

    PROBLEMA 11. Se ela chega 10 minutos antes, ento economizou 5 minutos no tempo que leva para ir en-contrar o marido. Ao encontr-lo 5 minutos antes, encontrando-o s 6:55h, portanto ele andou 55 minutos.

    PROBLEMA 12. (No enunciado leia-se: ... o nmero de meninos presentes no Ginsio era trs vezes mais...)Aps a chegada do nibus sero 192 meninas e 448 meninos.

    PROBLEMA 13. Ele poder ir de A at B de n = 4.3.5.3.4, isto , n = 720 maneiras.

    PROBLEMA 14. Ir receber apenas R$160,00.

    12

    16

    18

    1324

    1324

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  • 32PROBLEMA 15. (E) 16. (so eles: 101, 102, 103, 104, 105, 120, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138 e 139.

    PROBLEMA 16. O fazendeiro vendeu 8 vacas.

    QUESTO 17. Aps 12 segundos.

    QUESTO 18. Joo teve um prejuzo de 4% em relao ao preo que pagara nos rdios.

    QUESTO 19. Um desconto de 25%.

    QUESTO 20. x2 + y2 = 19

    QUESTO 21. A me fi ca com da herana, o menino recebe e cada menina, .

    QUESTO 22. O copo pesa 150g.

    QUESTO 23. V = 250 cm2 (Equivale ao volume de um cilindro de altura 10cm).QUESTO 24. O elemento p12 ser a soma dos produtos dos elementos da linha 1 da matriz A, respectivamente,

    pelos elementos da coluna 2 da matriz B: p12 = -2.

    QUESTO 25. 4950 retas.

    QUESTO 26. 15h30min.

    QUESTO 27. 3, 4 e 5.

    QUESTO 28. A bola percorre 600m.

    QUESTO 29. As razes so -7 e 2 (para muitos, a proposta no passa de um exerccio de fi xao).

    QUESTO 30. 400m x200m.

    QUESTO 31. O primeiro fi ca com 7 moedas e o segundo, com uma moeda.

    QUESTO 32. 256 por 384 metros. Cada corredor das outras raias devem sair de uma distncia de dois metros em relao ao corredor da raia imediatamente de dentro. (usamos =3).

    QUESTO 33. Branco. Esse trajeto somente possvel se ele estiver no plo norte. QUESTO 34. Observe que os tringulos DCE e ACB no possuem ngulos respectivamente iguais, isso

    denuncia que os pontos B, E e C no colineares. H uma rea vazia no interior do retngulo que equivale diferena entre os dois clculos da rea.

    QUESTO 35. vantagem trocar de porta. Ele tinha 1/3 de probabilidade de ganhar. Com a troca, passa a ter 2/3 de probabilidade.

    19

    29

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  • 33Referncias Bibliogrficas

    KRULIK & REYS. A resoluo de problemas na matemtica escolar. So Paulo: Atual, 1998.LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas. Coleo do Professor de Matemtica; Rio de Janeiro: SBM, 2001.POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Intercincia, 1978._____________. How To Solve It. Princeton: Princeton University Press, 1957.RESNIK, L. & COLLINS, Allan. Cognicin y Aprendizaje. En Anuario Psicologa. N 69, pp 189-197.Barcelona, Grafi ques 92, S.A, 1996.

    TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA33 33TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA33 33 21/1/2009 15:07:5221/1/2009 15:07:52

  • TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA34 34TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA34 34 21/1/2009 15:07:5221/1/2009 15:07:52

  • TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA35 35TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA35 35 21/1/2009 15:07:5221/1/2009 15:07:52

  • TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA36 36TPICOS DE RESOLUO DE PROBLEMA36 36 21/1/2009 15:07:5221/1/2009 15:07:52

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