IVO BARBI
TEORIA FUNDAMENTAL DO
MOTOR DE INDUÇÃO
d
q
EDIÇÃO DO AUTOR
CAPÍTULO
1 INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA
1.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo pode ser considerado introdutório. Nele são estabelecidos os
princípios sobre os quais serão desenvolvidos os capítulos seguintes.
Serão modelados alguns sistemas simples, nos quais ocorre transformação de
energia elétrica em mecânica ou vice-versa.
O estudo desses sistemas permitirão estabelecer os princípios básicos que
explicam os fenômenos associados à conversão eletromecânica de energia.
Os resultados obtidos serão genéricos e serão empregados no
desenvolvimento dos demais capítulos, nos quais serão estabelecidos os modelos da
máquina de indução.
As máquinas cuja conversão eletromecânica de energia dependa da presença
de campos elétricos serão excluídas deste texto, visto que não apresentam interesse
para o estudo da máquina de indução.
1.2 CIRCUITO R - L
Consideremos a Fig. 1.1. Nela está representado um sistema constituído por
uma bobina enrolada sobre um bastão de material magnético. Na Fig. 1.2 está
representado o circuito equivalente do sistema. Nela aparece a indutância da bobina e
a resistência do fio.
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v
Fig. 1.1 – Circuito magnético simples.
L
v
R
i
+
-
vR
+ -vL
Fig. 1.2 – Circuito elétrico equivalente.
Empregando a teoria de circuitos elétricos, pode-se estabelecer as equações
(1.1) e (1.2) que relacionam as tensões e a corrente do circuito.
R Lv v v= + (1.1)
div Ri Ldt
= + (1.2)
Multiplicando-se todos os membros da equação (1.2) por i, obtém-se a
equação (1.3)
2 div i Ri Lidt
= + (1.3)
mas
21d Lidi 2Lidt dt
= (1.4)
Assim
2
2
1d Li2vi Ridt
= + (1.5)
Na expressão (1.5) tem-se as seguintes grandezas:
Vi → potência instantânea fornecida pela fonte ao circuito;
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2Ri → potência instantânea dissipada na resistência do
circuito;
2Li21 → energia instantânea armazenada no campo
magnético;
21d Li2dt
→ velocidade instantânea de crescimento da energia no
campo magnético. Esta grandeza tem a dimensão de
potência.
É preciso ter em mente que no sistema apresentado na Fig. 1.1, não existe
conversão eletromecânica de energia. Toda energia fornecida pela fonte é
transformada em calor e acumulada no campo magnético. Neste caso, somente a
equação (1.5) representa o comportamento do sistema apresentado.
1.3 MÁQUINA ELEMENTAR A DESLOCAMENTO LINEAR
Considerando-se a Fig. 1.3, semelhante a Fig. 1.1, mas com uma diferença
fundamental: possibilidade de haver movimento relativo entre a bobina e o seu núcleo.
Desta forma existe a possibilidade de variação do valor da indutância. A indutância da
bobina é função de x, posição relativa entre ela e o seu núcleo.
v
x
i L(x)
Fig. 1.3 – Circuito magnético sujeito a uma força
mecânica externa.
L(x)
v
R
i
+
-
vR
+ -vL
Fig. 1.4 – Circuito elétrico equivalente.
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O circuito equivalente encontra-se representado na Fig. 1.4. Empregando-se a
teoria de circuitos elétricos, obtém-se a expressão (1.6)
R Lv v v= + (1.6)
dv Ridtφ
= + (1.7)
( )ixL=φ (1.8)
Assim:
( )( )d L x i
v Ridt
= + (1.9)
como L(x) e i são variáveis, obtém-se:
( ) ( )dL xdiv Ri L x idt dt
= + + (1.10)
Multiplicando-se todos os membros da expressão (1.10) por i obtém-se a
expressão (1.11)
( ) ( )2 2 dL xdivi = Ri + L x i + idt dt
(1.11)
( )
( ) ( )2
2
1d L x i dL xdi 12 = L x i + idt dt 2 dt
(1.12)
( )( ) ( )
2
2
1d L x i dL xdi 12L x i = - idt dt 2 dt
(1.13)
Levando-se a expressão (1.13) na expressão (1.11) obtém-se a expressão
(1.14):
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( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1d L x i dL x dL x12vi = Ri + - i + idt 2 dt dt
(1.14)
Assim:
( )( )
2
2 2
L x id
2 dL x1vi = Ri + + idt 2 dt
(1.15)
Observamos que a expressão (1.15) possui o termo ( )dt
xdLi21 2 a mais em
relação a expressão (1.5). Esse termo existe como conseqüência da variação da
indutância do sistema e representa a diferença entre a potência fornecida pela fonte e
as potências dissipadas na resistência do circuito e armazenada no campo magnético.
Assim:
( ) ( ) 2
2 2
1d L x idL x1 2i = vi - Ri +2 dt dt
(1.16)
Este termo corresponde à potência elétrica convertida em potência mecânica.
Portanto:
( )dt
xdLi21
dtdxFP 2
cme == (1.17)
( ) ( )dL x dL x dx=dt dx dt
(1.18)
Assim:
( )2 dL x1F = i2 dx
(1.19)
A expressão (1.19) é muito importante e estabelece o princípio básico da
conversão eletromecânica de energia. Estabelece que uma força é produzida quando a
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indutância é variável com o deslocamento. Este princípio explica o funcionamento de
todos os sistemas nos quais ocorre conversão eletromecânica de energia.
O sistema representado na Fig. 1.1 possui uma só variável dependente, a
corrente do circuito. Por isto o seu comportamento é representado apenas pela
expressão (1.2). O sistema representado na Fig. 1.3 possui duas variáveis
dependentes, a corrente e a posição relativa entre o núcleo e a bobina. Por esta razão
a equação (1.10) não basta para representar o seu comportamento.
Deve-se obter a equação mecânica do sistema para completar o modelo.
Considerando-se a Fig. 1.5
v
x
i L(x)R
FFFF
i
e
a
Fig. 1.5 – Circuito magnético simples com possibilidade de deslocamento do núcleo.
dtdxDFa = ⇒ é a força de atrito.
2
2
i dtxdmF = ⇒ é a força de inércia.
eF ⇒ é a força externa aplicada sobre o núcleo
( )2 dL x1F = i2 dx
⇒ é a força elétrica.
O equilíbrio mecânico estabelece que:
aie FFFF ++= (1.20)
Reunindo-se as equações elétrica e mecânica, obtém-se o modelo completo
representado pelas equações (1.21) e (1.22):
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( ) 22
e2
dL x1 dx d xi - D - m = F2 dx dt dt
(1.21)
( ) ( ) Vdt
xdLidtdixLRi =++ (1.22)
Como entradas ou variáveis independentes temos a tensão e a força externa.
Como saídas ou variáveis dependentes temos a posição relativa x e a corrente i.
Como parâmetros do sistema temos o coeficiente de atrito D, a massa do
núcleo m, a resistência da bobina R e a sua indutância L(x).
Podemos representar o sistema de acordo com a Fig. 1.6.
- Parâmetros
- Modelo
SISTEMAv(t)
Fe(t)
x(t)
i(t)
Fig. 1.6 – Representação por bloco do sistema de equações.
O sistema estudado, com a sua aparente simplicidade é representado por um
modelo relativamente complexo, na medida em que é não-linear e de difícil, senão
impossível, tratamento analítico.
1.4 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM UM ROLAMENTO. TORQUE DE RELUTÂNCIA
Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.7:
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R
L( )
Rotor0
d
q
θ
θ+
-
v
Fig. 1.7 – Representação da máquina elétrica elementar de um enrolamento.
O rotor desta máquina elementar pode girar em torno do eixo “O”. Quando o
rotor se desloca em relação à bobina, a indutância da bobina L(θ) varia.
Por analogia com o sistema apresentado na Fig. 1.5, podemos obter a equação
elétrica do sistema, representado pela expressão (1.23):
( ) ( )dt
dLidtdiLRiV θ
+θ+= (1.23)
Do mesmo modo podemos estabelecer a expressão do torque elétrico
produzido pelo sistema
( )dt
dLi21
dtdTP 2
mecθ
=θ
= (1.24)
Assim:
( )2 dLd 1 dT = idt 2 d dt
θθ θθ
(1.25)
Portanto:
( )2 dL1T = i2 d
θθ
(1.26)
A expressão (1.26) estabelece uma relação entre o torque produzido sobre o
rotor e a variação da indutância própria do enrolamento. É preciso enfatizar que para o
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sistema apresentado, o torque depende da variação da indutância própria do
enrolamento.
A variação da indutância é decorrente da variação da relutância segundo o eixo
da bobina, com o deslocamento angular do rotor. Por isto é denominado torque de
relutância.
Analisando-se a variação da indutância própria da bobina com a posição,
constata-se que ela assume valores máximos quando θ é igual a 0o e 180o, assume
valores mínimos quando θ é igual a 90o e 270o.
Pode-se representar ( )θL de acordo com a Fig. 1.8:
90 135 1800 270
2 Lm
L0
45
L( )
θ
θ
Lq
Ld
Fig. 1.8 – Variação da indutância própria da bobina em função do ângulo θ.
Tal função pode geralmente ser representada com boa precisão pela
expressão (1.27):
( ) 0m L2cosLL +θ=θ (1.27)
Neste caso, em que a função L ( )θ é conhecida, a expressão do torque pode
ser obtida numa forma mais adequada ao uso.
Levando-se a expressão (1.27) em (1.26) obtém-se a expressão (1.28):
( )0m2 L2cosL
dtdi
21T +θ= (1.28)
Assim, em módulo:
θ= 2seniLT 2m (1.29)
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De acordo com a Fig. 1.8, as indutâncias de eixo direto e quadratura assumem
os valores representados pelas expressões (1.30) e (1.31):
m0d LLL += (1.30)
m0q LLL +−=− (1.31)
Assim:
2
LLL qd
m
−= (1.32)
( )
θ−
= seni2
LLT 2qd (1.33)
A expressão (1.33) traduz o fato de que o torque só existe na medida em que
as indutâncias de eixo direto e quadratura sejam diferentes. Pode-se ainda representar
a expressão do torque em função da relutância de eixo direto e quadratura, Rd e Rq.
Sabe-se que:
d
2
d RnL = (1.34)
q
2
q RnL = (1.35)
onde n representa o número de espiras da bobina. Assim:
θ⋅
−= 2seni
R1
R1
2nT 2
qd
2
(1.36)
Deste modo:
θ⋅
⋅
−= 2seni
RRRR
2nT 2
qd
dq2
(1.37)
Se o rotor for cilíndrico, tem-se que Rd = Rq e o torque produzido é nulo.
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Resta-nos ainda representar o modelo completo da máquina elementar
representada na Fig. 1.7.
A equação mecânica é representada pela expressão (1.38):
iea TTTT ++= (1.38)
Assim, o modelo completo fica representado pelas equações (1.39) e (1.40).
( ) 22
e2
dL1 d di - D - J = T2 d dt dt
θ θ θθ
(1.39)
( ) ( )dLdiRi + L + i = vdt dt
θθ (1.40)
A representação do sistema em bloco aparece na Fig. 1.9.
MÁQUINAv(t)
Te(t)
i(t)
ELEMENTAR (t)θ
Fig. 1.9 – Representação de máquina elementar de um enrolamento com as variáveis de entrada e saída.
A tensão de alimentação e o torque externo de carga são variáveis
independentes. A corrente e a posição angular são as variáveis dependentes.
O princípio aqui exposto é de grande importância prática. Basta lembrar o
elevado número de equipamentos que nele se baseiam: motores a relutância,
instrumentos de medição do tipo ferro móvel, etc.
1.5 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS. TORQUE DE EXCITAÇÃO
Considerando a máquina elementar representada na Fig. 1.10. Admitindo que
os dois enrolamentos S e R estejam situados sobre peças cilíndricas de sorte que as
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suas indutâncias próprias sejam independentes da posição. Em tal estrutura, somente
a indutância mútua entre os dois enrolamentos depende da posição.
S
Rv
+
-
S
vR
+
-
i S
iRθ
Fig. 1.10 – Representação física de máquina elementar relativa de dois enrolamentos.
As equações elétricas deste sistema, estabelecidas por inspeção estão
representadas a seguir:
( ) ( )( )SR RS SS S S
d M id L iv = R i + +
dt dtθ
(1.41)
( ) ( )( )SR SR RR R R
d M id L iv = R i + +
dt dtθ
(1.42)
LS e LR são as indutâncias próprias.
MSR é a indutância mútua existente entre os enrolamentos.
Desenvolvendo-se as expressões (1.41) e (1.42), obtém-se as expressões
(1.43) e (1.44).
( ) ( )SRS RS S S S R SR
dMdi div = R i + L + i + Mdt dt dt
θθ (1.43)
( ) ( )SR SRR R R R S SR
dM didiv = R i + L + i + Mdt dt dt
θθ (1.44)
Multiplicando-se a expressão (1.43) por iS e (1.44) por iR, obtém-se as
expressões (1.45) e (1.46).
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( ) ( )2 SRS RS S S S S S S R S SR S
dMdi diP = v i = R i + L i + i i + M idt dt dt
θθ (1.45)
( ) ( )2 SR SRR R R R R R R S R SR R
dM didiP = v i = R i + L i + i i + M idt dt dt
θθ (1.46)
PS e PR representam as potências instantâneas fornecidas pelas fontes dos
enrolamentos.
A potência total será:
SR PPP += (1.47)
Assim:
( ) ( )
( ) ( )
2 SRS RS S S S R S SR S
2 SR SRR R R R S R SR R
dMdi diP = R i + L i + i i + M i +dt dt dt
dM didi+R i + L i + i i + M idt dt dt
θθ
θθ
(1.48)
Sabemos que:
( )
( ) ( ) ( )
2 2S S R R SR S R
SRS SR RS S R R SR S SR R S R
d 1 1L i + L i + M i i =dt 2 2
dMdi didi di= L i + L i + M i + M i + i idt dt dt dt dt
θ
θθ θ
(1.49)
Portanto:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SRS SR RS S R R SR S SR R S R
2 2S S R R SR S R
SRS R
dMdi didi diL i + L i + M i + M i + 2i i =dt dt dt dt dt
1 1d L i + L i + M i i dM2 2= + i idt dt
θθ θ
θ θ
(1.50)
Portanto a potência total passa a ser representada pela expressão (1.51):
( ) ( )2 2S S R R SR S R
2 2 SRS S R R S R
1 1d L i + L i + M i idM 2 2P = R i + R i + i i +dt dt
θ θ (1.51)
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Seja:
2 2r S S R RP =R i +R i (1.52)
( )2 2
S S R R SR S R
L
1 1d L i + L i + M i i2 2P =
dt
θ (1.53)
rP representa a potência dissipada nos resistores.
LP representa a potência acumulada no campo magnético.
Assim:
( )SRmec S R
dMP = i i
dtθ
(1.54)
mecP representa a quantidade de potência elétrica convertida em potência
mecânica. Isto decorre do fato que a potência fornecida é igual à potência dissipada,
mais a potência acumulada, mais a potência convertida.
Por outro lado:
dtdTPmecθ
= (1.55)
Assim:
( )SRS R
dMd dT = i idt d dt
θθ θθ
(1.56)
Então a expressão do torque será:
( )SRS R
dMT = i i
dθ
θ (1.57)
A expressão (1.57) traduz o fato de que há torque eletromagnético se a
indutância mútua variar com o deslocamento angular.
O torque originado pela variação de indutância mútua é denominado torque de
excitação. É ele que explica o funcionamento da maior parte das máquinas elétricas,
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como o motor de indução, o motor síncrono com excitação e o motor de corrente
contínua.
A indutância mútua entre os enrolamentos representados na Fig. 1.10, pode
ser estabelecida de diversas maneiras. A simples inspeção indica que ela é máxima
para θ = 0 , nula para θ = π/2 e θ = 3π/2 e mínima para θ = π. A sua variação pode
então ser representada graficamente segundo Fig. 1.11.
32
M
π2 π π
2 π
0
θ
M ( )SR θ
Fig. 1.11 – Variação da indutância mútua entre os enrolamentos em função de θ.
É possível representá-la com boa precisão pela expressão (1.58).
( ) θ=θ cosMM 0SR (1.58)
Portanto o torque, em módulo, fica representado pela expressão (1.59).
θ= seniiMT RS0 (1.59)
A representação gráfica é mostrada na Fig. 1.12:
2
M i i
π2 π π3
2 π
0
θ
T
R S
Fig. 1.12 – Variação do torque em função do ângulo θ.
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Com as informações até aqui conseguidas, podemos estabelecer o modelo
completo do sistema em questão. Basta para isto agrupar as equações elétrica e
mecânica.
Seja:
iae TTTT ++= (1.60)
Assim o modelo completo é representado pelas expressões (1.61), (1.62) e
(1.63):
( ) 2SR
e S R 2
dM d dT = i i - D - Jd dt dt
θ θ θθ
(1.61)
( ) ( )SRS RS S S S R SR
dMdi div = R i + L + i + Mdt dt dt
θθ (1.62)
( ) ( )SR SRR R R R S SR
dM didiv = R i + L + i + Mdt dt dt
θθ (1.63)
A máquina possui como variáveis independentes, vS, vR e Te. Como variáveis
dependentes as correntes iS , iR e o deslocamento angular θ.
A representação em bloco está mostrada na Fig. 1.13.
MÁQUINA
v (t)
Te(t)
v (t)
S
R i (t)
(t)θ
i (t)
S
R
Fig. 1.13 – Representação da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos com as variáveis de entrada e saída.
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1.6 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS. ROTOR COM PÓLOS SALIENTES
Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.14. A indutância
própria do enrolamento estatórico e a mútua entre os dois enrolamentos dependem do
ângulo θ .
+
-
+
-
vS
vR
iS
iR
θ
Fig. 1.14 – Representação física da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos de pólos salientes.
Como já foi demonstrado, o torque de excitação é obtido pela expressão (1.64):
( )SRexc S R
dMT = i i
dθ
θ (1.64)
O torque de relutância é representado pela expressão (1.65):
( )2R S
dL1T = i2 d
θθ
(1.65)
O torque total produzido pela máquina será a soma dos torques de relutância e
de excitação. É representado pela expressão (1.66):
( ) ( )2 S SRS S R
dL dM1T = i + i i2 d d
θ θθ θ
(1.66)
Considerando a variação de LS e MSR em função de θ representada pelas
expressões (1.67) e (1.68):
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( ) 2θ 0s ML θ =L cos +L (1.67)
( ) θ=θ cosMM 0SR (1.68)
Obtém-se:
θ+θ= seniiM2seniLT RS02
Sm (1.69)
A máquina síncrona de pólos salientes possui torque de relutância e excitação
e é um bom exemplo de máquina cujo comportamento é traduzido por uma expressão
com a forma da expressão (1.69).
1.7 MÁQUINA COM TRÊS ENROLAMENTOS
Os resultados até aqui obtidos serão estendidos para uma máquina de três
enrolamentos. Neste caso o modelo é representado pelas equações (1.70) à (1.73).
( ) ( ) ( )1 1 12 2 13 31 1 1
d L i d M i d M iv = R i + + +
dt dt dt (1.70)
( ) ( ) ( )12 1 2 2 23 32 2 2
d M i d L i d M iv = R i + + +
dt dt dt (1.71)
( ) ( ) ( )13 1 23 2 3 33 3 3
d M i d M i d L iv = R i + + +
dt dt dt (1.72)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 12 13 231 2 3 1 2 1 3 2 3
dL dL dL dM dM dM1 1 1T = i i i i i i i i i2 d 2 d 2 d d d d
θ θ θ θ θ θ+ + + + +
θ θ θ θ θ θ (1.73)
Pode-se compactar as expressões precedentes, usando-se a notação matricial,
As equações elétricas passam a ser representadas pela expressão (1.74).
1 1 1 1 12 13 1
2 2 2 12 2 23 2
3 3 3 13 23 3 3
v R 0 0 i L M M idv = 0 R 0 i M L M idt
v 0 0 R i M M L i
+
(1.74)
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Vamos em seguida reescrever a equação do torque:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 12 13
1 1 1 2
3
112 2 23
2 2 2 2
3
113 23 3
3 3 3 2
3
idL dM dM1T = i i i i
2 d d di
idM dL dM1 i i i i
2 d d di
idM dM dL1 i i i i
2 d d di
θ θ θ + + + θ θ θ
θ θ θ + + + + θ θ θ
θ θ θ + + + θ θ θ
(1.75)
A expressão (1.75) pode ainda ser representada segundo a expressão (1.76):
[ ]
131 12
12312 2
1 2 3 2
313 23 3
dMdL dMd d d i
dM1 dM dLT = i i i i2 d d d
idM dM dLd d d
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
(1.76)
Seja:
1
2
3
i= i
i
i (1.77)
1
2
3
R 0 00 R 00 0 R
R = (1.78)
[ ]t1 2 3= i i ii (1.79)
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( )
131 12
2312 2
13 23 3
dMdL dMd d d
d dMdM dLd d d d
dM dM dLd d d
θ θ θ = θ θ θ θ θ θ θ
L θ (1.80)
Assim, o torque passa a ser representado pela expressão (1.82). As tensões
são representadas pela expressão (1.81):
( )d= +
dtL
v Ri iθ
(1.81)
( )t d1T =2 dθ
Li i
θ (1.82)
As expressões (1.81) e (1.82) foram estabelecidas para uma máquina com três
enrolamentos. Contudo podem ser empregadas para qualquer sistema onde exista
conversão eletromecânica de energia.
1.8 CONCLUSÕES
Pode-se sintetizar os resultados obtidos no desenvolvimento deste capítulo, do
seguinte modo:
(a) O deslocamento relativo das partes de um sistema implica em
conversão eletromecânica de energia, quando há indutâncias próprias
ou mútuas, desse sistema, que sofrem variação com o deslocamento.
(b) A representação matricial dos sistemas nos quais ocorre conversão
eletromecânica de energia leva a obtenção de modelos compactos de
fácil interpretação física e de fácil manuseio.
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1.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
I = 2A
P
S = 5cm2
= 40cm
+ -v
Fig. 1.15 – Representação física do eletroimã do
problema 1.
1) Um eletroímã de manutenção tem uma
secção reta uniforme de 5cm2 e um
comprimento total médio de 40cm
(incluindo a armadura). O enrolamento é
excitado por uma corrente de 2A; supõe-
se que o núcleo e a armadura possuem a
mesma permeabilidade. A permeabilidade
relativa (µr) é igual a 2500. Calcular o
número de espiras necessário para resistir
a uma massa de 50kg. (Fig. 1.15)
2) O relé mostrado na Fig. 1.16 tem uma armadura móvel de secção quadrada, com
lado d, guiado por dois suportes não magnéticos de espessura q e comprimento d/2. A
carcaça é excitada por duas bobinas percorridas pela mesma corrente i. Cada bobina
possui N espiras. Supõe-se que a carcaça e a armadura possuem permeabilidade
infinita.
(a) Calcular a indutância do relé em função de x.
(b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a armadura, em
função de i e x.
(c) Calcular a força quando o relé está “colado”.
(d) Fazer uma aplicação numérica para d = 4cm; g = 0,1cm, N = 1000 e
i = 0,5A
22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA
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d +-v
dx
d/2
g
g
N
N
I
Fig. 1.16 – Representação física do relé do problema 2.
3) Na Fig. 1.17 está representada uma
peça de aço, de massa M, suspensa por
uma mola de constante K (N/m) e
submetida a influência de uma bobina cuja
resistência é desprezível. Supõe-se que a
indutância da bobina varia em função da
posição x da massa, segundo a expressão
L (x) = A + Bx, sendo A e B constantes.
v(t)i(t)
M
x(t)
+
-
Fig. 1.17 – Representação física do problema 3.
(a) Escrever a equação elétrica do sistema, estabelecendo a tensão V(t)
em função de i(t) e de x(t).
(b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a massa M.
(c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema.
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θ
v
i
i
Fig. 1.18 – Instrumento do tipo bobina móvel.
4) Na Fig. 1.18, as duas bobinas são
ligadas eletricamente em série; uma está
alojada no estator fixo e a outra no rotor
móvel. As indutâncias próprias e mútuas
valem:
L1 = 0,2mH,
L2 = 0,1mH,
L3 = 0,05cos θ mH
As duas bobinas são percorridas por uma
corrente senoidal de valor eficaz igual a
5A (i = 2 5 sen ωt).
(a) Calcular o valor médio do torque eletromagnético exercido sobre a
bobina móvel em função de θ.
(b) Supor que a bobina móvel seja mantida no ângulo θ = 900, por
ação de uma mola espiral que exerce um torque dado pela
expressão T = K(θ - π/2) com K = 0,004J/rd2. Calcular o valor do
ângulo “θ“ de equilíbrio em graus.
5) Considere a Fig. 1.19. O ferro-móvel pode sofrer deslocamento na direção x. Ao se
deslocar sofre a ação da mola, cuja constante é Ks. A posição do ferro-móvel em
relação ao ferro-fixo é D, quando não há corrente no enrolamento. A massa do ferro-
móvel é M. O atrito é por hipótese nulo. Efeitos secundários, como dispersão de fluxo
são ignorados. O enrolamento possui N espiras e resistência elétrica nula.
O enrolamento é alimentado por uma fonte tal que a densidade de fluxo no
entreferro é dada por B(t) = Bm sen ωt.
(a) Encontrar a expressão da força eletromagnética exercida sobre o
ferro-móvel em função de Bm, ω e t.
(b) Escrever a equação da tensão de alimentação do enrolamento em
função de Bm, ω e t.
24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA
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(c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema em termos de Bm,
ω e t.
Mola
v(t)
x
D A
Fig. 1.19 – Instrumento do tipo ferro-móvel.
6) Seja a estrutura representada a seguir:
R
L( )
Rotor0
d
q
θ
θ+
-
v
Fig. 1.20 – Máquina elétrica elementar com um enrolamento.
(a) Obter a expressão geral do torque.
(b) Explicar fisicamente a origem do torque.
(c) Seja L (θ) = Lmcos 2θ + L0. Obter a expressão final do torque.
(d) Estabelecer o modelo completo para o estudo do comportamento
dinâmico da estrutura.
CAPÍTULO
2 ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
2.1 INTRODUÇÃO
A máquina de indução trifásica com rotor bobinado é simétrica. Apresenta
estruturas magnéticas cilíndricas tanto no rotor quanto no estator. Os enrolamentos,
tanto do rotor quanto do estator são iguais entre si e igualmente defasados.
A máquina de indução com rotor em gaiola também é simétrica, pelas mesmas
razões expostas. Porém o número de fases do rotor é superior a três. De fato, cada
barra da gaiola constitui uma fase.
Neste capítulo será modelada apenas a máquina trifásica, porém sem perda de
generalidade. O método pode ser empregado para qualquer número de fases e
conseqüentemente para o rotor em gaiola.
Um desenho ilustrativo da máquina simétrica trifásica está representado na Fig.
2.1.
vS3
vS2
vS1
i S3
i S1
i S2
+
-
+-
+-
++
+
-- -i R3i R1i R2
vR1
vR2
vR3
Fig. 2.1 – Representação da máquina simétrica trifásica.
26 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
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2.2 HIPÓTESES DE ESTUDO E CONVENÇÕES
Para que se possa representar matematicamente a máquina em estudo, serão
feitas algumas hipóteses simplificativas, sem as quais a formulação, se não se tornasse
impossível, tornar-se-ia extremamente complexa.
A) Hipóteses de estudo e conseqüências:
(a) Os três enrolamentos estatóricos são iguais entre si.
(b) Os três enrolamentos rotóricos são iguais entre si.
(c) Os ângulos elétricos entre os enrolamentos são iguais, tanto no
estator quanto no rotor.
(d) O entreferro é considerado constante.
(e) O circuito magnético é considerado ideal. A saturação não existe.
(f) A distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro é
radial e senoidal.
(g) A máquina será considerada bipolar.
(h) Não serão consideradas as perdas magnéticas.
Como conseqüência das hipóteses de estudo adotadas, podemos estabelecer
que:
(a) Os fluxos podem ser superpostos. Assim:
totalφ = ∑=
φ3
1iR i
+∑=
φ3
1iSi
(2.1)
sendo iRφ o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do rotor e
iSφ o fluxo produzido pelo
enrolamento “i” do estator.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 27
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(b) os enrolamentos do estator e do rotor possuem indutâncias próprias
constantes. Assim:
1SL ,
2SL , 3SL ,
1RL , 2RL e
3RL são constantes.
(c) como conseqüência da igualdade dos enrolamentos tem-se:
SSSS LLLL321===
RRRR LLLL321===
SSSS RRRR321===
RRRR RRRR321===
(d) como conseqüência do defasamento igual entre os enrolamentos tem-se:
SSSS MMMM132312===
RRRR MMMM132312===
onde:
SM = indutância mútua entre dois enrolamentos do estator
RM = indutância mútua entre dois enrolamentos do rotor
(e) as indutâncias mútuas entre os enrolamentos estatóricos e rotóricos são
funções senoidais do deslocamento angular θ. Os enrolamentos do estator e do rotor
estão representados simbolicamente na Fig. 2.2:
28 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
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S1
S2
S3
R1
R2
R3
θ
θ
Fig. 2.2 – Representação simbólica dos enrolamentos do estator e do rotor.
( )( )3/4cosMM
3/2cosMM
cosMM
SRRS
SRRS
SRRS
31
21
11
π+θ=
π+θ=
θ=
(2.2)
( )
( )3/2cosMM
cosMM
3/4cosMM
SRRS
SRRS
SRRS
32
22
12
π+θ=
θ=
π+θ=
(2.3)
( )( )θ=
π+θ=
π+θ=
cosMM
3/4cosMM
3/2cosMM
SRRS
SRRS
SRRS
33
23
13
(2.4)
B) Convenções:
A máquina será tratada como um receptor e as equações das tensões terão a
forma representada pela expressão (2.5)
aa a a
dv R idtφ
= + (2.5)
onde φ representa o fluxo total que envolve o enrolamento “a”.
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2.3 EQUAÇÕES DOS FLUXOS
Adotando a superposição, os fluxos estatóricos serão descritos pelas
expressões (2.6), (2.7) e (2.8).
3312211113211 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.6)
3322221123122 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.7)
3332231132133 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.8)
Representando-se as equações (2.6), (2.7) e (2.8) matricialmente, obtém-se a
equação (2.9):
+
=
φφφ
3
2
1
332313
322212
312111
3
2
1
3
2
1
R
R
R
RSRSRS
RSRSRS
RSRSRS
S
S
S
SSS
SSS
SSS
S
S
S
iii
MMMMMMMMM
iii
LMMMLMMML
(2.9)
Generalizando-se para os enrolamentos rotóricos e compactando-se a
representação obtém-se as expressões (2.10):
( )
( )= +
= +S SS S SR R
R RS S RR R
L i L i
L i L i
φ θ
φ θ (2.10)
onde:
S S S
S S S
S S S
L M MM L MM M L
=
SSL (2.11)
R R R
R R R
R R R
L M MM L MM M L
=
RRL (2.12)
30 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
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( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
SR
cos cos 2 / 3 cos 4 / 3M cos 4 / 3 cos cos 2 / 3
cos 2 / 3 cos 4 / 3 cos
θ θ + π θ + π = θ + π θ θ + π θ + π θ + π θ
SRL θ (2.13)
( ) ( )t=RS SRL Lθ θ (2.14)
As matrizes (2.11) e (2.12) são chamadas de matrizes circulantes simétricas.
2.4 EQUAÇÕES DAS TENSÕES
Na medida que for possível será mantida a representação matricial no
desenvolvimento deste capítulo.
Das leis da física, podemos escrever as expressões das tensões como estão
representadas nas expressões (2.15) e (2.16):
ddt
= + SS S Sv R i
φ (2.15)
ddt
= + RR R Rv R i
φ (2.16)
onde:
=
S
S
S
R000R000R
SR (2.17)
=
R
R
R
R000R000R
RR (2.18)
A seguir serão desenvolvidas as expressões dos fluxos:
( )( )dd
dt dt+ θ
= SS S SR RS L i L iφ (2.19)
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( ) ( )( )dd ddt dt dt
θ= + SR RS SS S L iL iφ
(2.20)
( ) ( )d dd ddt dt dt dt
θ= + θ +S SRS R
SS SR R
Li iL L iφ
(2.21)
mas
( ) ( )d ddt dt
θ ∂ θ θ=
∂θSR SRL L
(2.22)
Assim, a derivada do fluxo do estator é representada pela expressão (2.23).
( ) ( )d d d ddt dt dt dt
∂ θ θ= + θ +
∂θS SRS R
SS SR R
Li iL L iφ
(2.23)
A derivada do fluxo do rotor, obtida de maneira análoga, é representada pela
expressão (2.24):
( ) ( )d dd ddt dt dt dt
∂ θ θ= + θ +
∂θR RSSR
RR RS S
LiiL L iφ
(2.24)
Levando-se as expressões das derivadas dos fluxos (2.23) e (2.24) nas
expressões (2.15) e (2.16), obtém-se as expressões das tensões, (2.25) e (2.26):
( ) ( )d d ddt dt dt
∂ θ θ= + + θ +
∂θSRS R
S S S SS SR R
Li iv R i L L i (2.25)
( ) ( )dd ddt dt dt
∂ θ θ= + + θ +
∂θRSSR
R R R RR RS S
Liiv R i L L i (2.26)
2.5 EQUAÇÃO DO TORQUE
Como foi estabelecido no capítulo 1, o torque de excitação, quando se trata de
dois enrolamentos, é determinado pela expressão (2.27):
32 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
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( )dT
dt= SR
S R
Mi i
θ (2.27)
Na máquina simétrica trifásica há três enrolamentos no estator e três no rotor.
Adicionando os torques produzidos pelos seis enrolamentos, obtém-se a expressão
(2.28):
3 11 1 2 1
1 1 2 3
3 21 2 2 2
2 1 2 3
1 3 2 3 3 3
3 1 2 3
S RS R S RR S S S
S RS R S RR S S S
S R S R S RR S S S
MM MT = i i + i + i +
MM M+i i + i + i +
M M M+i i + i + i
∂∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ
∂∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ
∂ ∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ
(2.28)
Representando-se na forma matricial, obtém-se a expressão (2.29):
[ ]
θ∂∂
=
3
2
1
332313
322212
312111
321
R
R
R
RSRSRS
RSRSRS
RSRSRS
SSS
iii
MMMMMMMMM
iiiT (2.29)
Seja:
( )1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
S R S R S R
S R S R S R
S R S R S R
M M MM M MM M M
=
SRL θ (2.30)
1
2
3
R
R
R
iii
=
Ri (2.31)
1
2
3
S
S
S
iii
=
Si (2.32)
A expressão do torque será então representada pela expressão (2.33).
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( )( )tT
∂=
∂θSR
S R
Li i
θ (2.33)
Transpondo-se a expressão (2.33), obtém-se a expressão (2.34):
( )( )tT
∂=
∂θRS
R S
Li i
θ (2.34)
Adicionando-se as expressões (2.33) e (2.34) e dividindo-se por dois obtém-se
a expressão (2.35).
( )( ) ( )( )t t1T
2
∂ ∂= + ∂θ ∂θ
SR RSS R R S
L Li i i i
θ θ (2.35)
A expressão (2.35) pode ser reescrita segundo a expressão (2.36).
( ) ( )( )
t t 01T02
∂ = ∂θ
SSRS R
RRS
iLi i iL
θθ
(2.36)
As matrizes LSS e LRR são formadas por termos independentes da posição
angular θ. Por isto:
0∂ ∂= =
∂θ ∂θSS RRL L (2.37)
Pode-se consequentemente estabelecer que:
( )
( )( )
( )0
0 ∂ ∂
= ∂θ ∂θ
SR SS SR
RS RS RR
L L LL L L
θ θθ θ
(2.38)
Seja:
( )tttRS iii = (2.39)
=
R
S
ii
i (2.40)
34 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
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( )( )
( )
=
SS SR
RS RR
L LL
L Lθ
θθ
(2.41)
Assim o torque será representado pela expressão (2.42):
( )t1T2
∂=
∂θL
i iθ
(2.42)
2.6 EQUAÇÕES FINAIS DA MÁQUINA
Reunindo-se as expressões das tensões e do torque, (2.25) e (2.26) e (2.42)
respectivamente, obtém-se o modelo completo da máquina, representado pelas
expressões (2.43), (2.44) e (2.45).
( ) ( )d d ddt dt dt
∂ θ θ= + + θ +
∂θSRS R
S S S SS SR RLi iv R i L L i (2.43)
( ) ( )dd ddt dt dt
∂ θ θ= + + θ +
∂θRSSR
R R R RR RS SLiiv R i L L i (2.44)
( )t1T2
∂=
∂θL
i iθ
(2.45)
As equações elétricas podem ser reescritas segundo a expressão (2.46):
( )
( )( )
( )
0 0 d0 0 dt
0 0d d0 0dt dt
= + +
∂ θ
+ + ∂θ
S S S SS S
R S R RR R
S SSR SR
R RRS RS
v R i L iv R i L i
i iL Li iL L
θ θθ θ
(2.46)
As expressões (2.46) podem ser reescritas de uma forma mais compacta,
segundo a expressão (2.47):
( ) ( )d ddt dt
∂ θ= + +
∂θLiv Ri L i
θθ (2.47)
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Pois:
=
R
S
RR
R0
0 (2.48)
( )
( )( )
( )0 0
0 0
+ =
SS SR SS SR
RR RS RS RR
L L L LL L L L
θ θθ θ
(2.49)
Reunindo-se as expressões (2.47) e (2.42) obtém-se o modelo da máquina
simétrica na sua forma mais compacta, representada pelas expressões (2.50):
( ) ( )
( )t
p
1T2
•∂= + + θ
∂θ∂
=∂θ
Lv Ri L i i
Li i
θθ
θ (2.50)
2.7 OUTRA TÉCNICA PARA OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO DO TORQUE
Consideremos a expressão das tensões (2.51):
( ) ( )p•∂
= + + θ∂θ
Lv Ri L i i
θθ (2.51)
Pré-multiplicando-se todos os termos da equação pelo vetor corrente
transposto obtém-se a equação (2.52):
( ) ( )t t t tp•∂
= + + θ∂θ
Li v i Ri i L i i i
θθ (2.52)
Por outro lado:
( ) ( ) ( ) ( )t t t1 1 d 1 1 dp2 2 dt 2 2 dt
•∂ = + θ+ ∂θ
tLi ii L i i L + i i L iθ
θ θ θ (2.53)
mas:
36 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
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( ) ( )t
t1 d 1 d2 dt 2 dt
i ii L = L iθ θ (2.54)
Assim:
( ) ( ) ( )t t td 1 1pdt 2 2
∂ = − θ+ ∂θ
Lii L i i i L iiθ
θ θ (2.55)
Substituindo-se a expressão (2.55) em (2.52), obtém-se a expressão (2.56):
( ) ( )t t t t1 1p2 2
•∂ = + + θ ∂θ
Li v i Ri i L i i i
θθ (2.56)
O último termo da expressão (2.56) representa a parcela de potência elétrica
absorvida pela máquina e convertida em potência mecânica. Assim:
( )tm
1P2
•∂= θ
∂θL
i iθ
(2.57)
portanto:
( )t1T2
∂=
∂θL
i iθ
(2.58)
Fica assim estabelecida a equação do torque, com o emprego de um método
diferente daquele empregado no item 2.5.
Os diversos termos das expressões (2.47) podem ser interpretados
fisicamente. Assim:
(a) iR → Representa as quedas de tensão nas resistências dos
enrolamentos da máquina.
(b) ( )pL iθ → Representa as tensões geradas nos enrolamentos, causadas
pela variação das correntes. São tensões variacionais.
(c) ( ) •∂θ
∂θL
iθ
→ São as tensões geradas nos enrolamentos, quando há
deslocamento relativo entre eles. São denominadas tensões rotacionais.
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Quando •θ = 0 , ou seja, quando o rotor estiver em repouso, o modelo passa a
ser representado pela expressão (2.59):
( )p= +v Ri L iθ (2.59)
que representa um transformador.
2.8 CONCLUSÕES
As equações (2.50) são não lineares e de difícil solução. Em geral, não são
empregadas no estudo do comportamento da máquina.
Por isto, foram desenvolvidas técnicas baseadas em transformações lineares,
com o objetivo de estabelecer modelos mais simples a partir do modelo original
estabelecido neste capítulo. Tais técnicas serão estudadas nos capítulos seguintes.
Em alguns trabalhos, destinados a determinar o comportamento da máquina de
indução associada a certos tipos de conversores estáticos, o modelo representado
pelas equações (2.50) foram empregados. Tal tipo de estudo porém é muito particular e
só pode ser realizado com o emprego de computadores.
38 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
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2.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Seja uma máquina simétrica trifásica, alimentada em corrente no estator e no rotor.
As correntes estatóricas e rotóricas são dadas pelas expressões seguintes:
( )1S S S Si I cos t= ω + θ
( )2S S S Si I cos t 2 / 3= ω + θ − π
( )3S S S Si I cos t 4 / 3= ω + θ − π
( )1R R R Ri I cos t= ω + θ
( )2R R R Ri I cos t 2 / 3= ω + θ − π
( )3R R R Ri I cos t 4 / 3= ω + θ − π
O rotor gira com velocidade mω em relação ao estator. Será considerada uma
máquina de indução de dois pólos. Assim:
mRS ω+ω=ω
Pede-se a expressão final do torque desenvolvido pela máquina.
CAPÍTULO
3 ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
3.1 INTRODUÇÃO
O primeiro passo a ser dado na obtenção de modelos mais adequados para a
análise da máquina de indução é o estudo da transformação 0αβ . Consiste numa
transformação linear que diagonaliza as matrizes circulantes simétricas, que aparecem
na formulação dos modelos da máquina trifásica simétrica.
Fisicamente a transformação 0αβ transforma a máquina simétrica trifásica
numa máquina simétrica bifásica, com mesma potência mecânica, torque, velocidade e
número de pólos. Por isto é também conhecida com o nome de transformação trifásica-
bifásica.
Esta transformação é muito útil também no estudo de transitórios de
transformadores simétricos e reatores trifásicos.
A alimentação pode ser não-simétrica e não-senoidal, desde que a máquina
seja simétrica.
3.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
Seja duas estruturas, uma trifásica e uma bifásica, representadas Fig. 3.1 e
Fig. 3.2:
Os enrolamentos que compõem a estrutura trifásica possuem n3 espiras e os
que compõem a estrutura bifásica possuem n2 espiras.
Cada enrolamento, ao ser percorrido por uma corrente produz uma força
magnetomotriz F.
40 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
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S1
S2
S3
F2 F1
F3
n3
n3n3
iS2
iS1iS3
Fig. 3.1 – Circuito trifásico simétrico.
S
SF
n2iS
F n2
iSα
α
α
β
β
β
Fig. 3.2 – Circuito bifásico simétrico.
Será estabelecida uma transformação que permita encontrar Fα e Fβ em função
de F1, F2 e F3, de sorte que a estrutura bifásica produza uma força magnetomotriz
resultante com efeito semelhante à resultante da estrutura trifásica.
Decompondo-se vetorialmente F1, F2 e F3 segundo os eixos Sα e Sβ encontra-
se as expressões (3.1) e (3.2).
( ) ( )1 2 3S S SF F + F cos 2 / 3 F cosSα
= π + 4π/3 (3.1)
( ) ( )2 3S S SF = 0 + F sen 2 /3 + F sen 4 /3
βπ π (3.2)
Assim:
1
2
3
SS
SS
S
FF 1 1 2 1 2FF 0 3 2 3 2 F
α
β
− − = −
(3.3)
mas:
S S2
S S
F inF i
α α
β β
=
(3.4)
e
1 1
2 2
3 3
S S
S 3 S
S S
F iF n iF i
=
(3.5)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 41
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Substituindo-se as expressões (3.4) e (3.5) na expressão (3.3) encontramos a
expressão (3.6):
1
2
3
SS 3
SS 2
S
ii 1 -1 2 -1 2n ii n 0 3 2 - 3 2 i
α
β
=
(3.6)
Para que a matriz definida pela expressão (3.6) possa ser invertida, vamos
definir a corrente i0 segundo a expressão (3.7):
( )0 1 2 3
3S S S S
2
ni a i i in
= + + (3.7)
Levando-se (3.7) em (3.6) obtém-se (3.8):
0 1
2
3
S S3
S S2
S S
i a a a ini 1 1 2 1 2 in
i i0 3 2 3 2α
β
= − − −
(3.8)
Seja a matriz definida pela expressão (3.9):
3
2
a a an 1 1 2 1 2n
0 3 2 3 2
−
= − − −
1A (3.9)
Para que a potência seja invariante (apêndice), deve-se satisfazer a seguinte
relação:
( ) 1t11 AA−
=−− (3.10)
ou
t1 AA =− (3.11)
ou
− − =t1 1A A I (3.12)
42 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
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sendo I a matriz identidade, ou:
1 0 00 1 00 0 1
=
I (3.13)
Portanto:
2
3
2
a 1 0a a a 1 0 0n 1 1 2 1 2 a 1 2 3 2 0 1 0n
0 0 10 3 2 3 2 a 1 2 3 2
− − − = − − −
(3.14)
Assim:
2
23
2
n3 a 1n
=
(3.15)
( ) 141411nn
2
2
3 =++
(3.16)
Portanto:
32
nn
2
3 = (3.17)
e
2
1a = (3.18)
Assim a matriz torna-se:
−−−=−
2323021211212121
321A (3.19)
Seja:
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=
β
ααβ
S
S
S
iii
0
0Si (3.20)
e
=
3
2
1
321
S
S
S
iii
Si (3.21)
3210 S
1S iAi −=
αβ (3.22)
αβ
=0321 SS iAi (3.23)
A matriz 1A − define a transformação 0αβ ou trifásica-bifásica.
3.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
Consideremos um enrolamento trifásico simétrico (estator de um motor de
indução com enrolamento rotórico aberto).
Sejam nulas as resistências desse enrolamento. Consideremos a expressão
dos fluxos, representada por (3.24):
=
φφφ
3
2
1
3
2
1
iii
LMMMLMMML
(3.24)
ou
1 2 3 1 2 3= L iφ (3.25)
Seja:
3210 φφ 1A−αβ = (3.26)
44 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
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0 1 2 3αβ−= 1i A i (3.27)
Assim:
321321 iLAA 11 −− =φ (3.28)
αβ−
αβ = 00 iALA 1φ (3.29)
Seja:
ALAL 1N
−= (3.30)
Assim:
αβαβ = 00 iLNφ (3.31)
Calculemos a matriz NL :
−−
−−−=
232121232121
0121
LMMMLMMML
2323021211212121
32
32
NL (3.32)
−−
+=
ML000ML000M2L
NL (3.33)
Seja:
0 L 2M= +L (3.34)
S L M= −L (3.35)
Assim:
0 0 0
S
S
0 0 i0 0 i0 0 i
α α
β β
φ φ = φ
LL
L (3.36)
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As novas indutâncias são definidas do seguinte modo:
0L - indutância cíclica homopolar
SL - indutância cíclica
Comparando-se as expressões (3.24) e (3.36), verifica-se que a matriz
indutância foi diagonalizada.
A matriz indutância L original é do tipo circulante simétrica, que aparece na
formulação dos modelos das máquinas elétricas. Daí a importância prática da
transformação 0αβ .
3.4 ESTUDO DO REATOR TRIFÁSICO SIMÉTRICO
Será empregada, a título de exemplo, a transformação 0αβ na análise de um
reator trifásico simétrico, representado na Fig. 3.3:
v1
v2
v3
i1
i2
i3
R
L
M
2
2
2
R3
R1
L3
L1
3
M13
M12
Fig. 3.3 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico.
São conhecidos os parâmetros R, L e M e as tensões v1(t), v2 (t) e v3 (t).
Deseja-se determinar as correntes i1 (t), i2 (t) e i3 (t).
A equação das tensões é representada pela expressão (3.37).
46 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
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123 123 123p= +v Ri Li (3.37)
Pré-multiplicando-se os termos de (3.37) por A-1 obtém-se a expressão (3.38):
321321321 p iLAiRAVA 111 −−− += (3.38)
Assim:
0 0 0pαβ αβ αβ− −= +1 1v A RAi A LAi (3.39)
Seja:
−1NR = A RA (3.40)
−1NL = A LA (3.41)
Assim:
0 N 0 N 0pαβ αβ αβ= +V R i L i (3.42)
mas,
=
R000R000R
NR (3.43)
0
S
S
0 00 00 0
=
NLL
LL
(3.44)
O modelo do reator trifásico simétrico será então descrito pela expressão (3.45)
0 0 0
S
S
v R p 0 0 iv 0 R p 0 iv 0 0 R p iα α
β β
+ = + +
LL
L (3.45)
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Constata-se que a matriz impedância fica diagonalizada. O reator é então
representado por três equações diferenciais de 1ª ordem, representadas pelas
expressões (3.46).
( )
( )
( )
0 0 0
S
S
v R p i
v R p i
v R p i
α α
β β
= +
= +
= +
L
L
L
(3.46)
Fisicamente o reator trifásico é convertido em três reatores monofásicos
independentes, representados na Fig. 3.4.
v0
i0
R L0
vα
iα
R Lα
vβ
iβ
R Lβ
Fig. 3.4 – Modelo elétrico equivalente para o reator trifásico usando a transformada αβ0.
Na solução de um problema particular do reator conhecendo-se v1, v2 e v3
determina-se v0, vα e vβ. Com o emprego das equações (3.46) determina-se i0, iα e iβ
Aplicando-se a transformação inversa, determina-se i1, i2 e i3.
48 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
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3.5 EMPREGO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 NO ESTUDO DO TRANSFORMADOR
Seja um transformador trifásico simétrico, cuja estrutura está representada na
Fig. 3.5.
MSRS1
S2
S3
R1
R3
R2
Fig. 3.5 – Estrutura do transformador trifásico simétrico.
O circuito correspondente está representado na Fig. 3.6.
vS1
vS2
vS3
iS1
iS2
iS3
RS1
RS2
RS3
L S1
L S2 L S3
iR3
iR2
iR1
L R3
L R2L R1
RR3
RR2
RR1
Fig. 3.6 – Circuito elétrico equivalente do transformador trifásico simétrico.
O transformador é representado pelas equações (3.47).
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 49
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d ddt dt
dddt dt
= + +
= + +
S RS S S SS SR
SRR R R RR RS
i iv R i L L
iiv R i L L (3.47)
onde:
=
S
S
S
R000R000R
SR (3.48)
=
R
R
R
R000R000R
RR (3.49)
=
SSS
SSS
SSS
LMMMLMMML
SSL (3.50)
=
RRR
RRR
RRR
LMMMLMMML
RRL (3.51)
−−−−−−
==
SRSRSR
SRSRSR
SRSRSR
M2M2M2MM2M2M2MM
RSSR LL (3.52)
Aplicando-se a transformação 0αβ nas equações (3.47), obtém-se as
equações (3.53) e (3.54):
0 0
0 0
d d
dt dtαβ αβ
αβ αβ
− − −= + +S R1 1 1
S S S SS SR
i iv A R Ai A L A A L A (3.53)
0 0
0 0
dd
dt dtαβ αβ
αβ αβ
− − −= + +SR1 1 1
R R R RR SR
iiv A R A i A L A A L A (3.54)
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As expressões (3.53) e (3.54) podem ser reescritas segundo as expressões
(3.55) e (3.56).
0 0
N N N0 0
d d
dt dtαβ αβ
αβ αβ= + +
S RS S S SS SR
i iv R i L L (3.55)
0 0
N N N0 0
d d
dt dtαβ αβ
αβ αβ= + +
R RR R R RR RS
i iv R i L L (3.56)
As matrizes parâmetros transformados estão representadas pelas expressões
(3.57), (3.58), (3.59), (3.60) e (3.61):
S
S
S
R 0 00 R 00 0 R
=
NSR (3.57)
=
R
R
R
R000R000R
NRR (3.58)
S
S
S
0 00 00 0
=
SSLL
LL
(3.59)
R
R
R
0 00 00 0
=
RRLL
LL
(3.60)
==
SR
SR
m000m0000
RSSR LL (3.61)
onde:
S0 S SL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do primário.
R0 R RL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do secundário.
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S S SL M= −L ⇒ indutância cíclica do primário.
R R RL M= −L ⇒ indutância cíclica do secundário.
SR SR3m = M2
⇒ indutância mútua cíclica.
O modelo completo do transformador é representado pelas expressões (3.62).
0 0 0
00 0
S S SS
S S S SRS
S S S SRS
RRR R
SR RRR R
SRRR R
v i p 0 0 0 0 0R 0 0 0 0 0v i 0 p 0 0 pm 00 R 0 0 0 0v i 0 0 p 0 0 pm0 0 R 0 0 0
0 0 0 pL 0 00 0 0 R 0 0v i0 pm 0 0 pL 00 0 0 0 R 0v i0 0 pm 0 0 p0 0 0 0 0 Rv i
α α
β β
α α
β β
= +
LL
L
0
0
S
S
S
R
R
R R
iii
ii
L i
α
β
α
β
(3.62)
Como as matrizes parâmetros são diagonalizadas, o modelo (3.62) pode ser
reescrito segundo as equações (3.63), (3.64) e (3.65).
0 0 0 0
0 0 0 0
S S S SS
RR R R R
v i 0 iR 0p
0 Rv i 0 i
= +
LL (3.63)
0
0
S S S SS
RR R R R
v i 0 iR 0p
0 Rv i 0 iα α α
α α α
= +
LL (3.64)
0
0
S S SSS
RR R R R
v i i0R 0p
0 Rv i 0 iβ β β
β β β
= +
LL (3.65)
As equações (3.63), (3.64) e (3.65) representam três transformadores
monofásicos independentes, representados pela Fig. 3.7, Fig. 3.8 e Fig. 3.9.
iS0 iR0vS0 vR0
+
-
Fig. 3.7 – Seqüência 0.
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iSα iRαvSα vRα
+
-
Fig. 3.8 – Seqüência α.
iSβ iRβvSβ vRβ
+
-
Fig. 3.9 – Seqüência β.
Desse modo, a transformação 0αβ apresenta a importante propriedade de
converter um transformador trifásico simétrico em três transformadores monofásicos
independentes, tornando a análise muito simples.
3.6 APLICAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO TRIFÁSICA-BIFÁSICA NAS EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
No capítulo 2 foram estabelecidas as equações da máquina simétrica trifásica,
representadas neste capítulo pelas expressões (3.66), (3.67) e (3.68).
( ) ( )d d ddt dt dt
∂ θ θ= + + θ +
∂θSRS R
S S S SS SR R
Li iv R i L L i (3.66)
( ) ( )dd ddt dt dt
∂ θ θ= + + θ +
∂θRSSR
R R R RR RS S
Liiv R i L L i (3.67)
( )t1T2
∂=
∂θL
i iθ
(3.68)
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Aplicando-se a transformação A-1 na expressão (3.66) obtém-se a expressão
(3.69):
( ) ( )0 000
d d ddt dt dtαβ αβ− − − − −
αβαβ
∂ θ= + +
∂θS R1 1 1 1 1
S S S SS SR SR R
i iA v A R Ai + A L A A L A A L Aiθ θ (3.69)
Definindo-se:
N
−= 1S SR A R A (3.70)
N
−= 1R RR A R A (3.71)
N
−= 1SS SSL A L A (3.72)
N
−= 1RR RRL A L A (3.73)
( ) ( )N−= 1
SR SRL A L Aθ θ (3.74)
( ) ( )N−= 1
SR SRL A L Aθ θ (3.75)
Substituindo as últimas expressões em (3.69) e generalizando os resultados
para a expressão da tensão rotórica obtém-se as expressões (3.76) e (3.77), que são
as equações elétricas da máquina nas variáveis 0αβ .
( ) ( )0 0
N N 00 0
NN
d d ddt dt dt
αβ αβ
αβαβ αβ
∂ θ= + + +
∂θS R SR
S S S SS SR R
i i Lv R i L L i
θθ (3.76)
( ) ( )0 0
N N0 0 0N
dd ddt dt dt
αβ αβ
αβ αβ αβ
∂ θ= + + +
∂θSR RS N
R R R RR RS S
ii Lv R i L L i
θθ (3.77)
Para se obter a expressão do torque, adota-se o prossedimento a seguir:
( )tT∂
=∂θSR
S R
Li i
θ (3.78)
0αβ
= SS iAi (3.79)
54 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
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tSS Aii tt
0αβ= (3.80)
( )00
tTαβαβ
∂=
∂θSRt
S R
Li A Ai
θ (3.81)
( )( )
00
tTαβαβ
∂=
∂θ
tSR
S R
A L Ai i
θ (3.82)
Assim:
( )
00
t NTαβαβ
∂=
∂θSR
S R
Li i
θ (3.83)
As matrizes NSR ,
NRR , NSSL e
NRRL são as mesmas obtidas no estudo do
transformador.
No procedimento que segue, é estabelecida a matriz ( )NRSL θ .
Substituindo-se as matrizes -1A , A e ( )SRL θ na expressão (3.75), obtém-se a
expressão (3.84).
( ) SRN
1 1 1 12 4 1 0cos cos cos2 2 2 23 3
2 1 1 4 2 1 1 3M 1 cos cos cos3 2 2 3 3 2 22
2 43 3 1 1 3cos cos cos03 32 2 2 22
π π θ θ+ θ+
π π = − − θ+ θ θ+ − π π θ + θ+ θ− − −
SRL θ
(3.84)
Realizando-se os produtos matriciais obtém-se as matrizes (3.85) e (3.86):
( ) SR SRN
SR SR
0 0 00 m cos m sen0 m sen m cos
= θ − θ θ θ
SRL θ (3.85)
( ) SR SRN
SR SR
0 0 00 m cos m sen0 m sen m cos
= θ θ − θ θ
RSL θ (3.86)
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Pois
( ) ( )N N
t=RS SRL Lθ θ (3.87)
Com:
( )( ) ( )
0 N N
0 0N
dd ddt dt dt
αβ
αβ αβ
∂ θ+ =
∂θSR SRR
SR R R
L LiL i i
θ θθ (3.88)
pode-se escrever o modelo final sob a forma de variáveis 0αβ da máquina simétrica
trifásica, segundo as expressões (3.89):
( )
( )
( )
0 N
N N 00 0
0 N
N N0 0 0
N
00
t
dd
dt dtdd
dt dt
T
αβ
αβαβ αβ
αβ
αβ αβ αβ
αβαβ
= + +
= + +
∂=
∂θ
SRSS S S SS R
SRRR R R RR S
SRS R
Liv R i L i
Liv R i L i
Li i
θ
θ
θ
(3.89)
O modelo desenvolvido, obtido a partir das expressões (3.89) é representado
pelas expressões (3.90).
Nelas verifica-se a presença do ângulo θ nas matrizes indutâncias mútuas. Por
isto o modelo é não linear e de difícil solução analítica.
0 0
0 0
0
0
S S
SS S
SS SS
RR R
RR R
R
R R
S
S SR SR
S SR SR
R
SR SR R
p
v iR 0 0v i0 R 0 0
v i0 0 RR 0 0v i
0 0 R 0v i0 0 Rv i
0 0 0 0 00 0 0 m cos m sen0 0 0 m sen m cos0 0 0 0 00 m cos m sen 0 0
α α
β β
α α
β β
= +
+
θ − θθ θ
θ θ
LL
LL
L
0
0
S
S
S
R
R
SR SR RR
i
i
i
i
i0 m sen m cos 0 0 i
α
β
α
β
− θ θ
L
56 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
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0
0
R
SR S S S R
R
i0 0 0T m i i i 0 sen cos i
0 cos sen iα β α
β
= − θ − θ θ − θ
(3.90)
No capítulo seguinte será introduzida a transformação de PARK, destinada a
simplificar mais o modelo da máquina simétrica trifásica.
O efeito da transformação 0αβ aplicado á máquina simétrica trifásica pode ser
melhor evidenciado com o auxílio da Fig. 3.10 e Fig. 3.11:
S1
S2
S3
R1
R2
R3
θ
θ
S1i
S2i
S3i
R1i
R2i
R3i
Fig. 3.10 – Motor trifásico.
Sβ
Sα
Rβ
Rα
θ
Rβi Sβ
i
Rαi
Sαi
Fig. 3.11 – Motor bifásico equivalente.
Portanto, a máquina trifásica real é transformada numa máquina bifásica
imaginária. A ausência dos enrolamentos de seqüência zero ou homopolar será
explicada no item 3.7.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 57
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3.7 INTERPRETAÇÃO DA INDUTÂNCIA CÍCLICA HOMOPOLAR
Seja a máquina simétrica com enrolamentos rotóricos abertos e enrolamentos
estatóricos submetidos a uma mesma tensão, de acordo com o que está representado
na Fig. 3.12.
iS
i
i
S
SiS
vS
1
2
3
S1
S2
S3
R1
R2
R3
Fig. 3.12 – Máquina simétrica trifásica com enrolamentos rotóricos abertos sendo os estatóricos alimentados com a mesma tensão.
1 2 3S S S Sv v v v= = = (3.91)
Levando-se as tensões 1Sv ,
2Sv e 3Sv da expressão (3.91) na expressão (3.92),
obtém-se os resultados a seguir:
0 1 2 3αβ
−= 1S Sv A v (3.92)
Sv 0α= (3.93)
Sv 0β= (3.94)
0S Sv 3 v= (3.95)
Considerando a máquina em regime permanente, tem-se:
0
0
SS
0
vi
2 f=
π L (3.96)
58 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
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( )0 1 2 3S S S S1i i i i3
= + + (3.97)
Então
3
ii SS0= (3.98)
Levando (3.98) e (3.95) em (3.96), obtém-se:
S S
0
i 3 v2 f3
=π L (3.99)
Assim:
SS
0
3viX
= (3.100)
onde:
0 0X 2 f= π L (3.101)
Pode-se imediatamente concluir que a corrente que circula na fonte fica
limitada apenas pela reatância cíclica homopolar.
Para facilitar a interpretação física, será considerada a Fig. 3.11:
ROTOR
FS1
FS3FS2
iS1
iS3
iS2
Fig. 3.13 – Estrutura de uma máquina simétrica trifásica.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 59
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Como as correntes 1Si ,
2Si e 3Si , são iguais, as três forças magnetomotrizes,
1SF , 2SF e
3SF são iguais em módulo e em fase no tempo. Assim os fluxos são nulos,
com exceção dos fluxos de dispersão, que se fecham pelo ar e que estão
representados na Fig. 3.13.
Pode-se então concluir que a indutância de seqüência zero ou cíclica
homopolar é uma imagem da indutância da dispersão.
Consideramos as equações completas de seqüência zero, obtidas a partir das
equações (3.90).
0 0 0 0
0 0 0 0
S S S SS
RR R R R
v i p 0 iR 00 Rv i 0 p i
= +
LL (3.102)
Segundo as expressões (3.102) não há indutância mútua entre as
componentes de seqüência homopolar do estator e do rotor.
Quando não há fio neutro na alimentação da máquina simétrica trifásica as
tensões e correntes homopolares não existem.
Quando há neutro e a alimentação for balanceada, existem componentes
homopolares. Contudo elas não produzem torque, como pode ser constatado a partir
das expressões (3.90).
60 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
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3.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
v
R i
i i
1
2 3
LS
LS
R R
LS
Fig. 3.14 – Rotor trifásico com uma fase em aberto.
1) Seja a estrutura representada na Fig.
3.14, com os seguintes parâmetros:
R = 1Ω
SL = 0,280H (indutância cíclica)
f = 60Hz
V = 380V (valor eficaz)
O circuito é considerado em regime
permanente. Determinar as expressões e
os valores das correntes nas fases da
estrutura.
2) Repetir os cálculos para a Fig. 3.15, representada a seguir:
i
v
1
1
LSLS
LS
RR
Rv
i
2v3v
+
+ +
- -
-+
-
3 2i
Fig. 3.15 – Rotor trifásico com duas fases em paralelo e em série com a terceira sendo alimentadas por uma fonte de tensão única.
3) Seja a estrutura representada na Fig. 3.16:
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i 1v1
+
-
i 2v2
+
-
i 3v3
+
-
Fig. 3.16 – Estrutura de um reator trifásico.
onde: 50RRRR 321 ,==== Ω ,
60LLLL 321 ==== mH (próprias)
=M -30mH (mútuas)
No instante t = 0 aplicam-se as seguintes tensões nos enrolamentos:
1v 50V= ; 2v 30V= ; 3v 100V=
Empregando a transformação 0αβ , determinar as correntes nos enrolamentos
em função do tempo.
4) Seja um reator trifásico, representado esquematicamente pela Fig. 3.17:
v
v
v
S
S
S i
i
i
1
2
3
1
2
3
R
LSM
Fig. 3.17 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico.
Os parâmetros são os mesmos do exercício 3. Os interruptores 1S , 2S e 3S são
fechados simultaneamente.
62 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
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1
2
3
v Vcos t2v Vcos t3
4v Vcos t -3
= ω
π = ω −
π = ω
onde
377=ω rad/s
v 2 220= volts
Determinar as correntes ( )ti1 , ( )ti 2 e ( )ti3 .
5) Seja o transformador trifásico, representado na Fig. 3.18.
S1 S2 S3
R3R2R1
iS1iS2
iS3
iR1 iR2 iR3
v1 v2 v3
Fig. 3.18 – Transformador trifásico com um curto-circuito na saída de duas fases.
É estabelecido um curto circuito entre as fases 2 e 3 do secundário. Determinar
a expressão da corrente de curto circuito, empregando a transformação 0αβ , sabendo
que:
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1
2
3
v Vcos t2v Vcos t3
4v Vcos t -3
= ω
π = ω −
π = ω
CAPÍTULO
4 A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
4.1 INTRODUÇÃO
A transformação de PARK tem uma importância muito grande no estudo das
máquinas elétricas. Consiste de uma transformação linear que simplifica as equações
das máquinas, introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas.
Fisicamente, transforma a máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixos
e enrolamentos rotóricos girantes, em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricos
pseudo-estacionários.
4.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Foi demonstrado no capítulo 3, que sob a transformação 0αβ , os fluxos e as
correntes ficam relacionados pelas equações (4.1).
0 00
00 0
S SS
S SS SR SR
S SS SR SR
RR R
SR SR RR R
SR SR RR R
i0 0 0 0 0i0 0 0 m cos m seni0 0 0 m sen m cos
0 0 0 0 0 i0 m cos m sen 0 0 i0 m sen m cos 0 0 i
α α
β β
α α
β β
φ φ θ − θ φ θ θ = φ θ θ φ − θ θ φ
LL
LL
LL
(4.1)
Os fluxos estatóricos podem ser reescritos segundo a expressão (4.2).
0 0 00
S S RS
S S S SR SR R
S SR SRS S R
i i0 0 0 0 00 0 i 0 m cos m sen i0 0 0 m sen m cosi i
α α α
β β β
φ φ = + θ − θ θ θφ
LL
L (4.2)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 65
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Vamos definir um novo conjunto de correntes rotóricas, segundo a expressão
(4.3):
φφφ
θθθ−θ=
φφφ
β
α
R
R
R
R
R
R 0
q
d
0
cossen0sencos0001
(4.3)
Assim:
00dq αβ
−= R1
R iBi (4.4)
onde:
θθθ−θ=−
cossen0sencos0001
1B (4.5)
A matriz B-1 define a transformação de PARK.
4.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Vamos representar a expressão (4.1) na forma compacta, segundo as
expressões (4.6) e (4.7), ignorando as componentes homopolares, que não serão
alteradas pela transformação de PARK.
S SRmαβ αβ αβ
−= + 1S S Ri B iL Iφ (4.6)
R SRmαβ αβ αβ= +R R Si B iL Iφ (4.7)
onde:
θθ−θθ
=cossensencos
B (4.8)
e
66 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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1 00 1
=
I (4.9)
Aplicando-se a transformação B-1 na equação (4.7), obtém-se:
dqSR Rm
αβ αβ
− − −= +1 1 1R S RB B B i B B iφ L (4.10)
Assim:
dq dqSR Rm
αβ= +R S Ri iI L Iφ (4.11)
A partir da expressão (4.6) obtém-se:
dqSR Sm
αβ αβ= +S R Si iI L Iφ (4.12)
Reunindo-se as equações (4.11) e (4.12) e representando-se na forma
matricial, encontra-se a expressão (4.13).
0 00
00 0
d d
q q
S SS
S SS SR
S SS SR
RR R
SR RR R
SR RR R
i0 0 0 0 0
i0 0 0 m 0i0 0 0 0 m
0 0 0 0 0 i0 m 0 0 0 i0 0 m 0 0 i
α α
β β
φ φ φ = φ φ φ
LL
LL
LL
(4.13)
A expressão (4.13) mostra que as submatrizes indutâncias são diagonalizadas
pela transformação de PARK.
Convém chamar atenção para o fato de que as variáveis estatóricas não foram
transformadas; somente as variáveis rotóricas sofreram a ação da transformação de
PARK.
Fazendo-se o produto BB 1− obtém-se:
=
θθ−θθ
θθθ−θ
1001
cossensencos
cossensencos
(4.14)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 67
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Portanto a transformação de PARK, como foi definida é ortogonal. Por isto, sob
esta transformação, a potência é invariante.
4.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Para interpretarmos fisicamente a transformação de PARK, vamos considerar
os sistemas de eixos representados na Fig. 4.1.
•
θ
R q
R d
Rβ
Rα
θ
Rβi Rq
i
Rαi
Rdi
Fig. 4.1 – Sistemas de eixo representando a transformada de Park.
Os eixos βαRR giram no sentido anti-horário com velocidade •
θ . Os eixos
qdRR estão em repouso. Tem-se assim dois enrolamentos girando, com correntes αRi
e βRi e dois estacionários com correntes Rdi e
qRi . Todos os enrolamentos são
considerados idênticos.
Decompondo-se as forças magnetomotrizes dos enrolamentos girantes
segundo os eixos fixos e dividindo-se pelo número de espiras, encontra-se as relações
(4.15) e (4.16).
θ−θ=βαsenicosii RRR d
(4.15)
θ+θ=βα
cosisenii RRR q (4.16)
Na forma matricial obtém-se a expressão (4.17), que é a própria transformação
de PARK:
θθθ−θ
=
β
α
R
R
R
R
ii
cossensencos
ii
q
d (4.17)
68 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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Pode-se estabelecer assim que a transformação de PARK permite converter
um conjunto de enrolamentos girantes num conjunto de enrolamentos fixos, produzindo
os mesmos efeitos. As correntes dos enrolamentos fixos terão freqüência diferente das
correntes dos enrolamentos girantes.
A transformação de enrolamentos fixos em girantes coloca em evidência a
seguinte questão: os enrolamentos do rotor são fixos, mas o rotor encontra-se em
movimento. Isto só é possível numa máquina a comutador. Assim, a transformação de
PARK transforma enrolamentos comuns, alimentado através de anéis, em
enrolamentos alimentados através de escovas e comutador, que são também
conhecidos com o nome de enrolamentos pseudo-estacionários. Desse modo a
transformação de PARK pode ser realizada fisicamente. Na Fig. 4.2 está representada
a transformação física.
R
Rα
β
VRβ
VRα Rq
Rd
VR d
VR q
Fig. 4.2 – Representação física da transformada de Park.
Simbolicamente, a máquina antes e depois da transformação está
representada na Fig. 4.3 e Fig. 4.4.
Sβ
Sα
Rβ
Rα
θ
Fig. 4.3 – Máquina original.
q
d
R
R
S = S
q
d
q β
S = Sd α
Fig. 4.4 – Máquina transformada.
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4.5 TENSÕES DA MÁQUINA SOB A FORMA DE VARIÁVEIS DE PARK
O modelo elétrico em variáveis αβ é representado pelas equações (4.18) e
(4.19).
ddtαβ αβ αβ
= +S S S Sv R i φ (4.18)
ddtαβ αβ αβ
= +R R R Rv R i φ (4.19)
Aplicando-se a matriz B-1 na expressão (4.19) obtém-se a expressão (4.20).
( )
dq
dq
d
dtαβ
− − −= +R
1 1 1R R R
BB v B R B i B
φ (4.20)
dq
dq dq dq
d ddt dt
− − ∂ θ= + +
∂θ
R1 1R R R R
Bv R i B B Bφ
φ (4.21)
cos sen sen cossen cos cos sen
− θ − θ − θ θ ∂= θ θ − θ − θ∂θ
1 BB (4.22)
Assim:
0 11 0θ
− − ∂= ∂
1 BB (4.23)
dq
dq dq dq
d 0 1d1 0dt dt
− θ= + +
R
R R R Rv R iφ
φ (4.24)
dq
dq dq
d
dt= +
S
S S Sv R iφ
(4.25)
As expressões (4.25) e (4.24) podem ser reescritas segundo as expressões
(4.26) e (4.27) respectivamente.
70 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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d d d d
q q q q
S S S RS S SR
S S SRS S S R
v i i iR 0 p 0 pm 00 R 0 p 0 pmv i i i
= + +
LL (4.26)
d d
d d q q
q q d d
q q
S S
R R S SSR R SR RR
SR R SR RRR R R R
R R
i i
v i i im 0 0 m 0 0R 0 0 1p
0 m 0 0 m 00 Rv i i 1 0 i
i i
•
− = + + θ
L LL L (4.27)
Resumindo-se as expressões (4.26) e (4.27), encontra-se as equações (4.28).
d d
q q
d d
q q
S S SRS S
S SS S SR
R RSR SR R R R
R RSR SR R R R
R p 0 pm 0v i
v i0 R p 0 pmv ipm m R pv i
m pm R p
• •
• •
+
+ = θ + θ − θ − θ +
L
L
L L
L L
(4.28)
As expressões (4.28) representam as equações elétricas da máquina simétrica
trifásica (ou polifásica), com o referencial colocado no estator. Está sendo considerada
uma máquina de dois pólos. A generalização para um número genérico de pares de
pólos será apresentada mais adiante. As componentes homopolares quando existirem,
poderão ser adicionadas nas equações (4.28).
Estas equações são muito importantes e são capazes de representar a
máquina sob não importa qual condição de operação.
4.6 EXPRESSÃO DO TORQUE
Foi estabelecida a expressão do torque, com a seguinte forma:
( )
T tαβαβ
∂ θ=
∂θSR
S R
Li i (4.29)
mas,
( ) 1SR BθL −= SRm (4.30)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 71
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Portanto:
SRT = m t
αβαβ
−∂∂θ
1
S RBi i (4.31)
SRT = mdqdq
t
θ
−∂∂
1
S RBi Bi (4.32)
sen cos
cos sen
− − θ − θ ∂= θ − θ∂θ
1B (4.33)
sen cos cos sen
cos sen sen cos
− − θ − θ θ θ ∂= θ − θ − θ θ∂θ
1B B (4.34)
0 11 0
− − ∂= ∂θ
1B B (4.35)
Assim:
dqdq 01
10mT t
SR RS ii
−= (4.36)
d
d q
q
R
SR S SR
i0 1T m i i
1 0 i
− = (4.37)
( )q d d qSR S R S RT m i i i i= − (4.38)
4.7 EQUAÇÕES COMPLETAS DA MÁQUINA
O modelo completo para a máquina de indução, com n pares de pólos é
representado pelas equações (4.39) e (4.40). Será considerada uma máquina em que
d qR Rv v 0= = (rotor em curto-circuito).
72 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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d d
q q
d
q
S S SRS S
S SS S SR
RSR SR R R R
RSR SR R R R
R p 0 pm 0v i
v i0 R p 0 pm0 ipm n m R p n0 i
n m pm n R p
• •
• •
+
+ = θ + θ − θ − θ +
L
L
L L
L L
(4.39)
( )q d d qSR S R S RT = nm i i - i i (4.40)
S
nωω
= (4.41)
onde:
ω ⇒ Pulsação das tensões de alimentação.
Sω ⇒ Velocidade síncrona do motor.
4.8 GENERALIZAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Neste item será estabelecido o modelo de PARK da máquina simétrica, para
um sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer, representado na
Fig. 4.5.
Os enrolamentos do estator, αS e βS estão em repouso. Os enrolamentos do
rotor, αR e βR giram com velocidade •
θ . Os eixos qd giram com velocidade •
Ψ . Todos
os enrolamentos possuem o mesmo número de espiras.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 73
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S
S
R
R β
β
α
α
d
q
isβ
i sα
i Rα
i Rβ
i s
i R
d
d
i sq
i Rq
θΨ
ωm
Fig. 4.5 – Sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer.
Fazendo as projeções das forças magnetomotrizes do rotor e do estator sobre
os eixos de referência qd , obtém-se as expressões a seguir:
a)
dSi i cos i senS Sα β= Ψ + Ψ (4.42)
qS S Si i sen i cos
α β= − Ψ + Ψ (4.43)
Representando-se na forma matricial obtém-se as expressões (4.44).
S S
S S
i icos seni sen cos i
d
q
α
β
Ψ Ψ = − Ψ Ψ
(4.44)
b)
( ) ( )dR R Ri i cos i sen
α β= Ψ −θ + Ψ −θ (4.45)
( ) ( )qR R Ri = -i sen i cos
α βΨ −θ + Ψ −θ (4.46)
( ) ( )( ) ( )
R R
R R
i icos sensen cosi i
d
q
α
β
Ψ −θ Ψ −θ = − Ψ −θ Ψ −θ
(4.47)
Os casos particulares, mais comumente empregados são os seguintes:
74 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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I ) Referencial no estator ( )0Ψ =
=
β
α
S
S
S
S
ii
1001
ii
q
d (4.48)
θθθ−θ
=
β
α
R
R
R
R
ii
cossensencos
ii
q
d (4.49)
II ) Referencial no rotor ( )Ψ = θ
θθ−θθ
=
β
α
S
S
S
S
ii
cossensencos
ii
q
d (4.50)
=
β
α
R
R
R
R
ii
1001
ii
q
d (4.51)
III ) Referencial no campo girante
StΨ = ω (4.52)
tmω=θ (4.53)
ωω−ωω
=
β
α
S
S
SS
SS
S
S
ii
tcostsentsentcos
ii
q
d (4.54)
( ) ( )( ) ( )
d α
q β
R RS m S m
S m S mR R
i icos ω -ω t sen ω -ω t=
-sen ω -ω t cos ω -ω ti i
(4.55)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 75
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4.9 EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA NUM SISTEMA DE EIXOS GENÉRICOS
Sejam as transformações definidas pelas expressões (4.56) e (4.57).
cos sensen cos
− Ψ Ψ = − Ψ Ψ
1SB (4.56)
( ) ( )( ) ( )
cos sensen cos
− Ψ −θ Ψ −θ = − Ψ −θ Ψ −θ
1RB (4.57)
Sejam as equações elétricas da máquina, sob a forma de variáveis αβ ,
representadas pelas expressões (4.58) e (4.59).
d
dtαβ
αβ αβ= +
S
S S Sv R iφ
(4.58)
d
dtαβ
αβ αβ= +
R
R R Rv R iφ
(4.59)
Vamos aplicar a transformação BS-1 na equação (4.58).
d
dtαβ
αβ αβ
− − −= +S1 1 1
S S S S S SB v B R i Bφ
(4.60)
( )
dq
dq dq
d
dt− −= +
S S1 1S S S S S S
Bv B R B i B
φ (4.61)
SSS1
S RBRB =− (4.62)
dq dq
dq
d d
dt dt
•− − − ∂
= + Ψ∂Ψ
S S S1 1 1 SS S S S S
B BB B B Bφ φ
φ (4.63)
0 1d1 0d
− − = Ψ
1 SS
BB (4.64)
76 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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Levando-se (4.62), (4.63) e (4.64) em (4.61) obtém-se:
dq
dq dq dq
d 0 11 0dt
•− = + + Ψ
S
S S S Sv R iφ
φ (4.65)
Adotando-se procedimento análogo para a equação elétrica do rotor, obtém-se:
dq
dq dq dq
d 0 11 0dt
• •− = + + Ψ−θ
R
R R R Rv R iφ
φ (4.66)
Em seguida será deduzida a expressão do torque:
( )tTαβαβ
∂=
∂θSR
S R
Li i
θ (4.67)
dqSSS iBi =
αβ (4.68)
Assim:
ttt
dq SSS Bii =αβ
(4.69)
dqRRR iBi =
αβ (4.70)
Assim:
( )dqdq
t tT∂
=∂θSR
S S R R
Li B B i
θ (4.71)
mas,
( ) SRm −= 1SRL Bθ (4.72)
Assim:
dqdqSRT = m t t
−∂∂θ
1
S S R RBi B B i (4.73)
Assim:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 77
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( )d d q dSR R S R ST = m i i - i i (4.74)
Reunindo-se as equações (4.65), (4.66) e (4.74), desenvolvendo-se e
generalizando-se para n pares de pólos, obtém-se o modelo representado pelas
equações (4.75) e (4.76). Para o rotor em curto, basta fazer d qR Rv v 0= = .
d d
q q
d d
q q
S S S SR SR
S S
S S S SR SRS S
R RSR SR R R R
R R
SR SR R R R
R p n pm m nv i
n R p m n pmv i
v ipm m n R p n
v i
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
L L
L L
L L
L L
(4.75)
( )qddq RSRSSR iiiimnT −= (4.76)
Quando a velocidade do motor varia com o tempo, as equações elétricas da
máquina são não-lineares. Para velocidade constante, o modelo torna-se linear.
Em qualquer das situações, a equação mecânica é não-linear, pois aparece o
produto de duas correntes.
O modelo obtido representa a máquina para qualquer situação e para qualquer
referencial.
4.10 MODELO DQ REFERIDO AO PRIMÁRIO
Ao se estabelecer as equações da máquina simétrica representadas pelas
equações (4.75) e (4.76), não se fez referências à relação de transformação entre os
enrolamentos estatóricos e rotóricos. Assim, ao se empregar as referidas equações,
deve-se empregar os parâmetros do estator medidos no estator e os do rotor medidos
no lado do rotor.
78 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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Porém, quando se trata de uma máquina com rotor em gaiola, não se tem
acesso ao rotor. Todos os parâmetros são referidos ao estator. Por isto as equações da
máquina devem ser desenvolvidas para permitir o emprego desses parâmetros
medidos em relação a um só lado.
Para realizar tal modificação, será aplicada a transformação primária-
secundária, que será apresentada com detalhes no capítulo 7, e que aqui está
representada pela expressão (4.77):
dd
dd
SS
SS
'RR
'RR
vv 1 0 0 0vv 0 1 0 0
0 0 a 0 vv0 0 0 a vv
=
(4.77)
Assim:
[ ]'SR SRv v− =
1PS (4.78)
Onde a é a relação entre o número de espiras do estator e o número de espiras
do rotor.
A matriz PS-1 refere todas as tensões ao estator.
Para as correntes, a transformação é dada pela expressão (4.79).
=
q
d
q
d
q
d
q
d
R
R
S
S
'R
'R
S
S
iiii
a10000a10000100001
iiií
(4.79)
SR'
SR iSPi = (4.80)
Em seguida a transformação será aplicada nas equações da máquina.
='SR SRv Z i (4.81)
1−=' 'SR SRPS v Z PS i (4.82)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 79
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1 1− −=' 'SR SRv PS Z PS i (4.83)
onde Z é dada pela expressão (4.84).
S S S SR SR
S S S SR SR
SR SR R R R
SR SR R R R
R p n pm m n
n R p m n pm
pm m n R p n
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
Z
L L
L L
L L
L L
(4.84)
Realizando o produto matricial determinado pela expressão (4.83),
encontramos as equações representadas pela expressão (4.85).
Quando os parâmetros são obtidos por ensaio, a relação de transformação é
desconhecida. Isto não apresenta dificuldade na análise, uma vez que eles serão
determinados em relação ao estator. Desse modo todas as grandezas rotóricas, como
tensão e corrente, ficam determinadas também referidas ao estator.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
d d
q
d
q
S S S SR SR
S S
S S S SR SRS
'2 2R
SR SR R R R'
R
2 2SR SR R R R
R p n p a m a m nv i
n R p a m n p amv
v p am am n a R p n av
a m n p am n a a R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
L L
L L
L L
L L
q
d
q
S
'R
'R
i
i
i
(4.85)
Através de ensaios clássicos, a vazio e em curto-circuito, pode-se determinar
os parâmetros elétricos.
1) 1SR mma = ⇒ indutância magnetizante medida em relação
ao estator.
2) S 1 1m= +L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do
estator.
80 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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3) '2R 2 1 Ra m= + =L L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do rotor
referida ao estator.
4) SR ⇒ resistência do estator.
5) 'RR
2 RRa = ⇒ resistência do rotor referida ao estator.
Desse modo as equações elétricas passam a ser representadas pela
expressão (4.86):
d d
q q
d d
q q
S S S 1 1
S S
S S S 1 1S S
' '' ' 'R R
1 1 R R R' '
R R' ' '
1 1 R R R
R p n pm m nv i
n R p m n pmv i
v ipm m n R p nv i
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
L L
L L
L L
L L
(4.86)
( )q d d d
' '1 S R S RT = nm i i - i i (4.87)
O torque fica representado pela expressão (4.87).
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4.11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Seja:
( )1S Sv 2 Vsen t= ω + θ
( )2S Sv 2 Vsen t 120= ω − ° + θ
( )3S Sv 2 Vsen t 120= ω + ° + θ
Determinar 0Sv ,
dSv e qSv para o referencial colocado no estator e colocado no
campo girante.
2) Um motor de indução é alimentado por um inversor do tipo °180 . As formas de onda
impostas em cada fase estão representadas abaixo. Obter e representar graficamente
as tensões 0Sv ,
dSv e qSv .
vS1
vS2
vS3
(2E/3)
(E/3)
(2E/3)
(E/3)
(2E/3)
(E/3)
O O O O0 60 120 180
Fig. 4.6 – Formas de onda impostas as fases de um motor trifásico.
82 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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3) Obter o modelo de estado do motor de indução, para um referencial genérico, em
termos de variáveis dq.
4) Considere o modelo do motor de indução com referencial no campo girante. Seja:
1S Sv 2Vsen t= ω
( )2S Sv 2Vsen t 120= ω + °
( )3S Sv 2Vsen t 120= ω − °
Consideremos o motor em regime permanente.
(a) As tensões dSv e
qSv são funções do tempo? Por que?
(b) As correntes dSi ,
qSi , dRi e
qRi são funções do tempo? Por que?
5) Seja o enrolamento trifásico rotórico de uma máquina de indução, girando no sentido
anti- horário em relação ao estator. Seja:
( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆
( )2R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆
( )3R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆
Seja SmR ω=ω+ω onde:
mω ⇒ velocidade do rotor
Sω ⇒ pulsação das correntes do estator
Rω ⇒ pulsação das correntes do rotor
a) Determinar as tensões 0Rv , Rv
α e Rv
β. Qual a freqüência dessas tensões?
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b) Determinar as tensões 0Rv ,
dRv e qRv para um referencial colocado no estator. Qual a
freqüência dessas tensões?
Supor em seguida que:
( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆
( )2R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆
( )3R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆
Repetir as questões a) e b). A freqüência das tensões mudou? Por que?
6) Seja uma máquina de indução trifásica onde:
m 0tθ = ω + θ
S m Rω = ω +ω
( )1S S Si I sen t= ω + φ
( )2S S Si I sen t 120= ω − °+ φ
( )3S S Si I sen t 120= ω + °+ φ
( )1R R Ri I sen t= ω + ∆
( )2R R Ri I sen t 120= ω − °+ ∆
( )3R R Ri I sen t 120= ω + °+ ∆
Determinar a expressão do torque desenvolvido pela máquina, partindo da
expressão:
84 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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( )SR Sq Rd Sd RqT m i i i i= −
7) Um motor de indução pode ser empregado como freio, impondo-se a seguinte
alimentação:
(a) a fase α do estator é alimentada por uma corrente contínua ICC.
(b) a fase β do estator é mantida aberta.
Nessas condições, empregando o modelo de PARK com referencial no estator,
determinar:
(a) a expressão do torque desenvolvido pelo motor em função da velocidade.
(b) a velocidade, em função dos parâmetros da máquina, para a qual o torque é
máximo.
(c) a expressão do torque máximo.
8) Considere o modelo de PARK motor de indução com o referencial no campo girante.
Seja uma fonte que imponha as correntes estatóricas do motor. Assim:
dS S Si I sen t= ω
qS S Si I cos t= ω
Determinar as expressões das correntes dRi e
qRi e do torque desenvolvido
pelo motor.
9) Considere um motor de indução de rotor bobinado em repouso. No instante t 0= as
três fases do estator são subitamente alimentadas com tensões senoidais
balanceadas. Determinar a evolução das tensões rotóricas em função do tempo.
Considerar os enrolamentos rotóricos abertos.
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10) Considere uma máquina de indução bifásica com rotor em gaiola. A fase d é
alimentada por uma tensão do tipo:
dS Sv 2Vsen t= ω
A fase q é mantida aberta. A máquina é acionada por um motor auxiliar.
q
d
vSd
ωm
Fig. 8.7 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.
Demonstrar que a tensão qSv é função da
velocidade do rotor. Que condições devem
ser satisfeitas para que a relação entre
qSv e mω seja linear ?
Empregar as equações de PARK para o
referencial colocado no estator. Este
sistema é conhecido como tacogerador de
indução. A sua característica principal é o
fato da tensão gerada qSv apresentar
freqüência constante, igual à freqüência
da tensão dSv de excitação.
11) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d do estator é
alimentado por uma fonte que lhe impõe uma corrente senoidal.
12) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d é alimentado por
uma corrente contínua.
CAPÍTULO
5 AS COMPONENTES SIMÉTRICAS
INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
5.1 INTRODUÇÃO
O emprego das componentes simétricas instantâneas permite a obtenção de
modelos mais simples que aqueles obtidos com a transformação de PARK. Esses
novos modelos são adequados para estudos analíticos para as situações em que a
máquina gira em velocidade constante.
5.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS
Vamos considerar o modelo estabelecido no capítulo IV e representado pelas
equações (5.1).
d d
q q
d d
q q
S S S SR SR
S S
S S S SR SRS S
R RSR SR R R R
R R
SR SR R R R
R p pm m
v iR p m pmv i
v ipm m R pv i
m pm R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
L L
L L
L L
L L
(5.1)
Verifica-se que cada submatriz da matriz é do tipo representado pela
expressão (5.2).
a bb a
− =
Z (5.2)
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Vamos determinar uma transformação que diagonalize a matriz Z. Tomando-
se:
( ) ( ) 2a a b 0−λ −λ + = (5.3)
encontra-se:
1
2
a jba jb
λ = +λ = −
(5.4)
que são os autovalores da matriz Z.
A seguir são calculados os autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2.
( )11 11
21 21
z za ba jb
z zb a−
= +
(5.5)
( )11 21 11az bz a jb z− = + (5.6)
Assim:
21 11z jz= − (5.7)
( )12 12
22 22
z za ba jb
z zb a−
= −
(5.8)
( )12 22 12az bz a jb z− = − (5.9)
Assim:
22 12z jz= (5.10)
Assim os autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2 são respectivamente:
88 CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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zjz
= −
1z (5.11)
e
zjz
=
2z (5.12)
Consequentemente, a matriz [ D2 ] que diagonaliza a matriz Z é dada pela
expressão (5.13).
1 1
zj j
= −
2D (5.13)
Para que a transformação mantenha invariante a potência, ela deve ser
unitária. Assim:
( )*t 1−=2 2D D (5.14)
ou
( )*1 t− =2 2D D (5.15)
onde a matriz inversa é igual à transposta conjugada.
A partir de (5.13), obtém-se:
t 1 jz
1 j−
=
2D (5.16)
( )*1 1 j11 j2z
− − =
2D (5.17)
Para que a relação (5.14) se verifique é necessário que:
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1z2z
= (5.18)
1z2
= (5.19)
Assim:
1 11j j2
= −
2D (5.20)
1 1 j11 j2
− = −
2D (5.21)
Conhecendo-se as expressões de [ D2 ] e [ D2-1 ], pode-se diagonalizar a matriz
Z, com o emprego da expressão (5.22).
1−=DZ 2 2D ZD (5.22)
Assim:
a jb 0
0 a jb+
= − DZ (5.23)
como era de se esperar, pois os termos que aparecem são os autovalores da matriz Z.
Sabe-se que:
=dq dq dqv z i (5.24)
=+- +- +-v z i (5.25)
onde a notação [ +- ] refere-se às componentes simétricas instantâneas, obtidas a
partir das componentes de PARK.
Sabemos que:
90 CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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1−=+-Z 2 dq 2D Z D (5.26)
Assim
1−=+- +-v i2 dq 2D Z D (5.27)
ou
=+- +-v i2 dq 2D Z D (5.28)
Comparando-se (5.28) com (5.24) obtém-se:
=dq +-v v2D (5.29)
1−=+-v 2 dqD v (5.30)
=dq +-i i2D (5.31)
1−= dqi+- 2i D (5.32)
Assim, a matriz D2-1 transforma as variáveis de Park ( dq ) em componentes
simétricas instantâneas ( +- ).
Pode-se assim estabelecer a expressão (5.33).
d
q
d
q
SS
SS
R R
R R
vv 1 j 0 0vv 1 j 0 01
v 0 0 1 j v2v 0 0 1 j v
+
−
+
−
− = −
(5.33)
A mesma transformação pode ser empregada nas demais variáveis da
máquina, como fluxos e correntes.
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Quando se trata de transformação trifásica, a forma empregada é a
representada pela expressão (5.34).
1
2 0 01 0 1 j2 0 1 j
−
= −
2D (5.34)
5.3 EQUAÇÕES DAS TENSÕES
Definimos anteriormente a transformação componentes simétricas
instantâneas. Vamos a seguir aplicá-la na obtenção de um novo modelo para a
máquina simétrica.
As equações (5.1) podem ser reescritas segundo as equações .
=
dq dq
dq dq
S S
R R
v i
v i1 3
2 4
Z ZZ Z (5.35)
Assim:
=
+- +-
+- +-
S S
R R
v iv i
1 32 2
2 42 2
Z ZD DZ ZD D
0 00 0
(5.36)
Podemos então estabelecer que:
1 1
1 1
− −
− −
=
+- +-
+- +-
S S
R R
v iv i
2 1 2 2 3 2
2 2 2 2 4 2
D Z D D Z DD Z D D Z D
(5.37)
Cada submatriz da matriz impedância fica então diagonalizada. Assim:
92 CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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S S
1
S S
R p j 0
0 R p j
−
+ + Ψ = + − Ψ
i
i
L
L2 1 2D Z D (5.38)
SR
1
SR
m p j j 0
0 m p j j
−
+ Ψ− θ = − Ψ+ θ
i i
i i2 2 2D Z D (5.39)
SR
1
SR
m p j 0
0 m p j
−
+ Ψ = − Ψ
i
i2 3 2D Z D (5.40)
R R
1
R R
R p j j 0
0 R p j j
−
+ + Ψ− θ = + − Ψ+ θ
i i
i i
L
L2 4 2D Z D (5.41)
Levando-se as expressões (5.38) a (5.41) na expressão (5.37), obtém-se a
expressão (5.42).
+ +
-
+
-
S S SR
S SS S SR
S
RSR R R
R
SR R R
R p j 0 m p j 0
v i0 R p j 0 m p j
v
vm p j j 0 R p j j 0
v
0 m p j j 0 R p j j
+ + Ψ + Ψ + − Ψ − Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ
− Ψ+ θ + − Ψ+ θ
i i
i i
i i i i
i i i i
L
L
L
L
-
+
-
S
R
R
i
ii
(5.42)
A partir da expressão (5.33), constatamos que:
*v v=- +S S (5.43)
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e
*v v=- +R R (5.44)
Portanto as equações de seqüência negativa contém as mesmas informações
que as de seqüência positiva e portanto serão desconsideradas. O modelo é
representado pelas expressões (5.45)
+ +
+ +
S S SRS S
R RSR R R
R p j m p jv iv i
m p j j R p j j
+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ
i i
i i i i
L
L (5.45)
Fica assim estabelecido que a máquina, mesmo para uma situação genérica,
fica representada por apenas duas equações. Isto é possível porque as variáveis são
complexas e contém sempre duas informações, uma do eixo “d” e outra do eixo “q”.
5.4 EQUAÇÃO DO TORQUE
Foi demonstrado que o torque desenvolvido pela máquina é representado pela
expressão
( )q d d qSR S R S RT m i i i i= ⋅ − ⋅ (5.46)
mas,
d +
q -
S S
S S
i i1 11i ij j2
= − (5.47)
d +
q -
R R
R R
i i1 11i ij j2
= − (5.48)
Assim:
94 CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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( )d + -S S S1i i i2
= + (5.49)
( )q + -S S Sji i - i2
=− (5.50)
( )d + -R R R1i i i2
= + (5.51)
( )q + -R R Rji i - i2
=− (5.52)
Substituindo-se as expressões (5.49) a (5.52) na expressão (5.46), obtém-se
( )- + + -SR S R S RT m ji i ji i= − (5.53)
( )+ - + -
* *SR S R S RT m ji i ji i= − (5.54)
( )+ - + -
* *SR S R S RT m j i i i i= − (5.55)
se
A a jb= + (5.56)
e
*A a jb= − (5.57)
obtém-se
*A A 2jb− = − (5.58)
portanto
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( )*j A A 2b− = (5.59)
Assim:
( )+ -SR S RT 2 m Im i i= ⋅ ⋅ ⋅ (5.60)
( )- +SR S RT 2 m Im i i= ⋅ ⋅ ⋅ (5.61)
Assim, o modelo final da máquina para “n” pares de pólos, é representado
pelas equações
+ +
+ +
S S SRS S
R RSR R R
R p jn m p jnv iv i
m p jn jn R p jn jn
+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ
i i
i i i i
L
L (5.62)
( )+ -SR S RT 2 n m Im i i= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (5.63)
O termo Im( x ) significa, parte imaginária de x.
Para o motor de indução com rotor em curto, toma-se a Rv 0+= .
Para o referencial colocado no estator, toma-se 0Ψ =i
.
5.5 INTERPRETAÇÃO DAS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS
Seja a Fig. 5.1
96 CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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d
q
iSq
iSq-
iSd
iS--
iS+
ωS
ωS-
Fig. 5.1 – Representação das componentes simétricas.
como
( )+ d qS S S1i i ji2
= + (5.64)
a corrente +Si é um fasor que instantaneamente assume um módulo dado por:
qd
+
22SS
S
iii
2 2= + (5.65)
Se as correntes dSi e Sqi forem senoidais balanceadas da forma:
( )dS si I cos t= ⋅ ω (5.66)
e
( )qS si I sen t= ⋅ ω (5.67)
obtém-se
( ) ( )( ) s
+
j tS s s
I Ii cos t jsen t e2 2
ω= ω + ω = (5.68)
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Assim a corrente +Si possui módulo constante, e gira no sentido anti-horário
com velocidade constante igual a Sω .
A corrente -Si será da forma
s
-
j tS
Ii e2
− ω= (5.69)
é igual em módulo à +Si mas gira em sentido oposto.
É preciso fazer uma cuidadosa distinção entre as componentes simétricas
instantâneas definidas neste trabalho e as componentes simétricas tradicionais. As
tradicionais são definidas para grandezas fasoriais e só são válidas no estudo de
regimes permanentes. As instântaneas são válidas para qualquer situação.
5.6 MODELO PARA OS PARÂMETROS ROTÓRICOS REFERIDOS AO ESTATOR
A exemplo do que foi feito para o modelo de PARK obtido no capítulo IV, serão
estabelecidas as equações da máquina para componentes simétricas instantâneas,
representadas pelas expressões (5.70) e (5.71).
+ +
+ +
S S 1S S
' '' 'R R
1 R R
R p jn m p jnv i
v im p jn jn R p jn jn
+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ
i i
i i i i
L
L (5.70)
( )+ -
'1 S RT 2 n m i i= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅I (5.71)
onde:
98 CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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1 SRm a m= ⋅ (5.72)
' 2R RR a R= ⋅ (5.73)
' 2R R 2 1a l m= ⋅ = +L L (5.74)
S 1 1l m= +L (5.75)
A obtenção dos parâmetros é conseguida através dos ensaios a vazio e em
curto-circuito.
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5.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 ) Considere um motor de indução operando com carga nominal. Subitamente
as três fases são desconectadas simultaneamente da rede de alimentação. Determinar
o comportamento da tensão do estator empregando o modelo deduzido para
componentes simétricas instantâneas (ver item 8.3).
2 ) Seja um motor de indução alimentado por um inversor trifásico do tipo 180o.
A tensão da fase 1 está representada na Fig. 5.2. As tensões das demais fases são
idênticas mas defasadas de 120o e 240o em relação a primeira. Aplicando a
transformação componentes simétricas instantâneas, obter a tensão +Sv .
(2E/3)
(E/3)
O O O O0 120 240 360
Fig. 5.2 – Forma de onda da tensão da fase 1.
3 ) Considere um motor de indução alimentado por um par de correntes
balanceadas da forma:
( )S S si I cos tα= ⋅ ω (5.76)
( )S S si I sen tβ= ⋅ ω (5.77)
Obter a expressão do torque médio e instantâneo que o motor produz.
Considerar o referencial colocado no campo girante. Empregar o modelo deduzido para
componentes simétricas instantâneas.
100 CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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Obter também a expressão da tensão instantânea nos terminais dos
enrolamentos do estator.
4 ) Considere uma máquina de indução trifásica com rotor bloqueado
alimentado por tensões balanceadas.
( )1S sv 2 V cos t= ⋅ ⋅ ω (5.78)
( )2
oS sv 2 V cos t 120= ⋅ ⋅ ω − (5.79)
( )3
oS sv 2 V cos t 120= ⋅ ⋅ ω + (5.80)
O motor possui 2 pólos.
Os enrolamentos rotóricos são mantidos abertos. Utilizando as componentes
simétricas instantâneas, determinar as expressões matemáticas das correntes do
estator.
5 ) Considere o seguinte modelo:
+ +
+ +
S S SRS S
R RSR R R
R p j m p jv iv i
m p j j R p j j
+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ
i i
i i i i
L
L (5.81)
Estabelecer as expressões de +Si e
+Ri em função de +Sv e
+Rv .
CAPÍTULO
6 MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
INTRODUÇÃO
No desenvolvimento dos modelos para estudo do motor de indução, em regime
permanente, será empregado o modelo geral representado pelas expressões (6.1) e
(6.2) desenvolvidas no capítulo V.
S S SR
SS
RSR R R
R p pm ivim p jn R p jn0
++
+
• •
+ = − θ + − θ
L
L (6.1)
( )SR S RT 2 n m Im i i+ −
= ⋅ ⋅ ⋅ (6.2)
Será considerada alimentação senoidal desbalanceada tanto a nível da
amplitude quanto a nível de fase. A partir das equações (6.1), com o emprego de
variáveis instantâneas, extrai-se o modelo para variáveis fasoriais, empregado no
estudo do motor em regime permanente.
O motor será considerado com velocidade constante tornando possível a
superposição. Isto permitirá a generalização dos resultados par alimentação não
senoidal, bastando para tanto empregar o modelo obtido para cada harmônica de
alimentação.
MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA ESTUDO DO REGIME PERMANENTE
Seja a referência fixa no estator. Assim:
102 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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α
β
d
q
S S
S S
v = v
v = v (6.3)
Conhecendo-se as tensões de alimentação e aplicando-se a transformação αβ,
obtém-se:
( )( )
v v cos t
v v sen tα α α
β β β
= ω +θ
= ω +θ (6.4)
Se a alimentação for balanceada, tem-se Vα = Vβ e θα = θβ. Nós vamos analisar
uma situação genérica em que Vα ≠ Vβ e θα ≠ θβ.
Considerando as identidades conhecidas da trigonometria, podemos escrever:
( ) ( )( )( ) ( )( )
j t j t
j t j t
vv e e2
vv e e
2j
α α
β β
ω +θ − ω +θαα
ω +θ − ω +θββ
= +
= − (6.5)
Definindo-se:
_ _*j j
_ _j j*
v e v v e v
v je v v je v
α α
β β
θ − θα αα α
θ − θβ ββ β
= ⋅ ∴ = ⋅
= − ⋅ ∴ = ⋅ (6.6)
obtém-se com (6.5) e (6.6)
_ _*j t j t
_ _*j t j t
1v v e v e21v v e v e2
ω − ωα αα
ω − ωβ ββ
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
(6.7)
As expressões (6.7) indicam que as tensões pulsativas foram decompostas em
tensões rotativas, com módulos iguais e sentidos diferentes.
Considerando que:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 103
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( )
( )
S
S
1v v jv2
1v v jv2
+
−
α β
α β
= +
= − (6.8)
obtemos
_ _ _ _
* *j t j t j t j tS
1 1 1v v e v e j v e v e2 22+
ω − ω ω − ωα α β β
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ (6.9)
Assim:
_ _ _ _
* *j t j t
S1 v jv v jvv e e2 2 2+
α β α βω − ω + + = ⋅ + ⋅
(6.10)
Definindo-se:
_ __
S
_ __
S
v jvv2
v jvv2
+
−
α β
α β
+=
−=
(6.11)
Assim:
_ _*j t j t
S SS
_ _* j t j t
S SS
1v v e v e21v v e v e2
+ −+
+ −−
ω − ω
− ω ω
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
(6.12)
Convém ressaltar que _
vα e _
vβ são fasores. Portanto +
_
Sv e -
_
Sv também são fasores.
As expressões (6.11) podem ser representadas do seguinte modo:
104 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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_ _
S
_ _
S
v 1 j v11 j2v v
+
−
α
β
= −
(6.13)
que é a transformação componentes simétricas tradicionais.
As grandezas +Sv e
-Sv são temporais e portanto não são fasores.
Por analogia com a expressão (6.12) podemos estabelecer as expressões
estatóricas e rotóricas.
_ _*j t j t
S SS
_ _* j t j t
S SS
1i i e i e21i i e i e2
+ −+
+ −−
ω − ω
− ω ω
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
(6.14)
_ _*j t j t
R RR
_ _* j t j t
R RR
1i i e i e21i i e i e2
+ −+
+ −−
ω − ω
− ω ω
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
(6.15)
Levando-se as expressões (6.12), (6.14) e (6.15) na expressão (6.1), obtém-se:
( )_ _ _ _ _ _
* * *j t j t j t j t j t j tS S R RS S S S SR
1 1 1v e v e R p i e i e pm i e i e2 2 2+ − + −+ −
ω − ω ω − ω ω − ω ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
L (6.16)
e
_ _ _ _
* *j t j t j t j tS S R RSR R R
1 10 m p jn i e i e R p jn i e i e2 2+ − + −
•ω − ω ω − ω = − θ ⋅ + ⋅ + + − θ ⋅ + ⋅
iL (6.17)
Se a máquina gira com velocidade constante, o seu modelo é linear, valendo
portanto a superposição. Podemos então escrever:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 105
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( )
_ _ _j t j t j t
S RS S S SR
_ _j t j t
S RSR R R
v e R p i e pm i e
0 m p jn i e R p jn i e
+ ++
+ +
ω ω ω
•ω ω
⋅ = + ⋅ + ⋅
= − θ ⋅ + + − θ ⋅
i
L
L (6.18)
( )
_ _ _* * *j t j t j t
S RS S S SR
_ _* *j t j t
S RSR R R
v e R p i e pm i e
0 m p jn i e R p jn i e
− −−
− −
− ω − ω − ω
•− ω − ω
⋅ = + ⋅ + ⋅
= − θ ⋅ + + − θ ⋅
i
L
L (6.19)
Tomando-se as derivadas
j t j tpe j eω ω= ω⋅ (6.20)
e cancelando-se as exponenciais, obtém-se
( )
_ _ _
S RS S S SR
_ _
S RSR R R
v R j i j m i
0 m j jn i R j jn i
+ ++
+ +
•
= + ω + ω
= ω− θ + + ω− θ
i
L
L (6.21)
( )
* * *_ _ _
S RS S S SR
* *_ _
S RSR R R
v R j i j m i
0 m jn j i R jn j i
− −−
− −
= + ω + ω
= θ+ ω + + θ+ ω
i i
L
L (6.22)
como
mn•
θ = ω (6.23)
m R sω−ω =ω = ω (6.24)
( )m 2 sω+ω = − ω (6.25)
Substituindo em (6.21) e (6.22), obtém-se:
106 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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( )
( )
_ _ _
S RS S s S s SR
_ _
S Rs SR R s R
v R j i j m i
0 js m i R js i
+ ++
+ +
= + ω + ω
= ω + + ω
L
L (6.26)
( )
( ) ( )( )
_ _ _
S RS S s S s SR
_ _
S RSR s R R s
v R j i j m i
0 jm 2 s i R + j 2 s i
− −−
− −
= + ω + ω
= − ω + − ω
L
L (6.27)
Dividindo-se a segunda equação por “s” e a quarta por “2 – s”, obtém-se:
( )
_ _ _
S RS S s S s SR
_ _R
S Rs SR s R
v R j i j m i
R0 j m i j is
+ ++
+ +
= + ω + ω
= ω + + ω
L
L (6.28)
( )
( )
_ _ _* * *
S RS S s S s SR
_ _* *R
S RSR s R s
v R j i j m i
R0 m i - j i2 s
− −−
− −
= − ω − ω
= − ω + ω −
L
L (6.29)
Estes dois conjuntos de equações levam ao circuito equivalente para o motor,
representado na Fig. 6.1.
RS
RS
RR
RR
mSR
( - m )S SRL
( - m )S SRL L( - m )R SR
L( - m )R SR
mSR
RR (1 - s)s
RR (1 - s)(2 - s)
-
vS+
vS-
i S+
i S-
i R+
i R-
Fig. 6.1 – Circuito eqüivalente para o motor de indução com operação desbalanceada.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 107
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Este circuito vale para operação desbalanceada, desde que as tensões sejam
senoidais e a velocidade constante.
Para operação balanceada, tem-se _
S-v = 0; assim o modelo e o circuito
eqüivalente são representados pela expressão (6.32) e pela Fig. 6.2.
( )
_ _ _
S RS S s S s SR
_ _R
S Rs SR s R
v R j i j m i
R0 j m i j is
+ ++
+ +
= + ω + ω
= ω + + ω
L
L (6.30)
RS RR
mSR
( - m )S SRL L( - m )R SR
RR (1 - s)s
vS+
i S+i R+
Fig. 6.2 – Circuito eqüivalente para o motor de indução com operação balanceada.
O circuito eqüivalente pode ainda ser representado segundo a Fig. 6.3.
RS
L SvS+
i S+
RR
RR (1 - s)s
i R+
mSR
L R
Fig. 6.3 – Representação alternativa para o circuito eqüivalente do motor de indução com operação balanceada.
TRANSFORMAÇÃO PRIMÁRIO-SECUNDÁRIO
Consideremos o circuito representado na Fig. 6.4.
108 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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RS
L SvS+
i S+
R2
s
i R+
mSR
L R
n n1 2
Fig. 6.4 –Circuito eqüivalente do motor de indução com operação balanceada.
Seja
1
2
nan
= (6.31)
Assim
_
S_
R
v av
+
+
= (6.32)
e
_
R_
S
i ai
+
+
= (6.33)
Seja
'R Rv av+ += ⇒ tensão rotórica referida ao estator e (6.34)
' RR
ii .
a+
+= ⇒corrente rotórica referida ao estator (6.35)
Definimos a transformação:
+ +
+ +
'S S
'R R
i i1 0i 0 a i
=
(6.36)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 109
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Assim:
+ +
++
'S S
'RR
1 0i i1 i0ia
=
(6.37)
Do mesmo modo:
+ +
+ +
'S S
'R R
v v1 0v 0 a v
=
(6.38)
+ +
++
'S S
'RR
1 0v v1 v0va
=
(6.39)
Seja
1 1 00 a
− =
PS (6.40)
e
1 0
10a
=
PS (6.41)
Tomemos as equações da máquina simétrica:
_ _S S S S SR
SS
R_ _S SR S R
RR
R j j mv iRj m jv is
++
++
+ ω ω = ω + ω
L
L (6.42)
que podem ainda ser escritas:
_ _
=v Z i++ (6.43)
110 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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Assim
_ _
' '⋅ = ⋅ ⋅-1PS v Z PS i++ (6.44)
_ _
' '= ⋅ ⋅ ⋅-1 -1v PS Z PS i++ (6.45)
Seja
' = ⋅ ⋅-1 -1Z PS Z PS (6.46)
Assim
_ _
' '= ⋅'v Z i++ (6.47)
Calculemos a nova matriz impedância Z’. Assim:
S S S S SR
RS SR S R
R j j m1 0 1 0R0 a 0 aj m js
+ ω ω = ω + ω
'ZL
L (6.48)
Assim:
S S S S SR
22R
S SR S R
R j j ama Rj am j a
s
+ ω ω = ω + ω
'ZL
L (6.49)
Como +
_'
Sv = +
_
Sv e +
_'
Si = +
_
Si tem-se para o motor de indução o seguinte modelo:
__ S S S S SRSS 2
2 _R'S SR S R R
R j j am iv a Rj am j a0 is
++
+
+ ω ω = ω + ω
L
L (6.50)
O novo circuito eqüivalente associado ao novo modelo está representado na
Fig. 6.5.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 111
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RS
amSR
( - am )S SRL L(a - am )R SR
RR as
vS+
i S+i R+
2
2
Fig. 6.5 – Circuito eqüivalente para o motor de indução.
Vamos definir os seguintes parâmetros:
1 SR
1 S SR2
2 R SR2
R R
m am .l am .
l a am .
r a Rs s
= ⇒= − ⇒
= − ⇒
= ⇒
LL
indutância de magnetizaçãoindutância de dispersão do estator
indutância de dispersão do rotor referida ao estator
resistência do rotor referida ao estator.
(6.51)
Desse modo o modelo para o motor de indução passa a ser:
( )
'_ _ _ _
S S RS S 1 1
' '_ _ _R
S R R1 2
v R jX i jXm i i
r0 jXm i i jX is
+ + ++
+ + +
= + + +
= + + +
(6.52)
O circuito eqüivalente será o representado na Fig. 6.6.
RS
RR (1-s)s
vS+
jX1 jX2
jXm1
RR
Fig. 6.6 – Circuito eqüivalente para o motor de indução.
Este é o circuito eqüivalente clássico do motor de indução para alimentação
senoidal balanceada em regime permanente. Na teoria clássica ele é normalmente
estabelecido intuitivamente.
112 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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O maior interesse deste circuito deve-se ao fato que os seus parâmetros
podem ser medidos com facilidade e com relativa precisão, através dos ensaios de
rotor travado e a vazio.
O circuito eqüivalente para alimentação desbalanceada será o representado
pela Fig. 6.7.
RR (1-s)s
vS+jXm1
RS
jX1 jX2 RR
vS- R (1-s)(2-s)
RS
jX1 jX2 RR
jXm1 -R
Fig. 6.7 – Circuito eqüivalente para o motor de indução.
Estes circuitos têm grande importância prática.
CÁLCULO DO TORQUE MÉDIO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
Vamos inicialmente estabelecer a expressão geral do torque para regime
permanente.
Foi estabelecido que:
( )SR S RT 2 n m Im i i+ −
= ⋅ ⋅ ⋅ (6.53)
Levando-se as expressões (6.14) e (6.15) em (6.53), obtém-se
* *_ _ _ _
j t j t j t j tS S R RSR
1T 2 n m Im i e i e i e i e4 + − + −
ω − ω − ω ω
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ (6.54)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 113
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Portanto
* * * *_ _ _ _ _ _ _ _
j2 t j2 tSRS R S R S R S R
n mT Im i i i i e i i e i i2 + + − + + − − −
− ω ω ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
(6.55)
Os termos onde aparecem ej2ωt e e-j2ωt possuem torque médio nulo e podem
então ser abandonados. Assim:
* *_ _ _ _
SRS R S R
n mT Im i i i i2 + + − −
⋅= ⋅ + ⋅
(6.56)
Podemos definir:
*_ _
SRS R
n mT Im i i2+ + +
⋅= ⋅
(6.57)
e
*_ _
SRS R
n mT Im i i2− − −
⋅= ⋅
(6.58)
Assim:
T T T−+= + (6.59)
Para se obter as expressões do torque é necessário que se conheça as
expressões das correntes. Foi visto que:
__ S s S s SRSS
R _s SR s R
R
R j j m iv Rj m j0 is
++
+
+ ω ω = ω + ω
L
L (6.60)
A inversa da matriz Z é dada por:
114 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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( )
Rs R s SR1
2 2RS s S s R s SR s SR S s S
R j j m1sRR j j m j m R j
s
− + ω − ω = + ω + ω +ω − ω + ω
ZL
L L L (6.61)
Como:
( )
_ _RS s R s SR S
_ 2 2RR S s S s R s SR s SR S s S
Ri j j m1 vsR 0R j j m j m R jis
++
+
+ ω − ω = + ω + ω +ω − ω + ω
L
L L L (6.62)
obtém-se:
( )
_R
Ss R_
S2 2R
S s S s R s SR
R j vsi
RR j j ms
+
+
+ ω =
+ ω + ω +ω
L
L L (6.63)
( )
__ Ss SR
R2 2R
S s S s R s SR
j m viRR j j ms
++
− ω=
+ ω + ω +ω
L L (6.64)
De um modo semelhante podemos obter:
( )
_R
Ss R_
S2 2R
S s S s R s SR
R j v2 si
RR j j m2 s
−
−
+ ω − = + ω + ω +ω −
L
L L (6.65)
( )
__ Ss SR
R2 2R
S s S s R s SR
j m viRR j j m2 s
−−
− ω=
+ ω + ω +ω − L L
(6.66)
Podemos ainda representar as correntes do seguinte modo:
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_R
Ss R_
S2 2 2S R s S R
s R S s SR s R S
R j vsi
R R Rm j Rs s
+
+
+ ω =
ω −ω +ω + +ω
L
LL L L (6.67)
_
_ Ss SRR
2 2 2S R s S Rs R S s SR s R S
j m viR R Rm j R
s s
++
− ω=
ω −ω +ω + +ω
LL L L (6.68)
Desse modo, tem-se:
_
*_ S* s SRR
2 2 2S R s S Rs R S s SR s R S
j m viR R Rm j R
s s
++
ω=
ω −ω +ω − +ω
LL L L (6.69)
Assim:
_ _2 *s SR R
S Ss SR R_ _*
S R 2 22 2 2S R s S R
s R S s SR s R S
m Rm j v vsi i
R R Rm Rs s
+ +
+ +
ω −ω + ⋅ ⋅ =
ω −ω +ω + +ω
L
LL L L (6.70)
Pela teoria dos números complexos, sabemos que:
2_ _ _
*S S Sv v v+ + +⋅ = (6.71)
Consequentemente as expressões do torque serão:
22 _s SR R
S
2 22 2 2S R s S R
s R S s SR s R S
n m R1 v2 sT
R R Rm Rs s
+
+
ω
=ω −ω +ω + +ω
LL L L
(6.72)
116 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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22 _s SR R
S
2 22 2 2S R s S R
s R S s SR s R S
n m R1 v2 (2 s)T
R R Rm R(2 s) (2 s)
−
−
ω−
−= ω
−ω +ω + +ω − −
LL L L (6.73)
Se a alimentação for balanceada tem-se:
_ _
v jvα β= (6.74)
_
Sv 0− = (6.75)
_ _ _
S S2jv 2v v v
2 2+ +
ββ= ⇒ = (6.76)
_
v v v vβ β α αβ= = = (6.77)
2_
2Sv 2v+ αβ= (6.78)
mas
SP3v V2αβ = (6.79)
onde VSP é o pico da tensão de fase.
Assim:
2_
2S SPv 3V+ = (6.80)
mas
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SP SV 2 v= ⋅ (6.81)
Assim:
2_
2S Sv 6v+ = (6.82)
onde vS é o valor eficaz da tensão de alimentação.
Assim a expressão do torque para uma máquina balanceada será:
2 2Rs SR S
2 22 2 2S R s S R
s R S s SR s R S
R3n m vsT
R R Rm Rs s
+
ω=
ω −ω +ω + +ω
LL L L (6.83)
É mais freqüente encontrar-se a expressão (6.83) modificada, reescrita
segundo a expressão (6.86).
2 2 2Rs SR S
2 22 2 2S R s S R
SN s R S s SR s R S
R3 m vsT
R R Rm Rs s
+
ω=
ω ω −ω +ω + +ω
LL L L (6.84)
onde ωSN é a velocidade síncrona.
É interessante expressar o torque em função das reatâncias de dispersão e
magnetizante no lugar das reatâncias cíclicas.
Multiplicando-se o numerador e o denominador da expressão (6.84) por a4,
obtém-se a expressão (6.87).
2 2 22 2Rs SR S
2 22 22 2 22 2 2S R s S R
SN s R S s SR s R S
R3 a a m vsT
R a R R aa a m a Rs s
+
ω =
ω ω −ω +ω + +ω
LL L L (6.85)
Seja:
118 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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2
2 2 22 2S Rs R S s SR
R a RA a a ms
= −ω +ωL L (6.86)
2
2s S Rs R S
R aB a Rs
ω= +ω
L L (6.87)
Assim:
2
22 2S RR S M
R a RA a X X a Xs
= − + (6.88)
onde:
M S SR
S S S
R S R
X mXX
=ω ⇒=ω ⇒
=ω ⇒
LL
Reatância mútua cíclica.Reatância cíclica do estator.Reatância cíclica do rotor.
A expressão (6.88) pode ser reescrita segundo a expressão (6.91).
2
2 2 22 2 3 3 2 2S RR S M M R M R S M S M M M
R a RA a X X a X a X X a X X aX X aX X a X a Xs
= − + − + − + + − (6.89)
Assim:
( ) ( ) ( ) ( )2
2 2S RM R M M S M S M R M
R a RA aX a X aX aX X aX X aX a X aXs
= − − − − − − − (6.90)
mas:
' 2
R RR a Rs s
= (6.91)
m M
1 S M' 2
2 R M
X aXX X aX
X a X aX
= ⇒= − ⇒
= − ⇒
Reatância magnetizante.Reatância de dispersão do estator.
Reatância de dispersão do rotor referida ao rotor.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 119
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2
´ ´S Rm 2 1 m 1 2
R a RA X X X X X Xs
= − − − (6.92)
Vamos em seguida manipular a expressão (6.87).
2 S RR S
X RB a X Rs
= +
(6.93)
2 3 3
2S R M R M RR S S M S M
a X R a X R a X RB a X R R aX R aXs s s
= + − + + − (6.94)
( ) ( )( )' '
2R RS M M S M R M
R RB X aX aX R aX + a X aXs s
= − + + − (6.95)
( )' '
'R R1 m S m 2
R RB X X R X + Xs s
= + + (6.96)
Levando-se as expressões (6.92) e (6.96) na expressão (6.85), obtém-se a
expressão (6.100).
( )
'2 2R
m S
2 22 ' '' ' 'S R R R
SN m 2 1 m 1 2 1 m S m 2
R3 X vsT
R a R R RX X X X X X X X R X + Xs s s
+ = ω − − − + + +
(6.97)
A expressão (6.97) é mais difundida que a expressão (6.83). É obtida
normalmente pela análise do circuito eqüivalente da máquina. É sem dúvida uma das
expressões mais importantes em engenharia elétrica.
A representação gráfica da expressão (6.97) encontra-se na Fig. 6.8. O torque
é representado em função do escorregamento s.
120 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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Freio Motor Gerador12 0
T
TMAX
s
Fig. 6.8 – Torque da máquina de indução em função do escorregamento.
MODELO PARA O REGIME PERMANENTE A PARTIR DAS EQUAÇÕES DE PARK
Nos itens anteriores, for a obtidos modelos para o motor de indução em regime
permanente, a partir do modelo genérico estabelecido para componentes simétricas
instantâneas.
Neste item será estabelecido o modelo para estudar em regime, a partir do
modelo genérico estabelecido pela transformação de PARK.
Seja o modelo de PARK, obtido no capítulo IV, representado pela expressão
(6.101).
d d
q q
d d
q q
S S SRS S
S SS S SR
R RSR SR R R R
R RSR SR R R R
R p 0 pm 0v i
v i0 R p 0 pmv ipm m n R p nv i
m n pm - n R p
• •
• •
+
+ = θ + θ − θ θ +
L
L
L L
L L
(6.98)
Em regime permanente senoidal as tensões e correntes instantâneas serão
substituídas por fasores, com módulos iguais aos valores eficazes. Fazendo p = jω
obtém-se a expressão .
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 121
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d d
q q
d d
q q
S S SRS S
S SS S SR
R RSR SR R R R
R RSR SR R R R
R j 0 j m 0v i
v i0 R j 0 j mv ij m m n R j nv i
m n j m - n R j
• •
• •
+ ω ω
+ ω ω = ω θ + ω θ − θ ω θ + ω
L
L
L L
L L
(6.99)
A expressão (6.99) pode ser representada compactamente pela expressão
(6.103).
=
v i•
Z θ (6.100)
Para se obter as correntes do motor faz-se:
1
=
-
i v•
Z θ (6.101)
Com o auxílio de um computador, pode-se calcular as correntes em função da
velocidade do rotor θi, conhecendo-se as tensões de alimentação, os parâmetros e a
freqüência de alimentação.
Podemos afirmar que os modelos obtidos a partir das transformações
complexas são mais adequados para o estudo analítico, por serem mais simples. Além
disso, levam ao estabelecimento de circuitos eqüivalentes, que permitem a
interpretação física do comportamento do motor.
Para a obtenção da expressão do torque, será adotado o procedimento
descrito a seguir:
S
S
R
R
R 0 0 00 R 0 00 0 R 00 0 0 R
=
R (6.102)
122 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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S SR
S SR
SR R
SR R
0 m 00 0 m
m 00 m 0
=
L
LL
LL
(6.103)
SR R
SR R
0 0 0 00 0 0 00 m 0
m 0 - 0
= −
G LL
(6.104)
Assim:
= + jw + nθv Ri Li Gii
(6.105)
Pré-multiplicando todos os termos da expressão (6.105) por *ti obtém-se:
= + j + nω θ* * * *t t t ti v i Ri i Li i Gi
i (6.106)
Tomando-se a parte real de cada termo, obtém-se a expressão (6.110).
( ) ( ) ( )Re = Re + Re j + Re n ω θ
* * * *t t t ti v i Ri i Li i Gi
i (6.107)
onde:
( )( )( )
Re
Re
Re j
n
⇒
⇒
ω ⇒
θ ⇒
*t
*t
*t
*t
i v
i Ri
i Li
i Gii
potência entregue ao motor.
potência perdida nas resistências dos enrolamentos.
potência puramente reativa, necessária para produzir fluxo no motor.
potência mecânica produzida pelo motor.
( )mP = n Reθ *ti Gi
i (6.108)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 123
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mPT =θi (6.109)
Assim:
( )T = nRe *ti Gi (6.110)
Assim:
d
q
d q d q
d
q
S
S* * * *S S R R
SR R R
SR R R
i0 0 0 0i0 0 0 0
T = nRe i i i i0 m 0 i
m 0 - 0 i
−
LL
(6.111)
Fazendo-se o produto matricial e ignorando-se o sentido do torque, obtém-se a
expressão .
( )q d d d
* *SR S R S RT = nm Re i i i i− (6.112)
Com as correntes obtidas na expressão (6.99) entra-se na expressão (6.112) e
obtém-se o torque médio desenvolvido pelo motor em função da velocidade.
124 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Seja um motor de indução com os seguintes parâmetros:
1 2
R
1
X X 42
R 3Xm 100
(220V
= = Ω= Ω= Ω= Ω
=
S
S
(reatâncias de dispersão)R
(reatância magnética)f = 60Hzn = 2 pares de pólos)v (tensão eficaz de fase)
(6.113)
Determinar as seguintes características:
a) Torque médio em função do escorregamento;
b) Corrente eficaz de fase em função do escorregamento;
c) Determinar para qual escorregamento o torque é máximo;
d) Supondo escorregamento nominal igual a 0,03, determinar a velocidade, o torque e
a potência nominais.
2) Dos ensaios de um motor trifásico de indução foram obtidos os seguintes dados:
(a) Ensaio a vazio: 220
2, 2f
f
v Vi A
=
=
(b) Ensaio do rotor travado: 80 130
5, 2f f
f
v V P Wi A
= ∴ =
=
(c) Medida de resistência do estator: 2,6SR = Ω
Determinar:
(a) Indutância magnetizante;
(b) Indutância de dispersão;
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 125
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(c) Resistência do rotor (RR);
(d) Indutância cíclica do rotor referida ao estator (L’R);
(e) Indutância cíclica do estator (LS) e
(f) Indutância mútua cíclica .
3) Considere o modelo do exercício 1, alimentado por tensões desbalanceadas do
seguinte tipo:
( )1S sv 2 V cos t= ⋅ ⋅ ω (6.114)
( )2
oS sv 2 V cos t 120= ⋅ ⋅ ω − (6.115)
( )3
oS sv 2 V cos t 120= ⋅ ⋅ ω + (6.116)
Determinar as correntes 1 2S Si , i e
3Si e o torque do motor em função do
escorregamento.
4) Considere o motor do exercício número 1, alimentado por tensões trifásicas
balanceadas, geradas por um inversor, cuja forma está representada na Fig. 6.9
para uma fase.
(2E/3)
(E/3)
O O O O0 120 240 360
Fig. 6.9 – Forma de onda da tensão da fase 1.
Onde E = 400V, f = 60Hz
126 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
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(a) Empregando o princípio da superposição, determinar a característica torque-
velocidade do motor.
(b) Obter a corrente de uma das fases em função do tempo.
CAPÍTULO
7 TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
7.1 INTRODUÇÃO
Vamos considerar o caso de um motor de indução industrial, alimentado por
tensões trifásicas balanceadas. Tal motor tem a característica torque-velocidade
representada na Fig. 7.1.
01s
T
Tn
sn
Fig. 7.1 – Característica de torque-velocidade de um motor de indução.
Normalmente o motor opera na região de baixos escorregamentos, onde 0 < s
< sn sendo sn o escorregamento em que o motor produz o torque nominal. Durante o
transitório de partida o escorregamento varia de 1 até um valor próximo de zero.
Dois transitórios mecânicos são de interesse prático:
(a) partida do motor;
(b) variação de carga na região normal de operação.
Como já foi estabelecido nos capítulos anteriores a solução completa das
equações da máquina só pode ser obtida por simulação.
Neste capítulo nós procuraremos estabelecer métodos de análise dos
transitórios citados, sem recorrer aos modelos completos do motor. Serão
estabelecidos métodos simplificados, mas que produzam resultados satisfatórios do
ponto de vista prático.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 129
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A simplificação decorre dos seguintes fatos:
(a) a constante de tempo mecânica é muito maior que as constantes de
tempo elétricas.
(b) consequentemente, durante um transitório elétrico, a velocidade da
máquina poderá ser considerada constante.
(c) por outro lado, por serem os transitórios mecânicos muito lentos, as
variáveis elétricas evoluirão através de regimes permanentes
sucessivos.
As conseqüências dessas simplificações serão evidenciadas no
desenvolvimento deste capítulo.
7.2 COMPORTAMENTO DINÂMICO NA REGIÃO DE BAIXOS ESCORREGAMENTOS
Foi estabelecida no capítulo VI a expressão do torque médio desenvolvido pelo
motor, representada aqui pela expressão (7.1).
( )
22 RSR S
2 222 2S R R
R S SR R S S
n Rm v2 sT
R R Rm Rs s
+ω
= −ω − +ω +
L L L L
(7.1)
Multiplicando-se o numerador e o denominador por s2, obtém-se a expressão
(7.2).
( )( ) ( )
22 2RSR S
2 222 2S R R S SR R S S R
n Rm v s2 sT
R R s m R s R
+ω
=− ω − +ω +L L L L
(7.2)
Na região em estudo, o escorregamento é muito baixo, assim s ≅ 0. Portanto:
22
SR R S2 2 2 22
S R S R
m R v snT2 R R R
+ω
=+ω L
(7.3)
130 CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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( )
22SR S
2 22R S S
m v snT2 R R
+ω
=+ω L
(7.4)
m mn ns 1ω− ω ω= = −
ω ω (7.5)
Assim:
( )
22 mSR S
2 22R S S
nm v 1nT2 R R
+
ω ω − ω =+ω L
(7.6)
Podemos então concluir que na região de baixos escorregamentos o torque é
função linear da velocidade. Desenvolvendo a expressão (7.6) encontramos a
expressão (7.7).
( ) ( )
2 22 22SR S SR S m
2 2 2 22 2R S S R S S
m v m vn nT2 2R R R R
+ +ω ω
= −+ω +ωL L
(7.7)
Seja:
( )
222SR S
2 22R S S
m vnDe2 R R
+=+ω L
(7.8)
Portanto o torque pode ser representado pela expressão (7.9):
mDeT De
n⋅ω
= − ⋅ω (7.9)
O transitório mecânico é descrito pela equação (7.10):
j D LT T T T= + + (7.10)
onde:
T ⇒ torque do motor
Tj ⇒ torque de inércia total
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 131
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TD ⇒ torque de atrito total
TL ⇒ torque de carga
assim,
( )mL m
dT J D De Dedt nω ω
+ + + ω = (7.11)
Desse modo o comportamento do motor fica representado por uma equação
diferencial linear de primeira ordem.
Quando TL e ωm é constante, obtém-se
( )0m
DeD De n
ωω =
+ (7.12)
que é a velocidade inicial do motor com torque de carga nulo.
Uma aplicação interessante do modelo estabelecido pelas expressões
anteriores é o estudo do motor submetido a cargas impulsivas periódicas, encontradas
em indústrias ligadas à metalurgia.
O torque impulsivo é aquele cuja duração é muito pequena em relação à
constante de tempo mecânica do motor, incluindo o momento de inércia da máquina
acionada por ele. Tal torque está representado na Fig. 7.2.
t
T
j
Fig. 7.2 – Representação do torque impulsivo.
A impulsão é definida pela expressão
0
I T(t)dtγ
= ∫ (7.13)
132 CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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A impulsão produz uma redução eqüivalente da quantidade de movimento do
motor, definida pela expressão (7.14).
mI J= ∆ω (7.14)
assim:
mIJ
∆ω = (7.15)
Do ponto de vista teórico, a impulsão produz uma redução instantânea da
velocidade, dada pela expressão (7.15). Assim, antes da impulsão a velocidade é dada
pela expressão (7.16). Após a impulsão é representada pela expressão (7.18).
( )0m
DeD De n−
ωω =
+ (7.16)
0 0m m m+ −
ω = ω −∆ω (7.17)
Assim:
( )0m
De ID De n J+
ωω = −
+ (7.18)
Após a redução da velocidade provocada pela impulsão, a velocidade do motor
começa a aumentar, obedecendo à equação (7.11) e com valor inicial 0m +
ω , com torque
de carga TL nulo. Vamos rescrever a equação mecânica, que passa a ser representada
pela expressão.
( )mm
dJ D De Dedt nω ω
+ + ω = (7.19)
Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação (7.19). Assim:
( ) ( ) ( )0m m m
DesJ s J D De sn s+
ωω − ω + + ω = (7.20)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 133
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( ) 0mm
DeJ nsD De D Des s s
J J
+
⋅ωω⋅ω = +
+ + + +
(7.21)
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos a expressão .
( ) ( ) 0
D De D Det tJ J
m mDet 1 e e
D De n +
+ + − −
ωω = − +ω +
(7.22)
Assim:
( ) ( )
D De tJ
mDe It e
D De n J
+ − ω
ω = −+
(7.23)
A evolução da velocidade em função do tempo está representada na Fig. 7.3.
ttt0 f+
ωm
D(D+De) n
ω
ωm0+
Fig. 7.3 – Evolução da velocidade após um torque impulsivo.
O motor readquire a sua velocidade quanto t = tf
f m5Jt ~ 5
D De≅ τ =
+ (7.24)
A freqüência dos impactos é definida pela expressão (7.25).
máxf
1 D Deft 5J
+= = (7.25)
A quantidade máxima de impactos aumenta na medida em que a inércia do
conjunto diminui.
134 CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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Vamos a seguir determinar a forma da corrente estatórica da máquina durante
o transitório imposto pela carga. A corrente em regime permanente é dada pela
expressão (7.26), estabelecida no capítulo VI.
( )
RR S
S22R
S S R SR
R j vsi
RR j j ms
+
+
+ ω =
+ ω + ω +ω
L
L L (7.26)
Multiplicando-se o numerador e o denominador por s encontrarmos a
expressão (7.27).
( )
( ) ( )R R S
S 22S S R R SR
R j s vi
R j R j s s m+
+
+ ω=
+ ω + ω + ω
LL L
(7.27)
Como s ≅ 0 encontramos:
( )
( )R R S
SR S S
R j s vi
R R j+
+
+ ω=
+ ω
LL (7.28)
mns ω− ω=
ω (7.29)
Assim:
( )( )
( )R R m S
SR S S
R j n vi
R R j+
+
+ ω− ω=
+ ω
LL (7.30)
Levando-se a expressão (7.23) na expressão (7.30) obtém-se a expressão .
( )( )
D De tJ
R R S
SR S S
De nR j Ie vD De J
iR R j
+
+
+ −
+ ω− ω− + =
+ ω
L
L (7.31)
Sv+ e Si +
estão relacionados com o valor de pico dos valores de fase pela mesma
constante de proporcionalidade.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 135
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Assim o valor de pico da corrente de fase passa a ser representado pela
expressão (7.32).
( )( )
( )p
p
2D De t2 2 JR R
SS 2 22
RS S
De nR IeD De J v
i tRR
+ −
+ ω− ω+ + = ⋅
+ω
L
L (7.32)
Na Fig. 7.4 está representada a corrente do estator em função do tempo, cuja
envoltória é representada pela expressão (7.32).
i (t)
t
s
t0
Fig. 7.4 – Comportamento da corrente de estator durante o torque impulsivo.
7.3 TRANSITÓRIO MECÂNICA DE PARTIDA
Seja a Fig. 7.5. Nela estão representados o torque produzido pelo motor e o
torque oferecido pela carga, TE e TL respectivamente, em função da velocidade.
0
TE
TL
T( )∆ ωm
ωm
ωn
Fig. 7.5 – Característica de torque-velocidade de um motor de indução (TE) e de uma carga (TL).
136 CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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( )m E LT T T∆ ω = − (7.33)
Ignorando o torque de atrito, o comportamento dinâmico obedece à expressão
(7.34).
mE L
dT T Jdtω
− = (7.34)
ou
( ) mm
dT Jdtω
∆ ω = (7.35)
que é uma equação diferencial de primeira ordem não linear. Vamos estabelecer um
método gráfico para resolvê-la.
Podemos escrever:
( ) m
m
Jdt dT
= ω∆ ω
(7.36)
( )
m
mm0
Jt dT
ω
= ω∆ ω∫ (7.37)
A expressão (7.37) determina o tempo necessário para a velocidade evoluir de
zero até ωm.
A partir da Fig. 7.5 podemos obter a curva representada na Fig. 7.6.
0ωmω
n
T( )∆ ωm
J
ωm1
Fig. 7.6 – Curva para o cálculo do tempo de aceleração na partida do motor de indução.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 137
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Portanto a área hachurada na Fig. 7.6 representa o tempo necessário para a
velocidade evoluir até ω1m . Assim, para cada valor de ωm pode-se determinar
graficamente o respectivo valor de t e obter a função ( )ωm t , como está representada
na Fig. 7.7.
t
ωm
ωn
Fig. 7.7 – Velocidade angular em função do tempo.
Com o método descrito, apesar de sua simplicidade, obtém-se resultado
satisfatórios e por isto é de grande interesse prático.
Conhecendo-se a função ( )ωm t , pode-se estabelecer a função ( )iS t com o
emprego da expressão (7.32).
138 CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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7.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Considere um motor de indução com os seguintes parâmetros:
J = 2,63 x 10-2 kg . m2 (inércia)
D = 2,60 x 10-2 kg . m2/s (atrito)
n = 4 (pares de pólos)
f = 60Hz (freqüência de alimentação)
mSR = 265 mH
RS = 2,0 Ω
RR = 3,0 Ω
LS = 275 mH
LR = 275 mH
vS = 220 V (tensão de fase)
O motor inicialmente funciona a vazio. Sofre a ação de um torque impulsivo
cujo valor I = 0,5 N.m. Determinar a resposta que o motor apresenta, em velocidade e
corrente.
CAPÍTULO
8 ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS
TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
8.1 TRANSITÓRIO ELÉTRICO DE PARTIDA
Vamos considerar o caso de um motor de indução com constante de tempo
mecânica muito maior que as constantes de tempo elétricas. O motor encontra-se em
repouso quando é subitamente alimentado por tensões senoidais balanceadas. Como
conseqüência da diferença entre as constantes de tempo, o transitório das correntes se
estingue antes que o motor comece a girar. Assim a análise será feita para velocidade
nula.
Seja:
( )1S Sv 2v sen t= ω (8.1)
( )2
oS Sv 2v sen t 120= ω − (8.2)
( )3
oS Sv 2v sen t 120= ω + (8.3)
Assim:
( )S Sv 3v cos tα= ω (8.4)
( )S Sv 3v sen tβ= ω (8.5)
Seja o modelo do motor em componentes simétricas instantâneas.
+ +
+
S S SRS S
RSR R R
R p j m p jv i0 i
m p j j R p j j
+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ
i i
i i i i
L
L (8.6)
140 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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Como o motor encontra-se em repouso θi = 0. Colocando-se o referencial no
estator tem-se Ψi
= 0.
Assim:
+ +
+
S SS S SR
RSR R R
v iR p pm0 ipm R p
+ = +
LL (8.7)
O modelo está representado pelo circuito a seguir.
RS RR
mSR
( - m )S SRL L( - m )R SR
vS+
i S+i R+
Fig. 8.1 – Circuito eqüivalente para o motor de indução com operação balanceada.
Todos os parâmetros estão referidos ao primário.
Seja:
S = LS - mSR (dispersão primária)
R = LR - mSR (dispersão secundária)
como S e R são muito menores que mSR, a presença desta última indutância será
ignorada. Assim o circuito adquire a configuração representada na Fig. 8.2.
RS RRS R
vS+
i S+
Fig. 8.2 – Circuito eqüivalente para o motor de indução simplificado.
O modelo então passa a ser:
( ) ( )+ + +S S R S S R Sv R R i p i= + + + (8.8)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 141
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Seja:
S RR R R= + (8.9)
S R= + (8.10)
Assim:
+ + +S S Sv Ri p i= + (8.11)
Aplicando-se a transformação de Laplace, obtém-se:
( ) ( )+
+
SS
v s 1i sRs
= +
(8.12)
( )+S S S1v v jv2 α β
= + (8.13)
( ) ( )( )+S S
3v v cos t jsen t2
= ω + ω (8.14)
Assim:
+
j tS S
3v v e2
ω= (8.15)
Assim:
( )+
SS
v3v s2 s j
=− ω
(8.16)
Levando-se (8.16) em (8.12) obtém-se (8.17):
( )( )
+
SS
v3 1i sR2 s j s
= − ω +
(8.17)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace obtém-se a expressão (8.18).
142 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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( ) ( )+
R tj tS S
3 1i t v e e2 R j
−ω = − + ω
(8.18)
0j2 2 2R j R e φ+ ω = +ω (8.19)
onde
10 tan
R− ω φ =
(8.20)
Assim:
( ) ( ) 00
+
R t jj tSS 2 2 2
v3i t e e2 R
− − φω −φ = −
+ω (8.21)
Por outro lado:
( ) ( ) ( )d + +S S Si t 2 Re i t i t= = Parte real (8.22)
Assim:
( ) ( ) ( )d
R tS
S 0 02 2 2
vi t 3 cos t e cosR
− = ω −φ − φ
+ω (8.23)
mas,
d 1S S
3i i2
= (8.24)
Assim:
( ) ( ) ( )1
R tS
S 0 02 2 2
2vi t cos t e cosR
− = ω −φ − φ
+ω (8.25)
A expressão (8.25) representa a corrente transitória na fase 1 do motor. Possui
uma componente cosenoidal e uma exponencial. A sua forma está representada na
Fig. 8.3.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 143
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t
iS1
Fig. 8.3 – Corrente transitória na fase 1 um do motor de indução.
Após o transitório a corrente é limitada somente pelas resistências do estator e
do rotor e pelas reatâncias de dispersão do motor.
A constante de tempo elétrica é muito pequena. Consideremos a título de
exemplo os seguintes valores:
S R
S R
R R 2,0X X 4,0
+ ≅ Ω+ ≅ Ω
(8.26)
Assim:
S R 10,6mH+ = = (8.27)
Assim:
e10,6 5,3ms
R 2,0τ = = = (8.28)
Supondo que o transitório elétrico esteja terminado após cinco constantes de
tempo, tem-se:
et 5 26,5ms∆ = τ = (8.29)
Assim o transitório tem uma duração aproximada de dois ciclos da rede. É
muito rápido e na maioria das vezes é desconsiderado.
144 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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8.2 CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO DO MOTOR DE INDUÇÃO
a) modelos básicos:
Vamos considerar um motor trifásico de indução alimentado pela rede e
acionando uma carga mecânica. Num determinado instante, quando t = 0, é
estabelecido um curto circuito trifásico nos seus terminais. Deseja-se expressar, em
função do tempo, a evolução das correntes nas fases.
O transitório elétrico de curto-circuito é muito rápido. Por isto, para efeito de
estudo, a velocidade do motor será considerada constante.
MOTOR
i (t)1
i (t)2
i (t)3
Fig. 8.4 – Representação de um curto-circuito trifásico em um motor de indução.
Seja o modelo sob a forma de componentes simétricas instantâneas, com
referencial preso no estator, de acordo com a expressão (8.30).
+ +
+
S S SRS S
RSR R R
R p pmv i0 i
m p jn R p jn
+ = − θ + − θ
i i
L
L (8.30)
Para facilitar a análise, a resistência do estator será inicialmente ignorada. Ela
influencia basicamente na forma de envoltória da corrente e o seu valor poderá ser
incluído no valor de RR. Seja ωθ =i
mn sendo ωm a velocidade do motor.
Durante o curto tem-se ωθ =i
mn . Assim o modelo adquire a forma de expressão
(8.31).
+
+
S SRS
RSR R R
p pm i0i0
m p jn R p jn
= − θ + − θ
i i
L
L (8.31)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 145
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Tomando-se a transformada de Laplace, obtém-se a expressão (8.32).
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ 0+ + 0+
+ 0+ + + 0+
S S S S SR R SR R
SR m S SR S R R R m R R R
s i s i sm i s m i0m s j i s m i R i s s j i s i0
− − = − ω − + − ω −
L LL L (8.32)
Da expressão (8.32) obtém-se a expressão (8.33).
( ) ( )( )( )
0++
0++
SS SR S S SR
RSR m R R m R SR R
is sm i s m0im s j R s j i s m0
= − − ω + − ω
L LL L (8.33)
Seja:
0 0+ 0+S S S SR Ri m i+
φ = +L (8.34)
0 0+ 0+R SR S R Rm i i+
φ = +L (8.35)
O modelo adquire então a forma da expressão (8.36).
( ) ( )( )( )
0+ +
0+ +
S S SR S
R SR m R R m R
s sm i sm s j R s j i s
φ = φ − ω + − ω
LL (8.36)
Portanto:
( )( ) ( ) ( )
0++
0++
1SS SRS
RSR m R R mR
s smi sm s j R s ji s
− φ = φ− ω + − ω
LL (8.37)
Invertendo a matriz Z e isolando-se a corrente ( )s+Si , obtém-se a expressão
(8.38).
( )( )
( )
0+ 0+
+
SRRm S R
R RS 2
S SRR S m
R R
mR s j si s
ms R s j s
+ − ω φ − φ
=
+ − − ω
L LL LL L
(8.38)
2
' SRS S
R
m= −L L L (8.39)
146 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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Assim:
( )( )
( )
0+ 0+
+
SRRm S R
R RS
'SR S m
R
mR s j si s
s R s j s
+ − ω φ − φ
=+ − ω
L LL LL
(8.40)
(b) correntes sem amortecimentos:
Para uma máquina ideal na qual não houvesse resistência, a energia inicial
acumulada no campo magnético não seria convertida em calor. Assim as correntes de
curto–circuito seriam senoidais, com valores de pico invariáveis ao longo do tempo.
Numa primeira etapa da análise, vamos determinar essas correntes.
Considerando RR = 0 na expressão (8.40), obtém-se a expressão (8.41).
( )( )
( )0+ 0+
+
SRm S R
RS '
S m
ms j si s
s j s
− ω φ − φ=
− ωL
L (8.41)
( ) ( )0+ 0+
+
S RSRS ' '
mS S R
mi ss js
φ φ= −
− ωL L L (8.42)
( ) ( )0+ 0+
+
S RSRS '
R mS
m1i ss s j
φ φ= − − ω LL
(8.43)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace obtém-se a expressão (8.44).
( ) m
+ 0+ 0+
j tSRS S R'
RS
m1i t e ω = φ − φ
LL (8.44)
Para que a corrente ( )+Si t fique completamente conhecida, deve-se
estabelecer as expressões de 0+Sφ e
0+Rφ .
(c) cálculo dos fluxos iniciais:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 147
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Vamos considerar o motor inicialmente em regime permanente. É representado
pelas expressões (8.45).
( ) ( )
0+ 0+
0+
S SS S S S SR
RSR S m R R S m
v iR j j m0 ijm R j
+ ω ω = ω −ω + ω −ω
LL (8.45)
R S mω =ω −ω (8.46)
0+ 0+
0+
S SS S S S SR
RSR R R R R
v iR j j m0 ijm R j
+ ω ω = ω + ω
LL (8.47)
Da expressão (8.47) obtém-se as correntes iniciais representadas pelas
expressões (8.48) e (8.49).
( )
( ) ( )0+
0+
R R R SS 2
R R R S S S S R SR
R j vi
R j R j m+ ω
=+ ω + ω +ω ω
LL L
(8.48)
( ) ( )
0+
0+
SR R SR 2
R R R S S S S R SR
jm vi =
R j R j m− ω
+ ω + ω +ω ωL L (8.49)
Levando-se as expressões (8.48) e (8.49) nas expressões (8.34) e (8.35),
obtém-se as expressões dos fluxos iniciais, representados por (8.50) e (8.51).
( )( )
( ) ( )0+
0
2S R R R SR R S
S 2R R R S S S S R SR
R j jm v
R j R j m+
+ ω − ωφ =
+ ω + ω +ω ω
L LL L
(8.50)
( )( )
( ) ( )0+
0
SR R R R R SR R SR 2
R R R S S S S R SR
m R j j m vR j R j m+
+ ω − ωφ =
+ ω + ω +ω ω
L LL L
(8.51)
Resta-nos determinar as tensões iniciais. Tomando-se a expressão (8.15) tem-
se:
S
+
j tS S
3v v e2
ω= (8.52)
Para t = 0, tem-se:
148 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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+S S
3v v2
= (8.53)
As expressões de fluxo inicial são muito complexas para serem levadas na
expressão (8.44). Porém algumas modificações podem ser feitas.
1) ωR ≅ 0
De fato, se o motor opera na região nominal, próximo da velocidade síncrona, a
pulsação rotórica é praticamente nula.
2) RS ≅ 0
Na região de escorregamento nominal a resistência do estator tem muito pouco
influência no comportamento do motor.
Com tais simplificações, os fluxos iniciais passam a ser representados pelas
expressões (8.54) e (8.55).
0
SS
S
v32 j+
φ =ω
(8.54)
0
SR SR
S S
m v32 j+
φ =ω L (8.55)
Assim:
0
jS 2
SS
v3 e2+
π−
φ =ω
(8.56)
0
jSR S 2R
S S
m v3 e2+
π−
φ =ω L (8.57)
Levando-se (8.56) e (8.57) em (8.44), obtém-se a expressão (8.58).
( ) m
+
2 j tj 2S SR2S '
S RS S
v m3i t e e2
π π ω −−
= −
ω L LL (8.58)
Por outro lado, a partir da expressão (8.22) obtem-se:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 149
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( ) ( )( )d +S Si t 2 Re i t= (8.59)
Assim:
( ) ( )d
2S SR
S m'S RS S
v mi t 3 sen t= − ωω L LL
(8.60)
Da expressão (8.24) tem-se:
1 dS S
2i i3
= (8.61)
Assim:
( ) ( )1
2S SR
S m'S RS
v mi t 2 sen tX
= − ωL L (8.62)
onde:
( )1Si t ⇒ corrente na fase 1 do motor.
' 'S S SX = ω L ⇒ reatância transitória.
'SL ⇒ indutância transitória.
A partir da expressão (8.62) pode-se estabelecer duas conclusões
importantes:
(a) a freqüência da corrente de curto-circuito é proporcional à velocidade do motor.
(b) o pico da corrente de curto circuito é limitado pela reatância transitória do motor.
Para se conhecer completamente a corrente de curto-circuito, deve-se
determinar a lei de decrescimento com o tempo. A expressão (8.62) estabelece a
corrente que existiria sem as resistências.
(d) cálculo da corrente de curto-circuito com amortecimento:
Vamos considerar a expressão (8.63), na qual está incluída a resistência
do rotor do motor.
150 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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( )( )
( )
0+ 0+
+
SRRm S R
R RS
'SR S m
R
mR s j si s
s R s j s
+ − ω φ − φ
=+ − ω
L LL LL
(8.63)
O denominador pode ser reescrito segundo a expressão (8.64):
' SRS m '
R S
Rs s j
∆ = − ω +
LL L L (8.64)
Seja:
'
' S R
S RRζ =
L LL (8.65)
Assim:
'S m '
1s s j
∆ = − ω − ζ L (8.66)
onde 'ζ é definido como a constante de tempo de curto-circuito do motor.
Levando-se a expressão (8.66) na expressão (8.63) obtém-se a expressão
(8.67).
( )( )
0+ 0+
+
SRRm S R
R RS
'S m '
mR s j si s
1s s j
+ − ω φ − φ
= − ω − ζ
L L
L (8.67)
Os fluxos iniciais já foram estabelecidos e estão representados pelas
expressões (8.68) e (8.69).
0
jS 2S
S
v3 e2+
π−
φ =ω
(8.68)
0
jSR S 2
RS S
m v3 e2+
π−
φ =ω L (8.69)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 151
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Levando-se as expressões (8.68) e (8.69) na expressão (8.67), obtém-se a
expressão .
( )+
2SR R
mj R S RS 2
S 'S S
m '
m Rs 1 jv3i s e
2 1s s j
π−
− − ω +
= ω − ω − ζ
L L LL
(8.70)
Como:
2
SR
R S
m 1=L L (8.71)
Assim:
( )+
Rj m2S R
S 'S
m '
R jv e3i s
2 X 1s s j
π− − ω
= − ω − ζ
L (8.72)
Seja:
Rm
R
m 'm '
R jA Bs 11 s js s j
− ω= +
− ω −− ω − ζζ
L (8.73)
Assim:
R Rm m
R R
S Rm m''
RS
R Rj jA 1 Rj j
− ω − ω= =
− ω − ωζ
L LL
LL
(8.74)
Rm
R
m '
R jB A1j
− ω= = −
ω −ζ
L (8.75)
152 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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Levando-se as expressões (8.74) e (8.75) na expressão (8.76) obtém-se a
expressão .
( )+
Rj m2S R
S 'S RS
m' m 'RS
R jv e3 1 1i s R2 s 1X j s j
π−
− ω
= − − ω − ω − ζ
LL
LL
(8.77)
mas,
Rm
R
S Rm'
RS
R j1R j
− ω≅
− ω
LL
LL
(8.78)
Assim:
( )+
j2
SS '
Sm '
v e3 1 1i s2 s 1X s j
π−
= −
− ω − ζ
(8.79)
Aplicando-se a transformação inversa de Laplace obtém-se a expressão .
( )m '
+
j 1j t2S
S 'S
v e3i t 1 e2 X
π −ω − ζ
= −
(8.80)
( ) m '
+
1 tj tj 2S 2S '
S
v3i t e e e2 X
π π −ω −− ζ
= −
(8.81)
como:
( ) ( ) d +S Si t 2 Re i t= (8.82)
obtém-se:
( ) ( ) '
d
1 tS
S m'S
vi t 3 sen t eX
−ζ= ω (8.83)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 153
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Portanto a corrente na fase 1 do motor é representada pela expressão (8.84).
( ) ( )'
1
1 tS
S m'S
vi t 2 e sen tX
−ζ= ω (8.84)
A forma da corrente está representada na Fig. 8.5.
0
2 Vs
X s
2πω s
2πωm
sζ
2 i (0)s1
Fig. 8.5 – Formato da corrente de curto-circuito na fase um.
Vamos fazer um comentário adicional sobre a constante de tempo de curto-
circuito.
'
' S R
S RRζ =
L LL (8.85)
RR
RRζ =
L (8.86)
onde ζR é definida como constante de tempo de circuito aberto.
Assim:
'
' SR
S
ζ = ζLL (8.87)
Durante o curto-circuito o motor pode ser representado pelo circuito equivalente
mostrado na Fig. 8.6.
154 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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RR
vS1
i S1
LS
Fig. 8.6 – Circuito equivalente para o motor para análise de curto-circuito.
A tensão 1
'sv tem um valor de pico igual a s2v .
Como LS ≅ LR quando os parâmetros estão referidos ao estator, pode-se
afirmar que:
'
' S
RRζ =
L (8.88)
(e) comentários sobre a reatância transitória:
A indutância transitória é definida pela expressão (8.89).
2
' SRS S
R
m= −L L L (8.89)
mas:
S S SRam= +L (8.90)
R SRR 2
ama+
=L (8.91)
onde:
a ⇒ relação de transformação entre os enrolamentos do estator e do rotor.
S ⇒ indutância de dispersão do estator.
R ⇒ indutância de dispersão do rotor referido ao estator.
Assim:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 155
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22
' SRS S SR
R SR
a mamam
= + −+
L (8.92)
Multiplicando-se convenientemente os termos por ωS, obtém-se:
2 22
' S SRS S S S S SR
S R S SR
a ma mam
ωω =ω + ω −
ω +ωL (8.93)
Assim:
2
' mS S m
R m
xX x xx x
= + −+
(8.94)
Portanto a reatância transitória pode ser facilmente determinada, a partir dos
ensaios a vazio e de rotor bloqueado.
Convém observar que 'SX é relativamente baixa. Tomemos os seguintes valores
numéricos como exemplos:
xS = 1Ω
xR = 1Ω
xm = 100Ω
Assim:
'SX =1Ω
8.3 TENSÃO RESIDUAL
Há certos tipos de cargas, como por exemplos bombas de refrigeração de
centrais térmicas, que não podem ser paralisadas mesmo por tempo muito curto. Essas
cargas em geral, são acionadas por motores trifásicos de indução.
Nesses casos, dispõe-se de duas fontes de alimentação. Quando a fonte
principal falha, o motor automaticamente passa a ser alimentado por uma fonte de
emergência.
156 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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Quando a fonte principal é interrompida, existe fluxo magnético no motor. Estes
fluxos geram tensões nos enrolamentos do estator, enquanto ele permanece aberto.
Essas tensões são conhecidas com o nome de tensões residuais.
Se a fonte auxiliar for conectada imediatamente após a falha da fonte principal
e se as tensões da fonte e as tensões residuais estiverem com defasamento
inadequado, podem ser produzidos transitórios de correntes e de torques capazes de
danificar o motor. Uma solução possível para resolver esse tipo de problema,
consistem em instalar relés controlados por tensão. Somente quando as tensões
residuais atingirem valores iguais a 25% da tensão de alimentação, a fonte auxiliar é
conectada ao motor.
Neste item será obtida uma expressão aproximada, analiticamente, para
representar as tensões residuais geradas pelo motor.
Consideremos o modelo do motor de indução sob a forma de componentes
simétricas instantâneas, representado pela expressão (8.95). O referencial será
colocado no estator.
+ +
+
S S SRS S
RSR R R
R p pmv i0 i
m p jn R p jn
+ = − θ + − θ
i i
L
L (8.95)
Durante o transitório a corrente do estator +Si é nula. Assim o modelo passa a
ser representado pelas expressões (8.96) e (8.97). A velocidade ωm será considerada
constante.
+ +S SR Rv pm i= (8.96)
+ + +R R R R m R R0 R i p i j i= + − ωL L (8.97)
Para se conhecer a tensão do estator em função do tempo, deve-se conhecer a
corrente do rotor, que é obtida a partir da solução da equação (8.97).
Aplicando-se a transformada de Laplace na expressão (8.97) obtém-se a
expressão (8.98).
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 157
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( ) ( ) ( )+ + + +R R R R m R R R R00 R i s s i s j i s i= + − ω −L L L (8.98)
Assim:
( ) +
+
R0R
Rm
R
ii s
Rs j=
+ − ω L
(8.99)
Passando para o domínio tempo, obtém-se a expressão .
( )R
mR
+ +
R j t
R R0i t i e
− − ω = L (8.100)
Para se conhecer a tensão do estator, a expressão (8.96) é levada na
expressão (8.100) resultando na expressão (8.101).
R
mR
+ +
R j t
S SR R0dv m i edt
− − ω
=
L (8.101)
Assim:
R
R m
+ +
R tj tR
S SR m R0R
Rv m j i e e−
ω = ω −
L
L (8.102)
O valor inicial da corrente do rotor, definido pela expressão (8.49) é
representado pela expressão (8.103).
( ) ( )
0+
0+
SR R SR 2
R R R S S S S R SR
jm vi =
R j R j m− ω
+ ω + ω +ω ωL L (8.103)
0+S S
3v = v2
(8.104)
Assim:
( ) ( )0+
SR R SR 2
R R R S S S S R SR
jm v3i =2 R j R j m
− ω+ ω + ω +ω ωL L
(8.105)
158 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
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Vamos tomar:
ωR ≅ 0 e RS ≅ 0
Assim:
0+
SR R SR
R S S
m v3i = -2 R
ωω L (8.106)
Levando-se a expressão (8.106) na expressão (8.102) obtém-se a expressão
(8.107).
( )R
R m
+
R2 tj tS SR R R
S mS S R R
v m3 Rv t j e e2 R
−ω ω
= − ω ω L
L L (8.107)
ou
( ) ( )R
R m
+
R2 tj tS SR R
S R m RS S R R
v m3v t R j e e2 R
−ωω
= − ωω
LLL L (8.108)
RR
RRζ =
L ⇒ constante de tempo de circuito aberto.
R2 2 2 jR m R R m RR j R e− θ− ω = +ωL L (8.109)
1 m RR
R
tgR
− ωθ =
L (8.110)
Assim:
( ) ( ) m RR
+
t22 2 2 j tS SR R
S R m RS S R R
v m3v t R e e2 R
−ω −θζω
= +ωω
LL L (8.111)
Por outro lado,
2
SR
R S
m 1≈L L (8.112)
Assim:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 159
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( ) ( ) ( )R
+
t2 2R
S S m R m RS
3v t v 1 e cos t2
−ζω
= +ω ζ ω −θω
(8.113)
Em geral, a constante ζR é importante e a hipótese de que a velocidade do
motor se mantém invariável não é válida.
Se o motor inicialmente gira a vazio tem-se ωm ≅ ωS, sendo ωS a velocidade
síncrona.
Se o motor estivesse girando com velocidade síncrona, acionada por uma
máquina auxiliar, ωR seria nula, não havendo correntes rotóricas e consequentemente
não existiria correntes rotóricas e consequentemente não existiria tensão residual.
O estudo rigoroso de tensão residual não pode ignorar a equação mecânica e
só é possível através de simulação.
CAPÍTULO
9 MODELOS DE ESTADO PARA O MOTOR DE INDUÇÃO
9.1 VARIÁVEIS DQ
Seja as equações elétricas do motor de indução, escritas sob a forma de
variáveis dq, para um referencial genérico, representados pela expressão (9.1).
d d
q q
d d
q q
S S S SR SR
S S
S S S SR SRS S
R RSR SR R R R
R R
SR SR R R R
R p n pm m nv i
n R p m n pmv i
v ipm m n R p n
v i
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
L L
L L
L L
L L
(9.1)
As equações (9.1) podem ser reescritas segundo as expressões (9.2).
d d
q q
d d
q q
S SS SR
S SS SR
SR RR R
SR RR R
S S SR
S S SR
SR R R
SR R R
v i0 m 0v i0 0 m
pm 0 0v i
0 m 0v i
R n 0 m n
n R m n 0
0 m n R n
m n 0 n R
• •
• •
• • • •
• • • •
= + − Ψ − Ψ
Ψ Ψ+
− Ψ−θ − Ψ−θ
Ψ−θ Ψ−θ
LL
LL
L
L
L
L
d
q
d
q
S
S
R
R
i
i
i
i
(9.2)
Assim:
p= +4 3v Z i Z i (9.3)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 161
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p 4 3Z i -Z i v= + (9.4)
p -1 -14 3 4i -Z Z i Z v= + (9.5)
onde:
S SR
S SR
SR R
SR R
0 m 00 0 m
m 0 00 m 0
4Z
LL
LL
= (9.6)
R SR
R SR2
SR SS R SR
SR S
0 m 00 0 m
m 0 0m0 m 0
− − −− −
4Z
LL
LL LL
-1 1= (9.7)
S S SR
R SRS S SR
R SR
SR SSR R R
SR S
SR R R
R n 0 m n
0 m 0n R m n 0
0 0 m1m 0 0
0 m n R n0 m 0
m n 0 n R
• •
• •
• • • •
• • • •
− Ψ − Ψ
− Ψ Ψ − = −σ − Ψ− θ − Ψ− θ −
Ψ− θ Ψ− θ
-14 3Z Z
L
LLL
L LL
L
(9.8)
onde:
2R S SR
1 1m
=σ −L L
(9.9)
Substituindo-se as expressões (9.7), (9.8) e (9.9) na expressão (9.5), encontra-
se a expressão (9.10).
162 CAPÍTULO 9. MODELOS DE ESTADO PARA O MOTOR DE INDUÇÃO
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d
q
d
q
S R
S R SR R SR R2SR
S R
S S R SR R SR R2SR
S
RS R
SR S SR S R SR2
SR
S R
SR S SR S2
SR
nR m R m n
m n
ni R m n m R
m ni 1pi n
m R m n Rim n
nm n m R
m
•
•
• •
•
•
• •
• •
•
•
• •
•
Ψ +− θ − Ψ−θ
− Ψ + − − θ + Ψ−θ
= σ Ψ−θ + − θ −
− Ψ
− Ψ−θ + θ
+
L LL L
L LL L
L LL L
L LL
d
q
d
q
S
S
R
R
R S
i
i
i
i
R
n•
+
− Ψ
L
d
q
d
q
SR SR
SR SR
SR S R
SR S R
v0 m 0v0 0 m1
m 0 0 v0 m 0 v
− − + −σ −
LL
LL
(9.10)
As expressões (9.10) representam as equações elétricas da máquina sob a
forma de estado. Caso se deseje o referencial no estator, basta fazer 0Ψ =i
. No
modelo está incluído o número de pares de pólos n. Para o rotor em curto-circuito,
toma-se d qR Rv = v 0= .
Para a equação mecânica tem-se:
LTe Jp D T= θ+ θ+i i
(9.11)
Assim:
LTe D TpJ J J
θ = − θ−i i
(9.12)
mas,
( )q d d qSR S R S RTe nm i i i i= − (9.13)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 163
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Portanto:
( )q d d q
SR LS R S R
nm D Tp i i i iJ J J
θ = − − θ−i i
(9.14)
9.2 VARIÁVEIS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS
Seja as equações elétricas do motor, escritas sob a forma de componentes
simétricas instantâneas para um referencial genérico, representada pela expressão
(9.15).
+ +
+ +
S S SRS S
R RSR R R
R p jn m p jnv iv i
m p jn jn R p jn jn
+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ
i i
i i i i
L
L (9.15)
A expressão (9.15) é reescrita e passa a ser representada pela expressão
(9.16).
+ + +
+ + +
S S SRS S SS SR
R R RSR RSR R R
R jn jn mv i im
pv i im jn m R jn
+ Ψ Ψ = + Ψ−θ + Ψ−θ
i i
i i i i
LL
L L (9.16)
Assim:
p= +4 3v Z i Z i (9.17)
p -1 -14 3 4-Z Z i Z vi = + (9.18)
Onde:
S SR
SR R
mm
=
ZL
L4 (9.19)
164 CAPÍTULO 9. MODELOS DE ESTADO PARA O MOTOR DE INDUÇÃO
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S S SR
SR R R
R jn jn m
jn m R jn
+ Ψ Ψ = Ψ− θ + Ψ− θ
Z
i i
i i i i
L
L3 (9.20)
1 R SR2
SR SS R SR
m1mm
− − = −−
ZL
LL L4 (9.21)
Assim:
+ +
+ +
S S SRS SR SR R SR
R RSR S SR SSR R R
R jn jn mi vm m1 1p i vm mjn m R jn
+ Ψ Ψ − − = − + − −σ σ Ψ−θ + Ψ−θ
i
i i
i i i i
LL L
L LL(9.22)
+
+
R S S R SR
2SR R RSR
S R
R2SR S S SR
S R RSR S
R jn j n m
m R jnm jni1 1p i
m R jn jn m
R jnjn m
+ Ψ + Ψ + − + Ψ−θ − Ψ−θ − = − + σ σ − + Ψ + − Ψ + + + Ψ−θ + Ψ−θ
i
i i
i ii i
i i
i ii i
L L L
LL
L
L LL
+
+
SSR
RSR S
vmvm − L (9.23)
onde:
2R S SR
1 1m
=σ −L L
(9.24)
Portanto:
pi Ai Bv= + (9.25)
2S R R S SR R SR SR R
2S SR SR S SR R S S R
R jn jn m R m jn m1
R m jn m jn m R jn
− − Ψ + Ψ−θ − θ = σ + θ Ψ − − Ψ−θ
A
i i i i
i i i i
L L L L
L L L L (9.26)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 165
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R SR
SR S
m1m
− = −σ
BL
L (9.27)
Em seguida será tratada a equação mecânica.
( )SR S RTe 2nm i i+ −
= I (9.28)
Assim:
LTe Jp D T= θ+ θ+i i
(9.29)
LTe D TpJ J J
θ = − θ−i i
(9.30)
Caso se deseje o referencial colocado no estator, basta fazer 0Ψ =i
.
CAPÍTULO
10 MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA PEQUENAS PERTUBAÇÕES
10.1 INTRODUÇÃO
No capítulo VII foi estabelecido um método para estudo da resposta do motor
de indução submetido a perturbações no torque, baseado no fato de que nos motores
normais a constante de tempo mecânica é muito maior que as constantes tempo
elétricas. Naquela situação, o emprego das equações elétricas de regime permanente
para obtenção das correntes e do torque elétrico levava a resultados suficientemente
precisos na análise do transitório de partida e das respostas à pequenas perturbações
na região normal de operação.
Contudo, quando se trata de máquinas de momentos de inércia baixos, como
aqueles destinados a sistemas de controle, tais aproximações não podem ser feitas,
pois conduzem a erros não aceitáveis.
Neste capítulo serão estabelecidos modelos linearizados destinados a
estabelecer a resposta dos motores de indução submetidos a perturbações no torque
de carga ou na tensão de alimentação de pequenas amplitudes, capazes de
representar satisfatoriamente os motores de baixa inércia.
10.2 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES
Como modelo inicial será empregado aquele obtido através da transformação
de PARK, representado pelas expressões (10.1) e (10.2).
Será utilizado o referencial colocado no campo girante. Com isto, para tensões
de alimentação senoidal, obtém-se valores iniciais das tensões e das correntes com
maior facilidade, por serem constantes.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 167
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d d
q q
d d
q q
S S S SR SR
S S
S S S SR SRS S
R RSR SR R R R
R R
SR SR R R R
R p n pm m nv i
n R p m n pmv i
v ipm m n R p n
v i
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
L L
L L
L L
L L
(10.1)
( )q d d qSR S R S RT nm i i i i= − (10.2)
A expressão mecânica é representada pela expressão (10.3).
LT Jp D T= θ+ θ+i i
(10.3)
Normalmente o torque de atrito será desconsiderado. Assim:
( )q d d qL SR S R S RT Jp nm i i i i= − θ+ −i
(10.4)
A expressão (10.1) é reescrita segundo a expressão (10.5).
Sp n= ω θ1 2 3v Ri + L i + L i + L ii
(10.5)
onde:
S nω = Ψi
(pulsação da alimentação)
Ψi
= velocidade do referencial igual à velocidade síncrona.
Sendo:
S
S
R
R
R 0 0 00 R 0 0
R 00 00 R0 0
=
R (10.6)
168 CAPÍTULO 10. MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA PEQUENAS PERTURBAÇÕES
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S SR
S SR
SR R
SR R
0 m 00 0 m
m 0 00 m 0
=
1L
LL
LL
(10.7)
S SR
S SR
SR R
SR R
0 0 m0 m 0
0 m 0m 0 0
− − = − −
2L
LL
LL
(10.8)
SR R
SR R
0 0 0 00 0 0 0
0 m 0m 0 0
= − −
3L LL
(10.9)
Consideremos o motor inicialmente em regime permanente com velocidade
constante. Uma perturbação é introduzida no torque de carga ou nas tensões de
alimentação. As equações (10.5) tornam-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sp n ∆ = ∆ ∆ ω ∆ θ+∆θ ∆ 1 2 3v + v R i + i + L i + i + L i + i + L i + ii i
(10.10)
Desenvolvendo a expressão (10.10) obtém-se:
S Sp p n n n n∆ = ∆ ∆ ω ω ∆ θ θ ∆ ∆θ ∆θ ∆1 1 2 2 3 3 3 3v + v Ri + R i + L i + L i + L i + L i + L i + L i + L i + L ii i i i
(10.11)
Subtraindo-se a expressão (10.11) da expressão (10.5) e anulando-se os
produtos de segunda ordem obtém-se:
Sp n n∆ = ∆ ∆ ω ∆ θ ∆ ∆θ01 2 3 3 0v R i + L i + L i + L i + L ii i
(10.12)
onde:
θ0
i= velocidade inicial do motor.
0i = correntes iniciais do motor.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 169
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Assim:
Sp n n ∆ = ω θ ∆ ∆θ
01 2 3 3 0v R + L + L + L i + L ii i
(10.13)
O mesmo procedimento será adotado para o torque.
LT Jp Te= − θ+i
(10.14)
L LT T Jp Te Te + ∆ = − θ+∆θ + +∆
i i (10.15)
Assim:
LT Jp Te∆ = − ∆θ+∆i
(10.16)
Calculemos o torque ∆Te.
( )q d d qSR S R S RTe nm i i i i= − (10.17)
( ) ( ) ( ) ( )( )q q d d d d q qSR S S R R S S R RTe Te nm i i i i i i i i+∆ = +∆ +∆ − +∆ +∆ (10.18)
Assim:
( )q d d q d q q dSR S0 R S0 R R0 S R0 STe nm i i i i i i i i∆ = ∆ − ∆ + ∆ − ∆ (10.19)
onde qS0i ,
dS0i , qR 0i e
dR 0i representam as correntes iniciais.
Levando-se a expressão (10.19) na expressão (10.16), obtém-se a expressão
(10.20).
( )q d d q d q q dL SR S0 R S0 R R0 S R0 ST Jp nm i i i i i i i i∆ = − ∆θ+ ∆ − ∆ + ∆ − ∆i
(10.20)
Reunindo-se as equações (10.13) e (10.20), obtém-se as equações .
170 CAPÍTULO 10. MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA PEQUENAS PERTURBAÇÕES
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d
qd
dq
d
S S S S SR S SR
S S S S S SR SRS
SR S0S0 0SR SR S R R R S
R R0R
SR S0R0 0SR S SR R S R R
R R0L
R p pm m 0R p m pm 0v
nm iv pm m n R p nn iv
nm ivm n pm n R p
n iT
• •
• •
+ −ω −ωω + ω∆
+∆ − ω − θ + − ω − θ + ∆ = +∆ ω − θ ω − θ + − + ∆
L LL L
L L L
L L L
d
q
d
q
q d q d
S
S
R
R
SR R0 SR R0 SR S0 SR S0
i
i
i
i
nm i nm i nm i nm i Jp
∆
∆ ∆
∆
∆θ− − −
i
Seja:
d
q
d
q
S
S
R
R
vv
vv
∆ ∆
∆ ∆ ∆
v = (10.22)
d
q
d
q
S
S
R
R
ii
ii
∆ ∆
∆ ∆ ∆
i = (10.23)
0 0
0 0
S S S S SR
S S S S SR
R SR R R R
R SR R R R
R 0 mR m 0
0 m Rm 0 R
−ω −ω ω ω = −ω −ω ω ω
1Z
LL
LL
(10.24)
0R S nω = ω − θ
i (10.25)
q d q d2 SR R0 SR R0 SR S0 SR S0nm i nm i nm i nm i = − − Z (10.26)
( )q q
d d
3SR S0 R R0
SR S0 R R0
00
nm i n i
nm i n i
= + − +
Z LL
(10.27)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 171
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S SR
S SR
SR R
SR R
0 m 00 0 m
m 0 00 m 0
=
4Z
LL
LL
(10.28)
Assim:
TL
pT J
∆ ∆ ∆ = + ∆ ∆θ ∆θ
1 3 4
2
i iv Z Z Z 0Z 0 0 -i i (10.29)
As equações (10.29) representam o motor nas situaçòes em que o torque de
carga TL ou as tensões de alimentação sofrem perturbações de pequenas amplitudes.
O modelo é linear e útil no estudo da estabilidade local do motor de indução.
Vamos em seguida representar o modelo (10.29) segundo a expressão (10.30).
p = +X AX BU (10.30)
Isolando-se a esquerda do sinal de igualdade o termo que contém o símbolo de
derivação encontramos a expressão (10.31).
TL
p J T
∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆θ ∆θ
4 1 3
2
i iZ 0 v Z Z0 - Z 0i i (10.31)
Assim:
1 1
T TL
p 1 1TJ J
− − ∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆θ ∆θ
4 41 3
2
Z 0 Z 0i iv Z ZZ 00 - 0 -
i i (10.32)
1 11
TL
p 1 T 0J J
− −− ∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆θ ∆θ
4 1 4 34
2
Z Z Z ZZ 0i ivZ0 - -
i i (10.33)
As equações (10.33) estão na forma de estado e são úteis na realização de
vários estudos inclusive de estabilidade do motor.
172 CAPÍTULO 10. MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA PEQUENAS PERTURBAÇÕES
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Nas perturbações usuais as tensões estatóricas permanecem constantes
enquanto que as tensões rotóricas se mantém nulas. Nestes casos ∆v = 0. O modelo
passa a ser representado pela equação (10.34).
1 1
L
0p T
0JJ
− − ∆ ∆ = − + ∆ ∆θ ∆θ
4 1 4 3
2
-Z Z -Z Zi iZi i (10.34)
APÊNDICE
CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO
(A) TRANSFORMAÇÃO REAL
Seja uma estrutura genérica representada na Fig. 1.
+-v1
i1
+-v2
i2
+-v3
i3
+-vn
in
Fig. 1 – Estrutura genérica.
Seja:
1
2
3
n
iiii
i = (1)
1
2
3
n
vvvv
v = (2)
A potência envolvida é definida genericamente pela expressão (3).
tP = v i (3)
Seja:
-1T =v A v (4)
174 APÊNDICE. CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO
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-1T =i A i (5)
Onde A-1 é uma matriz real n x n.
vT e IT representam os vetores tensão e corrente transformados pela matriz A-1.
Das expressões (4) e (5) obtém-se:
T=v Av (6)
T=i Ai (7)
tt tT=v v A (8)
Levando-se as expressões (7) e (8) na expressão (3) obtém-se:
t tT TP = v A Ai (9)
Seja:
tT T TP = v i (10)
Assim, para que PT = P é necessário que:
t =A A I (11)
ou
t -1=A A (12)
Portanto para que a potência seja a invariante, é necessário que a
transformação seja ortogonal.
(B) TRANSFORMAÇÃO COMPLEXA
Quando as variáveis são complexas, a potência é definida pela expressão (13).
tP = ∗i v (13)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 175
Seja:
-1T =v A v (14)
-1T =i A i (15)
Assim:
T=v Av (16)
T=i Ai (17)
tt tT=i i A (18)
tt tT=∗ ∗i i A (19)
Levando-se (19) e (16) em (13) obtém-se:
t tT TP =∗ ∗i A Av (20)
Como,
T T TP = ∗ti v (21)
Para que PT = P é necessário que:
t =∗A A I (22)
ou
t -1=∗A A (23)
Portanto quando a transformação é complexa, a matriz que a realiza deve ser
unitária.
A transformação real é um caso particular da transformação complexa. Nesse
caso:
176 APÊNDICE. CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO
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t t=∗A A (24)
Assim,
t -1=A A (25)
EXERCÍCIOS
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
1. CAPÍTULO 1
1) I = 2A µR = 2500
= 40cm µ0 = 4π x 10-7H/m (SI)
s = 5cm2 m = 50kg
Deseja-se calcular o número de espiras n
I = 2A
P = 50kg
S = 5cm2
= 40cm
+ -v
2x
n
Fig. 1 – Eletroimã do exercício 1.
21 LF i2 x
∂=
∂ (1)
2nL
R= (2)
184 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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11 0 R
1 1Rs s
= =µ µ µ
(relutância do ferro) (3)
20
1 xRs
=µ
(relutância do entreferro) (4)
1 2R R R= + (5)
0 R 0
1 1 xRs s
= +µ µ µ
(6)
2
0 R 0
nL 1 1 xs s
=+
µ µ µ
(7)
2
0
R
n sLx
µ=
+µ
(8)
Seja:
20A n s= µ (9)
R
B =µ
(10)
Assim:
ALB x
=+
(11)
( )
20
2 2
R
n sL Ax B x
x
µ∂= − = −
∂ + + µ
(12)
Assim:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 185
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2
2 02
R
n s1F i2
x
µ=
+ µ
(13)
Para x = 0 tem-se:
2 22
0R 0
1 1F i n2 1 s
s
=
µ µ µ
(14)
2
02
R 0
2F s 1ni s
µ= µ µ
(15)
Entrando-se com os valores das grandezas na expressão (15), todas do
Sistema Internacional obtém-se:
n ≅ 100 espiras
2) O circuito magnético equivalente é apresentado na Fig. 2.
R x
R g
Rg
NI
NI
φ2
φ2
φ
Fig. 2 – Circuito magnético equivalente do exercício 2.
gg x x
RNI R R R
2 2 φ
= + φ = + φ
(16)
Assim:
186 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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gx
RR R
2= + (17)
x 20
1 xRd
=µ
(18)
g 20
2 gRd
=µ
(19)
( )20
1R g xd
= +µ
(20)
( )
2 20N dL
g xµ
=+
(21)
para uma bobina.
21 LF I2 x
∂=
∂ (22)
( )
2 20
2N dL
x g xµ∂
= −∂ +
(23)
( )
2 22 0
2N d1F I
2 g xµ
=+
(24)
Para x = 0, tem-se:
2 2 2
02
I N dF2g
µ= (25)
Supondo:
g = 0,001m I = 0,5A
d = 0,04m N = 1000
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 187
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2 2 7 2
2
0,5 1000 4 10 0,04F2 0,001
−⋅ ⋅ π ⋅ ⋅=
⋅ (26)
F 251,2N≅ (27)
3)
a) ( )d Li di dLv L idt dt dt
= = + (28)
L A Bx= + (29)
dL L dx dxBdt x dt dt
∂= =
∂ (30)
( ) ( )d Li di dxv A Bx iBdt dt dt
= = + + (31)
b) 2
21 L i BF i2 x 2
∂= =
∂ (32)
M
x(0)
F P
Fk Fi
Fig. 3 – Diagrama de forças do sistema mecânico.
c) kF kx= (33)
2
i 2
d xF mdt
= (34)
P mg= (35)
188 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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Na condição inicial de equilíbrio tem-se:
0kP F= (36)
0mg kx= (37)
A equação mecânica será:
2
22
1 d xi B m kx2 dt
= + (38)
sendo x o deslocamento em relação à x0.
4) Dados:
L1 = 0,2 mH = 0,2 x 10-3H
L2 = 0,1 mH = 0,1 x 10-3H
M = 0,05cos θ mH = 0,05cos θ x 10-3H = m0cos θ
i1= i2 = i = 2 5sen ωt
(a)
2 20 mT m i sen t sen= ω θ (39)
2
2 2md 0 m
0
1T m i sen t sen d t2
π
= ω θ ωπ ∫ (40)
22 2
0 mmd
0
m i sen t sen tT2 2 4
π θ ω ω
= − π (41)
2
0 mmd
m i senT2
θ= (42)
Substituindo os valores obtém-se:
mdT 0,00125sen= θ (43)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 189
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(b) Seja o torque da mola:
kT k2π = θ −
(44)
Para θ = π/2 o torque da mola é nulo.
No ponto de equilíbrio tem-se
k mdT T= (45)
2
0 mm i senk2 2
θπ θ − =
(46)
Assim:
0,004 0,00125sen2π θ − = θ
(47)
3,2 sen2π θ − = θ
(48)
Esta é uma equação transcendental e sua solução somente é possível
numericamente e ou graficamente. Reescrevendo (48) na forma da equação (49) pode-
se obter o gráfico da Fig. 4 e encontrar o valor de θ que satisfaz a igualdade.
F ( )1 θ
F ( )2 θ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 45
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
θ
Fig. 4 – Resolução gráfica da equação (48).
190 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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( )
( )
1
2
F sen
F 3,22
θ = θ
π θ = θ −
(49)
Pela Fig. 4 o ângulo é:
o
1,87rad107,13
θ =
θ = (50)
Deve-se tomar um cuidado na resolução deste exercício pois se θ está em
radianos, F2(θ) apresenta uma inclinação diferente do que em graus. O correto é utilizar
como referência o sistema em radianos.
5)
Mola
v(t)
x
D A
Fig. 5 – Instrumento do tipo ferro móvel do exercício 5.
(a)
2NL =R
(51)
( )0
D x1A−
=µ
R (52)
( )
20N AL
D xµ
=−
(53)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 191
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( )
202
N ALx D x
µ∂= −
∂ − (54)
( )
2 2 2 22 0
e 2 2
020
N I A1 L 1 N IF I2 x 22 D x 1 D x A
A
µ∂= = =
∂ − − µ µ
(55)
Como:
2
22 20
1 1 D xL AN
LI
− = µ φ =
(56)
Tem-se:
2e
0
1F2A
== φµ
(57)
Mas:
2 2 2 2 2 2mB A B sen t Aφ = = ω (58)
Assim:
2 2e m
0
1F AB sen t2
= ωµ
(59)
(b)
( ) dv t Ndtφ
= (60)
( ) ( )md AB sen tv t N
dtω
= (61)
( ) mv t AN B cos t= ω ω (62)
192 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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(c)
FF
Fe
i
x
Fig. 6 – Representação das forças mecânicas envolvidas.
e k iF F F= + (63)
2
2 2m 2
0
1 d xAB sen t kx M2 dt
ω = +µ
(64)
2. CAPÍTULO 2
(1)
( )tT∂
=∂θS Ri iSRL θ
(65)
onde:
( )S S
S S S
S S
cos t2I cos t3
4cos t3
ω + θ π = ω + θ −
π ω + θ −
Si (66)
( )R R
R R R
R R
cos t2I cos t3
4cos t3
ω + θ π = ω + θ −
π ω + θ −
Ri (67)
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SR
2 4cos cos cos3 3
4 2M cos cos cos3 3
2 4cos cos cos3 3
π π θ θ + θ + π π = θ + θ θ +
π π θ + θ + θ
SRL (68)
Levando as expressões (66), (67) e (68) na expressão (65), obtém-se:
_ _ _
SR S R S S S2 4T M I I cos t cos t cos t3 3
2 4cos cos cos3 3
4 2cos cos cos3 3
2 4cos cos cos3 3
π π = ω ω − ω − ⋅ π π θ θ + θ + ∂ π π ⋅ θ + θ θ + ∂θ π π θ + θ + θ
_
R
_
R
_
R
cos t
2cos t3
4cos t3
ω π ω −
π ω −
(69)
onde:
_
S S St tω = ω + θ (70)
_
R R Rt tω = ω + θ (71)
Multiplicando-se as duas últimas matrizes da equação (69) obtém-se:
_
R
_ _ _ _
SR S R S S S R
_
R
cos t
3 2 4 4T M I I cos t cos t cos t cos t2 3 3 3
2cos t3
θ + ω π π ∂ π = ω ω − ω − θ + ω + ∂θ π θ + ω +
(72)
A partir da expressão (72), obtém-se a expressão (73).
194 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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_ _ _ _
SR S R S R S R
_ _
S R
3 2 4T M I I cos t cos t cos t cos t2 3 3
4 2cos t cos t3 3
∂ π π = ω θ + ω + ω − θ + ω + + ∂θ π π + ω − θ + ω +
(73)
Desenvolvendo-se a expressão (73), obtém-se a expressão (74).
_ _
SR S R S R9T M I I cos t t4
∂ = ω − ω − θ ∂θ (74)
Assim:
_ _
SR S R S R9T M I I sen t t4
= −ω + ω + θ
(75)
Levando-se as expressões (70) e (71) na expressão (75), obtém-se:
( )SR S R S S R R9T M I I sen t t4
= −ω − θ + ω + θ + θ (76)
( )SR S R S S R R m9T M I I sen t t4
= −ω − θ + ω + θ + ω (77)
Mas,
m S Rt t t 0ω − ω + ω = (78)
Assim:
( )SR S R R S9T M I I sen4
= θ − θ (79)
A diferença (θR – θS) representa o defasamento entre as correntes do estator e
as do rotor. Seja ∆ = (θR – θS).
Assim:
SR S R9T M I I sen4
= ∆ (80)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 195
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Quando as correntes estiverem em fase o torque será nulo.
A título de exemplo vamos tomar uma máquina com:
IS = 10A
IR = 10A
MSR = 0,245H
∆ = (θR – θS) = 45o
sen ∆ = 0,866
Assim:
9T 0,265 10 10 0,8664
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (81)
T 51,63N m= ⋅ (82)
A máquina de dois pólos gira com velocidade próxima de 377rad/s. Assim a
potência desenvolvida pela máquina será:
mP T 51,63 377= ω = ⋅ (83)
P 19,47kW= (84)
3. CAPÍTULO 3
1)
196 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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v
R i
i i
1
3 2
LS
LS
R R
LS
+ +
- -v3 v2
Fig. 7 – Rotor trifásico com uma fase em aberto.
v = 380V
i1 = 0
i2 = -i3
0
2
2
1 1 12 2 2i 0
2 1 1i 1 i3 2 2
i i3 30
2 2
α
β
= − − − −
(85)
Assim:
0i i 0α= = (86)
2i 2 iβ = (87)
Os circuitos de seqüência 0 e α estão abertos. O circuito de seqüência β está
representado a seguir.
vβ
i
R LS
Sjω
β
S
Fig. 8 – Circuito de seqüência β.
3 2 2 3v v v v v v+ = ⇒ = − (88)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 197
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0 1
2
3
1 1 12 2 2v v
2 1 1v 1 v3 2 2
v v3 30
2 2
α
β
= − − −
(89)
( )2 3 2 32 3 3 1 1v v v v v v3 2 2 2 2β
= − = − =
(90)
Que é o valor eficaz.
( )S S Sv R j iβ β= + ω L (91)
Assim,
( )S S S
vi2 R jβ =
+ ω L (92)
Que é o valor eficaz.
( )2 2
S S S
i vi i2 R j2
β= ⇒ =+ ω L (93)
( )3
S S S
vi2 R j
= −+ ω L (94)
Assim:
( )
902 3
380i i 1,8 A2 1 j377 0, 28
= − = =+ ⋅
(95)
2)
198 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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i
v
1
1
LSLS
LS
RR
Rv
i
2v3v
+
+ +
- -
-+
-
3 2i
Fig. 9 – Reator trifásico do exercício 2.
2 3v v= (96)
1 2v v v− + = (97)
12v v3
= (98)
2 31v v v3
= = − (99)
Aplicando-se a transformada αβ0 obtém-se:
0v v 0β= = (100)
2v v3α = (101)
Assim:
0I I 0β= = (102)
S S S
v 2 vIZ 3 R j
αα
α
= =+ ω L (103)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 199
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Por outro lado:
1 0
2
3
1 1 02
i i2 1 1 3i i3 2 22i i
1 1 32 22
α
β
= −
− −
(104)
Assim:
12I I3 α= (105)
2II6α= − (106)
3II6α= − (107)
3) Foi estabelecido que:
0 0 0v Ri p i= + L (108)
v Ri p iα α α= + L (109)
v Ri p iβ β β= + L (110)
0
1 1 12 2 2v 50
2 1 1v 1 303 2 2
v 1003 30
2 2
α
β
= − − −
(111)
0v 103,92V= (112)
200 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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v 12,25Vα = − (113)
v 49,5Vβ = − (114)
Resolvendo-se as equações acima obtém-se:
(a)
00
vi 207,84AR
= = (115)
pois
0 L 2M 60 60 0= + = − =L (116)
(b)
( )S
R t5,55tvi 1 e 24,5 1 e A
R
−−α
α
= − = − −
L (117)
pois
S L M 60 30 90mH 0,09H= − = + = =L (118)
(c)
( )S
R t5,55tv
i 1 e 99 1 e AR
−β −
β
= − = − −
L (119)
As correntes nos enrolamentos são calculadas pelas seguintes expressões:
01
02
03
i2i i3 2
3 ii i2i3 2 22
3 ii i2i3 2 22
α
βα
βα
= +
= − +
= − −
(120)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 201
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Assim:
( )( )
( )
5,55t1
5,55t2
5,55t3
i 100 20e A
i 60 60e A
i 200 80e A
−
−
−
= +
= +
= −
(121)
Em regime permanente tem-se e-5,55t = 0.
Assim:
1
2
3
i 100Ai 60Ai 200A
==
= (122)
Estes resultados poderiam ser obtidos sem resolver as equações diferenciais.
Estas correntes são limitadas apenas pelas resistências.
Como explicar a existência de corrente nos enrolamentos quanto t=0?
4) Seja
( )( )( )
1
o2
o3
v V cos t
v V cos t 120
v V cos t 240
= ω − ∆
= ω − ∆ −
= ω − ∆ −
(123)
Como:
0
1 1 12 2 2v 50
2 1 1v 1 303 2 2
v 1003 30
2 2
α
β
= − − −
(124)
202 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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( )
( )
0v 0
3v V cos t23v Vsen t2
α
β
=
= ω − ∆
= ω − ∆
(125)
Os modelos dos circuitos de seqüência 0, α e β são os seguintes:
( )( )( )
0 0 0v R p i
v R p i
v R p iα α α
β β β
= +
= +
= +
LLL
(126)
0i 0= (127)
( ) ( )
( ) ( )
3R p i V cos t23R p i Vsen t2
α α
β β
+ = ω − ∆
+ = ω − ∆
L
L (128)
Resolvendo-se as equações diferenciais acima obtém-se:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t
t
3 Vi t cos t cos e2 Z
3 Vi t sen t sen e2 Z
−ζ
α
−ζ
β
= ω − ∆ − φ − ∆ + φ
= ω − ∆ − φ + ∆ + φ
(129)
onde:
2 2 2S
S
1 S
Z R
R
tgR
−
= + ω
ζ =
ωφ =
LL
L
(130)
As correntes nas fases do reator são representadas pelas expressões abaixo:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 203
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
01
02
03
i t2i t i t3 2
3 i ti t i t2i t3 2 22
3 i ti t i t2i t3 2 22
α
βα
βα
= +
= − +
= − −
(131)
Substituindo-se as correntes i0(t), iα(t) e iβ(t) nas expressões acima, obtém-se
as correntes de fase do reator durante o transitório.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t
1
to
2
to
3
Vi t cos t cos eZ
Vi t cos t 120 cos 60 eZ
Vi t cos t 120 cos 60 eZ
−ζ
−ζ
−ζ
= ω − ∆ − φ − ∆ + φ
= ω − ∆ − φ − + ∆ + φ +
= ω − ∆ − φ + + ∆ + φ −
(132)
4. CAPÍTULO 4
1)
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
1 S S
o2 S S
o3 S S
v t 2 v sen t
v t 2 v sen t 120
v t 2 v sen t 120
= ω + φ
= ω − + φ
= ω + + φ
(133)
(a) Para o referencial colocado no estator tem-se:
d
q
S S
S S
v v
v vα
β
=
= (134)
Assim:
204 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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0 1
d 2
q 3
S S
S S
S S
1 1 12 2 2v v
2 1 1v 1 v3 2 2
v v3 30
2 2
= − − −
(135)
Assim:
a.1)
( ) ( ) ( )( )0
0
o oS S S S S
S
2 1v 2 v sen t sen t 120 sen t 1203 2
v 0
= ω + φ + ω − + φ + ω + + φ
= (136)
a.2)
( ) ( ) ( )d
o oS S S S S
2 1 1v 2 v sen t sen t 120 sen t 1203 2 2
= ω + φ − ω − + φ − ω + + φ
(137)
60.000°
60.000°
vS
2
vS
3
vS
1
vS
α
Fig. 10 – Diagrama de fasores para o eixo direto.
( )dS S S
2 3v 2 v sen t3 2
= ω + φ (138)
( )dS S Sv 3 v sen t= ω + φ (139)
a.3) ( ) ( )q
o oS S S S
2 3 3v 2 v sen t 120 sen t 1203 2 2
= ω − + φ − ω + + φ
(140)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 205
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60°
vS3vS 2
vSβ
30°
30°
Fig. 11 – Diagrama de fasores para o eixo em quadratura.
Assim:
( )qS S Sv 3 v cos t= ω + φ (141)
b) Em seguida serão obtidas as tensões dSv e
qSv para o referencial colocado no campo
girante.
d
q
S Ss s
S Ss s
v vcos t sen tv vsen t cos t
α
β
ω − ω = ω ω
(142)
( )( )
d
q
S S Ss s
S s s S S
v 3 v sen tcos t sen tv sen t cos t 3 v cos t
ω + φω − ω = ω ω ω + φ
(143)
( ) ( )( )( ) ( )( )
d
d
d
S S s S s S
S S s S S s S S
S S
v 3 v cos t sen t sen t cos t
v 3 v cos t sen t cos sen cos t sen t cos t cos sen sen t
v 3 v sen
= ω ⋅ ω + φ − ω ω + φ
= ω ⋅ ω ⋅ φ + φ ⋅ ω − ω ω ⋅ φ − φ ⋅ ω
= φ
(144)
( ) ( )( )( ) ( )( )
q
q
q
S S s S s S
S S s S S s S S
S S
v 3 v sen t sen t cos t cos t
v 3 v sen t sen t cos sen cos t cos t cos t cos sen sen t
v 3 v cos
= ω ⋅ ω + φ + ω ⋅ ω + φ
= ω ⋅ ω ⋅ φ + φ ⋅ ω + ω ⋅ ω ⋅ φ − φ ⋅ ω
= φ
(145)
Seja:
0φ = (146)
206 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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Assim:
d
q
S
S S
v 0
v 3 v
=
= (147)
Visto por um observador colocado no campo girante, as tensões de PARK são
contínuas. A transformação de PARK é aplicada em cada intervalo, neles as tensões
de alimentação permanecem constantes. Era de se esperar portanto que as tensões
dSv e qSv também permanecessem constantes nesses intervalos. A Fig. 12 apresenta
as tensões transformadas.
2)
60o0 o 120o 180oVs1
Vs2
Vs0
2E/3
E/3
2E/3
E/3
Vsd
Vsq
π 20
π 20
E/2^1/2
-E/2^1/2
π
π
2E/6^1/2
E/6^1/2
Fig. 12 – Representação gráfica das formas de onda transformadas.
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 207
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6)
m 0
S m R
tθ = ω + θω = ω + ω
(148)
( )
( )( )
1
2
3
S S S
S S S
S S S
i I sen t
i I sen t 120
i I sen t 120
= ω + φ
= ω − ° + φ
= ω + ° + φ
(149)
( )
( )( )
1
2
3
R R R
R R R
R R R
i I sen t
i I sen t 120
i I sen t 120
= ω + ∆
= ω − ° + ∆
= ω + ° + ∆
(150)
Aplicando-se a transformação de PARK com referencial no estator obtém-se:
( )
( )
d
q
S S S
S S S
3i I sen t23i I cos t2
= ω + φ
= ω + φ
(151)
Pois:
d
q
S S
S S
i i
i iα
β
=
= (152)
( )
( )
R R R
R R R
3i I sen t23i I cos t2
α
β
= ω + ∆
= ω + ∆
(153)
mas,
d
q
R Rm m
R Rm m
i icos t sen ti isen t cos t
α
β
ω − ω = ω ω
(154)
Observar que o motor está girando no sentido horário e foi convencionado o
sentido anti-horário na obtenção das matrizes de transformação. Assim,
208 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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( ) ( )( ) ( )
d
q
R Rm m
R Rm m
i icos t sen ti isen t cos t
α
β
−ω − −ω = −ω −ω
(155)
( ) ( )( ) ( )
d d
q d
R Rm m
R m m R
i icos ω t sen ω t=
i -sen ω t cos ω t i
(156)
( ) ( )( )
( ) ( )( )
d
q
R R m R m R
R R m R m R
3i I cos t sen t sen t cos t2
3i I sen t sen t cos t cos t2
= ω ⋅ ω + ∆ + ω ⋅ ω + ∆
= − ω ⋅ ω + ∆ − ω ⋅ ω + ∆
(157)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )m R m R m R
m R m R m R
cos ω t sen ω t + sen ω t cos ω t + sen ω t +ω t +
cos ω t cos ω t + sen ω t sen ω t + cos ω t +ω t +
⋅ ∆ + ⋅ ∆ = ∆
− ⋅ ∆ − ⋅ ∆ = − ∆ (158)
Assim:
( )( )
( )( )
d
q
R R R m
R R R m
3i I sen t23i I cos t2
= ω + ω + ∆
= ω + ω + ∆
(159)
mas:
R m Sω + ω = ω (160)
Assim:
( )
( )
d
q
R R S
R R S
3i I sen t23i I cos t2
= ω + ∆
= ω + ∆
(161)
Em seguida será calculado o torque:
( )q d d qSR S R S RT m i i i i= − (162)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 209
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( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
SR S R S S S S
SR S R
3T m I I cos t sen t sen t cos t2
3T m I I sen2
= ω + φ ⋅ ω + ∆ − ω + φ ⋅ ω + ∆
= ∆ − φ (163)
7)
a)
d
q
S S
S S
i Icc i
i 0 iα
β
= =
= = (164)
O modelo para estas restrições e para o referencial colocado no campo girante
é o seguinte:
d d
d q
d d q
S S S
R R R R
SR S R R R R
v R i
0 R i n i
0 n m i n i R i
= = + θ = − θ − θ +
i
i i
L
L
(165)
O torque é dado pela expressão:
( )q d d qSR S R S RT nm i i i i= − (166)
Assim, em módulo:
qSR RT nm Icci= (167)
Resta-nos determinar a corrente qRi .
q d
SR RR R
R R
n m Icc ni iR R
θ θ= +
i iL (168)
q
d
R RR
R
n ii
Rθ
= −
iL
(169)
210 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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Assim:
q
q
R RSR RR
R R R
n in m Icc niR R R
− θθ θ= + ⋅
ii i LL (170)
q
SR RR 2
2 2 2R R
n m Icc RiR n
θ=
+ θ
i
iL
(171)
Levando-se a expressão de qRi na expressão do torque obtém-se:
22 2
SR R2
2 2 2R R
n m Icc RTR n
θ=
+ θ
i
iL
(172)
mas,
dS
S
vIcc
R= (173)
Assim:
d
2 22SR S R
22 2 2 2S R R
n m v RT
R R n
θ=
+ θ
i
iL
(174)
b)
d
2 22SR S R
2 2S 2 2 2
R R
n m v RTR
R n
∂ ∂ θ = ∂θ ∂θ + θ
i
iL
(175)
22 2
R2 2 22
2 2 2 2 2 2 2 2 2R R R R R R
1 2n 0R n R n R n
∂ θ θ = − = ∂θ + θ + θ + θ
i i
i i i
L
L L L (176)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 211
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Assim:
2 22 2 2 2 2R R R
22 2 2R R
R
R
R n 2n
R nRn
+ θ = θ
= θ
θ =
i i
i
i
L L
L
L
(177)
Está é a condição para o máximo torque.
c)
d
2 2RSR S R
R2
2 2 2RS R R2
R
Rn m v RT
RR R=
+
L
LL
(178)
d
2 2SR S
2R S
nm vT
2 R= L (179)
Esta expressão dá o torque máximo de frenagem.
9) Seja o modelo, sob a forma de componentes de PARK instantâneos, com referencial
no estator. Como o rotor está aberto, tem-se:
d qR Ri i 0= = (180)
Se o motor está em repouso, então os eixos d e q são desacoplados. Para
fazer o estudo será considerado então somente o eixo d. Assim:
d d d
d d
S S S S S
R SR S
v R i p i
v pm i
= + =
L (181)
Aplicando a transformação de Laplace obtém-se:
212 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
d d
d
d
d d
S S S S
SS
S S
R SR S
v s R s i s
v si s
R sv s sm i s
= +
=+
=
L
L (182)
Assim:
( ) ( )d
d
SR SR
S S
v sv s sm
R s=
+ L (183)
Seja:
( )
( )( )
1
2
3
S S S
S S S
S S S
v v sen t
v v sen t 120
v v sen t 120
= ω
= ω − °
= ω + °
(184)
Assim:
( )dS S S
3v v sen t2
= ω (185)
( ) ( )d
S SS S S2 2
S S S
3 3v v v2 s 2 s j s j
ω ω= =
+ ω + ω − ω (186)
Portanto:
( )( ) ( )
d
SRR S S
S SS S
S
m3 sv s v2 R s s j s j
= ω
+ + ω − ω
LL
(187)
Seja:
S
S S
R1=
ζ L (188)
Assim:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 213
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( ) ( ) S S
S SSS
s A B B1 s j s j1 ss s j s j
∗
= + ++ ω − ω ++ + ω − ω ζζ
(189)
Assim:
( ) ( ) S SS S
SS
2S S2
S
SS
SS
s A B B1 s j s j1 ss s j s j
1A1
1B12 j
1C12 j
∗
= + ++ ω − ω ++ + ω − ω ζζ
−=
ζ + ω ζ
=
− ω ζ
=
+ ω ζ
(190)
( )d
SRR S S
2S S SS S S S2
SS S S
m3 1 1 1 1 1 1v s v 12 s j s j1 1 1s 2 j 2 j
− = ω + + + ω − ω +ζ + ω − ω + ω ζζ ζ ζ
L (191)
Aplicando-se a transformação inversa de Laplace obtém-se:
S S
S S
j t j1
2SSS 2
SS
j t j2
2SSS 2
SS
1 S SS
S
1 1 1 e e As j 11 22 j
1 1 1 e e As j 11 22 j
tgR
− ω φ
ω − φ
−
= =+ ω
+ ω− ω ζζ
= =− ω
+ ω+ ω ζζ ω
φ =
L
(192)
Somando-se A1 e A2 obtém-se:
214 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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( ) ( )( )S S S Sj t j t3 1 2
2S2
S
1A A A e e12
ω −φ − ω −φ= + = ++ ω
ζ
(193)
Como:
( )jA jA1cos A e e2
−= + (194)
Assim:
( )3 S S2S2
S
1A cos t1
= ω − φ+ ω
ζ
(195)
Portanto:
( ) ( )S
d
1 tSR
R S S S S22SSS S 22
SS
m3 1 1v t v e cos t2 11
−ζ
− = ω + ω − φ + ωζ + ω ζζ
L (196)
( ) ( ) ( )S
d
1 tS
R S S SR S S2 2 2 2 2 2S S S S S S
R3 1v t v m e cos t2 R R
−ζ
− = ω + ω − φ + ω + ω L L
(197)
( ) ( ) S
d
1 tS S SR S
R S S2 2 2 2 2 2S S S S S S
v m R3v t cos t e2 R R
−ζ
ω = ω − φ − + ω + ω L L
(198)
Por outro lado:
( ) SS 2 2 2
S S S
RcosR
φ =+ ωL
(199)
Assim:
( ) ( ) S
d
1 tS S SR
R S S S2 2 2S S S
v m3v t cos t cos e2 R
−ζ
ω= ω − φ − φ + ω L
(200)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 215
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10)
q
d
vSd
ωm
Fig. 13 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.
qSi 0= (201)
O modelo de PARK, para referencial no estator, regime permanente,
velocidade constante e qSi 0= está representado a seguir.
( )
( )( )
d d d
q q
d d q
d d q
S S S S S S SR R
S S SR R
S SR S R S R R m R R
SR m S m R R R S R R
v R j i j m i
v j m i
0 j m i R j i i
0 m i i R j i
= + ω + ω
= ω = ω + + ω +ω = − ω −ω + + ω
L
L LL L
(202)
Vamos considerar:
a) RS ≈ 0
b) RR >> ωSLR
Assim:
d d d
q q
d d q
d d q
S S S m R
S m R
m S R R m R R
SR m S m R R R R
v jX i jX i
v jX i
0 jX i R i i
0 m i i R i
= +
= = + +ω = − ω −ω +
LL
(203)
( )m S1 sω = − ω (204)
216 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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Assim:
( )
( ) ( )
d d d
q q
d d q
d d q
S S S m R
S m R
m S R R R R
m S R R R R
v jX i jX i
v jX i
0 jX i R i 1 s X i
0 X 1 s i 1 s X i R i
= +
= = + + − = − − − − +
(205)
A idéia é empregar as expressões (205) para determinar a corrente qRi .
d d d d
d
S m R S m RS
S S S
v jX i v X ii
jX jX X−
= = − (206)
10)
q
d
vSd
ωm
Fig. 14 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.
qSi 0= (207)
O modelo de PARK, para referencial no estator, regime permanente,
velocidade constante e qSi 0= está representado a seguir.
( )
( )( )
d d d
q q
d d q
d d q
S S S S S S SR R
S S SR R
S SR S R S R R m R R
SR m S m R R R S R R
v R j i j m i
v j m i
0 j m i R j i i
0 m i i R j i
= + ω + ω
= ω = ω + + ω +ω = − ω −ω + + ω
L
L LL L
(208)
Vamos considerar:
c) RS ≈ 0
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 217
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d) RR >> ωSLR
Assim:
d d d
q q
d d q
d d q
S S S m R
S m R
m S R R m R R
SR m S m R R R R
v jX i jX i
v jX i
0 jX i R i i
0 m i i R i
= +
= = + +ω = − ω −ω +
LL
(209)
( )m S1 sω = − ω (210)
Assim:
( )
( ) ( )
d d d
q q
d d q
d d q
S S S m R
S m R
m S R R R R
m S R R R R
v jX i jX i
v jX i
0 jX i R i 1 s X i
0 X 1 s i 1 s X i R i
= +
= = + + − = − − − − +
(211)
A idéia é empregar as expressões (205) para determinar a corrente qRi .
d d d d
d
S m R S m RS
S S S
v jX i v X ii
jX jX X−
= = − (212)
Levando-se (212) na terceira expressão de (205) obtém-se:
( )
( )
( )
d d
d q
d d d q
d d q
S m Rm R R R R
S S
2m m
S R R R R RS S
2m m
S R R R RS S
v X i0 jX R i 1 s X i
jX X
X X0 v j i R i 1 s X iX X
X X0 v R j i 1 s X iX X
= − + + −
= − + + −
= + − + −
(213)
Levando-se (212) na quarta expressão de (205) obtém-se:
218 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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( ) ( )
( ) ( )
d d
d q
d
d q
S m Rm R R R R
S S
2S m
m R R R RS S
v X i0 X 1 s 1 s X i R i
jX X
v X0 X 1 s 1 s X i R ijX X
= − − − − − +
= − − + − − +
(214)
Isolando-se dRi na expressão final de (213) obtém-se:
( )
( ) ( )( )
d d q
d d q
qd
d
2m m
R R S R RS S
2R S m R m S S R R
S R Rm SR 2 2
R S m R S m
X XR j i v 1 s X iX X
R X jX i X v 1 s X X i
1 s X X iX vi
R X jX R X jX
− = − − −
− = − − −
−= − −
− −
(215)
Levando-se a última expressão de (215) na última expressão de (214) obtém-
se:
( ) ( )d
d q
2S m
m R R R RS S
v X0 X 1 s 1 s X i R ijX X
= − − + − − +
(216)
( ) ( ) ( )d d q
2m S m R S R R S R0 jX 1 s v 1 s X X X i R X i= − + − − + (217)
( ) ( ) ( ) ( )qd
d q
S R Rm S2m S m R S R S R2 2
R S m R S m
1 s X X iX v0 jX 1 s v 1 s X X X R X i
R X jX R X jX
− = − − − − + + − −
(218)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )qd
d q
S R Rm S2 2m S R S R m R S m R S2 2
R S m R S m
1 s X X iX v0 jX 1 s v R X i 1 s X X X 1 s X X X
R X jX R X jX
−= − + − − − − − −
− − (219)
Assim:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )d d q q
22 2 2 2m R S m S m R S m S R S R S m R m R S S R R0 jX 1 s R X jX v 1 s X X X X v R X R X jX i X X X 1 s X X i= − − − − − + − − − −
(220)
Assim:
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )q d
22 2 2 2R S R S m m R S S R R m R S m m R S m SR X R X jX X X X 1 s X X i jX 1 s R X jX 1 s X X X X v− − − − = − − − − − −
(221)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 219
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( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )q d
22 2 2 2R S R S m m R S S R R m R S m m R S m SR X R X jX X X X 1 s X X i jX 1 s R X jX 1 s X X X X v− − − − = − − − − − −
(222)
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )q d
22 2 2 2R S R S m m R S S R R m R S m m R S m SR X R X jX X X X 1 s X X i 1 s X X X X jX 1 s R X jX v− − − − = − − − − −
(223)
Portanto:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )q d
2 2m R S m m R S m
R S22 2R S R S m m R S S R
1 s X X X X jX 1 s R X jXi v
R X R X jX X X X 1 s X X
− − − − −=
− − − − (224)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )q d
3 3m R S m m R S m
R S22 2R S R S m m R S S R
1 s X 1 s X X X 1 s jX R X 1 s Xi v
R X R X jX X X X 1 s X X
− − − − − − −=
− − − − (225)
( ) ( )( ) ( )( )q d
R S m m R SR S22 2
R S R S m m R S S R
1 s X X X 1 s jX R Xi v
R X R X jX X X X 1 s X X
− − − −=
− − − − (226)
( ) ( )( ) ( )q d
R m m RR S2 22 2 2 2
R S m R R m R S
1 s X X 1 s jX Ri v
R X jX R 1 s X X 1 s X X
− − − −=
− − − + − (227)
Assim:
q qS m Rv jX i= (228)
( ) ( )( ) ( )q d
2 2R m m R
S S2 22 2 2 2R S m R R m R S
j 1 s X X 1 s X Rv v
R X jX R 1 s X X 1 s X X
− − + −=
− − − + − (229)
( ) ( )( ) ( )q d
2m R m
S S2 22 2 2 2R S m R R m R S
j 1 s X X jXv v
R X jX R 1 s X X 1 s X X
− − +=
− − − + − (230)
Se RR é suficientemente grande, pode-se adotar:
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2R m S R R R S m R S R m1 s X X X X R R X jX R X jR X− − − − ≈ − + (231)
Assim:
220 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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( ) ( )q d
2m R m
S S2 2R S R m
j 1 s X X jXv v
R X jR X− − −
=−
(232)
Tomando os módulos, obtém-se:
( )q dS Sv 1 s Kv= − (233)
Sendo:
( )2m R m
2 2R S R m
jX X jXK
R X jR X− +
=−
(234)
mas:
( ) m
S
1 s ω− =
ω (235)
Assim:
d
q
SS m
S
Kvv = ω
ω (236)
Deste modo, para as condições adotadas, em que RS ≈ 0 e RR é grande em
relação às indutâncias, a tensão gerada no enrolamento aberto é proporcional à
velocidade.
5. CAPÍTULO V
3) Seja
S S S
S S S
i 2 I cos t
i 2 I sen tα
β
= ω
= ω (237)
Assim, para o referencial colocado no campo girante, obtém-se:
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 221
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d
q
S SS S
S SS S
i icos t sen ti isen t cos t
α
β
ω ω = − ω ω
(238)
( )
( )d
q
2 2S S S S S
S S S S S S
i 2 I cos t sen t 2 I
i 2 I sen tcos t sen tcos t 0
= ω + ω =
= − ω ω + ω ω = (239)
S S
S
i 1 j1 2 Ii 1 j2 0
+
−
= −
(240)
S S
S S
i I
i I+
−
=
= (241)
Consideremos o modelo do motor, sob a forma de componentes simétricas
instantâneas, para o referencial no campo girante:
( )( ) ( )
( ) ( )( )S S S S S SR S R
SR S m S R R S m R
v R p j i m p j i
0 m p j j i R p j j i+ + +
+ +
= + + ω + + ω
= + ω − ω + + + ω − ω
LL
(242)
Em regime permanente, tem-se _
R Ri I+
= .
Seja
S m Rj j jω − ω = ω (243)
a pulsação das correntes do rotor.
Assim a equação do rotor será:
( ) ( )( )_
SR R S R R R R0 m p j I R p j I= + ω + + + ωL (244)
As correntes IS e _
RI são constantes. Portanto:
_
S RpI pI 0= = (245)
Assim:
222 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
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( )
( )
_
R SR S R R R R
_R SR
R SR R R
2_ R SR R R SR RR S2 2 2
R R R
0 j m I R j Ij mI I
R j
m j m RI I
R
= ω + + ω
ω= −
+ ω
ω + ω= −
+ω
L
LL
L
(246)
Assim:
( )
( )
2R SR R R SR R
R S2 2 2R R R
R R
2R SR R R SR R
R S2 2 2R R R
m j m Ri I
R
i i
m j m Ri I
R
+
− +
−
∗
ω + ω= −
+ω
=
ω − ω= −
+ω
LL
LL
(247)
Em seguida será calculado o torque.
( )+ -SR S ST = 2nm Im i i (248)
2R SR R R SR R
SR 2 2 2R R R
ω m + jω m RT = 2nm Im -
R +ω
LL (249)
2
2R R SRS2 2 2
R R R
2nR mT IR
ω=
+ω L (250)
Este é o torque instantâneo. É constante ao longo do tempo. Portanto o torque
médio é igual ao torque instantâneo.
Em seguida será obtida a tensão Sv+.
( )+ + +S S S S S R SR Rv = R + jω i + jω m iL (251)
( )+
2 2R SR
S S S S S SR R R
ω mv = R + jω I + I
R + jωL L (252)
( )+
2 2 3 2R SR R R SR R
S S S S S SR R R
ω m R - jω mv = R + jω I + I
R +ωLL L (253)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 223
Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com
+
2 2 3 2R SR R R SR R
S S S S SR R R R R R
ω m R ω mv = R + + j ω - I
R +ω R +ω
LLL L (254)
-
2 2 3 2R SR R R SR R
S S S S SR R R R R R
ω m R ω mv = R + - j ω - IR +ω R +ω
LLL L (255)
( )d + -S S S1v = v v2
+ (256)
( )q + -S S Sjv = - v v2
− (257)
Assim:
d
2 2R SR R
S S SR R R
ω m Rv = 2 R + IR +ω
L (258)
q
3 2R SR R
S S S SR R R
ω mv = 2 ω - IR +ω
LL L (259)
Por outro lado:
d qS S S S Sv v cos t v sen t
α= ω − ω (260)
Assim:
( )
d q
q
d
2 2S S S S
S
S
v v v sen t
vtg
v
α= + ω −φ
φ = (261)
4) Seja o modelo sob a forma de componentes simétricas instantâneas, com referencial
colocado no estator
( ) ( )
SS S SRS
RSR m R R m
iR p pmvim p j R p j0
++
+
+ = − ω + − ω
LL (262)
224 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com
Para os enrolamentos rotóricos abertos obtém-se
( )S S S Sv R p i+ +
= + L (263)
d
q
S S
S S
v 3Vcos t
v 3Vsen t
= ω
= ω (264)
( )d qS S S1v v jv2+
= + (265)
Assim:
Sj tS
3v Ve2+
ω= (266)
( ) Sj tS S S
3R p i Ve2+
ω+ =L (267)
Seja:
0Si 0+
= (268)
e aplicando a transformada de Laplace
( ) ( )S S Ss
3 VR s i s2 s j+
+ =− ω
L (269)
( ) ( ) ( )SS S s
3 1i s V2 R s s j+
=+ − ωL
(270)
( )( )
SS
sS
S
S S
3 V 1i s2 1s s j
R1
+=
+ − ω ζ
=ζ
L
L
(271)
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 225
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( ) s
sSS
1 A B1 s j1 ss s j
= +− ω ++ − ω ζζ
(272)
s
S
sS
1A1 j
1B1 j
= −
+ ω ζ
=
+ ω ζ
(273)
( )SS s
sSS
3 V 1 1 1i s 12 s j1 sj+
= − +
− ω ++ ω ζζ
L (274)
Encontrando-se a transformada inversa de Laplace, obtém-se:
( ) ( )s S
1 tj t
SS s S
3 1i t V e e2 R j+
−ω ζ
= − + ω L
(275)
Após o transitório, tem-se:
( ) ( )sj t
SS s S
3 1i t V e2 R j+
ω=+ ωL
(276)
Assim:
( ) ( )1S sS s S
1i t 2Vcos tR j
= ω+ ωL
(277)
As correntes ( )2Si t e ( )
3Si t são defasadas em relação à ( )1Si t de 120o e 240o.