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Colégio Trilíngüe Inovação
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Chapecó – Santa Catarina
CEP. 89801-600
Profa. Denise Ortigosa Stolf
Textos
Sumário
Números inteiros ....................................................................................................................................... 2
Números positivos e números negativos ............................................................................................... 2
Conjunto dos números inteiros ............................................................................................................. 5
Representação dos números inteiros na reta numérica ..................................................................... 6
Par ordenado: localização de pontos no plano .................................................................................. 8
Módulo ou valor absoluto de um número ........................................................................................... 10
Números opostos ou simétricos .......................................................................................................... 11
Comparação de números inteiros ........................................................................................................ 13
Operações com números inteiros ........................................................................................................ 15
Adição de números inteiros............................................................................................................. 15
Propriedades da adição de números inteiros ............................................................................... 16
Subtração de números inteiros ........................................................................................................ 19
Adição algébrica ......................................................................................................................... 20
Multiplicação de números inteiros .................................................................................................. 22
Propriedades da multiplicação de números inteiros .................................................................... 23
Divisão de números inteiros ............................................................................................................ 25
Potenciação de números inteiros ..................................................................................................... 27
Sinal de uma potência de base não nula ...................................................................................... 27
Propriedades da potência no conjunto .................................................................................... 27
Raiz quadrada exata de um número inteiro ..................................................................................... 30
Bibliografia ............................................................................................................................................. 32
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NÚMEROS INTEIROS
Números positivos e números negativos
Em nosso dia-a-dia, muitas medidas ou contagens são representadas por números negativos. Medidas de temperaturas, dados de extratos bancários e saldos de gols são apenas alguns exemplos de situações em que os números negativos costumam aparecer.
Situação 1
Em um mesmo dia, é possível encontrar dois locais no mundo com temperaturas muito diferentes. No dia 19 de março de 2007, por exemplo, a temperatura mínima em São Luís, no Maranhão, era 24ºC, já em Berlim, na Alemanha, registrava-se −1ºC.
Você percebeu que, para indicar a temperatura em Berlim, usamos o sinal negativo (−), mas para indicar a temperatura em São Luís, que foi positiva (estava acima de zero), não escrevemos o sinal positivo (+). Isso porque, na representação de valores positivos, o uso do sinal + junto ao número é optativo, na representação dos valores negativos, o uso do sinal − deve, necessariamente, acompanhar o número a que se refere.
Já para a representação do número zero (0), não usamos nenhum dos sinais, pois o zero não é positivo nem negativo.
Situação 2
O extrato bancário a seguir descreve alguns créditos (valores positivos) e débitos (valores negativos) em uma conta-corrente e mostra como o saldo da conta ficou negativo.
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Situação 3
No Campeonato Brasileiro de Futebol, os números negativos podem aparecer no saldo de gols, ou seja, na diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos. Abaixo, apresentamos a classificação final de alguns times da série A no Campeonato Brasileiro de 2006.
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EXERCÍCIOS A1
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Conjunto dos números inteiros
Na série anterior, vimos o conjunto dos números naturais, representado por :
{ }...5,4,3,2,1,0=
O conjunto formado por números negativos, pelo zero e por números positivos é chamado conjunto dos números inteiros, e é representado pelo símbolo .
{ }...,4,3,2,1,0,1,2,3,4..., −−−−=
O número −4 é elemento do conjunto , assim como +5, que também pertence a esse conjunto.
Indicamos: −4 ∈ e +5 ∈ (lê-se “−4 pertence a e +5 pertence a ”).
O conjunto dos números inteiros é, portanto, o conjunto formado pelos números naturais, acrescidos dos números negativos.
OBS.:
• Em não há menor número, nem maior número; • O conjunto dos números inteiros sem o zero é representado por :
{ }...,4,3,2,1,1,2,3,4..., −−−−= ;
• Todos os elementos do conjunto são também elementos do conjunto , isto é, ⊂ (lê-se “ está contido em ”).
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Representação dos números inteiros na reta numérica
Podemos representar os números inteiros na reta numérica. Para isso, construímos uma reta r orientada para a direita e marcamos nela um ponto O, chamado origem, ao qual associamos o número (0).
A partir desse ponto, podemos marcar infinitos pontos à direita (A, B, C, D, ...) e à esquerda (A’, B’, C’, D’, ...), observando sempre que a distância entre dois pontos consecutivos deva ser a mesma unidade (por exemplo, 1 centímetro):
Para cada ponto à direita de O, há um número inteiro positivo correspondente, e para cada ponto à esquerda, um número inteiro negativo.
Assim, todo número inteiro tem um ponto associado e ele na reta numérica, porém nem todo ponto da reta representa um número inteiro.
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à direita do número dado. Já o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à esquerda do número dado.
Por exemplo: o sucessor de −4 é −3, e o antecessor de −4 é −5.
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EXERCÍCIOS A2
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Par ordenado: localização de pontos no plano
Em 1637, ao publicar seu livro La Geométrie, o filósofo e matemático francês René Descartes lançou a idéia de que um par de números, disposto numa certa ordem, poderia determinar uma posição no plano.
Usamos o sistema de Descartes, conhecido como sistema de coordenadas cartesianas, para fazer, por exemplo, gráficos, mapas de ruas ou mapas-múndi.
Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas:
• partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas perpendiculares e orientadas;
• cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo indica o crescente dos números;
• o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x;
• o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y;
• o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e corresponde ao par ordenado (0,0);
• nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números positivos à direita e acima da origem; os números negativos à esquerda e abaixo da origem.
• O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.
Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de números que chamamos de par ordenado. O primeiro número do par indica a abscissa do ponto e o segundo número indica a ordenada. Por exemplo, P (3,4), teria sua representação assim:
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EXERCÍCIOS A3
10
Módulo ou valor absoluto de um número
No esquema ao lado:
• o menino está ao nível do mar, então dizemos que sua distância em relação ao nível do mar é nula (0);
• já a pipa está 6 m acima do nível do mar;
• e o cardume 10 m abaixo do nível do mar.
Todas essas distâncias foram representadas, na descrição do esquema, pelo número zero ou por número positivos (6 m e 10 m).
Da mesma forma, ou seja, usando apenas números positivos, podemos determinar, na reta numérica, a distância de qualquer ponto em relação à origem O. Veja:
A distância de um ponto da reta numérica à origem é chamada de valor absoluto, ou módulo, do número que corresponde a esse ponto.
Assim, o valor absoluto, ou módulo, do número +4 é 4 (distância do ponto A à origem). Da mesma forma, o módulo de −3 é 3 (distância do ponto B à origem).
Indicamos o valor absoluto, ou módulo, de um número, colocando esse número entre duas barras paralelas. Por exemplo: o módulo de −3 é representado por 3− .
Exemplos: • 55 =−
• 77 =
• 1010 =+
• 1818 =−
• 00 =
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Números opostos ou simétricos
Observe a reta numérica.
Os pontos A’ e A representam, respectivamente, os números inteiros −5 e 5. A distância do ponto A’
à origem é de 5 unidades, assim como a distância de A até a origem também é de 5 unidades. Os
pontos A’ e A estão a uma mesma distância da origem, porém situados em lados opostos da reta
numérica (em relação ao zero). Por isso, −5 é 5 são chamados de números simétricos ou números
opostos.
Exemplos:
• 7− e 7 são números opostos, ou simétricos.
• 4 é o oposto de 4− , e 4− é o oposto de 4.
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EXERCÍCIOS A4
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Comparação de números inteiros
Símbolos:
> Maior
< Menor
= Igual
Quanto mais à direita um número estiver na reta numérica, maior ele será.
1º) Os dois números são positivos
Quem é maior, 15 ou 21?
21 > 15 ou 15 < 21
2º) Um número é positivo e o outro é zero
Quem é maior, 0 ou 17?
17 > 0 ou 0 < 17
3º) Um número é negativo e o outro é zero
Quem é maior, 0 ou −17?
0 > −17 ou −17 < 0
4º) Um número é positivo e o outro é negativo
Quem é maior, 23 ou −41?
23 > −41 ou −41 < 23
5º) Os dois números são negativos
Quem é maior, −21 ou −14?
−14 > −21 ou -21 < −14
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EXERCÍCIOS A5
15
Operações com números inteiros
Adição de números inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7) perder 3 + perder 4 = perder 7 (−3) + (−4) = (−7) ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (−5) = (+3) perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (−8) + (+5) = (−3)
Na adição, podemos encontrar dois casos:
• Quando as duas parcelas têm o mesmo sinal: para somar dois números inteiros de mesmo sinal, somamos seus valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles.
Exemplos:
a) (+5) + (+3) = 5 + 3 = 8
b) (−5) + (−10) = − 5 − 10 = −15
• Quando as parcelas têm sinais diferentes: para somar dois números inteiros de sinais diferentes, devemos achar seus valores absolutos, subtraí-los e atribuir ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto.
Exemplo:
a) (− 18) + (+ 10) = −18 + 10 = −8
O módulo de – 18 = 18
O módulo de + 10 = 10
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
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Propriedades da adição de números inteiros
Fechamento: O conjunto é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Associativa: Na adição, podemos associar as parcelas de diferentes maneiras, pois o resultado será o mesmo.
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Elemento neutro: O elemento neutro da adição é o zero, que, somado a qualquer número inteiro, resulta no próprio número.
a + 0 = a ou 0 + a = a
7 + 0 = 7 ou 0 + 7 = 7
Elemento oposto: Qualquer número inteiro tem um oposto que, adicionado a ele, resulta no elemento neutro.
a + (− a) = 0 ou (− a) + a = 0
7 + (− 7) = 0 ou (− 7) + 7 = 0
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EXERCÍCIOS A6
(1) Vamos calcular:
a) 011)( ++
b) 13)(0 −+
c) )2()82( +++
d) )3()34( −+−
e) )51()8( −+−
f) )21()21( +++
g) 34)()22( ++−
h) 60)(49)( −++
i) )125(130)( −+−
j) )121()49( +++
k) )510()820( −++
l) )275()162( −+−
(2) Partindo do térreo, um elevador desce 2 andares. Em seguida, desce mais 1 andar. Usando a adição de números inteiros, dê o andar em que o elevador parou.
(3) Caio tem R$ 3600,00 na sua conta bancária. Se ele fizer uma retirada de R$ 4000,00, como ficará o seu saldo?
(4) Calcule o resultado das expressões e identifique a propriedade aplicada em cada caso.
a) )3()1()1()3( ++−=−++
b) 0)100( ++
c) [ ] [ ])3()7()5()3()7()5( −+−++=−+−++
(5) Escreva na forma simplificada as adições e calcule:
a) )18()02( −++
b) 21)()03( ++−
c) )17(81)( −+−
d) )52()37( +++
e) )6()22()15( −+++−
18 (6) Vamos calcular:
a) 177 + b) 28−− c) 149+−
d) 44−− e) 2319− f) 1140−−
g) 1431+ h) 301+− i) 6340− j) 5791− k) 1090+− l) 104100+−
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Subtração de números inteiros
• Para subtrair números inteiros, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo.
Exemplos:
a) (−23) − (+15) = −23 − 15 = −38
b) (+14) − (+20) = +14 − 20 = −6
EXERCÍCIOS A7
(1) A temperatura no interior de um freezer é de −9 graus. Fora, a temperatura é de +25 graus. Qual é a diferença entre as duas temperaturas?
(2) Calcule:
a) )17(0 −−
b) )16()9( +−−
c) )20()13( +−+
d) )18(0 +−
e) )19()1( −−−
f) )9()20( +−+
g) )17()4( +−−
h) )80()40( +−+
i) 20341792 +++−
j) 941011049276 +−−+
20
Adição algébrica
Vimos que a subtração com dois números inteiros equivale a uma adição do minuendo ao oposto do subtraendo. Por isso, a adição e a subtração com números inteiros são consideradas uma única operação: a adição algébrica.
A idéia de adição algébrica ajuda a simplificar uma expressão numérica pela eliminação dos parênteses e dos sinais de + e − das operações. Veja:
=++−−=++−−+−−
128710
)12()8()7()10(
Podemos resolver essa expressão de duas maneiras:
1ª) Resolvendo as operações na ordem em que aparecem
3129
12817
128710
=+−=++−
=++−−
2ª) Agrupando os valores e, ao final, calculando a diferença
32017
128710
=+−=++−−
OBS.: Em uma adição algébrica, quando existem parcelas que são números opostos (simétricos), podemos cancelá-las, já que o resultado da adição dessas parcelas é zero.
9817
8143
851453
851453
−=+−+−−
=+/−−/+−=+−−+−
21
EXERCÍCIOS A8
(1) Calcule:
a) 4207 −+ b) 31417 ++− c) 101627 −− d) 402125 −−− e) 621835 ++
f) 61507075 −++− g) 86817984 +−− h) 200779664 +−−− i) 20341792 +++− j) 941011049276 +−−+
(2) Calcule as somas algébricas:
a) )19(6 +−+
b) )106(8 +−−
c) )46(10 −+−
d) )752(2 −++
e) )17()42(5 −−−+−
f) 11)18()95()35( −−+−−+−
g) )4111()510(10 −+−+−+
(3) Eliminando os parênteses e colchetes, determine as somas algébricas:
a) [ ])107(1630 +−−−+
b) [ ]1)610(1110 +−−+−−
c) [ ])2116(13)1514(18 −−−+−
d) [ ]28)262327(29)22( −−−+−−−
e) [ ] )18()251313(21)10(9 −−+−−−−−−−
f) [ ] )5446()29()1622(1711 +−−−++−−−+
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Multiplicação de números inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um “ ⋅⋅⋅⋅ ”, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 ⋅ 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 ⋅ 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:
(−2) + (−2) + ... + (−2) = 30 ⋅ (−2) = −60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a⋅⋅⋅⋅b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Exemplos:
a) 3248 =⋅
b) 15)3(5 −=−⋅
c)
d)
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1)⋅⋅⋅⋅(+1) = (+1)
(–1)⋅⋅⋅⋅( –1) = (+1)
(+1)⋅⋅⋅⋅( –1) = (–1)
(–1)⋅⋅⋅⋅(+1) = (–1)
Com o uso das regras apresentadas, pode-se concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
iguais positivo
diferentes negativo
23
Propriedades da multiplicação de números inteiros
Fechamento: O conjunto é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Comutativa: Em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto.
a ⋅ b = b ⋅ a
3 ⋅ 7 = 7 ⋅ 3
Associativa: Na multiplicação com três ou mais fatores, podemos associar os fatores de maneiras diferentes, pois o resultado será o mesmo.
a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c
2 ⋅ ( 3 ⋅ 7 ) = ( 2 ⋅ 3 ) ⋅ 7
Distributiva da multiplicação em relação à adição: Em uma multiplicação, dado por uma adição algébrica, podemos multiplicar o primeiro número pelas parcelas e adicionar os resultados.
a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c )
3 ⋅ ( 4 + 5 ) = ( 3 ⋅ 4 ) + ( 3 ⋅ 5 )
Elemento neutro: O elemento neutro da multiplicação é o 1, que, multiplicado a qualquer número inteiro, resulta no próprio número.
a ⋅ 1 = a ou 1 ⋅ a = a
7 ⋅ 1 = 7 ou 1 ⋅ 7 = 7
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EXERCÍCIOS A9
25
Divisão de números inteiros
Para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:
• Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.
(+ 20) : (+ 5) = + 4
(− 20) : (− 5) = + 4
• Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.
(+ 20) : (− 5) = − 4
(− 20) : (+ 5) = − 4
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do quociente
iguais positivo
diferentes negativo
Observações:
• A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto . Por exemplo: 9 : (–2), pois o resultado não é um número inteiro.
• No conjunto , a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade de elemento neutro.
26
EXERCÍCIOS A10
27
Potenciação de números inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
43421vezesn
n aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ... Exemplo: 222224 ⋅⋅⋅=
a é multiplicado por a n vezes
Sinal de uma potência de base não nula
Para determinar o sinal de uma potência, podemos considerar o sinal da base e verificar se o expoente é par ou ímpar.
Expoente Base positiva Base negativa
Par Potência positiva
625555554 =⋅⋅⋅=
Potência positiva
625)5()5()5()5()5( 4 =−⋅−⋅−⋅−=−
Ímpar Potência positiva
322222225 =⋅⋅⋅⋅=
Potência negativa
27)3()3()3()3( 3 −=−⋅−⋅−=−
Propriedades da potência no conjunto
1ª) Produto de potências de mesma base
Exemplos:
mnmn aaa +=⋅
96363 5555 ==⋅ +
73434 )2()2()2()2( −=−=−⋅− +
28 2ª) Quociente de potências de mesma base
Exemplos:
mnmn aaa −=:
32525 666:6 == −
53838 )10()10()10(:)10( −=−=−− −
3ª) Potência de uma potência
Exemplos:
( ) mnmn aa ⋅=
( ) 105252 101010 == ⋅
( )[ ] ( ) ( )15535
3 888 −=−=− ⋅
4ª) Potência de um produto ou de um quociente
Exemplos:
nnn
nnn
baba
baba
:):(
)(
=⋅=⋅
888 56)56( ⋅=⋅
[ ] 4442:)10(2:)10( −=−
Observação:
Para todo número real a, com 0≠a , temos 10 =a
12
22
4222
82222
0
1
2
3
==
=⋅=
=⋅⋅=
12
22
22
4
2
222
42
8
2
2222
82222
0
1
2
3
==
==⋅=
==⋅⋅=
=⋅⋅=
1222
22
2222
22
422222
22
82222
0111
0
1122
1
2133
2
3
====
====
=⋅====
=⋅⋅=
−
−
−
29
EXERCÍCIOS A11
30
Raiz quadrada exata de um número inteiro
Vamos considerar o exemplo abaixo:
23339 =⋅=
Ao descobrir que o número 3 ao quadrado é igual a 9, encontramos a raiz quadrada de 9. A operação realizada foi a radiciação. Dizemos que extraímos a raiz quadrada de 9. O símbolo da raiz quadrada é:
ou 2 .
A raiz quadrada de um número inteiro a é um número positivo b que, elevado ao quadrado, resulta em a.
Assim: ba = é o mesmo que ab =2 , com b > 0.
Os números que podem ser escritos como potência de expoente 2 são denominados quadrados perfeitos. Somente esses números têm como raiz quadrada um número inteiro positivo.
Exemplos:
a) 24 = , porque 422 = e 2 > 0.
b) 636 = , porque 3662 = e 6 > 0.
Existe raiz quadrada de um número negativo?
Vamos analisar, por exemplo, 25− .
Sabemos que 25)5( 2 =+ e 25)5( 2 =− . Logo, não existe número inteiro cujo quadrado seja 25− . O mesmo ocorre com qualquer raiz quadrada de número negativo.
31
EXERCÍCIOS A12
EXERCÍCIOS A13
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BIBLIOGRAFIA
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática . São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.