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Departamento de Matematica e Aplicacoes 2 /4/ 2013
Duracao: 90 minutos Teste de Analise Matematica EE - versao A
Nome: Nr.: Curso:
GRUPO I ( 7 valores)
Em cada uma das perguntas seguintes, assinale a resposta correcta no quadrado correspondente. Cadaresposta correcta vale 1 valor.
1. Qual das seguintes expressoes representa a curva C na figura, percorrida a partir do ponto (2, 0) ecom fim no ponto (2, 0)?
r(t) = (3 cos t, 2 sin t), t [0, pi]r(t) = (2 cos(pi t), 3 sin(pi t)), t [0, pi]r(t) = (2 cos t, 3 sin t), t [0, pi]
Nenhuma das anteriores.
2. Qual dos conjuntos abaixo representa o domnio da funcao vetorial ~r(t) = (ln(t+ 1), 1t )?
D =] 1,+[D =] 1,+[\{0}D = R\{0}Nenhum dos anteriores.
3. Considere a curva C representada pela funcao vetorial ~r(t) = (t2 + t)~e1 + (t3 1)~e2. Qual dos vetores etangente a` curva no instante t = 0?
(0,-1) ; (0,0) ; (1,0) ; Nenhum dos anteriores.
4. Considere a funcao real de duas variaveis reais, f(x, y) =x+ y. ln(x2 +y21). Qual destes domnios
planos representa o domnio de f?
1
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Nenhuma das anteriores.
5. Qual destas funcoes reais de duas variaveis reais tem por domnio R?
f(x, y) =
1
x2 y2 se (x, y) 6= (0, 0)1 se (x, y) = (0, 0)
f(x, y) = 1x2+y2
f(x, y) =
1
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
Nenhuma das anteriores.
6. Considere a funcao real de duas variaveis reais definida no seu domnio, f(x, y) = xyx2+y2
e o
lim(x,y)(0,0)
f(x, y). Indique qual a afirmacao verdadeira:
Existe lim(x,y)(0,0)
f(x, y) e e igual a zero .
Nao existe lim(x,y)(0,0)
f(x, y) pois limx0
(limy0
f(x, y)
)6= lim
y0
(limx0
f(x, y))
.
Nao existe lim(x,y)(0,0)
f(x, y) pois lim(x,y)(0,0)
y=kx
f(x, y) depende do valor de k.
Nenhuma das anteriores.
7. Considere a funcao real de duas variaveis reais definida no seu domnio, f(x, y) =
1
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
e o ponto (0, 0). Indique qual a afirmacao verdadeira:
f e contnua em (0, 0).
f nao e contnua em (0, 0) porque nao existe lim(x,y)(0,0)
f(x, y).
f nao e contnua em (0, 0) porque existe lim(x,y)(0,0)
f(x, y) mas lim(x,y)(0,0)
f(x, y) 6= f(0, 0).
Nenhuma das anteriores.
GRUPO II (13 valores)Apresente todos os calculos efectuados.
1. Considere a funcao vetorial que define uma curva em R3, ~r(t) = sin2 t.~a+ cos2 t.~b+ ~c onde ~a = ~e2,~b = ~e3,~c = 2~e1 3~e2. Escreva a funcao a` custa das suas componentes.
2
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2. Considere a funcao vetorial ~r(t) = (t2 t, sin t).
(a) Determine ~r (t).
(b) Determine a equacao da reta tangente a` curva representada por ~r(t) no instante t = 0.
(c) Determine os instantes em que o vetor tangente a` curva representada por ~r(t) e um vetor vertical?
3. Considere a funcao real de duas variaveis f(x, y) =
x2 y2x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)1 se (x, y) = (0, 0)
.
(a) Estude a continuidade da funcao f no seu domnio.
(b) Determine f y(0, 0), se existir.
3
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4. Determine a expressao da funcao f xy para f(x, y) = ln(y 3x), definida no seu domnio.
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