Educação Matemática: Oficinas Didáticas com GeoGebra – 2012
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Sumário
A Interface do GeoGebra .......................................................................................................2
O menu do GeoGebra ............................................................................................................3
Ferramentas de construção ..................................................................................................4
LIÇÃO 1: Polígonos e ângulos ..............................................................................................7
LIÇÃO 2: Retas perpendiculares e paralelas......................................................................11
LIÇÃO 3: Construindo gráficos............................................................................................18
LIÇÃO 4: Construção de quadriláteros...............................................................................27
LIÇÃO 5: Transformações geométricas ...........................................................................28
LIÇÃO 6: Estudo da reta ......................................................................................................33
Elaborando atividades .........................................................................................................35
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A interface do GeoGebra A interface básica do GeoGebra é dividida em três seções:
campo de entrada;
janela de álgebra;
janela gráfica.
JANELA GRÁFICA: Visualização e construção dos
objetos e gráficos de funções.
JANELA DE ÁLGEBRA: Visualização e edição de todos os objetos e funções criadas. São necessários apenas dois cliques na equação para editá-la.
CAMPO DE ENTRADA: Criação de novos objetos, equações e funções. Por exemplo: Construa o gráfico de y = -3x² + 2x + 3 Digite: “y=-3x^2+2x+3” ou “y=-3*x^2+2*x+3” e tecle “enter”.
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O menu do GeoGebra
Arquivo: Exibir
Opções Editar:
Ferramentas:
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Janela:
Ajuda
Ferramentas de construção
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1
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1) Esconda os eixos, porque eles não serão necessários agora:
No menu Exibir, clique no botão Eixos.
2) Vá para as ferramentas de construção: selecione a ferramenta Polígono.
3) Na janela gráfica: criar um triângulo, selecionando três pontos que serão os vértices do
polígono. (Lembre-se de clicar no primeiro ponto novamente para fechar o polígono)
4) Meça os ângulos internos: Vá para as ferramentas de construção e selecione a ferramenta
Ângulo. Selecione os três vértices do sentido anti-horário (o vértice do ângulo medido deve
ser o segundo selecionado).
Lição 1: Polígonos e Ângulos
Construção de um triângulo e medição da soma dos ângulos internos
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5) Calcular a soma dos ângulos internos
Vá para o campo de entrada e digite: + + (depois tecle “enter”)
Como não há , e no teclado, você tem que selecioná-los na lista do lado direito do
campo de entrada:
6) A soma dos ângulos (que é de 180°) aparecerá na janela de álgebra.
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7) A pergunta que pode surgir é se este é um caso especial ou é sempre verdade?
Vá para as ferramentas de construção e selecione a Mover.
Arraste os vértices (A, B e C) do triângulo. O GeoGebra irá medir os ângulos de imediato e
também atualizar a soma dos ângulos internos. (É importante salientar que a simples
movimentação dos vértices não representa uma prova matemática para a soma dos ângulos
internos do triângulo)
8) Para salvar a construção: selecione o menu Arquivo e clique no botão Gravar.
Grave o arquivo da seguinte forma: polígono1_seunome.ggb
1) Esconda os eixos: No menu Exibir, clique no botão Eixos.
Construção de um polígono regular
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2) Vá para as ferramentas de construção: selecione a ferramenta Polígono Regular.
3) Crie um triângulo equilátero, selecionando os dois pontos de base. Uma janela será aberta:
digite o número de vértices (triângulo 3, quadrado 4, pentágono regular 5) e tecle “enter”.
4) Meça os ângulos internos: Vá às ferramentas de construção e selecione a ferramenta
Ângulo. Selecione os três vértices do sentido anti-horário (o vértice do ângulo medido deve
ser o segundo selecionado).
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5) Repita os passos 1 ao 4 para a construção de um quadrado, de um pentágono regular etc.
6) Grave o arquivo da seguinte forma: polígono2_seunome.ggb
1) Construa um segmento de reta: use a ferramenta segmento definido por Dois Pontos.
Lição 2: Retas Perpendiculares
e Paralelas
Construção do ponto médio de um segmento de reta
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2) Construa o ponto médio do segmento de reta: use a ferramenta Ponto Médio ou Centro.
3) Grave o arquivo da seguinte forma: pontomedio_seunome.ggb
1) Construa um segmento de reta: use a ferramenta segmento definido por Dois Pontos.
2) Construa um ponto que pertença ao segmento de reta: selecione a ferramenta Novo Ponto e
clique sobre o segmento de reta.
Construção de uma reta perpendicular a uma reta conhecida através de um determinado
ponto
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3) Construa uma reta perpendicular: selecione a ferramenta Reta Perpendicular e clique no
ponto e no segmento de reta.
4) Grave o arquivo da seguinte forma: perpendicular_seunome.ggb
1) Construa um segmento de reta: use a ferramenta segmento definido por Dois Pontos.
Construção de uma reta paralela a uma reta conhecida através de um determinado ponto
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2) Construa um ponto que não pertença ao segmento de reta: selecione a ferramenta Novo
Ponto e clique sobre o segmento de reta.
3) Construa uma reta paralela: selecione a ferramenta Reta Paralela e clique no ponto e no
segmento de reta.
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4) Grave o arquivo da seguinte forma: paralela_seunome.ggb
1) Construa um segmento de reta: use a ferramenta segmento definido por Dois Pontos.
Construção da mediatriz de um segmento de reta
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2) Construa a mediatriz do segmento de reta: selecione a ferramenta Mediatriz e clique nos dois
pontos extremos do segmento de reta.
3) Grave o arquivo da seguinte forma: mediatriz_seunome.ggb
1) Construa dois segmentos de reta consecutivos: use a ferramenta segmento definido por
Dois Pontos.
Construção da bissetriz de um ângulo
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2) Construa a bissetriz: selecione a ferramenta Bissetriz e clique nos três pontos do ângulo
formado pelos dois segmentos de reta.
4) Grave o arquivo da seguinte forma: bissetriz_seunome.ggb
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É possível criar e modificar coordenadas e equações algébricas usando o campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra.
1) Clique no campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra.
2) Use o teclado e os menus (ao lado do campo de entrada) para digitar as equações. Tecle
“enter” ao final de cada equação digitada.
Lição 3: Construindo Gráficos
Construção dos gráficos de:
a) 623 yx
b) 643 2 xxy
c) 25323 22 yyxx
d) 32
3
xy
e) 13.2 2 xy
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É possível criar e modificar as equações trigonométricas usando o campo de entrada na parte
inferior da janela do GeoGebra. Você pode usar medida em radianos ou graus. O modo padrão é
medida em radianos.
3) Grave o arquivo da seguinte forma: graficco1_seunome.ggb
1) Deixe os eixos aparecerem na janela gráfica.
2) Clique no campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra.
3) Use o teclado e os menus (ao lado do campo de entrada) para digitar as equações. Tecle
“enter” ao final de cada equação digitada.
Para obter o gráfico de y = sen x, digite:
Construção de um gráfico trigonométrico (medidas em radianos)
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4) Grave o arquivo da seguinte forma: gráfico2_seunome.ggb
1) Deixe os eixos aparecerem na janela gráfica.
2) Posicione o cursor sobre o eixo x. Aperte o botão direito do mouse e selecione a opção
Propriedades.
Construção de um gráfico trigonométrico (medidas em graus)
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3) A seguinte janela de visualização será exibida:
Na opção Unidade selecione Graus (°):
Ajuste o mínimo e o máximo valores de x:
Altere a distância entre os valores do eixo x:
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4) Feche a janela de visualização e clique no campo de entrada na parte inferior da janela do
GeoGebra.
5) Use o teclado e os menus (ao lado do campo de entrada) para digitar a equação y=sen x,
com x em graus:
6) Tecle “enter”.
7) É possível modificar a aparência do gráfico: Clique com o botão direito do mouse sobre o
gráfico e selecione Propriedades.
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Uma nova janela será exibida:
Clique na guia Cor e escolha qualquer cor.
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Clique na guia Estilo e selecione a espessura da linha e o estilo.
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8) Feche a janela.
9) Grave o arquivo da seguinte forma: gráfico3_seunome.ggb
10) Inicie um novo arquivo e faça os procedimentos anteriores para construir os gráficos
trigonométricos, com x em graus, de:
a) 1cos2)( xxf b) )30()( xtgxg
Atenção no momento de digitar as funções no campo de entrada:
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10) Para adicionar uma malha no fundo como na imagem anterior, clique com o botão direito do
mouse na tela e selecione Malha.
11) Grave o arquivo da seguinte forma: gráfico4_seunome.ggb
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Usando Cursores para Transformar os Gráficos
1) Abaixo estão os passos necessários para a construção de quadrado:
I – Construir um segmento AB.
II – Construir a reta perpendicular ao segmento AB pelo ponto A.
III – Construir o círculo com centro em A passando pelo ponto B.
IV – Construir o ponto de intersecção da reta perpendicular e o círculo.
V – Nomear os pontos obtidos, I (inferior) e D (superior).
VI – Construir a paralela ao segmento AB pelo ponto S.
VII – Construir o círculo com centro em S passando pelo ponto A.
VIII – Nomear os dois pontos obtidos, E (esquerda) e C (direita).
IX – Construir os segmentos AD, BC e CD.
X – Destacar o quadrado com uma linha mais espessa.
XI – Esconder todas as linhas de construção.
Construa um quadrado utilizando os passos acima.
2) Movimente o quadrado e reflita:
Quais pontos podem ser movimentados? Por quê?
A figura construída é realmente um quadrado? Qual justificativa geométrica de construção
garante isso?
3) Grave o arquivo da seguinte forma: quadrado_seunome.ggb
Lição 4: Construção de
quadriláteros
Quadrado
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ATIVIDADES:
1) Construa um paralelogramo, sendo que, ao movimentar a figura construída os lados opostos
permaneçam paralelos, mas os ângulos internos do quadrilátero não sejam necessariamente ângulos
retos.
Insira um texto na janela gráfica com os passos utilizados para a construção.
Grave o arquivo da seguinte forma: paralelogramo_seunome.ggb
2) Construa um retângulo, sendo que, ao movimentar a figura construída os ângulos internos do
quadrilátero sejam necessariamente ângulos retos.
Insira um texto na janela gráfica com os passos utilizados para a construção.
Grave o arquivo da seguinte forma: retangulo_seunome.ggb
É possível fazer todas as transformações geométricas básicas no GeoGebra. É possível encontrar
todas as funções de transformação ao clicar no terceiro ícone da esquerda nas ferramentas de
construção.
Lição 5: Transformações
Geométricas
Construção de uma reflexão no eixo x
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Exemplo: Determinar as coordenadas da imagem de A (3, 2) se A é refletido no eixo x.
1) Selecione Exibir Malha, a fim de mostrar a malha.
2) Digite: (3,2) no campo de entrada e tecle “enter”.
3) Selecione Reflexão com Relação a uma Reta.
4) Clique no ponto (3, 2) e no eixo x. O GeoGebra informará as instruções necessárias ao lado
direito da caixa de ferramentas.
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5) Grave o arquivo da seguinte forma: reflexao1_seunome.ggb
Exemplo: Determinar as coordenadas da imagem de A (3, 2) se A for rotacionado em relação
à origem no sentido anti-horário em 90°.
1) Selecione Exibir Malha, a fim de mostrar a malha.
2) Digite: (3,2) no campo de entrada e tecle “enter”.
3) Digite: (0,0) no campo de entrada e tecle “enter”.
Rotação de um ponto
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4) Selecione Reflexão com Relação a um Ponto. Siga as instruções da mensagem que
aparecerão ao lado direito da caixa de ferramentas.
A seguinte janela será exibida:
5) Digite 90 e selecione o sinal de grau (°). Selecione anti-horário e tecle “enter”.
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6) Grave o arquivo da seguinte forma: rotacao_seunome.ggb
ATIVIDADE:
1) Construa um polígono qualquer no 1º quadrante.
Faça um polígono simétrico em relação ao eixo y.
Faça uma rotação do polígono em relação à origem, com um giro de 270° no sentido horário.
Movimento os vértices do polígono inicial e verifique o que ocorre.
Modifique o quadrante do polígono inicial e verifique o que ocorre.
Altere as propriedades dos polígonos (cores e espessuras distintas).
Grave o arquivo da seguinte forma: simetria_seunome.ggb
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1) Exiba os eixos e a malha.
2) Selecione a opção Seletor nas ferramentas de construção e clique na janela geométrica.
Nomeie como “a” e defina o intervalo de -15 a +15.
3) Faça um novo seletor, nomeando-o de “b” e defina o intervalo de -15 a +15.
4) Digite o seguinte no campo de entrada: y=a*x+b
5) Movimente os seletores “a” e “b”, explorando os diferentes tipos de gráficos.
ATIVIDADE:
Responda as questões abaixo no próprio arquivo do GeoGebra. Para isso utilize a ferramenta
“INSERIR TEXTO”.
1) Quais são os pontos de intersecção da reta com os eixos x e y?
2) Movimente apenas o seletor “a” e explique seu papel na função “y = a*x + b”.
3) Movimente apenas o seletor “b” explique seu papel na função “y = a*x + b”.
Grave o arquivo da seguinte forma: afim_seunome.ggb
Lição 6: Estudo da reta
Ferramenta seletor e a função afim
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1) Exiba os eixos e a malha.
2) Digite o seguinte no campo de entrada: f(x) = 2x + 1
3) Modifique a cor e a espessura do gráfico de f(x) = 2x + 1
4) Digite o seguinte no campo de entrada: g(x) = -3x + 11
5) Modifique a cor e a espessura do gráfico de g(x) = -3x + 11
ATIVIDADE:
Responda as questões abaixo no próprio arquivo do GeoGebra. Para isso utilize a ferramenta
“INSERIR TEXTO”.
1) Qual é o ponto de intersecção das duas retas?
2) Apenas observando o gráfico, determine os valores de x que satisfazem:
a) 2x + 1 = 0
b) -3x + 11 = 0
c) 2x + 1 = -3x + 11
d) 2x + 1 > -3x + 11
e) 2x + 1 < -3x + 11
Grave o arquivo da seguinte forma: inequacao_seunome.ggb
Resolução gráfica de inequações
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Elabore duas atividades que utilizem o GeoGebra.
No arquivo do “Word” faça o seguinte:
Defina a série/ano de aplicação de cada atividade;
Defina o conteúdo matemático de cada atividade;
Defina os objetivos de cada atividade.
Grave os arquivos da seguinte forma: atividade1_seunome.doc atividade2_seunome.doc
Desenvolva as atividades no GeoGebra.
Grave os arquivos da seguinte forma: atividade1_seunome.ggb atividade2_seunome.ggb
Elaborando atividades