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����������� ���������� ���� ���
� � ���� ���� �� ��� �� � �� � ���
Técnica de estimativa de parâmetros nos domínios da freqüência e do tempo: Aplicação em materiais condutores e não-condutores
Gilmar GuimarãesValério L. Borges
Sandro M. M. Lima e Silva
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OBJETIVO
�Estimação simultânea da difusividade térmica e condutividade térmica
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MATERIAIS
� CONDUTORES
� NÃO CONDUTORES
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UFU
( ) ( )( ) ( ) )(
)(
1
21
2)()(
f
f
ff
fTfTfhf
XY
=+
−==
φφΖ
Não condutor
Lx
(t)
(t)
sample
X
Y
system
φφφφ 1
φφφφ 2
1
2
(t)
(t)
θθθθ
θθθθ
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UFU Fundamentos
� Uma minimização de uma função baseada no quadrado da diferença entre o fator de fase experimental
� e numérico � no domínio � da freqüência � para determinar a difusividade térmica
� Outra função objetiva, baseada nos mínimos quadrados do módulo da resposta em freqüência.
UFU
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)()(
1)(
21
21
fXfY
AB
fZ =++=
−+
=∆Θ
Φ=�
θθφφ
�∞
=��
���
�
××= −−
1
4)(
222 /)12(
nLt LtneZ απ
λα
���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4
Resposta em freqüência
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( ) ( ) ( ) ( )��∞
=
∞
= +×−
+×=
122
122 2
22
)(n nn n
n
fAfB
jfA
ABfZt π
ππ
( )L
BLnAn λααπ 4
/12 222 =−=
���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4
Resposta em freqüência
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���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4
ϕ t t tZ Z=arctan Im( ) / Re( )
( ) ( ) �
��
++−= � �
∞
=
∞
=1 12222 22
12arctan /
n n
n
n jAnA
jAf
πππ
Função exclusiva de αααα
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� � � � � �� �� �� � � � �� � � � �
�� ������ �������
�� � ���� ����� ��� !�" �� � �
# ��������� �� ���" ��� $ �%�& � ��
� ���� ' �� �� !�" �� ����� � � � �
SOLUÇÃO
� � ���� � !�" �� � � ����" ����� ��� ������ ��
UFU
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� � ���� �� !�" �� � �� ����" ����� ���
� ������ ��UFU
Τ1(t) φ1(t)
Isolated surface
Isolated surface
c b S1
Τ2(t)
y
x z
a
( ) ( )( ) )(
)(
1
21)()(ff
f
fTfTfhf
XY=
−==Ζ
φ
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sistema entrada/saída
UFU
( ) ( )( ) )(
)(
1
21)()(ff
f
fTfTfhf
XY=
−==Ζ
φ
X Y
system
entrada fluxo de calor imposto na superficiefrontal
saída diferença de temperatura entre dois pontos da superfície
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EQUACAO DA DIFUSAO DE CALOR
UFU
tT
z
T
y
T
x
T∂∂=
∂
∂+∂
∂+∂
∂α1
2
2
2
2
2
2
condição inicial
( ) ( )
( )( )120
11
,,0
0,0
SzxSzxSatyT
zzxxSattyT
y
HHby
∉∈=∂∂−
≤≤≤≤=∂∂−
=
=
λ
φλ
00
=∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂
===== bycyoyaxx zT
xT
yT
xT
xT
( ) 00,,, TzyxT =condições de contorno
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Modelo térmico equivalenteUFU
( ) � �= �
�
��
�
−= =
t
Sby dtdStrtGt
0)(),'/,(, 1
'
''
ττφτ
λαθ rr
�∞
+ −=0
1 )()()( τφτθ dttGt
)()()( 1 ffGf φθ +=
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UFU Modelo térmico equivalente
)()()( 1 ffGf φθ +=
)()()( 111 ffGf φθ +=
)()()( 122 ffGf φθ +=
Para dois pontos diferentes
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Modelo térmico equivalenteUFU
)()()()( 11221 ffGff φθθ +=−
)()()()()()( 121121 ffGffGff φφθθ ++ −=−
[ ] )()()()()( 12121 ffGfGff φθθ ++ −=−
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Modelo térmico equivalenteUFU
[ ] '),,,(),,,(
)()(
'' 222111
12
dstzyxGtzyxG
thtG
byS =
+
� −−−
=−=−
ττλα
ττ
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Modelo térmico equivalenteUFU
)()()()( 11221 ffGff φθθ +=−
)()(12 ττ −=−+ thtG
Uma vez que os dados experimentais são obtidos discretamente, a transformada de Fourier numérica –FFT é usada.
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UFU Função resposta em frequência
),()()(1
)(2)(1 λαφ
θθfunçãofH
f
ff==
−
)()()()( fjefHfHf ϕ−==Ζ
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Estimaçao da Difusividade Térmica: Domínio da Frequência
� A idéia básica aqui é a observação que o atraso entre a temperatura experimental e a calculada éuma função exclusiva da difusividade térmica.
� O fator de fase is somente uma função da difusividade térmica
UFU
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( )�=
−=Nf
itep iiS
1
2)()( ϕϕ
Funçao objetivo a ser minimizadaUFU
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Estimativa da CondutividadeTérmica:
Domínio do tempo� Uma vez que o valor da difusividade térmica é obtido,
uma função objetivo baseada na função erro quadrático de temperatura pode ser usada para estimar a condutividade térmica.
� Portanto, a variável λλλλ será o parâmetro que minimizará a função, Smq baseada na diferença entre as temperaturas experimentais e calculadas.
UFU
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Funçao objetivo a ser minimizadaUFU
( ) ( )[ ]� �= =
−=s
j
n
itemq jijiS
1 1
2,, θθ
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Problemas adicionais
�Resistência de contato térmica
�Baixos gradientes térmicos
Embora eles não representem dificuldadeem materiais não metálicos,devem ser considerados em materiais condutores
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termopar resistência elétrica e transdutor
φφφφ1111((((t))))
ΤΤΤΤ1111((((t))))
ΤΤΤΤ2222((((t))))
ΤΤΤΤ1111((((t))))
ΤΤΤΤ2222((((t)))) φφφφ1111((((t))))
T(x,y,z,t)
y
x z
a) b)
O uso de um modelo 3D-transiente permite otimizar o aparato experimental e escolher as melhores localizações dos sensores de temperatura e fluxo de calor.
![Page 25: Técnica de estimativa de parâmetros nos domínios da ... · Uma vez que o valor da difusividade térmica é obtido, uma função objetivo baseada na função erro ... p Final S](https://reader030.vdocuments.com.br/reader030/viewer/2022021808/5c4a15d793f3c3143644a626/html5/thumbnails/25.jpg)
Análise do Gradiente de Temperatura
![Page 26: Técnica de estimativa de parâmetros nos domínios da ... · Uma vez que o valor da difusividade térmica é obtido, uma função objetivo baseada na função erro ... p Final S](https://reader030.vdocuments.com.br/reader030/viewer/2022021808/5c4a15d793f3c3143644a626/html5/thumbnails/26.jpg)
Evolução da TemperaturaUFU
0 100 200 300time [s]
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
tem
pera
ture
[ºC
]
T2
T1
0 200 400 600time [s]
20
23
25
28
30
33
35
38
40
tem
pera
ture
[ºC
]
T1
T2
para amostra de AISI304. a) 1D e b) 3D
a) b)
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Diferença de TemperatuaUFU
0 100 200 300time (s)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 200 400 600time [s]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∆θ para AISI304: a) 1D b) 3D.
∆θ [0C]∆θ [0C]
![Page 28: Técnica de estimativa de parâmetros nos domínios da ... · Uma vez que o valor da difusividade térmica é obtido, uma função objetivo baseada na função erro ... p Final S](https://reader030.vdocuments.com.br/reader030/viewer/2022021808/5c4a15d793f3c3143644a626/html5/thumbnails/28.jpg)
H ea t flu x in p u t
Temperatura espacial em amostras condutoras finas
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ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Incertezas nas
estimações das propriedades
baixos valores nos sinais de temperatura e fluxo de calor
dependência linear nos coeficientes
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ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
0 10 20 30 40 50 60time (s)
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25se
nsiti
vity
coe
ficie
ntλ
λα
αλα ∂
∂=∂∂= T
TS
TT
S TT ,, ,
temperatura
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DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQUÊNCIA
ESTIMAÇÃO EXCLUSIVA PARA CADAPROPRIEDADE
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ANALISE DE SENSIBILIDADE
modelos 1D e 3D - fator de fase
0.000 0.003 0.005 0.008 0.010frequency (Hz)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20se
nsiti
vity
coe
ficie
nt,
3D
1D
αϕ
ϕα
αϕ ∂∂
=,S
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Influência da condutividade térmica
no fator de fase
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20frequency (Hz)
-0.010
-0.005
0.000
0.005
0.010
sens
itivi
ty c
oefic
ient
, 1D
3D
,, λ
ϕϕλ
λϕ ∂∂=S
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relacionada à AMPLITUDE dos sinais de X e Y.
α
Uma importante característica da técnica é a
baixa sensibilidade de αααα
O valor estimado da difusividade térmica éINSENSÍVEL a erros sistemáticos (calibração dos transdutores de fluxo de calor ou termopares)
![Page 35: Técnica de estimativa de parâmetros nos domínios da ... · Uma vez que o valor da difusividade térmica é obtido, uma função objetivo baseada na função erro ... p Final S](https://reader030.vdocuments.com.br/reader030/viewer/2022021808/5c4a15d793f3c3143644a626/html5/thumbnails/35.jpg)
UFU Fator de fase sujeito a sinais de
entrada/saída originais e calibrados
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008frequency (Hz)
-1.40
-1.20
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00ph
ase
[rd]
calibrated data
original data
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UFU Módulo de Z para sinais originais e
calibrados de entrada/saída
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008frequency (Hz)
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
calibrated data
original data
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UFU
139
65
10
Sample
Sample
Sample
Thermocouple mple
53
Insulating material Electrical resistance
Heat flux transducer
10
Sample
dimensions in mm
symmetry line
Insulating material
65
APARATOEXPERIMENTAL
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UFU RESULTADOS
Dados estatísticos
Valores estimados
Initial value Initial Sp Final Sp σ (m2/s)
α [m2/s] 1.0 e-06 20 1.16e-03 4.0e-08
λ [W/mK] 10.0 14700 18.3 3.1e-01
Thermal properties This work Ref.[13,14] Error (%)
αααα [m2/s] 3.762 3.82 1.54
λλλλ [W/mK] 14.64 14.90 1.77
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UFU
0 50 100 150 200 250 300time [s]
0
2
4
6
8
10
12
tem
pera
ture
[ºC
]
θt1
θt2
θe1
θe2
TemperaturaTeórica e experimental
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CONCLUSÕESExcelente concordância entre valores deste método e
resultados da literatura (menores que 2%).
� resíduos situados na faixa da incerteza de
medição de termopares ±±±± 0.3 K.
Método potencial para a estimação de propriedades de materiais em forma complexa como (ferramentas de
corte).